（运筹学与控制论专业论文）无界区域上线性抛物系统的能控性问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 摘要 这篇文章讨论了无界区域上线性抛物系统的精确零能控性和逼近能控性问 题，其中控制是加在系统的一个方程上t 玑= a y + a t y + 0 2 2 z t = a z + b l y + b 2 z + x u 可( z ，t ) = 2 ( z ，t ) = 0 ( 。，0 ) = o ( z ) ，z ( 。，0 ) = z o ( x ) 在q t = q ( 0 ，t ) 内， 在q t = q ( 0 ，t ) 内， ，。 在t ：搠( 0 ，t ) 上， 【1 - 1 j 在q 内， 其中，q 是r “中的一个无界开集，其边界a q 是g 2 光滑的，u 是q 的一个 非空开子集，使得q u 为有界集弛是u 的特征函数 所谓的逼近能控性是指对给定的t 0 ，( y 1 ，。1 ) l 2 ( n ) xl 2 ( q ) 和 0 ，存在一个控制丘l 2 ( 0 ，t ) ) ，使得系统( 1 1 ) 的解满足 厶i ( 。，丁) 一掣1 1 2 d x 岛 j ol z ( 。，丁) 一2 1 1 2 d z e ( 1 3 ) 所谓的精确零能拉陛是指对给定的t 0 ，对任意( y o ，z o ) l 2 ( q ) l 2 ( q ) ， 存在一个控制，l 2 ( 0 ，t ) ) 使得系统( 1 1 ) 的解满足 ( y ，2 ) ( ，t ) = 0 o e 在q 内 ( 1 4 ) 文章得到了对偶系统的一个c a r l e m a n 型估计，并在此基础上证明了观测 不等式，从而证明了系统的精确零能控性和逼近能控性 本文以如下思路证明了系统( 1 1 ) 的能控性： 一介绍了该问题的研究背景和相关问题的研究进展，并在此基础上叙述 了本文的主要结果 二得到对偶系统的一个c a r l e m a n 型估计 三由c a r l e m a n 估计证明观测不等式 四利用观测不等式得到系统的精确零能控性和逼近能控性 关键词：精确零能控性；逼近能控性；无界区域；c a r l e m a n 型估计；观测 不等式 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es h a l ls t u d yt h ee x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t ya n d a p p r o x i m a t e c o n t r o l l a b i l i t yo f t h ec o u p l e dl i n e a rp a r a b o l i cs y s t e ma sf o l l o w sw h e nt h ec o n t r o l f o r c ea c t so na s i n 斟ee q u a t i o n ； f 轨= 掣+ a l y + a 2 z j 魂= a z + b l y + 6 2 2 + 地， l 可 ，) _ z ( 墨t ) = 0 【g ( 。，0 ) = y o ( z ) ，。( z ，0 ) = z o ( x ) i n q t = q ( 0 ，t ) ， i n 劬= q ( 0 ，t ) ， 。、 o n 岛：触( 0 ，r ) ， ( 1 1 ) i nq w h e r e 1i sa no p e na n du n b o u n d e ds e to f 舻w i t h b o u n d a r y 8 qo f0 2 u n i f o r r e l y “i sa no p e na n dn o n e m p t ys u b s e to fq s u c ht h a tq ui sb o u n d e d x ui st h e c h a r a c t e r i s t i cm n c t i o no fu ， s y s t e m ( 1 1 ) i s s a i dt ob e a p p r o x i m a t e c o n t r o l l a b l ei nt i m e t 0 ，i f , f o ra n y f i n a ls t a t e ( y l ，z i ) l 2 ( q ) l 2 ( q ) a n d 0 ，t h e r e e x i s t s 五三2 ( “( 0 ，r ) ) s u c ht h a tt h es o l u t i o no f ( 1 i ) s a t i s f i e s ( 弘( ，t ) 一y l ，2 ( ，t ) 一z 1 ) l i l 。