（应用数学专业论文）一类带权函数和plaplacian的dirichlet问题解的存在与多解.pdf

福建师范大学林丽珊硕士学位论文 内容提要 本文研究下面的一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题 j ，一一u = a 。扛) ( u + ) 。一1 一肛。( z ) ( u 一) 。一1 + ，( z ，u ) ， z n ， 【 u = 0 ， 。a n 解的存在性与多重陛，qcr ( 23 ) 为具有光滑边界a q 的有界区域，1 p 0 ，a e 于q 本文共分四章 第一章，介绍上述一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题的研究背景 第二章，介绍s o b o l e v 空间孵。( n ) 的基本知识，基本引理以及一些记号说明 第三章，在一定条件下，对方程( 1 1 ) 在1 q p n 与1 p g p + 的 两种情形下分别采用极小化序列的方法与山路引理证明存在非平凡解 第四章，我们采用b a r t s c h 和刘兆理的方法，通过构造一个伪梯度向量场并研 究由该伪梯度向量场所产生的下降流得到了方程( 1 1 ) 在1 q p n 的情况下 存在变号解 关键词：d i r i c h l e t 问题；p - l a p l a c i a n ；变分方法；( p s ) 条件；变号解；下降流 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st oac l a s so f t h ed i r i c h l e tp r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a na n dw e i g h t s ： 一9 ：三# z u + 。一1 一“。z u 一9 1 + ，z ，札l ：eaf2q,0 ( 1 1 ) 一 iil l牡= ，o 锄 、7 w h e r eqcr ( 3 ) i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r ya n ，1 p 0 ，a e i nq ，a n d ，s a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s r h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e jw ei n t r o d u c es o m er e s u l t so nac l a s so ft h ed i r i c h l e tp r o b l e m s w i t hp - l a p l a c i a na n dw e i g h t s ： i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g eo fs o b o l e vs p a c e s 叼。( q ) a n d s o m eb a s i cl e m m a s i na d d i t i o n ，w eg i v es o m en o t a t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w eo b t a i ns e v e r a lr e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h e p r o b l e m ( 1 1 ) w i t ht h ed i f f e r e n tv a l u e so fp ，qb yu s i n go ft h em i n i m i z i n gm e t h o d a n dt h em o u n t a i np a s sl e m m a i nc h a p t e rf o u r ，b yc o n s t r u c t i n gav e c t o rf i e l da n du s i n gad e s c e n d i n gf l o w a r g u m e n ta st h a ti nt b a r t s c ha n dl i u ，w ec a no b t a i nt h ee x i s t e n c eo fs i g n c h a n g i n g s o l u t i o n st ot h ep r o b l e m ( 1 1 ) w i t hl q p n k e yw o r d s ：d i r i c h l e tp r o b l e m s ；p - l a p l a c i a n ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；( p