（应用数学专业论文）一类具有扰动的中立型系统的稳定性研究.pdf

摘要 摘要 中立型时滞系统是一种特殊的时滞系统，它能更深刻、更精确地反映事物变 化的规律，揭示事物的本质，因此关于中立型时滞系统的稳定性研究十分必要， 并已得到了国内外诸多学者的重视。 本文利用l y a p u n o v 稳定性理论，建立在状态空间模型的基础上，研究了中立 型时滞系统的渐近稳定性问题。文中主要讨论了具有非线性不确定时滞中立型时 滞系统的渐近稳定性问题、非线性不确定时滞中立型时滞系统的指数稳定性问题 和一类切换中立系统的渐近稳定性问题，并对已有的研究成果给予了完善和改进。 具体包括以下三个方面： 1 研究了非线性不确定中立型时滞系统的渐近稳定性问题。利用不等式放 缩技术和构造适当的l y a p u n o v 泛函，得到了此类扰动的中立型系统渐近稳定的充 分条件。举例证明了我们所得结果的有效性。 2 研究了非线性不确定时滞中立型时滞系统的指数稳定性问题。构造适当 的l y a p u n o v 泛函和使用等价系统的方法，并利用通过s 过程处理系数矩阵的不 确定项，得到了系统指数稳定的充分条件，并以线性矩阵不等式( l m i ) 的形式给出。 3 研究了一类切换中立系统的渐近稳定性问题。借助于线性矩阵不等式理 论，通过引入一类特殊的l y a p u n o v - k r a s o v k s l i 函数，讨论了一类切换中立系统的 稳定性问题，得到了系统渐近稳定的充分条件。 关键词：中立型系统，切换系统，渐近稳定性，指数稳定性，线性矩阵不等式 a b s t r a c t a b s t r a c t t h en e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a yi sas p e c i a ls y s t e m 、i mt i m e - d e l a y , w h i c h c a l lr e f l e c td e e p e ra n dm o r ee x a c t l yt h er u l eo ft h ec h a n g eo ft h i n g sa n dr e v e a lt h e n a t u r eo ft h i n g s s ot h er e s e a r c ho ft h es t a b i l i t yf o rn e u t r a ls y s t e m si sn e c e s s a r ya n d h a sb e e np a i dm u c ha t t e n t i o n i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fs t a b i l i t yf o rn e u t r a ls y s t e m si ss t u d i e db yu s i n g l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n db a s e do nt h em o d e lo fs t a t e ss p a c e 1 1 1 em a i np u r p o s ei s t od i s c u s st h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hm i x e d d e l a y sa n d n o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e s ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t h m i x e dd e l a y sa n dn o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e sa n dt h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rac l a s so f s w i t c h e dn e u t r a ls y s t e m s s o m er e s u l t so b t a i n e da r ei m p r o v e da n dp e r f e c t e d t h