（应用数学专业论文）不连续的lienard系统的极限环的个数.pdf

论文题目：不连续的l i 6 n a r d 系统的极限环的个数 学科专业：应用数学 学位申请人：杨璐 指导老师：韩茂安教挣 摘要 本文第一章为引言，主要内容是介绍所研究课题的来源，现状，以及本文的研究方法 和主要结论给出了相关文献对于l i 6 n a r d 系统以及h o p f 极限环的研究成果，主要的 结论 第二章主要研究了不连续的l i 6 n a r d 系统极限环的个数问题在【l 】中定理成立的 基础之上，对问题进行更一步的研究文献f 1 】中作者已经证明了当n = 1 ，2 ，3 时，系统 圣= 可一r ( z ，n ) ，雪= 一9 ( z ) ，在原点分别有1 ，3 ，5 个h o p f 极限环在本章中，我们首 先给出了计算b ，i = 7 ，8 ，9 ，1 0 的公式，然后通过运用定理2 1 2 - 2 1 4 来研究些不连 续的l i 6 n a r d 系统的h o p f 扰动问题 特别的，我们发现对于系统圣= 可一r ( z ，g ) ，雪= 一夕( z ) ，在n = 3 的情况，h o p f 极限环结果的研究是错误的正确的h o p f 极限环数应该是4 我们还主要讨论了对于系统圣= 秒一r ( z ，口) ，雪= 一g ( z ) ，当礼= 3 ，4 以及5 盹 如果螈0 ，在原点处有2 竹一2 个h o p f 极限环这也是本论文的主要结论 关键词：l i 6 n 壮d 系统；极限环；方程；c 函数；h o p f 极限环 t h e 8 i st c i p i c ：t h e 舢啦b e ro ft h el i i n i t 呵c kf o rs o m en o n s m o o t hl i 6 n 甜ds y s t e m s s u b j e c t ：a p p l i e dm a t h e m & t i c 8 d e g r e ea p p l i c a n t ：y a n gl u i n b t 玎l c t o r ：p r o f e s s o rh 8 nm a o a n a b s t r a c t 灿a n 龇r o d u c t i o n ，i nt h e 丘r s tc h a p t e rw e 砒r o d u c et h eb a u c 姆o u n do fo u r r e 8 e a r c h a n dm 咖t o p i c st h a tw ew m8 t u d yi nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r 8 w 宅a l s o 舀v ea d e 8 c r i p t i o n o fo t l rm e t h o d sa n dr e s u l t sd e t a i n e di nt h i st h e s i si nt h ef i r 或c h a p t e r a n d w e 露v e 乞h e c o n c l u s i 0 璐w h i c hh a v eb e e no b t a i n e di ns o m ep a p e 瑙 i nt h es e c o n dc h 印t e r ，o l l rm 出p l l r p o s ei 8t os t u d yt h en 眦b e ro f h e 慨tc y e k f o rs o m en o n - s m o o t hl i 6 n a r ds y s t e m s b a l s e do nt h et h e o r e m sw h i c h 龇ep r 0 、r e di n 【l 】，w e s t u d yf l l r t h e rf o rt h ep r o b l e m s t h ea u t h o r 8i n 【1 】p r o v e dt h a tf o r 乱= l ，2o r3 昭8 t e m 圣= 一r ( z ，o ) ，雪= 一9 ( z ) ，r 镪p e c 七毗l yh 弱h o p fc y c l i c i t yl ，3 ，5a t 乞h eo r i 舀n i i lt l l i 8p a p e rw e 矗r s t 舀v eaf o r n i u l af o rc o m p u t i n g 最，i = 7 ，8 ，9 ，1 0 ，a 