（应用数学专业论文）模糊概念格的属性约简理论与方法.pdf

中文摘要 形式概念分析( f o r m a lc o n c e p ta n a l y s i s ) ，也称为概念格理论，是德国数学 家w i l l er 于1 9 8 2 年首先提来的，用于概念的发现，排序和显示概念格结构模 型是形式概念分析理论中的核心数据结构。它本质上描述了对象和特征之间的 联系，表明了概念之间的泛化和例化关系，其相应的h a s s e 图则实现了对数据的 可视化因此，概念格被认为是进行数据分析的有利工具概念格已成功应用于 数字图书馆及文献检索，软件工程，知识发现等领域 模糊概念格理论实质上上经典概念格理论的一个推广其大体思想是把经 典的形式背景( x ，k ，) 中的对象集x ，属性集y 和关系集，x y 都推广成模 糊集或者l 一模糊集本文从交不可约元的角度出发研究了b e l o h a v e k 定义的基 于蕴含算子的l 一模糊概念格上的属性约简问题主要研究成果如下： 1 给出了模糊形式背景的粒和粒矩阵的定义，并且得到了一些关于粒和粒 矩阵的一些性质为更好的研究模糊概念格奠定了基础 2 证明了l 一模糊概念格上保持格结构的约简与保持交不可约元不变的约 简等价这一结论说明了交不可约元完全决定了模糊概念格的格结构，于是对 模糊概念格的研究可转化为对其交不可约元的研究 3 通过运用交不可约元和粒矩阵，获得了l 一模糊概念格的属性约简方法， 同时得到了属性特征的判定定理 关键词 l 一模糊形式背景，l 一模糊概念格，交不可约元，属性约简，粒矩阵 a b s t r a c t ( 英文摘要) f o r m a lc o n c e p ta n a l y s i s ( f c a ) ，a l s oc a l l e dt h et h e o r yo fc o n c e p tl a t t i c e s ， w a sp r o p o s e df i r s t l yb yw i l l er i n1 9 8 2 ，i no r d e rt od e a lw i t ht h ed i s c o v e r y , c o m p o s i t o ra n dr e v e l a t i o no ft h ec o n c e p t s i nw h i c h ，t h es t r u c t u r a lm o d e lo f c o n c e p tl a t t i c ei st h ec o r eo fd a t as t r u c t u r e ，a n di td e s c r i b e st h er e l a t i o nb e t w e e n o b j e c t sa n da t t r i b u t e se s s e n t i a l l y ac o n c e p tl a t t i c ee m b o d i e sg e n e r a l i z a t i o n a n ds p e c i a l i z a t i o nr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc o n c e p t s ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gh a s s e g r a p hc a nr e a l i z et h ev i s u a l i z a t i o no fd a t a t h e r e f o r e ，f c ah a sb e c o m ea l l e f f i c i e n tm e t h o d o l o g yf o rd a t aa n a l y s i sa n dk n o w l e d g ed i s c o v e r y i th a sb e e n a p p l i e dt oav a r i e t yo ff i e l d s ，s u c ha sd i g i t a ll i b r a r y , d o c u m e n t a r yi n d e x ，s o f t w a r e e n g i n e e r i n g ，a n dk n o w l e d g ed i s c o v e r y b e i n gag e n e r a l i z a t i o no ff c a ，t h et h e o r yo ff u z z yc o n c e p tl a t t i c e si s a p o w e r f u lt o o lt od e a lw i t hu n c e r t a i n t yk n o w l e d g e i nf u z z yc o n c e p tl a t t i c e s ，t h e o b j e c t s ，a t t r i b u t e sa n dr e l a t i o n sa r en ol o n g e rc r i s ps e t s ，t h e ya