（理论物理专业论文）几类约束力学系统的对称性与守恒量的若干问题研究.pdf

摘要 力学系统的对称性和守恒律研究具有重要的理论意义和实际价值。动力学系统若 存在某种对称性则意味着系统具有与该对称性相关的某种性质。此外，由于动力学系 统的对称性与不变量紧密相关，所以对称性理论也是积分运动方程的一个有力工具。 本文主要研究了几类约束力学系统的对称性与守恒量的若干问题，包括一般完整力学系 统、机电系统、v a c c o 动力学系统、单面约束系统的l i e 对称性、m e i 对称性直接导致 守恒量的条件及守恒量的形式，以及两种对称性分别间接导致守恒量的条件及守恒量的 形式。首先给出以上几类力学系统的l i e 对称性和m e i 对称性的定义，建立系统的l i e 对称性和m e i 对称性的判据；然后研究系统的l i e 对称性与m e i 对称性的关系，得到一 种对称性是另一种对称性的充分必要条件；最后给出系统的l i e 对称性、m e i 对称性直 接导致广义h 0 j m 趾守恒量、广义l u t z k y 守恒量、广义m e i 守恒量和m e i 守恒量的条 件及守恒量的形式以及两种对称性分别间接导致广义l u 切k y 守恒量、广义m e i 守恒量 和m e i 守恒量的条件及守恒量的形式。 关键词：一般完整系统，机电系统，v a c c o 动力学系统，单面约束系统，对称性，广 义l 吡d 哆守恒量，广义h q j m a l l 守恒量，广义m e i 守恒量 s t u d yo fs o m ep r o b i e m sa b o u tt h es y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e d q u a n t i t i e so fs e v e r a lc o n s t r a i n e dm e c h a n i c a ls y s t e m s j i n gh o n 黔i n g ( 1 1 1 e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o r “姗c h e n g a b s t r a c t t h er e s e a r c h e so nm es y m m e t 哕m e o 巧觚dt ：h ec o i l s e r v a t i o nl a 、s o fn l e c i m i l i c a l s y s t e m sh a v ei m p o r t 2 m tt l l e o r e t i c a l 锄dp r a c t i c a ls i 舯i f i c a n c e s i fs o i n ed y i 姗i c ms y s t e m s p o s s e s sak i n do fs y m m e 臼i tm e a i l st l l a tt 1 1 e r ea r es o i n ep r o p e n i e sc o r r e s p o n d i n gt ot l l i s k i n do fs y n 姗鼬a 1 1 db e c a u s et h e r ea r es o m ec l o s er e l a t i o n s m p sb e 铆ns y n ：l i l l e t r i e sa 1 1 d 锄t so fd y n 锄i c a ls y s t e m s ，m es y m m 嘶c a l t h e o 巧i sau s e m lt o o lf o ri n t e g r a le q u a t i o n s o fm o t i o nt 0 0 h lt h i sp a p e r w e 、访l ls n j d ys o m ep r o b l e m sa b o u t s y l i l m e t 巧a i l dc o n s e r v e d q u a n t i t ) rf o rf o u rk i n d so fc o n s t r a i n e dm e c h a i l i c 甜s y s t e m s ，i n c l u d i l l gt l l ec o n s e r v e dq 啪t i t i e s d i r e c t l yd e d u c e df 如mt h el i es y r m 酏眵a n dm e is y 删：n e n y 南rt h eg e n e r a lh o l o n o m i c s y g t e m 、n l em e c h a 血c o e l e c 仃i c a ls y s t e m 、t l l ev 如c od y 彻m i c a ls y s t 锄锄dt 1 1 eu 1 1 i l a t e 蹦 c o n s 砌n e d1 1 1 e c h a i l i c a ls y s t e m ，a i l dt h ec o n s e r v e dq w m t i t i e si i l d i i e c n yd e d u c e df 如mt h el i e s y m m e 缸y 锄dm e is y m m e 衄f o rn l ed b o v es y s t e m s f i r 瓯t h ed e f i i l i t i o 璐o ft 1 1 el i e s y m m e 仃y 觚dm e is y m m e t 巧f o rt h ea b o v es y s t e m sa r ee s t a _ b l i s h e d ，孤l dt h e nw eo b t a i nt l l e 翻t 面。