（运筹学与控制论专业论文）基于var风险测度的投资组合决策.pdf

中文摘要 均值方差模型利用收益率的方差作为风险测度。这种方法虽然可以有效的 减小缀合收益的波动，但方差的最小化不仅会减少收益向下的偏离，同时也会减 小收益的向上的偏离，所以同时它也限制了可能的收益。 v a r ( v a l u ea tr i s k ，在险价值) 是在市场正常波动情形下对投资可能损失的一 种统计测度。在已知投资的未来收益分布的条件下，在给定置信水平下的投资的 未来损失值为v a r 以p 表示投资的收益，在公式p r o b ( t u r 一v a r ) = 1 一口中， v a r 即为在置信水平口下处于风险中的价值。 基于v a r 的投资组合决策主要有两个方面的应用：均值地r 模型和带有v a r 限制条件的均值方差模型。 均值- v a r 模型的有效前沿是通过求解均值一方差模型来研究的。在收益率的 分布为正态分布的假设下，均值v a r 模型的有效集是均值- 方差有效前沿的子 集。有关全局最小v a r 的存在性的分析显示，在选择v a r 的置信水平时必须非 常小心，否则模型可能会无解。 带有v a r 限制条件的均值方差模型有效前沿就是均值一方差有效前沿中位 于以一阮凰为截距，以z 1 一。为斜率的直线的上方的部分。 当借款利率不同于存款利率时，可以证明，含有无风险证券的投资组合的有 效前沿不再是一条直线。 利用极值理论来研究厚尾分布条件下的v a r ，近年来获得了长足发展但 v a r 无论在理论上还是应用上都还存在巨大缺陷，c v a r ( c o n d i t i o n a lv a r ) 作为 v a r 的一种改进成为新的研究热点。 关键词：风险测度，均值v a r ，厚尾分布，c v a r a b s t r a c t v a r i a n c eo fr e t u r n si sr e g a r d e da sr i s ki nt h em o d e lo fm e a n - v a r i a n c e a l t h o u g h t h i sk i n do fm e t h o dc a nr e d u c et h ef l u c t u a t i o no fr e t n r ne f f e c t i v e l y , t h em i n i m i z a t i o n o fv a r i a n c ec a nn o to n l yr e d u c et h es h o r t f a l lo fr e t u r n , b u ta l s or e d u c et h es u r p l u so f r e t u r n ，s oi tm a y c o n f i n et h ep o t e n t i a lr e t u r n v a ri st h es t a t i s t i c i a lm e a s l l r e m e mo fp o t e n t i a ll o s su n d e rt h ec o n d i t i o no f m a r k e tv a r y i n gn o r m a l l y h a v i n gk n o w nt h er e t u r n sd i s t r i b u t i o no ff u t u r e ，t h e p o s s i b l e l o s so fi n v e s tt oa g i v e n c o n f i d e n c el e v e li s e q u i v a l e n t t o v a r ，v a r r e p r e s e n t s t h ev a l u ea tr i s kt ot h ec o n f i d e n c el e v e l 口i nt h ef o r m u l a p r o b ( a p - v a r ) = 1 一口w h e r e 廿d e n o t e s t h e r e t u r n o f i n v e s t t h e r ea r et w ok i n d so f a p p l i c a t i o n sa b o u tp o r t f o l i os e l e c t i o nd e c i s i o nb a s e do n 、t l r ：m e a n 一、氓m o d e la n d 、，a r - c o n s t r a i n e dm e a n - v a r i a n c em o d e l w es t u d yt h ee f f