丑dt h e na p p l y t h e o r e m s 2 1 二2 1 4t os t u d yt h eh o p f b i f i l r c a t i o n0 f 8 0 m en o n s m 0 0 t hl 话n 射ds y s t e 瑚 i np 毗i c u l a r ，w ef 0 1 1 n dt h e r e s l l l to f h o p f c y c l i c i t yf o r s y s t e m 圣= 3 一r ( z ，o ) ， 雪= 一9 ( z ) ，i nt h ec a s en = 3 i s 脚s e t h ec 0 盯e c tr e 8 l l l ti sh 0 p fc y c h d t y4 w _ ed i 8 c u 8 s8 y s t e m 圣= 暑，一r ( z ，口) ，雪= 一9 ( z ) ，h a sh o p fc y c l i c i t y2 n 一2a t t h eo r i g i ni f 坛0f o rn = 3 ，4a n d5r 笛p e c t i v e l y t l l i 8i so u ri n l p o r t a n tr e s u l ti nt h e p a l p e r k e yw 0 r d s ： l i 6 n a r ds y s t e m s ，l i m i tc y c be q u a t i o n ，c f t l n c t i o n ，h o p fc y d i c i t _ y n 上海师范大学硬士学位论文学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 论文作者签铴骆日期：潮d 年 月f 日 4 1 论文使用授权声明 上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 论文作者签苞璐日期：协年 伽f 日 4 2 导师签名日期：年月 日 上海师范大学硕士学位论文 第一章引言 近几年，对于l i 6 n a r d 系统 第一章引言 童十，( z ) 圣+ 9 ( z ) = 0 的极限环干扰问题已做了大量的研究，在文献【1 3 】，【1 2 】【3 0 】等有所涉及以上的系统相 当于一个平面系统 圣= 耖， 雪= 一9 ( z ) 一，( z ) 可( 1 1 ) 在文献f 8 】中，研究了一些受到干扰的多项式l i 6 n 2 l r d 系统的极限环个数问题，并且给出 了新的结论，知道了这些系统存在的极限环的最大个数的下界在文章中，考虑了如下 形式的一个系统 圣= y ， ( 1 2 ) 痧= 一( 护+ 磁一z ) 一e ，( z ，6 ) 秒， 在这里6 o ，( z ，回= 啦+ 1 ，6 = ( n l ，0 2 ，a n + 1 ) ，几2 ，而且e 0 非常的小 i = 0 令日( n ，3 ) 记作平面上系统( 1 2 ) 的极限环的最大个数，则我们有 日( 2 ，3 ) 2 ，日( 3 ，3 ) 2 ，日( 4 ，3 ) 4 ，日( 5 ，3 ) 4 ， 日( 6 ，3 ) 6 ，日( 7 ，3 ) 6 ，日( 8 ，3 ) 26 ，日( 9 ，3 ) 8 进步，在h a n 【l7 】和d u m o r t i e r 和l i 【1 3 】中分别证明了日( 2 ，3 ) 4 以及日( 2 ，3 ) 5 ，并且在s h a n g 和h a n 【1 6 】中证明了日( 4 ，3 ) 5 在文献 8 】中，主要研究了n = 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 几种情况下极限环的个数问题 首先，考虑以下的解析系统 圣= 吼+ 印 ，3 ，d ，雪= 一凰+ 口( z ，秒，6 ) ( 1 3 ) 在这里日( 。，可) ，p ( z ，3 ，e ，6 ) 以及g ( z ，y ，e ，万) 都是解析函数，s o 很小，并且万dc 尼n 是个垂直向量，d 是一个紧集当e = o 的时候，系统( 1 3 ) 变成了一个哈密顿系 1 第一章引言上海师范大学硬士学位论文 统 圣= 凰，雷= 凰( 1 4 ) 因此我们称( 11 3 ) 为近哈密顿系统 假定日( z ，秒) = o 定义了个双重同宿环l = lu 二2 它包含了两个同宿环厶= l l z o 和厶= l i 霉o ，并且有一个双曲鞍点不失一般性，令鞍点就在原点，且 日( z ，y ) = a z 3 + 咏矿，a o ( 1 5 ) 纠0 2 3 或看 脚川= 耖棚+ ；毛耐灿。 ( 1 6 ) 令l ( ) 是在 o 时，由日( z ，y ) = 九定义的系统( 1 4 ) 的周期轨，厶( ) 是在危( q l ，o ) 时，由日( z ，可) = 在区域( 一1 ) z o ， = 1 ，2 上定义的系统( 1 4 ) 的周期轨因此我们 有以下三个m e l n i k o v 函数 m ( ，占) = 口如一p 咖i 。卸，7 l o ， ，l ( ) a 磊( 危，6 ) = 口d z p d l 。卸，危( 啦，o ) ，t = l ，2 ，厶协) 从【2 8 】中，我们可以得知 定理1 1 假定日( $ ，! ，) 有仃5 j 或以纠的形式令 那么 p ( 训，o ，6 ) = 矿， t + ，2 0 g ( z ，y ，o ，万) = 屹z 矿 1 + j o m ( ，6 ) = c o + 2 c l f n i i + ( 而+ d ( c 1 ) ) 危+ 2 ( 西+ p ( c 1 ) ) 危2 m i i + o ( 2 ) ，o 危1 ， 当0 0 ， 尼渊( 驴s 那么系统p 矽对于在( o ，品) 附近的( g ，6 ) ，在工的附近有5 个极限环 例如果存在如d 使得 c 0 1 ( 品) = c d 2 ( 晶) = c 1 ( 晶) = c 2 l ( 晶) = c 2 2 ( 南) = o ，西( 如) 0 ， 并且 啪七措c 栌5 ， 那么系统p 剀对于在( o ，晶) 附近的( ，6 ) ，在l 的附近有7 个极限环 进一步，令当1 7 l _ 啦+ 时厶( ) 的极限是一个初等中心0 = 1 ，2 ) 那么通过【5 | ，我们 第一章引言 上海师范大学硬士学位论文 得到 尬( ，6 ) = 酚l ( 6 ) ( 危一啦) + 1 ，o 一q i 1 ，i = 1 ，2 ( 1 8 ) j o 然后，根据【2 l 】，定理1 2 可以概括成以下叙述 定理1 3 令仃砂和以矽成立，假定存在晶d 并且七l 0 ，2 0 使得 幻i ( 如) = o ，歹= o ，觑一1 ，6 ，t ( 如) o ，i = 1 ，2 御在以下情况中 c o l ( 岛) = c 0 2 ( 品) = 0 ，c l ( 晶) 0 ， 僦盟靠等等鲁掣( 南) 呐+ 如+ 2 我们有： 一砂如果巩。，l ( 晶) c l ( 南) o ，那么系统以矽对在( o ，南) 附近的 ( s ，6 ) 存在七1 + 乜+ 2 个极限环j 一砂如果k 。，1 ( 南) 玩。，2 ( 晶) o ， ，。n 七亟堡生二- 鱼蒿高等象j 壬警菱芋删( 而) = 忌t + 扬+ 3 ， 我们有： 似j 夕如果，l ( 南) 面l ( 品) o ，那么系统以纠对在( o ，晶) 附近的 ( e ，6 ) 存在后l + 乜+ 7 个极限环i 4 上海师范大学硕士学位论文第一章引言 似砂如果k “( 南) ，2 ( 晶) o ，那么系统以矽对在( o ，晶) 附近的( ，6 ) 存在七l + 也+ 6 个极限环 一训在以下情况中 c o l ( 品) = c d 2 ( 晶) = c l ( 品) = 吻1 ( 如) = 勃( 晶) = o ，西( 晶) 0 ， r 。n 尼皇鱼坠二二塾生茜若害素i 竞警i 等薏詈l 鱼删( 岛) = 七- + 如+ 5 ， 我们有： 似砂如果k 。，l ( 南) 西( 南) o ，那么系统以砂对在( 0 ，南) 附近的 ( ，回存在后l + 乜+ 9 个极限环j 似i 矽如果巩。，l ( 品) 玩。，2 ( 而) o ，c o l ( 如) ，2 ( 南) o ，那么系统p 剀有b + 如+ 4 个极限环 第一章引言上海师范大学硕士学位论文 基于以上定理的成立，在文献f 8 】中，主要有以下结论的成立： 定理1 5 【8 】对于系统以剀我们有 日( 3 ，3 ) 5 ，日( 4 ，3 ) 6 ，日( 5 ，3 ) 之7 ， 日( 6 ，3 ) 8 ，日( 7 ，3 ) 8 ，日( 8 ，3 ) 9 ， 换言之，当n = 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 时， 日( 3 ) 【半】 对于多项式l i 6 n a r d 系统的极限环个数的存在问题，在文献【1 1 】中也有过较为详细 考虑系统圣= 凰， 痧= 一月 定义厶是通过原点由日( z ，秒) = 0 给定的系统士= 岛，1 7 = 一三l 的同宿轨 定理1 6 【1 1 】考虑如下系统 圣= y ，痧= z 2 ( 1 一z ) 一e ( 咖+ 0 1 z + 0 2 孑+ 幻矿+ 口4 2 4 + 0 5 矿) ! ， ( 1 9 ) 例如果口5 o ，那么系统以砂对于一些( ，o o ，n 1 ，口2 ，n 3 ，口4 ) ，在轨附近有6 个极 例如果奶= o ，口4 o ，那么系统p 砂对于一些( s ，知，n 1 ，g 2 ，锄) ，在轨附近有5 例如果奶= 毗= o ，眈+ 口3 o ，那么系统n 砂对于一些( ，知，0 1 ) ，在l o 轨附近有 耋二二：1 一z ：，一。