（概率论与数理统计专业论文）hilbert空间中的框架序列.pdf

ab s 让 a c t ab s t r a c t t h e c o n c e p t o f f r a m e w a s i n t r o d u c e d i n 1 9 5 2 b y d u f fi n a n d s c h a e ff e r i n t h e s t u d y o f n o n h a r m o n i c f o u r i e r s e r i e s . i n 1 9 8 0 , y o u n g o b t a i n e d s o m e b asi c re s u l t s o n f r a m e s . a s w a v e l e t t h e o r y d e v e l o p e d , d a u b e c h ie s , g r o s s m a n n a n d m e y e r d i s c o n v e re d t h a t f r a m e s c a n a l s o b e u s e d f o r t h e e x p a n s i o n o f f u n c t i o n s i n l z ( i 2 ) , s i m i l a r t o o r t h o n o r m a l b as e s . f r o m t h e n o n , n u m b e rs o f p a p e r s a n d w o r k s h a v e b e e n i n p u b l i s h e d . i n t h i s th e s i s , w e fi r s t g i v e a n e c e s s a ry a n d s u f fi c i e n t c o n d i ti o n f o r t h e u n i o n o f a fr a m e s e q u e n c e a n d a b e s s e l s e q u e n c e t o b e a f r a m e s e q u e n c e . t h e n w e p r o v e d t h a t i f t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t io n o f a f r a m e s e q u e n c e o n s o m e c l o s e d s u b s p a c e i s a f r a m e s e q u e n c e , t h e n th e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f i t s d u a l f r a m e o n t h i s s u b s p a c e i s a f r a m e s e q u e n c e , t o o . c o m b in i n g t h e t w o r e s u l t s a b o v e , w e o b t a i n t h a t i f t h e u n i o n 介 , g k k e z o f t w o f r a m e s e q u e n c e s 八 k e z a n d g k k e z i s a fr a m e s e q u e n c e , t h e n t h e u n i o n 人， 纵 * 。 : o f t h e i r d u a l fr a m e s 八 k e z a n d i g k k e z i s a l s o a f r a m e s e q u e n c e , a n d f k , g k k e z is th e d u a l f r a m e o f f k , 9 k k e z i f a n d o n ly i f f k k e z i s o r t h o g o n a l w i t h g k k e z , b u t 人 ， 爪 k e z i s t h e c a n o n ic a l d u a l f r a m e o f 人, g k k e z i f a n d o n l y i f f k k e z a n d g k k e z a r e t h e c a n o n ic a l d u a l f r a m e o f f k k e z a n d f 9 k k e z , r e s p e c t i v e ly . f u r t h e