i c i e n tf r o n t i e r so fm e a n - v a rm o d e lo b t a i n e d b ys o l v i n g m e a n - v a r i a n c em o d e l m e a n - v a re f f i c i e n ts e ta r es u b s e to ft h em e a n v a r i a n t e e f f i c i e n tf r o n t i e ru n d e r a s s u m p t i o n t h a tr e t u r n sa r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d a c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a lm i n i m u mv a r p o r t f o l i os u g g e s t st h a t o n em u s tb ec a r e f u li n c h o o s i n gt h ec o n f i d e n c el e v e la tw h i c hv a r i sd e t e r m i n e d ， o t h e r w i s et h e r em a yb en os o l u t i o nt ot h em o d e l me m c i e n tf r o n t i e ro fv r i r c o n s t r a i n e dm e a n - v a r i a n c em o d e l i st h es e c t i o no f e f f i c i e n tf r o n t i e ro fm e a n - v a r i a n c em o d e ll i e so no ra b o v eal i n ew i t hi n t e r c e p t l e a r o a n ds l o p e z h w h e nt h ei n t e r e s tr a t eo f t h eb o r r o w e d m o n e y i sn o te q u a lt ot h ei n t e r e s tr a t eo f t h e d e p o s i t ，w ec a l lp r o v et h a tt h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro fp o r t f o l i o 、i t br i s k l e s sa s s e ti sn o l o n g e r a s t r a i g h t l i n e r e s e a r c ho n u n d e rt h ec o n d i t i o no ff a t - t a i ld i s t r i b u t i o nh a sw o n t r e m e n d o u s d e v e l o p m e n t i nr e c e n ty e a r s b u t 妇rh a se n o r m o u sd e f e c tn o t o n l yi nt h e o r yb u ta l s o i na p p l i c a t i o n ，c v a r ( c o n d i t i o n a lv a r ) b e c o m e st h en e w r e s e a r c hf o c u sa sak i n do f i m p r o v e m e n to f v 出 k e yw o r d s ：r i s k m e a s u r e m e n t ，m e a n v a r , f a t - t a i ld i s t r i b u t i o n , c v a r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：毒瞵垂迂 签字日期：工。y 年2 月j f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弓巨拿 导师签名 肇毒民 签字目期：立u 。v 年j 月l j 目 签字日期：拈。0 年月z ，j + 日 前言：v a r 方法的产生背景 前言：v a r 方法的产生背景 近2 0 年来，随着经济的全球化及投资的自由化趋势，金融市场的波动性日 益加剧，金融风险管理已日益成为金融机构和工商企业管理的核心内容。