例谈二次函数综合题的解题策略.doc

例谈二次函数综合题的解题策略二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 _-242yxO32一、得意知“形”，由“形”想“数”例1 已知函数yx2bx2的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象指出：当x取何值时，y2？分析 首先，利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”图1用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想“数”，要“确定y2时，x的取值范围”就是要求位于“直线y=2上方”图象的自变量取值范围解 （1）根据题意，得 293b2，解得 b3函数关系式为yx23x2（2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为 函数yx23x2的图象如图1所示（3）根据图象可得，当y2时，对应的x的值为0和3 因此，当x0或x3时，y2评析 充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面本题还可以直接指出“当x取何值时，y2？”以及根据图象写出“不等式x23x20的解集”，这两个问题，请同学们自行写出.二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数例2 如图2，一元二次方程的两根，（）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标xyA（3，6）QCOBP分析 （1）求出方程的两个根，就相当于知道了B，C两点的坐标，进而由A，B，C三点的坐标，利用待定系数法，很让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q的坐标，只要函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要求“MQ+MA”的最小值，只需作点A关于x轴的对称点即可，用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决. 解 (1)解方程，得=-3，=1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.图2将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得 解这个方程组，得 抛物线解析式为.(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得解这个方程组，得 直线AC的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组得 点Q坐标为（-1，2）.(3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点.设直线的函数关系式为y=kx+b. 解这个方程组，得 直线的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.点M的坐标为（0，0）.评析 求两个函数图象的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图象的关系是，若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立.本题中的第（3）问改为“若在y轴上有一动点N，当NQ+NA取得最小值时，求N点的坐标”，请同学们做做看.三、函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式例3 如图3，在锐角中，于图3点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）（1）分别求出当与时，与的函数关系式；（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？分析 本题所求的“y与x之间的函数关系式”分两种情况：一是点A关于DE的对称点在内，一是点A关于DE的对称点在外.对于第一种情况，其重叠部分就是的面积（也即的面积），此时只要依据相似三角形的性质把高AF，底边DE用含x的关系式表示出来即可；而第二种情况，其重叠部分是一个梯形，求梯形EDPQ的面积即可.最后，要求出重叠部分面积的最大值，同样也需要分两种情况，把每种情况下的最大面积都求出来，然后进行比较.图4F解 （1）当时，由折叠得到的落在内部，如图4（1），重叠部分为. , . .即.又,. 当时，由折叠得到的有一部分落在外部，如图4(2)，重叠部分为梯形. , . 又, . . . =. （2）当时，的最大值； 当时，由可知，当时，的最大值. ，当时，有最大值评析 二次函数与几何图形相结合的问题，其解题模式是，先根据几何图形本身的性质，表示出线段之间的关系，进而恰当设出变量，得出函数关系式，再根据题目要求得出最终的结论. 同时，在几何图形中求函数关系问题具有一定的实际意义,因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑,一般有约束条件.综上所述，二次函数综合题，是一类对同学们能力要求高，知识覆盖面广，解题难度大的问题，要求在解题过程中冷静分析，缜密思考，耐心梳理，正确把握解题策略才有可能顺利解决.下面给出两题，请同学们一试身手!练习： 1已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A，B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P(1)求A，B，P三点坐标； (2) 在直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由. 2已知：m，n是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A(m，0)，B(0，n).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为