r , w e 颐 v e a n e c e s s a ry a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e u n i o n o f t w o f r a me s o f i n t e g e r - t r a n s l a t e s i n l 2 ( r ) r o b e a f r a m e s e q u e n c e , t o g e th e r w i th a c o n c r e t e e x p r e s s i o n . k e y w o r d s b e s s e l s e q u e n c e , fr a m e , d u a l f r a m e , fr a m e s e q u e n c e , f r a m e o f i n t e g e r - t r a n s l a t e s . i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位 论文 的印刷本和电子版 本;学校 有权保存学位论文的印 刷本和电 子版， 并采用影印、 缩印 、 扫描、 数字化 或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录 检索以及 提供 本学位论 文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关 规定向国 家有 关部门或者机构送交论文的复印件和 电 子版: 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部 内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 柔 璋 章 ? 口刀年9 月 i 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师 签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部5 年 ( 最长5 年，可少于 5 年) 秘密*1 0 年 ( 最长 1 0 - 年，可少于1 0年) 机密*2 0 年 ( 最长2 0年，可少于2 0年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论 文， 是本人在导师 指导下， 进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本学位 论文的 研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没 有公开发表的作品的内 容。 对本论文所涉 及的研究工作 做出贡献的其他个人和 集体，均己 在文中以明 确方式标明。本学 位 论文原创性声明的法律责任由本人 承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 料晕 i a - i 年 5 月l i 日 第二章 h i l b e rt 空间中的框架序列 第二章 h i l b e r t 空间中的框架序列 本章， 我们统一用x 表示b a n a c h 空间， 用1 表示h i l b e r t 空间 对x的任何子集a , s p a n a表示由 a 张成的线性子空间， 即 :。 。 n ，、 c ，、 一 ， spa n a 表示s p a n a 的闭 包 若 v 是 x的闭 子空间 ， 则 用 v l 表 示v 的 正 交补， 用乃 表 示从x到v 上的正交投影算子. 关于闭子空间和其上的正交投影算子的性质可以 参考 1 2 . 2 . 1 在介绍s c h a u d e r 基的 概念之前， 是一个有序集合， 即 s c h a u d e r 基 翻门 首先强调 b a n a c h 空 间中 x 的 一 个序列 e k k e z e k l k e z = 二 ， e - 1 , e o , e l , . 定义2 . 1 b a n a c h 空间 x中 的 一个序列称为 一组 s c h a u d e r 基 ( 简 称脚， 如果对任 何f e x ， 存在 唯一的 复 数列 c k i k e z 使 得 f = ec k e k , ( 2 . 1 ) 其中上式右端级数在范 数意义下收鱿 通常 称 ( 2 . 1 ) 式 vo 展 开式如果 用 c k ( f ) 表示 f l y 展 开 式中 下 标 为 k 的系 数， 则 f - + c k ( f ) 是x 上的 连续 线 性泛函 ， 称为 e k i k e z 的系 数泛函 . b a n a c h 空间 x中 的 序列 人 i k e z 和x 中 的 序列 9 k ) k e z 称为 双 正文 如果 “ (寿 ， 一 “ 一 ;: k =k ;一 命题2 . 