所谓金 融风险是指金融机构、非金融机构和个人未来收益的不确定性。金融机构所面临 的主要金融风险有市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险和法律风险等。 其中，市场风险是指由于利率、汇率、股指、商品价格等市场因素的变化而导致 的金融资产收益的不确定性拍】。 7 0 年代以前，由于金融市场价格变化比较平稳，金融风险突出表现为信用 风险，然而进入7 0 年代以来，全球金融系统发生了巨大变化：( 1 ) 全球金融市 场的变革导致金融市场的波动性日益加剧：以布雷顿森林体系崩溃为标志的固定 价格体系演变为市场价格体系，而导致各类市场( 外汇市场、货币市场、资本市 场、商品市场) 价格的波动性加剧、金融市场交易速度的加快与交易量的空前增 加，从而导致的金融市场的复杂性和波动性、金融市场一体化趋势，进而导致的 金融市场波动性的互动、放大与传染效应；( 2 ) 技术进步：7 0 年代以来由于现 代金融理论的突破( 主要有b l a c k - s c h o l e s 的期权定价公式等) 、信息技术( 计算 机与通信技术) 的巨大进展及金融工程技术的出现与广泛应用，导致的以衍生工 具的爆发性增长为标志的“金融创新”活动在提高了金融市场有效性的同时，也 增加了金融市场的波动性与脆弱性；( 3 ) 金融创新与放松管制：西方主要发达国 家奉行的“放松金融管制”浪潮又为金融创新提供了良好的环境。这三股力量及 其交互作用使金融市场呈现出前所未有的波动性和脆弱性，市场风险成为今日金 融风险的最主要形式。 近年来，国际上诸多金融机构和跨国公司由于市场风险管理不善而导致的巨 额损失比比皆是，从巴林银行的倒闭、日本大和银行巨额交易亏损到美国奥伦治 县政府破产，充分说明了市场风险在金融机构面临的诸多风险中的核心地位。 针对这种情况，金融监管当局、金融机构近年来一直在不断强化市场风险的 管理与监管：如从1 9 8 4 年旨在防范信用风险的巴塞尔协议到1 9 9 6 年的巴塞尔银 前言：v a r 方法的产生背景 行业全面监管原则的变化，反映了国际金融监管当局对市场风险作出的反应；许 多著名金融机构如j p m o r g a n 、b a n k e r s t r u s t 、c h e m i c a lb a n k 、c h a s em a n h a t t a n 等都投入巨额经费开发市场风险管理技术。 市场风险管理就是金融机构或工商企业在准确辨识和测量市场风险的基础 上，根据其竞争优势及风险偏好，利用各种工具和技术对风险进行规避与防范、 转移( 分散化、对冲、保险) 和保留( 风险定价和风险资本金配置) 的过程。市场风 险管理的基础和关键在于测量风险，即将风险的特性定量化。面对包含各式各样 衍生金融工具( 特别是期权类非线性工具) 的组合证券，传统的线性度量，如d e l t a 、 久期( d u r a t i o n ) 、卢已不再适用，即使引入凸性( c o n v e x i t y ) ，当标的( u n d e r l y i n g ) 资 产价格发生巨大变动时也不能准确地估计风险，基于期权的度量，如g a m m a 等 虽可以计算单一证券的风险，但是它不能概括证券组合的总体市场风险。因此迫 切需要一种既能处理非线性的期权，又可提供总体风险的市场风险测量方法，在 这个背景下，v a r ( v a l u e a tr i s k ) 方法便应运而生了。 自8 0 年代v a r 首次被一些金融公司用于测量交易性证券的市场风险后，v a r 已获得广泛应用。一些权威金融研究机构近年来的调查表明：v a r 已经为众多商 业银行、投资银行、非金融公司、机构投资考核及监管机构所使用和关注。许多 金融机构都将v a r 作为防范金融风险的第一道防线，并且开发了利用v a r 进行 风险管理的软件，如j p m o r g a n 公司的r i s k m e t r i c s 系统等。监管机构则利用 v a r 技术作为金融监管的工具，如在巴塞尔委员会发布的巴塞尔银行业有效监管 核心原则及欧盟的资本充足度法案中，v a r 成为其监管市场风险的重要工具。除 了测量市场风险供管理者决策参考及实施金融监管，r 还用于设定交易商市场 风险的限额、测定估值风险模型的有效性及评价绩效等方面。如b a n k e rt r u s t 在绩效评价中使用“风险调整的资本收益”指标r a r o c ( r i s ka d j u s t e d r e t l r no f c a p i t a l ) 取代资本收益指标r o c ( r e t u r no f c a p i t a l ) 来反映交易员的经营业绩，以防 止交易员的过度投机行为。 