清北学堂 2014年暑假高中物理竞赛班型知识点梳理1

2014 年暑假高中物理竞赛班型知识点梳理 （第一次） 资料 说明 本导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。 本 班型导学共由 4 份 书面资料构成。 （ 2014 年 暑假 集中培训课程使用） QBXT/JY/ZSD2014/6-2-1 2014-6-20 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年暑假高中物理竞赛班型知识点梳理 (力学部分 ) 知识框架 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 运动学 . 5 1. 相对运动 . 5 2. 直线运动 . 5 3. 曲线运动 . 5 4. 刚体运动 . 6 二、 动力学 . 7 1. 牛顿运动定律 . 7 2. 质心系运动定律 . 7 3. 非惯性参考系和惯性力 . 7 4. 刚体动力学 . 8 三、 静力学 . 9 1. 静力平衡 . 9 2. 流体静力学 . 9 3. 摩擦角 . 10 四、 能量、动量和角动量 . 11 1. 功能原理 . 11 2. 动能定理 . 11 3. 动量守恒 . 11 4. 角动量守恒 . 11 五、 天体运动 . 13 1. 万有引力 . 13 2. 开普勒行星运动定律 . 13 3. 宇宙速度与轨道能量 . 13 六、 振动和波 . 15 1. 简谐运动 . 15 2. 机械波 . 16 例题选讲 . 19 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 知识框架 运动学 相对运动 直线运动 曲线运动 刚体运动 动力学 牛顿运动定律 质心系运动定律 非惯性参考系和惯性力 刚体动力学 静力学 静力平衡 流体静力学 摩擦角 能量、动量和角动量 功能原理 动能定理 动量守恒 角动量守恒 天体运动 万有引力 开普勒行星运动定律 宇宙速度与轨道能量 振动和波 简谐运动 机械波 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 重点难点 运动学中 曲线运动 部分解题方法种类及变化多，需要熟练掌握并灵活使用。动力学中需要熟练掌握并使用 质心系的运动定律 、 非惯性参考系 ；刚体动力学中 转动惯量 及计算转动惯量的定理非常重要，也较有难度。静力学中需要熟练掌握并使用 静力平衡的条件 ，还需要灵活运用 摩擦角 简化摩擦力问题求解。能量、动量和角动量中动量守恒涉及较多 碰撞 问题，需要灵活运用碰撞规律；还需要熟悉 角动量守恒 ，并在天体运动中灵活运用。天体运动 开普勒行星运动定律 是重点，结合角动量守恒定律基本可求解天体运动问题。 振动和波部分重点掌握 简谐运动 的形成 条件 、 位移与速度方程 以及 周期表达式 ，还应了解 机械波 的 干涉 特性。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 知识梳理 一、 运动学 1. 相对运动 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称相对运动，而运动参照系对地的运动称牵连运动。以速度为例这三种速度分别称 绝对速度 、 相对速度 、 牵连速度 ，且有 牵连相对绝对 vvv 。 使用相对运动或相对速度有时可 简化问题 计算。 2. 直线运动 （ 1） 匀速直线运动 vts 常数v 0a （ 2） 匀变速直线运动 1) 匀变速直线运动的一般规律 atvvt 0 20 21 attvs asvvt 2202 2) 自由落体运动 gtvt 221gts 3) 竖直抛体运动 1竖直下抛运动的规律：规定 抛出点为原点 ，竖直 向下为正方向 ，公式为 gtvvt 0 20 21 gttvs 2竖直上抛运动的规律：规定 抛出点为原点 ，竖直 向上为正方向 ，公式为 gtvvt 0 20 21 gttvs 直线运动由于规律简单，常与 运动合成分解 及 相对运动 结合，或考察 变加速 直线运动等。 3. 曲线运动 （ 1） 斜抛运动 分速度公式： cos0vvx gtvv y sin0 ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 分位移公式： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。消去参数 t ，得轨迹方程： 2220 c o s2ta n xvgxy ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 斜上抛运动 的几个 特征量 ：飞行时间gvT sin2 0 射高gvH 2sin220 射程清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 gvs 2sin20 （ 2） 圆周运动 1) 匀速圆周运动 线速度、角速度的公式和关系为： tsv t rv ， s 为弧长， 为圆心角 切向加速度 0ra ，法向加速度 rrvan 22 ， 指向圆心 。 2) 变速圆周运动 加速度 不指向圆心 ，加速度可分解为 向心 和 切向 两个分量，即 rn aaa 22 rn aaa nraatan （ 3） 一般曲线运动 每一光滑平面曲线中任何一个 无限小部分 均可属于某一 圆 ，此圆称为曲线在该部位的 曲率圆 ，其半径称为 曲率半径 ，常记为 ，运动速度 v 及向心加速度 na 与曲率半径 间有关系式： 2n va 4. 刚体运动 刚体上 任意一条直线 在各个时刻位置 彼此平行 称之为刚体的平动。其特点为：刚体上 任意两点的运动轨迹相似 。因此，刚体的平动可用其内任一质点的运动来代表。其公式同质点（组）运动公式。 刚体绕定轴转动特点是刚体上的 各点 都在 与转轴垂直的平面内做圆周运动 ，各点做圆周运动的 半径可以不相等 ，但各点的 转过的角度都相同 。