（计算数学专业论文）ns方程迎风非线性galerkin有限元算法及其后验误差估计.pdf

本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：乏瑙 导师签名： 日期：雌年且月孕日 嗍蚪年且月丝日 m l l i i l 8 7 摘要 本文将大r e y n o l d s 数条件下求解n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风有 限元算法和非线性g a l e r k i n 有限元算法结合起来，对n a v i e r - s t o k e s 方程的求解算法及后验误差估计进行研究。 首先利用齐次定解条件对定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的非 线性项进行处理，在正规三角网格剖分下，给出定常不可压 n a v i e r s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法；利用其三项式具有 反对称性等良好性质，在迎风参数满足一定条件下，证明了该迎风 g a l e r k i n 有限元算法解的存在唯一性且具有一阶收敛精度，并给出 其相应的后验误差估计式。其次将求解n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风有 限元法和非线性g a l e r k i n 有限元算法相结合，给出定常不可压 n a v i e r s t o k e s 方程的迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法，证明了该 算法的收敛性、估计了其收敛速度，给出了其相应的后验误差估计式； 最后将定常情况推广到非定常情形，给出了非定常不可压 n a v i e r s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法和迎风非线性 g a l e r k i n 有限元算法，证明了相应算法的收敛性、估计其收敛速度并 给出其相应的后验误差估计式。 关键词迎风有限元算法，非线性g a l e r k i n 有限元算法，后验误差估 计，n a v i e r - s t o k e s 方程 m e t h o dh a ss o m eg o o dp r o p e r t i e s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e n u m e r i c a l s o l u t i o n ， a n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o nw i t ho n e o r d e r c o n v e r g e n c ep r e c i s i o na r ep r o v e d m e a n w h i l e ，t h ec e r t a i np o s t e r i o re r r o r e s t i m a t i o ni sg i v e n t h i r d ，c o n b i n i n gt w ok i n d so fm e t h o d - - t h eu p w i n d f i i l i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h en o n l i n e a rg a k e r k i nf i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，w h i c ha l eu s e dt os o l v en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sw i t hl a r g e r e y n o l d sn u m b e r ，a nu p w i n dn o n l i n e a rg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o rt h e i n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n si sg i v e ni n f i n a l l y , e x t e n d i n gt h es t a t i o n a r yc i r c u m s t a n c et ot h eu n s t a t i o n a r yo n e ，t h e c o n v e r g e n c eo fa nu p w i n dn o n l i n e a rg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r t h eu n