( s ( 1 3 ) s y s t e m ( 1 1 ) i ss a i dt ob ee x a c tn u l lc o n t r o l l a b l ei nt i m et 0 ，i f , f o ra n y ( y 0 ，z o ) l 2 ( q ) l 2 ( q ) ，t h e r ee x i s t sf l 2 ( u ( 0 ，? ) ) s u c ht h a tt h es o l u t i o n o f ( 1 1 ) s a t i s f i e s ( 黟，z ) ( t ，t ) = 0 ae i n q ( 1 4 1 t h em a i nd i f f i c u l t yo ft h i sw o r ki st oe s t a b l i s h o b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t y f i r s t ，w eg e tt h ec a r l e m a ae s t i m a t e t h e nb a s e do ni t ，t h eo b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t yi so b t a i n e d f i n a l l yw eg e tt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h es y s t e m t h ea b o v ep r o b l e m sw i l lb ed i s c u s s e da st h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ： p 盯t1 i n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ec o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e ma n dt h e r e l a v a n tr e s e a r c hp r o g r e s s ，w h a t sm o r e ，w es t a t eo u rm a i nr e s u l t s ， 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s p a r t2 g e tc a r l e m a ne s t i m a t eo ft h ea d j o i n ts y s t e m p a r t3 o b t a i no b s e r v a b i f i t yi n e q u a l i t y p a r t4 p r o v et h ee x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t ya n d a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y o ft h es y s t e m k e y w o r d s ：e x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t y ；a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y u n b o u n d e d d o m a i n s ；c a r l e m a ne s t i m a t e ；o b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t y l u 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位埝文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：乡媳b 日期：知孵r 月世日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内窖编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论史。 