第一章v a r 风险测度法 第一章v a r 风险测度法 1 1 传统风险测度法的不足 均值方差( 标准差) 模型是最早的解决投资组合问题的方法，投资分散化是 它的基础。目前这种方法在风险管理中仍然有广泛的应用，但由于利用收益率的 方差( 标准差) 作为风险测度，减小方差虽然可以有效的减小组合收益的波动， 但由于方差是一种“对称”的测量方法，方差的最小化不仅会减少收益向下的偏 离，同时也会减小收益的向上的偏离，所以同时它也限制了可能的收益。另外， 方差也不适于描述低概率事件的风险，而往往就是低概率的事件可能会造成收益 的巨大波动，带来致命的损失。 图1 1 正态分布的分布密度函数，均值方差( 标准差) 模型把大于或小于收益率 均值的部分都看作风险 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 是近几年来兴起的一种新的基于收益分布的分位点的风 险测度方法。 第一章v a r 风险测度法 1 2 v a r 的概念 所谓v a r ( v a l u ea tr i s k ) ，按字面意思解释就是“按风险估价”，它是在市 场正常波动情形下对投资可能损失的一种统计测度。实际上v a r 的概念非常简 单，在己知投资的未来收益分布的条件下，在给定置信水平下的投资的未来损失 值即为v a r 。用数学公式表示1 1 0 p r o b ( a p 一v a r ) = 1 一a( 1 1 ) 其中p 为投资的收益，v a r 即为在置信水平口下处于风险中的价值。 图1 2 正态分布的分布密度函数，阴影部分的面积为口，表示置信度，v a r 即为在险价值 例如，j p m o r g a n 公司1 9 9 4 年年报披露，1 9 9 4 年该公司一天的9 5 v a r 值为1 5 0 0 万美元。其含义是指，该公司可以以9 5 的可能性保证，1 9 9 4 年每一 特定时点上的证券组合在未来2 4 小时之内，由于市场价格变动而带来的损失不 会超过1 5 0 0 万美元。 v a r 将证券组合的风险概括为一个简单的数字，便于高层管理者掌握、上报 给监管机构以及在年报中披露。 除非作特殊说明，在以后的分析中，都设总投资为l 。下面给出v a r 的精确 定义。 定义1 1 ( v a l u e a t r i s k ) 设窿( o ，1 ) 为给定的概率水平，则收益r 在水平t 2 下的在 险价值( v a l u ea tr i s k ) 定义为1 2 1 ： v a r “( r ) = 一i n f z p r o b r ： 口 = 一巧1 ( 口) ( 1 2 ) 其中巧位) 为r 的累积分布函数f r = p r o b rs = 的广义逆函数。 。 。 眦 m e jslt2 第一章v a r 风险测度法 1 3 v a r 的计算 1 3 1v a r 计算的基本思想和步骤 v a r 本质上是对证券组合价值波动的统计测量，其核心在于构造证券组合价 值变化的概率分布。基本思想仍然是利用证券组合价值的历史波动信息来推断未 来情形，只不过对未来价值波动的推断给出的不是一个确定值，而是一个概率分 布。 在大多数情况下，由于证券组合庞大而复杂，且保留证券组合中所有证券的 历史数据不太现实，因此直接估算某种证券组合的收益( 或损失) 几乎是不可能 的，在v a r 的计算中将每一个证券映射为一系列“市场因子”( m a r k e t f a c t o r s l 的 组合。市场因子是指影响证券组合价值变化的利率、汇率、股指及商品价格等基 础变量。 基于上述基本思想，v a r 计算的基本步骤包括1 6 i ：辨识市场因子，并将证券 组合中的每一证券价值用市场因子表示( 映射) ；推测市场因子未来某一时期( 如一 天) 的变化情景：由市场因子的未来情景估测证券组合的未来价值( 盯市，m a r t - t o - m a r k e t ) ；求出损益分布，在给定置信度下计算出v a r 值。 这里计算的关键有二：其一是市场因子未来变化的推测；其二是证券组合价 值与市场因子间的关系( 线性、非线性) 。 1 ) i t 正券组合价值变化与市场因子变化的关系 除了期权类显著非线性的金融工具，大多数证券价值的变化都是市场因子变 化的线性函数，这类证券组合的价值变化可以用它对市场因子的敏感性 ( s e n s i t i v i t y ) 来刻画。而对于期权这种特殊的金融工具，一般用模拟的方法来描述 其价值与市场因子之间的非线性关系；另一方面也可以用近似的方法来处理，即 在假设b l a c k s e h o l e s 期权定价公式能够准确地对期权进行估价的基础上，取该 公式的一阶近似或二阶近似。 