i s p a p e rm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 t h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hm i x e dd e l a y sa n d n o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e sa r e i n v e s t i g a t e d b yd e a l i n g w i t lt h el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) a c c o r d i n gt ot h et e c h n i q u eo fa n a l y z i n gi n e q u a l i t ya n dc o n s t r u c t i n g a p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，t h ep r o b l e mo fa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rac l a s so f n e u t r a ls y s t e m sa r eo b t a i n e d n u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e nt o i l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d 2 t h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a l l ys t a b i l i t yf o ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hm i x e d d e l a ) ，sa n dn o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e sa lei n v e s t i g a t e d b a s e do nu s i n gt h es - p r o c e d u r e ， c o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a la n da p p l y i n gt h ed e s c r i p t o rs y s t e ma p p r o a c h ，n e w e x p o n e n t i a l l ys t a b i l i t yc r i t e r i aa r eo b t a i n e da n df o r m u l a t e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) w h i c hc a nb ee a s yt oc h e c kt h ee x p o n e n t i a l l ys t a b i l i t yo ft h e c o n s i d e r e ds y s t e m s 3 n l ep r o b l e mo fa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rac l a s so fs w i t c h e dn e u t r a ls y s t e m s a r ei n v e s t i g a t e di n t h i sp a p e r b yu s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) a n dt a k i n ga k i n do fp e c u l i a r l y a p u n o vf u n c t i o n i n t o a c c o u n t ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yf o rt h eg i v e ns y s t e m sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：n e u t r a ls y s t e m s ，s w i t c h e ds y s t e m s ，a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , e x p o n e n t i a l l y s t a b i l i 坝l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：i j 良名乙一日期：纱7 年厂月，垆日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部i 、丁或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：j 二猛益 导师签名：盘童兰墨 日期： 硼年y 月，笋日 第一章绪论 1 1 选题背景和研究意义 第一章绪论 经过1 0 0 多年的发展，控制理论已由“经典控制理论”发展到了“现代控制理 论”，经典控制理论主要是以轨迹法和频域方法研究系统运动的稳定性和运动特 性；现代控制理论主要是以状态空间法为主要的研究方法，研究的范围也进一步 扩大，已从线性系统发展到非线性系统、从时不变系统发展到时变系统、从单变 量系统发展到多变量系统以及从不含时滞发展到含有时滞。 数学的一个重要分支微分方程是控制理论和偏微分方程的基础，从1 7 世纪末 微分议程的理论和方法开始发展起来，很快作为自然现象研究强有力的工具。随 着科学技术的日新月异，微分方程在许多科学领域( 物理学、力学、自动控制学 等) 的研究中不断精确的描述客观事物，所以微分差分方程和微分积分方程迅速 发展起来，此时带时滞的微方程也得到了快速的发展。现实生活中很多系统都含 有时滞，时滞现象广泛存在于自然界和工业系统中，像长管道进料或者皮带传输 过程，任何闭环控制系统中都存在时滞的现象。时滞系统的运动规律不仅与系统 当前的运动状态有关，同时还与系统历史的运动状态有关，如人口动力学中人口 控制系统的人空增长率不但与过去的人口数量有关，而且还与过去人口的发展速 度有关，在数学上描述这样的系统一般采用时滞微分方程。时滞微分方程由于时 滞在系统的类型不尽相同，有的是滞后的而且还是时变的，有时状态滞后还是多 重的，使得系统无论在理论分析上还是在工程的实际应用中都会给系统控制造成 特殊的困难，使时滞系统的响应性能比无时滞系统的响应性能要差，因此，时滞 系统的分析和综合理论历来是控制理论研究的热点和难点之一。 鉴于时滞在系统中的普遍存在性，还是导致系统不稳定的重要因素，加之许 多时滞系统是慢时变系统，单纯利用补偿的办法并不能保证系统的稳定性，因此 研究时滞有很重要的理论意义和应用前景，特别是研究中立型时滞系统具有重要 的理论价值和实际意义：一方面，中立型时滞系统更为广泛的滞后系统，大多数 时滞系统都可以看作中立型系统的特殊情况；另一方面，许多时滞系统都可以转 化为中立型系统来研究，如无损传输线模型、标准分布时滞系统等。中立型时滞 电子科技大学硕士学位论文 系统广泛应用于实际控制问题中，例如般的稳定性、微波振子等领域，但不确定 性也会出现在上述控制系统中。实际系统中存在大量的不确定性，如我们对系统 建模与处理时，为了使问题简化，一些次要的问题常常被忽略，会使所建模的系 统与实际系统间有一定的偏差；对高阶系统降价的处理；非线性系统线性化；各 种信号测量噪声的忽略；干扰信号以及系统工作环境的变化等，使得系统本身的 特性会随着这些不确定性因素的存在发生变化，从而会导致整个系统丧失许多性 质。再加之中立项的存在，这使得对中立型时滞系统的研究比通常所研究的时滞 系统更加困难，但是中立型系统不仅能更深刻、更精确地反映事物变化的规律而 且还揭示本质，所以要对不确定性中立型时滞系统的稳定性进行深入研究。 严格地说，实际系统都是非线性的，非线性系统向人们提出了一个重要而困 难的问题；这些非线性系统可能无解，也可能有一个解或很多个解，解有何种结 构和分布，如何有效地计算这些解，在有解的情况下，所求得的解是不是稳定的 解? 非线性系统是控制领域的一个热点问题也是一个难点问题，建模的系统不能 准确无误的反应实际系统的变化特性，处理非线性都是在一定的条件下将其线性 化，这样就可以借助研究已经成熟的线性系统的理论对原系统迸行研究，时滞不 但存在于状态变量中，而且也存在于状态变量的变化革中，判断系统的稳定性就 更加困难，所以国内外学者对非线性不确定中立型时滞系统进行了大量的研究， 本文关于的非线性不确定中立型时滞系统稳定性的研究就是借助于将非线性线性 化的处理思想进行研究。