（理论物理专业论文）几何量子计算和量子信息传输问题的研究.pdf

摘要量子诗算裁量子信患是量子力学、计箕枧鹳学露售崽秘学懿交叉学辩。近二十年来，它一直是物理学和信息科学领域中人们集中关注的焦点。一方面，量子逻辑门的实现和控制因其农屡子计算中的重要性而餐受人们所重视。如何实现量子计算，方案弗不少，闻题是在实验上实现对微观量子态的控制和操纵确是太困难了。目前已经提出的方案主骤利用了原子和光胶相互作用、冷阱柬缚离子、电子或核自旋共振、量子点操纵、超导量子予涉等。囊在还很难说耀一种方案鼙有蓠景，不过量子点方案和超导约瑟走森结方案比较适合集成化和小烈化。本文正是考虑到这一点，才试探性地提出了几何量予诗算方案。另一方越，量子貔态僚浚的毒孛鸯缝屡，量子信源可接牧售怠( a c c e s s i b l ei n f o r m a t i o n ) 在基子信息通信方面具有非常重要作用并为量子密钥分发的安全性证明提供了强有力懿工具帮手段，爨此，加强这方囊的霹交辩量子壤患豹发鼹吴毒重要戆现实意义和实用价值。实际上，我们在本文中就上述两方面的问题作了一些探讨：研究和分析了两量子位绝热条件几何量子枢移门的控制机制、剃用超舄约瑟夫森结量子器件系统的量子态的菲绝热几何裙位实现了几何量子计算、讨论了信源系综的可接收信息问题以及任意d 维粒子未知量子态通过部分纠缠量子信道的隐态传输问题等本文可分为四个部分第一部分包括第一章和第二章。第一章简要回顾了量子计算和量子信息的发展，概述了量子计算和量子信息研究的基本内容。第二毒对经舆计算及经典信恚理论、量子计算及量子信息理论基础知识作了概述为了便于第三章和第四章中的几何量子计算问题的讨论，我们还在第二章中对量子态的绝热演化过程的b e r r y 秘以及量子态懿菲缝熬演纯过程豹a h a r n o n o v - a n a n d a n 稻作了撅述。第二部分包括第三章和第四章，这部分主要讨论几何量子计算问题：两量子位条件恁囊鲎子摇移门戆有效控裁萃馨操缀及掰量子经非绝熬条件兑 嚣量子穗位门戆实现。第三章，集中讨论了量子态的绝热演化几何相( b e r r y 相) 以及绝热几何相移实现的两量子链条传死傍璧予摇移江懿控涮祝趣。我靛褥副了铃热激光场频率鼹麓量子谴条簿几何量于相移门中的量子位跃迁之间的关系，详细地说明了量子位的跃迁是怎样依赖于外加激光场秘控制量予位的状态的，从理论上瓣释了如何利用外加激光场舂效蛇控制两量子位条件几何量子楣移门。在第四章中，我们建议了一种控制菲对称的起导量子干涉器件( d c s q u i d ) 的方法当d c - s q u i d 的外加门电压改赛时，有效虚拟磁场的2 努惫姣静大夺改燮；丽当d c - s q u i d 静羚加电流改变叠雩，d c s q u i d 秘弱穿磁通中。大小跟着变化，从而引起有效虚拟磁场的水平分量的大小发生变化( 即尻和b发生变化) 。我们还为d c s q u i d 构建了一个物理模型，利用该模型，我们得到了单量子位的非绝热几何量子相位门和两量黻魏非绝热条件几何量子相位门，实现了非绝热几何量子计算。并证明了当d c s q l ：琏d 韵外加门电压及其外加电流满足适当的限制条件时，电荷量子态将在一个无动力学相因子的回路上非绝热地演化。第三部分包括第五章，主要讨论量子信息系综的可接收信息问题。本章讨论了一个具有特殊性质的量子系综系综中的量子态都是等距离的部分纠缠的字符量子态，这些量子态间的交迭区最小，具有最夫酌可分牲：被用作量警通信的“信号态”。另外我们为这些量子态构造了一组正定狈f 量算子( p o v m 算子) ，- 并讨论弱蓉些量子怒盼纠缠度及纠缠的性质。我们还计算了这些字符量子态组成的倍源系综的可接收信息，讨论亍藜综的可接收信息跟系综中量予态的纠缠芝间的关蒜j 通过计算我假发现一1 信号态。的纠缠越夫广由这些“信号态”组成的信源系综豹珂接收信息也就越大，当“字符态誓的纠缠达到最大值时l 曲宅锕组成的信源量子系综的可接收信息也达到最大值。第四部分进一步讨论了量子信息理论中有关量子态隐态传输的问题，分别x 于隐态传输中的量子信道量子态及量子测量基作了重要的推广，该部分包括第六章和第七章两章。在第六章中j 我们将标准的量字_ 隐态传输方案推广到能够通过部分纠缠量子信道决定性隐态传输任意可维的粒子未知量子态的方案。我们证明了只有当量子信道的量子态满足一定的约束条件时，最一般的矛维的粒子未知量子态才能被完全决定性传输。我们还提出了一种方法，该方法可以构造出能够分辩发送端量子系统的量子态的联合测量p o v m 算子，从而实现最优决寇陛地传输、粒子量景态p 为了便于理解和掌握我们所提出的方法，在第六章中我们还给出予两个典型的宾削蕾第韶章主要是为了讨论隐态传输中的另；绎闰题，i 即量子态测量基的推广囊在豢章索；：? 我们讨论了卢义测量基下的标准量子隐态传输方案。涯明予标准量子隐态传输龙案中量子态的传输不依赖方案中测量基的具体形式，7 可以使磨更为e 艘的量子态作为方案的测量基。我们还给出了a l ic e _ 的测量与b d b 的么正变换之间的对应关系i 当- 。烈i 嗨、得到测量结果并通过经典通信信道把结果告诉给一m o b 蜃。b o b ：可以根据上述的测量稠磊正变换的对应关系选取相应的么正变换。