口。+ 0 2 z + 口3 2 2 ， 上海师范大学硕士学位论文第一章引言 在文献【1 0 】中我们已经证明得到当h 很小的时候，如果a l ，口2 ，口3 是有关于e 的解析函 ；三二，一6 z 一一，一e y 。，十眈z + 。z 。， 在文献【1 0 】中，考虑了如下的l i 6 n a r d 系统 ；二：。一6 z z 。，一q 5 。z ，暑， 在这里，醌( z ，暑，) = 一暑( o l + n 2 z + 0 3 2 2 + 毗护+ 口5 一) 此外，对于不连续的平面系统的h o p f 扰动问题也有了大量的研究，在文献【3 1 1 ，f l 】，【5 】 别是f f 型，f p 型以及p p 型在文献【9 】中，主要研究了不连续的平面系统的h o p f 扰 = ，( z ，可) ，痧= 9 ( z ，可) ，。o ( 1 1 0 ) c，cz，可，9cz，y，=：二二：二：；：三二：二：；：二三兰： 并且，士和矿在r 2 都是连续函数在文献【9 】中，假定，士和9 士都是c o o 函数，那么 以及 毒= ，+ ( z ，3 ，) ，痧= 夕+ ( 。，耖) 圣= ，一( z ，3 ，) ，妒= 夕一( z ，暑，) 7 第一章引言上海师范大学硕士学位论文 在文献【1 ，5 】中，详细研究了焦点附近干扰之下系统( 1 1 0 ) 的极限环的h o p f 扰动 会存在极限环文献【9 】中，假定系统( 1 1 0 ) 在原点处有一个初等焦点，考虑如下受干扰 毒= ，( z ，可) + p ( z ，e ) ， 雪= 9 ( z ，耖) + q ( z ，孝) ，( 1 1 1 ) c p c z ，e ，g c 。，毋，= 芝；：三三；：二三兰： 这种情况之下，无论焦点的位置还是焦点的类型在干扰之下都会改变，并且系统( 1 1 1 ) 在原点附近行为也会有各种不同的情况发生不同于在文献【3 1 ，2 4 】中对连续系统的研 ( 亳，劝： 对+ n + z + 对玑培+ 6 + 2 + 磅们 o ( 1 1 2 ) l ( 酊+ o f 霉+ 呀y ，蛞+ 酊2 + 酝暑) ，z o 错c o ，惦( 二身痧。 ，士( z ，暑，) + = o ，夕士( z ，3 ，) 十手一o ( 1 1 4 ) 上海师范大学硕士学位论文第一章引言 有解 (z士(手，砖)，y士(手，砖)=量二兰至皇兰二；i耋譬主芊jii铲+。(1e手，手12)(115) 在f = 妒l ( ) 成立的条件下，由( 1 1 5 ) 我们有 z2 ( q 一) 2 + 一) 2 z + = ( 一等：+ 肛i ) + d ( 晦瓶 ( 口+ ) 2 + + ) 2 ( 一a + + p + e 亨) + o ( i e ，砖1 2 ) ( 1 1 6 ) 为了分析( 1 1 1 ) 在f = 妒1 ( ) 条件下的特征，我们假定 。苦+ 等 o 和c 函数 纵啪= 缸+ 0 ( 卅m ：- ) = 争+ d ( 卅) ， 妒s ( e ) = 筹对+ d ( 蚓2 ) ，驴( ：，亨) = 参豸+ d ( 皑e 扪 使得当i l + i 若i e o 时，如果满足o e f 一妒l ) 1 以及 s 协( ) ，妒2 ( e ：- ) i 驴( ， ) 那么系统以砂在原点附近有两个极限环 定理1 8 【9 】令以j 砂在原点处有一个初等焦点，并且是顺时针方向 例如果焦点是一阶的f p 型焦点，且有口+ = 打号毒铲( o ，o ) 0 和c 。o 函数 妒l ( ) 方( o ，o ) 对+ d ( 时1 2 ) ， 忱( g ：- ) = q + + o ( 旧 1 2 ) 使得当i g i + i 孝i 印时，如果满足o 妒l ( ) 一s f 1 以及砉 妒2 g ) ， 那么系统以j 砂在原点附近有一个极限环 9 第一章引言上海师范大学硕士学位论文 例如果焦点是二阶的尸p 型焦点，且有坞 o 和一个 c 函数 川啪= 黜“。