r ef u z z ys e t so r l f u z z ys e t s t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e sa t t r i b u t er e d u c t i o ni nt h el f u z z y c o n c e p tl a t t i c e sp r o p o s e db yb e l o h a v e k t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di n t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 w eg i v ead e f i n i t i o no fg r a n u l a ra n dg r a n u l a rm a t r i xo fl - f u z z yf o r m a l c o n t e x t a n ds o m ep r o p e r t i e sh a v eb e e no b t a i n e da b o u tg r a n u l a ra n dg r a n u l a r m a t r i x 2 w eg i v ead e f i n i t i o no fa t t r i b u t er e d u c t i o ni nl - f u z z yc o n c e p tl a t t i c e s ， w h i c hm a i n t a i n st h es t r u c t u r eo fl - f u z z yc o n c e p tl a t t i c e s s e c o n d l y ，i no r d e rt o a v o i dt h ep r o b l e mt h a td i s c e r n i b i l i t ym a t r i xi sd i f f i c u l tt ob ec r e a t e di nl - f u z z y c o n c e p tl a t t i c e s ，w ei n t r o d u c et h eo t h e rd e f i n i t i o no fa t t r i b u t er e d u c t i o nt h a t k e e p i n gt h ee x t e n s i o ns e t so fm e e t i r r e d u c i b l ee l e m e n t si nl - f u z z yc o n c e p tl a t - t i c e s a n dt h e n ，w ep r o v et h a tt h e s et w or e d u c t i o n sa r ee q u i v a l e n t 3 u s i n gt h eg r a n u l a rm a t r i xa n dm e e t - i r r e d u c i b l ee l e m e n t s ，w ef i n dt h e ， m e t h o do fa t t r i b u t er e d u c t i o na n dt h ej u d g e m e n tt h e o r e m so fa t t r i b u t ec h a r a c - t e r i s t i c s k e y w o r d s l - f u z z yf o r m a lc o n t e x t ，l - f u z z yc o n c e p tl a t t i c e ，m e e t i r r e d u c i b l ee l e m e n t ， g r a n u l em a t r i x ，a t t r i b u t er e d u c t i o n n 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存：使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数 据库或其它相关数据库。 保密沦文待解密后适朋本声明。 学位论文作者签名：圣磊指导教师签名：魏丝 2 6 厶年f 月5 e i 列口年石月上日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 l 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 互磊 ：2 - - i 年厂月s 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 形式概念分析( f o r m a lc o n c e p ta n a l y s i s ) ，又称概念格，也称g a l o i s 格，是德 国数学家w i l l er 于1 9 8 2 年首先提来的，用于概念的发现，排序和显示【1 1 1 概 