外文翻译--碟形弹簧的力 中文版

碟形弹簧的力 由 Minoru HAMADA 和 Yasuyuki SEGUCHI 编写 本文的研究内容 是关于碟形弹簧的行 为的微分方程进行数值求解，研究利用势能驻值原理的近似解的精度。 由 H. B.凯勒和 E. L.提出的通过修改迭代程序 的解决方案获得的。赖斯的迭代过程获得的近似解本质上是 和 Wempner 的近似解 一样的 ， 但通过减少一个几何参数 ， 发现 在设计公式的基础上 给出的 更紧凑 的近似解实 在 践中是有效的，并且进行了实验，并与理论结果进行了比较。 1、 介绍 本文讨论的问题 是 碟形弹簧的轴向载荷下的强度， 如图 1 所示 。 根据碟 形弹簧的几何 因素 在许多方面 ， 负载偏转特性的分析有所不同；例如，我们发现的一些 有趣案例 ， 恒载 挠度情况下， 负弹簧常数 。 这些特征 的分析 ，然而需要类似的不稳定对扁球壳基于有限变形理论，展现“ oilcanning”现象的问题复杂的解决。因此，我们可以找到一些近似解（ 1）（ 2） ；由J.O. A1men 和 Alaszlo in 1936（ 1）联办得到的近似的解决方案，通常用于盘簧的设计。现在它是检查这些近似解的精度非常重要的方法。 图 1 碟形弹簧 轴向图 在这份报告中，我们将介绍用于解决应用 E.Reissner 的一般旋 转壳理论（ 3）以浅锥壳获得的非线性常微分方程的数值方法。 这个数值的过程是由 H. B.凯勒沙丘和 E. L.赖斯 （ 4 ）在迭代过程的改进 的 ，因为在这一过程中， 是 由势能驻值原理的近似解作为迭代增加其有效性的初步估计。 这里所用的基本方程，并通过应变能量法的近似解仅包括两个几何参数和使计算的结果可以被安排在较简单的形式，因此，盘簧的设计，可以更容易地进行，而在以前的结果，包括 Wempner 的解决方案 2三缘度量参数，也就是弹簧的高度，半径比和弹簧厚度已被使用。 通过迭代多项式，引诱数值计算被执行为各种几何配置 碟形弹簧并将其结果与该解决方案由应变能量的方法相比。由此，可以确认的近似解是根据本解决方案的设计公式给出的有足够精确的实际用途。 从实验的角度来看，虽然由 J. O. Almen 和 A.拉斯洛 1 的详细结果是有效的，那么在这个调查的数值 解相比 ，其他类型的碟形弹簧的生产和实验实现 fllirm 效度的数值程序和应变能量法得到的结果。 2、 基本方程 革命由 E. Reissner 变分，即假设小应变，无剪切变形而得壳挠度理论，都写在以下几种形式： 其中 而且 和是年轻的 rnodulus 和泊松比。其它符号的 定义按照图 2 是由以下关系式定义的元素的旋转角度： 圆锥壳方程由上述关系得到的（见图 1）。通过设置 D = ds，其等效于 = 1 和 和此外通过使用以下近似 和限制 非线性项的二阶的旋转角度 ，微分方程（ 1）和（ 2）降低到以下形式 ： 碟形弹簧 的载荷是轴向力 P，没有统一的正常压力的存在条件， 因此，从方程（ 4） ； 代方程。（ 9）和（ 10）代入式（ 7）和（ 8），我们有下面的关系式： 使用的无量纲变量 f， g 和 x，这是定义的关系 方程（ 11）和（ 12）则成为 其中 和 Q 是 由以下表达式和 参数定义： 差分方程（ 14）和（ 15）是适用于根据轴对称轴向力 P 的任何圆锥壳，但是当锥壳薄，浅，盘簧，这些方程可以简化得多，而忽略了与 tan从假设 H 和分别为小，并使用表达式 方程（ 14）和（ 15）最终成为如下所示： 符号在方程（ 17）是几何参数，这是关系到初始子午线角和厚度 h，并且方便简化计算和其结果的表现形式的程序，而符号 Q 为负载参数。 记住盘弹簧的支撑力条件下使用时，我们考虑以下边界条件： 案例 A：随意移动这两个边缘。 案例 B：内边自由移动和外缘不动产。 （无径向位移） 方案 C：外缘不动产和内缘自由移动。 除了上述 边界条件 ，被认为是边缘不动的情况下，但在这种情况下，碟形弹簧太硬。在上述方程，我们使用的符号 = b a。 如果方程的解由（ 18）和（ 19）得到，垂直偏转和盘簧的应力可以通过下面的关系来计算： 垂直 挠度 w： 径向 应力的合力 Nr： 周向 应力的合力 No: 径向弯矩的每单位 长度 Mr: 周围的 每单位长度的弯曲力矩 M: 基本方程（ 18）和（ 19）预计是一样准确， von Karman 方程为板的大挠度的问题，并考虑到 von Karman 方程是足够精确 的在实践中，使用公式得到的结果。 