（计算数学专业论文）非标准有限元方法.pdf

2 0 0 1 年中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文幼v页 摘要 间 断g a l e r k i n 有限 元方法， 给出 该方法在矩形及无结构三角形网格上的多 种实际应用结果， 应用范围包括气动力学， 水动力学， 声波传播以及交通流 等各个领域，进一步丰富了该方法的实际模拟结果. 关祖词:非标元 方 燕适 应 t v d r u n g e - i : u t t a 间 断g a le r k in 有 限 元 方法 ， 对 偶 间 题 ， l - ( l 2 ) 模 ， 误 差 估 丫无 结 构 网 格 ， e u l e r 方 程 了 浅 水 波 方 程 丫 女通 流 间 题、 ab s t r a c t a m o n g a l l k i n d s o f n u m e r i c a l m e t h o d s e s t a b l i s h e d s o f a r , fi n i t e e l e m e n t m e t h o d s h a v e f a r - r e a c h i n g e ff e c t s n o t o n l y i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s b u t a l s o i n t h e o r e t i c a n a l y s e s . ma n y a r t i c l e s a n d b o o k s w e r e p u b l i s h e d o n t h e s e m e t h - o d s . t h e t r a d i t i o n a l fi n i t e e l e m e n t m e t h o d h a s m a n y a d v a n t a g e s , e .g . s i m - p l i c i t y i n a p p l i c a t i o n s , g e n e r a l i t y a n d fi r m m a t h e m a t i c a l b a s i s . h o w e v e r , a s w e k n o w n , i t c a n n o t m e e t t h e e v e r - g r o w i n g n e e d s o f n u m e r i c a l s i m u l a t i o n t o p r a c t i c a l p r o b l e m s . t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f m a n y p r a c t i c a l p r o b l e m s e .g . p r o b l e ms i n m e t e o r o l o g y , o c e a n o g r a p h y , o i l r e c o v e r y s i m u l a t i o n , h y d r a u l i c , e l e c t r o- m a g n e t i s m a n d w e a t h e r - f o r e c a s t i n g , e x i s t s t r o n g g r a d i e n t s , b i g d e f o r - m a t i o n s a n d k i n d s o f d i s c o n t i n u i t i e s . s o m a n y r e s e a r c h e r s p a y t h e i r a t t e n t i o n t o h o w t o d e v i s e n u m e r i c a l m e t h o d s c h a r a c t i z e d b y s t a b i l i t y , e ff i c i e n c y , h i g h a c c u r a c y a n d h i g h r e s o l u t io n . t h e n a l a r g e v a r i e t y o f h i g h r e s o l u t i o n n u m e r i - c a l m e t h o d s a p p e a r e d l i k e b a m b o o s h o o t s a f t e r a s p r i n g r a i n . i n w h i c h t h e fi - n i t e e l e me n t m e t h o d d e v e l o p e d q u i c k l y t o o . ma n y n o n s t a n d a r d fi n i t e e l e m e n t m e t h o d s w