对他的量予态系统进行作用，从而使菇量子态变成被传输的未知量子态在本章申，| 我们具体证明了单粒子未知量着态和两粒看类猫未知态可以通过广义测量基及相应么正变换操作而被完金精确地传输*关键词：几何量蚤计算；- 激光控裁机制；v 爿隧热条件几何量予相位日；1 稚绝热肛何桐罅可接收信息；。正定测量算予t 最优决寇i 生稳态传输；广义钡女量基l la b 鲥r 萄已tq u a n t u mc o m p u t a t i o na n d l u a n t u mi f l f b f r n i i f i mj ：s a n i h t e r d i 硷i 涮eo f q u a ：i l t u mm e c h a n i c s ，c o m p u t e r 矗d 气h 姑r r 6 a t i b n 瓷i 梳e 曲1 。d r i n g t h ei 涨t t 祷西8 e c a s 4 i th a sb e e nc o n t i n u i n gt ob e0 h e 。苦f i h ef o c u sp o i n t s l a t t e n d e db ym a n j f 6 4 a f c h e r sw l o w o r ki nt h l ep h 3 r s i e a la n d 。i n 。f 0 r n “ i a t i o n 。s c i 、e n c ef i e l d o ；i g 醯h a m , r 6 a l i z i h ga n dc o h t r o l h n gaq u a n ml o g 、i c4 9 a t ei sa t t e n d e db yp e o p l eb e c a u s e o fl t si n p o t t g l a c e f o rq u a m u mc o m d u t a t i o n jh 涮铬a l i z e + q u a n t u m c o n i p u t a f i o n ：t 蟾s c h e i f i e s 、a t 6n o t 。a f e # b u tt h ep r o b l e m + i s _ ：1 1 蠡c d i f t r o i i n ga n dl n a i i i p f i l a 请谴1 0 n - m i 舀勰c o p i c q f f 矗n t n n is t a t e s 摘。e x p e r i m e n ti s “e r y d i f f i c 4 u l t t h e 。s d h 6 m e sw h i c h i a r e 凶t 韶f o f w g r di t 、i p t e s e n th a v em a n l vm a d e 讧eo f 蕊? i n t e r a c t i o no fa t o n s ：a n d6 p f i c a l ：e a v i t y , c b l 41 t a p p e ti o n , e l e c t r o w i c ss p l f l o r n u 6 1 e g rm a g n e t i ir e s o n a n c e ，q u a n t u h id b f si i i a n i p u i a t i o n “d s 岫e r c o n d i i c t i h gq + u a 。n t u i t ii n t e r f e f e n c 6e t c 一n j * + i t 话 i a r d t 0 1 s i y ! t k a ：| c 锚h t d h 莨i i l 省5 f ：s c h e m h si sr r i u c hu s e f u l h o w e v e r ，。协eq u a n t d md 6 t s 、a n d 。| s i i p 毛警e 6 矗d a c 裔矗f 0 6 鼋d p h b nj u n c t i o ns c h e m e sa 。r e s u i t a b l ef o ri n t e g r a t i d n 。a i i dm i t i i a t f f r i z a f i o n ：1 鸭l 矗i i t l 】_ 缒秽t o b l e mi n t oa c e o u n t ，w ep r o p o s e 。a 。i e 。w jg e o m & r i j a n t u md g 南若1 i 矗t i o 五矗e t h j do d h eo t h e rh a n d b e c a u s e6 f ：t h 呻o i e i 、n a t u r eo fq u a ，n t u mt e l e p o r t a t i o na 甜峨i m p o r t a n c eo ft h ea c c e s s i b l ei n t o r m a f i l o n 。o f q u a n t u ns i g n a lr e s o l i 。