方程（ 18）和（ 19）预计也是准确的。 3、近似解的应变能法 获得解决方案满足上述关系，我们首先要解决的问题的碟形弹簧近似用应变能的方法，用它作为迭代的初始估计由于更好的近似作为初始估计，更快的迭代收敛到解。 该数值的过程也被称为 Keller-Reiss 方法的改进，因为在我们的方法中的负载参数的任意值的解决方案可以直接获得，而在 Keller-Reiss 方法不能做。 假设该碟形弹簧仍圆锥形的外力施加后，我们设置 替代这个假设相容方程（ 19） 和整合； g 的近似解，得到如下： 而 和 C1 C2 是积分常数 。 现在 使用以下 符号： V：总的潜在能量 U：应变能 Q：由外力势能 而忽略了剪切应力的影响 ， 获得以下关系： 其中 内力和弯矩； Nr， No， Mr 和 Mo 可考虑方程未知的 fa 表示。（ 24）至（ 29）。代入式（ 30），我们终于到达总势能的表达式，即， 积分常数 C1， C2 是由边界条件如下 ： 方案 A 方案 B 方案 C 未知， fa 是由势能驻值原理 dV / dfa = 0。 然后由应变能法最后的结果是 其中， M 是从下列关系计算出的常数： 方案 A 方案 B 方案 C 这应该由边界条件决定。 方程 （ 29）和（ 35）的应变能量法的碟形弹簧近似解。 应当指出的是， G. A. wempner 的解决方案也由应变能量法得到但它包括三个几何参数，而本文的近似的解决方案包括两个几何参数的简化表达式结果有用。 然而，是容易看到的 是 ， 无论是哪个都是基本相同的 。 4、 数值 解的 迭代过程 如果未知。 方程 （ 35）确定的半径比 为 一定值，几何参数 k 和负载参数 Q，与以下几步 迭代 过程进行 ， fa 作为初步估计： （ 1） m = 1， m 是正整数作为迭代次数。 （ 2） 解 （ 3） 解 （ 4） 计算 fm （ 5） 使 m+1 m 然后跳到（ 2）。 在 上面的过程 ， 就是所谓的松弛参数 此过程中，如前所述，是 Keller-Reiss 的方法，其中所述迭代，必须从一个小的负载参数（对于该解决方案由线性理论和由非线性理论并不那么不同）进行，以一个大的负荷参数，而上述迭代过程可以给负载参数的任意值的解决方案中。 松弛参数。 是用来加速收敛的解决方案或防止发散。在一般情况下，提高了算法的收敛性能降低的参数值， 收敛观察不能被很好的参数的值的改善。 表 1 比较的挠度和应力为 n =50， 100 和 200（ V=0.3） 方程 （ 39）和（ 40）与给定的边界条件，可以很容易地用有限差分法求解，为他们的右手边是在迭代法是一种线性化和每一步的认识，应用有限差分近似，他们成为线性代数方程组或三对角方程系统的解决方案，可以容易被消除的方法只有两次是必需的。 用于此目的的有限差分近似如下： 除了 边界内的网格点， 对于这两种界限 其中 N：网格数 （ a） 挠度和应力 分布曲线 （ b） 挠度和应力分布曲线 （ C） 周向弯曲大负载参数应力分布的例子 图 3 5、数值计算 进行了数值计算，对于 n=100 和的情况下，因为它是最重要的。 一般来说，用 有限差分法求解的精度取决于其网格数 N。表 1 给出了两个例子，他经常计算 n=50， 100， 200显示，对于 n=100 是足够精确的实际用途的计算 。 式中 的松弛参数的最佳值（ 41）所应选择的试验。当它是计算的收敛是不好的条件下观察到 ， 值立刻进行修改。改善这种不良状况和减少计算时间，注意到一个较小的 值一般应足以不收敛条件。因此，计算程序是这样写的能够改变的 值手动操作时非常方便。 在迭代过程收敛的数值的标准，我们把 该解决方案解的精度，可以任意选择的值来确定。在这里，我们把 =0.00005 数值计算是大阪大学 NEAC-2206 数字化计算机上执行的。 6、数值结果 6.1 偏转和应力 分布曲线 图 3 显示了几个与无量纲形式的 w/hCOS 和应力分布与后缀 r 和 形式的平均径向和环向薄膜应力变形分布的例子，分别 表示 br 和 b 平均径向及周向弯曲应力 -ES。