s t a t i o n a r yi n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n si sp r e s e n t e da n d t h ec e r t a i np o s t e r i o re l t o re s t i m a t i o ni sa l s og i v e n k e y w o r d s u p w i n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，n o n l i n e a rg a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，t h e p o s t e r i o re r r o re s t i m a t e ，n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s 目录 第一章绪论1 1 1 不可压n a v i e r s t o k e s 方程求解方法的发展概况1 1 2 问题的提出3 1 3 本论文的主要研究工作3 第二章定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法5 2 1 定常不可压n a v i e r s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法5 2 1 1 若干记号5 2 1 2 定常不可压n a v i e r s t o k e s 方程g a l e r k i n 变分形式6 2 1 3 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程g a l e r k i n 迎风有限元格式8 2 2 定常不可压n a v i e r s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法的收敛性1 1 2 3 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法1 3 2 4 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法的收敛性 1 4 2 5 本章小结1 6 第三章非定常n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法1 7 3 1 非定常n a v i e r s t o k e s 方程的g a l e r k i n 有限元算法1 7 3 2 非定常n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风g a l e r k i n 有限元算法及其收敛性分析 1 9 3 3 非定常n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法及其收敛 性分析2 0 3 4 本章小结2 3 第四章迎风g a l e r k i n 及迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法的后验误差估计2 4 4 1 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法的后验误差估 计2 4 4 2 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法的后验 误差估计2 7 4 3 非定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风g a l e r k i n 有限元算法的后验误差 估计2 9 4 4 非定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法的后验 误差估计3 0 4 5 本章小结3 2 第五章总结与展望3 3 参考文献3 5 致 射4 1 硕士期间所完成学术论文4 2 i i 第一章绪论 1 1 不可压n a v ie r - s t o k e s 方程求解方法的发展概况 n a v i e r - s t o k e s 方程是流体力学的基本方程，是一种常见的非线性发展方程， 其数值计算一直是科学与工程计算关心的问题。n a v i e r - s t o k e s 方程是在1 8 2 2 年 由法国工程师n a v i e r 1 1 对于一些物质，尤其是对流体基于适当的分子模型( 这些 分子模型中的相互作用规律与物理学中的完全不一致) 提出来的。仅仅在2 0 年 后该方程由年仅2 6 岁的g h s t o k e s 2 于1 8 4 5 年利用连续统理论将方程推广到更 一般的形式。n a v i e r - s t o k e s 方程对人们认识和控制湍流至关重要，在非线性偏微 分方程、流体系统和现代科学与工程计算研究中占据了中心地位。