作者签名：潞色 日期：溯年厂月f 岁日 导师签名：i 伊 日期：础广年3 - 月i s - 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高技学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。圄耋途塞握童卮进垣! 旦坐生；旦二釜；旦三玺 叁壶! f 作者签名：础幺西栅馘f 旷 日期：z o 叮年厂月西日日期：御r 掣厂月j r 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章前言 我们现在考虑无界区域上线性抛物系统的精确零能控性和逼近能控性问 题，控制是加在系统的一个方程上t y t = a y + a l y + a 2 z 施= a z + b l y + 如z + 地， y ( x ，) = ：( z ，t ) = 0 y ( x ，0 ) = y o ( x ) ，z ( x ，0 ) = z o ( x ) 在q t = q ( 0 ，t ) 内， 襄宝三裂韶t 墨，在岛= 凇( 0 ，) 上， 、7 在q 内， 其中，q 是r 中的一个无界开集，其边界a q 是c 2 光滑的，u 是q 的 一个非空开子集具有e 2 光滑的边界是u 的特征函数我们假定系数 啦，玩三。( 口r ) ( i = 1 ，2 ) 我们假设u 是q 的非空开子集满足： ( h )q u 为有界集 也就是说，控制分布在q 的无界子集u 上，而不加控制的仅仅为一个有界集。 我们假定( y o ，z 0 ) l 2 ( q ) l 2 ( q ) ，l 2 ( o ，r ) ) ，则由一般性的讨 论，系统( 1 1 ) 存在唯一解 ( y ，。) g ( 【o ，t 】；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；硪( q ) ) ( 12 ) 所谓的逼近能控性是指对给定的t o ，( f 1 ，z 1 ) l 2 ( q ) l 2 ) 和e 0 存在一个控制矗l 2 ( 0 ，丁) ) ，使得系统( 1 1 ) 的解满足j 所谓的精确零能控性是指对给定的t 0 ，对任意( y o ，z 0 ) l 2 ( q ) l 2 ( 存在一个控制，l 2 ( 0 ，t ) ) 使得系统( 1 1 ) 的解满足： ( y ，z ) ( ，t ) = 0 a e 在q 内( 1 4 ) 1 31 ，i ，_ e 0 ，及任 意( y o ，z 0 ) ( l 2 ( q ) ) 2 ，存在控制，l 2 ( 0 ，? ) ) 使得系统( 1 1 ) 的解( y ，z ) 满足( 1 4 ) 此外，存在与( 珈，动) 选取无关的常数c 0 使得 刘l 2 ( 。( o 丁) ) 国 i ( y o ，z o ) 怯 ( 1 8 ) 2 硕士学位论文 m a s r st h e s i s 定理1 2 q 为r 中的无界开集，其边界g 2 光滑，u 为q 的非空开 子集，亦具有g 2 光滑的边界假设( h ，) ( h 8 ) 成立，则对任意e 0 ，及任意 ( y 1 ，z 1 ) ( l 2 ( n ) ) 。，存在控制 l 2 x ( 0 ，t ) ) 使得系统( 1 1 ) 的解( y ，z ) 满足( 1 3 ) 近年来，抛物方程的精确零能控性和逼近能控性问题，日益成为人们研究 的兴趣所在抛物方程的能控性与解的稳定性，唯一连续性以及观测不等式有 着密切的联系，如线性抛物方程的逼近能控性等价于其对偶方程解的唯一连续 性对于单个的受控抛物方程，人们做了很多研究工作，例如在6 1 中，当n 有界时，半线性抛物方程的逼近能控性和精确零能控性得到证明特别地，当 q 无界时， 1 】得到了含散度项的单个抛物方程的精确零能控性对于含有两 个控制的抛物系统， 1 3 】中有详尽的研究当然，含有一个控制的抛物系统的 能控性问题亦备受关注 9 】讨论了相变函数的能控性问题。 1 l 】中作者得到 丁对于线性抛物系统的逼近控制的估计值得注意的是，在这些系统能控性的 研究中，区域q 都是有界的 但是在这里，本文与上述文献不同之处在于我们要考虑的是无界区域上的 线性抛物方程组的精确零能控性和逼近能控性问题，且控制只加在其中的一个 方程上主要的困难在于如何得到形如( 1 6 ) 的观测估计，我们使用了【1 】和 1 4 1 中所提供的技巧，但是，仅仅这样还不够，为了解决问题，我们定义了新 的权函数 记号：我们把希氏空闻l 2 ( q ) l 2 ( n ) 记作( l 2 ( q ) ) 2 ，赋如下范数： i l ( o ，b ) 晤( n ) = | | n 嵫( n ) + | | bir