s ) c o n d i t i o n ；s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n s ；t h ed e s c e n d i n gf l o w i i 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 中文文摘 本文主要利用变分方法研究下面的一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问 脚 h u l ”1 + 八叩l ：曼 ( 1 1 ) 解的存在性与多重性，qcr ( 3 ) 为具有光滑边界a n 的有界区域，1 p 0 ，a e 于q 记s o b o l e v 空间x ：= 略9 ( q ) 的范数为 叫i x = ( 厶i w l 一) i 1 本文共分四章 第一章，我们介绍了上述一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题的研究 背景，包括方程的物理背景及前人的研究结果 第二章为预备知识，通过介绍s o b o l e v 空间昭9 ) 的基本概念，基本引理以 及一些记号说明以便后面各节的引用 第三章，我们要研究的是方程( 1 1 ) 在1 口 p n 与1 p 0 ，p 0 首先我们考虑方程( 1 1 ) 在1 g p n 的情形。采用的是极小化序列的方 法 定理3 1 1 当1 q p n ，f ( x ，u ) 满足条件( ，1 ) ，( ，2 ) ，) ，且满足条件 0 ) 与( a ) 时，则方程( 1 1 ) 有一非平凡解 i i i | | = u 让 p 一 ，j、l 题 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 要得出上面的定理的证明依赖下面的三个引理 引理3 2 1 在定理3 1 1 的假设下，泛函i ：w j 。( q ) 一r 是强制的 引理3 2 2 在定理3 1 1 的假设下，i ( u ) 在吲。( q ) 中是弱下半连续的 引理3 2 3 m ：= i 业，( u ) 0 在某一点u oew o 9 ( q ) 达到 u w d ”【l ” 接下去我们研究的是方程( 1 1 ) 在1 p q 矿的情形，利用的是山路引 理通过验证可以得到泛函茼足山路引理的条件，而山路引理中的，满足( p s ) 条件由引理3 3 1 给出，故很快得出下面的定理 定理3 1 2 当1 p q p + ，( z ，“) 满足条件( ) ，( 疋) ，( 五) ，且满足条件 ( p ) 与( a ) 时，则方程( 1 1 ) 有一非平凡解 引理3 3 1 在定理3 1 2 的假设下，满足( p s ) 条件 第四章，研究方程( 1 1 ) 在1 q p 0 ，a e 且a ( x ) l ( q ) ，p 1 + n p ( q 一1 ) ) ( ，i ) f ( x ，) ec ( qxr ，r ) ，f ( x ，0 ) = 0 ，且对任意的t r ，( z ，t ) t2o ； 我们采用b a r t s c h 和刘兆理中的方法，通过构造一个伪梯度向量场并研究 由该伪梯度向量场所产生的下降流得到了方程( 1 1 ) 在1 q p n 的情况下存 在变号解我们知道在咏一( q ) 中，正负锥的内部为空集，而w ：。( q ) nc 3 ( n ) 的 正负锥的内部非空故要解决方程( 1 1 ) 在1 q p n ，；1 + = 1 则存在0 卢 1 使得u c 翟( q ) i v 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 注4 2 6 由【9 】9 中的t h e o r e m2 的证明可知，映射a ：扩( q ) 一四4 ( 豆) 是有 界的 引理4 2 7 若u l m ( q ) ，则存在0 0 使对任意的札x ，若1 2 ，贝0i i i ( u ) | | x c l l u a ( u ) l l x ( 1 l u l l x - 1 - i i a ( u ) l l x ) 9 2 在第- - j , 节中采用文献【5 】的技巧，我们可以构造出适当的伪梯度向量场b 先给出一些记号记y ：= x n 四( 瓦) ，z ：= y n 四4 ( 而) ，其中o 卢 1 ，p + ：= u xu o ) ，p 一：= “x u o ) ，k ：= u xj ( u ) = o ) ，) c o ：= x k 引理4 3 1 若1 p 2 ，则存在满足如下条件的局部l i p s c h i t z 连续算子 b ：x o 。