r c ee n s e m b + l e si nq u a n t u m lc o m m u n i c a t i o nf i e l d ，w h i c hf f r b v i d e9 p o * e r f u lt o o la n dm e t h o d f o rt h ep r o o f6 fs e c u f i t yo fq u a n t u mk e yd i g t r i b u t i o n , j h h i n c i i i g i h er d s e a r & o ft h i sa s p e c th a st h e 一i m p o r 。t a n tr e a l i s t i c 一m e a n i * 女i 矗d “p r a c t i c a lv a l u et o t h ed e v e l o p m & to fq u a n t 。u m ；i n f o r + m a t i o n i np r a c t i c e ，t h i sd i 矗e r f a t i 6 i l 茹懿点g b 矗t h ds t u d io ft h ea f o r 劬e n 涵n 甜矗，op r o b l e m s w eh a v ei n v e s 一毹i 驹i n ；i ；n a i y z e dt i ec o n t r o l l i n gm e d h a n i s mo ft h ea d i a b a t i cc o n d i f i o n a lg e o m e t r i c；诅j 矗i 矗备h 矗毒；f l 诫苦r o rt 4 v 6 ：q a b i * | o ，p ( e ) f i = 矿| l ，霆此这令繁子门避珂瓣擒粥擞彩弊予形式表示鸯；p ( e ) * 1 0 ) ( o i 十e 甜 1 ) ( 1 | _( 2 1 6 )斑予攫予门p ( e ) 锋舞裂嚣个基矢上泼熙搂襁瓣糕德，戮她p 门氇髂为相位嬲。狳了上述魑单量子谴辍篷门释，澈霄麟个璧饕攀登子霞量子门i ，x ，y ，z 。絮嵇髓爨髂黟筑鬻爨震p a u t i 葵耱表示一篓；一兰；蕊蝎y 兰锄三【三，：】；g 姑鼢冀【：一01 = p t 诗，c 。t s ，x 爨子门作用在基矢上时脊，x l o ) m1 1 ) ，x 1 1 ) = 1 0 ) ，其作用对应着经典懑聋蜂辩门( n o t 操作) ，因此x 墩子f i x 常称_ 宅墩子非门。z 量子门作用猩基矢上时敬巍然搬的糖对糖使，z | e ) = | o ) ，别1 ) = - 1 1 ) ，掰黼z 蕊子超又称为量子凝穗门。l 熬予f 1傺蔼猩鼙鳖予瞧上辩不改变爨予谯，它憋个辍筹操佟，鑫子y 可谈写藏y = z x 懿彩泼，媳枣人称它是“燕程爱转门”。簿一个羹要翡蕈量子戳爨子震爨h a d a m a v d 门。它翁薤簿表零凳；嚣= 疆1 | 1 小疆t 1( x + 露馕嘲妇l 糟、7滤感到妒积= 互h z h ；x ，z x y ，骈以糟使门鞣h a d a m a r d 门辩漩陂鼹潦敷成x ，y ，z 门。黼位氅予门是作用在两个量子便组成的擞乎系统上的一个么磁操作算予，所有黼擞予缎凝子门申，最具有意义的爨予门w 以簿成如下的一般形式t 馨 嵇z + i i uc 2 。2 键熊串，u 愚一争擎量子爨爨予怒，2 2 0 ) 戴寝麓，篓羧锌纂夔嚣蒙予稼翡藕一个蓥予缎姣予淼黔鞋，筹二专爨予整鹣惫苓竣裕鼹，艇瓷露一争量子霞懿寨熬予1 1 辩，籁2 0第二章量子计算和量子信息理论基础知识概述二个量子位将被施以u 变换因此，( 2 2 0 ) 式所表示的两量子位量子门是一个控制一u 门，第一个量子位称为控制位，第二个量子位是目标位，控制u 门对目标位作用i或者u ，决定于控制位是处于1 0 ) 还是1 1 ) 态当u 变换是一个单量子位量子逻辑非门时，( 22 0 ) 式表示的就是量子控制一非门三量子位逻辑门是作用在一个三量子位量子系统上的么正操作算子三量子位量子门中重要的量子门是3 位量子控制控制一u 门，即当且仅当第1 、第2 位都处在态1 1 ) 时，才对第3 个量子位执行u 变换当u 变换是一个量子逻辑非门时，可以得到量子版的控制控制。非门( 即，量子版的t o f f o l if - j ) 。类似于经典计算机，在量子计算机中也存通用量子逻辑门集。d d e u t s c h 等人已经证明【4 8 ，4 9 单量子位的相位门p ( 目) ( 或h a d a m a r d 门) 和所有两量子位条件控制相位门( 或两量子位控制非门c n o t ) 组成量子计算机的通用量子逻辑门集。如果h a d a m a r d 门和所有c n o t 门都能被可靠使用，那么任何一个n 个量子位的酉操作都可以利用最多d 4 “扎个通用量子门精确模拟f 8 2 】，此处的d 为某一常数。2 3 量子态的几何相因子杨振宁先生在纪念s c h r s d i n g e r 诞生1 0 0 周年的文章【5 0 ，5 1 】中，一开头就引用了d i r a c 的一段重要的话5 2 1 ：“问题在于，不对易性是否真是量子力学新概念的主体? 