2 ) 未来的市场因子变化的推测 推测市场因于未来变化的方法有三种，第1 种是历史模拟法利用市场因 子历史状况直接推测市场因子未来的情景；第2 种是m o n t ec a r l o 模拟法利 用m o n t e c a r l o 模拟市场因子的未来情景；第3 种是分析方法一在市场因子变 化服从多元正态分布情形下，可以用方差和相关系数来描述市场因子的未来变 化。 根据以上的分析，不同情况下计算v a r 的方法不同，大体上可分为三大类： 历史模拟法、m o n t ec a r l o 模拟法和分析方法。 第一章v a r 风险测度法 1 3 2 历史模拟法 历史模拟法是一种简单的基于经验的方法，它不需要对市场因子的统计分布 作出假设，而是直接根据v a r 的定义进行计算，即根据收集到的市场因子的历 史数据对证券组合的未来收益进行模拟，在给定置信度下计算潜在损失。其具体 步骤如下；首先识别基础的市场因子，并用市场因子表示出证券组合中各个金融 工具的盯市价值；计算市场因子过去n 个时期的实际变化，结合当前市场因子 的价值估计市场因子未来某一时期的情景值( n 个) ；由定价公式得到证券组合未 来的盯市价值( n 个) ，与当前市场因子下的证券组合价值比较得到证券组合未来 的潜在损益；根据潜在损益的分布，在给定置信度下计算v a r 值。 1 3 3m o n t ec a r l o 模拟法 m o n t ec a r l o 模拟法与历史模拟法十分类似，它们的区别在于前者利用统计 方法估计历史上市场因子运动的参数，然后模拟市场因子未来的变化情景，而后 者则直接根据历史数据来模拟市场因子的未来变化情景。其具体步骤如下：首先 识别基础的市场因子，并用市场因子表示出证券组合中各个金融工具的盯市价 值：假设市场因子的变化服从的分布( 如多元正态分布) ，估计分布的参数( 如协方 差矩阵和相关系数1 ；利用m o n t ec a r l o 方法模拟市场因子未来变化的情景，根据 定价公式计算证券组合未来的盯市价值及未来的潜在损益；根据潜在损益的分 布，在给定置信度下计算v a r 值。 采用m o n t ec a r l o 模拟法计算v a r 时，存在两个重要缺陷：其是计算量大， 一般来说，复杂证券组合往往包括不同币种的各种债券、股票、远期和期权等多 种证券，其基础市场因子包括多种币种不同、期限不同的利率、汇率、股指等， 构成一个庞大的因子集合。 以j p m o r g a n 的r i s k m e t r i c s 系统为例，v a r 的 计算最多可涉及包括美国在内的1 5 个国家，每个国家都有l o 1 4 个不同期限的 利率，再加上各国的股票指数、商品价格指数，使得市场因子成为一个庞大的集 合。即使市场因子的数目比较少，对市场因子矢量的多元分布进行几千次甚至上 万次的模拟也是非常困难的；其二m o n t ec a r l o 模拟的维数高、静态性法产生随 机序列，均值和协方差矩阵不变，而经济问题中的变量都具有时变性，用静态的 方法处理时变变量时必然会产生一定的偏差；而且传统蒙持卡洛方法难于从高维 的概率分布函数中抽样。针对这两种缺陷，近年来许多学者对传统的m o n t ec a r l o 方法进行了改进。( 1 ) 针对m o n t ec a r l o 方法计算效率低的缺陷，j a m s h u d i a n 和z h u 第一章v a r 风险测度法 提出了一种s c e n a r i o 模拟方法来改进传统的m o n t e c a r l o 方法。传统的m o n t e c a r l o 模拟方法根据市场因子的分布生成大量等概率的情景，而s c e n a r i o 模拟则采用多 项分布将市场因子服从的多元正态分布离散化，生成有限数目的具有不同概率的 情景，从而极大地简化了计算，这一方法目前已应用于s a k u r a 全球资本公司( s g c ) 的风险模拟系统s a k u r ap r i m e 中；( 2 ) 针对m o n t ec a r l o 方法静态性的缺陷，王春 峰等人提出了一种m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o 模拟( m c m c ) 方法，该方法将随机 过程中的马尔科夫过程引入到蒙特卡洛模拟中，利用g i b b s 抽样方法来构造转移 核，通过建立一个马尔科夫链，实现动态模拟( 即随抽样分布随模拟的进行而改 变) 。 1 3 4 分析方法 由于历史模拟法必须保留市场因子过去n 个时期所有市场因子的历史数据， 而且必须对证券组合中每一个证券进行估价，计算起来比较繁琐，所以人们想寻 求一种较为简单的方法。分析方法就是在假定市场因子的变化服从多元正态分布 情形下，利用正态分布的统计待性简化计算的方法。 在投资组合中，当第i 支证券的收益率为正态分布，即r t n ( a ，盯。