线性定常系统的稳定性研究在经典控制理论中采用代数 判据、奈奎斯特判据、根轨迹判据来判断，但该方法不适用于非线性系统、时变 系统。对非线性不确定中立型时滞系统主要是基于线性矩阵不等式( l m i ) 方法和 l y a p u n o v 函数法，求得稳定性的条件。l y a p u n o v 函数法是1 8 9 2 年俄国学者 l y a p u n o v 提出的方法能有效地解决用其它方法不能解决的问题，它不仅适用于单 变量系统、线性系统、定常系统；还适用于多变量系统、非线性系统、时变系统。 切换系统( s w t i c h e ds y s e t m s ) 是十分重要的混合系统，近十年来在机械系统 的控制、电力系统、飞行器控制等领域中得以广泛的应用，是由一组连续( 或离 散) 时间子系统和一条决定子系统之间的切换规则所组成典型的系统，这条规则 也称为切换律、切换信号或切换函数，它在整个切换系统以及切换系统的稳定性 中起到很重要的作用。随着科学技术的迅猛发展和自动控制技术的完善而广泛应 用，例如机器人控制、生产过程自动化等，这些系统的规模越来越大并所包含的 现象也越来越复杂，系统中含有大量的不确定的时滞，并且系统与系统之间出现 了相互切换的特征。 2 第一章绪论 通常来讲，多个中立型时滞系统组成复杂的切换系统，这些中立型子系统按 照某个切换律相互作用，共同决定整个系统的动态行为，此时切换和中立型时滞 同时存在，我们称此系统为切换中立型时滞系统。从这个角度讲，自动控制中控 制器之间的相互切换，就可以用切换中立型时滞系统来建模。中立项、时滞、切 换共同存在于同一个大的系统中，在什么条件下，可以把无时滞切换系统的稳定 性分析及结论推广至切换中立型时滞系统中? 这激起研究者们对这些系统的兴 趣。 1 2 研究现状 中立型系统是一种特殊的微分方程，分为两种类型：非算子型中立型系统和 算子型中立型系统。算子型中立型系统可以在一定的条件下对非算子中立型系统 进行适当的变形就可转换得到，所以研究中立型系统的稳定性就可以转化为研究 其相应的算子型中立型系统的稳定性，如果算子是稳定的，那么原系统也是稳定 的，反之亦然。 稳定性理论具有重要的意义，从一个简单的系统到一个复杂的系统中，从一 个具体的系统到一个的抽象系统中，如果受到外来作用的影响时，系统还能不能 保持正常的运行，维持平衡的状态，具有至关重要意义。控制理论中一个重要的 基础问题稳定性分析，稳定性分析的目的是寻找系统稳定的条件，使其作为 稳定控制器设计的基础。线性矩阵不等式( l m i ) 方法和l y a p u n o v 函数法广泛应用 于稳定性问题的研究中，通过求导计算得到以线性矩阵不等式形式的稳定性准则， 并用m a t l a b 中提供的l m i 工具箱可以方便地对线性矩阵不等式求得最优解， 从而降低所得结果的保守性。l y a p u n o v 函数法包含两种方法：第一方法，即间接 法，依赖线性系统微分方程的解来判断稳定性；第二方法，即直接法，利用经验 和技巧来构造l y a p u n o v 函数用来判断稳定性。l y a p u n o v 函数法用以证明稳定性 所构造的满足稳定性定理的函数，每一个系统都需构造自己l y a p u n o v 函数法，才 能稳定其稳定性。利用l y a p u n o v 理论研究了不确定中立型时滞系统，特别是对非 线性不确定中立型时滞系统的稳定性问题的研究不仅是控制理论本身发展的需 要，而且也是实际应用的需要，更具有重要的理论意义。 研究者们在线性矩阵不等式法和l y a p u n o v 泛函方法还没有得到广泛应用以 前，对中立型系统稳定性的研究主要是从频域和时域两个方法进行了大量的工作， 电子科技大学硕士学位论文 频域是描述信号在频率方面的特性，时域是描述信号随时间变化规律的特性，对 系统进行研究时发展，在频域中进行处理时变时滞系统往往比较繁琐如文献 1 ，2 3 ， 但在时域中研究就比较简单。但随着l y a p u n o v 泛函方法和线性矩阵不等式法进一 步发展，再加上特征方程法，状态方法s c h u r 补原理广泛应用于中立型系统稳定 性的研究时，研究者们用这些方法得到一系列中立型系统稳定性准则【l 3 2 1 。 