念格结构模型是形式概念分析理论中的核心数据结构，它本质上描述了对象 和特征之间的联系，其相应的h a s s e 图则实现了对数据的可视化【1 ，翻，已成功 应用于数字图书馆及文献检索，软件工程，知识发现等领域( 3 ，4 1 形式背景是 概念格的基础，它是由一个三元组( x ，y ，) 构成，其中，x 为对象集，y 为属性 集，x y 是对象集与属性集之间的二元关系形式概念是由一个二元 组( a ，b ) 构成的，其中，a 冬x 称概念的外延，b 篁y 称概念的内涵概念是外 延与内涵的统一体所有的概念同它们之间的泛化和例化之间的关系构成一个 概念格近年来形式概念分析渐渐以其广泛的应用前景和理论价值吸引了国类 外一大批学者的兴趣，取得了很多理论和实践成果( 5 j 一幽j 形式概念分析最初主要是基于经典形式背景来进行研究，也就是形式 背景中对象和属性的二元关系的取值是0 和1 ，形式概念的外延与内涵都 是经典集合然而在实际问题中对象与属性之间的二元关系的取值不只 限于0 和1 ，例如实数值，模糊值，区间值等，概念的外延与内涵也不局限于 经典集合基于此，许多学者把z e d e h 的模糊集理论【2 1 】应用到形式概念分析 中，提出了模糊概念格理论，使概念格理论的应用更加广泛了，也取得了一 定的成效例如b u r u s c o 和f u e n t e s - g o n z a l e s 把f c a 的模型推广到了模糊背景 中【2 2 ，2 3 】；b e l o h a v e k 基于蕴含子对l 一模糊形式背景的概念格进行了研究【2 4 ，2 5 】； 、铀i a 和k r a j c i 研究了单边模糊的形式背剥2 6 ，2 7 】；s n a s e l 和v o j t a s 运用截集对模 糊概念格的结构进行了研究【2 8 l ；k r a j c i 运用三个真值度集合( 即对象集上的真值 度l x ，属性集上的真值度l y ，对象拥有属性的真值度l ) ，构造了不同于上述模 糊概念格的另外一种模糊概念格 2 9 1 ；此外，张文修等还提出了三种变精度概念 】 第一章绪论 格 模糊概念格的应用范围虽然比经典概念格的应用更为广泛，但是其复杂程 度也不言而喻，因此对模糊概念格做适当的简化显得尤其重要张文修等提出 的属性约简【3 1 】是简化形式背景信息的重要手段之一其思想是在保持对象集不 变的条件下，寻求最小的属性集，它能够完全确定形式背景上的概念及其层次 结构在经典的形式背景下，属性约简的意义与方法有多种，例如文献【3 1 j 利用 概念之间的可辨识关系，建立可辨识矩阵达到在保持格结构不变的同时减少属 性的目的；王霞等研究了经典形式背景下基于概念格的交不可约元的属性约简 问题【3 2 1 对于模糊形式背景的属性约简问题，由于双边模糊的形式背景建立与 属性相关的辨识矩阵难度较大，大多数都只考虑了变精度概念格或单边模糊概 念格的属性约简例如，李立峰等考虑y a ( a 0 ，1 】) 水平上的单边模糊概念格 的属性约简【3 3 1 对于双边模糊的形式背景，我们以b e l o h a v e k 提出的l 一模糊概念格为例，运 用交不可约元来研究了l 一模糊形式背景中的属性约简问题同时也得出了一些 比较有意义的结论 1 2 主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了b e l o h a v e k 提出的l 一模糊概念格的属性约简问题成 果主要包括l 一模糊形式背景与其子背景的一些性质，l 一模糊概念格粒矩阵和 交不可约元的一些性质，以及属性约简和属性特征判断的方法内容分布在第 二至四章具体说来，本文的主要成果和内容组织如下： 1 第二章介绍概念格和模糊概念格理论以及对偶算子的一些性质，同时给 出了l 一模糊形式背景与其子背景的关系 2 第三章给出了l 一模糊概念格的粒矩阵与粒的定义以及它们的一些性质， 并把交不可约元运用n l 一模糊概念格中，找到了在l 一模糊形式背景中交不可 约元的判别方法，同时给出了原l 一模糊概念格的交不可约元与子格的交不可 2 西北大学硕士学位论文 约元相等的充分必要条件 3 第四章给出了l 一模糊概念格的两种属性约简定义，并证明了它们是等 价的最后通过运用粒矩阵与交不可约元得出了属性约简与属性特征分析的方 法解决了l 一模糊概念格的属性约简问题 3 第二章模糊概念格 第二章模糊概念格 2 1 概念格理论简介 形式概念分析的基础是形式背景( x ，y ，) ，一个由对象集x ，属性集y 以 及x 与y 间的二元关系胂留成的三元组 定义2 1 ：【2 】称( x ，) 为一个形式背景，其中x = z 1 ，z 2 ，x n ) 为对象集， 每个黾 n ) 称为一个对象；y = 【可1 ，y 2 ， 为属性集，每卜y j ( j m ) 称 为一个属性；，为x 和y 之间的二元关系，x y 通常用1 表示( z ，y ) i ，用0 表示( z ，y ) ，这样形式背景就可以表示为只 有0 和1 的表格 对于形式背景( x ，) ，在对象子集a x 和属性子集b y 上可以定义 一对对偶算子： a t = i 可y , v x a ，x l y ( 2 1 ) b l = x l x x ，v y b ，x l