e r e p r o p o s e d , s u c h a s s p a c e - t i m e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d , r e f o r m i n g - g r i d fi n i t e e l e m e n t m e t h o d , m o v i n g fi n i t e e l e m e n t m e t h o d a n d d i s c o n t i n u o u s fi n i t e e l e me n t m e t h o d e t c .me a n t i m e , m a n y k i n d s o f d i s c r e t e f o r m s w e r e p r o p o s e d f o r e v e r y m e t h o d , e .g . b a s s i - r e b a y m e t h o d , i n n e r p e n a l t y m e t h o d , s t r e a ml i n e d i ff u s i o n me t h o d , c h a r a c t e r i s t i c s t r e a ml i n e d i ff u s i o n m e t h o d a n d r u n g e - k u t t a d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n n o n s t a n d a r d fi n i t e e l e m e n t m e t h o d a n d s o o n . t h e p r e s e n t p a p e r i s c o n c e r n e d w i t h t w o k i n d s o f n o n s t a n d a r d fi n i t e e l e m e n t m e t h o d s . o n e i s t h e a d a p t i v e s p a c e - t i m e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d d i s c o n t i n u o u s i n t i m e b u t c o n t i n u o u s i n s p a c e , b a s e d o n t h e r e c e n t w o r k o f h u g h e s a n d j o h n s o n . t h i s m e t h o d c a r r i e s o n t h e a d v a n t a n g e s o f c o n v e n t i a l fi n i t e e l e m e n t m e t h o d b y u n i f y i n g t h e s p a c e v a r i a b le s a n d t i m e v a r i a b l e s . a n d t h e o t h e r i s t h e t v d r u n g e - k u t t a d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n m e t h o d i n - t r o d u c e d b y b . c o c k b u r n a n d c h i- wa n g s h u s i n c e 1 9 9 0 s , w h i c h i n c o r p o r a t e d i m p o r t a n t i d e as o f h i g h r e s o l u t io n fi n i t e d i ff e r e n c e a n d fi n i t e v o l u m e m e t h o d s s u c h as m o n o t o n e fl u x e s o r a p p r o x i ma t e r i e m a n n s o l v e r s , h i g h o r d e r t v d r u n g e - k u t t a t i m e d i s c r e t i z a t io n s , a n d n o n l i n e a r l i mit e r s f o r d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e s o l u t i o n s , i n t o t h e f r a me w o r k o f d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n me t h o d s . i t i s vi 2 0 0 1 年 ab s t r a c