2 ) 时，水 平d 下的v a r 可表示为： v a r 。( ，f ) = 一( + z 。盯，)( 1 3 ) 其中乙表示标准正态分布的口分位点，即z 。= 中“位) ，巾( ) 为标准正态分布的 累积分布函数。口小于0 5 ，这时z 。 0 。 由于正态分布的和的分布仍然是正态分布，故可知组合收益o ( ，盯；) ， 其中p 2 而t l + x 2 i t 2 + + x , l t 。，盯；= t x j 盯u ，盯u 为第f 种证券和第，种 b j ，= l 证券收益率的协方差，可得投资组合的在险价值为： v a r “( 0 ) = 一( p + 乙仃p ) = z 】。盯p 一p ( 1 4 ) 第二章基于v a r 的组合投资模型 第二章基于v a r 的组合投资模型 2 1 均值一方差模型 在投资中，收益和风险是密不可分的，要想获得更高的收益，那么就得承受 更大的风险；反之要降低风险，则获得的收益也将降低。一个理性的投资者要满 足两个假设条件：( 1 ) 收益不满足，( 2 ) 风险回避。那么采取什么样的措施能尽 可能的满足上述两种愿望呢? m a r k o w i t z 证明：合理的分散投资可以最大限度的 降低风险，获得较高的收益。进而他提出了均值方差模型：对一个证券组合，用 r = ( 1 ，吩，) 表示这”种证券的收益率，盯。表示证券f 和证券，的收益率之间 的协方差，f ，j = 1 , 2 ，”，x = ( 墨，x ：，z 。) 表示证券组合的投资权重，若同时 投资于无风险证券，并设其收益率为r ，则投资决策模型郎为 9 i ： m i n o ；= 妒，一 j = l j = l m a x r ，= z 。+ ( 1 一 ( 2 1 ) 其中，盯，2 为投资组合收益的方差，代表组合风险，0 表示组合收益率。若再加 上0 曼x ，s 1 ，i = 1 , 2 ，n 这一个条件，则说明不可以卖空证券。 对多目标规划问题( 2 1 ) ，往往要转化为单目标规划问题，比如可以在组合收 益确定的条件下，求解使组合风险最小的投资比例 m i n 2 = ：。t - 蚍慝 亿z ， 其中，表示给定的期望组合收益率，o t ，表示，f 和，之间的协方差，投资总 额为1 。 也可以在组合风险确定的条件下，求解使组合收益最大的投资比例 第二章基于v a r 的组合投资模型 m a x o ；：。麒_ s t z 2 ：= l l x i _ = 1 碱2 盯： ( z 3 ) 其中，d ：表示给定的期望组合风险，仃d 的定义如上，投资总额还是为1 2 2 均值一v a r 模型 2 2 1 均值方差有效前沿 考虑这种情况，在组合收益确定的条件下，求解使组合风险最小的投资比例。 同时，把交易费用考虑在内，不妨假设证券单位交易额的交易成本为c 【8 】，均值 方差模型为： r a i n 盯，2 = 二：，v ， j2(鸬一c)t=名s, l 1 秘+ c ) 一= 1 ( 2 4 ) 其中，表示给定的期望组合收益率，而表示i c 和0 一c 之间的协方差( 实 际上就等于l 和0 之间的协方差) 。并设投资总额为1 。 设协方差矩阵y = h l 。严格正定，r = ( “，：，以) 和，= ( 1 l ，i 一，1 ) r ” 不相关。作l a n g r a n g e 函数1 9 】： 五= 1 2 x v x + 丑 一。r ( 五一c f ) 】+ 如【1 ( 1 + c ) 一x ，】 = e 。：。q v ，+ 嘭一二( “一c ) x i 】+ 如岬+ c ) 一】 由极值的必要条件有 l j = v x 一 ( r c 1 ) 一如，= 0 = 一r ( r c ，) = 0 乞= 1 ( 1 + c ) 一x ，= 0 令爿= ( r 一“) 。矿- 1 ( r c 1 ) ，b = i v 一1 ，c = ，v 一( r 一“) ，d = a b c 2 ， 求解上面的方程组得： 工= 古旧矿1 ( 月一d ) 一c 矿。1 朋一吉 c y l ( r d ) 一a v h i 】( 1 + c ) ( 2 5 ) 将( 2 5 ) 代入仃：= x 整理可得： 第二章基于v a r 的组合投资模型 即 咖鲁一华+ 华 仃；e - c b o + c 1 b o + c ) 2 d b 2 ( 1 + c ) 2 1( 2 6 ) 令= c b o + c ) ，可得全局最小方差盯；= 1 b o + c ) 2 ，这时全局最小方差投 资组合为疋= b v ( 1 - + f f c ) a 有效前沿即为( 2 1 1 3 ) 对应的边界上c 召( 1 + c ) 的 部分，有效前沿上的点称为是均值方差有效的。 2 2 2 均值r 有效前沿 用v a r 来代替( 2 4 ) 中的方差风险，改动为： m i n z 1 。