娜o fl i es y i 姗e 仃y 觚dm e is y i 姗e 时；n 1 矾w es t u d y 龇r e l a t i o i l s h i pb 鲍v e e nm e l i e 咖e t 巧a n d t l l em e is 舯e t 巧o ft l l ea _ b o v es y s t e m s ，a n d 百v e 硷s u m c i e n tc o n d i t i o n o n es y t i l i 】旺e t r yi s 锄o t l l e rs y n m e 仃y ；l a s t ，廿l eg e n e r a l i z e dh o j m 锄c o n s e r v e dq u a n t 时、t h e g e n e r a l i z e dl u t z k yc o n s e r v e dq 啪t i 虮t ：h eg e n e r a l i z e dm e ic o n s e r v e dq u a m 时锄d 廿：屺m e i c o n s e r v e dq u a i l t 时d i r e c t l yd e d u c e d 行o mm el i es y 玎m e n y 锄dm e i s ) ，i 】 u n e n ya r eg o t ，锄d n l eg e n e r a l i z e dl u t z bc o n s e r 、，e dq u 锄t i t ) r 、t l l eg e n e r a j i z e dm e ic o l l s e r v e dq u a n t 埘a 1 1 dt 1 1 e m e ic 0 删d q 瑚咀t i 哆i l l d i r e c t l yd e d u c e df b mt l l el i e 咖e n y 锄dm e is y 舢m e n 了a r e a i s oo b t a i n e d k e yw d r d s ：g e n e r a lh 0 1 0 n o m i cs y s t e r i l m e c h a l l i c 0 一e l e c t r i c a ls y s t e m ，v a c c 0d y n a m i c a l s ) 仪锄，u 1 1 i l a t e r mc o i l s 们i n e dm e c h a i l i c a ls y s t e m ，s y m m e t g 锄e r m i z e dl u t z l ( yc o n s e n ，e d q u a m i 瓴g e n e r a l i z e dh o j m a l lc o i l s e r v e dq 啪t i 劬g e n e r a l i z e dm e ic o n s e n ，e dq 咖t 蚵 ， 吼 吼 吼 p s 三 h e s 9 b | 咖b j q 4 九l 时间 广义坐标 广义速度 广义加速度 广义动量 l a g 阴n g e 函数 h 锄i l t o n 函数 e u l e r 算子 约束方程 调谐函数 非势广义力 广义非完整约束反力 广义反推力 约束乘子 主要符号表 g 无限小参数 f 时间无限小变换的生成元 皇 广义坐标无限小变换的生成元 仇广义动量无限小变换的生成元 j r o 无限小生成元向量 工( 1 ) 一阶无限小生成元向量 x ( 2 二阶无限小生成元向量 g 规范函数 q 规范函数 q 规范函数 规范函数 厶 广义h o j m 锄守恒量h 0 j m 锄守恒量 五广义l u t z l ( y 守恒量l 呐守恒量 凡 广义m e i 守恒量m e i 守恒量 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 乒4 雾星 日期：蕊年j 月f 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：薹! _ l 塞星 指导教师签名： 日期：必嚣年r 月37 日 日期：潮年r 月日 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 1 1 引言 第一章前言 对称性是自然界的一种基本属性。物质在不断的运动过程中包含某种对称性质，并 且存在着相应的守恒量，而且守恒量的存在也不是偶然的，它们是物理规律具有多种对 称性的自然结果。