1 9 3 4 年l e r a y l 3 为n a v i e r - s t o k e s 方程建立了数学理论基础。此后，一些数学大师对n a v i e r - s t o k e s 方程的许多数学性质做了高深的研究。发展到现在，由于人们对非线性现象本质 认识的有限，因而数值模拟、理论和实验一起成为研究n a v i e r - s t o k e s 方程十分 重要的手段。但直接用标准有限元方法求解不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程，主要 考虑如下几个方面的问题：大雷诺数问题、不可压缩条件、非结构化网格、i n f - s u p 条件和非线性问题。 对于n a v i e r - s t o k e s 方程有限元数值求解方面的研究已有很多的文章和专 著，多数是采用g a l e r k i n 有限元算法，然而由于n a v i e r - s t o k e s 方程在大r e y n o l d s 数时有其强的非线性和对时间t 的长期依赖性，用计算机求解n a v i e r - s t o k e s 方程 在速度和容量方面是难以承受的。 为了克服这些困难，人们提出了很多方法，其中主要有两大类，一类是非线 性g a l e r k i n 算法和非线性g a l e r k i n 有限元方法【4 刀；另一类是采用稳定化方法， 该方法包括迎风有限元法【8 郴1 和流线扩散法【1 1 1 2 1 。 非线性g a l e r k i n 算法是研究和求解耗散型偏微分方程的有效方法。这种算法 的主要特点是将求解未知量分解为两项( 大涡分量和小涡分量) ，它们分别属于 具有不同网格尺寸的离散空间，该方法仅需要在粗网格空间上求解非线性方程， 在细网格增量空间上求解线性方程，且在计算过程中，对“小尺度 的分量引入 简化逼近，使得该方法变得很便利，大大减少了计算量h 吲。该方法原先主要是 在f o u r i e r 谱离散化时由f o i a s m a n l e y t e m 锄【1 3 1 、m a r i o n t e m a m 4 1 、 f o i a s j o l l y k e v r e k i d i s t i t i 1 4 j 和d e v u l d e r - m a f i o n t i t i t l 5 l 在2 0 世纪8 0 年代后期9 0 年代初期提出的。 非线性g a l e r k i n 方法的有限元逼近是m a r i o n 等人【5 , 1 6 1 于9 0 年代初期首先 提出的。m a r i o n 等人将n a v i e r - s t o k e s 方程中的对流非线性项似v ) u ，利用齐次 1 边界条件d i v u = o , v x q 进行了处理：b ( u ，1 ，) = ( 小v ) v + x ：( d i v u ) v ，进行处理后相 z 应的n a v i e r - s t o k e s 方程的g a l e r k i n 弱形式中的三项式变为 b ( u ，1 ，忉= 鼽工，该三线性项具有一些很好的性质【5 , 1 6 1 。 a i to ua m m i m a r i o n 【1 7 】在1 9 9 4 年将非线性g a l e r k i n 方法应用于混合元 法中，用来处理非定常的n a v i e r - s t o k e s 问题。 李开泰、何银年等人【1 8 1 9 】于1 9 9 4 年将此方法用于处理加罚的n a v i e r - s t o k e s 方程；且于1 9 9 9 年他们啪1 又提出了求解n a v i e r - s t o k e s 方程的最佳有限元非线性 g a l e r k i n 算法。 李冠成等人【2 1 】在1 9 9 7 年对修改的定常不可压n a v i e r - s m k e s 方程： 一v a u + ( u v ) u + 1 2 ( d i v u ) u = f 提出了其非线性g a l e r k i n 有限元算法，但是在处理 中回避了原来的n a v i e r - s t o k e s 方程带有压力项和不可压条件的本质性困难。 罗振东【2 2 。2 3 1 等人于1 9 9 8 年将非线性g a l e r k i n 混合元法推广应用于非定常 的热传导一对流问题的半离散和全离散化格式，又于2 0 0 2 年提出了定常的 n a v i e r - s t o k e s 方程的g a l e r k i n p e t r o v 最小二乘混合元法。 由于传统的g a l e r k i n 有限元算法在求解大r e y n o l d s 数下的问题时导致了不 稳定性，而产生不稳定性的原因是对对流项应用了中心差分。为解决这一问题， 关键在于对对流项的逼近，为此人们提出很多稳定化方法。其中在这里主要介绍 迎风g a l e r k i n 有限元算法。