b ( n ) 且其上内积为 ( ( n ，6 ) ，( f ，7 7 ) ) = ( n ，f ) l z ( n ) + ( b ，竹) z ( n ) ，v ( 口，6 ) ，( ，”) ( l 2 ( q ) ) 2 ， 通篇文章中，我们把正常数记作c ，c r ，c , - 并且，符号“g ”在不同的地方可 能表示的数值不同为方便起见，记 i i ( o ，6 ) | | 蝥= ( i fa ii i 乙( o ，) + l b i | l 乙( q ，) ) 3 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s 第二章对偶方程的c a r l e m a n 型估计 在这一部分中，假设( h a ) 成立我们希望得到如下对偶系统的c a r l e m a n 型估计： 牟b l w = + 6 2 u = ) = 0 ， u ( ，t ) = 护( 。) 在q = f 2x ( 0 ，t ) 内， 在q = q ( o ，t ) 内， r 91 、 在= a q ( 0 ，t ) 上， 。“1 在q 内 使得q 为有界集对足够小的正数6 0 ，引入 在q 内， 在“j ；= z 叫7 ：d ( z ，o w ) 占) 内，( 2 2 ) 在n u 7 上 我们定义圣= p 妒，w = 出，那么，圣，w 满足 圣t + 西+ 。1 西+ b l w = g l ，在q = 0 ( 0 ，t ) 内， m - i - a w + 血2 圣+ b 2 w = 9 2 ，在q = o ( 0 ，t ) 内， 壬t ) = w ( x ，t ) = 0 ，在= a 0 ( 0 ，刃上， 圣( z ，t ) = p ( z ) 妒o ( z ) ，w ( x ，t ) = p ( z ) u o ( 。) 在0 内， ( 2 3 ) 其中， 9 1 = 2 v p v 妒+ a p - 妒l 2 ( 0 ( o ，t ) ) ， 9 2 = 2 v p v w + a p u l 2 ( 0 ( 0 ，丁) ) ， o = z n ；p ( z ) o ) ( 2 4 ) 从关于q ，甜7 的假设不难看出0 是一有界开集 4 w 哪 + + u 妒 妒u = = “圳仇峨以“ 硕士学位论文 m s t e r + st h e s i s 我们对系统( 2 3 ) 运用0 i m a n u v i l o v 和m y a m a m o t o 得到的c a r l e m a n 不等式为此，我们介绍函数卢= 卢( z ) 使得 f 芦 ) d 2 ( 6 ) ， 卢( z ) 0 ，在e 内；卢( z ) = 0 ，在a e 上，( 2 5 ) 【m i n i v z ( x ) j ，z n u 7 0 我们利用卢( z ) 引入两个权函数 舡，扣嵩，哪) = 笔害# ， ( 2 。) f ( 州) 2 者习，。”) = 面子，( 2 6 ) 其中a 0 是一个参数 下面的c a r l e m a n 不等式成立； 性质2 1 存在数a 0 ，使得对任意a2a ，我们能找到8 0 8 0 ( a ) 使 得，存在常数c 0 ，对每个8 8 。，系统( 2 3 ) 的解满足下面的不等式； z 1 厶( 壶l v 圣1 2 + s f l 垂j 2 ) e 2 ”d 。出，r ， ( 2 7 ) v i i i ( 9 1 6 1 ) e ”i 1 莹z ( 。丑打叫e ) ) + 上e n “，s fl 西f 2e 2 ”d x d t ， 其中，常数c 连续依赖于a ，l ia i 怯，l ib i 怯，而与8 无关 我们注意到( 9 1 一b l ) e ”= 2 v 妒v p e “+ l 】口伊”一b l w e ” 2 ( v p v , ) e 8 “= 2 v ( 妒v p e 3 。1 2 妒a p e 5 。一2 w s e 5 0 v p v a 因此，存在常数c 0 使得 l 2 ( v p v 妒) e 5 q | j 羔：( 。，t ；日一，( e ) ) g 川妒e v pi i 乙：( e ( 。，) ) w + f 2 8 1 1 1 妒e 阳p + 妒s e 帕v p v a1 | 2 2 ( e ( o ，t ) ) 】， 、 由p 的定义，我们有，在q u c0 上v p = 0 ，户= o ；同时e ” 0 使得对任意s s 1 ，ls e 扣。i 0 ，选定s o ( a ) 0 使得( 2 7 ) 对所有 8 s o ( a ) 成立下面我们考虑( 2 7 ) 中取a = a ，则a ，都固定了。 