力学系统，经典和量子约束系统、机电系统、c o 动力学系统、单 面约束系统等动态系统都存在着各种对称性质和守恒量。研究动力学系统的某种对称性 质，已成为解决实际问题的一种有效的方法。 j a c o b i 【1 1 最先注意到了系统的守恒量与对称性之间存在某些联系，其次是s c h 豇_ t z 【2 】。 e i n s t e i n 【3 】的狭义相对论理论揭示了体现自然界法则的物理规律中存在着对称性。e n g e l 【4 】 在经典力学领域中发现动量守恒、角动量守恒和质心速度不变与系统平移变换、空间转 动、g a l i l e 锄变换的对称性之间分别有对应关系。近代则利用对称性方法来寻找守恒量， 主要有三种方法，它们是研究作用量在无限小变换下不变的n o e t h e r 对称性【5 1 、运动微 分方程在无限小变换下不变的l i e 对称性【6 】和系统的动力学函数在无限小变换下仍然满 足力学系统原来的运动微分方程的m e i 对称性1 7 j 。 1 2 约束力学系统的对称性与守恒量的研究历史和现状 力学系统的守恒量不仅具有数学重要性，而且表现为深刻的物理规律。一般认为系 统的守恒量在某一方面表现了作用在系统上的物理机制，有时在系统的运动微分方程不 可积分的情况下，某个守恒量的存在可以使我们对所研究系统的局部物理状态有所了 解。寻求力学系统的守恒量有各种各样的方法。牛顿力学从力的特征导出了动量守恒律， 角动量守恒律和机械能守恒律。分析力学由l a g r a n g e 函数或h 锄i l t o n 函数导出了广义 动量守恒律和广义能量守恒律。l i e 群理论出现后，逐渐发展成为利用l i e 群分析的方 法，寻求系统存在的对称性，导出相应的守恒量。从系统的对称性来求系统存在的守恒 量是十分有效的方法。 1 9 1 8 年，德国数学家e i 砌y n o e t h e r 系统的研究了动力学系统的作用量在连续群作 用下的不变性，指出作用量的每一种连续对称性都将有一个守恒量与之对应1 5 j 。如 h 锄i l t o n 作用量在时间平移变换下的不变性对应着能量守恒；作用量在空间平移变换下 的不变性对应着动量守恒；而作用量在空间转动变换下的不变性对应着角动量守恒。 第一章前言 n o e t l l e r 理论指出对称性与守恒量在本质上是联系在一起的，从而揭示了力学系统的守 恒量与其内在的动力学对称性之间的潜在关系。自n o e t h e r 的论文发表以来，国外出现 了很多关于n o e 埘定理的文献【8 。我国学者在n o 甜l e r 对称性和守恒量研究方面虽然 起步较晚，但是贡献突出【1 2 1 。其中，1 9 8 1 年，李子平先生在国际上首次研究了线性非 完整约束系统的n o c 廿1 e r 理论【1 2 】，这个工作比国外b a l l a r 【1 2 1 的同类结果早了六年。刘端 【1 3 】，张解放1 4 1 ，罗绍凯【1 5 l ，吴慧彬【1 6 1 ，梅风翔1 7 1 ，傅景礼【1 8 】，李元成【1 9 】，方建会口0 1 等 对n o e t h e r 定理进行各种推广或者将n o e t h e r 定理应用到某些特定的力学系统。 利用n o e h t e r 定理可以得到n o e h t e r 型守恒量，而l i e 对称性是另一种获得守恒量 的手段。1 9 7 9 年，l u t z k y 将十九世纪末挪威著名的数学家s o p h u sl i e 研究微分方程的 不变性的扩展群方法引入力学领域加以研究，提出了力学系统的运动微分方程l i e 对称 性的概念。与n o 甜l e r 理论研究思路不同，l i e 对称性是直接研究运动微分方程在无限 小变换下的不变性。l 此如，【6 】研究了l a g 姗g e 力学系统微分方程的l i e 对称性，并得到 了n o e t h e r 型守恒量。随后，关于动力学系统的l i e 对称性导致n o e t h e r 型守恒量成为热 门课题，并取得了一些有意义的结果口1 之5 1 。利用“e 对称性除了可以从n o e t l l e r 等式出发 得到n o e t h e r 型守恒量外，1 9 7 9 年，l i l t z k y 口6 2 7 1 从l 鲫g e 力学系统微分方程的l i e 点对 称性导出了一个非n o e 埘型守恒量( l 呐守恒量) 的表达式，以及在时间不变的特殊 无限小变换下，l 靴g e 系统的速度依赖对称性导致的l u t z k y 守恒量【2 8 。3 0 】。1 9 9 2 年， h o i m 孤【3 1 1 提出一个新形式的守恒量，称之为h o j m 孤守恒量，其守恒量的构造即不用 l a g m g e 量也不用h 锄i l t o n 量，而仅仅基于l i e 对称性的生成元。 许多学者对l 此姆和h o j m 趾的方法进行分析和研究，加以改良和推广并应用到 各个系统中。傅景礼等人分别将l u 倒k y 方法应用到非保守系鲥3 2 1 和机电系缀3 3 1 ，并得到 相应的l u t z k y 守恒量。梅凤翔教授等【3 4 】利用m e i 对称性与l i e 对称性的关系，讨论了 l a g m g e 系统的由m e i 对称性导致的l u t z k y 守恒量。