（应用数学专业论文）三角形参数域上的超限插值.pdfVIP

摘要 本文对近年来众多学者对超限插值方法在三角形参数域上运用的主要研究成果进行 了实质性综述，并就三角形参数域上的超限插值方法作了一些创新研究 首先，介绍了文章的选题背景，对该方法的产生、发展及应用的过程作了简要介绍， 同时对文章的结构作了合理化安排 其次，讨论了三角形参数域上超限插值的一般理论介绍了边边格式；从伊情况入 手，构造布尔和算子，通过运用 o ，l 】区间上的h e n n i t e 插值基函数推广到a _ 的情况， 在此过程中提出了相容性条件即被插函数在角点处混合偏导数可交换并给出了排除相 容性条件限制的方法同时又介绍了边顶点格式，同样先介绍了伊情况，通过运用【o ，1 区间上的两点三次h e r m i t e 插值基函数，在基于b r o w n 和l i t t l e 技巧的情况下，构造了 g 1 插值算子，并给出了为避开角点相容性所构造的插值算子同时借助于g r e 9 0 r y 权函 数，也构造了a - 插值算子 再次，对三角形参数域上超限插值的一般理论的应用作出详尽介绍，这里首先将该 理论应用到多项式布尔和超限插值，即用多项式混合函数代替有理权函数其次介绍了 曲边三角形超限插值，即斜边为曲线的三角形，该应用扩大了一般理论的适用范围再 次介绍了几何超限插值，构造了一种不仅在三角形边界上插值函数值和偏微商，而且插 值曲面的曲率的插值算子，使得插值曲面在弯曲程度上有更好的插值性质最后介绍了 内部超限插值，使得插值曲面在边界上插值函数值和偏微商的基础上，在内部任意一点 也具有良好的插值性质 然后，由于三角形内任意一点的取法与传统不同，得到了两组不同的点，也因此得 到了特殊的超限插值算子，它们的张量积和布尔和在三角形的顶点及某些边上具有插值 性质 传统的理论都是在给定三角形上曲面函数的基础上完成的，最后，我们完成了b b g 格式的实用推广，即在曲面函数未知，仅仅已知三角形上的边界曲线函数以及边界导曲 线函数的情况下，超限插值曲面的构造，同时提出了超限插值的信息相容条件 关键词：三角形域，超限插值，布尔和，相容性条件，信息相容 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rl st od o s u b s t a n t i v es u m m 盯ya b o u tt h em 撕na c h i e v e m e n t s i nr e c e n t ”a r s ，a n dt h ec r e a t i v er e s e a r c ha b o u tt h ep a r a m e t r i cb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o no n t r i a n g l e s a t i r s t ，m a i n l yi n t r o d u c e dt h ea r t i c l es e l e c t e dt o p i cb a c k g r o u da n d t h ep r o d u c t i o n ，t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ea p p l i c a t i o no ft h i st h e o r y w bh a sm a d et h er a t i o n a l i z a t i o n a r r a n g e m e n tt ot h ea r t i c l es t r u c t u r ea tt h e8 a m et i m e s e c o n d ly 1 、耽d i s c u s st h eg e n e r a lt h e o r y 曲o u tt h ep a r a m e t r i cb l e n d i n gi n t e r p 0 1 a t i o n o nt h et r i a n 9 1 e s w em a k ec o n c r e t ea n 酊y s i 8w i t hr e g a r dt o8 i d e s i d em e t h o d n o mt h e e os i t u a t i o n ，t h eb o o l e a ns u mo p e r a t o rw a sc o n s t r u c t e d i tw a se x t e