中立型离散系统各个物理量随时间的变化不能用连续的时间来描述，可以通 过拉普拉斯变换对原系统进等价变行，目的为了获得良好的性能和便于稳定性分 析，如文献 1 6 】作者首先对系统做等价变换研究了中立型时滞系统的稳定性，文 献 3 6 3 并对该中立型系统做等价变换，利用李雅普诺夫第二方法，采用将“添零与 加零”，计算得到了判定稳定性的r i c a t t i 方程，与文献 8 】中的定理相比较，进一 步降低了所得结果的保守性。其q b 1 5 】中，作者不对原系统做等价变换，采用线 性矩阵不等式法和l y a p u n o v 泛函方法，直接构造l y a p u n o v 泛函，通过求导计算 得到所讨论系统的稳定性判定准则。采用l y a p u n o v 泛函方法，直接构造l y a p u n o v 泛函，通过求导计算得到所讨论系统的稳定性判定准则。l y a p u n o v 泛函方法研究 中立型系统稳定性的一种方法，有关中立型系统稳定性的方法很多，但毕竟离散 系统和连续系统有不同的性质，所以有些方法不能直接应用的离散系统中，有时 需要对所讨论的问题进行相应的处理，如文献 1 8 3r 9 韩青龙研究了一类离散系统 的稳定性，通过对离散时滞项的不确定系数矩阵的拆分，与文献1 1 5 ，1 6 3 q 所提到 系数的时滞相比较，他提高系统时滞的上限。文献【8 ，3 5 ，3 7 ，3 8 分别对多时滞中立 型系统进行研究，文献 8 】利用构造l y a p u n o v 函数并结合文献m o o n 3 9 中的不等 式得到了用线性矩阵不等式来判断与时滞相关的中立型系统渐近稳定。文献 3 3 ，3 4 用的方法不同研究了混合中立型时滞系统，分别得到了也不同的系统稳定 的判定准则，在文献 3 3 3 中，作者采用将“添零与加零”和牛顿莱布尼兹公式巧妙 的结合，而在文献 3 4 】中，韩青龙直接构造l y a p u n o v 泛函，对所构造的l y a p u n o v 泛函进行导数放缩，不采用将“添零与加零”和牛顿莱布尼兹公式巧妙的结合，但 求导后利用s c h u r 补原理，得到了用线性矩阵不等式来表示系统稳定性的判定准 则，通过实验仿真的结果知道，在处理同一问题时，文献1 3 3 1 q 了方法要比文献 3 4 】 中的方法优越，并且通过文献 3 3 中方法得到的时滞上限是在同类时滞系统中时 滞上限的最大结果；文献 5 2 1 通过建立高维非线性无界时滞微分不等式，给出了 无界时滞系统渐近稳定的充分条件；文献 5 3 i 1 匾过微分不等式，得到了中立型泛 函数分方程包括无界时滞系统全局稳定以及渐近稳定的若干判定准则；文献 5 4 】 利用区间对称矩阵和区间矩阵的稳定判据给出了时变线性系统和具有时滞线性系 4 第一章绪论 统渐近稳定的充分条件；文献 5 5 根据对系统分解和集结的思想，利用分块迭代 法，研究了具有无穷时滞非线性中立型系统的稳定性。 中立型时滞系统的渐近稳定性的研究主要是运用l y a p u n o v 方法、线性矩阵 不等式、特征方程法和状态方法。研究不同的中立型系统稳定性，首先，对原系 统在一定条件下进行变价变形，处理非线性扰动项线性化；其次，构造l y a p u n o v 泛函，由于构造l y a p u n o v 泛函具有很大的难度，到目前为止没有通用而有效的方 法，人们只是针对具体的问题，一般采用根据研究者的经验和借鉴前人研究的方 式进行构造。构造不同的l y a p u n o v 函数也就得到不同的稳定性条件，对其导数进 行处理的过程中，大多数文献采用不等式放缩或牛顿菜布尼兹公式和“添零与加 零”的结合。 1 3 本文的主要内容 中立型系统是描述近代科学技术中许多事物发展变化规律的数学模型，对其 研究具有重要的理论意认和应用价值。由于非线性不确定时滞中立型系统是一类 非常重要的控制系统，在实际应用中对系统的分析和设计都十分重要，因此，对 非线性不确定时滞中立型系统的稳定性进行研究十分必要。 本文共五章，采用线性矩阵不等式法和l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函方法系统地 研究了非线性不确定时滞中立型系统的渐近稳定性、非线性不确定时滞中立型系 统的指数稳定性以及一类切换中立型系统的渐近稳定性。主要内容如下： 第一章概述了选题背景和研究意义、中立型系统研究现状和本文主要工作。 第二章详细的介绍了本文研究所需要基本的定义、定理、引理和研究方法。 