我过去一直认为答案是肯定的，但最近我开始怀疑这一点我想，从物理观点来说，不对易性可能并非唯一重要的观念，或许还存在某些更深层的观念，而某些通常的概念在量子力学中或许还需要作一些更深刻的改变”d i r a c 进一步讨论了这个问题，并得出结论：“所以，如果有人问我，量子力学的主要特征是什么? 现在我倾向于说，量子力学的主要特征并不是不对易代数，而是概率幅的存在后者是全部原子过程的基础概率幅是与实验相联系的，但这只是问题的一部分概率幅的模方是我们能观测的某种量，即实验者所测量到的概率，但除此以外还有相位，它是模为1 的数，它的变化不影响模方但这个相位是极其重要的所以可以说，h e i s e n b e r g 与s c h r s d i n g e r 的真正天才在于他们发现了包含相位这个物理量的概率幅的存在相位这个物理量很巧妙地隐藏在大自然中正是由于它隐藏得如此巧妙，人们才未能更早建立起量子力学”杨振宁先生还提到，人们对于d i r a c 的见解也许有不同的看法，即究竟是引入不对易代数重要，还是引入包含相位的概率幅重要但无论如何，对于物理学家描述自2 ，3 蟹予态数几何鞠因予2 1然来讲，两者都缀重要赠是毫无疑义的。一2 3 1 绝热几何相一一b e r r y 掇一个爱子系统，其h a m i l t o n i a n 宠嚣，假定该系统赴子一定态。魏暴环境( 穗魏是系统的h a m i l t o n i a nh ) 缓侵发生变化，那么根据绝热定理f 5 3 则有：夜任一时刻，系统都处于该时刻的h a m l i t o n i a nh 的本征态上在特殊情况下，如果h a m i l t o n i a n回到它的原来状态，则量子态也返回到它的原来态，不过此时的量子态获得一个新的糨因子，丽虽该柱斑子具有可观测的效果虽耦因子跟系统的h a m i l t o n i a n 掰经掰鹩状悫路径骞关b e r r y 在1 9 8 3 年发褒【5 4 】，上述懿程毽予中，溶了人弼熬知酶凄力学校嚣子终( 该相霹子跟系统的h a m i l t o n i a n 所经历的状态路径有关) ，还包括一个只跟状态西路所包含的面积对应的立体角有关的凡啊捆因子，这就撼厝来人们所称之为的b e r r y 糖因子。鑫予几何疆困子可以薅寒实现量子计算撬孛的量子门，因此本节麓要介绍鳖子态的且侮裰露子阗蘧假定量子系统的哈密顿量群的变化由其参数空间的参数r = ( x ，) 变化来袭征，那么农时刻t = 0 和t = t 之间的量子系统的变化可以描述为沿参数空间中的封闭路径r ( t ) 上的传输，且日( t ) = 拱( r 0 ) ) ，r ( t ) = r ( 0 ) 因此，在参数空间中，演化路径形成一条回路( 常使用c 表示) ，并且农绝热近似下t 应用怒个很大豹值整予系婕酶态l 眵禳据s c h r s d i n g e r 方稷演讫疗( r ( ) ) 妒) = 刮$ ) + 但2 a )霞饪意糖刻，对予r = r ，哈密顿爨蠢( r 戆本诬态l 根( r ) 稷定是瓷教的) 瀵足啻( r ) 陬( r ) ) = e n ( r ) i n ( r ) ) ，( 2 、2 2 )其中z _ ( r ) 为能量本征值制备在状态l 竹( r ( o ) ) ) 之一的量子系统随哈密顿量疗绝热地演化以便在t 时刻，系统的状态处在j 他( r ( t ) ) ) 这榉，系统的态l 妒) 随时间的变诧可以写成砂( 姘= e x p 鲁z 瓿( 鼗( 哟) e x 眯( 秭瞰r ) 2 1 2 3 j2 2第二章量子计算和量子信息理论基础知识概述第一个相因子就是人们熟知的动力学相因子，记为风( t )风( 。) 2 吾上列b ( r ( ) ) ，( 2 2 4 )而第二个相因子就是我们所关注的几何相因子最后为关键的一点是，相位( z ) 是不可积的相位h 不能写成r 的函数并且在特定情况下，它不是参数回路上的单值函数，也就是说，- y 。( t ) ( o ) 函数( t ) 由量子态波函数i 妒( ) ) 必须满足s c h r s d i n g e r 方程这一条件所确定直接将方程( 2 2 3 ) 代入方程( 2 2 1 ) 得到( t ) 所满足的方程n ( t ) = t ( r ( t ) ) iv rn ( r ( t ) ) ) - r ( t ) ( 2 2 5 )当量子态波函数l 妒( t ) ) 绕回路c 一周时，其总相位的改变可由下式给出m 丁) ) 一嘶们) ) e x - 鲁j ( t 班b ( r ) m0 ) ) i ( 2 2 6 )其中几何相因子改变为- y ( c ) = ij 6 ( 忍( r ) jv r 疗( r ) ) 撒( 2 2 7 )由此得知，几何相因子( c ) 由参数空间中的回路积分给出，并且它跟怎样经过该回路无关归一化的态矢l t t ) 隐含着( n i 口r 礼) 是一个虚数，由此保证了是一个实数。从上述推导可以明显看出，b e r r y 绝热几何相因子的出现，是由于要求量子态随时间的演化必须满足s c h r s d i n g e r 动力学方程所致因此，无论动力学相风( t ) ，还是b e r r y 绝热几何相( t ) ，其根源都来自动力学的要求。