_ 一。= z i 一。压i 五石一。( 纩咖 ( 2 7 ) 1b(鬟1乏亓一堡瓣=表示由模型c24，+ c ) 2 】d 眵2 ( 1 + c ) 2 】l 一 得到的边界，则模型( 2 7 ) 的边界2 吼( 。2 ( 愀；，) r 2 i 即 ( 竺! z 壹魄功) 、 1 m ? p 。 蛳r 咝瑞挚一虹d b 筹并= ， b s ， l 曰( 1 + c ) 2 】2 ( 1 + c ) 2 、7 定理2 1 在水平口下，如果模型( 2 7 ) 中的全局最小v a r 投资组合存在， 那么它是均值方差有效的。 证明：设在水平d 下全局最小v a r 投资组合为m ，期望组合均值为，组 合方差为仃：。假设它不是均值方差有效的，即存在另一均值和方差分别为瓦，盯j 的投资组合v ，满足：五，盯，盯。，两个不等式的等号不能同时成立。则， z 。口，一巧 z j 。口。一，即肠群 。 充分性证毕。 把( 2 1 1 ) 代入( 2 1 0 ) 得 将( 2 1 2 ) 代入( 2 5 ) ，即得( 2 9 ) 。 定理证毕。 模型( 2 - 7 ) 的边界吼( m ；，) 上，满足下面条件的点 只上+ 9 b 0 + 幽 ( 2 1 2 ) 组成均值- v 。r 有效前沿e 显然， 均值- v a r 有效前沿上的点是均值一方差有效的 但反之则不成立，即均值一v a r 有效集是均值方差有效集的子集。 第二章基于v a r 的组合投资模型 图2 1 ：均值方差模型的有效前沿，全局最小v a r 投资组合在全局晟小方差投资组合的上方 2 2 3 投资中存在无风险证券的情况 下面考虑投资中存在无风险证券的情况，即求解如下的模型 m i n z ，一。盯，一。= z 。，芝j = 芝磊一0 o x o + ：。( ，一c ) 一) 。t j 彬。+ 。( 驴c ) 轳 “x o + 扣+ c ) 一= 1 其中c 代表交易费用率，胁表示无风险证券的收益率，并设胁。 ( 2 1 3 ) 在某投资组全! 堇堡奎垂垦降证券时，m e n 。n r 在1 9 7 2 年指出【2 】：当且 仅当= 盹+ 仃，a - 2 , y 。c + l a 0 2 b 时，投资组合是均值方差模型边界上的点。 超额收益一胁= o - p = i i i 万巧石跟组合标准差盯。成正比，比例系数为 x a - 2 , u o c + z o2 b 。为了跟上面的讨论一致，考虑交易费用存在的情况。 定理2 3 当投资组合中若存在无风险证券时，均值方差模型边界是一条过 点( o ，风) 且斜率为、= i j i 石i 夏i i - 万i 两的直线，即 = + 扛j 丽i 石万丽 其中a 。为无风险证券的收益率，c 为就交易费用率，a ，b ，c 的定义如前所示。 第二章基于v a r 的组合投资模型 证明：设风险证券的有效前沿为吼，点f ( 0 ，) ，过点f 作一条与巩相切的 直线，切点为m ，则含有无风险证券的投资组合的有效前沿为切线段f m ，如 果允许借款，借款利率等于无风险存款利率，那么其有效前沿是将切线向m 点 方向延伸出去的直线段【”。 设切点m 的坐标为p 。) ，显然，有效前沿上在这一点的切线斜率为 f 一，o 2 坐。由( 2 7 ) 可得 仃矿 一 c _ 2 丽而+ 于点m 的导数同时又是 d i 盯， 厨南) ，故兰： 0 0 旷 d i 盯矿 ，由 曲线在这一点的切线的斜率，故 = 主；竺，变形可得。= 9 0 - 盯。 。 钐 霸 入( 2 1 0 ) 可得 志确) 厨剖= 志，整酮得 盯 口( 1 + c ) 2 1 2 i ；二j 甄i d ：丽 所以，盯刍= f d 面+ c - 瓦b ( i 丽+ c ) , u o 2 盯矿= d 0 c o 一 ( d + c - b ( i + c ) t o 2 ) b 【c b ( 1 + c ) oj ( 1 + c ) d 百盯旷 一d + i - c b ( 1 + c ) 。】2 vb = 4 a b c 2 + c 2 2 b c ( 1 + c ) o + b 2 ( 1 + c ) 2 詹 b = 一一2 o ( 1 + c ) c + ；( 1 + c ) 2 b 即= + 口，4 a - 2 u o ( 1 + c ) c + t 0 2 ( 1 + c ) 2 b 。 定理证毕。 ，代 第二章基于v a r 的组合投资模型 图2 2 ：含有无风险证券的均值方差模型的边界是连接f 和m 的直线 相应的，某一投资组合是均值v a r 有效的，当且仅当 r 一：, u o 隧- - ，i 、a - 2 1 t o ( 1 + e ) c + , u o ( 1 + c ) b ， 即 瑚； 【z 1 叫一爿一2 o ( 1 + c ) c + 9 0 2 ( 1 + c ) 2 b 】一z l 一。