t 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文娜 v i i 页 a h i g h r e s o l u t i o n fi n i t e e l e m e n t m e t h o d w i t h f o r ma l l y h i g h o r d e r a c c u r a c y . f o r a d a p t i v e s p a c e - t i m e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d , w e g i v e t h e o r e t i c a l e r r o r e s t i m a t e s o n l i n e a r , s e m i - l i n e a r a n d n o n l i n e a r p a r a b o l i c p r o b l e ms b a s e d o n t h e w o r k o f h u g h e s a n d j o h n s o n . f o r l i n e a r a n d n o n l i n e a r p r o b l e m s , w e a p - p l y d u a l i t y a r g u m e n t s a n d g a l e r k i n o r t h o g o n a l i t i e s i n t h e p r o o f o f t h e 一 e r r o r e s t i ma t e s o n l _ n o r m i n t i m e a n d l 2 - n o r m i n s p a c e , n a me l y t h e l - ( l 2 ) - n o r m. i n t h e m e a n w h i l e , w e d e fi n e a n e w m e s h - d e p e n d e n t n o r m t o g i v e t h e e r r o r e s t i m a t e f o r p r o b l e ms w i t h n o n l i n e a r c o n v e c t i o n c o e ff i c i e n t w h i c h e n r i c h e d t h e r e s u l t s o f t h e t h e o r e t i c a n a l y s e s . a n d f o r t h e s e mi - l i n e a r e q u a - t i o n s , t h e t e c h n i q u e o f t h e c o m b i n a t i o n o f t h e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d a n d fi n i t e d i ff e r e n c e m e t h o d i s a d o p t e d t o p r o v e t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e n u m e r i c a l s o l u t io n w i t h o u t t h e l i mi t a t i o n o f t h e s p a c e - t i me m e s h e s . a n d t h e e r r o r e s t i m a t e i n l - ( l 2 ) - n o r m i s g i v e n . t h i s t e c h n i q u e r e l a x e s t h e a s s u m p - t i o n s o n t h e me s h s t e p n e e d e d i n t h e a n a l y s e s t h r o u g h t h e s t a b i l i t y r e s u l t s o f d u a l p r o b l e m s . t h e l a s t c h a p t e r o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e fi n i t e e l e - m e n t m e t h o d , d i s c o n t i n u o u s i n s p a c e , i n w h i c h g r e a t e r c o n c e r n i s d i s c u s s i n g t h e t v d r u n g e - k u t t a d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n m e t h o d s . we g i v e n u m