转动涉及的运动学变量为 角位移 、角速度 、 角加速度 ： 20 21 ttrs 0rv ra )(2 0202 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 二、 动力学 1. 牛顿运动定律 牛顿运动定律为 牛顿第一定律 、 牛顿第二定律 和 牛顿第三定律 。 牛顿第一定律：惯性定律，不受力物体保持静止或匀速直线运动状态。 牛顿第二定律：物体的 加速度跟合外力成正比，跟质量成反比 ，即： amF 牛顿第三定律：作用力与反作用力等大反向，在同一条直线上。 三大定律中 第二定律 使用最多，也最为重要。第二定律同样 适用于质点系 。质点系某一时刻各质点 受外力 x 方向分量为 xF1 ， xF2 ， ， kxF ，加速度 x 方向分量为 xa1 ， xa2 ， ，kxa ，则： kxxxx FFFF 21 为质点系 x 方向上所受的 合外力 ，进而有： kxkxxx amamamF 2211 上式为 质点系的牛顿第二定律 。 2. 质心系运动定律 对 n个质点组成的系统， 1m ， 2m ， ， nm 和 1r ， 2r ， ， nr 分别为质量和位置矢量，系统 质心的位置矢量 为： mrmmmmrmrmrmrni iinnnc 1212211 ，其中 ni imm 1。 质心位置矢量在 直角坐标系 三个方向上的 投影分量 为： mxmxni iic 1 ， mymyni iic 1 ， mzmzni iic 1 对质心的牛顿第二定律 为 camF ， F 为 系统所受合外力 ， ca 为 质心加速度 。 质心运动定律说明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此点、外力作用于此点的运动。 以 质心作参照 的参考系为质心系，多质点系统 不受外力 时 质心运动状态不变 ，结合质心定义可确定各质点运动状态。 3. 非惯性参考系和惯性力 牛顿第一定律不成立 的参考系叫非惯性参考系，简称 非惯性系 ，如加速运动的小车、考虑自转时地球等。 非惯性系相对惯性系有加速度，因此相对惯性系没有加速度的物体对非惯性系有加速度，因此在非惯性系看来认为物体受到了一种 方向与非惯性系相对于惯性系的加速度相反 的力，这种力叫惯性力： amF 惯 ， m 为物体质量， a 为非惯性系相对于惯性系的加速度。 惯性力 不是真实存在 的，因此 没有反作用力 。引入惯性力后非惯性系中动力学方程与惯清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 性系 形式相同 。 4. 刚体动力学 对饶定轴转动的刚体，描述其转动运动的运动学量为刚体对转轴的 角位移 、刚体旋转的 角速度 和刚体旋转的 角加速度 ，动力学量为刚体受外力对转轴的 合外力矩 M ，刚体对转轴的 转动惯量 I 。 刚体对轴的转动惯量定义为 12i iirmI。 类比质点牛顿运动定律， 刚体转动运动定律 为 IM 。 计算转动惯量有三个定理，即平行轴定理、垂直轴定理和伸展定则。 平行轴定理 ：刚体对 过质心的轴 的转动惯量为 I ，则刚体对 与该轴平行 且相距为 d 的轴的转动惯量 2mdII 。 垂直轴定理 ：设三维直角坐标系 xy 平面内有一 平板状刚体 ，对 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 xI 和 yI ，则刚体对 z 轴的转动惯量 yxz III 。 伸展定则 ：刚体上任一点 平行的沿一直轴 移动一段距离，刚体 对该轴 的转动惯量不变。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 三、 静力学 1. 静力平衡 （ 1） 弹力 弹力由 形变 引起，为 接触力 。产生必要条件为 相互接触且有形变 。 1) 轻绳、轻杆、轻弹簧 轻绳 受力，只能产生 拉力 ，方向 沿绳子且指向绳子收缩的方向 。 轻杆 受力，有 拉伸 、 压缩 、 弯曲 、 扭转 形变，与之对应，杆的弹力 方向具有多向性 。 轻弹簧 受力，有 压缩 和 拉伸 形变，能产生 拉力 和 压力 ，方向 沿弹簧的轴线方向 。 2) 面与面、点与面接触 面与面、点与面接触时，弹力方向 垂直于面 （若是曲面则 垂直于切面 ）， 指向受力物体 。 对于不能明确是否产生形变的，可采用 假设法 判断物体间是否具有 相对运动趋势 或 相对运动 。它们的大小，可通过 牛顿定律 和 力平衡条件 来确定。 （ 2） 共点力平衡 共点力平衡条件为 合力为零 ，即 0i iF ，分量形式为 0i ixF ， 0i iyF 。物体受三个 不平行 的力作用平衡时，三力必为共点力。 （ 3） 一般性平衡条件 1) 物体受力平衡的一般条件 物体一般的受力平衡条件为 合力为零且合力矩为零 ，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩为零的含义是对 任意转轴（支点） 合力矩为零。 2) 平衡分类 物体的平衡可分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三类。 稳定平衡 ：当物体 稍稍偏离 平衡位置时，有力或力矩使其回到平衡位置。 不稳定平衡 ：当物体 稍稍偏离 平衡位置时，有力或力矩使其偏离继续增大。 随遇平衡 ：当物体偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，能 在新的位置再次平衡 。 平衡类型的判断方法有受力（力矩）分析法、重心升降法和支面判断法。 受力（力矩）分析法 ：偏离平衡位置时，所受外力指向平衡位置，稳定平衡；外力背离平衡位置，不稳定平衡；外力为零，随遇平衡。 重心升降法 ：偏离平衡位置时，重心升高，稳定平衡；重心降低，不稳定平衡；重心高度不变，随遇平衡。 支面判断法 ：有支面物体平衡时 重力作用线过支面 。偏离平衡位置时，重力作用线仍过支面，稳定平 衡；重力作用线不过支面，不稳定平衡。 2. 流体静力学 （ 1） 液体压强与浮力 静止液体的压强与 液体密度和深度成正比 ，即 ghP ， 为液体密度， h为深度。 