1 1 3 , c o ro l l a r y 3 . 1 .6 设 e k k e z 是 x的 一 组基 则 e k k e : 和它的系 数 泛函 f e k k e z 构成双 正交系 . 第二章 h i l b e r t 空间中的框架序列 命题2 .2 1 3 , t h e o re m 3 . 1 . 7 设l e k ) k e : 是 x 的 一 组基l e k l k e z 它的系 数泛函 . a l ( z ) e k k e z 是它 所张 成的 闭 于空间的基 ( i i ) 如果 x 是自 反空间则 e k k e z 是x 的 基 2 . 2 标准正交基 定 义2 .2 x 中 的 序 列 e k l k 。 称 为 标 准 正 交 系 ， 如 果 ( e k , e i ) = b k ,) ， 如 果 序 列 e k k e z 既是标准正交系又是基口 则称为标准正交基 对于 h i l b e r t 空 间 h . 因 为 h =h ; ， 所 以 如 果 一 个 序列 人 j k e z 有双正交 系 g k ) k e z , 则 g k l k e z t 是 h 中 的 序列 . 显然 ， 标准 正交 基 的 双 正交系 就 是 它 本身 标准正交 基在数学 ， 物思 信号处理 ， 以 及很多 其它领域都有广泛应用 ， 关于 标准正交基 有以下结论: 命 题2 .3 1 3 , t h e o re m 3 .4 . 2 设 e k ) k e z 是 一个标准 正交系 ， 则以下几 条等 价 : ( t ) f e k k e z 是标 准 正交 基 ( t i ) f =艺 k e z ( f , e k ) e k , 盯e h . ( i i i) ( f , g ) = e k e z ( f , e k ) ( e k , 9 ) , d f , 9 允 ( w ) e k i z i (f , e k ) 12 = ilj 12 ， vf h . ( v ) tp n e k k e z = h . ( v i ) 若( f , e k ) = 0 , h k e 9l , 则 f =0 . 命题2 .4 1 4 , p r o p o s i t i o n 1 2 . 6 每个 可 分 h i lb e r t 空间 都有标准正交基 . 命 题2 .5 1 3 , t h e o re m 3 .4 . 6 每一个 可 分 h i lb e r t 空 间 都 与 1 2 ( n ) 等 距同 构 命 题2 . 6 1 3 , t h e o r e m 3 .4 . 7 设 e k j k e z 是 h 的 标 准 正 交 基 . 则 序列 人 i k 。 是 x 的 标准 正交 塞当 且仅当 存在酉 算子u: h-h 使 得介二 u e k , d k e 乙 4 第二章 h i l ber t 空间中的框架序列 赋 范 空 问 中 的 序 列 e k k e z 称 为 规范 化 的 ， 如 果ie k l1 = 1 , h k e z . 命 题2 . 7 ( 1 3 , t h e o r e m 3 .4 . 8 1 设 e k k e z 是 n 中 的 规范 化 序列且 艺i f , e k ) i， 一 llf ll2 , d f e x - 则 e k k e z 是 入 的 标准正交 基 2 . 3 r i e s z 基 定 义2 .3 b a n a c h 空 间 x 中 的 两 组 基 人 j k e z 与 9 k k e z 称 为 等 价 的如 果 l r k e z c k 介 收 敛当 且 仅 当 e k c z c k 9 k 收 效 命 题2 .8 1 5 b a n a c h 空 间 x 中 的 两 组 基 f k k e z 与 j k f k e z 是 等 价 的当 且 仅当 存在 有 界 可 逆线性算子u: x*x 使得u 八= 9 k , d k e 7l . 定 义2 .4 h il b e r t 空间 n 中 的 一 组 基 人 、 。 称 为 r ie s z 基如 果 它 与 n 的 一 组 标 准正交 基等 仇 设 介 s k e z 是 月 的 r i e s z 基 由 定 火 存在 h 的标准正交 基 e k k e z 和 ? -1 上的 有 界 可逆线性算 子u , 使得 人=u e k , 殊 z . 所 以 ilv l i 5 114 11 _ iiu ii. 因 此r ie s z 基 是 有 界 的 ， 即 0 咧a ll 吧114 11 00 . 