n d e dt oe 一1s h u a t i o nt h r o u g hh e r m i t ei n t e r p 0 1 a t i o np r i m a qf u n c t i o n i nt h i sp r o c e s s ，t h ec o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o nw a 8p r o p o s e d n a m e l yi st h em i x - p a r t i a ld e r i v a t i v eo ft h ef u n c t i o nt ob ep o s s i b l et oe x c h a n g ei nt h ev e r t e x a tt h es a m et i m et h em e t h o do fr e m o v e dt h ec o m p a t i b l e c o n d i t i o n sw a sp r o d u c e d t h e nt h es i d e v e r t e xm e t h o di si n t r o d u c e d s i m i l a r l yf i r s t i n t r o d u c e dt h eg os i t u a t i o na n dt h r o u g hh e r m i t ei n t e r p o l a t i o np r i m a r yf h n c t i o nb a s e d o nb r o w na n di nt h el i t t l es 姐ls i t u a t i o n ，g 1i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r i sc o 瑚t r u c t e d ，a n di n 0 r d e rt oa v o i d i n gt h ev e r t e xc o m p a t i b i l i t y ，t h ei n t e r p o l a t i o no p e r 8 t o ri sc o n s t r u c t e d a t t h es a m et i m ed r a w s8 u p p o r tt h eg r e g o r yw e i g h tf u n c t i o n ，a l s os t r u c t u r eg 1i n t e r p 0 1 a t i o n 0 p e r a t o r t h i r d l y lw ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no ft h eg e n e r a lt h e o r ya b o u tt h ep a r a m e t r i c b l e n d i n gi n t e r p o l a t i o no nt r i a n g l e s t h e ya r ep o l y n o m i db l e n d i n gi n t e r p o l a t i o n ，t 1 1 e t r i a n g l ew h i c ho n es i d ei sc u r v e ，t h eg e o m e t r yb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o n ，a n dt h ei n t e r i o r b l e n d i n gi n t e r p o l a t i o n t h e n ，w et a k et w og r o u pp o i n t sd i 踮r e n tf r o mw i t ht h et r a d i t i o nm e t h o d a l s o t h e r e f b r eo b t a i n e dt h es p e c i a lt h eb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o no p e r a 土o r t h e i rt e n s o rp r o d u c t a n db 0 0 1 e a ns u ma tt h ec e r t 越ns i d eo