迎风g a l e r k i n 有限元算法的有效性在文献 1 0 ，2 5 ， 2 6 】中已得到讨论，带参数的迎风格式具有简单易行、精度较高的优点，且格式 保持了原问题的最大值原理和质量守恒原理唧。 迎风g a l e r k i n 有限元算法的简明介绍开始于日本对对流扩散方程的研究， 1 9 7 7 年k i k u c h i t 2 8 1 和t a t a b a 2 9 0 1 】最先提出了迎风策略。 1 9 8 3 年i k e d a 3 2 1 在他的书中总结了多年研究工作，提出了最早的部分迎风策 略。 1 9 8 6 年t a t a b a l 3 3 】从侧风扩散的观点出发提出了几种迎风策略，其中包括 p e t r o v g a l e r k i n 方法。 1 9 8 9 年h k a n a y a m a 和t o s h i g a m i 2 5 】提出了对定常n a v i e r - s t o k e s 方程的部分 迎风有限元逼近算法。 随后迎风有限元算法得到了很大的发展，1 9 9 1 年t a b a t am 、f u j i m as 泓1 给出 2 了求解不可压粘性流的迎风有限元算法，但是只有一阶精度，虽然有较好的稳定 性，但由于其只具有一阶精度，对于不同数，其数值结果不总是令人满意的。 1 9 9 3 年，1 9 9 5 年由n o v i ok i n d o 和s e i j iy a n a d a l 3 5 3 6 j 两个人提出了求解不可压 n a v i e r - s t o k e s 方程的三阶迎风g a l e r k i n 有限元算法。 2 0 0 7 年薛运华、胡建伟 3 7 - 3 8 】两个人给出了定常n a v i e r - s t o k e s 方程及非定常 n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风有限元算法及相应的后验误差估计式。 1 2 问题的提出 n a v i e r - s t o k e s 方程作为流体力学的基本方程，是一种常见的非线性发展方 程，其数值计算一直是科学与工程计算关心的问题。为适应r e y n o l d s 数较大的 情形下求解n a v i e r - s t o k e s 方程，人们提出了很多方法，其中主要有两大类，一类 是非线性g a l e r k i n 算法和非线性g a l e r k i n 有限元方法h 刀；另一类是采用稳定化 方法，该方法包括迎风有限元法0 1 和流线扩散法【l l - 1 2 1 。对n a v i e r - s t o k e s 方程来 说，其g a l e r k i n 有限元算法需要在细网格有限元空间求解相似的非线性方程，计 算量大，且处理其中的对流项时会产生不稳定性；迎风有限元算法具有好的稳定 性，该格式具有有效的后验误差估计器，有数值试验验证了该误差估计器的有效 性【l o ，2 5 心6 】，但估计器形式复杂且计算量很大；非线性g a l e r k i n 有限元算法仅需 要在粗网格空间上求解非线性方程，在细网格增量空间上求解线性方程，这样将 大大减少计算量。基于此，文中将两类计算大r e y n o l d s 数下n a v i e r - s t o k e s 方程 的数值方法结合起来，给出一种迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法，研究其熟练精 度及相应的后验误差估计。 1 3 本论文的主要研究工作 论文将求解n a v i e r - s t o k e s 方程的非线性g a l e r k i n 有限元算法与迎风有限元 算法相结合，对n a v i e r - s t o k e s 方程的求解算法和后验误差估计进行了研究，主 要研究工作如下： ( 1 ) 利用齐次定解条件对定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的非线性项进行处理， 在正规三角网格剖分下，给出定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风有限元算法； ( 2 ) 针对这种迎风g a l e r k i n 有限元算法，在迎风参数满足一定条件下，利用其 三项式具有的一些很好性质，研究该算法解的存在唯一性、解的收敛精度，及相 应的后验误差估计式； ( 3 ) 将在r e y n o l d s 数较大的情形下求解n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风有限元法和非 线性g a l e r k i n 有限元法相结合，给出定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风非线 3 性g a l e r k i n 有限元算法，研究该算法的收敛精度，及后验误差估计； ( 4 ) 将定常情况推广到非定常情形，通过引入毗f ) f ( 牙( 卿；矿) 将原来的边 界条件化为齐次性边界条件，给出非定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风有限 元算法； ( 5 ) 同( 3 ) ，给出非定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元 算法，研究该算法的收敛精度，及后验误差估计。 