第三章详细的讨论了非线性不确定时滞中立型系统的渐近稳定和非线性不 确定时滞中立型系统的指数稳定问题，采用l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函数方法、线 性矩阵不等式和s c h u r 补原理，从而获得非线性不确定时滞中立型系统的渐近稳 定性和非线性不确定时滞中立型系统的指数稳定的充分条件。最后的数值例子说 明所得结论。 第四章研究了一类切换中立型系统的渐近稳定性问题。利用l y a p u n o v 泛函 方法，结合不等式分析的技巧，得到了与时滞无关的稳定性。 第五章总结了本文的研究工以及需要进一步研究的问题。 电子科技大学硕士学位论文 第二章基础理论 2 1 稳定性定义、定理和引理 稳定性理论发展的进程中首先要从l y a p u n o v 谈起，他在著名的博士论文“运 动稳定性的一般问题”中解决系统的稳定性时提出了l y a p u n o v 函数法，不需要求 出系统的解就可以判断系统的稳定性；从而建立了稳定性理论的框架。l y a p u n o v 函数法仍是对非线性系统的稳定性讨论行之有效的方法。稳定性理论具有重要的 意义，是研究动态系统中的过程相对于干扰时是否具有保持能力的理论，如果受 到外来瞬间不确定的因素的影响时，系统还能不能保持正常的运行，维持平衡的 状态，具有至关重要的意义。以下我们给出稳定性的定义、稳定性判别定理及研 究的系统稳定性时需要的引理。对于稳定性其它相关的定理等详细的内容可以参 阅文献【4 7 1 。 一般的n 维非自治微分方程组： 瓦d x = 巾，x ) ( 2 - 1 ) 其中：x = c o l ( x i ，x 2 ，吒) ，= c o l ( f 。，五，丘) c 吼，r ” ，且在g 日上保证 ( 2 1 ) 式的解存在唯一，其中q = ( f ，x ) t - t o ，i x o ，对乓，v t t o ，有 忙( f ，t o ，) i 0 ，了万= 万( s ) 0 ，j 口 o ，v t o r ， x 寸v x o b ，v t t o ，：f fi l x ( t ，t o ，而) 0 0 ，j 万= 万( s ) 0 ，使 得v t - t o 时，当例万( 占) ，有忙( f ，) | | o ， 这里c 是常数，则式( 2 1 ) 的平凡解x = 0 是指数稳定的。 中立型的系统可描述为： 戈( f ) = 厂( f ，工( f ) ，j ( f ) )( 2 - 2 ) 其中厂：r c c - - r ”，毫c 是由毫( 乡) = 丢z ( f + 矽) 所定义。 中立型系统研究的主要方法是采用的l y a p u n o v 泛函法。核心是构造l y a p u n o v 泛函，这一方法的优点在于避开对原系统求解而改为对所构造的l y a p u n o v 泛函沿 原系统求导来判断原系统的稳定性。由于对中立型系统构造l y a p u n o v 泛函具有很 大的难度，到目前为止没有通用而有效的方法，人们只是针对具体的问题，一般 采用根据研究者的经验和借鉴前人研究的方式进行构造。 中立型系统分为非算子中立型系统和算子中立型系统。非算子中立型系统通 过适当的变换就可以得到算子中立型系统，从而对中立型系统的研究就可以转化 为对微分方程的研究，连续映射d ( f ，) 是中立型系统的一个中间算子： j d ，d ( f ，一) = 巾，t ) 这种形式就是算子中立型系统。 7 电子科技大学硕士学位论文 定理2 3 h 8 1 设算子d ( f ，而) 为一致稳定的，f ：r xc xcj 掣中有界集，如果 存在连续函数矿：r c r ”，满足 ( 1 ) ( f d ( f ，) i ) 矿( f ，矽) y ( j f 矽9 ) ( 2 ) v ( t ，矽) 一缈( i d ( f ，t ) 1 ) 其中：，y ，为连续非减函数，( o ) - - v ( o ) - - o ，当s 0 时( s ) ，y ( s ) ，国( s ) o 。 且存在连续函数口( j ) ，口( o ) - - o ，口( j ) o ，s o 时，使y ( s ) ( 口( s ) ) 。则 方程的零解为一致渐近稳定。 为了研究系统的需要，引入如下的引理： 引理2 删给定的对称矩阵彳= 陵乏 ，其帆是维的。若彳 。