浸在静止液体中物体受到液体对它 各个方向 总压力的 合力 ，其大小就等于被物体所 排开的液体受的重力 。 gVF ，式中 V 为物体浸没在液体部分的体积， 为液体密度。浮力的方向是 竖直向上 的，浮力的大小 与物体的重量无关 ， 与物体在液体中深度无关 。 （ 2） 液体表面张力 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 液体与其他相物体 交界面 处会产生表面张力， LF ， 为表面张力系数， L为交界面长度。表面张力 垂直于交界面 。 3. 摩擦角 设静摩擦因数为 s ，则摩擦角定义为 s arctan 。 摩擦角 几何意义 ：最大静摩擦力 smf 与支持力 N 的合力 mR 与接触面法线间的夹角。 全反力 ：物体受到的摩擦力 f 与支持力 N 的合力 R 叫 支持面对物体 的全反力。当 R 与法线夹角 时，静摩擦力不超过最大静摩擦力。因此在 的范围内斜向下推物体，无论力多大物体都不会滑动，这就是 “自锁现象 ”。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 四、 能量、动量和角动量 1. 功能原理 系统 机械能的变化量 等于 外力 对系统所做 总功 与系统内 耗散力做功 的代数和。耗散力指的是 非保守力 ，即 做功与路径有关 的力。目前接触到的力除重力、库仑力外其他力均为非保守力。 2. 动能定理 （ 1） 机械能守恒 系统内 只有保守力做功 ，其他非保守内力和外力做功之和为零，系统的机械能守恒。 （ 2） 动能定理 系统 所有外力 与 所有内力 对系统做功的代数和等于系统 总动能的变化量 ，即： 12 kk EEWW 内外 需要注意，考虑质点系时要考虑内力做功。 类比质点运动动能，刚体 转动动能 为 221 IEk ，对转动刚体动能定理仍然成立，即 202 2121 IIW 动能定理常用于计算 变加速运动速度 。 3. 动量守恒 （ 1） 动量守恒 质点系动量定理： 0)( pptF 外 如果 0外F ，则 0pp 。因此，系统 不受外力或者受外力之和为零 ，系统的总动量保持不变，即质点系的总动量是守恒的。 若系统在 某一方向上 不受外力（或外力分量之和为零），则系统在该方向上的动量守恒。 在处理碰撞或爆炸问题时，系统 内力作用远强于外力作用 ，可近似认为无外力作用于系统， 动量守恒仍然成立 。 （ 2） 碰撞 碰撞过程满足动量守恒。碰撞前后物体速度在同一直线为 正碰 ，否则为 斜碰 。碰撞中无机械能损失为 弹性碰撞 ，有机械能损失为 非弹性碰撞 。当碰撞后两物体速度相同时，为 完全非弹性碰撞 。 描述碰撞非弹性程度的量为 恢复系数 ，定义为碰撞后分离速度与碰撞前接近速度的比值，即1212 vv vve 。对弹性碰撞， 1e ，完全非弹性碰撞 0e ，一般非弹性碰撞 10 e 。对斜碰，取 沿碰撞接触面法线方向 的相对速度为接近速度和分离速度即可。 对弹性碰撞，使用 1e 及动量守恒计算碰撞后速度，比使用机械能守恒方便得多。 4. 角动量守恒 角动量定义为动量对转轴（支点）的矩，也称为 动量矩 ，即 sinm v rvmrL 。 角动量是刚体转动中的物理量，类比质点运动动量的定义，质量对应转动惯量，速度对应角速度，有 IL 。 类比动量定理，角动量定理的形式为 )( ItM 。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 对 刚体 ，绕定轴 转动惯量 I 为常数 ，角动量定理为 ItM 。 对 非刚体 ， 转动惯量 I 不为常数 ，角动量定理为 1122 IItM 。 当物体所受 合外力矩为零 时，角动量守恒。合外力矩为零的一种特殊情况是物体受到 有心力场 作用，如行星绕恒星转动。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 五、 天体运动 1. 万有引力 质量为 M 的 球对称分布 球体，半径为 R ，则与另一个质量为 m 的质点 B 间的万有引力为 Rrr mrMGRrrMmGF22)( ，其中 )(rM 表示半径 r 内的部分球的质量。 如果 A 、 B 都是质量球对称分布的球形物体， 相距很远 ，则万有引力为将其质量集中于球心处的 质点 间的万有引力，即2rMmGF 两个相距为 r 的质点 M 、 m ，其间 引力势能 为 rGMmEp 。若 M 为质量均匀半径为R 的球壳，则引力势能RrRG M mRrrG M mEp。 2. 开普勒行星运动定律 开普勒第一定律 ：行星围绕太阳的运动 轨道为椭圆 ，太阳在椭圆的一个 焦点 上。 开普勒第二定律 ：行星与太阳的 连线 在相等的时间内 扫过相等的面积 。 开普勒第三定律 ：各行星椭圆轨道半长轴 a的三次方与轨道运动周期 T 的平方之比值为相同的常量，即 CTa 23 其中，开普勒第二定律与行星运动中角动量守恒等价。 3. 宇宙速度与轨道能量 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物体 绕地球公转 的最小速度，又称 环绕速度 ，即万有引力恰好提供物体公转所需的向心力，得 RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物体 脱离地球引力 的最小速度，又称 脱离速度 。物体恰好脱离地球引力即物体到达无穷远处时速度为零，得 021 2 RMmGmv ，解得skm2.1122 gRRGMv 。 （ 3） 第三宇宙速 度 第三宇宙速度是使物体 脱离太阳系 的最小速度，又称 逃逸速度 。物体脱离太阳系的过程分为两步，第一步脱离地球引力，第二步脱离太阳引力。设脱离地球引力后相对太阳速度为清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 xv ，类似第二宇宙速度的求法，脱离太阳引力需满足 021 2 日地太阳R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太阳RGMv x 。