梅教授p 5 3 6 1 也研究了广义h 锄i l t o n 系统、变质量完整系统的h o j m 锄守恒量，张毅等将h o j m a l l 方法应用到b i 曲o f r 系统【3 7 1 、 广义经典力学系统【3 8 1 和非完整系统f 3 9 1 。在h q j m 锄方法应用方面做出贡献的还有许志新 【4 0 ，4 1 1 ，罗绍凯【4 2 4 3 1 ，乔永芬m 4 5 1 等人。 此后，张毅【删】将l 曲方法中的时间不变的l i e 对称性推广到一般意义下的l i e 对称性，得到广义l u t z k y 守恒量；张宏彬h 9 - 5 1 1 ，方建会【5 2 - 5 4 1 ，罗绍凯【5 5 ，5 6 1 等也将h 巧m a l l 定理中的时间不变的l i e 对称性推广为一般意义下的l i e 对称性，得到广义h o j m a i l 守 恒量。 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 除了n o e t h e r 对称性和l i e 对称性，近几年出现的m e i 对称性是另一种寻求守恒量 的方法。2 0 0 0 年，梅风翔1 57 j 提出一个既不同于n o e t h e r 对称性也不同于l i e 对称性的新 对称性形式不变性( 也称m e i 对称性【5 8 】) ，m e i 对称性是指，系统运动微分方程中出现 的动力学函数( 如l a g r a n g e 函数，动能，势能，广义力，广义约束力，约束方程中的函 数等) 在经历群的无限小变换后仍然满足原来方程的一种不变性【5 9 ，俐。利用m e i 对称性 可以直接构造一个新形式的守恒量【6 l 】。我国学者对m e i 对称性与n o e t h e r 对称性的关系， m e i 对称性与l i e 对称性以及通过m e i 对称性寻求各种动力学系统的守恒量等问题进行 了广泛的研究，并取得了一些有意义的结果【3 4 ，6 2 捌】。2 0 0 7 年，方建会进一步研究了m e i 对称性，得到l a 酉a n g e 系统和h a m i l t o n 系统的广义m e i 对称性【6 5 ，矧，并得到了相应的 守恒量广义m e i 守恒量。这些方法都极大地丰富了求解动力学系统守恒量的途径。 1 3 机电系统的对称性与守恒量的研究历史和现状 占社会总动力能源9 0 以上的旋转电机，各种机电换能装置、磁流体动力变换装 置、高速磁浮列车、高速磁浮轴承等，这些机电装置都是进行机电能量转换的。机电分 析动力学是研究机电偶联问题最有效的工具，它是从能量的观点出发，研究运动物体在 电磁场中发生相互作用的规律，并作为统一的方法，用于建立力学问题与电路、电磁场 问题机电偶合的微分方程组，从而去研究机电耦合的相互作用规律。 当完整系统的力学过程和电学过程相互关联时，称为机电偶联系统，其运动可用 l 删g e m a x w e u 方程来描述。文献【6 7 ，6 8 】介绍了l a g r 眦g e m a x w e l l 方程的一般形式。 l a 铲a i l g e m a ) 【w e l i 方程揭示了电的与机械的量之间的定量关系，该方程在机电工程中有 重要应用。像磁电仪表( 电流计) 、电容器、传声器、电磁悬浮列车都可以用 l a 酗a i l g e m a ) 【、v e l l 方程来描述。傅景礼等研究了机电系统的l i e 对称性在满足一定条件 下可分别导致l u t z k y 守恒型3 3 1 和h 9 j m 锄守恒量【6 9 】，郑世旺【7 川等研究了机电系统的动 量依赖对称性和非n o e t h e r 守恒量，李元成f 7 l 】等把统一对称性7 刁理论引入到机电系统中， 得到了三种守恒量。将广义h 忆k y 方法，广义h o j m a i l 方法以及广义m e i 方法应用到 机电系统中，并得到相应的广义l u t z k y 守恒量，广义h o j m a n 守恒量和广义m e i 守恒量 有重要的意义。 1 4v a c c o 动力学的系统对称性与守恒量的研究历史和现状 v a i c c o 动力学是分析力学的重要专题之一。自1 8 9 4 年h e n z 引入非完整系统的概念 3 第一章前言 以来，经典非完整力学经过百余年的发展已成为分析力学的一个重要分支。在经典的非 完整力学中，对虚位移采用的是a p p e l l c h e t a e v 定义，尽管目前已知的多数非完整力学 系统其虚位移都满足这个条件，但是存在一些非完整力学系统，约束加在虚位移上的条 件并不满足这个条件。1 9 8 2 1 9 8 3 年莫斯科大学的c h e t a c b 在推广最小作用量原理的基 础上，提出了一个研究带有不可积约束系统的分析动力学的新的模型，被人们称为v 砬c o 模型。1 9 9 0 年，郭仲衡f 7 3 】等对虚位移不引入a p p e l l c h e t v 定义后，得出一种新型方程， 其形式与v a c c o 动力学方程相同，引起了分析力学研究者的极大兴趣，并相继取得了一 系列的研究成果7 4 ，7 5 1 。 