另 一 方 面 ， 如 果 f k i k e z a - h 的 r ie s z 基则 击j k e z 也 是 9 的 r ie s z 基 . 事 实 么如 果 令 s 。 一 e k l llf k ll, 则 s 定 义 了 x 上 的 一 个 有 界 可 逆 线 性 算 子 ， 并 且 ( a s 、 一 击， 命题2 .9 1 3 , t h e o r e m 3 .6 . 6 设4 是一个可分h i l b e n 空间 ， 则以下四条等 价: ( i ) f f k l k c z 是 x 的 r i e s z ) 12 叮 ok) 1 2) 1“ 一 ( r i (h,kez jez“， ，) ) ( 2 . 1 1 ) 因 为 人 * “ 是 b e s s e l 序列， 所以由 命 题 2 . 1 0 可知 艺i(h , e k ) 12 b 11h 112 llhll2 - llk ckokll2 b 又ic k l2 = b lls ll2 ( 2 . 1 2 ) 因此可得 ei(h , e k ) 12 1 下 百 ( 1 一 b ) 2 1 + b ilf ii2 =s iif 112 因 为 p v 4k 二b k ， 且根 据题 设 e k l k r : 不是 框架序列 ， 也不是框架序列. 下 面是 关于 p k , w k k e z 的 框架 界的 推论 . 所以由 定 理 2 . 1 8 可知 v k , 叭i k e z 口 推 论2 . 1 9 设 o k l k 。 是 1 -l 中 界 为 a 1 , b 1 的 框架 序列 ， v) k k e z 是 x中 界 为 b z 的 b e s s e i 序列 ， 且 么 k e z 在v := 5 - a n (p k k 。 的 正 交 补空 间 上的 投 影 丹二 叭i k 。 是界 为 a 3 , b 3 的 框 架 序列 ， 则i (p k , lk k l k e z 是 界为, b : 十 b 2 的框架 序列. 证 眼 根 据定 理2 . 1 8 可 知 ar 叭i k e z 是 框 架 序列， 显 然 b 1 十 场是 l 4 4 k ) k e z 的 框架上 界. 为 求框架下界 ， 与 定 理 2 . 1 8 的 证明 类似， 对任何了 8 1 7 4 可a, 八i k e z ， 记 f 二 又、 * 、 十 又d ,v) , = 艺c k 。 十 艺d ,p v jb t + 艺d jp v l v j k =1 1 =1 令 ec k 。 十 ed 7p v o t, ed ,p v l o i, 一一= 第二章 h i l b e r t 空间中的框架序列 则有了 =9 十h , g e v且h v l . 因此 i (f , w k ) i + 艺i( f , 0 ) 12 i(9 , w k ) iz + 又i (9 , f v o k ) + (h , p v 1 ,p k ) 12 无 c z 2 (: i (h, pv1,ok)12 i“一 (: .(夕，pv 叻*)2)i/21(9, pvvk)12) 艺时艺以 一一 _ a l 119 11 =a 1 119 112 + ( * ) 设0 三。 : 11f 112 这 时 我 们 有 又i ( f , , k ) 12 + 又i (f , o k ) 12 _ a l e iif 112 . 2 . 119 112 s 。 盯 112 . 注 意 到 111 112 = 119 112 +11h 112 . 因 此 11h 112 ? ( 1 一 : ) iif ii2 . 因 为 a 3 是 p v l y w k ) k 。 的 框 架 下 界 ， 所以 艺i( h , p v l )k ) i2 a 3 iih 112 a 3 ( 1 一 : ) 11f 112 . k e z 另一方面， ( 2 . 1 6 ) 又i (9 , p v o k ) 12 一 ei (9 , o k ) 12 b 2 119 112 凡则由( 2 . : 1 一: ) (*) : ( a 3 - e ) 1 6 ) 和( 2 . 1 7 ) 可得 一b 2e) 2 11f 112 所以 40 k , k k 。 具有框架 下界 a=m i n a l e , ( v 洲a 3(1 - e) 一 2b 2e 7 )为使a 取 得 最 大 值 ， 令 丫 a l e =./ a -. ( 1 - , ) 一 b 2 e ， 则 有 a 3 a , +b 2 +a 3 +2 v / 不瓦 此时 a=a l e = a, a 3 a , +几+a 3 + 2 、 1 a , b 2 命题得证.