2 3 2非绝热几何相一一a h a r o n o v a n a n d a n 相( a a 相)a h a r o n o v 与a n a n d a n 对b e r r y 绝热相概念做了重要推广【5 1 ，5 5 】，他们放弃了绝热近似假定，但假定体系的量子态i 妒( t ) ) 仍按照s c h r s d i n g e r 方程周期演化，周期为丁，i 妒( r ) ) = e 。4 l 妒( o ) ) ，( 2 2 8 )即经历一个周期r 后，量子态回到初态，但有一个相位差咖。试作一个含时间的相变换i 妒( ) ) = e i l ( 。i 西( ) ) ，( 2 2 9 )1 2 3 量子态的几何相因子要求，( r ) 一，( o ) 一妒，即要i 妒) 在经历一周期后没有襁位变化，瞰r 羚= 限o ) ( 2 3 0 )注意，l 妒( 幻) 随时间演化不再遵守s c h r s d i n g e r 方程，将( 2 2 9 ) 式代入s c h r 5 d i n g e r 方程i 矗基坝秭= 一钉m 嘞+ e 慈蚤f 西) 一辩( 塌够，( 2 m )上式藏乘似( t ) l ，得轰夕确| 绫未眵f ) ) 一眵( 苟l g ( 棼| 眵鼢2 3 2 )对t 积分一周期，得弦h = 蜘l 兰掣删+ 峨垮珈坳，瞄3 3 )令参数芦( r ) 和，y ( r ) ，使得触净喇l 型竽，( 2 3 4 )毋) 兰斑鳓嚷鳓，( 2 竭则有妒；，( r ) 一，( o ) = 毋( r ) 4 - ，y ( 丁) ，( 2 3 6 )衽7 ( r ) = = 西一芦( r ) ( 2 3 7 )a h a r o n o v 和a n a n d a n 把零( 丁) 称为动力学糖，嚣把总桶簪与动力学栩零( r ) 之蓑7 ( r ) 一拳一声( r ) 称为凡 莓稷懿采霜到b e r r y 讨论过懿辩( 嚣( 棼) 随辩瓣绝热交诧魏情况，设体系处予盯( r ( t ) ) 的浆一个瞬时本征态f 如( r ( t ) ) ) ，则鼬) 兰d t 雠引! 掣蝌壮一；戤嗍叠3 8 )与b e r r y 定义的动力学相( 2 2 4 ) 式是一致的，而经历一个周期后总相位变化毋与p ( r )之蓑7 ( f ) ；妒一多( r ) 剜穆为凡何穗。2 4第二章量子计算和量子信息理论基础知识概述2 4 经典信息理论概要量子信息学是以量子力学为基础，通过对经典信息学理论进行审视和改造而建立起来的。在研究量子信息学之前，有必要搞清经典信息学理论 5 6 ，5 7 。2 4 1 信息熵信息学中，信息是一个重要的概念，它是指收到一消息后所消除掉的不确定性消息的信息量就是它消除掉的不确定性的度量不确定性在数学上是用事件发生的概率描述的一个消息所描述的事件发生的概率大，则这个消息所包含的信息量就小；反之，一个消息所描述的事件发生的概率小，则这个消息所包含的信息量反而大。一条消息的信息量在信息学中定义为该消息所表达事件发生概率的对数的负值。记为j ( 墨) = 一l o g p ( x i ) ，( 2 3 9 )其中x ：表示事件，p ( 盈) 是事件发生的概率对数可以取不同的底，给出信息量的不同单位。通常取对数底为2 ，给出信息量的单位为比特( b i t ) ，( 孔) 也称为事件孔的自信息量( 2 3 9 ) 式定义的自信息量具有如下几个性质：( 1 ) 如果一条消息所描述的事件是必然发生的事件，即发生的概率p = 1 ，则，= 0 ( 2 ) 对于完全不可能发生的事件，p = 0 ，这时( 2 3 9 ) 式变得无意义，在信息论中规定这种情况下的信息量i = 0 ( 3 ) 由于任何事件发生的概率0 ps1 ，所以i 0 ，即信息量是非负的式( 2 3 9 ) 所定义的自信息量是一个事件的信息量对于一组相互独立的事件集合，还可以定义信息熵假定x 是一组互相独立的事件集合，x = z 1 ，3 7 2 ，z i ，z n )( 2 4 0 )这些事件发生的概率分别为p z = p ( ) ，o p i 1 ，且有e p i = 1 这样集合x 中i各事件的自信息量的统计平均值为nn日( x ) = p d ( x d = 一e p il o g p i ( 2 4 1 )i = li = l2 4 经典信息瑗论概要2 5h ( x ) 称为集合x 的熵( 信息熵，有时也称为s h a n n o n 熵) ，它是x 所对墩的随机事件懿幂确定翟麦懿发爱，筏表了x 掰惫含戆“嫠急璧”壶2 4 1 ) 式霹浚番凌，疆撬交羹x的熵h ( x ) 只是其概率分布p l ，p 2 ，p n 的函数，常将h ( x ) 记为日( p l ，p 2 ，渤) 。根据熵的定义可以证明熵函数舆有以下性质：( 1 ) 戆恒大于等予零，鄹h ( x ) 0 这是因为每个事件静鑫藩患蟹菲受数，掰戳它髓的蕊投平均僮应为稚负数。当营仅当 p i ) 之一为1 ( 因而其余的为零) 时，h ( x ) = o ，熊意义是其中个事件肯定发生，其余事件不可能发生f 2 ) 当瑟毒磊褰| l 取程等豹傻( 簿爨有p i l 如) 薅，麓达到最大爨l o g n 。其意义是各事件以相等的概率出现( 即最不确定的情况) 时，熵取最大值用数学式子表示为111h ( p l ，翔，魏) 嚣 妄，三) 一l o g n ，( 2 4 2 )当且仅当各个p i 一1 n 时等号成立( 3 ) 熵日( p l ，p 2 ，) 是概率分布p = ( p l ，p 2 ，p n ) 的严格的上凼函数。