啦扦) ， 使得当i e i + i e 手l 印时，如果满足o o ， z o 很小时，如果 o f 一筹寸l ，筹e + i 。， 。，筹+ 笋 0 ， 卜切、一。， 1 一蚜可 。 o ， lf 一扣，口) ， z o ， l 夕一( z ) ， z o 这里，f 士和产都是伊。函数且满足 f 士( o ，o ) = o ，p ( o ) = o ，夕士( o ) = o ，( 9 士) ( o ) = 9 产 o ， 矿( o ) = 娜 o ，( 砖( o ，0 0 ) ) 2 一锄9 产 o 很小时，t h ep o i n c a r 6r e 乞啪m 印s 胪( s ) 在文献【7 】中被定义在个一般的不 连续系统的原点的邻域上，并且个后继函数d 按照以下方式被介绍 定义2 1 1 【7 】如果存在一个七1 使得当s o 很接近于。时，满足 d ( s ) = 危一( + ( s ) ) 一s = k s 七+ d ( s 七+ 1 ) ，k o ( 丰) 那么坛被称作七阶l i 印u n o v 常量或者焦点值如果七 1 ，原点被称作七阶细焦点或 者弱焦点 对于连续的微分方程，我们已知当满足圪0 时，后( 如果它是存在的) 的取值是一个 奇数，但是对于不连续的微分方程，七的取值不一定是一个奇数参见文献【c o l le t “，2 0 0 1 ，p 6 7 4 】 对于一阶的l i 印u n o v 常量，我们有以下定理 】2 圭鲞塑整盔堂堡堂垡遨 一筻三童不蓬续的_ l i 6 n a r d 系统极限环的个数 定理2 1 1 ( c f 【k u i l z e2 0 0 0 】) 令f ，7 式成立，并且 萨= 唧而篙鹣 那么一阶的二t 印u n d u 常量就是 = 可+ 可一一1 因此，当且仅当矿t ，一= 1 ，或者 6 + + m +6 一+ 竹l 一 丁雨乏萧艿面两+ 丁雨乏嘉雨萄罚= 0 。 成立时，原点是系统 的一个细焦点或者弱焦点 圣= ，( z ，可) ，痧= 9 ( z ，s ，) 对等的公式。可参见文献【c o ue t 甜，2 0 0 l ；g 嬲u u 和t o r r e g r 0 8 a ，2 0 0 3 ；k u n z e ，2 0 0 0 】 在( 1 0 ne t 砒，1 9 9 9 j 中，作者还考虑了两类具有如下形式的一般的l i 6 n a r d 系统的中心 t 舢亏二：_ 3 叫婶i ：三：i 亏二l ：_ 3 一挂：鼍：l = = 二州飞l 蓦 在这里，士o ) 。至砖在情况( a ) 中已经得到l i a p 唧【0 v 常量k 与对一吒或者 砖+ 啄成比例在情况( b ) 中计算k 的般方法也已经给出可是，在这种情况之下， 在【1 】中，当s o 时，不连续系统的后继函数的定义如下 i - ( 矿( s ) l d ( s ) = o ， l l + ( 一( s ) 一s ， f o r s o ， f o rs = o 一s f o rs 0 1 3 第二章不连续的l i 缸a r d 系统极限环的个数上海师范大学硕士学位论文 则函数d ( s ) 被称作后继函数或者位移函数 函数d ( s ) 具有以下性质： 引理2 1 1 【1 】函数d 在s = o 附近有一个正根当且仅当函数d 在s = o 附近有一 个负根 一砂如果当o s 1 时，f ，一式成立，那么当o 0 。 z 0 t 上 0 。 乱0 上海师范大学硕士学位论文 第二章不连续的l i 6 n a r d 系统极限环的个数 令 晶( u ，口) = 争f ( u ，8 ) 一f ( 一u ，。) 】 引理2 1 3 1 】令俾j 矽式和似j 剀式都成立假定当o in oi ，f 在口里是线性的，那么对一切i 口l ，系统仁j j 夕有后个删极限环 g ： 钟冉耐护懈一+ g 扣5 + 一 0 i g i z 2 + g i z 3 + g i z 4 + g i 矿+ ， z o f i 霉+ f i 乎+ f i p + f i 一+ f i 妒+ 。 