地球绕太阳公转速度为 skm8.29 ，由伽利略速度变化公式，物体相对地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球参考系中由机械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx （ 4） 轨道能量与轨道形状 将行星绕太阳运动的 机械能 记为 E ， E 与三种轨道的对应关系为： 双曲线轨道抛物线轨道椭圆轨道圆00/0EEE 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 六、 振动和波 1. 简谐运动 （ 1） 简谐运动的定义 定义： F kx 谐振子的加速度： kxa m （ 2） 简谐运动的方程 回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在 x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅 A 。 依据： 22c o sxF m A m x 对于一个给定的匀速圆周运动， m 、 是恒定不变的，可以令： 2mk 这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式 。所以， x 方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从下图不难得出： 位移方程： cos( )x A t 速度方程： sin( )v A t 加速度方程： 2 co s( )a A t 相关名词： t 称相位， 称初相。 运动学参量的相互关系： 2ax 2200 ()vAx 00tanvx （ 3） 简谐运动的合成 1) 同方向、同频率振动合成 两个振动 1 1 1cos( )x A t和 2 2 2cos( )x A t 合成，可令合振动 cos( )x A wt ，由于 12x x x，解得 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 16 页 221 2 1 2 2 12 c o s ( )A A A A A ， 1 1 2 21 1 2 2s i n s i nc o s c o sAAa r c t g 显然，当 212k 时（ 0, 1, 2,k ），合振幅 A 最大，当 21 (2 1)k 时（ 0, 1, 2,k ），合振幅最小。 2) 方向垂直、同频率振动合成 当质点同时参与两个垂直的振动 11cos( )x A t和 22cos( )y A t时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数 t 后，得一般形式的轨迹方程为 22 22 1 2 11 2 1 22 c o s ( ) s in ( )x y x yA A A A 显然，当 212k 时（ 0, 1, 2,k ），有 21AyxA ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当 21 (2 1)k 时（ 0, 1, 2,k ），有 22121xyAA，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当 21 取其它值，轨迹将更为复杂，称 “李萨如图形 ”，不是简谐运动。 3) 同方向、同振幅、频率相近的振动合成 令 11cos( )x A t和 22cos( )x A t，由于合运动 12x x x， 得： 2 1 2 1( 2 c o s ) c o s ( )22x A t t 。合运动是振动，但不是简谐运动，称为角频率为 122 的 “拍 ”现象。 （ 4） 简谐运动的周期 由 式得： km ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以 2 mT k （ 5） 简谐运动的能量 一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即 2 2 21 1 12 2 2E m v k x k A 注意：振子的势能是由（回复力系数） k 和（相对平衡位置位移） x 决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。 2. 机械波 （ 1） 波的产生和传播 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 17 页 产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） （ 2） 机械波的描述 1) 波动图象和振动图象的联系 2) 波动方程 如果一列简谐波沿 x 方向传播，振源的振动方程为 cos( )y A t，波的传播速度为v ，那么在离振源 x 处一个振动质点的振动方程便是 c o s ( 2 ) c o s ( ) xxy A t A t v 这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻 t ，都有一个 ()yx的正弦函数，在xy 坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称 c o s ( ) xy A t v 为波动方程。 （ 3） 波的干涉 1) 波的叠加 几列波在同一介质中传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。 2) 波的干涉 两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如 下图 所示，我们用 1S 和 2S 表示两个波源， p 表示空间任意一点。 