nh a st h ei n t e r p o l a t i o nn a t u r ei nt h et r i a n g l e a l l t h et r a d i t i o n a lt h e o r yi sb a s e do nc u r v e ds u r f a c ef u n c t i o nd e 矗n e do nt h et r i a n 9 1 e s f i n a l l nw ee x t e n db b gt op r a c t i c “n a m e l yi nc u r v e ds u r f a c ef u n c t i o nu n k n o w n ，m e r e l y i nt h ek n o w nt r i a n 日eb o u n d a r yc u r v ef i l n c t i o na 8w e l la si t h eb o u n d a r yg u i d ec u r v e f u n c t i o ns i t u a t i o n w ep r o d u c et h en e wt h eb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o ns u r f a c e a tt h es a m e t i m e ，w ep r o p o s et h ei n f o r m a t i o nc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o no ft h eb l e n d i n gi n t e r p 0 1 a t i o n k e y w o r d s ：t r i a n g l e s ，b l e n d i n gi n t e r p o l a t e ，b o o l e a ns u m ，c o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：主丑鱼姿 指导教师签名：数 日 期：塑! ! 多7 日期：2 生! ：j 1 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：盎基垩楚盔璧攫鲎遗 通讯地址：叠叠盘l 疆囡盛量癌 电话：幽2 鳓； 邮编：三堑! 塑 第一章绪论 自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，而使自由型曲线曲面 形状的描述问题成为众多学者及工程师们所研究的热点问题 有理方法中最广为流行的是非均匀有理b 榉条。是美国锡拉丘兹大学的v e r s p r i l l e 在 他的博士论文f 8 0 】中提出来的，使非有理与有理贝齐尔曲线曲面和非有理b 样条都被统 一起来 对一般的非有理方法，人们都采用张量积的参数多项式与分片参数多项式来描述曲 面，c o o n s i 州采用分片曲面拼合来构造复杂曲面，其中关键问题是如何构造出各种类型 的曲面片，使之便于拼合，让曲面设计变得简单易行，他的独到之处就在于构造组成复 杂组合曲面的曲面片上，与其他曲面构造方法不同的是；c o 一直接采用可以是任意类 型参数曲线的四条边界曲线来构造曲面，即c o o n s 曲面不是插值边界曲线上有限的数据 信息，而是插值两组边界上无限多个点为了使构造出来的曲面片易于光滑拼台，c 。m 又给边界髓线加上跨界导矢信息，使曲面不仅插值于四条边界，也插值于边界的跨界导 矢 g 0 r d o n i 2 称这种方法为超限插值，他给出g o o n s 曲面严密的数学基础，将g o o n s 曲 面解释为布尔和曲面，并将之推广用于擂值在三维空间的曲线网格，如同贝齐尔方法仅 仅处理单一曲面片而b 祥条方法同时处理多个曲面片一样，这种超限插值方法即插值节 点集是不可数点集，在曲面造型、函数逼近和有限元分析中都发挥着举足轻重的作用 在g a d 系统中的曲面大多定义在矩形域上，其主要原因要追溯到曲面设计的最初 应用上，当初设计的汽车与飞机机身等物体的外形曲面均具有内在的矩形结构，这导致 早期系统都围绕矩形曲面片建立后来在一些更复杂的零件造型中，矩形曲面片与矩形 拓扑的局# 匣性就暴露出来，然而，修改现有的系统要比完全的集成新的方案容易得多， 这使得非矩形曲面片即所谓m 边曲面片难以在c a d 系统中普及，因此n 边曲面片一 直是一个广泛研究的题目 鉴于三角形元较四边形元更方便，适应性更强，并且有些曲面本身含有一些不可去 的三角曲面片，对三角域上的超限插值曲面间疆的研究就尤为熏要三角形参数域上的 超限擂值曲面的构造方法分为两种：边边格式和边顶点格式 边边格式的超限插值曲面问题最早可以追溯到1 9 7 3 年，由b n h l l i ，b i r k h o 仃和g o r d o n p 提出运用布尔和的方法构造三角形的边界曲线上的插值算于，由于线性插值所形成的拼 接曲面是不理想的，它含有许多棱线，b ”n h i l l q 随后做了进一步完善，在线性的基础 上，构造了插值边界函数值及一阶偏微商的插值算子，并提出了相容性条件。