2 4 2 互信息京磅究蘧遭簧攘懿僖惠量辩，要考瘩蜜漂竣窭事 孛纂x 穗痞密辕入攀终纂y 之间的联系如果倍道传输是有效的，信宿收到攀件y i ，就必定能得到一魃关于信源褰件x 。的信息，接收者关于甄的不确定性就减小了事件y i 的出现给出的关于事件孔弱绩慧张为z ：y i 戆互售息。2 4 2 1 互信息璺戤，y i 互信惠激楚接敢赘消息y i 后清除簿魏关于z t 静不确定性懿度瀑，或者说愚事件粕最初不确定性( 先验不确定性) 与接收到消息玑厝x ；尚存的不确定性之差的度量如的先验不确定性可以用它的自信息基i ( x i ) = 一l o g p ( x i ) 描述由于信道申一毅都存在蓬穰i 予挽，骧入与羧爨之逮豹系统苓是完全确定黪当臻遭浚入演塞是敬时，黼信遭输出的消息可能是骗，这种输入燎甄而输出爨y j 的概率在数学上常称为条件概率，记为：p ( u j l z ) 如果在信道的输出端发生事件y = y j 条件下，在信道输入娥发生的是x 一藏事件，郄么接收弘露，x i 尚存的不确定性的就w 以用条 牛囊2 6第二章量子诗募翱基子壤惠理论藩璇絮谖穗逑僖息萋t ( x i l y j ) 表示根据信息爨的定义，条件宦债惠爨，( z ；l 约) 应定义涛i ( z d y j ) 一一l o g 最囊辫) ，( 2 4 3 予魑瓠，豁豹篾嵇崽量霹裹示蠢堆润) 酬瑚叫捌= - l o g p ( 蝴( - l o g p 。g 帮像4 4 )上式就慰麓信息量的定义式。根据该式，可以谥孵赫信息量具有以下熏瓣性潢。l 菪瓤，辩缝嚣疆立瑟臻避凳惫失效浆惨滗) ，这畦蔓墓塞量j 缸# ；瓣) = 0 +2 两个攀佟嚣互痿惠蚤英骞对稼键震，鄹j ( g i ；茹= f 渤；是) 。该性获液翳。接收到溃惠辩囊消除簿醵关予赫媳举确定佳，等于接牧窝戤露港除掉的关予叭的不确定性( 3 ) 径意两个事件豹互信息爨幂太予其中一个攀件酌自信息量，即f 溆；协) s瑶旗i ( x i ；秘j 渤) 。2 4 2 。2 联会熵和条件熵1 联合熵扶蔡会x = 瓤，x 2 ，茹。，穰熊岱y = 掣l ，y 2 ，数 孛各取一元索樽赋一令攀释避嚣渤+ 戳事 孚霹 箍骆，i 。l ，2 ，m ，彗一l ，2 ，嚣 舞元裹搀斌翡黎会称凳x 勰y 懿联合集，记秀x y 。定义联会集懿璃为巢合x 嚣集合y 懿联合麓。器事件对( z i y ，) 的联合概率为p 汹斡) ；联含熵可表示为僦”h ( x y ) = 筘( 渤) i 镱箩茹t 纺 2 。稻)由邕髂患蛩的定义式( 2 , 3 9 ) ，掰黻窥义事俘辩泌s 。) 懿自信怠量联飘辫* l o g p ( x , y j ) ，则联合熵可以用事件对的自信息激淡水为h ( x y ) 一芝：p ( 茹班) ，( 嚣妫) ，( 2 4 6 )t 篡lj = l簿联合熵爨攀侉瓣塞痞惠量霆联合鬣率瓣投静平缝蘸。2 。条髀熵2 4 经典信息理论概要2 7定义联合集x y 上，条件自信息量i ( 筑l y j ) 的联合概率加权平均值为集合x 相对集合y 的条件熵h ( x i y ) = p ( g y j ) x ( x , l y j ) ，( 2 4 7 )i = lj = l它表示已知集合y 条件下集合x 的条件熵，即已知y 条件下，平均x 中每个事件仍存在的不确定程度当x 表示信道输入集，y 表示输出集时，条件熵h ( x i y ) 称为信道疑义度，表示收到全部y 后，对输入x 尚存的平均不确定程度这种对x 尚存的不确定性，通常是由于传输过程中噪声干扰引起的由条件熵的定义式( 2 4 7 ) 及信息熵的定义式( 2 4 1 ) ，可以得到下面的重要结果h ( x i y ) 甘( x ) ，( 2 4 8 )它表明已知y 下x 的不确定程度，小于x 的不确定程度就是说，y 中包含了x 的某些信息( 2 4 8 ) 结果是显而易见的，因为由信息熵和条件熵的定义式有哪) 卅础) 2 善善出蚓l o g 蕊p ( z i 丽u i ) o( 2 4 9 )3 联合熵和条件熵的关系可以证明联合熵、条件熵和2 4 1 节中定义的信息熵之间存在下面的关系h ( x y ) = h ( x ) + h ( y i x ) = h ( y ) + h ( xj y ) ( 2 5 0 )它们可以表述为联合集中平均每个事件对的不确定程度，等于其中一个集合平均每个事件的不确定程度，加上在这个集合给定后另一个集合平均每个事件尚存的不确定程度由联合熵表达式( 2 4 5 ) 有mnh ( x y ) = 一p ( x i y j ) l o g p ( x i y j )t = 1j = l，nn= 一p ( x y j ) l o g p ( x 。) p ( 协删i = 1j = lmnmn= 一【p ( x i l y j ) p ( y j ) l o g p ( x t ) 一p ( z 。协) l o g p ( y jj x i )i = lj = li = lj = l= h ( x ) + h ( y f x )( 2 5 1 )2 8 筹= 章鼓子诗算秘量子僖惠疆洽蒸粕翘谈凝述嚣主妓 蒌臻了2 5 0 ) 式豹第一个簿茂成立残上匿的溅蹬中，我们应用了龛概率公式np ( 矗) = v ( x d u a p ( 鲥) 类似地可以证明( z 5 0 ) 式中的第二个等式也成立。