4 图2 - 1 正规三角剖分砭 再连接每一个三角形各边的中点，得到的新的三角剖分记为，其相应的 每一个三角形记为z ，单元个数为m ( 如下图2 - 2 ) 。再设每个三角形矽的直 径为，肛m 托a x 九扩, 图2 2 正规三角剖分 设 n ) c 西是剖分中三角形顶点集合，其中只：1 f 位于区域q 内部， 5 只：n + i f + m 在q 边界上。记人为三角剖分所有内结点的指标集，人，为 结点仍的相邻结点标号的指标集。 再对进行外心型对偶剖分p 卅q = 斜 为q 的第二次剖分，叫称为结点 p ，) 的外心域：q ? = p qp 矽；历历 ，其中p 埘是矽中除了只外的其 它顶点。于是对顶点只定义多边形区域q ，=u q ，则q 为对偶剖分绣的 t ；e f h p e t ； 单元( 如下图2 3 ) 。 一鱼 图2 - 3 外心型对偶剖 若歹ea l ，则记l = q ，n q ，边r ，与顶点只所构成的三角形记为z ，。假设 拥有公共边b 乃的两个三角形单元分别是露和矸，记巧= 乃n 矿，r ：= 0n 矿， 用，n ，d 分别表示q ，q ：，l ，r ；1 的度量，而边只p ，的欧式距离记 为吃。对每一个顶点只，引入分片线性l a i l 鲫l g e 基函数：力：壳一尺，谚，) = 磊， 煅分片常数函弛汕足纺= 怯磊譬。砜堋删旌。以及 q 。= 印册 仍 曾，它们分别是磁( q ) 和r ( q ) 的有限维子空间。 2 1 2 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程g a l e r k i n 变分形式 考虑如下定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程： r l f + ( 护跏罨巍 - ， 6 其中五= 疋，疋是r e y n o l d s 数，甜= ( ，屹) 是速度场，p 是压力场，厂= ( 石，石) 是给定的体力。 记x 2 磁( q ) 2 ，y = 曾( 9 2 ，肘= 玩( 锄= 9 r ( q ) ：f 出= 。) ；( ，) ，i 1 表 示r ( q ) ，r ( q ) 2 上的内积和范数；剜( q ) 或x 上装备通常的内积和范数， ( ( 即，y ) ) = ( v 甜，乳) ，肛0 = l v u i 。+ a u = - a u ，d ( u ，“) = v ) u ，则a 是】，中自共 轭正定线性无界算子【3 9 4 川，其定义域且砷= 序( q ) 2n x 。对d ( 么) 装备范数| f f | = i 么1 后，其中i a i = 0 x ，a ) “2 ，d ( 彳) 也是h i l b e r t 空间。 薛运华等口1 1 给出了n a v i e r - s t o k e s 方程( 2 1 ) 的弱形式为：求( 甜，p ) ( x ，m ) ， 使得 篇嚣州屯雌甚 倍2 ， i = 0均m 。 成立，其中，d ( 甜，1 7 ，们_ _ 胁v ) ，w d x 。因为非线性项d ( 甜，们参 与计算难以处理，给推导过程带来不便，本文参照a i to u a m m i m a r i o n 1 7 】、李 开泰、何银年等人【1 8 - 1 9 1 对n a v i e r - s t o k e s 方程的非线性项进行的改进，即令 b ( 甜，) = 聊v + 去( d i v 甜) v b ( u ，叻= x ，x j ，其中x 为工的对偶空 间。则n a v i e r - s t o k e s 方程( 2 1 ) 可以写为： f _ 他+ 顶“，u ) + v p = f 坛q t 戈主三 3 ) 容易得出n a v i e r - s t o k e s 方程( 2 3 ) 的g a l e r k i n 变分形式为：求( 甜，p ) ( x ，m ) ，使 得 ja a u , v ) + b ( u ，叩) 一( p , d i w ) = ( 厂，1 ，) 饥x ( 2 - 4 ) 【( g ，d i v u ) = 0v q m 可以证明，若五和厂x 满足兄之c l l l l 一。 1 ，变分问题( 2 4 ) 是适定的【5 ，1 邸4 4 ， 即变分问题( 2 4 ) 存在唯一解( 甜，p ) ( x ，m ) ，且满足 7 旯一v i i 一。 ( 2 5 ) 此外，如果ycx 7 ，则ued ( 彳) 满足i a u l - c l f l 。其中c 为常数， 2 晋眢，可酣。 