o ， z + 鳕2 2 ，z o ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 1 7 第二章不连续的l i n a r d 系统极限环的个数上海师范大学硕士学位论文 文献 1 】中作者已经证明了当n = l ，2 ，3 时，系统( 2 1 9 ) 在原点分别有1 ，3 ，5 个h o p f 极限环在本论文中，我们首先给出了计算最，i = 7 ，8 ，9 ，1 0 的公式，然后通过运用定理 2 1 2 - 2 1 4 来研究一些不连续的l i 6 n a r d 系统的h o p f 扰动问题 特别的，我们发现对于系统( 2 1 9 ) n = 3 的情况，h o p f 极限环结果的研究是错误的正确 的h o p f 极限环数应该是4 2 2 主要结果及证明 对于系统( 2 1 1 ) 的一般情况，我们有 定理2 2 1 令( 2 1 7 ) 式和( 2 1 8 ) 式都成立我们进步得到 q 7 = 【( 譬一g i 前一7 g f 口2 q 2 一g 孑( 6 a 2 a 3 + 1 5 q a ；) 一5 g i ( q a 4 十4 q q 2 + 2 q i a ；) 一g 彳( 1 2 位 a 2 瓤+ 6 a q ；+ 4 a 口5 + 1 2 a l q ；q 3 + 晓；) 一3 g ；( 2 q l 口2 q 5 + 2 口l a 3 a 4 + n a 6 + q 2 a ；+ 口；q 4 ) 一g i ( 2 a 2 a 6 + 2 q 3 + a i ) 】( 2 口1 g i ) ， 嘶= 【g 手一g 孑田一8 g 言口；q 2 7 g f ( q 2 口3 + 3 口i 鼋) 一g 言( 6 a i 啦+ 3 0 n a 2 q 3 + 2 0 口 口；) 一5 g i ( q 口5 + 4 口i 口2 0 ，4 + 2 口 口；+ 6 口；a ；a 3 + 口l 口2 ) 一4 町( 3 a ；口3 q 4 + 3 a ；a 2 a 5 + 3 口2 a l a ；+ 口 + 口；q 3 + 3 a ；口1 瓯) 一g i ( 3 q n 7 + 30 f l a i + 6q l q 3 q 5 + 6q 1 a 2 q 6 + 口；+ 6 q 2 吩q 4 + 3n ；) 一2 g i ( a 2 q 7 + 口3 铂+ q 4 q 5 ) 】( 2 a l g ；) ， a 9 = 【- g 南+ 口i o g 而+ 9 口；q 2 g 孑+ 4 ( 7 q 2 口；+ 2 q ；q 3 ) g i + 7 ( 2 q 4 + 5 西口； 1 8 + 6 a i q 3 q 2 ) g 彳+ ( 6 q i 口5 + 1 5 q q ；+ 1 5 q ；口 + 3 0 a q 4 口2 + 6 0 a ；a ；理3 ) g i + ( 5 q 6 a + 3 0 a ；q 2 口；+ 2 0 q l q ；a 3 + 2 0 q 口2 q 5 + 2 0 a ：口3 口4 + 3 0 q ；a ；a 4 + 口；) 簖 + ( 4 q ；瓤+ 4 a ；a l + 4 口7 口；十6 q ；口；+ 6 q ；q i + 1 2 口l a ；q 5 + 1 2 口；a 3 铂 + 1 2 q 6 q ；0 2 + 2 4 a l a 2 q 4 q 3 ) g i + 3 ( a ；a 4 + 口；a 6 十q ；a 8 + a 2 q i + 2 口1 口2 口7 + 2 q 1 q 4 q 5 + 2 q l 口3 舭+ 2 q 2 a 3 q 5 ) g i + ( 2 q 3 口7 + 2 锄a 6 + 2 q 2 a 8 + 口；) g i 】( 一2 q l g i ) ， 口l o = 【一g 矗+ a ：1 g 矗+ 1 0 & ：口2 g 而+ 9 ( q 3 + 4 q ；q ；) g i + 8 ( 乜；口4 + 7 a i a ； 以及 + 融：q 2 q 3 ) g i + 7 ( q ：q 5 + 5 口 a ；+ 3 a i a ；+ 1 5 q ：q 3 a ；+ 6 q a 4 口2 ) g 亨 + 6 ( q i 口l + q 6 口 + 5 乜：q 3 q 4 + 1 0 a ；口；乜3 + l o q a ；口2 + l o q ；q ；q 4 + 5 n 口5 a 2 ) g i + 5 ( q ；a 3 + 口7 口 + 2 a ；n + 2 q i + 6 q l q ；q ；+ 6 q a 5 + 4 a q 3 口5 + 4 口l q 2 3 口4 + 4 q 6 口；a 2 + 1 2 a ；口2 a 4 蚴) g 言+ 4 ( q ；a 2 + 口；口5 + q 8 a + 3 q 7 a ：口2 + 3 口；q 3 + 3 q 6 q l 口；+ 3 口；啦哪+ 3 q l a 2 口：+ 3 q l a 4 + 3 q 啦口5 + 6 口l 口2 口3 q 5 ) g i + 3 ( q l + 钧+ 