（理论物理专业论文）非对易时空量子力学研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 i l l i l li il l f l lrllrl riiii y 1 8 9 3 7 2 1 最近l o 几年来，人们在对弦论的研究中发现，在某些低能近似下，空间具有 不对易的特性。这促使人们投入大量精力展开对非对易理论的研究。而对非对易 理论的研究，最直接的想法就是研究非对易量子力学系统。 本文主要研究了非对易空间的量子力学，从非对易量子力学的对易子开始， 研究了用对易的坐标和动量来表示非对易的坐标和动量，从而把问题从非对易空 间转化到对易空间。 接着用前面得到的表示方法，来研究了几个量子力学系统。先研究了非对易 的谐振子和角动量，发现在坐标和动量都不对易的时候会出现一个零点角动量， 只有当两个非对易参数都不为零时，零点角动量才不为零。接着研究了非对易空 间中的量子力学相，给出了非对易效应对相位的修正。最后研究了非对易空间中 的氢原子，给出了非对易效应对氢原子能级的修正，发现氢原子能级差将会加大， 当考虑到动量也不对易时，能极差将会进一步加大。 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n td e c a d ey e a r s ，f r o mt h er e s e a r c ho f t h es t r i n gt h e o r y , t h e n o n c o m m u t a t i v i t yo fs p a c ew a sd i s c o v e r e da st h el o we n e r g yl i m i to fs o m es t r i n g s t h i sl e a d sm a n yp e o p l et od e v o t et ot h er e s e a r c ho nn o n c o m m u t a t i v i t y a s t r a i 0 1 t f o r w a r dw a yt os t u d yn o n c o m m u m t i v i t yo fs p a c ei st os t u d yt h eq u a n t u m m e c h a n i c s0 1 1t h en o n c o m m u t a t i v es p a c e i nt h i st h e s i s ，a tt h ef i r s tw em a k eac o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n b yu s i n gt h e c o m m u t a t i v ec o o r d i n a t ea n dm o m e n t u mo p e r a t o r st or e p r e s e n tt h ec o o r d i n a t ea n d m o m e n t u mo nt h en o n c o m m u t a t i v es p a c e ，w ec a nc h a n g et h en o n c o m m u t a t i v e p r o b l e m si n t oc o m m u t a t i v ep r o b l e m s t h e nw e s t u d ys e v e r a lq u a n t u mm e c h a n i c ss y s t e m so nt h en o n c o m m u t a t i v es p a c e t h ef i r s te x a m p l ei st h en o n c o m m u t a t i v eh a r m o n i co s c i l l a t o r w ef i n dt h a tt h e r ei sa z e r op o i n ta n g u l a rm o m e n t u m ，w h i c hv a n i s hw h e nt h en o n c o m m u t a t i v ep a r a m e t e r s e q u a l st o0 t h es e c o n de x a m p l ei st h eq u a n t u mp h a s eo nt h en o n c o m m u t a t i v e s p a c e t h eb e r r yp h a s e ，a be f f e c ta n da c e f f e c to nt h en o n c o m m u t a t i v ep h a s es p a c e ， w h i c hm e a d st h ec o o r d i n a t ea n