引理2 2 由于卢c 2 ( 6 ) ，则存在正常数礼啦使得 祸t fs 志-( 丁一) 一、一t ( t t ) 引理2 3k ，k 为正常数满足 e 2 i l l # l i e ( e ) 一e 口( k ，z 0( 2 1 2 ) 则对。 ，有 i 丽与e s 6 怯( ( e 叫( o ) s _ e - 1 1 ( 2 1 3 ) 证明：固定z en c0 ，记 。( t ) = 2 i 。南e 3 6 ，r ( z ) = e 5 1 1 4 1 1 c ( o ) 一e 8 z ， ( 2 1 4 ) 有a ( t ，z ) = - ( t ( t 一) ) _ 1 r ( 。) 于时 单调递斌因此。 。 ，、 f ( f ) = ( 南) e 。当亍 譬 从上面两种情形，都可以得到： m a 。x 】( 。) _ ，$ 菊4 】( 1 - ) 啦( 于) = 而1 e ， ( 2 1 5 ) 面e 毕 将( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 和( 2 7 ) 结合起来，得到 z 1 以南( 2 + r w 1 2 ) e 2 “出出g z r 乙( w 2 + 妒2 矽t + a 上e ( j 圣j 2 + w j 2 ) 8 2 姬如出 + e z l 五m 丽圭酉( i 圣1 2 + j w j 。) 沙a 如d t ， 由于币面乒4 8 ，t ( 。，t ) ，取。四。，则右边第二项可被左边吸收，纂鲁 利用引理( 2 _ 3 ) ，右边第三项可被右边第硬吸收，所以我们取 。m a x 勒( 天) ，曲，c t 2 ， 得蛰l z t ( i 圣1 2 + i n e 2 硒如d t c f o t 石。，( u 。+ 妒。) 。；a 出出 注意到在q u 上p = 1 ，上式成为： z t 上、( c p 2 + w 2 ) e 2 硒出d * c f 工m ：+ 妒。) 。赫如以 7 硕士学位论文 m a s 矗r st h e s i s 进一步有 f o t 胪+ u 2 ) e 2 9 & d x d t 时，i i e 。一5 ) 6 画i l l 一( 。，) f c ，于是 e ( 声1 + i i 。z 厶，沙叩妒。， 以= f q re ”7 7 l 3 u z ( f l o e ( 1 - r ) ，r l z l 3 b l _ g 岛。( 。r ) 。画叩s + 2 6 2 防。( 。一，3 ) 曼乏 当q r 时i ie ( q - 0 a 丘ti l l * ( ) f c ，于是 j 2 g 声p l + 卢i i6 2i i o 。+ 风i j 6 ，j j 。) e r a 矿3 l j 2 d x d t 对以，由c a u c 埘一s 矾。r 把不等式，可得 ( 3 5 ) 如2 厶r 扩2 叩1 6 w 2 抄r 2 叫2 汹叩2 3 6 l + s 岛e 2 - r 2 ) 6 锄l 3 一风e 。7 2 一7 2 姬印1 7 3 ( 。l + 幻) + 2 卢1 8 ( g r 2 一；2 ) a a 2 e e ；1 2 ；l l 2 d z 出 当q ( + 0 2 时，容易得到 也g ( f j6 1 + 鳄i i 。2i i 。+ 瞰2 而1 + i i6 2 1 1 。+ j | n 】) ) e m ，7 i z w 2 如出 彬厶，矿哳2 如以 下面来估计五，首先由分部积分得到 ( 3 | 6 ) 2 7 厶，e 砸矿肛lv 妒j 2 如疵+ 二，( 矿6 _ 4 3 ) p 2 如出 ：篡幺2 裂差瓮袅篙嚣出 石，( e p a 叩4 3 ) 妒2 如出= 厶，e “印p 2 毋叫a 函z f v 画j 。q ，s + p 却，。 + 3 8 p v 丘v 叩叩一2 7 3 + 4 9i v 叩j 2r - 5 3 + 4 1 3 a 口，7 2 a ) d x d t 容易检验如下事实 1 0 q嚣 叭| | ； 昕| | j | 椰 邮 一叩 ” v ，c 尹 旧丁 b 钾 丘 | | v 膳 i 审 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 田j 比， 厶，z x ( 扩, 7 4 3 ) 妒2 如出g ( 1 + 去) 厶，q 妒2 d z 比 重复上述计算，可以得到 的估计 以一2 厶，扩叩4 7 3 iv 妒p d x d t - 2 卢t 厶，扩目2 7 3 iv “1 2 捌 + 2 风尼，e 掘叩v 妒v u 如譬c ( + 去) 厶，e 蒯”扩如出 ( 。