同时用多 项式混合函数代替了有理混合函数，并证明了只要算子满足一定条件，它们的布尔和就 能够在三角形边界上插值函数f ，逸不失为一种寻找插值算子的方法，并将这种方法运 用到瞌边三角形即斜边为曲线的情况针对相啻陆条件，1 9 m 年，g r e g o r y 【4 j 给出了经 过修正的插值算子b m n h i l l 与m a n s 她i d 嘲证明了只要f 的某些确定的微商在顶点处是 相容的，( h o 毋垆插值f g “1 a ( t ) 与它所有边界上s 1 阶的偏微商 1 9 7 5 年，b a r n h m 和g r e 9 0 r y 嘲指出，在保持插值性质和插值精度的前提下，去掉了 1 9 7 5 年，b a r n h m 和g r e 9 0 r y 问指出，在保持插值性质和插值精度的前提下，去掉了 顶点的相容性 以上这些方法的共同的特点是在三角形的两条边上构造满足插值条件的三个插值算 子，运用这三个算子的布尔和来构造三角形曲面片 三角形参数域上的超限插值的另一种方法是边顶点插值，n i e l s o n 7 】提出线性插值算 子及插值边界函数值和一阶偏微商的插值算子，在n i e l s o n 的基础上，h a g e n 【8 给出了一 个构造几何曲面拼接的新方法，这个结果又被h a g e n 【14 】和n i e l s o n 1 6 】推广到构造一阶、 二阶几何连续的三角形曲面片，这些方法的共同特点是三个插值算子仅插值三角形的边 界 2 0 0 2 年，在【9 中，给出了一种通过对一个内部插值算子与三个边顶点插值算子的 组合来实现不仅在边界上插值，并且插值三角形的内部区域的方法 由于三角形曲面片适应不规则与散乱数据几何造型，适应于有限元分析中广泛应用 的三边形元素，并且它具有构造复杂形状的潜力，在将来仍会获得广泛的应用。以上三 角形参数域上的超限插值方法都需要已知定义在三角形边界上的二元曲面函数f 以及它 的偏微商，而在实际应用中，往往仅仅已知定义三角形边界上的二元曲线函数，基于此 我们做了b b g 格式的实用推广，又提出了更实用便捷的超限插值方法 本文接下来的文章结构安排如下：在第二章中阐述三角形参数域上超限插值的一般 理论，就边边格式以及边顶点格式的插值理论进行了详细的分析与研究，第三章介绍了 近年来人们对三角形参数域上超限插值一般理论的推广和应用，它们分别是多项式布尔 和超限插值，曲边三角形超限插值，几何超限插值以及内部超限插值等第四章中，由 于三角形内任意一点的取法与传统不同，得到了两组不同的点，也因此得到了特殊的超 限插值算子，它们的张量积和布尔和在三角形的顶点及某些边上具有插值性质在第五 章中，我们提出了在被插函数f 未知，仅仅已知三角形边界上曲线函数的情况下构造的 超限插值算子，并给出了这种情况下的信息相容条件 2 第二章三角形参数域上超限插值的一般理论 5 1 边边格式超限插值 如何来构造一个边边格式的超限插值曲面呢? 在三角形的内部任取一点，沿着过该 点所作的平行边岛的线段，关于函数f 在其他两边上所取的值上做插值，并利用布尔和 给出三角形元上的超限插值公式，它们分别是g o 和e _ 1 插值公式 首先遇到的问题就是三角形参数域内的一点怎样表示，它只与兰个顶点的位置有关， 直角坐标在这里并不适用，将用到重心坐标阳0 | ，我们总是认为t 为标准三角形，= ( o ，1 ) ，u = ( 1 ，o ) ，= ( o ，o ) ，所对应的边为e t ，任意其他三角形可以通过仿射变换由t 得到，并且在这种变化下，多项式和有理最数的次数以及遭近阶保持不变，下面的面积坐 标变换将p q 平面上的标准三角形t 映射为。平面上的普通三角形一 z = z 佃，q ) = 茁3 + 忙1 一石3 ) p + ( 髫2 一茁3 ) q ， = ( p ，q ) = 船+ ( 口1 一3 ) p + ( 9 2 一9 3 ) 口 即= $ l p + 。