dm o m e n t u mb o t ha r en o n c o m m u t a t i v e ，i ss t u d i e d f i n a l ，t h eh y d r o g e na t o me n e r g yl e v e lo nt h en o n c o m m u t a t i v es p a c ei ss t u d i e d a n e wc h a n n e lo fl a m bs h i f t 2 只2 1 7 2 2 s ，2 a p p e a r s i t i ss h o w nt h a tt h e n o n c o m m u t a t i v ee 髓c ti e a d st oi n c r e a s eo f t h e w i d t hb e t w e e nt h et w os t a t e s 2 浙江大学硕士学位论文 第一章引言及背景 众所周知，2 0 世纪物理学最大的两个发现是相对论和量子力学。他们的正确性 已经得到很多实验的证明。其中量子力学的核心观点是将粒子的正则坐标和正则动 量t ，b 用厄米算符毫，磊来代替，粒子的坐标和动量不能同时精确测量，即坐标算 符和动量算符满足如下的海森伯( h e i s e n b e r g ) 对易关系： 毫，色 = 访磊( 壳= 1 0 5 1 0 - 3 4 小s ) 这里引入了非对易的概念。厄米算符满足如下的不确定关系缸卸去7 l 。这样普 通的相空间就由量子相空间来代替。粒子状态就不能再用普通相空间中点的概念来 描述，而是用普朗克元来代替，普朗克元的大小约为壳3 。除共轭变量之间存在非对 易关系外，很多情况下甚至动量之间也存在着非对易关系，如考虑质量为的带电 粒子q 在沿z 方向的磁场b 中的运动。矢势以可以取为 4 = 一j 1 砂4 = 圭礅 4 = o = o 带电粒子的哈密顿量可以写为 膏= 去p 斜吲= 去睑一詈盈) 2 + ( 岛一詈勾) 2 + 朗 其中多为粒子的正则动量，此时的机械动量为户= 户一里量，n - - i 以证明 r 乓，耷 = 旦b ，即此时粒子的动量是不对易的。 l j c 现有的对微观尺度物理现象的描述最成功的理论是量子场论，如利用量子电动力学 ( q e d ) 【5 ，6 】计算电子的朗德( l a n d e ) g 因子，理论结果与实验结果在小数点后的 8 位有效数字精确相等，这样高的精确度在物理理论的预言中是没有过的。利用量 子场论计算物理量时，圈图贡献部分要对虚粒子动量积分，这个积分往往是发散的。 积分中紫外发散给人们带来了很大的困扰，可观测的物理量不可能是无穷大。为了 3 浙江大学硕士学位论文 解决这个发散问题，人们提出了很多种办法。1 9 世纪3 0 年代海森伯( h e i s e n b e r g ) 提 出用格点结构来代替连续的时空结构，但是格点结构将会破坏洛伦兹不变性。 s n y d e r 1 首先提出了在极小尺度下用一个非对易结构来引入一个截断，这个做法很 类似于格点结构，但是优点在于能同时保持洛伦兹不变性。后来随着费曼 ( f e y m a n n ) ，施温格( s c h w i n g e 0 和朝永振- - f l l g ( t o m a n a g a ) 等人发展和完善了重整化理 论，很有效地理了量子场论中的紫外发散问题，这导致非对易理论很大程度上被遗 忘了。重整化理论中的正规化方法有多种，紫外截断，泡利维拉斯( p a u l i v i l l a r s ) 正规化，和维度正规化等。其中紫外截断和泡利维拉斯正规化过程中都要引入一个 大的动量截断人，这个量的引入是人为的，人们希望这个量的引入能够有个自然的 方法。考虑傅立叶变换，在动量空间的一个大的动量截断，就对应于坐标空间中距 离有个小的截断。一般的，人们认为这个小的距离单位是普朗克( p l a n k ) 长度， l 。= 1 6 x1 0 - - 2 p , 删。即要求坐标具有不确定性。而描述具有不确定性的量的一个 p 重要数学工具就是非对易。这是我们讨论非对易时空上的物理的一个重要原因。 另一个引入非对易效应的动机在对量子引力的研究上。爱因斯坦的广义相对论认为， 引力是时空几何结构的反映，时空几何结构是由时空中的物质分布决定的。连续的 黎曼( r i e m a n n ) 时空几何描述的是经典的引力理论，在包含引力的量子理论中， 人们相信时空几何的性质必然要发生变化。量子引力中的不确定关系说明了人们不 可能测到比普朗克长度更小的距离，因为测量这么小的尺度所需要的能量或动量已 经改变了将要测量的时空的性质。也就是说坐标具有不确定性。我们希望非对易的 时空能够反映引力的量子化。 除了物理上的考虑，有些数学家也开始讨论非对易几何在物理学中的应用了。 冯诺依曼提出用非对易几何来代替对易几何，最近十几年，a c o n n e s 2 ，3 】等人发 展完善了数学上的一个分支非对易几何，并将其应用于了物理问题的讨论。