对称性理论出现后，很多学者将其应用到v 砬c o 动力学系统中，并取得了很多有意 义的结果。张宏彬【7 6 j 研究了、k c o 动力学系统的l i e 对称性并得到了n o e t l l e r 型的守恒 量；顾书龙等【7 7 ，7 8 】研究了、k c o 动力学系统的n o e n l e r 对称性和m e i 对称性；乔永芬等 i 删研究了变质量、c o 动力学系统的l i e 对称性，得到了非n o e t h e r 型的守恒量；丁宁 等【7 9 】利用l i e 对称性得到了系统的广义h 0 j m a i l 守恒量和l u t z k y 守恒量。将广义l 毗姆 方法应用到v a c c o 动力学系统中并得到广义l 屿守恒量是非常有意义的。 1 5 单面约束系统的对称性与守恒量的研究历史和现状 约束系统动力学的研究大多以双面约束为前提。实际上，单面约束比双面约束更 普遍，研究也更困难。滚动系统又滚又滑的运动，纯滚动对应双面非完整约束，而连滚 带滑的运动则对应单面非完整约束系统，在有限空间中的运动，其边界构成单面约束。 振动打桩、夯土等，被冲击的物体都是冲击运动物体的单面完整约束动力学的问题。上 述问题的分析和求解就需要应用单面约束系统动力学的理论与方法。 单面约束力学系统的研究历史可以追溯到二十世纪初期。到目前为止，单面约束力 学系统在微分变分原理，各种形式的运动微分方程，对称性和守恒律，现代微分几何描 述等诸方面取得了一些进展。二十世纪三、四十年代，l e v i c i v i t a 和加n a l d i 讨论了单 面约束的概念、单面约束系统的虚位移原理和d 舢e m b e r t l a 卿l g e 原理。1 9 5 8 年，汪 家袜【舳】在其专著分析动力学中介绍了质点和质点系受单面完整约束情形下的虚位移 原理及其简单应用；1 9 8 8 年，梅风翔【8 l 】专题研究了单面约束系统动力学；1 9 9 8 年，张 毅【8 2 】在其博士学位论文中讨论了单面约束力学系统的n o e t h e r 对称性理论。最近几年有 关单面约束力学系统的对称性与守恒量研究文献不断出现，其中以张毅m 4 7 ，8 3 7 1 为代表 的研究学者作出了突出贡献，李元成【2 4 】将l i e 对称性理论引入到相对于非惯性系的单面 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 非c h e t a e v 型非完整系统，并得到了n 瞅h e r 型守恒量；张宏彬【8 8 1 研究了单面非完整v a c c o 系统的l i e 对称性，由此得到n o e t h e r 型守恒量：王静等m 】等研究了变质量单面非完整 系统的m e i 对称性和m e i 守恒量。从发表的文献可知，对单面约束系统的对称性直接导 致守恒量的研究已经比较完善，但对由对称性间接导致守恒量的研究较少。 1 6 本文研究内容综述 本文主要研究几类约束力学系统的对称性与守恒量的若干问题，包括一般完整力学 系统、机电系统、c o 动力学系统、单面约束系统几类动力学系统的l i e 对称性、m e i 对称性直接导致的守恒量，以及两种对称性间接导致的守恒量。本文内容共6 章： 第一章：绪论。概述几类约束力学系统的对称性与守恒量理论的发展历史和现状。 包括约束力学系统、机电系统、c o 动力学系统、单面约束系统的研究历史和现状。 第二章：一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题。包括一般完整系统的l i e 对 称性和m e i 对称性，两种对称性分别直接导致的广义l 吡d 哆守恒量和广义m e i 守恒量， 以及两种对称性分别间接导致的广义m e i 守恒量和广义l 曲守恒量。 第三章：机电系统的对称性与守恒量的若干问题。包括机电系统的“e 对称性直接 导致的广义l u t z k y 守恒量和广义h q i m 觚守恒量，m e i 对称性直接导致的m e i 守恒量， 以及l i e 对称性间接导致的广义m e i 守恒量，m e i 对称性间接导致的广义h q j m 锄守恒 量和广义l 屿守恒量。 第四章：、，如c o 动力学系统的对称性与守恒量的若干问题。包括v 配c o 动力学系统 的l i e 对称性直接导致的广义h o j m a i l 守恒量和广义l u t z l ( y 守恒量，以及系统的m e i 对 称性间接导致的广义l 讹姆守恒量。 第五章：单面约束系统的对称性与守恒量的若干问题。包括单面非完整系统的m e i 对称性与广义l u t z k y 守恒量；相空间中单面非完整系统的m e i 对称性与广义h o j m 觚守 恒量；变质量单面完整系统的m e i 对称性与广义h o j m 觚守恒量以及变质量单面非 c h e t a i e v 型非完整系统的l i e 对称性与m e i 守恒量。 第六章：总结与展望。结合本论文的研究成果，提出了几类系统有待进一步研究的 问题。 5 第二章一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题 第二章一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题 2 1 引言 一般完整系统是指不能表为l a g m g e 系统的完整力学系统。