z ： ( i ) 若u x o ，则 j ( ，( u ) ，让一b ( u ) ) x ，x ；i i u a ( u ) l l 釜( 1 l u l l x - i - i i a ( u ) l l x ) 9 2 ， 去i | 札一b ( u ) l l x i l u a ( u ) l l x 2 1 1 u b ( u ) l l x ， 其中d 为在引理4 2 9 中出现的常数 ( i i ) b ( p + nx o ) ci n t y p + ，b ( p nx o ) ci n t y p 一 ( 倒) b ：x o l 。( q ) 是有界映射 ( 西) 口：( nl 。( q ) ，| i 。) 一z 是有界映射 引理4 3 2 若p 2 ，则引理4 3 1 的结论仍然成立，除了把( 4 3 1 ) 换为 ( ，( u ) ，u b ( u ) ) x ，x ；i i u a ( 钍) i l 殳 在第四小节中我们研究的是由该伪梯度向量场b 所产生的下降流的性质 v 望塞堡苎奎兰苎堑塑堡圭兰堡丝圣 设u o y k ，考虑如下的初值问题 j d q d t = 一目( t ) + b ( 叩( t ) 1 1 【7 7 ( o ，让o ) = ? 2 0 记该问题的解为叼( ，u o ) ，解的极大存在区间为 0 ，7 - ( u o ) ) 引理4 4 1 ，( 叩( ，? 2 0 ) ) 在t 【0 ，7 _ ( u o ) ) 中严格递减 受 1 6 ，l e m m a3 7 】和【3 4 ，l e m m a1 6 】的启发，我们得到下面的引理 引理4 4 2 若让o p + n 四( 豆) ，则初值问题( 4 4 1 ) 的解目( t ，? 2 0 ) i n 锄( 豆) p + ， 0 t 7 _ ( u o ) 引理4 4 3 设u o p n q ( 豆) ，则初值问题( 4 4 1 ) 的解叩( t ，i t 0 ) 讥锄( 孬) p 一， 0 t r ( u o ) 引理4 4 4 设札o x o ，则存在面k 以及递增序列 。) 满足t n 一| 7 - ( 7 2 0 ) ， n _ o o ，使得l i r a 物( t 。，? 2 0 ) 一训x = 0 n _ 引理4 4 5 对引理4 4 4 中的递增序列( t n ) 以及石k ，有恶帅( k ，蛳) 一 训y = 0 当l q p n ，( x ，“) 满足条件( ，i ) ，( 尼) ，( ，3 ) ，且满足条件( p ) 与( o ) 时，运用定理( 3 1 1 ) 的证明过程，我们可以得出方程( 1 1 ) 存在一个正解和一个负 解我们再通过构造一个伪梯度向量场并研究由该伪梯度向量场所产生的下降流得 到方程( 1 1 ) 有一个变号解这就是 定理4 1 _ 1 当l q p n ，f ( x ，u ) 满足条件( 一) ，( ，2 ) ，( ，3 ) ，且满足条件 ( p ) 与a ) 时，则方程( 1 1 ) 至少有三个解：一个正解，一个负解以及一个变号解 v i 第1 章前言 第1 章前言 1 1 研究背景及已有结果 本文主要采用变分方法和下降流的方法研究如下一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题： 一：三：? z u + 9 1 一p 。z u 一9 1 + ，z ，u ：；： ( 1 1 ) 解的存在性与多解问题， qcr ( n 3 ) 为具有光滑边界a q 的有界区域， l 2 时，该流称为 膨胀流( d i l a t a n t s ) ，当1 l ，当，满足渐近次线性情形时，b a r t s c h 和刘兆理在文献【7 】中 得到了方程( 1 6 ) 的非平凡解的存在性结果 2 第1 章前言 1 2 主要研究问题 本文分别采用取极小化序列的方法与山路引理证明一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题( 1 1 ) 分别在1 q p n 与1 p q p + 的两种情形下存 在非平凡解同时受到b a r t s c h 和刘兆理【5j 的启发，通过构造一个伪梯度向量场并 研究由该伪梯度向量场所产生的下降流的方法得到方程( 1 1 ) 在1 q p ( 次 线性) 情形下变号解的存在性我们知道在吲。( q ) 中，正负锥的内部为空集，而 w ：伊( q ) n 锘( q ) 的正负锥的内部非空当p 2 时，要抬高伪梯度向量场所产生 的流的光滑性比较困难我们的文章主要解决方程( 1 1 ) 在1 q p n 解的局 部的c 1 ，p ( q ) 的正则性估计 本文共分四章 第一章，介绍上述带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题的研究背景及已有 结果 第二章，介绍s o b o l e v 空间w 。( q ) 的基本知识，基本引理以及一些记号说明， 第三章，在一定条件下，对方程( 1 1 ) 在l q p n 与1 p q p + 的 两种情形下分别采用极小化序列的方法与山路引理证明存在非平凡解 第四章。