非对易 空间上的场论及非对易规范场都是首先由他们提出的。正如纤维丛理论之于规范场 理论，非对易几何提供了一个数学工具来描述量子化时空。 近年来人们对弦论【2 ，6 ，7 】的研究发现，时空的非对易特性是d 膜动力学在u 0 ) 恒定磁场存在情况下的低能极限的重要性质。s 正是这一重大进展，促使人们投入 4 浙江大学硕士学位论文 大量精力重新展开对非对易时空的研究。 人们对非对易时空的研究一个较为直接的想法是研究非对易量子力学，获得非 对易性在低能情况下的现象，从而给人们以指导去更深入的研究非对易时空。 本文主要结构如下。第二章讨论如何将对易空间和非对易相空间中的坐标和动 量用普通的对易空间中的坐标和动量来表示，第三章给出非对易效应对量子力学系 统的修正。第四章给出总结和讨论 5 浙江大学硕士学位论文 第二章非对易几何和非对易空间的表示 2 1 非对易几何及其性质 传统的观点认为一个几何空间是建立在流形的概念的基础上，流形是由一系列 x m 的点来标记的，些点的坐标满足条件x r 4 。但是，一般性认为，把时 空看做一个流形的m 的话，在极小的尺度，也就是普朗克长度三p = 1 6 1 0 - 3 3 c 朋的 尺度下将会分破坏掉。这表示我们处理高能物理的数学观点需要做出改变。更准确 的说，我们传统的几何观点可能不适合描述极小尺度下的物理。有很多种代替的方 法出来，其中之一就是把普通的对易空间用非对易空间来代替。 对于e u c l i d e a n 空间尺d 中的d 维可对易代数，其函数间的定义为函数的点乘积。假 定函数的任意阶倒数在无穷大处为0 ，则任意函数厂( x ) 可用它自身的傅里叶变换 进行变换 夕( 庀) = p 一r e 耐厂( x ) ( 2 1 ) 人们通常采用w e y l m o y a l 对应的方法来使得彤维非对易空间和尺d 为对易空间一 一对应，方法如下。 定义w 匆l 符号访【厂】，对于给定的函数和傅里叶系数，其形式如下 ( 2 2 ) 这里选择对称的w 匆l 算符顺序描述，例如访 p 蹦 = p 叫，当厂( x ) 是实函数时， w e y l 算符是厄米算符。 利用( 2 1 ) 式可以将( 2 2 ) 式用厶( x ) 的形式写成算符和场之间有明确对应 蜘l = 如眦习 ( 2 3 ) 6 浙江大学硕士学位论文 酗= 高e 鼬。e 却 亿4 ， 算符( 2 4 ) 是厄米的，即厶( x ) + = 厶( x ) ，它描述了空间上算符和场量的混合基。 用这种形式，我们可以将场( x ) 解释为w e y l 算符的坐标空间表示。而且在坐标 对易的情况下0 扩= o ，这样( 2 4 ) 就化为一个万函数万d ( 舅一x ) ，并且有 访【】l 脚= 厂( 曼) 。但是当秒驴o 时，w e y lg 符是一个非常繁琐的场算符。 通过定义如下交换关系的反厄米线性微分算符含j 来引进算符函数的导数 a i , x i = 彩 碱 = 0 亿5 ， 由定义n - i 以直接导出 a ，厶( x ) = 一a ，公( x ) ( 2 6 ) 将上式应用到( 2 3 ) 并用分部积分得到 净，谛l 叫= j | f 她厶扛) = 内p , i i ( 2 7 ) 从( 2 6 ) 也可以得出幺正算符p 确表示的平移生成元，其中，其中1 ，r a ，并且 e 难矗( z ) e 一岛- - a ( z 一 ( 2 8 ) 性质( 2 8 ) 含有这样的意思，对于定义在w e y l 算符代数上任意轮换迹乃公( x ) 不依赖于变量x 当选择归一化乃公( x ) = 1 时，( 2 3 ) 的迹可以由一个空间积分唯 一给出 m 【厂】= p d ( x ) ( 2 9 ) 在这种意义下，算符的迹等价于非对易坐标毫的积分。注意到厶( x ) 不是场代数中 的一个元素，所以它的迹不是由( 2 9 ) 所定义的，它可简单认为是一个时空场量 和w e y l 算符间的变换无，它的迹由归一化确定。 算符公( x ) 在不同点的积可以利用b a k e r - c a m p b e l l h a u s d o r f f 公式来计算 7 浙江大学硕士学位论文 p 彬= p 一抄髟+ 量) f 一 ( 2 1 结合( 2 3 ) 可以得到 厶0 ) 厶劬= 1 _ i y 曲f r l l , 潍d y _ re l ( h f 知妒e 一言一知弓e 一掣卅 = f 静岢，如e 懈f ) | - 厶( z ) e 一妒瞒e 一讽一刮一( 2 11 ) 如果秒是可逆的( 这时要求时空维数必须是偶数) ，可以明确计算出上式对动 量后和k 的高斯积分得蛰i 厶= 高j | f 以翰e - 2 妒c l - 1 ) l 驴叫 特别地，利用迹的归一化和秒叫的反对称性，从( 2 1 2 ) 可知对于任意的x r d 。 算符厶( x ) 构成一组正交归一集 n ( 厶( 霉) 鼬) = 6 d 。一们 ( 2 1 3 ) 此式和( 2 3 ) 意味着厂( x ) 专访【】是可逆的，其逆变换式为 厂( x ) = 乃( 访【厂】公( x ) ) ( 2 “) 以这种方式从一个量子算符获得函数厂( x ) 通常称之为w i g n e r 分布函数。