当振源的振动方向相同时，令振源 1S 的振动方程为 11cosy A t ，振源 2S 的振动方程为 22cosy A t ，则在空间 p 点（距 1S 为 1r ，距 2S 为 2r ），两振源引起的分振动分别是： 111co s ( )ry A t v 222co s ( )ry A t v P 点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（ 11 rv ， 22 rv），且初相差21()rrv 。根据前面已经做过的讨论，有 21r r k 时（ 0, 1, 2,k ），P 点振动加强，振幅为 12AA ；21 (2 1) 2r r k 时（ 0, 1, 2,k ）， P 点振动削弱，清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 18 页 振幅为 12AA 。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 19 页 例题选讲 例 1. 一只兔子沿直线以恒定速度sm5u 奔跑。某时一只狐狸发现了这只兔子，便以恒定的速度 sm4v 开始追它。狐狸奔跑时速度方向始终对准兔子。开始时两者距离减小。后又不断增大。已知最近距离为 m30L ，求两者距离最近时，狐狸的加速度。 解： 当狐狸与兔子相距最近时，以兔子为参考系的狐狸相对速度 v 方向与二者连线垂直，由相对运动原理，有 uvv ，矢量关系如图所示。 当兔子经时间 t 从 AA 时，狐狸从 BB ，有 tuAA ，而 tvBB c o sc o sB B v vu l l u lAA 狐狸轨迹该处（与兔子最近距离）的曲率半径 lvv ，而 22 vuv ，所以狐狸此时的加速度 2222 sm4.0l vuvlvvva 。 简析： 本题使用 “微元思想 ”结合曲线运动中 “曲率半径 ”概念，取最近距离附近的微小运动进行分析，解决了难以整体计算运动过程的问题。此类解题思路及方法值得学习和借鉴。 例 2. 一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬出速度 v 的大小与距蚂蚁洞中心的距离L 成反比，当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 m11L 的 A 点时，速度大小为 scm201 v ，问当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 m22L 的 B 点时，其速度大小为 2v 是多少？蚂蚁从 A点到达 B 点所用的时间 t 是多少？ 解： 由已知可得蚂蚁在距离洞中心上 L 处的速度 v 为 Lkv 1 ，代入已知得： sm2.0sm12.0 22 vLk ，所以当 m22L 时，其速度 sm1.02 v 。 由速度的定义得：蚂蚁从 L 到 LL 所需时间 t 为 LLkvLt 1 （ 1） 类比初速度为零的匀加速直线运动的两个基本公式 atv tvs 在 t 到 tt 时刻所经位移 s 为 ttas （ 2） 比较（ 1）、（ 2）两式可以看出两式的表述形式相同。 据此可得蚂蚁问题中的参量 t 和 L 分别类比为初速度为零的匀加速直线运动中的 s 和 t ，清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 20 页 而 k1 相当于加速度 a。 于是，类比 221ats 可得：在此蚂蚁问题中 2121 Lkt 令 1t 对应 1L ， 2t 对应 2L ，则所求时间为2222112121LktLkt 代入已知可得从 A 到 B 所用时间为： s75)(21 212212 LLkttt 。 简析： 本题实质上是一道微积分的计算题，如果掌握一定的微积分知识，本题求解会十分容易。在物理竞赛中有许多题目使用微积分方法进行计算能起到另辟蹊径的作用。 例 3. 质量为 M 的运动员手持一质量为 m 的物块，以速率 v0沿与水平面成 角的方向向前跳跃 (如图所示 )为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出物块抛出时相对运动员的速度的大小 u 是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动 (1) 若运动员在跳远的全过程中的某时刻 t0把物块沿与 x 轴负方向成某 角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间。 (2) 在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与 x轴负方向成 角的方向抛出，能使自己跳得更远？若 v0和 u 一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离。 解： （ 1）规定运动员起跳的时刻为 0t ，设运动员在 P 点（见下图）抛出物块，以 0t 表示运动员到达 P 点的时刻，则运动员在 P 点的坐标 Px 、 Py 和抛物前的速度 v 的分量 pxv 、pyv 分别为 0 cospxvv （ 1） 00sinpyv v gt （ 2） 00cospx v t （ 3） 20 0 01sin 2py v t g t （ 4） 设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度 V 的分量大小分别为 pxV 、 pyV ，物块相对运动员的速度 u的分量大小分别为 xu 、 yu ，方向分别沿 x 、负 y 方向。由动量守恒定律可知 ( ) ( )p x p x x p xM V m V u M m v （ 5） 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 21 页 ( ) ( )p y p y y p yM V m V u M m v （ 6） 因 u的方向与 x 轴负方向的夹角为 ，故有 cosxuu （ 7） sinyuu （ 8） 解式（ 1）、（ 2）、（ 5）、（ 6）和式（ 7）、（ 8），得 0 c osc ospx muVv Mm （ 9） 00 sinsinpy muV v gt Mm （ 10） 抛出物块后，运动员从 P 点开始沿新的抛物线运动，其初速度为 pxV 、 pyV 。