（运筹学与控制论专业论文）非线性生物数学离散模型的时空动力学.pdf

摘要 本文主要研究非线性生物数学离散模型的持续生存性和平衡态的稳定性及其周 期性等相关问题。系统地总结了作者在攻读博士学位期间所取得的研究成果。 本文主要从以下几个方面进行展开： 第二章，首先我们基于l o t k a - v o l t e r r a 型，h o l l i n g - t a n n e r 混合型和具有b e d d i n 酵o i l d e a n g e l i s 功能性反应等几类连续型的捕食一食饵系统，分别建立并研究了相应的 捕食一食饵型非线性生态数学动力离散系统的种群的持续生存性，并给出了数值模 拟，直观地说明所得结论的正确性；我们还建立以生物化学计量学原理为基础的离 散模型，研究系统的有界性、全局吸引性等动力学；最后，利用实际的数值模拟， 生动直观地展示了更符合实际的复杂的生物动力学现象。 第三章，着重对具有有限时滞的反馈控制和具有无限时滞的反馈控制生态动力 离散系统以及斑块种群动力离散系统的时空性进行研究首先，考虑一类非自治具 有有限时滞和反馈控制项的一种群离散l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型得到了该系统持 久性的一些充分条件这些结论表明：人们可以选择适当的控制项来使得种群能够 生存下去，不至于灭绝这对保护野生动物有一定的指导作用我们还给了一些数值 模拟说明了结论的可行性接着，我们提出了一类具有无穷时滞和反馈控制的离散 生态数学模型，并研究了该系统的持续生存性最后，考虑了一类非自治具有扩散的 三种群捕食一食饵离散系统此系统中的捕食者被限制在一个斑块中而不能扩散， 而食饵能够在两个斑块中活动我们将证明在一定的条件下该系统能持续生存进 一步，如果模型中的系数是周期函数，那么，利用文【6 4 】中研究的方法，将获得判 断该系统正周期解的存在性和全局稳定性的充分条件 第四章，提出并讨论了广义的g i l p i n a y m a 竞争离散系统和一类多种群竞争增 长模型的周期性及持久性和正解的收敛性首先，在g i l p i n a y a l a 竞争连续系统的基 础上，建立了广义的g i l p i n a y a l a 竞争离散系统，通过不等式技巧及相关的结论， 证明了系统的持续生存性和周期解的存在性其次，利用不动点定理，我们又研究 了一类多种群竞争增长离散模型的正解的收敛性等动力学行为 第五章，讨论一类基于文献f 1 6 0 研究的具有时滞和基于比率的三种群食物链 捕食连续系统相应的离散系统的持久性和周期解的稳定性以及具有时滞的n 一种群 食物链动力模型的持续生存性等问题 至q q z 生土塑太堂簋堂僮途塞 ! ! 第六章，利用泛函微分方程理论，构造非负定l y a p u n o v 函数获得了判断几类 差分系统所有解有界的充分条件然后把我们所得的结论应用到种群动力系统中得 到了系统的所有解有界的新的条件 第七章，首先我们利用第二l y a p u n o v 方法，讨论了几类时滞离散系统零解的 渐近稳定性；然后，把结论推广到非自治神经网络动力系统中，并且得到了一些好 的结论我们的结论更适合于计算最后，我们利用拓扑度方法研究一类非自治神 经网络模型的周期解的存在性 关键词：多物种生态系统；种群动力学；正周期解；动力学；重合度理论；p r e d a t o r - p r e y 模型；种群竞争模型；微分差分方程；离散模型；稳定性；l y a p u n o v 方法；不 动点定理；l o t k a - v o l t e r r a 模型；时滞；持久性；连续模型；神经网络；数值仿真 呈q q z 生土篷太堂擅堂僮迨塞 ! ! ! a bs t r a c t t h es p a t i o - t e m p o r a ld y n a m i c sb e h a v i o rf o rs e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a l b i o l o g yd i s c r e t em o d e l sa r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r i ti sas y n t h e s i so ft h ea u t h o r s r e s e a r c hw o r kw h e nh ei sap h d c a n d i d a t ei na p p l i e dm a t h e m a t i c s t h i sp a p e rc a nb ed i s p a r t e dt os e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s t r u c tt h r e ed i s c r e t em o d l e so fp r e d a t o r p r e yn o n l i n e a rs y s t e m ， b a