一般完整系统的动力学 方程比l a 鲫g e 系统的要复杂的多，其对称性与守恒量的研究也比l a g r a n g e 系统要困 难。以往，一般完整系统的对称性与守恒量的研究主要集中在对称性及其导致的n o e t h e r 型守恒量、h o j m a l l 型守恒量、m e i 守恒量和l u 翻螃守恒量上。张毅在文献 4 8 】中首次 提出l 卿g e 系统的l i e 对称性导致的广义l m z k y 守恒量，方建会等在文献【6 5 ，6 6 】 中分别讨论了l a g r a n g e 系统和h 锄i l t o n 系统的m e i 对称性以及导致的广义m e i 守恒量。 本章进一步研究广义坐标下一般完整系统的对称性与守恒量，包括系统l i e 对称性和 m e i 对称性，两种对称性分别直接导致的广义l u t z k y 守恒量和广义m e i 守恒量，以及 两种对称性分别间接导致的广义m e i 守恒量和广义l 呐守恒量。 2 2 一般完整系统的l i e 对称性与广义l u t z k y 守恒量 2 2 1 系统的运动微分方程 假设具有双面理想完整约束的力学系统的位形由刀个广义坐标吼o = l ，甩) 来确 定，其运动微分方程表为 e ( 三) = q0 = l ，刀) ( 2 - 1 ) 其中三= ( ，g ，口) 为系统的l a 伊锄g e 函数，q = q ( f ，口，圣) 为非势广义力， e = 昙杀一苦心b 一川 协2 ) 为e u l e r 算子。 当q = 0 ，或q 有广义势时，方程( 2 - 1 ) 可表为l a g r a i l g e 系统的方程。 假设系统( 2 1 ) 非奇异，即设 d e t ( 当o ( 2 - 3 ) o q q k 由方程( 2 1 ) 可求出所有的广义加速度，简记作 坑= ( r ，g ，口)( s = 1 ，刀) ( 2 4 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 2 2 系统的l i e 对称性确定方程 取时间和坐标的群的无限小变换 f = f + 占r ( ，g ，口) ，西( ，) = g ，( ，) + 占晏( f ，叮，圣) ( s = 1 ，刀) ( 2 - 5 ) 其中s 为无限小参数，f ，六为无限小生成元。 l i e 对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性。一般完整系统( 2 1 ) 的 l i e 对称性确定方程为 其中 x 2 e ( 三) ) = x 1 ( q ) 0 = 1 ，刀) n f 知考+ 降识导壕 妒k 一) + 岳普吨昙鲁一2 吃争毒， 、d fd r 13 d ，d f 5 d fa 牙。 兰：昙+ 香，晏+ 要 ( 硝，刀) 石5 瓦+ 吼瓦+ 瓦 忙1 ，刀) 方程( 2 4 ) 的l i e 对称性确定方程为 ( 2 _ 6 ) ( 2 7 ) 暑普一蟊丢鲁也鲁羽( 吒) ( 咄一 ( 2 - 8 ) 2 2 3 系统的l i e 对称性导致的广义l 曲守恒量 为得到一般完整系统的l i e 对称性导致的广义l u t z l ( y 守恒量，需要得到一个关系式。 首先，将运动微分方程( 2 2 ) 展开，有 坑：等( 婺一黑一黑口广q ) 仅 = 1 ) ( 2 9 ) 吼2 才瓦一丽一丽乃+ 敛) ( s 七，_ l ，疗) ( 2 9 ) 其中。= d e t 【鑫】，圾是行列式。中元素袅的代数余子式。从( 2 - 9 ) 式，容易 o qs o q k0 qs o q k 得到关系式 薏一毒t 鲁q ，+ 未h 删仅心，州 亿 命题2 2 1 对一般完整系统，在无限小变换( 2 - 5 ) 下，如果无限小生成元f ，关满 7 第二章一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题 足l i e 对称性确定方程( 2 6 ) 或( 2 7 ) ，且存在规范函数瓯= q o ，g ，口) 使得 毒【鲁盱昙q b ，问 则系统的l i e 对称性直接导致广义l 呐守恒量 丘= 篆+ 毒c 争咆毒鲁+ 等一8 q s 鼬s 、a t 。“硇sa f a t ( 川) 鲁+ 讪。) 一慨) 铷璐t 证明：由于 昙t = 丢t 篆+ 毒c 筝吨杀鲁+ 鲁七警+ d ，l d f 。幻。勉、d f 715 a 雪，d ，街、 7 d f ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 彳1 ( 1 i l d ) 一x 1 ( q ) 】 ( 2 - 1 3 ) 如果f ，量是l i e 对称性的无限小生成元，对任意函数= o ，g ，雪) ，容易验证， 昙矾舻矾警+ 誓警 成立。 