y ( 2 2 ) v x x ，记 z ) 为z ；记 y ，为可t 若v x x ，x t l z i ，x t y ，且v 暑y ， y l 1 2 i ，y t x ，则称形式背景( kk ，) 是正则的本文所研究的形式背景都是 正则的 定义2 2 ：【2 】设( x ，k j ) 为形式背景如果一个二元组( a ，b ) 满足a t = b ， 且a = b i ，则称，b ) 是一个形式概念，简称概念其中，a 称为概念的外延， 称b 为概念的内涵 对于形式背景( x ，k ，) ，对任意的a 1 ，a 2 ，a x 和b 1 ，岛，b a 我们可得 以下基本性质： ( i ) a 1 a 2 兮a ：a 5 ，b 1 b 2 = b b ! ( i i ) ac a t i ，b b i t 4 西北大学硕士学位论文 ( i i i ) ( a 1ua 2 ) 7 = a ：na 5 ，( b 1u 岛) 1 = b in 磁 ( i v ) ( a 1na 2 ) t2a ：u 月! ，( b 1n 岛) 。b u 趔 ( v ) a t = 印b l 三b i t * ( v i ) a b 1 铮bc a t ( v i i ) ( a t * ，a t ) 和( b t ，b i t ) 都是概念 用l ( x ，y ，) 表示形式背景( x ，rj ) 的全体概念，记 ( a 1 ，b 1 ) ( a 2 ，b 2 ) 营a 1 a 2 营b 12b 2( 2 3 ) 则“”是l ( x ，y ，) 上的偏序关系 若( a 1 ，b 1 ) 和( a 2 ，s 2 ) 是概念，则 ( a 1 ，b 1 ) a ( a 2 ，b 2 ) = ( a 1na 2 ，( b 1ub 2 ) * t )( 2 4 ) ( a 1 ，b 1 ) v ( a 2 ，b 2 ) = ( ( a 1ua 2 ) ，b 1nb 2 )( 2 5 ) 也是概念，从而l ( x ，) 是格，并且是完备格 2 2 l 一模糊概念格 定义2 3 ：【3 4 3 5 l 称( 厶v ，a ，圆，_ ，0 ，1 ) 为剩余格，若满足以下条件： ( i ) ( l ，v ，a ，0 ，1 ) 是一个完备格； ( i i ) ( l ，q ，1 ) 是一个具有交换律，结合律，单位元的含幺半群； ( i i i ) 0 满足如下性质：v a ，b ，c l ，a b c a b _ c 设x 为任一非空集合，称映射a ：x _ 己为x 上的l 一模糊集，用l x 表 示x 上的所有l 一模糊集，a ( x ) l 解释为“x 属于a ”的真值度l x 的0 元与l 元 分别记为6 和i ，对任意的z x ，o ( x ) = 0 ，i ( z ) = 1 对任意的a 1 ，a 2 l x ，a 1 a 2 是指v x x ，a l ( x ) a 2 ( z ) ；a 1na 2 与a 1ua 2 分别定义为：v x x ，( a 1n a 2 ) ( z ) = a l ( x ) aa 2 ( z ) ，( a 1ua 2 ) ( z ) = a i ( z ) va 2 ( z ) 5 第二章模糊概念格 定义2 4 ：【2 4 | 设( l ，v ，a ，o ，_ ，0 ，1 ) 是剩余格，称丁= ( x ，k ，) 为l 一模糊形式背 景，其中x 是非空的对象集，y 是非空的属性集，i l x y 是xxy 上的l 一模 糊关系 一 i ( x ，y ) l 解释为“对象x x 实际具有属性y y ”真值度 设t = ( x ，k ，) 为l 一模糊形式背景，其e e x = z l ，x 2 ，勋) ，y = 可1 ，y 2 ，) ，l = 0 1 ，a 2 ， ，a l x 可表示为向量a = ( o i l ，0 1 2 ，伽) ，其中q = a ( x i ) l ( i = 1 ，2 ，2 ) ；同样b l y 可表示成 向量b = ( 防，侥，风) ，其中岛= b ( 协) l ( j = 1 ，2 ，m ) 对任意的a l x ，b l y ，文献【2 4 】定义了一对对偶算子t ：l x l y 与上： 己y _ l x 如下： a ( y ) - z & ( a ( z ) 一，秒) ) b 1 ( z ) _ 耖各( b ( y ) _ ，可) ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 显然，当l = o ，1 ) 时，l 一模糊形式背景t = ( x ，j ) 即为一个经典形式背 景 性质2 1 ：例设丁= ( x ，y ，) 为l 一模糊形式背景，1 ，a 2 ，a l x ，v b l ， 玩，b l y 有以下基本性质： ( i ) a 1 a 2 令a j2a i ，b 1 b 2 号b 2 磁 ( i i ) ac a t i ，b b 土t ( i i i ) ( a 1ua 2 ) t = a jna ；，( b 1ub 2 ) 1 = b n 磁 ( i v ) ( a 1na 2 ) 2a jua 5 ，( b 1nb 2 ) b u 趔 ( v ) a t = a t t t b l = b j 儿 ( 访) a