口 下 面的 命题利 用 p r e - f r a m e 算 子给出了 成为框架 序列的 充 分 必 要条件. 第二章 h i l b e r t 空间中的框架序列 命 题2 .2 0 ( 2 刀x 中 的 序列 介 j k e z 是 框 架 序 列当 且 仅当 知r e 加m e 算 子 在 1 2 上有定义且有闭的值域 利用命题2 . 2 0 可以得到本章的又一主要结果 定 理2 .2 1 设 几 j k e z 是 h ilb e 。 空 间 r 中 的 框 架 序 列 ， 人 j k 。 是 其 对 偶 框 架 ， p 是 从 x 到 闭 子 空 间 v 的 正 交 投 影 . 若 尸 八 、 。 是 框 架 序 列 ， 则 尸 f k ) k e z 也 是 框 架 序 列 证明 . 因 为 f k i * 二 是 框 架 序 列 ， 所以 p f k k e z 是 b e s s e l 序 列 ， 因 而 其 p r e - f r a m e 算 子 t e k j k e z ” ec k p i k k 任 乙 在1 2 上有定义 下 面 证 明 t 的 值 域 肠是 闭 集 令 m := sp a n 介 k e z = sp a n 几 k e z . 对 任 何f m， 由 于 f k i k e : 是 框架序列 ， 所以 存在 e k i k r z l 2 使得 ， 一 又 e k f k , k 6 z 因 此 p f = 艺 k e z c k p 人 ， 因 而 p f e sp a n p 八 k e z ， 由 此 p m c spa n p 几 i k e z又 因 为 s p a n 从j k e z c : f m , 所以 t p a n j p 五 j k e z c : t p_a n j p 介 k e :根 据 对 称 性 ， 同 理 可得 - f p f k k e z c 3 p a n p f k l k e zp a n因 此 t p -a -w p f k j k e z =t p a n i p f k ) k e z . 对 任 何 9 : t - - - i p ip a - o k e z ， 显 然 9 : sp a n 尸 几 * 二 ， 又 因 为 尸 人 * 二 是 框 架 序 列 ， 所 以 存在 d k k e z 1 2 使 得 ; 一 艺 d k p f k = 尸 e d k f k , 由 于 e k lz z d k f k 任 m ， 所 以 存 在 e k i k e z e d k f k k 2 所以 k e z 任1 2 使得 = ee k f k . 。 二 尸 艺 e k f k e k p f k e iz t 因 此 sp a n p 几 i k e z c 粉. 显 然 ， 庵 c sp a n p f k f k 。所 以 sp a n p 几 k r z 二 庵， 根 据 命 题 2 .2 0 可 知 尸 人 * 二 是 框 架 序 列 .口 结合定理2 . 1 8 和定理2 .2 1 可以得出以 下结论: 第 二 章 h l l b e r t 空间 中的 框架序列 推 论2 . 2 2 设 f k k e : 和 9 k k e z 是 中 的 框 架 序列 ， f k l k e z 和 9 k ) k e z 分 别 是它 们的对偶框架 则有: ( i) 若 f k , 9 k * 二 是 框 架 序 列 。 则 i 几 , 9 k ) k e z 也 是 框 架 序 列 . ( i i) i f k , 9 k ) k e z 是 f k , 9 k j k c z 的 对 偶 框 架 当 且 仅 当 f k j k e z 1 9 k k e z - ( 1i 6) 若 ( ii ) 中 的 条 件 成 立 ， 则 人 , 9 k k e z 是 f k , 9 k l k e z 的 典 型 对 偶 框 架 当 且 仅 当 五 j k e z 和 9 k ) k c : 都 是典型对偶 框架 证 明 . 为 证 ( 2 ) ， 令 v:=se a n f k l k e z =sp a n 人 、 。 因 为 f k , 9 k k 。 是 框 架 序 列 ， 所以 根 据定 理 2 . 1 8 , 9 k l k e z 在 v的 正 交 补 空间 v 1 上的 正 交 投影 p v 1 9 k j k c z 是 框架序列 ， 再由 定理2 .2 1 可知 斤二 爪 k e 2 也是 框架序列， 再次 应用定 理 2 . 1 8 可得 ， f k , 9 k j k e z )p- 框 架 序 列 . 下 面证明 ( “ ) 若 f k i k e z 上 9 k l k e z ， 则 对 任 何 f e sp a n 人 , 9 k l k c z ， 存 在 9 e sp a n f k k e z , h 。 