根据关系式( 2 1 0 ) 和( 2 1 4 ) ，并利用条件( 2 1 1 ) ，得到 未协功= 爿m c 静+ t 毒t 鲁q ，一薯薏+ 薯毒c 鲁q ， 划c 争一c 知一薯薏+ 字吾瓯 = 扣慨c 争一誓薏 由确定方程( 2 8 ) ，经过运算，可以得到 毒c 昙普吨昙誓也鲁c 训瓦【面蓄一吼五百- 2 吒百“”【川 2 丢c 善+ 毒普一吼当+ 毒静一薏一拧誓一 8 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) x m ( 玛一韭塑 、鼬s 。d t 砸s = 委尝+ 毒警一吼毒导+ 鲁七邶导一 矾导) 一譬熹 ( 2 - 1 6 ) 、篦7d ，妃 1 w 将式( 2 - 1 5 ) 代入式( 2 - 1 6 ) ，并考虑到确定方程( 2 8 ) ，有 昙乞= 毒毒萼咆昙导一2 导一一k 肛。 c 2 川， 于是系统有守恒量( 2 1 2 ) 。 推论2 2 1 对一般完整系统，如果无限小变换( 2 - 5 ) 中的生成元f = 0 ，且晏满足 下面的方程 昙普= 象彘一象訾仅，功 d fd f 电坛 d r p 一一l ， ，v 函数q = 皖o ，口，圣) 满足方程( 2 1 1 ) ，则系统的l i e 对称性直接导致守恒量 则有 屯髻+ 毒( 争一( q 阄n s t ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 如果无限小生成元f ，鼻不依赖于广义速度，即无限小变换是点对称变换 广= f + 贸o ，g ) ，g ：o ) = g ，0 ) + 蜀关o ，g ) ( s = 1 ，甩)( 2 2 0 ) 推论2 2 - 2 对一般完整系统，如果点对称变换( 2 2 0 ) 是系统l i e 对称变换，且存 在规范函数q = q ( f ，g ，口) 满足方程( 2 1 1 ) ，则系统的l i e 对称性直接导致守恒量 t - 2 ( 篆吨争叫誓一( m d ) - 础q 阄n s t ( 2 - 2 1 ) 注意，守恒量( 2 - 2 1 ) 已由文献 3 2 】给出。 对于l a g 眦l g e 系统，其运动微分方程为 其展开式为 e ( 三) = o p = l ，功 9 ( 2 2 2 ) 第二章一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题 坑= 呸( ，g ，口) ( s = 1 ，甩) ( 2 - 2 3 ) 推论2 2 3 对l a g m g e 系统( 2 2 2 ) ，如果无限小变换( 2 - 5 ) 中的生成元f = 0 ， 且生成元量相应于系统的l i e 对称性，则系统的l i e 对称性直接导致守恒量 厶= 薏+ 毒( 普) + 一d ) = c 。n s t ( 2 乏4 ， 推论2 2 4 对l a g r 孤g e 系统( 2 2 2 ) ，如果点对称变换( 2 - 2 0 ) 是系统的l i e 对称 变换，则系统存在守恒量，形如 掸( 善咆矛一，z 誓一( h 即。n s t ( 2 - 2 5 ) 注意，守恒量( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 是l 眦姆【2 0 1 给出的，称之为l 此姆守恒量。 2 2 4 算例 二自由度系统 三= 丢( 口；+ 荔) ，q = 一寿磊，q = 击或 试由系统的l i e 对称性直接导出广义l 曲守恒量。 系统的运动微分方程为 ，1 g l 一丽g t 9 22 再g l l i e 对称性确定方程( 2 8 ) 给出 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 鲁萼一喳爹+ 南鲁羽c 音，协2 8 ， 石吾一吼面石+ 丽g - 石“”【一再g ，九，川 昙鲁咆昙鲁一斋蟊鲁羽冉幺，五i 萨一g ：石i 7 一了i 芦吼i 7 2 爿”【t ；f 吼j 它们有如下解 f = 0 ，卣= o ，参= ( 或+ 碗一口2 ) 2 方程( 2 1 1 ) 给出 q = 一圭蚍l + ，2 ) ( 嘻- 口2 ) 由式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) ，利用命题2 2 1 ，得 厶= 2 ( 磊+ 增。一口：) 一兰h l ( 1 + ，2 ) ( 磊+ 畦一口：) 2 = - c o n s t 1 0 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 注意，守恒量( 2 3 1 ) 是一般完整系统的l i e 对称性直接导致的广义l u t z l ( y 守恒量。 2 3 一般完整系统的m e i 对称性与广义m e i 守恒量 2 3 1 系统的m e i 对称性判据方程 有 假设在经历无限小变换( 2 5 ) 后，l a g r a n g e 函数变为c ，广义力q 变为g ，则 r = 砸，留，书= 地鲥) + u ) + 2 ) ， 苡= q ( f ，g ，等) = q o ，g ，牙) + s 彳( q ) + 。( s 2 ) ( 2 3 2 ) 定义2 3 1 在无限小变换( 2 5 ) 下，如果方程( 2 1 ) 的形式保持不变，即 巨( r ) = 苡o = l ，以) ( 2 - 3 3 ) 成立，则称这种不变性为一般完整系统的形式不变性( 或称为m e i 对称性) 。 