我们采用b a r t s c h 和刘兆理在 5 中的方法，通过构造一个伪梯度向 量场并研究由该伪梯度向量场所产生的下降流得到了方程( 1 1 ) 在1 q 1 当文章中有些地方 要特别指明区域n 时，i u i 口就用川l a ( n ) 代替岛( u ) 表示以u 为圆心6 为半径 的开球u 。弱收敛于“简记为u 。一u c 是在不同地方可能取值不同的正常数 j 已 g ( x ，让) ：= a o ( 。) ( 让+ ) 9 1 一p o ( z ) ( 札一) 9 1 十f ( x ，u )( 2 0 1 ) a ( 札) ：= ( - - a ，) - 1 ( g ( z ，札) ) ( 2 0 2 ) 定义2 0 1 佛解j 称u x 是方程( 1 1 ) 的一个弱解，如果对任意的妒x ，有 fl w l p - 2 v u v l p 如= j ，f l g ( 茁，u ) 妒如 注2 0 1 在这文章中我们所说的解都是指弱解方程( 1 1 ) 对应的泛函i ：x r 为 ，( u ) = ；zi v u m z 一：上。( z ) + ) 9 出一詈上。( 。) 一) 。如一上f ( z ，u ) 出 ( 2 0 3 ) 其中f ( x ，让) = f f ( x ，t ) d t 若i c 1 ( w 3 芦( q ) ，r ) ，则i 的任意一个临界点为方程 ( 1 1 ) 的一个弱解 定义2 0 2 r 下半弱连续c f 卢仉定义2 j 剐设，是b a n a c h 空间e 上的实 泛函，z o e ，我们称，在z o 处是下半弱连续的，如果当z 。一z o 时，恒有 l i m i n f f ( x 。) ，( z o ) 定义2 o 3 俺制性e 1 5 0 ，定义2 j 4 设e 是b a n a c h 空间，泛函i ：e r 是强制的，是指 辩mz ( x ) = + o o 忙一o 。 引理2 0 2 似卢d ，推论2 圳设e 是自反的b a n a c h 空间，是e 上强制的 下半弱连续泛函，则存在x 0 e ，使得i ( x o ) = ! 醛7 ( 茁) 引理2 0 3 伴广的h b l d e r 不等式阻胆zs e c t i o nz 1 ，设函数i t l ，- - - 札。分别 落在空间l p l ，p m 中，其中a 1 0 = 1 ，2 m ) ， 1 p l + + 1 p 。= 1 4 竺! 塞堑鱼墅堡 # = = = = = = = = = = = = = = = = = 自= = = = = = ；= = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = ；= = = = = = = = = 则有 , o l d z l i i u - i i ，。i i 仳。i i ，。 弓悝：2 0 4 ( f 2 7 t h e o r e mo ，i o j ) 时一 勰 p j v 此外，存在常数c = c ( n ，p ) 使对任意的u 嘣9 ( q ) 有 f 让f p c l d 钍i p 当p ( 2 删 引理2 0 5 似，t h e o r e m6 刎设qcr v ( 3 ) 为光滑有界区域则如下的嵌 入是紧的； fl 。( q ) ， 1c m ( f i ) 却 n ，1sq 0 ，o 0 ，使得，( u ) q ，j j = p j 一砂存在e e b o ( o ) ，使得，( e ) 墨0 5 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 令r 是e 中连接0 和e 的道路的集合，即 r = 7 c ( 【o ，1 】，e ) ：，y ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ) 再记 。1 i n r ft m e 【o a ，x l l ，( 7 ( 。) ) ， 则c ，且若，满足( p s ) 条件，那么c 是，的临界值 6 第3 章一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题解的存在性 第3 章一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的 d i r i c h l e t 问题解的存在性 3 1 引言及定理叙述 本文研究下面的拟线性椭圆方程 f 一：三0 # z u + 4 1 一肛n z u 一q 一1 + ，z ，u l ：纛 ，i j ，- n * j 【 钍= ，。