sp a n 恤j k e z 使 得 f = 9 十 h因 为 几 * 。 和 9 k k e : 分 别 是 人 、 二 和 9 k l k 。 的 对偶框架， 所以 ， = e(9 , f k ) f k “ 一 又( h , 9 k ) 9 k e ( f , f k ) f k , 又( f , 9 k ) 9 k - 由此可得 f = e (f ,l k ) f k + e(f , k ) g k - 由 命 题 2 . 1 6 可 知 几 ， 头 、 : 是 人 , g k k 。 的 对 偶 框 架 . 反 之 ， 若 f k l k c- z 1 ( g k k e z 不 成 立， 则 必 存 在 某 个 。 e 7g 使 得 p v g n 3 0 . 此 时 ， e (g . , f k ) f k 十 艺 (9 n , 9 k ) 二 一 p v y . + * 34 g . , 所 以 f k , g k k e z 不 是 f k , a i k e : 的 对 偶 框 架 下 面 证 明 恤 0 . 设 f k l k e z , g k l k e z , 人 , g k i k e : 的 框架 算 子 分 别 为 s 1 , s 2 , s 3 对 任何f e sp a n 人 、 : ， 因为 人 * 二 上 g k k e z ， 所以 s 3 f= e k e z =艺k r z ( f , f k ) f k + 又 k l z ( f , 9 k ) g k ( f , 介 ) 介 =s , 了 第二 章 h i l b e rt 空间中 的 框架 序列 所以限 制在8 j m .n f k k e z 上 ， s 3 对 任 何 k e z , 人= 穷1 人 ， 兔= 口 二s 1 . 同理， 限 制在 3 p a n 9 k f k “ 上 ， s 3 =s 2 . 所以 穷1 9 k 当 且 仅当 几= 9 人 , 9 k = 劣l 9 k . 命题 得 证 第三章 整平移框架序列的并 第三章整平移框架序列的并 有限个函数的 整平移序列构成的 框架在采样理论中有很大实用价值 本章， 我 们给出了 两个整平 移框架序列的 并仍是框架序列的 充分必要条件， 并得到了 具体 的表达式. 首先引进几个符号. 对 任 何 f e l 2 ( 1r ) ， 定 义 f 的 f o u r ie r 变 换 1:7f = 1 ( ) = 几f ( x ) e - - d x . 与 通常 一 样 ， x e ( x ) 表示 集合 e 的 特 征函 数 对 任 何 k 任 z ， 算 子 t a; : l 2 ( r ) *l 2 ( r ) , ( t k f ) (x ) 二了 ( 二 一 k ) 称 为 整 平 移 算 子 形 如 t k f f k e z 的 序 列 称为 整平移 序 列 ， f 称 为 生 成 元 3 . 1 整平移框架 本节介绍了与整平移框架有关的一些基本结果. 命题3 . 1 ( 1 3 , l e m m a 8 . 2 . 2 设f , g l 2 ( ll 2 ) , a , b 0 , k e z , 则 级数 艺f 二 一 、 )g ( 二 一 、一 k 1 b ) ，二 : r , (3 .1 ) 在1r 上几 乎处处绝对收敛犷 并定义了一个周期为a 的函 数 且 (x 种 e f ( 二a a ) g ( 二 一 、一 k ( b ) e l l ( 0 , a ) . 由以 上 命 题可 知， 对任何f , g e l 2 ( 1r ) 可定 义函 数 f , 9 1 (- ) = 艺j (w + 2 k 7r )g ( m + 2 k r )。 e . 。 。 1r , k 任 2 f , 9 l 以 2 二 为 周 期 且 属 于 l l ( 0 , 2 1r ) . 引 理3 .2 ( 1 3 , l e m m a 7 .2 . 1 设 y e l 2 ( r ) , t k o i k c : 是 b e s s e l,+列 ， l e k k c- z 汽匈 则 e k c z c k t k o 在 l 2 ( ir ) 中 收 效艺 k , z c k e - k 在 l 2 ( 0 , 2 7 r ) 中 收 纸且 又c k e - k ( 3 . 2 ) .吮 、.护/ /矛召.1、 f 艺c k t k o 其中 e k ( w ) 二。 i ka 是 乙 2 ( 0 , k 2 2 s r ) 的正交基， 第三章 整平移框架序列的井 下 面我 们 给出 l 2 ( r ) 中 有限 个函 数 生 成 整 平 移 框架序 列的 等 价 条 件 . 