改进后的非线性项6 ( 甜，1 ，忉有如下性质【3 9 4 0 5 , 1 6 , 1 9 , 1 8 4 2 4 3 l ： b ( u ，1 ，叻= - b ( u ，w ， ，)v“，wx(2-6) v ，训圭i i “i 1 , 4 1 ) 抛1 , 4 1 + 五1 白i i “1 1 + 1 1 1 4 1 1 , 4 ) 抛 ( 2 - 7 ) 1 6 ，v ，w ) i 三c o o “t 怯i i 叫o 叫| ) l ，2 o v i i + 三气。叫1 1 3 v | i v 甜| i i 甜l i ) u 2v u , v , w e x ( 2 8 ) 阢，v ) i 鲁( 旷ia z ，i l ，2 | 卅2 i a “| l ，2 | v i “2 i i v | i l ，2 ) v u e d ( 彳) ，v x ( 2 9 ) i 曰( 甜，v ) 1 - c o l “i 2 i i 甜u 2 i i v i i 2 i 彳v 1 24 “f j i 彳v i l 7 2 i v i 2 ) v u e x ，v ed ( a ) ( 2 1 0 ) 2 1 3 定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程g a l e r k i n 迎风有限元格式 分别取石，m 的有限元子空间：v h = x h ，= q 2 ，以及定义口一正交 投影算子毛：】，一圪为：( ) = 似) ，v 1 ，y ，圪；可以证明1 7 】下列关系式 慨v | c v v x( 2 1 1 ) 0 1 ，一心训以 v v e x( 2 1 2 ) 1 1 ，一兄屹i + 办0 1 ，一咒0 如2 a v i v v d ( 彳) ( 2 1 3 ) 成立。且有限元空间( 圪，) 满足如下性质【4 3 】： ( b ) 存在一个映像厶：d ( 彳) 一圪，使得 眩，d 小一厶呦= o坛，v 及9 慨y 一, , 1 1 - c h l l 4 1 , l 。 v v e d ( a ) ( p 2 ) , o h ：m 专心满足 i q - p h q - c h l q iv q e h l ( q ) u m ( p 3 ) 存在个正常数屈使得 z 1 q l s 淝可( q , d r i w ) v 口鸩 在有限元空间( 圪，) 上，问题( 2 - 4 ) 的g a l e r k i n 有限元形式为：求 ( u h ，见) ( 圪，鸭) ，使得 i ( 2 a u , 1 ，) + 6 ( ，u h ，力一( a ，d i w ) = ( f ，1 ，)虼 【( q h ，d i v u h ) = 0鸭 2 - 1 4 () 恒成立。 若五和x 满足兄t i l l 一。 。( 与网格尺寸办无 关) ，当占气时，离散问题( 2 1 6 ) 存在唯一的解 ，n ) 圪心。 证明：用类似于文献【l o 】中的方法可以证明离散问题( 2 一1 6 ) 的可解性。下面证 明数值解的唯一性。 在( 2 1 6 ) 中，令屹= u h ，则( 五彳“，) + 6 ( ，) = ( ，屹) 由于既( ，) = 0 ，从而 占c , n u , i i i i ( 从吃，蚝) = 仉嘞) c ；8 州一。0 嘞8 ( 2 1 7 ) 如此可得到数值解的有界性估计，即存在常数c 0 ，使 川c 占l l l l 一 设离散问题( 2 - 1 6 ) 有两个不同的解( “：，p 1 ) ，( ，露) ，在( 2 1 6 ) 中取= 1 一蚝2 ， 则有 o = 占l 以一醒1 2 + 巩( 以，i ，蚝1 一) 一h a , 4 , ，2 ，以一) = s i 以一瑶1 2 + 跣( 以，以一瑶，以一彳) + ( 以，以一瑶) 一b h ( u ；，蚝2 ，以一) = s l 以一1 2 + 6 ( 以，以，蚝i 一以) 一玩( ，彳，1 一) s 似一瑶1 2 = 玩( 瑗，瑶，以一) 一吃( 域，瑶，以一彳) f 一1 2 i 瑶| 譬m 一彳1 2 o 卅l - 。 取爵= c c i l i i i - l 则当占氏时可得似- - u h 2 = 0 ，从而以= 。 由离散方程及( b ) 式有： o = ( 矗一蠢，v w ) i e 一露i i i v w h 圪 从而矗= 露，故定理得证。 选取迎风参数勺。) = ( 龛) ，显然有1 一白( ) 三，从而可得 事实上， 玩( ”，v ，忉 b a u ，1 ，w ) b ( u ，叻 = 专篓。嵋 2 ( 1 - r , j ( u ) ) ( v j - v 3 + v , ，( 甜嘞油 = 专嵋，( 甜嘞油 二。2 1 f e ( 才) 咄 j 卅 卅 j j ( _ 一m ) ，( “吩渺+ 丢兰 哆 1 = 1 ( 厶y m ) ，( ”嘞 哆 ( v k ) ，( 甜吻 蟛 ，e a ( 妒) 1 甚 + 一 2 智 w ，似嘞h 凼 巧 i e a ( 矿) 嵋，( u - n , j ) 三h v a s 略 + 导兰w ，( 甜脑 二1 = 1 越( 矿) 卅巧 ( 2 - 1 8 ) 定理2 2 若2 , 和fe x 满足名。