锄 ncr ( 3 ) 为具有光滑边界a f 2 的有界区域，1 0 ，a e 于q 时，方程( 1 1 ) 的可解性在文献【3 2 ) 已得到解决 结合文献【3 】与f 3 2 】，本文主要考察方程( 1 1 ) 在1 口 p n 与1 p 0 ，p 0 本文的主要定理如下： 定理3 1 1 当1 q p n ，f ( x ，u ) 满足条件( ) ，( ，2 ) ，( ，3 ) ，且满足条件( p ) 与 ( o ) 时，则方程( 1 1 ) 有一非平凡解 定理3 1 2 当l p q 矿，( z ，u ) 满足条件( ) ，( 五) ，( 厶) ，且满足条件( p ) 与 ) 时，则方程( 1 1 ) 有一非平凡解 注3 1 3 文献膨纠是考察方程( 1 _ 1 ) 在p = g 的情形下的可解性，作者刘祥清与 黄毅生针对共振与非共振问题分别采用变形的山路引理与鞍点定理证明方程存在非 平凡解而本章是对方程( 1 1 ) 在1 口 p n 与1 p 0 ，使得 l i ( x ，仳) i g + e l u l 4 1 ， v ( x ，牡) qxr ， i f ( x , u ) l c ：+ ；i 札1 9 ， v ，u ) q r ， 则 卜( z ) ( 让+ ) 。d z ( 0 7 ( z ) 如) ( ( u + ) 一d z ) 下r - - 1 j n nj n 8 因为7 p n p q + 阳， a 当_ g + 矗鲥葫q 。_ p n p = p 由s o b o l e v 不等式得 口( z ) ( “+ ) 。出茎c 体牝+ 峨 j n 。 同理可证 o ( z ) ( u 一) 9 d x c l a l ，i i 让一慨 j n ，( u ) 2 ；上l v 训9 如一；上n ( z ) ( 矿) 4 出一等z 。( z ) ( 让一) 。出一z f ( z ，札) 出 ；i l u t l 女一；z 。( z ) ( u + ) 。出一；上。( z ) ( u 一) 4 出一上( q + ；1 u 一如 扣卜抑靠i i 矿忮一；c i n i 川“刈支一唧i 一舯i 殳 ；i l u l l 妥一字e i 州i1 训支刮q i 一舯1 支 钏蚓扣酽一字c 川r 一丽c a a l 一匀q 故泛函，是强制的 引理3 2 2 在定理3 1 1 的假设下，( ) 在叼( q ) 中是弱下半连续的 证明：令 皿。( 豇) ： j v 让i p d x j n 厂 虬( 札) = n ( z ) ( u 一) 9 d x j n 似“) = 上出) ( a 出 吣u ) = 上脚出 口 显然田( u ) 在吲1 9 ( q ) 中是下半弱连续的下证m 2 ( u ) ，3 ( “) ，4 ( u ) 在呱t - ( q ) 中是弱连续的假设 钍。) c 埘9 ( q ) 且u 。一i a 喇( q ) ，则由紧嵌入定理( 引 理2 0 5 ) 得，u n 一乱i nl s ( f 2 ) ，其中1 s 0 ，存在e ecq ，川 0 ，使得 i f ( x ，札) i c ：+ e i “1 9 1 ，v ( x ，“) q r 1 4 ( u n ) 一q v 4 ( u ) l = i ( f ( x ，u 。) 一f ( x ，u ) ) 如i j n = i ，( z ，。u 。一让) + 让) ( u 。一u ) d z i( 0 t 。 o ，当i t i 6 时， i ，( z ，u ) i e i u l 4 ， 】1 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 u ) i = o “，t ) d t lj ( o 。i f ( ，) l d t l 石0 u e i 旷i 1 ii y ( x l y ( xt ) l d t l dtl000= 渺 i f ( 。，u ) i = ，t， t 州= ； q 取u 瞄9 ( n ) ，u 0 ，当i t l 矗时，i f ( x ，t u ) l 0 ，使得 j ， ，u ) jsg ：+ j uj 。一1 ，v ( x ，乱) qxr ， l f ( 叩) l q - i - 驷9 ， v ( 叩) q r 易证j e 1 ( 喇。( q ) ，r ) 由引理3 2 3 知m 0 ，使得 i f ( x ，t ) ise + e 9 1 ， v t 酞， i f ( z ，t ) isa + - ：l t l 9 ， v t r 由h s l d e r 不等式与s o b o l e v 不等式得 l 上学酬s 上竽出 s ( 嘉鲁+ e c ) l l 叫1 1 x 1 3 ( 3 3 4 ) 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 上学酬上学如 s ( ；+ e g ) | | 叫0 x 0 n 0 n - - o 。 在( 3 3 3 ) 式中取极限 ；一1 9 。l 。i m 。j f n ( a n ( z ) ( u ：) 。一9 ( 咭) + 肛n ( z ) ( 札二) 。一( 啄) 一) 出= o ( 3 3 5 ) 在( 3 3 4 ) 式中取凹= ，取极限得 1 一! 