s e do nt h el o t k a - v o l t e r r at y p e ，h o l l i n g - t a n n e rm i x e dt y p ea n db e d d i n g t o n d e a n g e l i s f u n c t i o n a lt y p eo ft h ec o n t i n u o u st i m es y s t e m s ，a n di n v e s t i g a t et h ep e r m a n e n c eo ft h e d i s c r e t ea n a l o g u eo ft h ec o n t i n u o u ss y s t e m s t ov e r i f yt h eo b t a i n e dc o n d i t i o n s ，s o m es p e - c i a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ea l s oi n c l u d e d f u r t h e r ，w ep r o p o s ead i s c r e t ep r e d a t o r p r e y b i o d y n a m i c ss y s t e mb yb i o l o g i c a ls t o i c h i o m e t r y ，t h e nw es t u d yt h ed y n a m i c so ft h i sd i s c r e t em o d e l w ee s t a b l i s hr e s u l t so nb o u n d e d n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t y f i n a l l y ，s e v e r a l n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt os u p p o r tt h ec o m p l e xp h e n o m e n ao ft h eb i o d y n a m i c s s y s t e m i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yc o n c e r n st h es p a t i o - t e m p o r a ld y n a m i c so ft h en o n a u t o n o m o u s d i s c r e t eb i o d y n a m i c ss y s t e mw i t hf i n i t ed e l a y so ri n f i n i t ed e l a ya n df e e d b a c kc o n t r o l sa n d an o n a u t o n o m o u st h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r p r e yd i s c r e t et i m em o d e lw i t hd i f f u s i o n f i r s t ，a n o n a u t o n o m o u sn s p e c i e sd i s c r e t el o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i v es y s t e mo fd i f f e r e n c ee q u a - t i o n sw i t hd e l a y sa n df e e d b a c kc o n t r o l si sc o n s i d e r e d n e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b - t a i n e df o rt h ep e r m a n e n c eo ft h i sd i s c r e t es y s t e m t h er e s u l t si n d i c a t et h a to n ec a nc h o o s e s u i t a b l ec o n t r o l st om a k et h es p e c i e sc o e x i s t e n c ei nt h el o n gr u n i ti sv e r yi m p o r t a n tt o p r o t e c tw i l d l i f e n e x t ，ad i s c r e t eb i o d y n a m i c ss y s t e mw i t hi n f i n i t ed e l a ya n df e e d b a c k c o n t r