b i 兮b a t 定义2 5 ： 2 4 1 设t = ( x ，y ；，) 为l 一模糊形式背景，( a ，b ) l x l y ，若a t = b ，b i = a ，则称( a ，b ) 为l 一模糊概念，其中a 为概念的外延，b 为概念的内涵 由性质2 1 ( v ) ，显然( a ，a t ) ，( b l ，b t t ) 都是l 一模糊概念 6 西北大学硕士学位论文 用l ( t ) 表示l 一模糊形式背景t = ( x ，v ，) 的所有l 一模糊概念， 用三x ( 丁) 表示l ( t ) 的所有l 一模糊概念的外延集合，l y ( t ) 表示l ( t ) 的所 有l 一模糊概念的内涵集合 v ( a 1 ，b 1 ) ，( a 2 ，b 2 ) l ( t ) ，记 ( 4 1 ，b 1 ) ( a 2 ，b 2 ) 营a 1 a 2 b 1 b 2 ( 2 8 ) 显然“”是( 丁) 上的偏序关系，其中( a 1 ，b 1 ) 叫做( a 2 ，岛) 的亚概念，( a 2 ，b 2 ) p q 做( a i ，b 1 ) 的超概念 若( a a ，b i ) ，( a 2 ，岛) 己( 丁) ，则 ( a 1 ，b i ) a ( a 2 ，b 2 ) = ( a 1na 2 ，( b 1ub 2 ) o ) ( 2 9 ) ( a 1 ，b 1 ) v ( a 2 ，b 2 ) = ( ( a 1ua 2 ) t 上，b 1nb 2 )( 2 1 0 ) 也是l 一模糊概念，从而l ( t ) 是格，并且是完备格，称为l 一模糊概念格 定义2 6 ：设t = ( x ，y ，) 为l 一模糊形式背景d y ，d d ，d = l x dn ， 称t d = ( x ，d ，i d ) 为t = ( x ，y ，i ) i q l 一模糊子形式背景而上相应的对偶算子 分别定义为 a 。( 秒) - z a x ( a ( z ) _ i d ( x , 可) ) ( 2 1 1 ) b ) - 可a e d ( b ( y ) _ 幻( z ，y ) ) ( 2 1 2 ) 7 1 d 上的l 一模糊概念格，外延集合，内涵集合分别记为己( 7 1 d ) ，l x ( t d ) ，l y ( t d ) 性质2 2 ：设t = ( x ，) 为l 一模糊形式背景，v d y ，c = y d ， a l x ，b l y ，b 7 l d ，b l c ，有 ( i ) v y d ，a ( y ) = a t d ( 可) ( i i ) 若d ，b ( y ) = b ( 可) ，v 矿c ，b ( ) = b ( 可7 ) ，则有b j = b 7 l dn b , , i c 7 第二章模糊概念格 ( i i i ) 若v 矽d ，b ( 箩) = b 7 ( 矽) ，则有b 1 b n d 证罗：由2 1 1 式，( i ) 显然成立根据( 2 7 ) 和( 2 1 孕式，v x x ， b 1 ( z ) 三掣各( b ( y ) _ ，( z ，) ) = ( 各( b ( ) _ ，( z ，可) ) ) ( 可笛( b ( 可) _ ，( z ，可) ) ) = ( ( b 7 ( 秒) 一x d ( x ，y ) ) ) a ( 颤( b ( y ) 一i c ( x ，秒) ) ) = b 7 ( z ) l dn y e - ) ! ，t o b ( z ) 够，所以斟= b 7 l dnb 坶，从而( i i ) 成立由( i i ) 可知( i i i ) 显然成 立 8 西北大学硕士学位论文 第三章交不可约元与粒矩阵 本章通过定义l 一模糊形式背景的粒及粒矩阵，给出求l 一模糊概念格的交 不可约元的方法同时给出了原l 一模糊概念格的交不可约元与子格的交不可 约元相等的充分必要条件 3 1 粒矩阵 定义3 1 ：设t = ( x ，) 为l 一模糊形式背景，其中x = z 1 ，x 2 ，x l ，y = v l ，y 2 ，l = a l ，a 2 ，v y y ，设：y _ l 为 b = 1 ， 则l y 令蜥= ( 嘞) m n ，即 ( 3 2 ) 则对任意的b l y ，都存在7 t mxt n ( 其中丁m = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ，n ) 为指标集) ，使得b2 ( e j u ) 秆我们称嘶为属性粒矩阵，其 中为l 一模糊概念格的属性粒 引理3 1 ：v ( a ，b ) 己( t ) ，存在7 t mx r n ，使得 ( a ，b ) 2 ( t j a ) r ( 砖，础) 9 ( 3 3 ) n n m ； 挖 拢 砒 岛 岛 ； 邑 n 俎 m ； | | 第三章交不可约元与粒矩阵 证明：设b 2 ( u 由性质2 1 ( i i i ) i , j ) e r 有b 1 2 ( i d n ) e rb 乞；又由于( b 去，础) ( 。 ( 。 