j = 12 4 2 。3 平鞠鬟信息耋程涪枣麓及条簿璃盼装系平均互信息量常常简称为置信息( m u t u a li n f o r m a t i o n ) 。它表达了信道的输入嶷会x 与谂邋的竣出集合y 所馘信息之间的关篆。出( 2 4 8 ) 式磁以撩出，已知y 下x 鞠不潞定程度，小于x 的不璇定程菠，y 孛爸含了x 的莱些信息。虫于h ( x ) ，嚣x l 玢= h ( y h ( y i x ) ，宅巍麓￥争惫岔x 翡整惠冬x 孛包食y 戆信息楚藕丽的，蹙公共信息，逮就是互信息。由2 4 2 1 帮我秘基知道，嚣馋怠量j 茹；：辫) 是枣髂抛绘出的戤的穗息跫。在整个x 集中，以条件概率p ( x d y j ) 对j 涵；约) 加权求平均f x ；诉) = p ( 连 舞) f 魏；鳓) ，2 5 2 )撰巍懿r ( x ；y j ) 怒建辩缭蹲黪美予集合x 豹乎搀麓谂惑凝。在集台y 中，霭舞凄现的概率尹( 协) 求，( x ；y j ) 的加救平均，应得到收到整个y 后，平均每个协给出的关予集x 豹飘绩息量，记为f 涔；y ) ，则；隅玢；笋f 撂；秘)j = i；v ( y a p ( q 盼) ，( 盈；弱)j = i = l= p ( 轴汩( 戤i 靴) ，( 她；协)i = 1j = i= p 酶j j ( 蚺3 )t = l5 = 1上式衰明熊合x 和y 的平均互信息量j 瞵；y ) ，魑甄信息量i ( z i ；蛳) 用事件对垮) 窭瑷静摄攀p ( x i y j ) 豹娥壤平均馐垂手i ( x l ；朔舆有对嚣挫，困弼，( x ；y ) 亦具有对称链，鼯j ( x ；玢= ，( k x ) 。将器+ 建4 ) 泼代人( 2 5 3 ，将缭蹬笠整塞f 并；鞠的一令菲誊膏蹯辩褒迭彩式职。善善啦舭g 萼辫 5 4 )l = l ，= l17 2 4 经典信息理论概要下面我们说明，由( 2 5 3 ) 式给出的互信息，( x ；y ) 正好等于x 的熵与已知y 情况下x 的条件熵之差或者等于y 的熵与已知x 情况下y 的条件熵之差，即，陋；y ) = h ( x ) 一h ( x y ) = h ( y ) 一h ( r l x ) ( 2 5 5 )由( 2 5 4 ) 式，互信息，( x ；y ) 可以写成两项之和mnmn，( x ；y ) = 一p ( 。；协) l o g p ( 以) + p ( x i y j ) l o g p ( x i 叭( 2 5 6 )l = 1j = li = 1j = lnn注意到p ( z ) = p ( x , l y j ) p ( y j ) = p ( x i ) ，由条件自信息量的定义式( 2 4 3 ) 及条j = lj = z件熵定义式( 2 4 7 ) ，上式可以写作mt nnj ( x ；y ) = 一p ( x 。) l o g p ( x i ) 一p ( x 。y , ) z ( x i l y i )i = 1i = lj = l= h ( x ) 一日僻i y ) ( 2 5 7 )式( 2 5 7 ) 可以解释为：h ( x ) 表示集合x 中平均每个事件的存在的不确定度，h ( x w ) 表示已知y 条件下，平均x 中每个事件仍存在的不确定程度。这两者之差就是收到y 后获得的关于x 的每个事件的平均信息量若x 和y 分别是信道输入、输出事件集，则x 表示信源熵，h ( x i y ) 是信道疑义度，平均互信息也就等于信源熵与信道疑义度之差了至此，我们定义了熵、条件熵及互信息三种信息量它们都适用于多维随机变量的情况，相互之间的基本关系如下：设x 和y 是两个随机事件的集合( 即两个随机变量) ，则有：( 1 ) h ( x ) ，日( y ) ，h ( x y ) ，h ( x i y ) ，h ( y i x ) 和，；y ) 都是非负数，且h ( x ) = o当且仅当x 为退化分布，( x ；y ) = 0当且仅当x 与y 独立( 2 ) ，( x ；y ) = h ( x ) 一h ( x i v ) = h ( y ) 一h ( y i x ) ；( 3 ) h ( x y ) = h ( x ) + h ( y ) 一j ( x ；y ) ；( 4 ) h ( x y ) = h ( x ) 4 - h ( y i x ) = h ( y ) 4 - h ( y i x ) 3 0第二章量乎计算和量予傣息理论基础知识概述2 。4 3 售道容量鞫信源编码2 4 3 1信息传输率和信道容量输入事件集x 秘输出事件黎y 的乎均纛信患薰i ( x ；y ) 表示：收到y 后平均舔个y 给出的关于x 的信息量。猩信道条件下，由于总可在信源输出与信邋输入之间加上编码过程，所以往信道条件- gi ( x ；y ) 代表了信道中传输每个字符平均携带的信息量。t ( x ；v ) 叉黎凳蕊遘德惠簧羧搴 i n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nr a t e ) ，诡 筝rr = j 僻；y ) ( 2 5 8 )枣j 曩式( 2 。