因 此，公( x ) 提供了一个从w i g n c r 场到w e y l 算符上一一对应关系。我们称为 w e y l - w i g n e r 对应。 非对易几何的基础是建立在将对易空间种的乘法变形为非对易的毒乘法，其形式为 ( 厂水g ) ( x ) = e x p i 1 巳p a 知a h ) 厂( x ) g ( y ) k = y ： 。 ( 2 1 5 ) = 厂( x ) g ( x ) + 寺吃y a f a y g + 0 ( 0 2 ) 对于乘积，有一些很有用的恒等式。设和g 是d 维非对易空间中的两个任意函 数 8 浙江大学硕士学位论文 ( x ) = 陟( 尼弦触d d k g ( x ) = l g ( 尼触d d k 1 6 ) 二( 2 则薯并嗡i f ( k ) g ( 1 ) i e - i k o t 2 e i ( k + 1 ) x d d k d d ，。 中k o l = k 吼y ，y 。通过以上 关系我们可以得到。 ( 1 ) f * g = g 宰l 乳卜口，因此 厂木g ) 肘，口= 厂宰9 1 秒一木g l 一口 ( 2 ) ( 木g ) ( x ) d d x = j ( g 木f ) d d x = j y g ( x ) d d x ( 3 ) 如果我们用c c 来表示共轭，j l g 么( f * g ) c 六= g a 厶宰厂a 厶 如果h 是另外一个任意函数，那么 ( 4 ) ( 厂木g ) 木h = f 木( g 木办) = f * g 木h ( 5 ) ( 厂木g 水办) ( x ) d d x = ( 办堆厂木g ) ( x 矽d x = 且g 木h 宰厂) ( x ) d d x ( 6 ) ( 厂木g 木h ) l 口= ( 办木g 木厂) l 一口 这其实就是我们所熟悉的在量子力学中的量子化过程，就像把泊松括号变成正则的 对易关系，相空间上的函数变成了希尔伯特空间中的算符。在w e y l 描述下，同形 的代数表达式为 厂( x ) = 七p 胛矿( 后妙 ( 2 万) 2 夕( x ) = 七p 一矿( 后妙 ( 2 1 7 ) ( 2 万) 2 即在非对易空间中我们将在对易量子力学中的算符加上 来代替，就得到非对易量 子力学的对应表示。 2 2 非对易量子力学的坐标变换 一般对易窄间下的量子力学满足下列的对易关系 9 浙江大学硕士学位论文 【t ，x ，】= 0 【b ，p j 】= 0 ( 2 1 8 ) t ，乃】= i h 磊 而在非对易空间下，上述的对易关系变为 【毫，l 】= f 岛 【磊，多，】_ 0 ( 2 1 9 ) 【毫，p ，】= 访 当坐标和动量同时不对易时，上述对易关系变为 【毫，毫】一f 岛 【a ，色】_ f 岛 ( 2 2 0 ) 【毫，色】= i h ( s g + ) 其中岛和岛是全反对称矩阵， 是依赖于岛和岛的小量。 将研究如何把非对易空间中的坐标和动量用对易空间中的坐标和动量来表示，一旦 找到了这些表示，就可以把非对易的问题变换到我们熟悉的对易空间中去。 当只有坐标不对易时，设t = 毫+ i 1 岛b ，b = 磊，则此时的变量并峨满足 誓，】_ 【p i ，p j 】= 0 k ，p j 】= 访岛 ( 2 2 1 ) 回到了对易空间中的对易关系，所以此时有毫= 而一去岛乃，a = b 当坐标 和动量同时不对易时，设 ：- + ? 乃 ( 2 2 2 ) p i = p j 0 唾x j 将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 0 ) 中有 1 0 浙江大学硕士学位论文 血= 嗣+ 芸慨 戤= 嗣+ i 魄f 2 呀 a = 烈+ 尝硒 a = 烈+ ；硒 ( 2 2 3 ) 要满足此时的对易关系，自然的有口= 6 = 一三，此时驴= 等我们可以看到 当= 秒= o 时，将回到我们所熟悉的对易的情形。这样毫和磊可以表示为 毫= 毛一去 晓2 4 ， 盼p i 七去瞄j 有了以上的表示我们就可以把非对易空间中的量子力学现象转化到我们所熟悉的 对易空间的量子力学下去了。 浙江大学硕士学位论文 第三章- 非q t ：a 汕 j 易量子力学弗= 阜纲星1 ，j 亍 关于非对易量子力学，已经有很多人进行过研究【8 ，9 ， 究几个典型的量子力学系统 3 1 非对易空间中的谐振子和角动量 在n 维非对易空间下，谐振子的哈密顿量形式是【1 1 】 a = 堕2 , u + 2 耐瞩 j 其中和c o 分别是振子的质量和角频率。 将交i = x i 一寺，p j ，p i = p i + 去p 。