如图所示，径向应力远远小于膜应力和弯曲应力，因此只有周向应力的周向应力引起的讨论。和弯曲应力，没有例外，内边缘处最大，且抗压的上表面和下表面上的拉伸。另一方面，膜应力的内部边缘的压缩和拉伸的外边缘处的挠度较小的地区除了的情况下， K 为零。对变形较 大的区域，它们的拉伸的内缘和压缩的外边缘和一个瞬变点发生变形的中间值，膜应力分布呈现奇异性 图 3（ a） 。同时对负荷参数的弯曲应力分布略有奇异 图大值（ C） 。不管怎样，总应力是薄膜应力和弯曲应力和最大的上表面或下表面的内侧边。因此，图 5 显示了在 6.3 内边缘仅占总应力。图 3 中，由应变能量法的近似的解决方案相比得到 数值解。 图 4 6.2 荷载 -挠度曲线 碟形弹簧的载荷 -挠度曲线的参数值和 P=0.25， 0.5 和 0.75，如图 4 所示在负载是无量纲形式表达，在形式 最大挠度。 在每一种情况下，比较了由应变能量 法的近似解。一般来说，如图 4 所示，近似解与 P的较小的值的数值解，但不为不稳定区域是如此的精确。无论如何，能源解决方案的可能几乎被称为碟形弹簧近似。 6.3 应力 -挠度曲线 无量纲总应力 在上、下表面与偏转内缘是显示在图 5。 图 5 中 ，在上表面的曲 线相交的下表面，这意味着最大应力出现在上表面为较小的偏转，偏转增加曲线，它跳到下表面。 图 5 中的虚线（ B）是谁的错误被发现在瞬态点增加能源解决方案。但是，碟形弹簧，通常用于在最大应力出现在上表面区域，因此能源解决方案的应力 -挠度曲线可能是良好的近似实际的目的。相反，记住，由应变能法的应力分布，结果并不总是好的合适的值。 6.4 比较一 Almen 一 Laszlo 的实验结果 通过 J.O.Almen 和 A.Laszlo 的实验结果被认为虽然是出色的。详细的设备和方法在他们的论文中未示出。因此，我们尝试一些比较这些结果与我们 的计算结果如图 6。从这些数字，数值结果被发现与实验结果吻合较好，而能源解决方案：也有很好的近似，除了不稳定的区域，此外，应该指出的是，他们是 Almen-Laszlo 解决方案的改进。 图 5 7、实验 重申 了数值解的有效性和能源解决方案，实验独立进行 Almen 和 Laszlo。 图 6 具体内容如下： 1）标本 标本制成的 SK 钢在日本工业标准。因此， Youngs rnodulus E 和泊松比 ，可以采取如下： E = 21000 公斤 /平方毫米， V = 0.3 它们的几何配置表 2。 试样 尺寸表 2（毫米） 2）加载 appratures 测量系统 标本，如图 7 所示，是举行了两次加载附件和由奥尔森型测试仪加载之间。最大挠度测量的差动变压器式位移计量，和负载细胞和 X-Y 记录仪是用于在同一时间获得连续的 载荷 -挠度曲线。固定边界条件，二硫化钼润滑脂涂抹的试样的接触部分和加载附件被认为是有效的。 图 7 （ 3）实验结果 图 8 图 9 图 10 图 8 图显示的各种试件的荷载 -挠度曲线。在这些数据中观察到，加载与卸载曲线不重合的曲线。 这是由于试样和加载附件，可以通过在接触部分采用 MoSz-grease 有防止之间的摩擦力。但应该指出的是，这是必然的 -一些试样的表的初始几何缺陷。除了摩擦效应，荷载挠度曲线也是这个初始缺陷十分敏感，尤其是弹簧高度的初始缺陷。实际上，大多数的荷载 -挠度曲线实验表明对于小负载值的参数如图所示的奇异性， 图 11。在这种情况下，测量高度 C 应纠正 图 11 如下： 图 11 这种修正的计算和实验结果之间的比较是非常重要的。所有的图 8 图 10 是以这样的方式纠正。 在数字；实验结果与能源解决方案相比，它是观察到的结果显示出良 好的协议。因此，它被发现的能源解决方案可用于碟形弹簧的设计为更好的近似比阿尔 -拉斯洛公式。 8、 对 碟形弹簧的 设计计算公式 由应变能量法的近似解减少到以下考虑实用方便的形式： 对于负载一偏转特性， 这些应力， 其中 W: 最大挠度 P：轴向力 u：在内部边缘的上表面的总应力 L：在内部边缘的下表面的总应力 E：杨氏模量 ：泊松比 ， N, , :常数 而且 图 12 显示的值的常数， ， N, , 取决于半径比 ， 这图也显示 方程 （ 36） M 的值。 9、摘要 碟形弹簧 的微分方程的数值方法， 基于 Re