在 t 时刻（ 0tt ）运动员的速度和位置为 x pxVV （ 11） 0()y pyV V g t t （ 12） 0 0 0( ) ( c os )xxp px m u m ux x V t t v t tM m M m （ 13） 2001( ) ( )2p pyy y V t t g t t （ 14） 由式（ 3）、（ 4）、（ 9）、（ 10）、（ 13）、（ 14）可得 00c o s c o sc o s m u m ux v t tM m M m （ 15） 2s in 2 s in2 s in m u m uy v t g t tM m M m （ 16） 运动员落地时， 0y 由式（ 16）得 200s in 2 s in2 s in 0m u m ug t v t tM m M m （ 17） 方程的根为 20 0 0s i n s i n s i ns i n ( s i n ) 2m u m u m uv v g tM m M m M mt g （ 18） 式（ 18）给出的两个根中，只有当 “”取 “ ”时才符合题意，因为从式（ 12）和式（ 10），可求出运动员从 P 点到最高点的时间为式 0si nsi n muvMmg 而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为 20 0 0s i n s i n s i ns i n ( s i n ) 2m u m u m uv v g tM m M m M mt g （ 19） （ 2）由式（ 15）可以看出， t 越大， 0t 越小，跳的距离 x 越大，由式（ 19）可以看出，当 0t 0 时， t 的值最大，由式（ 3）和式（ 4）可知，抛出物块处的坐标为 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 22 页 0px ， 0py （ 20） 即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。由式（ 19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为 0 s in s in22v muT g M m g 把 0 0t 和 tT 代入式（ 15），可求得跳远的距离，为 2 22002sin 2 2 sin ( ) sin 2( ) ( )v m v u mux g M m g M m g （ 21） 可见，若 s in 2 1 , s in ( ) 1 , s in 2 1 ， 即 /4 ， /4 （ 22） 时， x 有最大值，即沿与 x 轴成 45方向跳起，且跳起后立即沿与负 x 轴成 45方向抛出物块，则 x 有最大值，此最大值为 2 220022( ) ( )m v m v u mux g M m g M m g （ 23） 简析： 本题是运动与动量的综合性题目，虽然求解思路清晰但计算量大，需要一定的计算能力，这也是有些竞赛题目的考查目的，在竞赛中要引起重视。 例 4 如图所示的系统中滑轮与细绳的质量可忽略不计，细绳不可伸长，且与滑轮间无摩擦，三个物体的质量分别为 m1、m2、 m3,它们的加速度方向按图示设定。试求这三个加速度量 a1、a2和 a3。 解： 系统中各段绳子的张力如图 三个物体的动力学方程为 : 1 1 1m g T m a （ 1） 2 2 22T m g T m a （ 2） 3 3 32T m g m a （ 3） 确定三物体的加速度的关联关系： （ 1） 先假定 2m 不动，当 1m 下降 1h 时， 3m 将上升 12h （ 2） 再假定 1m 不动，当 2m 下降 2h 时， 3m 将上升 22h 综合以上两种情况，则实际上 1m 下降 1h ， 2m 下降 2h 时， 3m 将上升 123 22hhh 于是得到 123 22aaa （ 4） 解方程组得： 1 2 1 3 2 311 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 23 页 1 2 1 3 2 321 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 331 2 1 3 2 344 m m m m m magm m m m m m 简析： 本题主要难点在确定复杂滑轮系统的位移关系，定滑轮两端物体位移直接对应，动滑轮移动距离等于绳子伸缩距离的一半。把握好这一关系则本题可轻易求解。 例 5 一简谐运动的系统如图所示，不计一切摩擦，绳不可伸长，m1、 m2及弹簧的劲度系数 k 已知。求 m2上下振动的周期。 解： 设某一时刻弹簧伸长 x ，绳上张力是 FT。 分析 m1： 11Tkx m g F m a 分析 m2：222 2T aF m g m 消去 FT： 21 2 12 2 ( 2 )2mk x m g m g a m ， 假设振子平衡时弹簧伸长 0x ，此时 m1、 m2的加速度为零，则有 0 2 122k x m g m g 设 m1偏离平衡位置的位移为 x ，则 0x x x 20 1 2 12 ( ) 2 ( 2 )2mk x x m g m g a m 将 210 22m g m gx k代入 式，可得 212 (2 )2mk x a m 21()4mF k x a m 所以这个振子系统的等效质量是 21 4mm，周期为 12424mmT k 简析： 本题是一个弹簧振子的变式模型，解题时要根据受力分析由牛顿运动定律得出振动的动力学特征，然后由周期公式就可求出其振动周期。 