p j 得酗 1 0 ，1 1 ，1 2 下面我们来研 ( 3 1 ) 疗= 去h 盟2 h 池+ 2 i k 壳x k 7 1 国2 卜鲁池一警) = 去霄+ j 1 国2 # + 去( 厥b + 岛一b ) 一去( 艮t n + 岛乃t ) 七警告叩伸p k 下面看一下当力= 2 时的非对易空间的谐振子和角动量的情形 根据( 2 2 4 ) 有 疗= 去( 霞+ 茸) + 互1 脚2 ( 冉夕2 ) ( 3 3 ) 1 2 浙江大学硕士学位论文 交= x 一1 2 h e p y ，参x = p x + 二2 h 1 9 i y x = x 一矽p = p + 1 ， 1 ) j1 )1) i 多= y + 磊1 9 p x ，p y = p y 一去| | b xy = y 七丽6p x ，p y = p y 一丽扫x 将( 3 4 ) 带入( 3 3 ) 有 疗= 面1l b 2 + 方) + 等( y 2 ) - c o ，x p y - y p ，, ) 其中 m = 雨磊靠 q = , o f t = 击( 蠢+ 方) + 竿( x 2 + y 2 ) 正而孺而五万磊忑丽 c o8 = f l 2 m h + m o ) 2 0 2 h 可以看到此时的哈密顿量分为了两部分，第一部分是我们所熟悉的对易空间中的 谐振子哈密顿量 髓风= 1 ( 2 + e ) + 等( x 2 + y 2 ) 第二部分是非对易效应对应的哈密顿量巩= x p y - y p j ) 因为 吼 = o ，所以非对易空间的谐振子哈密顿量疗可以对角化。 日= 壳q + ( l + 三) + 元q 一( l + 三1 ) 舢士锄q = 店( 口l 训 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 缈 4 a ：、 蚴 浙江大学硕士学位论文 舭时脯振讹谱为e = 壳q i + 守壳q ( 吃+ 互1 ) 伍m 我们看到当护= = 0 时，谐振子回到对易空间的形式。 下面我们来看一下二维非对易空间中的角动 拿 l = x p y y p x = ( x 一轰b ) ( 岛一差斋x ) 一( y + 轰见) ( 以+ 乏斋y ) = ( 冯一轰x 2 一轰彳+ 蚬x ) 一y p x + 轰 昙露+ 蛾y ) = ( 1 + a ) ( x p y 一煅) 一去 ( 少2 ) + 秒( 蠢+ 方) ( 3 1 1 ) n - - i 以看到此时得到的角动量表达式很类似于前面得到的二维谐振子的哈密顿 量，角动量可以分为两部分 厶= ( 1 + ) ( 觋一煅) 岛= 一去 夕( y 2 ) + 秒( 霞+ 方) ( 3 1 2 ) 类似于哈密顿量可以得到【厶，厶】= o ，所以可以对角化。三可以表示为 三= 壳( + + 圭) + 壳t ( - + 三) c 3 3 ， 其中确= 华 1 4 浙江大学硕士学位论文 令 q = a ：= 卜x 2 2 2 2 h 2 x 2 2 - f l 。= 。8 5 ( 3 1 4 ) 此时的角动量可以写为= 壳l ( _ + 三) + 壳t ( 吃+ 丢) 。这样我们可以清晰的 看到有一个零点角动量厶= 7 l ，= 万，我们可以看到当= o 时，零点角动量为 0 ，也就是说只有在坐标和动量都不对易时，才会有零点角动量出现。 3 2 非对易效应对量子力学中相位的修正 1 a b 效应 下面先简单回顾一下对易空间中的a b 效应。阿哈罗诺夫( a h a r o n o v ) 和玻姆( b o b _ m ) 在下图所示的双缝试验中，在双缝装置后面紧临处放置一个细长的螺线管，管内部 通有磁场b ，磁通量为，在管外，磁场强度b = o ，但是矢势彳o 这时人们发现 两束粒子之间将会出现一个相差痧= 譬。= 叮么o ) d r ，随着磁通量变化。 ，i c 相差痧也发生变化，所以干涉花纹也会发生变化，这个现象已经在试验中观测到。 1 5 浙江大学硕士学位论文 b 效应 疗( 毫，a ) 沙= 日( 五一, p j l，b ) l f ，= e q ( 3 t 5 ) 疗( 毫，a ) 沙= 日l 五 ，bl l f ，= ( 3 1 5 ) 当粒子在磁场中运动时，哈密顿量应该包括其矢势，这样哈薛定谔方程就改写为 疗( 毫，a ，五) 妙= 印 ( 3 1 6 ) 其中非对易空间中的矢势4 = 4 ( 殳) = 4 0 + 缸) ，其中a x = - 2 - - 。i o v p j 。 ( 取壳= c = 1 ) ，五= 4 + 蒡咄将缸= 一万1 岛乃【1 4 】带入可以得到 a = 4 一圭b a ，4 = 4 + 三岛岛a ，4 。 ( 3 1 7 ) 薛定谔方程可以写为 日( 薯一三岛乃，b ，4 + 圭嘞局a ，4 f ) 沙= 印 c 3 m ， 1 6 浙江大学硕士学位论文 这样就得到了用对易空间的算符来表示的薛定谔方程。 现在设在双缝试验中粒子质量为m ，电量为g ，矢势为4 ，其薛定谔方程可以 写为 去卜识一如蚂4 卜印 类比对易空间中的情形，可以得到此薛定谔方程的解为 少= e 冲 幻( 4 + j le o p , a j 4 产, 其中是在粒子源处的解，上式中的相位项就是所谓的a b 像 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 九占= 丸+ = 幻叮4 如+ i l q 叮岛局a ，4 如 ( 3 2 1 ) 式中的第二项是非对易效应对a b 像的修正。