遥q 7 + q ；q 5 + 口；q 9 + 2 q 2 毗q 5 + 2 q 1 眈口8 + 2 1 q 3 口7 + 2 口l q 4 q 6 + 2 q 2 口3 嘶) 笛+ 2 ( q 4 口7 + 口5 + q 3 q 8 + 口2 q 9 ) g i 】( 一2 n l g i ) 岛( o ) = 口7 耳+ 2 ( 口l 嘶+ 嘞q 5 + q 3 0 f 4 ) 巧+ 3 ( 口；铂+ 2 口1 q 2 口4 + 口l 口；+ q ；a 3 ) 巧 + 4 ( a q 4 + 3 a ；q 2 q 3 + n 1 鹂) 巧+ 5 ( 口+ 2 q 瀚) 石+ 6 口 口2 耳+ q i 耳 玩( 口) = 口8 耳+ ( 2 q l 口7 + 2 口2 铂+ 2 a 3 q 5 + ) 巧+ 3 ( n a 6 + 2 q l 口2 口5 + 2 a l a 3 q 4 + q ；毗+ 0 2 ) f f + ( 4 n i 口5 + 1 2 q ；n 2 吼+ 6 q q ；+ 1 2 a ；q l a 3 + ) 巧 + 5 ( 口 q 4 + 4 n q 2 + 2 口；q ；) 耳+ 3 ( 2 a i 口3 + 5 a q ；) 露+ 7 ( 适q 2 耳 + 口2 巧一对， 岛( 口) = n 9 耳+ 2 ( 0 f 2 口7 + q 4 q 5 + a l 口8 + q 3 蛳) 巧+ ( 3 a ；a 5 + 3 a 1 q i + 3 口；q 7 | + 6 口i0 2 n 6 + 6 口lq 3 q 5 + 6 q 2 q 3 q 4 + 仅；) 巧+ 4 ( 口；n 3 + 伽a + 3 口 口2 a 5 + 3 口l q 2 口；+ 3 口l q ；啦+ 3 q ；锄口4 ) 巧+ 5 ( 口；口1 + 口：+ 2 q 口；+ 4 q ；q 2 及4 + 6 口；q ；q 3 ) 耳+ ( 2 0 口 q ；+ 6 a 瓯+ 3 0 q 0 3 q 2 ) 耳+ 7 ( a ：q 3 + 3 0 i q ；) 耳 + 8 口j 口2 耳+ q 冒一对， 1 9 第二章不连续的l i 缸a r d 系统极限环的个数 上海师范大学硬士学位论文 b 1 0 ( 口) = 口l o 玎+ ( 2 口3 口7 + 2 口l a 9 + 2 口4 q 6 + 2 q 2 q 8 + a ；) 巧+ 3 ( 口；口8 + a ；a 4 + n 2 口i 证明令 那么 + a ；+ 2 口l a 4 q 5 + 2 q 2 q 3 q 5 + 2 q l a 2 a 7 + 2 a l a 3 a 6 ) 巧+ ( 4 a 7 口 + 4 q ；a 4 + 6 q ；q ；+ 4 q l q ；十6 0 ；口i + 1 2 q ；q 3 口5 + 1 2 n 6 口；a 2 + 1 2 a l a ；a 5 + 2 4 口1 q 2 a 3 q 4 ) 巧+ ( 5 a 6 a + 2 0 q ；q 3 q 4 + 2 0 口l a 2 q 3 + 3 0 q a ；a 4 + 2 0 q n 2 口5 + 3 0 a a 2 口；+ q i ) 百+ 3 ( 5 口；q ；+ 5 q ；q ；+ 2 q ；q 5 + 1 0 理 口4 口2 + 2 0 q i 口；乜3 ) 露+ 7 ( 5 n 口；+ q 2 q 4 + 6 q i q 3 a 2 ) - 芒彳+ ( 8 q ；a 3 + 2 8 q 2 n ；) 巧 + 9 a a 2 冒+ q o 民一磁 口( z ) = & l z + a 2 2 2 + q 3 护+ a 4 + a 5 护+ ，z 口 ) o g ( 口( z ) ) = g i ( a ( z ) ) 2 + g ；( o ( z ) ) 3 + g i ( 口( z ) ) 4 + g 言( 口( z ) ) 5 + g 孑( 口( z ) ) 6 + g 彳( 口 ) ) 7 + g i ( a ( 动) 8 + ， = g i ( a l z + q 2 矿+ 3 2 3 + q 4 2 4 + q 5 + ) 2 + g ；( q 1 z + 眈护+ 蚴z 3 + q 4 一+ q 5 护+ ) 3 + 簖 l z + q 2 。