骢上( a 口( z ) ( 札：) ”( 砖) 9 + _ “。( z ) ( u 二) p 9 ( 蝠) 9 ) 出= o ( 3 3 6 ) ( 3 3 5 ) 一( 3 3 6 ) i 1 得 三一1 o p q 因为p q ；1 ，产生矛盾，从而 u n ) 在埘9 ) 中有界 不失一般性可设u 。一乱于咏护( q ) ，从而让。一牡于l 3 ( q ) ，其中1 s 0 ，存在e ecq ， 0 ，当i u i m 时， i ，( z ，札) i e i 训9 1 e i m l 9 1 ，j f ( z ，让) i ；l u i ；i m l 9 由( 五) ，存在m 0 ，当f 训2 m 时， i m ，“) i 0 ，使得当m ( e ) f t t ism 时，i ，( 。，u ) isb 从而存在g 0 使得 f ，( 。，u ) f e + e f “f p 一1 ，v ( z ，t ) qx r ， i f ( 州) i q + 训，v ( 圳) q r 从而易证，c 1 ( 喇。9 ( q ) ，r ) 下先证“= 0 为( 札) 的局部极小点 由( ，三) 可知，对给定5 0 0 ，当u w o ，9 ( q ) 且0 。“( o ) m u ) = 了i t l p 上j v 卵出_ 半知印如 一了# l t l q 上。( 州u 7 出一上m ，蚴如 茎铷卜半知印出 一半小) ( u - ) q 出+ 鲫i + 业pj 儿n 1 9 譬掣i i 训妥一了, x l t l q 知出 口 。 口，n 一半肚m 叩蚺鲫i _ 一o 。i t l + 。o 故存在r 5 0 0 ，卢 r ，i ( u o ) 卢 0 ，故 ，有非平凡临界点由于，c 1 ( 懈9 ( q ) ，酞) ，从而方程( 1 1 ) 有一非平凡解 口 1 7 福建师范大学林丽珊硕士学位论文 第4 章一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的 d i r i c h l e t 问题变号解的存在性 4 1 引言及定理叙述 这一部分主要考虑如下一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题的变号解 的存在性： 一9 ：三：? z 钍+ 2 1 一肛口z u 一4 1 + ，z ，让l ：募 c - ， 其中qcr ( 3 ) 为具有光滑边界a n 的有界区域，1 q 0 在文献f 3 】中，作者考虑了如下方程 呜：刭0 训”2 羔0 1 1 ， i 仳= ， z 、 对于p q 的情形，他们证明了该方程有无穷多个变号解在文献【5 】中，b a r t s c h 和刘兆理利用一种新的方法来得到如下超线性方程的解 - p ：篁一l ：纛 ， 1 8 第4 $ 一类带权函数和p - l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题变号解的存在性 此外，对于下面的非线性特征值问题 _ p ：三弦l ：墨 ， 当非线性项，满足适当的振荡性质时，b a r t s c h 和刘兆理1 6 1 获得了上述方程与参 数a 相关的多个正解，多个负解以及多个变号解的存在性结果 c a r l 和p e r e r a 在 1 4 】中研究了如下的方程 一：三：? z ) ( u + 9 1 一p 。z 让一) 9 1 + ，( z ，让) ：未 c a a ， 其中非线性项，具有跳跃非线性他们得到了上述方程的一个正解，一个负解以及 一个变号解的存在性结果他们所用的方法是变分方法与上下解方法在文献【7 】 中b a r t s c h 和刘兆理发展了一套方法来处理一般的p 1 的渐近次线性情形下方程 ( 4 1 2 ) 解的存在性问题 本文的目的是为了得到方程( 1 1 ) 的一个正解。一个负解以及一个变号解方程 ( 1 1 ) 的正解与负解的存在性可通过极小化方程所对应的泛函来得到( 见定理3 1 _ 1 的证明) 为了得到变号解，我们首先证明了一些正则性定理( 见第二节) 接着我们 采用b a r t s c h 和刘兆理在【5 】中的方法，通过构造一个伪梯度向量场并研究由该伪 梯度向量场所产生的下降流得到了方程( 1 1 ) 的变号解的存在性这篇论文的主要 结果是如下的定理： 定理4 1 1 设条件( o ) ，( 矗) 一( ，3 ) 以及( p ) 成立，则方程( 1 1 ) 至少有三个解：一 个正解，一个负解以及一个变号解 本文的结构安排如下：在第二节中，我们讨论了算子a 的一些性质在第三节 中，我们构造了一个伪梯度向量场b 在第四节中，我们给出了一个下降流的论证 方法在第五节中，我们给出定理4 1 1 的证明 4 2 算子a 的性质 在文章开始我们适当作一些记号和说明令 g ( x ，u ) ：= a n ( z ) ( 让+ ) 9 1 一p n ( 。) ( u 一) 。一14 - f ( x ，牡)( 4 2 1