设粒子的速度为m ，则 b = 面t g i t = 去( 易一“一j 1g 岛蚂4 一互1g 岛( b 一以) ) = 去( 易一科+ 。( 秒) ) ( 3 2 2 ) 代入九b 中可以得到 九口= 叮4 吨+ 詈叮岛( 朋u + 蚂p ，4 f 噍 考虑三维的非对易空间，f ，j = l ，2 ，3 ，定义一个矢量秒= ( 幺，幺，岛) ，其中 岛= 幺，九曰中的第二项可以写为下面的形式 1 7 浙江大学硕士学位论文 第三项可以写为 摹9 ；删l v 如= 2 q c ，g # k o k v t aa 出i = 坐2 j 力k ( m a ，4 ) 如= t l q m 似v 乳 等e 忿铷i = 雩嘛9 呐i = 等叮皖( 4 a ，4 ) 也= 等叮秒( 彳地 这样就可以把九口写为如下的形式 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 虹= 幻叮4 也+ 詈叮( 聊秒( v ) + q o ( 彳耻) 胁 ( 3 2 5 ) 可以看到第二部分为非对易效应对a b 相的修正。当0 = 0 时，回到 下面考虑动量和坐标同时不对易的情况，因为二= 匀( 舅) ，则仍然和只有坐标不 对易的情况一样。矢势匀变换为a = 4 一互1 易a j4 f = 4 f + 三岛易a ，4 ，此时 的薛定谔方程为 疗( 毫，a ，a ) 沙= 印 ( 3 2 6 ) 把毫，a ，4 按照相应的变换带入，可以把薛定谔方程写为 疗( 而一去秒驴乃，b + 去岛乃，4 + 丢易a ，4 ) 妙= 印 ( 3 2 7 ) 1 3 浙江大学硕士学位论文 在磁场中运动的粒子的哈密顿量可以写为( 取壳= c = 1 ) 疗= 去h 扣一g ( 4 + 知叭) ) 2 2 8 ， 妇= g ( 4 + 三岛孵4 ) - j 1 岛删此时的彳聃可以写为 爹a b = i q 趣d x i = 幻心如+ 三岛蚂4 f ) _ j ：g 三叮岛t 如 刮脚- “2 l , 棚+ q o 小( a 川xv a i 乒 - i q 专8 d x i ( 3 2 9 ) 对比只有坐标不对易的情况可以看到此时的a b 像出现了一个关于的修正 - i q 筠瞄 d x i 当= 0 时，回到只有坐标不对易的情况。 2 非对易空间中的b e r r y 绝热相 下面先来简单介绍一下普通对易空间的b e r r y 绝热相。 ( 3 3 0 ) 对一个含时的哈密顿量h 来说，设其瞬时的本征方程为 日( f ) i 沙( f ) ) = e ( f ) i ( f ) ， 1 9 ( 3 3 1 ) 浙江大学硕士学位论文 其中i ( f ) ) 是包含h ( f ) 在内的一组力学量完全集的共同本征态。e ( f ) 为瞬时 能量本征值一般要随时间变化，作为本征态i ( f ) ) 具有相位不定性。对于哈密顿 量含时的体系，能量不守恒，不存在严格的定态，体系会发生量子跃迁，一般情况 下，l 妙( f ) ) 应该表示为所有1 ( f ) ) 的叠加 = 莓巳( fe x p ife ( 彬肛( f ) ( 3 3 2 ) 上式中l q ( f ) 1 2 表示在f 时刻测得体系处于i ( f ) ) 的概率。一般情况下i ( f ) ) 很难求解， 需要采用近似方法来处理，但是如果哈密顿量随时间变化足够缓慢则可以用量子 绝热定理【1 5 】处理。 量子绝热定理县说：在如果体系的含时哈密顿量随时间变化足够缓慢，设体 系的初态l 沙( o ) = l ( o ) ( 3 3 3 ) 则在f o 时体系将保持在相应的瞬时本征态i 沙，( f ) ) 上。 接着来讨论一下量子绝热定理成立的条件，把l 妙( f ) ) 的表达式带入含时薛定谔 方黝昙) ) = ( f ) ) ) ( 3 3 4 ) 并利用日( f ) i 沙( f ) ) = 瓦( f ) 1 ( f ) ，可以得到 访莓和p ife ( 缈肛( f ) ) + 访；一 ； f 啪弦 i 掣 = 。n 3 5 ， 用( ( f ) i 左乘上式，可以得到 浙江大学硕士学位论文 p p p h i m 坼l 掣 一l 掣 一脬肼c , , e x ph i 瞰，) 肌f ) l 掣 ( 3 3 6 ) 绝热定理成立的条件是上式中只有刀= 肌一项不为零，其余刀m 的项都为o ，在一 级绝热近似下。刀朋项可以略去的条件为 壳l 掣 e m e n b 3 8 ， 用( ( f ) i 左乘，可以得到 + 毛l 掣卜扣) i b 3 9 ， 综合以上，可以得到量子绝热定理适用的条件是 壳i 掣 e n e m 壳( ( f ) 嘲( f ) ) ( e 一色) 2 1 ( 3 4 0 ) 当满足此条件时，体系从瞬时能量本征态i ( f ) ) 跃迁到所有刀脚的瞬时能量本 浙江大学硕士学位论文 征态i 妙，( f ) ) 的概率可以忽略，因而能保证体系处在与i i c ，m ( o ) ) 相对应的瞬时能量 本征态l ( f ) ) ，如下图所示 如果体系随时间变化足够缓慢，能保证量子绝热近似条件，则式就化为 | a ( f ) 壳 ( e 一已) 2 l 掣m l 掣) = o 积分后得到 = 1 ，对f 微分可得 l 掣 + 。 ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 下面来研究一下非对易空间中的b e r r y 绝热像问题。 非对易空间中的哈密顿量一般形式可以写为也= 丢+ u ( 圣) ，其中 u ( 曼) = u ( x + 缸) ， 采用微扰展开的办法可以得到 2 4 浙江大学硕士学位论文 e = 辟+ 秒毒1 ) + 秒2 磋2 ) + = 九+ ( 目磁 打七 ( 秒) = 秒1 + 汐2 2 ) + u ( 一) = u ( x ) + 砉掣( 血) 疗 ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) 其中缸= 一寺岛乃，对展开到一阶近似有 以= 譬+ u ( 毛) + 尝缸= 风+ o h l c 3 4 9 ) 其中风= 等+ u ( 而) 为普通对易空间中的哈密顿量。用微扰论可以得到非对易 空间哈密顿量的本征能量和本征态为 e = 霹+ 秒霹) + 秒2 e 2 ) + 一 = 吮+ c n k ( 秒磁 其中( 秒) = 秒1 + 秒2 2 + 对一级微扰，可以得到 秒e 1 = ( 1 秒ql ) = 吮+ 口酬么 七刀 荆甜= 嘴警。 设任意时刻f 的波函数为 ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) 则 刊掣) - ( ( 训+ 荟( 秒) ( ( f ) , l a e i 丸( m + 荟( 钏么( 研 此时的b e r r y 绝热相为 略去秒的二阶项，可以得到 心声r 出i 刳 雪r 西倭凹l 掣 写在参数空间中，可以表达为 刳o t + l ( 3 5 5 ) ( 3 5 6 ) 麾碟掣) + ) b 5 7 ) ，、，、 o ， ， 一谚，_， ，i，- 嘶掣 锄叫叭q、，、 r 匮以百憾 哆一i叫 百 嘶 p 胁 篓a 0 梳 砂 村w 胁叫凹胁 0 k 胯k 情 出 批 p p讧广与 力 脚 。匹描 、l，0j +r 尺 沙 沙 v v r r 玎 七 哆， n 露 凹 甜 砌撕 厂-、【 搬 拍 叮 秒+ 、， r 沙 r vr 沙 衍 广七 = r 厂 浙江大学硕士学位论文 非对易空间中的a c 效应 ( 3 5 8 ) 1 9 8 4 年，a h a r i n o v 和c a s h e r 1 9 带有磁偶极矩的中性粒子在一个 存在无限长均匀带电导线的区域里运动，类似于a b 效应，这两束粒子 之间将会出现一个相差，这就是通常所说的a c 效应，这个相差称为 a c 相。设无限长导线处在z 方向，则其产生的电场可表示为 豇环锄( 叠+ 谚) ( 3 5 9 ) 对自旋1 2 的带有磁偶极矩粒子，设露= 矛为粒子的磁偶极矩， 矛= ( q ，呸，巳) ，q 为2 2 的泡利矩阵。粒子的拉格朗日量可以写做 l = 9 i 7 9 8 一呻v 一气p 币oh 即f 曙v q 6 0 ) 或者可以写成上= 妒纱吼少一聊咖一弛l 万局少。正是拉格朗日量的最 后一项产生了a c 效应。利用欧拉一拉格朗日方程可以得到 ( ，r , y + 1 二f a p - m ) 沙= 。 b 6 - ， 或者( 吮a 一谚瓿一朋) 妙= o ( 3 6 2 ) 上式中罗= ( 7 1 ，7 2 ，厂3 ) ，7 矩阵按如下定义 肛( 三= ( 三甜 6 3 ， 定义沙= p 阿，其中l 是狄拉克方程( 纱声钆- m ) g o = o 的解，口是一个待定 浙江大学硕士学位论文 矩阵，厂是不含时的变量相位。将= p 一影妙带入狄拉克方程得到 抬矿7 p 一矿a + i e 矿厂p 一矿( 一口) ( a 厂) 少一所沙= o ( 3 6 4 ) 与欧拉一拉格朗日方程i ：t 较可以得到 ( 乃巨+ 彪巨) = ( 乃差+ 圪考) 口 一陋警) + ( 轰矧= 障+ 圪珈嘶， ( 3 6 5 ) 关= 一2 忘= _ 2 一2 丢b a ，f 0 2 = _ 2 一 似z 。 要= 2 巨 ( 3 6 6 ) e 矿7 p 一矿a 缈专纱a 沙 记矿7 p 一矿( 一口) ( a 厂) 缈寸，豆 ( 3 6 7 ) 第一个式y - 表示p 口厂7 e 一矿= y ， 对左边做泰勒展开，得到 7 弩矿= 广+ ( 一科吖 + 击( 一丌m 吖声 + 。所以第一个 式子成立的条件为 口，7 声 = o ( 3 6 8 ) 口可以认为是l ，乃，以，以以和q ，= 专 以，以 的组合，但是口以= 以口不 允许乃，y 2 ，乃同时出现在口中。但是如果我们在一个平面内考虑问题，则是有可能 满足的。