o li sc o n s i d e r e d ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d f i n a l l y , an o n a u t o n o m o u st h r e e s p e c i e sp r e d a t o r - p r e yd i s c r e t et i m em o d e lw i t hd i f f u s i o n i ss t u d i e d ，w h e r et h ep r e d a t o r sa r ec o n f i n e dt oo n ep a t c ha n dc a n n o td i s p e r s e ，t h ep r e y s p e c i e sc a nd i s p e r s eb e t w e e nt w o - p a t c h e s i ti sp r o v e dt h es y s t e mi sp e r m a n e n tu n d e r a p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e ，i ft h ec o e f f i c i e n t si nt h es y s t e ma r ep e r i o d i c ，b y e m p l o y i n gt h et e c h n i q u eo fh u oa n dl i 【6 4 1 ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h e e x - i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t yo fap o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d i n 至q q z 生土渔太堂蝗堂僮迨塞! y t h i sp r o c e s s ，w eg i v ea ne x a m p l ea n ds i m u l a t i o nt oi l l u s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo fo u rr e s u l t s i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yad i s c r e t em u l t i s p e c i e sg e n e r a lg i l p i n a y a l a c o m p e t i t i o np r e d a t o r p r e ym o d e la n dad i s c r e t em u l t i s p e c i e sc o m p e t i t i v em o d e l f i r s t ， w ep r o p o s ead i s c r e t em u l t i s p e c i e sg e n e r a lg i l p i n a y a l ac o m p e t i t i o np r e d a t o r p r e ym o d e l b yu s i n gn e wd i f f e r e n c ei n e q u a l i t ya n dn e wt e c h n i q u e ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d f o rt h ep e r m a n e n c ea n dt h eg l o b a ls t a b i l i t y a n dad i s c r e t en o n a u t o n o m o u sm u l t i s p e c i e s g r o w t hc o m p e t i y i v es y s t e mi si n v e s t i g a t e d b yu s i n gt h em e t h o do ft h ef i x e dp o i n tt h e o - r e i n s ，as e to fs i m p l ea n de a s i l yv e r i f i a b l ec o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ee x i s t e n c eo fc o n v e r - g e n to rd i v e r g e n tp o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e r5 ，w ec o n s t r u c tad e l a y e dd i s c r e t et i m el o t