e r i c a l a p p l i c a t i o n s o n s t r u c t u r e d r e c t a n g l a r o r u n s t r u c t u r e d t r i a n g l a r m e s h e s . t h e a p p l i c a t io n r a n g e i n v o l v e d g a s d y n a mi c , h y d r a u l i c , w a v e p r o p a g a t i o n a n d t r a f f i c fl o w s w h i c h e n r i c h e d t h e p r a c t i c a l s i m u l a t i o n s o f t h i s m e t h o d . ke y w o r d s : n o n s t a n d a r d fi n i t e e l e m e n t me t h o d , a d a p t i v e s p a c e - t i m e fi n i t e e l e m e n t m e t h o d , t v d r u n g e - k u t t a d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n fi n i t e e le m e n t m e t h o d , d u a l p r o b l e m , l _ ( l 2 卜 n o r m , e r r o r e s t i m a t e s ,u n s t r u c t u r e d m e s h e s , e u l e r e q u a t i o n s , s h a l l o w w a t e r e q u a t i o n s , t r a f f i c fl o w p r o b l e ms 致谢 本文是在刘儒勋教授的悉心指导下完成的， 在这里学习和生活 的 三 年 期间 ， 刘老 师 渊 博的 知 识， 严 谨的 治 学 和 谦 逊 的 为 人 都译 深 影响着我， 他不仅在学业上对我严格要求， 勤加督促， 而且在生活 上给予我无微不至的帮助， 尤其是师母隋老师， 在生活上更是给予 我热情的关怀和细致人微的照顾， 在此向他们致以 最诚挚的谢意. 同时衷心感谢长江计划讲座教授， 美国布朗大学应用数学系主任舒 其望教授对我的热情关怀和细心指导， 感谢我的硕士学位论文指导 老师，内蒙古大学的李德茂教授， 是他的培养和指导使我奠定了独 立科研能力的基础. 我还要感谢师弟王志峰同学给予我学习上的大力帮助， 同时， 也要感谢与我同一研究小组的张梦萍老师， 汪继文老师， 以及其他 同学， 他们也给了我多方面的支持和帮助， 与他们经常的学术讨论 总是让我受益非浅 我还要感谢数学系的科学计算与计算机图形学 实验室， 本文的大量工作都是在该实验室完成的. 另外， 我在数学 系一直得到了系领导和其他各位老师的关心， 在此向他( 她) 们表 示深深的谢意. 最后， 我还要感谢我的父母和家人， 他们 博大而细微的爱是我 不断前进的动力， 尤其要感谢我的 爱人， 是他的支持和鼓励使我能 够顺利完成学业. 在论文完成之际， 谨将此文献给他们， 愿与他们 分享我所有的喜悦和快乐. 、 第一章时空有限元方法概述 1 . 1 方法的提出 传统的有限元方法( f i n it e e l e m e n t m e t h o d ， 简记为f e m ) 是随着计算 机的发展而发展起来的较通用的数值计算方法之一， 它适用于工程力学， 计 算 流体动力学( c o m p u t a t i o n a l f l u i d d y n a m i c s ， 简记为c f d) 等各个领域， 适合求解广泛类型的偏微分方程( 组) . 它是一种区域性的离散化方法， 采用 单 元 分析， 总体合 成， 代 数运算 等基本步骤进行数值 求解， 是r i t z - g a l e r k i n 方法的推广. 其优点在于:1 . 基于初边值问题的弱解变分形式， 可以采用单 元分析方法局部分析有限元解的特征.2 ， 具有一定的灵活性，对所考虑区 域的形状没有什么要求， 易于处理复杂区域形状， 复杂物理性态的问题和任 意边界条件.3 . 具有简单， 通用， 标准化等优点， 求解步骤几乎是统一的， 易 于 编 制 成通 用程 序， 如 结 构 和 固 体 力 学的n a s t r a n、a d i n a和s a p 等.4 . 适于无结构网格剖分上的计算， 这又是优于其他数值方法， 如有限差 分方法的特点之一5 . 对于很多力学和数学物理问题可以得到稳定的数值 格式.6 . 具有牢固的数学理论基础.虽然有限元方法本身具有很多优于其 他数值方法的优点， 但是很多实际问题， 如气象学， 海洋学， 石油勘探，电 磁学， 水动力学，天气预报等、 它们的 数学模型的精确解会出现大梯度， 大 变形， 接触间断等间断现象， 并且在间断处附近解的结构特征复杂， 利用一 般的有限元方法难免出 现非物理震荡现象， 这就有必要发展一种高分辨率， 高精度的数值方法. 