命 题3 .3 ( 2 1 , l e m m a 4 .4 .8 1 设r 是一个 正整 数 ,p . : 1 。5好c l 2 ( r ) . 则 ;,w : 1 二 5二 k e z 是 界为 a , 1 3 的 框架 序列当 且仅当 a g ,p ( w ) 0 使得 4 y e v .d ( ) f , p l ( l , g l ( w )一 、 ，* 。 ) b x e - , (w ) 其中 e w* 一 。 r :w , wl (w ) , (- ) - i0 , l(- ) i ” 第三 章 整平移框架序列的 井 证明 令v = sp a n t k 讨k e z . 根 据定 理2 . 1 8 可知 t k v , t k o k i k e : 是 框架 序列当 且 仅当 p v 1 t k o l k e z 是 框 架 序 列 . 按 照公 式 ( 3 . 3 ) 的 形式 定 义 p ， 由 引 理3 .5 可知 t k o k e z 是 t k 时k c z 在v 中的 对 偶框架. 所以 对 任何k 任 乙 p v t k p =艺( t o , t aw ) t ,0 t k 艺( i0 , t i- w ) t l- k o 止 e z t k 八v 劝, 因此 p v i t k o = t k ?p 一p v t k o = t o g 一t k p v o = t k ( ilk 一p v 哟 = t k p v 叭 所以 t k o , t k o k l k “是 框 架 序 列 当 且仅当 t k p v 1 w ) k c z 是 框 架 序 列 . 令 0 := p v , o ， 因 为 p v o = l k , z ( y , t k 叻t k o ， 所 以 。 一 10 一 p v io = 0 一 f_ (vg , t k v ) t k - ( 3 . 4 ) 由 于 t k (p j k e z 和 t k o j k e z 都 是 框 架 序列 ， 由 引 理 3 .4 可 知 存在 正 常 数 a i , b l , a 2 , b 2 使得 a i x e , 沙 ) (w , 1 ) 恤 ) b , x e ,o (- ) a .e 。 ， ( 3 . 5 ) a 2 x e * 仲 ) 0 , p ( w ) b 2 x e ,恤 ) a. e.田 。 ( 3 . 6 ) 第三章 整平移框架序列的并 因此 e (w + 2 k r r ) 庐 ( 。 +2 k r r ) ,o ( w+2 k r r ) cp ( w +2 k r r ) ，jz、产卜夕 一砂口、曰， ,。 (。 ) - )(w )p ,。 (。 ) “ 0 使得 e ,o 门 e ,v , tv e 局 凡， ( 3 .9 ) 其它. . 6 ) 可知 t k o i k e z 是 框 a:5 w , sc l ( w ) 7g , 钊( ， ) 一 ， ，、 (。 )】 : b a . e . w 任e , p ,o 另 一 方 面 ， 因 为 一!0 , (w ) 2 : p (w ) , 0 1 ( w ) ， 所 以 当 0 e w ,o 时 ， 0 , o ) (w ) , l(w ) - i, (w ) i 一 。 命题得证. 下面我们给出一个不满足上述定理的等价条 件的例子 例3 . 1 通过 f o u r ie r 变 换定义 沪 冲e 护( r ) 为 a - ， 一 ;: w e 0,47x),a g . 第三章 整平移框架序列的并 阳伦 i ( w ) 1 +w , 1 +4 7 r 一 ， 0 , w 住 w e 其它. 了.j、. 一- 则 0 , 剑 ( 。 ) 三 2 ，。 e 0 , 2 7 r ) , w , k- ) = ( 1 + 。 ) ， + ( 1 + 2 二 一 。 ) 2 。 。 0 , 2 7r ) . 根 据引 理 3 .4 可 知 几,p j k e : 和 几劝 j k “ 都 是 框架 序列 . 通 过 计 算 ， w , ( w ) = 2 ( 1 + ; ) ，。 0 , 2 a ) , 所以 w ,a (w 4 ,k w )一 !0 , )(w ) 一 2 (1+ w )2+ 2 (1 + 2 ! 一 )2 一 (1+ 7r)2, 、 。 0 , 2 1r). 显 然 ， yp (w ) ,+g )(w ) 一 p , (w )i在 。 一 的 处 等 于 二 连 续 ， 所 以 根 据 定 理 3 6 , i t k v , t k ) f k e z 不是框架 序列 ， 第四章 结论 第四章结论 首先我们给出了一个框架序列和一个b e s s e l 序列并起来仍构成框架序列的充 分 必 要 条 件 . 然 后 我 们 证明 了 ， 如 果 一 个 框 架 序列 介 * 。 