k a - v o l t e r r at y p et h r e es p e c i e s f o o d c h a i nm o d e lb yt h ec o n t i n u o u sm o d e li n 【1 6 0 s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d f o rt h ep e r m a n e n c ea n dt h ef e a s i b i l i t yo ft h eo b t a i n e dr e s u l t sa r ei l l u s t r a t e dw i t ha n e x a m p l e n e x t ，b ya p p l y i n gt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，w ea n a l y z e t h ep e r m a n e n c eo fak i n do fd i s c r e t e 几一s p e c i e sf o o d c h a i ns y s t e mw i t hd e l a y s i nc h a p t e r6 ，b ys o m et h e o r y so f f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，n o n n e g a t i v ed e f i n i t el y a p u n o vf u n c t i o n sa r ee m p l o y e dt oo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a t g u a r a n t e eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i s c r e t es y s t e m s h o w e v e r ，t h e r e s u l t sa r ei l l u s t r a t e dw i t hs e v e r a ls p e c i e sb i o d y n a m i c ss y s t e m s i nc h a p t e r7 ，w ef i r s to b t a i ns o m ec r i t e r i af o rd e t e r m i n i n gt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h ez e r os o l u t i o nf o rs o m ec l a s s e so fd e l a y - d i f f e r e n c es y s t e m sb yu s i n gad i s c r e t ev e r s i o n o ft h es e c o n dl y a p u n o vm e t h o d f u r t h e r m o r e ，t h er e s u l t sa r ea p p l i e dt on o n a u t o n o m o u s d i s c r e t e - t i m ed y n a m i c a ln e t w o r k sw i t hm u l t i p l ed e l a y s ，a n ds o m en e wr e s u l t sa x eo b t a i n e d o u rr e s u l t sc a r lb ew e l ls u i t e df o rc o m p u t a t i o n a lp u r p o s e s f i n a l l y , w i t ht h eh e l po f c o n t i n u a t i o nt h e o r e mi nc o n i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，w es t u d y e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no fn o n a u t o n o m o u sd i s c r e t e - t i m ed y n a m i c a ln e t w o r k s s y s t e m k e y w o r d s ：m u l t i s p e c i e se c o l o g i c a ls y s t e m ；p o p u l a t i o nd y n a m i c s ；p o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n ；c o i n c i d e n c ed e g r e e ；p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ；c o m p e t i t i o ns y s t e m ；d i f e r e n c ea n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d i s c r e t em o d e l s ；s t a b i l i t y ；l y a p u n o vm e t h o d ；缸e dp o i n tt h e o r e m ； l o t k a - v o l t e r r am o d e l ；d e a l y ；p e r m a n e n c e ；c o n t i n u o u sm o d e l s ；n e u r “n e t w o r k s ；n u m e r i c a l s i m u l a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 日期：力嘭1 1 0 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签痧砬新弥舭咻洳玑。 至q q z 生土篷太堂擅堂僮迨塞 ! 第一章绪论 1 1 引言 “数学模型”已成为学术界通用的术语，受到普遍的重视。数学模型已经渗透到 了科学技术各领域，成为人们研究客观世界的一个重要手段 2 6 】数学模型足以数 学结构的语言对客观研究对象的一个抽象或提炼，以使人们可以用数学的思想和方 法得到对所研究对象的更深层次的理解，它是构架于数学和客观世界之间的桥梁， 数学思想方法通过它可以应用于客观世界，从而促进科学的发展和人类的进步，反 过来又源源不断地为数学的发展提供动力 2 0 世纪是生态学成熟和发展的时期数学生态学是生态学的一个重要的分支学 科，它是数学思想和数学方法在生物学中的应用体现在2 0 世纪2 0 年代至4 0 年代 这一时期，生态模型都是在严格的假设条件下推导出来的，有严密的数学物理学基 础，表达式很简练，描述了一些理想情况下生态过程的变化这一时期最有名的数学 模型有l o g i s t i c 模型；l o t k a ( 1 9 2 3 ) 和v o l t e r r a ( 1 9 2 5 ) 的捕食模型；t h o m p s o n ( 1 9 2 4 ) 的昆虫拟寄生模型； k e r m a c k m c k e n d r i c k ( 1 9 2 7 ) 的传染病模型等随后，生态模型 的进展主要是对种群动态模型的深化，考虑到诸如年龄结构、时滞、迁移、种群内 与种群间的竞争、合作、取食行为以及功能响应效应等情形其代表性的模型是具 有年龄结构的l e s l i e ( 1 9 4 5 ) 且针对不同类型的物种提出了三种不同的功能性反应函 数模型【1 0 ，2 5 ，4 9 ，6 2 种群动力学行为的研究，是经典生态学研究的核心问题之一，至今仍然是数学 生态学中的重要议题经典生态学研究的种群动态往往是在同质空间里研究，因而 种群的平均密度就代表了这一区域的种群大小然而，自2 0 世纪7 0 年代以来，由 于人类活动的干扰和种群栖息地的破碎化，因此，种群在空间的动态的复杂化越来 越受到关注 对生态学数学模型的研究虽然已有近一个世纪的历史了，但生态学数学模型应 用比较成功的例子并不多见，主要原因是生态系统不是刚性系统对生态学数学模 型的研究主要在于组建和分析更为复杂、更为广泛、更为逼真的生态学模型以增强 在生态学上的针对性例如，在传统的传染病数学模型的基础上，更具体地讨论了 诸如流感、血吸虫以及爱滋病与人类健康密切相关的疾病的不同传播特点。随着模 型针对性的提高，导致复杂程度的增加，与此同时，多变量、离散性、非线性、时 滞作用等现象都在模型中有所体现，正因如此，现在对生态数学模型的建立与研究 引起了更多的兴趣当前有关数学模型的研究和探讨已远远超出了传统的范围，各 类模型相互交叉，大大丰富了数学模型的研究内容数学方法在生态学中的应用， 大大推动了生态学的发展可以预测，数学模型方法和思想在生态学的研究中，在 实际生态问题的解决上将发挥更大的作用 生物学上，人们研究生物种群数量变化的方式和规律通过适当的假设利用微分 方程建立连续生物数学模型或者利用脉冲微分方程建立的不连续生物数学模型，现 已成为当今生物学研究的热点 1 0 ，3 1 ，4 6 ，5 4 ，1 7 1 ，1 7 2 ，1 7 3 】然而，在实际的研究过程 中，往往是选取一定的时间点，统计其数量，分析其结果，判断其发展趋势这种做 法与连续模型相比较，更接近离散模型因此，利用差分方程建立的离散的生物数 学模型的研究是近几年来的一个重要的研究课题 1 ，1 7 ，2 8 ，4 0 ，4 2 ，4 4 ，4 9 ，1 2 4 ，1 4 8 】在离 散动力系统的研究中，我们发现，在振动性或渐进性方面，连续性模型与离散性模 型在许多结果上是相似的或平行的但也有许多结果存在本质差别例如，l o g i s t i c 方程 d x z f t