7 ) e p t ( 1 + 再1 ) + 藤( 1 + 去) 乞，e 7 6 q 1 7 3 叫2 如出 综合( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，我们选择卢1 臃1 并让 岛2 ( 1 + f 1 + i i ( 。峨) 盯， 于是， e 硒q l p 2 d x d t 兰c e 6 叩1 3 u 2 d x d t ， j q tj 0 7 又在u 7 上叩= 1 ，在u 上7 7 1 ，我们得到 t l , c p 2 e f i 触g z t 上渺妣 结合( 2 1 8 ) 式，易得： z tf n ( 妒2 + w 2 ) 矿蜓gz r 上e r a o j 2 d x 出 这就证明了性质f 3 1 1 利用上述性质，我们得到观测不等式： 定理3 2 ( 观测不等式) 假设( 日3 ) 成立，对t 0 以及任意( 妒o ，u o ) ( l 2 ( q ) ) 2 ，a i ，阢l ”( q ( 0 ，t ) ) ，满足1 | ( d 。：b i ) l l 。_ r ，则存在常数c ，使 系统( 2 1 ) 的解满足： ，t ， f ( 【p ，u ) ( ，0 ) i i 知( n ) l 为f u 2 d x d t ( 3 8 ) 1 1 证明：在系统( 2 1 ) 的两边同乘以( 妒，u ) ，再在n 上作积分，番t t j 得到 一刻( p ，训吻) + f fv 妒幢。( n ) + f f 钆幢。( n ) 2 f f a a l 妒2 d x + 五( 。+ 6 ，) 妒u 出+ z 如u 2 如 面a ( 8 。1 批小批( 忆u ) | 兰2 ( n ) ) o ，( 鲫) 在 t 4 ，t j 上对上式积分，其中t 阱，a t 4 l ，得 f ( 妒，“) ( ，专) f f 2 z ( n ) e c o 刊毛川) 吾i i ( 妒，u ) ( ，t ) | | i 。f n ) ( 3 1 0 ) 进一步在口_ 4 ，3 t 4 上对( 3 1 0 ) 式积分，有 u ) ( ，训t ：御) - e c ( 1 + j j ( a , , b , ) l l o 。) 3 t 4 z ( 妒。+ 。) 如出， 另外，在【o ，t 4 上对( 3 9 ) 式积分，有 ( 3 1 1 ) j j ( 妒，“) ( - , 0 ) f 2 ：( n ) se c 1 + 小q ，k i ( 妒，u ) ( ，了t ) j 1 2 ：( 啦， ( 3 1 2 ) 注意到 e 2 妞芝唧( 一黔川；孓 再结合( 3 - l o ) ，( 3 1 1 ) 和性质( 3 1 ) ，我们得到 j f ( 妒，u ) ( 。，o ) 胫。( n ) 岛f 7 c d 2 如出 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章系统的精确零能控性和逼近能控性 在这一章，我们给出定理1 1 和足理1 2 的证明，证明方法参考 1 0 j ： 定理1 1证明：对任给( 妒o ，u o ) ( l 2 ( q ) ) 2 ，( 妒，u ) 为系统( 2 1 ) 的解， ( y ，石) 为系统( 1 1 ) 的解，我们引入价值函数； f f ( ( p 0 ( d 0 ) = ；j ( t 上u 2 如疵+ si i ( 扩，) 忆t ( n ) + 二( 动) 、( 妒，u ) ( - ，t ) 如托 ( 4 t 1 ) 价值函数j ：( l 2 ( q ) ) 2 _ r 是连续凸函数，并且由唯一连续性知j 是严格凸 的，且有 i i i 端：e ( a z ) o o ) | | l 2 l 2 l | ( 妒“，叫”川l 2 x 驴一 、 7 因此，j 有唯一的最小值点； ( 。，。) ( 工2 ( q ) ) 2 ： t ，( 庐。，白。) = ( 妒。，。m ) i ( n l ：( ) ：t ，( 妒。，u 。) 令，= o x c o ，其中( 蟊o ) 为系统( 1 5 ) 的解，( 庐o ，o o ) 为初值。可以证 明控制，即为定理1 1 中所要的。 任意给定( 妒o ，妒) ( l 2 ( q ) ) 2 及a r 我们有 j ( 庐o ，白o ) 墨t ，( 乒o + a 妒o ，西o + a 西o ) ， 换而言之， 一a ， n ( y o ，, z o ) ( 州( + ，o ) 如 一a 上上。妒如班 ；a 2 上1l 2 d x d t + i i ( 眵。+ a 砂。，白。+ a 咖。) j j l z ( n ) 一| | ( 庐。，。) | k 。