为了克服这些困难， 许多学者注意到， 既然有限元空间 离 散 和传统的 有限 差分 方法( f d m : f i n i t e d i ff e n c e m e t h o d ) 相比 ， 具有明 显 的优势， 那么， 把有限元离散推广到时间方向， 在时空两个方向同时发挥有 限 元的 优 势， 是切实可 行 的. 这 就使时空有限 元方 法( s p a c e - t i m e f e m ) 的 提 出 成 为 可 能. 最早 把时 间 和 空间 变 量统 一 起来 进 行 考 虑 是 在1 9 6 9 年!叫 ， 从那时起，时空有限元方法开始发展并得到了 越来越广泛的应用. 时空有限元方法的典型特征: 统一考虑时间 和空间 两个变量， 使其在时间 和空间两个方向能够同时发 挥一般有限元方法的优势. 是高度自 适应算法 1 . 可以在不同的时空片采用不同形式的网格剖分，易于实现高度自 适 2 0 0 1 年中国 科 学 技 术大 学博 士学 位 论 文第2 页 第 一 章 时 空 有 限 元 才 法 概 述 1 . 1 方 达 d oo 丝k 应算法， 的作用. 而自 适应算法在数值求解偏微分方程( 组) 中 发挥着很重要 2 . 具有一定的可靠性， 在计算过程中， 通过无结构时空网格的自 动选 择把离散误差控制在一定范围内，并尽可能减少误差积累. 3 . 具有一定的有效性， 为得到所希望的误差，在计算过程中尽可能实 现几乎最优网格的生成， 并实现尽可能少的自由 度. 数值格式形式多样， 适合于求解多种类型的 偏微分方程， 如对流占优的 偏微 分方程( 组) ， 双曲 守恒 律 组等. 我们以方程 (11l) +。 ， 甲。 一 。 =f i n 0 o n , 0 ) =u o ( x ) i n q x! a n 只1 几. 丝ot咔咖 为例， 具体说明时空有限元方法的理论与应用， 给出多种有限元方法的离散 方案. 其中，,f 1 e r d ，刀的 边界记为0 刀，x =( x t , x 2 , . . . ， x d ) e f 1 ， 时 间区间: i = 0 , 刘， 为小的粘性常数，f和。 。 是给定的函 数. 传统有限元方法 令r * 是空间刀的一种正则剖分，以下同.二为剖分单元， 则一般有限 元方法的离散形式为:求 uei h，使得对v v ev h ，有 人r n at cd x + 五 (hj n ，7 l/ 一 “ u 一 )v d x “ 0 成立，其中试验函数空间 t h = v :二 e h o ( 0 ) , v 1r =p k ( 二 ) 其中 ，p k ( 动表示 单元二 上的 不 超 过k 次的 多项式， 以 下同 . 由 离 散形 式确 定的常微分方程( 组) : 有限元方法一般利用有限差分方法求解. 而这种方法 当 解决时间依赖间题时， 是有一定的局限性的， 特别对容易出 现大梯度， 大 变形等间断现象的间题， 容易产生伪 振荡， 出 现非物理解， 除非对网格实施 无限制的 加密手段， 但这又在实际 计算中 不可行， 时空有限元方法的 提出， 把时间 和空间变t有机结合， 很好地克服了 这些困难， 使得有限元方法的长 处不仅在空间方向 得以体现， 在时间 方向也得以发挥. 中 国 科 学 技 术 大 学博 士 学 位 论 文第3 页 时空有限元方法概述5 1 . 1方法的提出 时空有限元方法 一 般的 时空 有限 元 方 法有两种 基本类型， 一 是 连续时空 有限 元方法( c o n - t i n u o u s s p a c e - t i m e f e m ) ， 即 在时 间 和空 间 两 个 方向 都 是 连 续的 ( 参 看【6 ) ， 另 一 种 是间 断 时空 有限 元 方 法( d i s c o n t i n u o u s s p a c e - t i m e f e m ) ， 包 括 时间 间 断而空间连续的有限元方法， 空间间断而时间 连续的方法以及时空都间断 的 有限元方法. 下面分别给出 连续和时间间断而空间连续( d i s c o n t i n u o u s i n t i m e b u t c o n t i n u o u s i n s p a c e ) 的两种时空有限元方法的离散形式. 1 连续时空有限元方法 对于 方程( 1 . 1 . 1 ) ， 为 给出 其连续时 空 有限 元 方 法的 离 散形式， 令双川) c h o ( 侧 是刀上的 次数不超过p 的 分段连续多项式空间、 进一步， 设时间 离 散点 为0 = t o t 1 t 2 t n r = t， 令s k ( o , 别) 是时间 变量t 的 不 超 过4 次的连续多项式空间， 限元空间 k n 一 。 次 坍 沃 i 风 + 一叼 ， 定 义 时 空 区 域 上 的 有 叭、 =s p ( n ) x s ( o , t i ) 则方程的离散形式为: 求u h k 任 ti l h k ， 使得对v v l v h k ， 有 旦 u h k at， v ) d t + .j 0 ( u h k 0 u h 一 u h “ 一 f , ” ) 一 ”v v e i v h k . ( 1 .1 .2 ) 成 立 ， 其 中( 。 ， 。 ) 表 示 空 间l 2 投 影 ， 即( 。 ， 。 ) 二 f n u v d x . 可以看出， 上式的积分是对时空两个变量同时进行， 即是在时空区域上 积分， 这是和一般的有限元方法的离散不同的， 也体现了在时空有限元方法 中，时空变量的统一与地位的平等. 2 间断时空有限元方法 这里主要给出时间间断而空间连续的时空有限元方法的离散形式， 首先 定 义 时 空 区 域 : q 瞥0 、 ( 0 , 刘， 区 域 边 界 为a q := a n x ( 0 , 别， 离 散 时 间 点 如 前， 此时 离 散 时间 区 间i n : =( t n , t n + l l , 定 义 时 空 片凡: 二0 x ( t n , t n + l ) ， 时 空片的 边界为a 凡: =a ,f l x 以 n , t n + l )， 对每 一时 间 层t o， 仍 令r * 是 空间口的 一种剖分，二 为 剖分单元， 令s h 是时 空片 的一种剖分， 为 剖 2 0 0 1 年 第一幸 中 国科 学 技术 大学 博 士 学 位论 文第4页 时空有限元方法概述 1 .2问断付空有恨元方法 分 单 元 ， 且、 = 二 x ( ， 。 ， 。 + ， ) . q 氛 = 。 具 = u 岩 5 is h， 是 时 空 区 域 的 一 种剖分， 试验函数空间可以取为 v h = 。 。 稀( 凡) d ， v l。 p k ( 二 ) / p ( i n ) , s = t / i e s ;, , 1 。 二 ( t , t + i l , 其中，p k 仍表示k次多项式. v h 一 nv h . 则时间间断时空有限元方法的一般离散格式为: 对任意的。=0 , 1 , 2 ， 一 ， n- 1 ,d v e玲， 求ue玲， 使得 f ni 鲁 + u 二 u 一 u 一 ” + f u v d fln一 0 “ 几 .3 ) 其 中 ， v n 二lim 、 v (to t o + 士 l t ) ， 时 间 跳 跃 项!u ! 一 u n 一 u n 上 式 左 端 最 后一项是l z 投影算子， 它表示不同时间层的数据输运过程，也体现了该方 法在时间方向允许间断的特点. 可以看出， 时间和空间两个方向都连续的时空有限元方法和时间间断， 空间 连续的时空有限元方法主要不同 在于基函 数在时间离散点 处是否连续， 连续时空有限元方法的基函数在时间 和空间两个方向都是连续的， 而间断有 限元方法的基函数在时间离散点是允许出现间断的. 连续的有限元方法容易 达到需要的高精度， 尤其在理论分析中具有一定的优势. 但是， 它导致互相 藕合的代数方程组， 实际计算复杂， 不容易实现， 而间断时空有限元方法， 恰 恰 克 服 连 续 时 空 有限 元 方 法 的 困 难， 使 该 方 法 简 单 易 行 . 这 里 主 要 讨 论时 间间断，空间连续的时空有限元方法. 1 . 2 间断时空有限元方法 为了满足实际问题不断提出的要求， 设计高精度、 高分辨率的数值方法， 更好的捕捉间断， 抑制非物理展荡等现象， 近年来， 提出了很多的有效的高 精度方法， 间断时空有限元方法也得到了迅速的发展， 出现了很多间断时空 有限元方法的方案，这里简单介绍几种方法. 中 国 科 学 技 术 大 学 惊 士 学 位 论 文编5页 时空有限元方法权述 1 . 2问断时空有限元方法 流线扩散方法 流 线 扩散方法( s t r e a m l i n e - d i ff u s i o n m e t h o d ， 简 记为s d m ) ， 是 在一 般 权余g a l e r k i n 方法的基础上， 进行加权最小二乘平方修正， 在流线方向引入 人为粘性，加强了格式的稳定性， 基本上消除了标准 g a l e r k i n 有限元方法 所产生的伪数值振荡. 即它是一种经过流线扩散修正的时间间断的g a l e r k i n 方法. 从力学上讲， 流线扩散方法可视为一种特殊的迎风型有限元方法， 通 过检验函 数的 适当选择， 使人工粘 性主要加在流线( 迎风) 方向 上， 减少了 侧 风 效 应， 提高了 方 法的 分辨 率. 在!2 0 中 对 于 线 性 对流 扩 散间 题引 进了 该 方法， 并在 7 3 中 推广 到了时间 依赖问 题. 仍以 方程( 1 . 1 . 1 ) 为 例，s d m的 弱 形式为: 对n =0 , 1 , 2 , . . . , n一 1 ， 求 1 7 玲， 使得对 任意的。 任 v h ， 有 下式 成立 五 (u t + u v u 一 u 一 )( + “ 一 + u 二 )， + f u v dn “ 一 0 ( 1 . 2 . 1 ) 也就是说， 试验函数由。 变为。 十 8 ( v 十 u 甲的， 它可以 看作是一种p e t r o v - g a l e r k i n 方法， 其中，b 是迎风稳定参数， 它的选择具有间题依赖性， 如果选 取的太大， 就会出现振荡， 反之，就会引入过多的数值耗散，抹平数值解. 