l - 9 - ；= r x ( t ) ( 1 一半) 的每一个解都是单调的然而，对于它类似的离散模型 x ( n + 1 ) = a x ( n ) ( 1 一z ( n ) ) ， 在当a = 4 时却有一个“混沌”解由于差分方程表达的离散系统在客观世界中大 量存在，且通常离散系统与相应的连续系统具有不同的特性因此，人们对差分方 程所描述的离散动力系统的研究产生了浓厚的兴趣 6 2 ，6 3 ，8 8 ，8 9 ，9 2 1 0 6 ，1 6 7 ，1 8 0 】近 几年来，越来越多的学者发现，对于寿命短，世代不重叠的种群或种群数目较小， 在某时间间隔内形成一代，那么离散数学模型( 差分方程模型) 比连续模型( 微分 方程模型) 更加符合实际此外，利用差分方程模型可以实现连续模型的数值计算 或计算机模拟因此，研究差分方程所描述的生物数学模型，不仅有着重要的理论 意义，而且有重要的应用价值众所周知，与连续模型相比，离散模型研究的难度 更大 至q q z 生土逛太堂监堂焦迨塞 墨 我们知道，自然现象的周期性变化，是影响生物种群增长的重要因素，生物的 周期性就是对这些周期现象适应的结果对生物周期性的研究是生物学与生物数学 的一个非常重要的课题，历来受到学术界的重视【1 8 ，2 0 ，2 4 ，2 8 ，4 3 ，4 5 ，4 8 ，6 1 ，6 3 ，8 7 ， 8 9 ，1 5 2 ，1 6 4 】不过，我们发现在现有的研究生物动力系统的周期性的文献中，绝大 部分都足利用重合度理论中的延拓定理正因如此，我们还将于本论文中利用别的 方法去分析研究生态数学离散模型的周期解的存在性 动力系统稳定性是自然科学与工程技术中人们普遍关心的问题因为一个实际 运动或工作的系统，总不可避免各种干扰，干扰的后果如何，是大家必须考虑的问 题 1 2 ，1 5 ，2 2 ，2 3 ，3 l ，3 4 ，5 8 ，6 8 ，9 1 ，1 2 4 ，1 3 1 ，1 5 9 ，1 7 6 】在生物数学模型的研究中，我们主要 是考虑离散系统的平衡点的稳定性，特别是正平衡点的稳定性 由于生态环境的变化，考虑生物种群的持续共存性是生态学研究的重要问题 【1 4 ，1 5 ，2 3 ，2 5 ，2 8 ，3 2 ，3 6 ，3 8 ，4 95 8 ，6 2 ，7 2 ，9 0 ，9 9 ，1 0 3 ，1 1 6 ，1 2 4 ，1 3 6 ，1 6 8 ，1 7 0 】。在生物数学的研究 中，对标准的l o t k a - v o l t e r r a 型的p r e d a t o r p r e y 模型的持久性已有大量的研究在 生物学的研究中，人们发现为了保护一些珍贵的野生动物，常常采用扩散的方法让 即将灭绝的种群迁移生存环境或提供避难的场所，从而达到保护的目的近年来， 具有扩散的种群的动力系统的研究受到生物数学界的重视，在连续动力系统的研究 方面也取得了比较丰富的结果，至于离散动力系统所描述的生态数学模型在这方面 非常少 时间滞后( 时滞) 是影响生物种群增长的又一重要因素，在许多情况下，生物 种群密度的变化对于增长率的影响效应都不是瞬时发生的，而是具有时间延迟的 因此，在生态数学模型的研究中，为了更真实地反映客观世界，时滞是不可忽视的 重要因素 在本论文中，我们主要是利用微分方程和差分方程的定性理论，综合考虑实际 生态过程中的时滞效应，研究几类生物数学中的非线性离散动力系统的周期性、持 续生存性、平衡态的稳定性等动力学行为，并且利用m a t l a b 软件对所研究的离散 系统进行数值模拟说明结论的正确性 1 2本文的主要工作 本文主要将从如下几个方面进行研究和探讨 ( 1 ) 捕食一食饵型生态数学动力系统 捕食者食饵关系是多物种问相互作用的基本关系，在客观世界里是普遍存 在的，是生态学和数学生态学研究的主要课题之一【1 5 ，1 9 ，2 5 ，3 9 ，5 6 ，1 2 5 ，1 7 1 】在研究 中发现，许多生物模型都应该由差分方程建立的离散模型更符合实际在离散化方 面，捕食一食饵系统动力学的研究结果不多见在这部分，基于l o t k a - v o l t e r r a 型， h o l l i n g - t a n n e l 。混合型和具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应等几类连续型的捕食 食饵系统，我们将要建立并研究相应的捕食一食饵型非线性生态数学动力离散系 统的全局稳定性和持久性等动力学行为并且首次建立以生物化学计量学原理为基 础的离散模型，考虑两种元素碳( c ) 和磷( p ) ，研究食物质量对系统的影响，并利用 大量的数值模拟，生动的展示了更符合实际的复杂的生物动力学现象希望这些结 论能够对解决实际问题，特别是保护和维持生物多样性提供一些理论依据 ( 2 ) 反馈控制与斑块种群动力系统的时空性 我们知道，在现实世界中生态系统经常会受到一些不可预测的因素的扰乱因 此，在生态学的研究中常常希望了解一个生态系统是否可以不受一些不可预 贝0 的因 素的干扰而长期生存下去，不会导致任何一种群的灭绝在研究种群的持续生存与 灭绝等问题时，种群的生存空间是不可不考虑的一个重要因素在种群的生态环境 中，扩散经常发生，也就是说，种群能够在两个或两个以上的路径中扩散。