l ( t ) ，则根据2 9 式有( a ，b ) 2 ( t 册a ，( 砖，础) 由引理3 1 可知任一一模糊概念都可以由某些属性粒生成的概念做a 得到 定义3 2 ：设t = ( x ，y ，j ) 为l 一模糊形式背景，d = 斩，必，编，) y ， 乃= ( x ，d ，d ) 为t = ( x ，k ，) 的子l 一模糊子形式背景w d ，设： d _ l 为 r 啪，) - o ，娉玩 i ，矿= 玩 称( b i j ) f n t x n ：奖- j m y = ( ) m n 的子粒矩阵 性质3 1 ：设t = ( x ，) 为l 一模糊形式背景，d rc = y d ， m y ，b 南m d ，b k l m e 若b 南6 ，r v y d ，b 巧( 可) = b 南( y ) ，v y c ，嘞( 3 ，) = b k l ( y i ) ，则磁= 蹭 证明：由性质2 2 ( i i ) 可知b v i = n 磁1 ) 又因为6 ，故6 ， b k l = 6 ，所以b 毛= i ，从而可 得堍= b 密 3 2 模糊概念格的交不可约元 本节把交不可约元运用到l 一模糊概念格中，找到了在l 一模糊形式背景中 交不可约元的判别方法，并给出了原l 一模糊概念格的交不可约元与子格的交 不可约元相等的充分必要条件 定义3 3 ： 3 7 】称元素a 是l 的交不约元，若a i ( l 存在单位元1 时) 且v 6 ，c l ， 当a = bac 时，有a = 6 或o = c 定理3 1 ：吲设l 是一个有限格，则l 中的任一元素都可以表示成某些交不可约 元的交 设t = ( x ，k ，) 为l 一模糊形式背景，d y ，d d ，记m ( l ( ) ) 为l 一模 糊概念格l ( 而) 中所有交不可约元构成的集合，吮x ( l ( 而) ) 为l ( 砀) 的交不可 1 0 西北大学硕士学位论文 约元的外延集合显然，( b 归，b j d t d ) m ( l ( 殇) ) 等价- t - b d m l x ( l ( t d ) ) 为简单起见，本文中己( 砖) 简记为l ( t ) 引理3 2 ：设t = ( x ，v ，) 为l 一模糊形式背景，地x ( l ( t ) ) 为l ( t ) 的交不可约 元的外延集，m y 是t 上的属性粒矩阵，9 i i m l x ( l ( t ) ) 啦( 其中啦表示集 合m y 在映射j ，下的像组成的集合) 证明：v ( a ，b ) l ( t ) ，由引理3 1 知，存在7 - 冬t r nx ，使得( a ，b ) = “衾，( 呓，础) ，其中b2 ( 幻u ) fb o 因此，如果( a , b ) m ( ( 丁) ) ，则存 在b i j 帆使得( 磁，碟) = ( a ，b ) ，也就是说，若a m l x ( l ( t ) ) ，则存 在b 巧m y 使得b 乞= a ，即a 啦，所以m l x ( l ( t ) ) 啦 k 2 _ ，对任意的b u m y ，( 磁，础) 不一定是交不可约元因此要找 出l ( t ) 的所有交不可约元，根据引理3 2 ，只需要在属性粒矩阵中的粒生成的概 念中寻找即可下面的定理将提供一个由属性粒矩阵找出交不可约元的方法 定理3 2 ：设t = ( x ，j ) 为l 一模糊形式背景，m y 为其上的属性粒矩阵v b 晰，( b i ，b i t ) m ( l ( r ) ) 当且仅当b i 且b n 呓ib u m y ，b tc 磁， 证明：充分性 因为b 1 i ，6 m y ，6 i = i ，故 嘞m v lb c 磁】d 假设j e i j = b nb ! ，其中b 1 ，b 2 l y ，根据定义3 3 ，我们要证b l = b 或b l = 磁 ，我们不妨先证若b 1 b ，则b j = 鹾若b o 磷，有b icb i ，那么一定 存在研 m v lb tc 砖 ，使得b 1 = u 研，b i = ( u s l ) o 假设b 1 磁， 则存在 b i j m v l b tcb ；l ， ，使得岛= u 岛，趔= ( u 岛) o ，从而有b l = b n 磁= ( u 研) 1n ( u 岛) = n ( s lu 熨) 又因为磺 磁l 嘞m y ，b tc 磁) ，建 助i b i j m y ，b 1c 磁) ，所以砖u 建 磁1 m y ，b 1c 磁，n ( s lu 遂) n ( 磁1 m y ，b tc 助 ，即n 硗lb i j m y ，b 1c 呓b 1 显然b i n 磁lb 0 m y ，b tcb 易 ，因此b = n 助i m y ，b tc 呓) ，这与已知条件b 1 n 磁l 嘞m y ，b cb 易矛盾所 第三章交不可约元与粒矩阵 以b t = 砍 同理可得，若b 1 磁，则有b i = b 根据定义3 3 得( 罗1 ，) m ( 己( 丁) ) 必要性 设( b l ，b i t ) m ( l ( t ) ) 由交不可约元及l 一模糊概念格的定义，显然 有b 。