( n ) ( 4 3 ) ( 4 3 ) 式两边同时除以a 0 并令a _ 0 + 得到： 一五( 跫) ( 妒，妒) ( ，o ) d x - f 0 2 上面如出 1 姓萨刘( 矿+ a 妒。，护+ 咖。) 岫n ) 一i i ( 乒。，c ： 。) 慨n ) ) = 矿可巧溉二( 。，。0 ) 。，妒) 出 e 1 l ( 妒，庐o ) l l l ： 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在a 0 的情况重夏上述过程，最终得到； i f o ( y o ，z o ) - ( 妒删，o ) 出+ 上1 上丘z o d x d ti 曼sl i ( 妒。，扩) 慨咿( 4 4 ) 另一方面，用( 妒，) 乘以( 1 1 ) ，注意到( 妒，咖) 是( 2 1 ) 的解，由分部积分得 到： o ( s ，z ) ( ，r ) - ( 妒。，曲。) 出一o ( 。，知) ( 妒，西) ( ，o ) d x = f o tl f c d x d t ( 4 5 ) 结合( 4 4 ) 、( 4 5 ) ，有 l 上( ，z ) ( ，t ) ( 妒。，妒) 出+ 上t z 一，) d z 出l s | | ( 咖。，矿) i i 叫咿 ( 4 6 ) 令f = 西地得到 l 厶( 舭) ( ，t ) ( 妒扩) d x 。，删椰) 由( 砂o ，妒) ( 2 ( q ) ) 2 选取的任意性知 ( y ，；) ( - ，t ) = ( 0 ，o ) ( 4 7 ) 明显地，j ( 庐，西) j ( 0 ，0 ) = 0 由柯西不等式得到： ；z 丁上西2 如毗+ el i ( 。，。) 忆。( n ) i l ( 珈，铂) 忆：( 删i i ( 事，白) ( ，o ) 忆z ( n ) ( 4 8 ) 联合( 4 8 ) 及观测不等式( 3 1 ) ，最终得到： l 川：。( 。( o ，) ) sc t | | ( y o ，z o ) 怯( n ) 这就完成了定理1 1 的证明 定理1 2证明类似于定理1 1 证明的讨论，我们可以得到系统( 1 1 ) 的 逼近能控性，其中唯一连续性由c a r l e m a n 型估计直接得到，而在第二部分我 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 们得到了这一估计为了得到逼近控制正，我们极小化如下价值函数： ( 妒。，护) = ；0 1lw 2 d z d t + s 。，u 。) 慨n ) 一五( 轧z ，) ( c p o , w o ) d x d t + ( v o ，z o ) ( 妒，u ) ( ，o ) d x d t ， ( 4 9 ) 其中( 妒，u ) 为系统( 2 1 ) 的解，而( 妒，u ) ( ，t ) = ( 妒，u o ) ( l 2 ( q ) ) 2 为系统的 初值类似定理1 1 的证明，给定任何( 妒o ，扩) ( l 2 ( f 2 ) ) 2 及a r 我们有 ( 9 0 ，西o ) ( 事o + a 砂o ，白o + a o ) t ) ( 矿，扩) 出+ 上t 上一f ) d ) d x d t 一上( 弛z ，) ( 砂。，曲。) 出l e | | ( 杪，o ) 怯( n ) ( 4 1 0 ) 令丘= 西地得到 1 五( ( t ) 一。( t ) 一z - ) ( 妒，矿) 出i sj f ( 扩，扩) | l 驴( n ) 由( 妒，o ) ( l 2 ( q ) ) 2 的任意性，我们可以选择( 妒，扩) = ( ( t ) 一y ，2 ( t ) 一z 1 ) ， 那么1 | ( ( t ) ，= ( t ) ) 一( y i ，z 1 ) l l ，即满足( 1 3 ) ，完成定理( 1 2 ) 的证明 1 5 参考文献 f 1 1v c a b a n f l l a s ，s d em e n e z e s ，e z u a z u a ，n l l l lc o n t r o l l a b i l i t y i nu n b o u n d e d d o m a i n sf o rt h es e m i l i n e a rh e a te q u a t i o nw i t hn o n l i n e a ri n v o l v i n gg r a d i e n t t e r m s j ，o p t i m t h e o r ya p p l i c a t i o n 2 1 o y u i m a n u v i l o va n dm y a m a m o t o ，o