将式( 2 3 2 ) 代入式( 2 3 3 ) ，忽略9 2 及更高阶小项，并利用方程( 2 1 ) ，得到 巨 x 1 ( 三) ) = x 1 ( q ) o = 1 ，聆) ( 2 3 4 ) 于是有 判据2 3 1 对一般完整系统，如果无限小生成元f ，曩满足方程( 2 - 3 4 ) ，则相应 不变性为系统的m e i 对称性。 称方程( 2 3 4 ) 为一般完整系统的m e i 对称性的判据方程。 2 3 2 系统的m e i 对称性导致的广义m e i 守恒量 对一般完整系统，由m e i 对称性可直接导出广义m e i 守恒量，有如下结果 命题2 3 1 如果一般完整系统的m e i 对称性的生成元f ，磊和规范函数 g 0 = 吼( f ，窖，口) 满足如下结构方程 川三，萼一】+ 学c 加警譬一簪 棚1 ) ( 姒磊一吼伊鲁= o ( 2 - 3 5 ) 第二章一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题 则系统的m e i 对称性直援导致j 义m e l 可但重 毛羽厂+ 訾( 触加= c 。咄 ( 2 - 3 6 ) 其中，= ( ，g ，圣) 为调谐函数。 证明将方程( 2 3 6 ) 按方程( 2 7 ) 对时间求导，利用结构方程( 2 - 3 5 ) 和判据方程( 2 - 3 4 ) ， 有 孚= 扣弛萼+ 昙c 警坛彤，+ 警( 萼一吒厂咆警) 划1 ) ( d 萼卅1 ) 【恸一 学+ 学州。警瓢訾萼一 x 1 ( q ) ( 晏一敷门 = 【昙( 警) 一学捌( q ) 】( “门 = o ( 2 3 7 ) 注意，调谐函数厂的引入，为寻求提供了方便，同时，也为找到更多的守恒量带来 了可能。特别地，当= f 时，式( 2 3 5 ) 和式( 2 3 6 ) 分别变为 川上) 鲁捌1 ) 矾驯划1 ) ( 姒六却) + 訾_ 0 ( 2 3 8 ) d ，q f 乙：x m ( ) 什筌里( 缶一蟊f ) + = c 。n s t ( 2 3 9 ) 钾。 它们分别是一般完整系统的m e i 对称性的判据方程和m e i 守恒量的表达式睇】。 2 3 3 算例 二自由度系统为 三= 圭( 衍+ 旌) 一g ：， q = 盔，q = r 一口z ( 2 - 4 0 ) 试研究系统的m e i 对称性和广义m e i 守恒量。 1 2 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 系统的运动微分方程为 萌= 磊，放= ，一吼一1 通过计算，有 取生成元为 则有 讹川。( 警咱争+ 或( 普咆争一磊 f = 1 ，缶1 ，磊= 口：一三“，+ 9 2 ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) x m ( ) = 一口：+ 圭，2 一f g ：， 局 x m ( 三) ) = x m ( q ) = o ， 互 x 1 ( 三) ) = x 1 ( q ) = 1 ( 2 - 4 4 ) 因此，无限小生成元( 2 - 4 3 ) 对应的无限小变换是m e i 对称性的。 结构方程( 2 3 5 ) 给出 訾邓+ 9 2 一扣警巾纠) 厂 当厂= 磊一g 。时，g 0 = g 。口：一口。口2 式( 2 3 6 ) 给出守恒量 = ( 口1 - 9 1 ) ( 圭卜卜吼一吼+ 1 ) = c 0 璐t 当厂= f 时，吼= 一三，3 + ，2 + f g ： 式( 2 3 6 ) 给出守恒量 毛= 三卜f 嘞一吼= c o n s t 当厂= f = 1 时，吼一三“f 一吼+ 9 2 怕 式( 2 3 6 ) 给出守恒量 毛= 磊一吼+ 圭f 2 _ f - g ：咆= c 。蜮 1 3 ( 2 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 - 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 第二章一般完整系统的对称性与守恒量的若干问题 2 4 一般完整系统的l i e 对称性与广义m e i 守恒量 2 4 1 系统的l i e 对称性与m e i 对称性的关系 通过计算得到 e x 1 ( 三) ) - - x 2 巨( ) ：旦牟丝) 一旦丝+ 旦( 篮竺) 一 = = 一i 一一- 1 p i = 一- 一 a l 、鼬s8 f 。a qs 氆a t 、硒s8 q k j 善尝+ 昙c 毒c 争盖卜毒c 争盖一8 qsa q k a t l8 矗s 、a t 硒k 二砘s 、a ti 硇k 昙秀c 誓地崇+ 毒c 鲁，吼薏一丢誓盖 c 2 睨， 对一股元墨糸统，l i e 对杯住与m e i 对杯住阴天糸由卜还命题给出 命题2 4 1 对一般完整系统，l i e 对称性为m e i 对称性的充分必要条件是无限小生 成元f ，六满足 兰( 妻笃一昙罢+ 兰( 警当一 a t 、两sa t 。a q s8 ta t 、硇sa q k 篮丝+ 旦4 ( 篮) 刍一