i ，b 1 n 磁1 m y ，b 1c 磁) 命题得证 例3 1 ：设t = ( x ，i t ) 是一个l 一模糊形式背景( 如表1 所示) 其中，x = z 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，y = y x ，抛，蜘，驰，y s ，l = o 0 ，0 2 ，0 4 ，0 6 ，0 8 ，1 o ，v a ，b l ，o _ b = r a i n ( 1 一口+ b ，1 ) 表1 l 一模糊形式背景( x ，) y 1耽y 3驰y 5 x l 0 80 80 40 4o 6 x 2 0 41 o0 20 20 4 x 3 0 60 80 40 40 6 x 4 1 0 0 4o 0o 0 0 2 b l x = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 1 2 = ( 0 2 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b x 3 = ( 0 4 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 1 4 = ( 0 6 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b x 5 = ( 0 8 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 1 6 = ( 1 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 3 1 = ( 0 0 ，0 0 ，o 0 ，0 0 ，0 0 ) 岛2 = ( 0 0 ，0 0 ，0 2 ，0 0 ，0 0 ) b 3 3 = ( 0 0 ，0 0 ，0 4 ，0 0 ，0 0 ) 如= ( 0 0 ，0 0 ，0 6 ，0 0 ，0 0 ) 玩5 = ( 0 0 ，0 0 ，0 8 ，0 0 ，0 0 ) b 3 6 = ( 0 0 ，0 0 ，1 0 ，0 0 ，0 0 ) b 2 a = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 2 2 = ( 0 0 ，0 2 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 2 3 = ( 0 0 ，0 4 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 2 4 = ( 0 0 ，0 6 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 2 5 = ( 0 0 ，0 8 ，0 0 ，0 0 ，o o ) ) b 2 6 = ( 0 0 ，1 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ) b 4 1 = ( o 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，o 0 ) b 4 2 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 2 ，0 0 ) b 4 3 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 4 ，0 0 ) b 4 4 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 6 ，0 0 ) b 4 5 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 8 ，0 0 ) b 4 6 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，1 0 ，0 0 ) 西北大学硕士学位论文 b s l = ( 0 0 ，0 0 70 0 ，0 0 ，0 0 ) 如= ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 6 ) 岛2 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 2 ) b 5 5 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 8 ) b 5 3 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 4 ) b 5 6 = ( 0 0 ，0 0 ，0 0 ，0 0 ，1 0 ) 各元素相应的上运算值如下： b 1 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 趔1 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) b i 2 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 磁2 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) b i 3 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 砖= ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) b 