n c a r l e m a n i n e q u a l i t i e sf o rp a r a b o l i c e q u a t i o n si ns o b o l e vs p a c e so fn e g a t i v eo r d e ra n de x a c tc o n t r o l l a b i l i t y f o r s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，p r e p r i n t9 8 - 4 6 ，u u i v e r s i t y o f t o k y o - g r a d u a t e s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，j a p a n ( 1 9 9 8 ) f 3 1c f a b r e ，j p p u e la n de z u a z u a ，a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yo f t h es e m i - l i n e a rh e a te q u a t i o n ，p r o c r o y a ls o c e d i n b u r g h ，1 2 5 a ( 1 9 9 5 ) ，3 1 6 1 4 j l l i o n s ，r e m a r q u e ss t i rl ac o n t r s l a b i l i t da p p r o c h e ，i nj o r n a d a sh i s p a n o - f r a n c e s a ss o b r ec o n t r o ld es i s t e m a sd i s t r i b u i d o s ，u n i v e r s i t y o fm h l a g a ， s p a i n ，1 9 9 1 ，p p 7 7 - 8 7 ， 5 1c ，f a b r e ，u n i q u e n e s sr e s u l t sf o rs t o k e se q u a t i o n sa n d t h e i rc o n s e - q u e n c e si n l i n e a ra n dn o n l i n e a rc o n t r o lp r o b l e m s ，e s a i m ：c o c v ，1 ( 1 9 9 6 ) ，2 6 7 3 0 2 ， f 6 1e ，f e r n a n d e z - c a r a ，r e m a r k o nt h e a p p r o x i m a t e a n dn u l lc o n t r o l l a b i l i t y o fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，e s a i m ：p r o c e e d i n g s ，v 0 1 4 ，1 9 9 8 ，7 3 8 1 7 】x u n j i n gl ia n dj i o n g m i ny o n g ，o p t i m a l c o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t ed i m e n 。 s i o n a ls y s t e m s ，b i r k h s u s e r ，b o s t o n ，1 9 9 5 ，p p 2 8 6 2 9 4 8 1a v f 、a r s i k o v ，o p t i m a lc o n t r o lo fd i s t r i b u t i o ns y s t e m st h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s ，a m s p r o v i d e n c e ，r h o d ei s l a n d2 0 0 0 9 】f a m m a rk h o d j a ，a b e n a b d a l l a h 、c d u p a i x a n di k o s t i n ，c o n t r o l l a b i l i t y t ot h et r a j e c t o r i e so f p h a s e f i e l dm o d e l sb yo n ec o n t r o