o 、彳一2 o ( 1 + c ) c + 0 2 ( 1 + c ) 2 b 一；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = = = = 一 f 2 1 4 ) 定理2 4 当z h 、a - 2 , u o ( 1 + c ) c + t 0 2 ( 1 + c ) 2 b 。， 即 口1一o(4a-2,uo(1+c)c+t02(1+c)2b)i对，投资组合是均值_var有效的，当 且仅当它是均值方差有效的； 当z 1 。 4 2 , u o ( 1 + c ) c + u 0 2 ( 1 + c ) 2 占时，由( 2 1 4 ) ，每一均值方差 有效的投资组合产生一组属于均值v 扭有效前沿上的点( ，您j 芒：) 。并且，属 于均值- v a r 有效前沿上的每一组( ，愀：) ，也都是均值方差有效的。当 z hs 1 一( 硒) ，则娑v i i 2 a 1 一中( 瓦西) 时， 峥丽c + 瓯b 1 r 二b ( i 磊+ c ) 2 z 。 j 詈。所以 攀吨一万a 5 据，所以 等吃矿岳= 店一0 f p 1 - m ( d b ) ； ( f 帅= 1 一中( 丽) ，且v a r o 一丽c ： ( i i i ) 口 1 一中( 可百) 时，对任意给定大小的v a r 。，利用定理2 5 中的( o ， a v i a r 一； - 志时，i 燃v a r 而c ，所以 必存在某一正数万，满足凇。2 一面寿石+ 艿。利用定理2 5 中的( 回， 百o v a e ； m 时( 即大于另一个正数m t ) ， 煳；_ ( _ 斋杀) d ，& v a r v 。 第二章基于v a r 的组台投资模型 当口 v a r 。所以解集为空 、 当口 v a r ：舯， 由于型! ；墨j 旦：o ，且在整个均值- 方羞模型的边界上旦：! 皇彗，o ，又因为肠rp 羞。是的连续函数， d 0 。a 所咀必存在两个点( 口，一，1 ) 和( 9 ，乃，2 ) ，满足：瓦1 1 - 中( 瓦西) 时，l i ，l 2 的斜率小于有效前沿的渐近线的斜率。如 图2 3 所示，当l 1 与均值一方差有效前沿相交于p 点时，带l e a r 限制条件的均值 方差有效前沿即为均值方差有效前沿从p 点开始向上的部分。若v a r 。取得足够 大，比如像l 2 那样，直线位于m 点的下方时，带v a r 限制条件的均值- 方差有效 前沿与均值方差有效前沿重合。 l d p ， ，乜 7 自8 “”“”“” 图2 4 ：当口= 1 一o ( 五。i i ) 时，带有v a r 限制条件的均值- 方差模型的有效前沿。 ( f f ) 当口= 1 一中( d b ) 时，l l ，l 2 与有效前沿的渐近线平行，v a r o 必须大于 ，1 一i j = ：。如图2 4 所示，当l 1 与均值一方差有效前沿相交于p 点时，带砌r 限 廿l l + c ) 制条件的均值方差有效前沿即为均值方差有效前沿从p 点开始向上的部分。若 v a r 。取得足够大，比如像l 2 那样，直线位于m 点的下方时，带l e a r 限制条件的 均值方差有效前沿与均值方差有效前沿重合。 第二章基于v a i l _ 的组合投资模型 c ，【8 ( 1 + c ) 】 l 0 。 s t 。一。一一。油 f 图2 5 ：当口 1 一m ( 万? _ ) 且p 锨。= y 积：时，带有v a r 限制条件的均值一 方差模型的有效前沿。 ( i i i ) 当口 1 - ( d b ) 且比如= v a r y 。时，l 1 斜率大于有效前沿的渐近 线的斜率。如图2 5 所示，当l 1 与均值一方差有效前沿相切于全局最小v a r 投资 组合这一点m t ，m t 点即为带v a r 限制条件的均值方差有效前沿即为均值方差 有效前沿。 c , 1 8 0 竹) 1 ，” 一一a “一n 图2 6 ：当a v a r ：。时，带有v a r 限制条件的均值一 方差模型的有效前沿。 ( f v ) 当口 肠足三。时，l 1 ，l 2 的斜率大于有效前沿的 e三!苫量山 第二章基于v a r 的组合投资模型 渐近线的斜率，且与均值方差有效前沿至少有一个交点。如图2 6 所示，当l l 与均值方差有效前沿相交于p l ，p 2 两点时，带v a r 限制条件的均值- 方差有效前 沿即为均值方差有效前沿从p 1 和p 2 点之间的部分。若v a r 。取得足够大，比如 像l 2 那样与均值一方差有效前沿只有个交点p 时，带v a r 限制条件的均值- 方差 有效前沿即为均值方差有效前沿从p 点以下的部分。 2 3 2 投资中存在无风险证券的