2 口+ z a r ，= 1 p + 2 9 + 9 3r p + g + r = 1 乜，吼r ) 是三角形“的重心坐 标，重心坐标与面积坐标是一致的，即p = a i a ，q = a 2 似，r = a 3 a a 1 是以巧 为顶点的三角形的面积，a 2 是以y 为顶点的三角形的面积，a 3 是以v7 “为 顶点的三角形的面积，则( p ，吼r ) 为点( z ，) 的面积坐标，面积坐标是一个仿射不变量 1 g o 超限插僵 定义2 1 1 【1 0 令t 为标准三角形，对于给定的二元函数f ，q ) g ( 衍) ，称 p l 啦 q ) = 寄f ( 0 + 南f ( 1 咱口) 1 马 捌如，g ) = 害f ( p ，o ) + 击f ( p ，l p ) ； p 3 【f 】( p ，口) 2 歹芊百f ( p + g ，o ) + 歹幸i f ( o ，p + g ) 为三角形参数域上的线性插值算子 由只 f 】的定义可以看出，p i 【f 是沿着过点缸q ) t ，所作的平行边e i 的线段，关 于函数f 在其他两边上所取的值做成的两点线性插值函数 我们做如下定义： 定义2 1 2 称( p oq ) 旧( p ，q ) = p q 【f ”( p ，口) 为算子p 与q 的张量积； 称( p oq ) f 扫，g ) = p f ( p ，q ) + q 【f 】0 ，q ) 一( poq ) 【f 】0 ，g ) 为算子p 与q 的布尔和 张量积的性质；只。马弓。p i 即算子不可交换，e j 这是因为：以p 1 ，p 2 为例， ( p 1 。p 2 ) f 明慨口) = ( 1 一p g ) f ( 0 ，o ) + 旦 圣口f ( 。，1 ) + r 与f ( i g ，q ) 3 ( p 2 。只) f ( p ，q ) = ( 1 一p g ) f ( 。，。) + ! 兰尹p f ( 1 ，。) + r 与f ( p ，1 一p ) 而在t 的三边上，( 只。弓) 【f = ( 马。毋) 【f ，此外o 只) f 】= 只 f 当i ，j ，各不相同 时， ( p l 。弓o r ) f 】= ( p 1 。p 2 。p 3 ) 【卅= ( 1 一p g ) f ( o ，o ) + p f ( 1 ，o ) + q f ( o ，1 ) 定理2 1 1 1 】( 只。马) f 在t 的边界a t 上插值函数值f 证明【1 0 】：只就( p 1op 2 ) f 】来讨论，其他情形类似 ( p 1 。驯f 】= 寄f ( o 间+ 焉! 地0 ) + 南地1 - p ) 一三亍兰尹q f ( 。，1 ) 一( 1 一p 一口) f ( 0 ，? ) 当g = o ，p 1 时，( 且op 2 ) 【明连续且( 尸1 0p 2 ) f 】，0 ) = f ，o ) ；当p = o ，口1 时， ( p 1 0p 2 ) f 】连续且( p 1 0p 2 ) f 】( o ，g ) = f ( o ，q ) 即在斜边除去t 的两顶点外，( p 1 0p 2 ) 用 连续且( p 1o 尸2 ) 【f 】( p ，q ) = f 0 ，1 一p ) ；当( p l g ) _ ( 1 ，o ) 与，q ) _ + ( o ，1 ) 时，( p lop 2 ) 【f 的极限分别为f ( 1 ，o ) 与f ( 0 ，1 ) 以0 ，q ) 寸( 1 ，o ) 为例，由f 0 ，q ) g ( 甜) 知： f ( o ，q ) = f ( o ，o ) + e 1 ( p ，g ) ，f 扫，0 ) = f ( 1 ，o ) + e 2 ( p ，q ) ， f ，l p ) = f ( 1 ，o ) + 3 ( p ，g ) ， 且当( p ，g ) _ ( 1 ，0 ) 时，m 口z s 1 ( p ，口) l ，i e 2 ( p ，g ) i ，l e 3 ( p ，g ) i ) 叶0 故， 1 m 、( p 1op 2 ) f - f ( o ，1 ) 当( n g ) _ ( o ，1 ) 时证明类似，证毕 在实际应用中，常用o 岛) 【f 】的凸组合来插值f o ，口) ，对于任给的非负权函数 。玎( p ，口) 满足o 甜( p ，口) = l ，则函数 o 巧，g ) ( p fo 巧) 旧在t 的边界上插值 4 j = l ，z 芦t ，= l ，z ，3 f 0 ，g ) ，如果取n 玎0 ，口) = ，则有如下定理： 定理2 1 2 ”】设q = 瓠p l + p 2 + p 3 一p 1 op 2o 尸3 则q 是g ( t ) 上的一个算子，且 对任意的函数f g ( t ) ，函数斜f 】在8 r 上插值f 证明， n 3 1， 0 2 ；最一；最。