由于反 馈控制、捕食扩散系统在生态学中具有十分重要的意义，因此，近年来倍受生物数 学界关注【1 4 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 2 ，2 3 ，2 6 ，3 5 ，3 6 ，3 9 ，5 5 ，7 8 ，8 7 ，1 6 1 】 在这部分，我们着重对具有有限时滞的反馈控制和具有无限时滞的反馈控制生 态动力离散系统以及斑块种群动力离散系统的时空性进行研究首先，考虑一类非 自治具有有限时滞和反馈控制项的一种群离散l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型得到了该 系统持久性的一些充分条件这些结论表明：人们可以选择适当的控制项来使得种 群能够生存下去，不至于灭绝这对保护野生动物有一定的指导作用在最后，我 们还给了一些数值模拟说明了结论的可行性接着，我们提出了一类具有无穷时滞 和反馈控制的离散生态数学模型，并研究了该系统的持续生存性最后，考虑了一 至q q z 生土连太堂擅堂僮途塞 墨 类非自治具有扩散的三种群捕食一食饵离散系统。此系统中的捕食者被限制在一个 斑块中而不能扩散，而食饵能够在两个斑块中活动。我们将证明在一定的条件下该 系统能持续生存进一步，如果模型中的系数是周期函数，那么，利用文 6 4 中研 究的方法，将获得判断该系统正周期解的存在性和全局稳定性的充分条件 ( 3 ) 多物种生态竞争系统 我们知道，单一的生物种群是不存在的，任何生物种群均处于一定的生物群落 或生态系统中，与其他生物种群或生态环境发生各种各样的联系不同生物群之间 是相互作用的，存在着复杂的关系，种群竞争关系是生态系统中最普遍的一种现象 【1 3 ，3 1 ，3 8 ，4 6 ，9 1 ，1 0 9 ，1 1 5 ，1 6 8 】在同一环境区域中，生物种群越丰富，种群竞争也越激 烈在进化发展过程中，两种生物竞争的最后发展趋势是：一种生物完全排挤掉另一 种生物，要么就是两种生物达到某种共存态在这部分，我们将提出并且讨论了广义 的g i l p i n a y m a 竞争离散系统和一类多种群竞争增长模型的周期性及持久性和正解 的收敛性首先，在g i l p i n a y a l a 竞争连续系统的基础上，建立了广义的g i l p i n a y a l a 竞争离散系统，通过不等式技巧及相关的结论，证明了系统的持续生存性和周期解 的存在性其次，利用不动点定理，我们又研究了一类多种群竞争增长离散模型的 正解的收敛性等动力学 ( 4 ) 食物链动力模型的研究 近几年来，在生物学与生物数学的研究中，捕食系统中的食物链的动力学关系 一直是研究的重要课题已经有许多学者对这方面进行了大量的研究，并且得到了 许多有意义的结果【2 7 ，6 3 ，8 8 ，9 0 ，1 1 1 ，1 1 3 ，1 5 7 ，1 7 8 这章我们将讨论一类基于文献【1 6 0 研究的具有时滞和基于比率的三种群食物链捕食连续系统相应的离散系统的持久性 和周期稳定性以及具有时滞的几一种群食物链动力模型的持续生存性等问题 ( 5 ) 非线性泛函差分方程及其在种群模型中的应用 随着泛函微分方程理论的发展，利用泛函微分方程理论研究生物种群之间相互 作用的规律也越来越受到人们的广泛关注近年来，有关由泛函微分方程描述的种群 模型解的存在性、持久性和稳定性等问题已得了系统的研究【8 ，1 1 ，3 0 ，4 0 ，4 2 ，1 2 8 ，1 2 9 ，1 3 0 这里我们利用构造非负定l y a p u n o v 函数获得了判断下列差分系统所有解有界的充 分条件把我们所得的结论应用到种群动力系统中得到了系统的所有解有界的新的 条件 ( 6 ) 非自治神经网络的动力学分析 神经网络具有重要的理论意义和应用价值，在信号图象处理方面有重要的应用 前景，并且已经被广泛地应用于最优化计算，在许多重要领域的研究中发挥了巨 大力量。神经网络的稳定性是神经网络研究中的一个重要课题，近年来已经取得了 许多重要成果【5 7 ，6 0 ，6 7 ，8 0 ，其中大部分结论都集中在连续模型的情形我们都知 道，时滞在生物神经网络中是固有的，在人工神经网络中，由于硬件实验中的开关 延时、参数的变化等因素，只有充分研究时滞特性并在实际中考虑，才能使其实现 成为可能并开拓新的应用前景。在这一章中，首先我们利用第二l y a p u n o v 方法， 讨论了几类时滞离散系统零解的渐近稳定性；然后，把结论推广到非自治神经网络 动力系统中，并且得到了一些好的结论我们的结论更适合于计算最后，我们利 用拓扑度方法研究一类非自治神经网络模型的周期性 至q q z 生上连太堂擅堂僮迨塞 z 1 3 预备知识 为了讨论周期解的存在性，我们引入重合度理论中的延拓定理 5 3 设x ，z 是赋范向量空间，l ：d o m lcx z 为线性映射如果d i m k e r l = c o d i m l m l 0 与 x ( n + 1 ) x ( n ) e x p r ( n ) ( 1 一n z ( 礼) ) ) 对几【n l ，o 。) ，其中a 是一个正常数则 l i n m s 。