2 c l f l l l l ，设( ，见) 为定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的g a l e r k i n 迎风有限元格式( 2 1 6 ) 的解，则有恤一| l + i p 一死i c h ，即解 具有一阶收敛精度。 证明：由于圪c x 及( 2 1 8 ) 式，则由问题( 2 1 4 ) 和问题( 2 1 6 ) 可得 1 2 心 w 哗 ( a , a w ，v h ) + b ( w ，r h u ，v h ) + b ( u h ，刃，万) - - ( ；t a ( u r “) ，v , ) - b ( u - r , u ，材，) - b ( r h u ， 一民“，吃) + ( 厂，v h ) - ( f ，) v v 圪 其中t o = 毛甜一，在上式中取吃= 万，由( 2 5 ) 、( 2 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 一1 1 ) 一( 2 1 3 ) 和( 2 - 1 7 ) 式，则有 见i i 刃1 1 2 + 6 ( 刃，r h u ，万) 名0 “一乜“| 1 万+ c ( 8 “8 + i i r 甜l i ) i , - r , l l l i 万0 + c l 0 厂0 - 1 0 刃9 1 6 ( 刃，咒甜，刃) i = 1 6 ( 万，u h ，万) f 五一1 c0 厂i | - l 0 万1 1 2 由名2 c 1 1 ：一， l ，( 2 1 1 ) 式和上述两式可得 i r h u - - u h o r c 陋一也甜i i + q ( 3 , - a q c l l 厂| i 一。) 一一l 其中口= ( 兄一a c l i y i l 一，) 一。 再由( 2 - 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 - 1 3 ) 式及三角不等式可得 0 - - h 0 _ c 2 h 由于在心上没有引入迎风参数，所以由( p 2 ) 及( 2 1 5 ) 式可得 i p 一见i _ c 3 h 故有 0 “一。l i + i p 一见i c 办。 2 3 定常不可压n a v ie r - s t o k e s 方程迎风非线性g a i e r k in 有限元算 法 取= 2 h ，这样引进两个参数h 与日，及三个有限元空间，圪和。由 于c 圪c 】，从而有圪= + 呢，= ( ，一如) 圪。其中如：圪_ 为r j t z 正交投影算子，即对所有的圪满足： ( v ( 一如 j k ) ，v w h ) = 0v w h 呢 呢称为有限元增量空间。和满足下列性质【1 7 铒】： ( p 4 ) ( p 5 ) ( v ，忉= o ，口( | i v 0 2 + i i 叫1 2 ) i i v + 叫1 2 w | c 2 h ，l i 叫i 乞日i 爿叫 v v ，w e v w e 其中0 口 0 是一常数。 于是定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法为：求 矿= y + ze _ ，ye ，z 呢，p 6 心，使得 i ( 兄彳( y ) ，v ) + 饥，y ，v ) + b h 似z ，v ) + b a z ，少，d j 一( p h , d i v v ) = u ，叻v ， ( 2 1 9 ) i ( 允么( z ) ，w ) + ，y ，w ) 一( 矿，d i v w ) = u ，w ) v w e 【( 吼d i v ( y + z ) ) = o v q 心 恒成立。 注：定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程迎风非线性g a l e r k i n 有限元算法( 2 1 9 ) 仅需要 在粗网格空间上关于大涡分量y 求解一个非线性方程，在细网格空间呢上求解 一个关于小涡分量z 的线性方程。而对于迎风有限元算法则需要在圪上求解一个 关于u h 的非线性方程，由此可见，文中提出的算法( 2 - 1 9 ) 将需花费少的计算量。 同时算法( 2 1 9 ) 相当于对方程( 2 4 ) 在空间上进行了两次离散，且花费了少量的 计算量，将非线性g a l e r k i n 有限元算法的优势运用到了迎风有限元算法上，对其 进行了改进。 2 4 定常不可压n a vie r - s t o k e s 方程迎风非线性g aie r kin 有限元算 法的收敛性 定理2 3 若旯和厂x 满足名2 d ：1 1 一l 1 ，设 ，矿) 为定常不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的迎风非线性g a l e r k i n 有限元格式( 2 - 1 9 ) 的解，则有 陋一