例 6. 嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高 22 .0 5 1 0nH k m ，远地点离地面高45.09 30 10fH km，周期约为 16 小时，称为 16 小时轨道（如图中曲线 1 所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线 2 所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入 24 小时轨道、 48 小时轨道和地月转移轨道（分别清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 24 页 如图中曲线 3、 4、 5 所示）。已知卫星质量 32.350 10m kg，地球半径 36.378 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半径 31.738 10r km。 1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 Hm约为 200km，周期 Tm=127 分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 解： 1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离） nr 与 fr 的算术平均值，即有 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入数据得 43.1946 10a km (2) 椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有nfb rr (3) 代入数据得 41.942 10 kmb (4) 椭圆的偏心率 a bae 22 (5) 代入数据即得 0.7941e (6) 2. 当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 nv 和 fv 分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球质量， G 是万有引力常量 . 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据 角动量守恒 ，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10) nnfnf f f n2rr g Rr r r r vv (11) 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 25 页 当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有 nnr R H ffr R H 由 (11)式并代入有关数据得 f 1.198 /km sv (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点 .所 以新轨道远地点高度 4ff 5 .0 9 3 0 1 0H H k m ，但新轨道近地点高度 2n 6.00 10H km .由 (11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f 1.230 /km s v (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量，设发动机点火时间为 t，有 ffm F t vv (14) 由 (12)、 (13)、 (14)式并代入有关数据得 21.5 10 st (15) 这比运行周期小得多 . 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以 r 表示它所在处矢径的大小， v 表示其速度的大小， 表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 sin 2L rm mv (16) 其中 1 sin2 r v （ 17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度 .由于角动量是守恒的，故 是恒量 .利用远地点处的角动量，得ff12r v (18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 S ab (19) 所以卫星沿轨道运动的周期 ST (20) 由 (18)、 (19)、 (20) 式得ff2abT r v (21) 代入有关数据得 45.678 10Ts(约 15 小时 46 分 ) (22) 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 2m m2mm2()G M m mrrT (23) 这里 mmr r H 是卫星绕月轨道半径， mM 是月球质量 . 由 (23)式和 (9)式，可得 23mm 22m4 rMMgR T (24) 代入有关数据得 m 0.0124MM (25) 简析： 本题是一道综合的天体运动题目。虽然题目很长，但在天体运动中不外乎角动量守恒和能量守恒，在涉及反冲时还存在动量守恒和动量定理。以上物理定律和椭圆的几何特点是求解天体运动的法宝。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 26 页 例 7. 如图半径为 R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球 A、 B 质量分别为 m、 m（ 为待定系数）。 A 球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的 B 球相撞，碰撞后 A、 B 球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为 g。试求： （ 1）待定系数 ； （ 2）第一次碰撞刚结束时小球 A、 B 各自的速度和 B 球对轨道的压力； （ 3）小球 A、 B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球 A、 B 在轨道最低处第 n 次碰撞刚结束时各自的速度。 