u pz ( n ) s 赤e x p ( f 1 ) n o o u ， 引理1 2 3 ( e ji 理2 1 6 5 )假设 z ( 几) ) 满足 x ( n + 1 ) z ( n ) e x p r ( n ) ( 1 一n z ( 礼) ) ，n n o ， l i m s u p n x ( n ) k 和x ( n o ) 0 ，其中口一个正常数且a k 1 与n o n 则 l i n r a 。i 。n fz ( n ) 2 三e x p f ( 1 一n k ) ) 垫q z 生上连太堂墟堂僮迨塞 墨 定义1 2 1称系统 x in + 1 ) = x i ( n ) e x p ( 几，z 1 ( 几) ，z 2 ( 礼) ，z f ( n ) ) i = 1 ，2 ，f ， ( 1 2 1 ) 是持久的，如果存在正数m 和m ，使得对系统以2 j ，任意正解 z 1 ( n ) ，z f ( n ) ， 满足 m 1 i m i n f x i ( n ) l i ms u p x i ( n ) m ，i = 1 ，2 ，z n + n _ o 。 定义1 2 2 若对任意初值和某个i ( 1 i z ) ， j i mx i ( n ) = 0 ， n _ o o 则x i ( n ) 称为是灭绝的 定义1 2 3 称系统以2 纠是全局渐进稳定的，如果对系统以2 u 的任何两个正 解x ( n ) = ( x l ( n ) ，z 2 ( 礼) ，卸( n ) ) ，( n ) = ( y l ( n ) ，y 2 ( n ) ，y t ( n ) ) ，对每个i = 1 ，2 ，j 都有l i m 。i x i ( n ) 一玑( 佗) i = 0 连续模型的离散化 我们考虑下列具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能性反应的非自治比率型的捕食食 饵系统 窑一“( 咖】- 躲， ( 1 2 2 ) 【客= y - d ( t ) + 描津) 】，t o ， 、 其中z ( t ) ，y ( t ) 分别表示食饵种群和捕食者种群的密度 对于连续模型的离散化方法有很多，下面我们介绍其中的一种方法 首先我们利用具有逐段常数变元的微分方程推导出与系统( 1 2 2 ) 相应的差分 方程模型具有逐段常数变元的微分方程近年来引起了学术界的广泛关注，这类方 程在控制理论和生物模型中有着重要的应用，此类方程是连续和离散动力系统的混 合体，具有微分方程和差分方程的双重性质【1 5 4 】 在系统( 1 2 2 ) 中，假设食饵种群和捕食者种群的平均增长率( 或相对增长率) 按一定时间区间规则变化，则有 燃1d x 罢嘏淼费1 2 2 【赤鲁= 一删) + 硎删群b ，t o ， 至q q z 生土连太堂盟堂僮途塞 壁 其中 t 】表示t 的整数部分，t ( o ，+ ) ，系统( 1 2 3 ) 即是具有逐段常数变元的微 分方程，其动力学行为既不同于微分方程也不同于差分方程。 系统( 1 2 3 ) 的解是定义在t 【0 ，+ 。) 上且具有如下性质的函数z = ( x l ，z 2 ) t ： 1 x 在【0 ，+ 。) 上连续； 2 。血d t ，象在t 【o ，+ 。) 中除了t o ，l ，2 ，) 之外的所有点处存在，在t o ，1 ，2 ，) 存在左导数； 3 在区间 k ，k + 1 ) 上满足系统( 1 2 3 ) ，对任意的t 【k ，k + 1 ) ，k = 0 ，1 ，2 ，系统 ( 1 2 3 ) 两端同时从k 到t 积分得 z ( ) = z ( 七) e x p 【n ( 后) 一6 ( 后) z ( 后) 一磊玎i 譬】( t 一七) ) ，( 1 2 4 ) 1 秒( t ) = y ( k ) e x p 一d ( 后) + 磊爰】( 一后) ) 、。 令t k + 1 ，则有 z ( 七十1 ) = z ( 七) e x p ( 。( 七) 一6 ( 七) z ( 七) 一石玎i 糯) ，( 1 2 5 ) iy ( k + 1 ) = y ( 后) e x p - d ( k ) + 石玎善瀚) ，= o ，1 ，2 ， 。 则系统( 1 2 5 ) 即是系统( 1 2 2 ) 的离散化系统。 符号说明 本文我们使用下列记号： 设r ，n ，z ，z + 分别表示全体实数、自然数、全体整数、全体非负整数组成的 集合；附表示n 维欧氏空间，对任意z r 几，i l x l l = ( 冬lz i ) 对任意有界序列 允( 礼) ) ，我们记：h = i n f n ( n ) ，瓦= s u p n ( n ) 第二章捕食一食饵型生态数学动力系统 在种群动力学中，最基本的两种群相互作用模型足l o t k a - v o l t e r r a 系统。这种系统 已经被广泛的研究，其动力学行为已经被研