大量的数值结果表明:占的最佳选取可以为 c i( 1 , u s u s ， 、 二 川 ma x ( h 一 e i ( 1 ， 二 ， 1 , u r z ， 介 , u r d ) i 0 ) . ( 1 . 2 . 2 ) 其中，。 _-1 .h 是局部网格步长的度量. 特征线流线扩散方法 流线扩散方法虽然对数值解有明显的改善， 但是由于其并不属于单调格 式或保单调格式， 故有时会不可避免地产生一些微小的振荡， 常称之为上溢 或 下 溢( o v e r s h o o t 或u n d e r s h o o t ) . 在s d m方法 的 基础上， 可以引 入激波 捕 捉技术. 以 增加间断或激波附 近的数值耗散， 并在保证精度的同时 节省网 格 生成和数值求解的工作a. 注意在s d m中， 时间离散点处的间断性允许在 不同的 时间层使用不同的剖分网 格， 自 适应技术也可以引进到s d m中 ， 形成 自 适应方法， 如果时空网 格的 剖分沿着特征线方向进行， 就形成了 特征线流 线扩散方法( c h a r a c t e r i s t i c s t r e a m l i n e - d i ff u s i o n m e t h o d , 简记为c s d m ) . 2 0 0 1 年 第一章 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位论 文 时空有限元方法权述 互 1 . 2 编6页 问断时空有限元才法 这 种 方 法的 弱形 式为 : 对n =0 , 1 , 2 , ， n一1 ， 求ue 玲， 使 得 对任 意的 v 任v h ， 有 f ( u , + u v u ) ( v + d ( v t + u v v ) ) d f d t + f n e p u v v d ,fd d t + f n u v n d s ? = 九 。 f ( v + s ( v t + u p v ) d f l d t . vv e v h . ( 1 .2 .3 ) 注意e 是激波浦捉人为扩散项， 粘性系数依赖于余模. e = m a x ( c , c h y ) 其中c 、1 .并且 7 一 ( i u n 一 u - ) j/ k n + ju t + u - v u i) / m a x ju i 特征线流线扩散方法集特征线方法与s d m方法的优点于一身， 并且可 以在时空片内局部的跟踪质点， 所以可以 看做是一种半l a g r a n g i a n 方法. 其他方法 时空谱元方法( s p a c e - t im e s p e c t r a l e l e m e n t m e t h o d ) 是一种高精度的权 余方法， 综合了谱元方法和时空有限元方法的优点， 既具有谱方法的快速收 敛 性 及谱 精确 性， 又 具有有 限 元 方法 处理复杂几何区 域的 灵活 性. 在文【 1 2 2 中， 利用时空谱元方法求解了二阶双曲方程. 时 空 区 域 分解方 法( s p a c e - t im e d o m a i n d e c o m p o s i t io n m e t h o d s ， 简 记 为s t d d m ) 也 是一 种权 余 方法 ， 克服了 一 些初边值问 题中 经常 在激波， 边界 层， 波前， 脉冲附近出 现的震荡现象. 在 3 中 利用该方法求解了标量守恒律 组 ， 仍 利用 了 稳 定 最小 二 乘 或g a le r k i n 方 洲 s t a b il iz e d le a s t - s q u a r e / g a le r k i n m e t h o d) 和时间间断的型函 数. 为求解具有运动边界或界面问题的不稳定有粘可压缩流体间题，如液 滴， 机其， 汽缸 等各种各 样的 实 际间 题， 文4 提出 了 稳定时 空 有限 元方法或 称 为 空间 区 域 形变 方法( d e f o r m a b l e - s p a t i a l- d o m a i n / s t a b il i z e d - s p a c e - t i m e ( d s d / s s t) f o r m u l a t i o n ) ， 其中 运动界面，自 由 面和固 体边界能够通过 边界点的运动自 适应调节， 而其余网格可以按我们的要求自由运动. 这里稳 定 技 巧 仍 然 使 用g a le r k i n / le a s t - s q u a r e 方法， 即 流 线 迎 风 稳 定( s t r e a m l i n e - u p w i n d / p e t r o v - g a l e r k in ( s u p g ) s t a b il i z a t i o n ) 和 压 力 稳 定. 2 0 0 1 年中 国科 学 技 术大 学博 士学 位 论 文 第一章 时空有限元方法棍述 第 7贝 1 . 