解 ： （ 1）由于碰撞后球沿圆弧的运动情况与质量无关，因此， A、 B 两球应同时达到最大高度处，对 A、 B 两球组成的系统，由机械能守恒定律得 44m g R m g Rm g R ，解得 3 （ 2）设 A、 B 第一次碰撞后的速度分别为 v1、 v2，取方向水平向右为正，对 A、 B 两球组成的系统，有 22121122m g R m v m v 122m gR mv mv 解得1 12v gR，方向水平向左；2 12v gR，方向水平向右。 设第一次碰撞刚结束时轨道对 B 球的支持力为 N，方向竖直向上为正，则 22vN mg mR， B 球对轨道的压力 4.5N N mg ，方向竖直向下。 （ 3）设 A、 B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V1、 V2，取方向水平向右为正，则 1 2 1 2m v m v m V m V 22121122m g R m V m V 解得 V1 gR2 ， V2 0 （另一组解 V1 v1， V2 v2不合题意，舍去） 由此可得：当 n 为奇数时，小球 A、 B 在第 n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 当 n 为偶数时，小球 A、 B 在第 n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同。 简析： 本题是能量和动量守恒与圆周运动的结合。把握能量守恒和动量守恒即可求解本题。在确定 n 次碰撞时需用到数学中的归纳法。 14R清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 27 页 z w z w 例 8. 如图所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质量为 2m 的小球 B A 用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为 l 现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴 Ox，原点 O 与此时 A 球的位置重合如图试求任意时刻两球的坐标 解 ： 对于由小球 A、 B 和弹簧构成的系统，当 A、 B 之间的距离为 l 时，已知 mA = m， mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心 C 离 A 的距离 llC 32 （ 1） 故 A、 B 到质心 C 的距离分别为 llll BA 3132 （ 2） 若以质心 C 为参考系（质心系），则质心 C 是固定不动的，连接 A、 B 的弹簧可以分成两个弹簧 CA 和 CB设弹簧 CA 的自然长度为 lA0，劲度系数为 kA，一端与小球 A 相连，另一端固定在 C 点；弹簧 CB 的的自然长度为 lB0，劲度系数为 kB，一端与小球 B 相连，另一端亦固定在 C 点若连接 A、 B 的自然长度为 l0，根据题意有 mgllk 20 （ 3） 由（ 2）式可知弹簧 CA 和 CB 的自然长度分别为 0000 3132 llll BA （ 4） 当 A 被悬挂，系统处于静止时，已知连接 A、 B 的弹簧长度为 l，由（ 2）式可知，此时弹簧 CA 和 CB 的长度分别为 llll BA 3132 （ 5） 弹簧 CA、 CB 作用于 A、 B 的弹簧力分别为 00 32 llkllkf AAAAA 00 31 llkllkf BBBBB 但 fA 、 fB就是连接 A、 B 的弹簧因拉伸而产生的弹力 f，即有 0llkfff BA （ 5） 由此得 kkkkBA 323 （ 6） 相对地面，质心 C 是运动的，在 t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻， A 位于 Ox 轴的原点O 处，即 00Ax ； B 的坐标 lxB 0 由（ 1）式，可知此时质心 C 的坐标为 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 28 页 lxC 320 （ 7） 在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力 gmm 2 故质心以 g 为加速度做匀加速直线运动，任意时刻 t，质心的坐标 22 213221)0()( gtlgtxtx CC （ 8） 由于质心作加速运动，质心系是非惯性系在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用若在质心系中取一坐标轴 xO ，原点 O 与质心 C 固连，取竖直向下为 xO 轴的正方向，当小球 B 在这参考系中的坐标为 Bx时，弹簧 CB 作用于 B 的弹性力 0BBBB lxkf 当 0BB lx 时，方向竖直向上此外， B 还受到重力 mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上作用于 B 的合力 mgmglxkF BBBB 0 由（ 3）、（ 4）式得 kmglxkF BBB 231 （ 9） 令 kmglxX BB 231 （ 10），有 BBB XkF （ 11） 当 XB = 0，作用于 B 的合力 FB = 0， B 处于平衡状态，由（ 10）式，可知在质心系中，B 的平衡位置的坐标 kmglx B 2310 （ 12） XB为 B 离开其平衡位置的位移，（ 11）式表明，作用于 B 的合力具有弹性力的性质，故在 FB作用下， B 将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率 mkmk BBB 23 （ 13） 离开平衡位置的位移 BBBB tAX c o s （ 14） AB为振幅， B 为初相位在 t =