b = ；最。岛- l ，l 7 证毕 线性分片插值是三角形上插值的一个最简单的例子，具有局部化、计算简便和连续 性等优点通过上面的定理可以看出布尔和算子在三角形边界上的插值性质 2 g 一1 超限插值 由于线性插值所形成的拼接曲面是不理想的，它含有许多棱线，因此需要构造另一 种插值函数，当它跨过三角形元的边界进入邻接的三角形元时，其法向导数是连续的， 那么就需要构造三个h e r m i t e 插值算子那么如何来构造一个g 一1 的超限插值曲面呢? 同样，关键之处仍在于如何构造插值算子 4 定义2 1 3 6 令? 为标准三角形，对于给定的二元函数f 慨q ) e ( a t ) ，称 p 1 【f 】( p ，q ) p 2 f ( p ，g ) p 3 f 】0 ，q ) = 口 l d 口 l p p p + q ( 1 一g ) 最，。( o ，q ) + 哦r 笔) ( 1 一g ) 最，。( 1 一q ，g ) 4 = u ( 1 一p ) f o ，i o ，o ) + 慨r 笔) ( 1 一p ) 。f 0 ，t ，1 一p ) 扫刊钷鑫一争m p + 似煮蚺q ) l 嘻一扣1 ( p 帆o ) 为三角形参数域上的g 一超限插值算子 这里，忱( o ) ，他( t ) = ( 一1 ) 协( 1 一t ) 是【o ，l 】区间上的h e r m i t e 插值基函数 妒p ( o ) = d ，背( 1 ) = o ， o ，j + 1 容易看出，h e r m i t e 插值算子只( i = 1 ，2 ，3 ) 是沿着过点慨g ) t 且平行于边e i 的 直线定义在三角形的其他两条边勺，e 女上，( i ，= l ，2 ，3 ；t j 女 ) ，且只 f 在边 勺，e 上插值函数f a 1 1 ( a t ) 和它的阶数s 一1 的方向微商 定理2 1 3 【6 】若f ，q ) g 肛1 ( 订) ，且在三角形t 的顶点k 处满足相容性条件： 纂= 器哪 ；m 其中k 为第t 边与第j 边共同的顶点，蠢表示沿第i 边的方向导数，则( 只。岛) 【f 在 t 的边界砑上，插值f 以及全部小于或等于一1 阶的偏微商 证明m o 】：我们仅就情形( p 1o 岛) 予以证明首先由于f 一( 只op 2 ) 卅= ( j p 1 ) ( j p 2 ) 【用( 其中j 表示恒等算子) ，所以在边p = 0 和l p g = o 上定理的结论为 真其次由于( p 1op 2 ) 【f 】= 砰+ p 2 一砰p 2 ，这里碍表示在算子马中含有第t 边的点的 项所以f 一( p 1op 2 ) f 】= u p 2 ) 【明一砰( j p 2 ) f 显然在边口= o 上，口一p 2 ) f 及 它的阶数一1 的法向微商均为0 故余下只需证明，在边q = o 上， 鱼! ! 塾学( p ，o ) ：o ，o j 一1 容易看出 邪_ p 2 ) f = 善忱( 南) ( 1 刊懒咖h 学) ( o 瑚 ， 同时 ( 镨) ( 0 j 驴( 错) ( o i o ) _ ( 警) ( o ，o ) ) 唆佻乩 在上式中微商换序是允许的，因为当f g 一1 ( a t ) 时，可以证明p 2 f 在( o ，o ) 点是 一1 次连续可微的，由l e i b n i z 公式有 ( 学) ，= 壶鬟麒筹忱c 白”) ， 詹= 1 c ：一七、， 。1 1 妒 妒 妒 篇嚣瑚 ( 筹( 等) ) ( 0 ) o ) _ ( 岳( 筹) ) ( o ，o ) 在以上推导中，由于f g 一1 ( a t ) ，所以当o t + 一l 时，f 的混合偏微商( 阶数 兰_ 一1 ) 是相容的( 可以换序的) ，并因此原来的合式盘1 ；：。退化为i ：。星采k 依定理条件 ( 蒜( 筹) ) ( 0 ，0 ) _ ( 嘉( 雾) ) ( 0 ，哦啪 那么p 2 f 插值在亿上f 以及所有阶偏微商 ；吾吲删，( 杀 未一期f ) c 叭h ；东鼬c 训，( 豪 嘉一期f ) 。， + ；三讹计( 筹) ( o 。) 是平行于三角形三条边的2 + 1 次多项式插值算子，这里吼，岛，j ，m j 是合适的基函 数当= 1 时，该算子是三三次多项式插值算子p6 | ，对一般的，算子的存在性成 立吼对所有的l q ls ，蛳，o ( 。