这说明a c 效应只在二维空间下产生。如果我们考虑粒子运动的平面为 x y 平面，则第二个式子中只会出现出现 ， ，这里我们取a = 一f 仉，。其中 浙江大学硕士学位论文 0 - 1 2 - - 主k 以 第二个式子可以表示为肜豆= ( 罗耵) 口将上面的口，7 带入可以得到 ( 乃臣+ 如易) = ( 乃篆+ 圪考) 口 c 3 6 缈 一雌警 + ( o 铡= 强+ 嗽， 一( q 巨? 呸最q 巨：吼巨) = ( 所以可以得到互l 瓦a y 呸= 一岛吒= 一峨2 吒，互l 万a y q = 巨q 所以_ a f = 一2 色，孚= 2 巨 o x卵 由此我f f ln - i 以得到a c 相为 ( 3 7 0 ) = f o l q ( 3 7 1 ) ( 3 7 2 ) 驴一阿砜叮可加r 三胁出一e 。d y ) n 7 3 ， 设为z 方向的单位矢量，则可以把a c相写为 驴门三豆) 咖 b ) 下面来看一下非对易空间中的a c 效应 q 可一砂 1 2 叫 。 矿一锄1 2 一 q - ， 矿一砂 1 2 o 咿 一f矽一锄1 2 浙江大学硕士学位论文 当坐标个对易时， 此时的，筇将有一个相匝的改焚 ( 曼) = ( x + 缸) = + 丢缸= + 1 2 乃或 ( 3 7 5 ) 相应的可以得到 要= - 2 户0 2 = - 2 a f 0 2 2 丢b a ，f 0 2 = - 2 岛一铅 b a 最 0 譬 z 。 要= 2 户o l = 2 a ，o l + 2 a 1 0 0 - p i a ，f 叭= 2 巨一铅扩b a - ，巨 d y厶 。 ( 3 7 6 ) 上两式的第二项代表了非对易效应 由此，可以得到非对易效应对a c 相的修正为 丸c = 一导q 2 ( 叮铅驴易a ，最出一叮铅扩a a ，巨咖) = 一i 1a l 阻p s 0 1 8 。哂p 翌ab f d 妒 ( 3 7 7 ) 根据【1 7 ，1 9 】可以得到耽= 聊屹+ ( 豆哥) 口， ( 3 7 8 ) 则非对易效应对a c 相的修正为 九c = 一i 1 厂。仃1 2 铷扩叮 册_ + ( 豆皿) ， ( a ，易出一或巨咖) ( 3 刀) 考虑坐标和动量都不对易的情况，此时的欧拉一拉格朗日方程为 p 驴互1 厂尾，+ 互1 f a b - m ) 妙= 。 ( 3 8 。) = 一三叮岛如 ( 3 8 1 ) 浙江大学硕士学位论文 非对易空间中的氢原子 在非对易空间中，氢原子的哈密顿量 25，26疗=pipi一旦=盟一兰一(382)，将a=b，带入得到22r 、3x ) c i “r “一plpjh= ! ! 1 2 m = 垦丝一 2 m ( 3 8 3 ) 可见在非对易空间下库仑势的形式变为 y ( 厂) = 一譬。警+ 。( 秒2 ) = 一等。等+ 。( 秒2 ) 8 4 ， 做泰勒展开，可以得到 y ( ，) = 一吾 = 一7 e 2 。尝2 h r + 。( 秒2 )， j ， 定义岛= j 1 皖，l = r x p , 则 = 一斗等川) 、】 厂l 2 厂z 壳 、- ，j ( 3 8 5 ) 晰) = 一7 e 2 。警+ 。( 9 2 ) = 一譬名笳+ 。( 秒2 ) 8 6 ， 根据微扰论可以得到，非对易效应对氢原子能级的一级修正为 3 1 b m 严 型锄 p 立厮 浙江大学硕士学位论文 皈= 一( 刀饿i 磊e 2 l 厂8 k 红) 如果取岛= 0 ，而秒的其余分量为o 。则l 0 = t 秒。能级修正化为 皈= 一( 门缎l 石e 27 l z oi , 砌| z ) = 一( 刀饿i 丢丝亭坐i 力红) 酬咧咖蚺良叠 ( 3 8 7 ) ( 3 8 8 ) ( 3 8 9 ) 所以( 协：i 圳i 办：) 吐壳( 1 千六一以正，这样非对易效应对氢原子能级所 做出的修 正为皈一下m e c 2 ( 砉丘( 1 干上2 l + 1n 4 a z ， 舯驴下莉1 ， 以为电子的康普顿波长。 ( 3 9 0 ) ( 3 9 1 ) 这样当能级在2 只- - 2 s l 之间跃迁时，在对易情况下跃迁只取决于z 的量子数， 22 而所有的修正来自于场论的圈图。在非对易情况下，除了普通的圈图效果，还取决 于丘的量子数，并且由于非对易出现了一种新的跃迁渠道 * p 1 抛2 2 s 2 ，这样 2 兄2 专2 s , ，2 就分成了两部分2 e 孑- + 2 s , 2 和2 丘右佗专2 s , ，2 ，这说明非对易 3 2 考虑动量也不对易时，此时磊= 忍+ 去岛，则 筹一_一2h p j f4 2 h 2 mh 华+ d ( 纠卜2 ，2 聊2 朋i 川 壳 v ，j 1 定义岛= 寺啄展，得到 互1 mb , b , = 去一警= 去一篙竽 = 土p 2 + 业= 1 j _ p 2 _ ( r xp ) f 1 = 上p 2 一坐 ( 3 9 3 ) 2 m 1 4 m h2 m4 m h2 m 1 4 m h 、7 可见动量不对易将会对氢原子能级产生一个修正( 聆璇