4 = ( 1 0 ，0 8 ，1 0 ，1 0 ) 磁4 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，0 8 ) b 5 = ( 1 0 ，0 6 ，0 8 ，1 0 ) 磁5 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，0 6 ) b i 6 = ( 0 8 ，0 4 ，0 6 ，1 0 ) 如= ( 0 8 ，1 0 ，0 8 ，0 4 ) 尉1 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 磁1 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 醍= ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，0 8 ) 以2 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，0 8 ) 蹦= ( 1 0 ，0 8 ，1 0 ，0 6 ) 以3 = ( 1 0 ，0 8 ，1 0 ，0 6 ) 础= ( 0 8 ，0 6 ，0 8 ，0 4 ) 砚= ( 0 8 ，0 6 ，0 8 ，0 4 ) b 3 1 5 = ( 0 6 ，0 4 ，0 6 ，0 2 ) 磁5 = ( 0 6 ，o 4 ，0 6 ，0 2 ) b 6 = ( 0 4 ，0 2 ，o 4 ，0 0 ) 硪6 = ( 0 4 ，0 2 ，o 4 ，0 0 ) 磁1 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 如= ( 1 0 ，0 8 ，1 0 ，0 6 ) b 2 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，1 0 ) 磁5 = ( 0 8 ，0 6 ，0 8 ，0 4 ) 磁3 = ( 1 0 ，1 0 ，1 0 ，0 8 ) 砧= ( 0 6 ，o 4 ，0 6 ，0 2 ) 因为b 。= b 2 = b 是= 酬。= 砭= 威3 = 鹾。= 磁。= 磁。= b 乞= i ，b 3 = b 毛= b 数= b 扎nb 戋，b 数= 8 也= b 靠= b 是nb 。1 6 ，由定理3 2 ， 它们都不是交不可约元，其余的都是交不可约元于是，吮x ( l ( t ) ) = b 4 ，b 5 ，b i l 5 ，如，威。，威6 ，如，磁5 ，砖，硅，吐，砖，砖，磁6 定理3 3 ：设t = ( x ，k ，) 为l 一模糊形式背景，d y ，d d ，b m r ， b 7 m o 若b i 吮x ( l ( t ) ) ，并且存在可d 使得b ( y ) 0 ，b 7 ( 可) = b ( 可) ， 则b h d 吮x ( l ( 丁t d ) ) ，_ l i b i = b 7 l d 第三章交不可约元与粒矩阵 i k 明：因为b j m l x ( l ( t ) ) ，由定理3 2 ，b i i ，b 1 n 磁ib o 帆，b ic 磁) 根据性质3 1 ，显然有台l ：b ，归，所以b ，i d i ，又6 m d ，6 l ：i ， 故 m d i b 7 1 dc 蹦i d ) 毋 要证b h d m l x ( l ( t d ) ) ，根据定理3 2 ，只需证明b n d i ，并且b n d n 蹭i m d ，b 7 1 dc 瓒) 其中，b 1 d i 前面已证，下面证明b n d n 蹭1 m d ，b n dc 蹭卜 v m d ，若= 6 ，令勘= 6 m y ，则呓= 蹭若6 ，则必存在m y ，使得d ，( 可) = ( ! ，) ，由性质3 1 ，砖= 蹭 从而，v m d ，一定存在m y ，使得砖= j e i 訾因此， 蹭1 m d ，b 归c 蹭) 呓i m y ，b ic 磁) ，即n 呓i m y ，b ic 磁】n b 等ib 如m d ，b n dc9 垮) 假设b h d = n j e i 努i m d ，b 7 dcb _ 拶) ，则n _ 【b 占lb i i m y ，b 1c 磁】b 佃= b l ，即n 磷1 m y ，b tc 岛，= b i ，这与j e i l 地x ( l ( t ) ) 矛盾从而b h d n 蹭1 m d ，b 7 l dc 蹭) ，b 7 1 d a 纪x ( l ( 而) ) ，并且b j = b 7 l d 基于定理3 3 ，以下命题给出模糊概念格保持交不可约元不变的充分必要条 件 定理3 4 ：设t = ( x ，v ，) 为l 一模糊形式背景，d l ，d d 舰x ( 三( t ) ) = 吮x ( 三( 死) ) 的充分必要条件是v b 耽x ( l ( t ) ) ，b b 7 m o 使得b n d = b 1 证明：必要性显然 充分性 v b 耽x ( 己( 丁) ) ，存在b 7 m d ，使得b 7 j d = b t ，令b m y ，并 且v y d ，b ( y ) = b 7 ( 可)