，) + 风o ( 茹，们+ 伽o ( z ，们：1 ， ( d 。伽，o ) ( 毋) = d 。风o ( 毋) = d 。伽，o ( 玛) = o ( d 。血o ，。) ( e 1 ) 表示d “o ：o ，o ( 。，可) 在边蜀上的值，等等因此 ( a o ，o + 岛，o ) ( 岛) = 1 ， ( d “ 。o ，o + 风，o 】) ( e 3 ) = o ， 1sl a l p 1 f 】= a 叩( z ，可) 巧 f + 岛，o 霹 f 彳a 叩( 哪) 扛+ 一1 ) u ( 茹，1 一。) + 岛，。( 。，g ) ( 茁+ 一1 ) i 只，。( 1 一舢) j ； 该算子在n = 玛上插值f c ( 亍) 和它的s 阶偏微商 ( p lop 2 ) 【f 在三角 形的边界上插值函数f 以及的偏微商 1 0 5 2 曲边三角形上的超限插值 将超限插值的一般理论应用于一边为曲线的三角形上，扩大了一般理论的适用范围， 给实际应用又增添了许多方便 考虑顶点为u = ( o ，1 ) ，k = ( 1 ，o ) ，k = ( o ，o ) ，两直角边分别平行于坐标轴，没k 所对的边岛是由一一映射函数定义的曲线，即g = ，( z ) ，口= g ( ) ，g 是函数，的逆映 射此时岛上的t a y i o r 算子矧为雩 f 】= t s _ k g ( ) p e ，。( 9 ( 可) ，9 ) ，露 卅： j s b 一，扛) p 昂( z ，( z ) ) 基函数劬，o o ，) ，阮，o 和，) 有性质：对i 最 【o ，o ( 1 ，( 。) ，g ) + 岛，o ( 1 一，( 石) ，) ( ) = l ， d 。0 f o ，o ( 1 一，( 茹) ，咖+ & ，o ( 1 ，( 。) ，y ) 】( 蜀) = o ， 则 p l 卅2 o ，o ( 1 一，( $ ) ，) 譬【f 】+ 岛，o ( 1 一，扛) ，) 霹 f 相应的p 1 f 】也有下面的形式： p l f j2a o ，o ( 。，1 9 0 ) ) 雩 f + 风o ( 茁，1 9 ( v ) ) 霹【f ， 最f f j = ( 霉。巧) f 】= z 。只，。( o ，v ) + 9 f o j ( 茁，o ) t蔓n|!n 一；影( 筹) ( 0 ，o ) t j s o 布尔和函数( p lo 恳) f 用在曲边三角形上插值函数f 5 3 几何超限插值 定义3 3 1 8 j 设l ，：，- 驴是一个空间曲线口= 【o ，1 ) ，定义算子 g 日( y ) = 甄( t ) y ( i ) + 鼠( t ) y ( i ) + g i ( t ) 【y ( t ) ，y ”( i ) ，y ( t ) 4 = 0 - l 称为几何h e r m i t e 算子，这里 凰( t ) = 一6 t 5 + 1 5 伊一l o t 3 + 1 ，岛( ) = 一3 t 5 + 8 一一6 f 3 + t ， h l ( t ) = 6 t 5 1 5 t 4 + 1 0 t 3 ， 皿( t ) ：一3 5 + 7 矿一4 3 g o ( t ) = ( 一t 5 + 3 t 4 3 3 + t 2 ) 2j ly ( o ) m g i ( t ) = ( 矿一2 4 + 垆) 2f ly + ( 1 ) f | 对忍( 纠= f 0 & + ( 1 一t ) k ) ，i = 1 ，2 ，3 ，运用几何h e r m i t e 算子，设t ：1 6 ， & = ( 1 一弓) k + 碍，定义算子 p f = 凰( 1 6 ；) f ( k ) + 皿( 1 6 i ) f ( & ) + 凰( 1 6 i ) ( o ) + 直。( 1 一晚) 冗：( 1 ) + g o ( 1 一饥) 【磋( o ) ，( o ) 】，磁( o ) 】+ g t ( 1 一以) 【r ：( 1 ) ，毯( 1 ) 】，兄：( 1 ) j 1 1 ：虹型型崔芝幽艘：砭( ) 厦( 1 ) ：虹型攀崔芝幽趔：厦( & ) r ：( o ) ，硝( o ) ，r ：( o ) = i i 砭( o ) i | 4 ( 乜v ( k ) ( k ) + ( 饥) ( k ) ，砭( o ) 1 ) ， 厦( 1 ) ，毯( 1 ) j ，砭( 1 ) = j fr ：( 1 ) | | 4 ( b ( & ) ( 最) + ( & ) ( & ) ，r ，( 1 ) ) 定理3 3 1 【8 】设t 是一个任意三角形，f c 孕，这里 饼= f ：f