2 + 钧护+ 毗+ q 5 矿+ ) 4 + 簖( a l z + q 2 2 2 + a 3 护+ m 一+ q 5 矿+ ) 5 + g 言( n l z + q 2 2 2 + a 3 护 + q 4 一+ q 5 矿+ ) 6 + g 彳( q l z + 口2 2 + a 3 护+ q 4 + a 5 2 5 + ) 7 + g i ( q l z + a 2 石2 + a 3 2 3 + 毗+ q 5 矿+ ) 8 + ， g ( z ) = g 砉z 2 + 甜z 3 + g z 4 + 甜z 5 + g 手z 6 + g 尹。7 + g 言z 8 + 注意到g ( q ) ) = g ( z ) 比较式子两边。8 的系数，我们得到 g = g i ( 2 口1 0 7 + 2 0 2 + 2 口3 n 5 + a i ) + g i ( 6 q 1 啦n 5 + 6 n 1 q 3 口4 + 3 q q 6 + 3 q 2 q ； 2 0 + 3 q ；q 4 ) + g i ( 1 2 q ；q 2 吼+ 6 口；o ；+ 4 q 口5 十1 2 口l a ；铂+ q 1 ) + g 彳( 5 q q 4 + 2 0 q q 2 口3 + 1 0 a 0 2 ) + g i ( 6 q i q 3 + 1 5 口 q ；) + 7 g 亨q 2 口2 + 筇口 上海师范大学硕士学位论文 第二章不连续的l i 白a r d 系统极限环的个数 所以 q 7 = 【g 营一g i q 一7 g 亨口2 a 2 一g i ( 6 q i q 3 + 1 5 q ：a ；) 一g ( 5 口：q 4 + 2 0 q q 2 的 + 1 0 口 q ；) 一何( 1 2 q q 2 瓯+ 6 口 q ；+ 4 a 乜5 + 1 2 q l q 4 + a ：) 一g i ( 6 q l q 2 a 5 + 6 q 1 口3 q 4 + 3 q ；q 6 + 3 q 2 a ；+ 3 q ；q 4 ) 一g i ( 2 口2 口6 + 2 口3 口5 + q i ) 】( 2 q l g i ) = g 手一g i a ：一7 g 彳a 2 口2 3 g 孑( 2 q i q 3 + 5 q ：q ；) 一5 筇( a 口4 + 4 a ；a 2 乜3 + 2 q ；a i ) 一g i ( 1 2 q q 2 0 q + 6 瘦：口；+ 4 口 q 5 + 1 2 a l 及；q 4 + a ；) 一3 g i ( 2 a l q 2 q 5 十2 口l a 3 钒+ q a 6 + 口2 口；+ 舭) 一g i ( 2 口2 q 6 + 2 口3 口5 + a ：) 】( 2 口1 g i ) 比较式子两边z 9 的系数，我们可以得到 所以 g 营= 2 g i ( q 1 a 8 + q 2 q 7 + 口3 a 6 十口4 口5 ) + g ；( 3 口；a 7 + 3 口l + 6 q l n 3 + 6 n l 口2 口6 + a ；+ 6q 2 q 3 呶+ 3 a ；q 5 ) + ( 嚣( 1 2 a ；口3 0 ，4 + 1 2 a ；口2 q 5 + 1 2q ，2 a 1 q 3 2 + 4 a ；a 6 + 4 口；o ，3 + 1 2 q ；q l q 4 ) + 5 g i ( q 毗+ 4 口i q 2 坝+ 2 位；霹+ 6 a ；口；+ 乜l 口；) + g i ( 6 a i o ，4 + 3 0 a 口2 口3 + 2 0 a i a 2 ) + g ( 7 q 2 口3 + 2 1 q q ；) + 8 筇a i q 2 + 筇口 口8 = f g 营一何a 一8 g i 口；口2 一g f ( 7 口2 钧+ 2 1 q q ；) 一g 孑( 6 a i a 4 + 3 0 q ；q 2 q 3 + 2 0 q ；a 2 ) 一5 g i ( q a 5 + 4 a a 2 q 4 + 2 0 ；a ；+ 6 n q ；q 3 + 口l a ；) 一g i ( 1 2 a ；q 3 q 4 + 1 2 q ；q 2 + 1 2 口2 口1 口3 2 + 4 q ；口6 + 4 q ；q 3 + 1 2 n ；q l 血4 ) 一g ；( 3 a ；q 7 + 3 口l n i + 6 口l q 3 q 5 + 6 q l a 2 q 6 + + 6 q 2 锄a 4 + 3 q ；口5 ) 一2 g i ( a 2 q 7 + a 3 q 6 + o f 4 n 5 ) 】( 2 口l g i ) ， 2 1 第二章不连续的l i 白a r d 系统极限环的个数上海师范大学硕士学位论文 = 【g 手一g 畜口：一8 g i q j 口2 7 g 彳( 口2 a 3 + 3 口i q ；) 一2 g 言( 3 口i n 4 + 1 5 n