5 7 ) ，信息传竣攀胃以表示为x 趣熵与售遂疑义度h ( x i v ) 之差r = h ( x ) 一h ( x i y )( 2 5 9 )所以，信道信息传输率和信源概率分布e ( x ) 以及信道传递概率p ( x i y ) 有关，不同鹃壤潆嚣苓冠豹蕊遘有不嗣戆髂崽传辕率。可以证明，对于固定的信邋( 信道矩阵p ( x i y ) 一定) ，信息传输率r 是信源概率分布p ( x ) 的上幽函数；对予一个固定的信道，总存在一种信源使信道传输率最大这个最大值就定义必信遭容量( c h a n n e lc a p a c i t y ) ，记为ec = m a x r f 2 6 0 )尸“)、信道容量c 裘示信道传递个符号所能传输的最大信感量，即通过这个信道传递并接收羁y 磊，平避每个幸誓号掰蔻获褥懿美予x 懿最大僚悫量。倍道容量乘以信道单位时间内传递的符号数( 一个具体的信道单位时间内传递的符号数目由信遭物理条件限定) ，就得到单位时间内信道传输的最大信息量，所以信息套鬣c 毫霉叛理缮为；一令其髂懿售遘在攀缎辩霆蠹藐赞遽戆最大售怠懑b i t 零傻时间) 。相应的r 就是单位时阅内信遗传输的信息量c 表征了信道的极限传输能力2 4 3 。2 售源翻毽遘静莲配当信源发出的消息通过信道传输时，只有当信源的概率分布e ( x ) 满足一定条件薅，信道蕴意赞簸率r 方毯达翻痿遘容量警嘉遭售惠俺辕率霆= c 辩，髂这季 憾2 4 经典蕊崽理论藏袋3 1援下信源釉揍道燕匹配的( m a t c h i n g ) 。农一般情况下，信源和信道可熊米遮到匹配状态：这对我嬲说露遘存在冗余发( r e d u n d a n c y ) 镶遂冗余凌定义为r e d u n d a n c y 兰c 一冀。f 2 ，6 1 )定义攘辩冗余发( r e l a t i v n er e d u n d a n c y ) 鸯冗众攫与售道容量之魄：r e l a t i v er e d u n d a n c y 兰丁c - r = 1 - 菩( 2 6 2 )实髑审常使用相对冗佘发掇避信源信遗甄配程度根据式( 2 5 9 ) ，对一定的信源，臻遂爨义震蠢传输懿物理条 串激怒，痿墓传籍率议决定予信源潘。嚣魏霹戳逶越绩源编码( s o u r c ee n c o d i n g ) 将信源输出的消息变换成新信源消息传输，使新信源每个符号豹平均镶感量罐大，鄂凝德源炼增大这样当凝僖源接入售道露，就可敬速蓿滚信逡篷聚程度，藏少售遭冗焱度2 4 ，3 3 信源编码设信源输出符号集s = s t ，如， 共有口个符号我们使用的编码符号集为x = z l ，x 2 ，芒m ，凌绩瀵佟输情凌- f ，x 麟怒鬻遘穗号。冀孛魏待道慧号 毪京缟霹慧凝下豫为码元( c o d ee l e m e n t ) ，编码蓄先凌褥元缀或玛嚣符号枣裁姚称为鹕搴( c o d ew o r d ) ，l e n g t h ) ，耩凑礴字戆集会铋= ( x i l 墨：t - 苁，) ，藏女x( 2 焉蟊怒硝字旗申包含的秘元个数，称为鹦掌长( c o d ew o r d sm e = 翅l ，w 2 ， 2 6 4 )称为码( c o d e ) 所谓编确，就怒使信源符号或倍源符号序歹u 与m c 中的黼字w i 建立一一对应熬添。如果所有的碍字都有相同的长度，这种码称为您长码( f i x e dl e n g t hc o d e ) 碣字妖霾不一能豁势交长码v a r i a b l el e n g t hc o d e 。对予变长褥，谩碍字勰翡长度巍i ，蠢于码字翻僚源符号一一辩应，个羁字在编筠串岛现静凝率穗对澎的傣赣f 符号凌信鞭孛出现骢概率麴弱，可以定义张字豹平均长发q _ p ( s ，) i t ，( 2 6 5 )3 2第二章量子计算和量子信息理论基础知识概述其中，p ( s i ) 是信源符号8 i 在信源中出现的概率上式表示编码时平均每个信源符号使用的码元个数由于信源给定后，信源熵h ( s ) 是确定的，而编码后每个信源符号平均用f 个码元表示f 越小，每个码元荷载的信息量越大，以码元作为符号的新信源的熵也越大。所以信源编码就是根据信源输出符号序列的统计特性，寻找一定的方法把信源输出符号序列变换为最短的码字序列，便于每个码元平均信息量为最大。2 4 4s h a n n o n 编码定理编码的物理意义是把信源的物理态变换为信道的物理态，以便信源消息能在信道中传输。在通信理论上编码的作用是实现信源和信道在数量特性上匹配，目的是提高通信的有效性和可靠性。编码理论是经典信息理论的核心内容，它回答在什么情况下可以编码，在什么情况下不存在编码可能性等问题。下面只简单介绍s h a n n o n 关于编码的两个基本定理f 5 8 ，5 9 1 ，其定理的证明从略这两个定理是通信理论的基础，是经典信息论的中心内容1 s h a n n o n 第一编码定理s h a n n o n 第一编码定理又称为无失真或无噪声信源编码定理。从2 4 3 节的讨论可以看到，采用适当的编码方法可以使平均码长减少( 可以证明，它有可能接近信源熵) ，平均一个码元携带信息量增大由于单位时间内一个信道能传输码元数目是由信道物理条件