3简 单算 例 此外还有h p - 型的时空有限元方法，h - v e i s i o n 方法是在1 9 5 0 年开始考 虑的， 它利用固定通近多项式次数， 调整网格步长 h的方法来提高逼近精 度， 而p - v e r s i o n 方法是通过固 定网 格步长， 提高多项式次数来控制误差， h p - v e r s i o n 方法则把上述两种方法相结合， 通过同时改变多项式次数和网 格 步长 来提 高 逼 近 精度， 文 6 2 中 对h , p 以 及h p 型 有限 元方法进行了 讨论， 1 0 1 中 研究了 抛物间 题的h p型的间 断g a l e r k i n 有限元方法， 证明了指数 收敛阶的误差估计. 另 外 ， 时 空 守 恒 元 和 解 元( s p a c e - t i m e c o n s e r v a t i o n e l e m e n t a n d s o l u t i o n e l e m e n t m e t h o d ， 简 记为s e ) 图5 . 流线扩徽方法图6 . 特征线流线扩徽方法 不同的 离散格式具有自己 不同的适用范围， 但总体上我们可以说， 间断 时空有限元方法是稳定， 有效， 应用范围广泛， 形式较为方便灵活， 是具有 巨 大发展潜力的一种数值计算方法. 第二章抛物方程的间断时空有限元方法 这一章讨论时间间断而空间连续的时空有限元方法在解决不同形式的 抛物方程上的应用， 主要对其有限元解进行理论误差分析. 迄今为止， 对时 空 有限 元方法的理论分析涌 现了 大量的 文献， 如! 7 2 中 对 线 性间 题的流线 扩 散方 法 进行了 讨论， 并在!7 3 1 中 推广 到时间 依赖间 题， 给出 误差估计结果 为， 对充分小的h ， 有 ii。 一 。 h ll c h k + = ilu llk + l 7 4 中 给出 了 具有高r e y n o l d 数的 二 维不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的 流线扩 散方法的误差估计，对e u l e : 方程有 w 一 w h ll c h k + z1 对n a v i e r - s t o k e s 方程有 m a xo t c h 2 ， 在这些工作的基础上， 我们给出 线性， 半线性和非线性抛 物方程的 有限元解的时间 最大模， 空间l : 模的 误差估计， 并利用定义依赖 于网 格步长的模的方法考虑对流项系数非线性间题， 利用有限元和有限差分 2 0 0 1 年中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文幼1 1 页 第 二 章椒 物 方 杖 的 问 断 时 空 有 限 元 方 法 2 .1 fm i 恻 l 丝 方法相结合的技巧考虑半线性方程， 不但丰富和发展了 理论分析结果， 而且 去掉了时空网格的限制条件， 提高了该方法的实际应用价值. 注意， 本章出现的。 或c表示不依赖于h n , k 。 的常数， 并且每个。 不 一定相同. 2 . 1 线性抛物问题 考虑如下具有d i r i c h le t 边值条件的线性常系数抛物方程 8 u ( x , t ) 一 u ( x , t ) =f ( x , t ) , u ( x , t ) 13 。二0 , 。 ( ， 0 ) = u o ( x ) , ,( l x 0 , t o f x o , t 刀 2 . 1 . 功 其中，刀是r 2 中的有界凸多角型区域，:= 算子( l a p l a c e o p e r a t o r ) ， 即 。 = 定的函 数，u ( x ) e川( 口 ) n砚( 刀 ) . 2 . 1 . 1 时空区 域离散及变分问 题 o i u 0 2 u ; : 一 二十 下 一 二 a x to x 鑫 ( x 1 , x 2 ) 12 , 是拉普拉斯 ， 函数f ( x , t ) 和。 o ( x ) 是给 -一 对于线性问题 ( 2 . 1 . 1 ) ， 首先在时间方向上引入剖分点。=t o t , t ( h i n 一 t_ , =t ， 时间区间 1 n=( t n - 1 , 引, n二1 , 2 ， 一 ， n ， 时间 步长 k 对于每一个时间区间 1， 定义时空区域 r 二二 。 ， f n , s n ) 任 艺， 其中艺是( h , r , s , ) 中 的 所有三角形， ( 1 ) . h ( x ) e cl(fl)， 且h ( x ) 为正函 数， 满足 0 x! ， 空间离散 满足如下条件: a h ( x ) i p , x e n it为给定的正常数. ( 1 1 ) . r 二 t 是0的一种剖分， 此剖分是正则的， 即 两个三角形或者不 相交，或者有一公共边或公共顶点.单元二 c l h t h ( x ) h 的直径记为h ， ， 则有 x任了 ， 下任r . 并且满足 “ 最小角条件” c 2 h zr j d x r任r , 2 0 0 1 年中国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文娜1 2页 第二章 椒物方祖的间断时空有限元方法互 2 . 1线性粗物问题 其中c l 和c : 是正常数。 ( i i i ) . 凡是砚 中 函 数的集合， 它在剖分单元t上 关于