在 某 个 闭 子 空 间 v 的 正交 投 影 p v f k k 。 是 框 架 序 列 ， 则 f k k e : 的 对 偶 框 架 五 、 : 投 影 之 后 p v 几 k e z 也 是 框架 序 列 把以 上 两 个 结 果 结 合 起 来 ， 我 们得到 加果 两 个 框 架 序 列 介 k e z 和 j k k e z 的 并 f k , j k j k 。 是 框 架 序 列 ， 则 它 们 的 对 偶 框 架 的 并 f k , j k * 二 也 是 框 架 序 列 ， 并 且 人 ， 乳 k e z 是 介 , 9 k k e : 的 对 偶 框 架 的 充 分 必 要 条 件 是 人 * 。 与 q k k e z 正 交 ， 而 且 f k , g k k 。 是 f k , 9 k k e : 的 典 型 对 偶 框 架 当 且 仅 当 f k f k 。 和 wk 。 分 别 是 介 * 二 和 9 k l k 。的 典 型 对 偶 框 架. 最 后 我 们 给出了 两个 整 平 移 框 架 并 起来 构 成 框 架 序列 的充分必要条件， 并得到了该条件的具体表达式 致谢 致谢 能够顺利完成三年的研究生学业， 首先要感谢我的导师孙文昌教授. 孙老师不 仅传授给我们知识和研究方法， 他兢兢业业，专心科研的治学态度也深深感染着我 们. 同时， 孙老师坚持不懈， 辛勤工作的精神也时刻激励着我们要不断努力， 积极 进取. 这些都会让我们终生 受用 无论我们有什么问题， 孙老师总是非常认真地给 我们解答 在论文写作过程中 ， 孙老师一遍又一遍耐心地审阅， 提出了许多宝贵的 修改意见和想法， 这里面凝结了孙老师大量的心血 我还要感谢周性伟教授 周老师精彩的讲课， 严谨的学术精神都使我在学习 和 日 后的工作中获益良 多 此外， 还要感谢高听， 刘蓓以及各位师兄师弟， 他们在日 常的学习生活中给了 我很多无私的帮助， 让我时刻感受到家的温暖. 本项研究得到国家自 然科学基金( 1 0 5 7 1 0 8 9 ) 和新世纪优秀人才支持计划资 助. 参考文献 参考文献 1 r . j . d u f fi n , a .c . s c h a e ff e r , a c l a s s o f n o n h a r m o n i c f o u r i e r s e r i e s , t r a n s . a m e r . ma t h . s o c . , 7 2 ( 1 9 5 2 ) , 3 4 1 - 3 6 6 2 r . y o u n g , a n i n t ro d u c t io n t o n o n h a r m o n i c f o u r i e r s e r i e s , a c a d e m i c p r e s s , n e w y o r k , 1 9 8 0 3 1 . d a u b e c h i e s , a . g r o s s m a n n , y me y e r , p a i n l e s s n o n o r th o g o n a l e x p a n s io n s , j . ma t h . p h y s . , 2 7 ( 1 9 8 6 ) , 1 2 7 1 - 1 2 8 3 4 1 i . d a u b e c h ie s , t h e w a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n , t i m e - fr e q u e n c y l o c a l i z a t i o n a n d s i g n a l a n a l y s i s , i e e e t r a n s . i n f o m . t h e o ry , 3 6 ( 1 9 9 0 ) , 9 6 1 - 1 0 0 5 5 1 . d a u b e c h i e s , t e n l e c t u r e s o n w a v e l e t s , s i a m p h i l a d e l p h i a , 1 9 9 2 . f 6 c h r i s t o p h e r e . h e i l , d a v i d e wa l n u t . c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e w a v e l e t t r a n s f o r m s , s i a m r e v . , 3 1 n o .4 ( 1 9 8 9 ) ,6 2 8 -66 6 . 7 1 j . b e n e d e t t o , s .