成 立，当且仅当4 ： 0 ，则对v f r f n 有 m + l i f e + h r f r e r 0 ，使得m + 占h h + s 一1 e7 n e 0 2 2 切换系统 切换系统是一种混杂系统并与经典控制理论、智能控制理论、现代控制理论 等控制理论有密切的联系，是由多个连续子系统及其切换规则所组成。由于子系 8 第二章基础理论 统的性质并不等同于整个切换系统的稳定性，可能存在某一切换规则切换系统的 每个子系统都稳定，但按照此切换规则进行切换时，整个系统可能不稳定。因此 切换律起到十分重要的作用，切换中立型系统稳定性的研究时，切换律的选择需 要兼顾子系统的稳定性和整个系统的稳定。 切换系统的研究主要方法有，驻留时间方法、代数的可解性和直接l y a p u n o v 函数方法等。其中，直接l y a p u n o v 方法包括共同l y a p u n o v 函数法和类l y a p u n o v 函数法。 在实际系统中如果切换和时滞中立型同时存在，系统就可以采用切换中立型 时滞系统来建模，我们称这种系统叫做切换中立型系统，例如：机器人的行走运 动，自动控制系统中控制器中之间的切换、电力系统中大设备的投切运行等。多 个中立型时滞模型存在于一个复杂系统中时，这些中立型子系统相互影响，相互 作用，共同决定整个系统的稳定性。 切换中立型系统稳定性即是一个热点问题，同时也是一个重要问题，切换中 立型系统由于其自身的复杂性，有不同于一般连续时间系统和离散时间系统的特 殊性质，许多标准时滞系统的研究方法和技巧无法直接在切换中立型时滞系统中 应用，所以研究切换中立型系统的稳定性要比单纯的切换系统或中立型系统复杂 的多。随着控制理论与工程所涉及的领域越来越广泛，切换中立型系统已经由线 性时不变系统发展到线性时变系统和非线性的时不变系统以及由单变量系统发展 到多变量系统，所以研究其稳定性时复杂程度更进一步增加。 在切换中立型时滞系统中，由于离散动态、连续动态和中立型时滞共同作用， 系统的行为复杂于一般切换系统或单纯时滞系统，所以关于这类系统的稳定性分 析与设计的研究，到目前为止此类文献仍还比较“，4 5 4 6 】，在文献中，s e n 4 4 , 4 5 】 对具有有不对称时滞的线性切换系统的渐近稳定性问题进行了研究，在对子系统 是有限个数的情况和任意切换规则下时，对非中立型时滞和中立型时滞情形分别 给出系统全局渐近稳定性准则。孙希明等人准则【删运用l y a p u n o v 函数法对一类 切换中立型时滞系统的稳定性进行了研究，给出了切换律的设计方案，并得出了 系统渐近稳定的充分条件。 切换系统已取得的成果中，大部分都是针对自治切换系统，对于具有外部干 扰和系统本身也具有不确定性的切换系统，还未见到此类切换系统研究成果的文 献。而对于切换中立型系统的研究结果也相当有限，本文第四章提出了一类切换 中立型第一的模型并研究了其渐近稳定性，构造微分算子，利用l y a p u n o v 函数 数法，运用s c h u r 补原理，以线性矩阵不等式的形式给出了切换中立型系统渐近 9 电子科技大学硕士学位论文 稳定的充分条件。 2 3 中立型系统的研究方法 三十多年以来，中立型系统已经有了广泛的研究。中立型系统的稳定性研究， 可以通过系统的特征方程、矩阵特征值等方面的知识来给出稳定性条件：例如： 2 0 0 0 年，m s m a h m o u d 4 0 】用矩阵测度和系统的特征方程讨论了如下中立型时滞系 统： 文( f ) 一c 戈( f r ) = a x ( t ) + b x ( t f ) 得出了不依赖时滞的渐进稳定性条件，这类条件不依赖与时滞，所以很容易验证。 对于时变时滞不确定中立型系统的稳定性研究就比较复杂。例如：2 0 0 4 年 q i n g - l o n gh a n 在文献 4 3 1 0 0 研究了含时变时滞的不确定o e , - , r 型系统 文( f ) 一c 蔓c ( t f ) = ( 彳4 - l f ( t ) e 。) z o ) 4 - ( 刀+ l f ( t ) e b ) z 0 一| j l ( f ) ) 这类系统的特点是它不仅依赖于时滞，而且还存在不确定项。 构造l y a p u n o v 泛函法分析系统的稳定性条件。李贬普诺夫建立了关于全局稳 定的定理、渐进稳定、指数稳定和不稳定等相关定理，从而奠定了稳定性理论的 基础。l y a p u n o v 第一方法涉及寻找系统特征方程根的问题，对于简单的系统来说 一般是可以事项实现的，但是对中立型系统来说存在中立项，所有以研究起来非 常复杂，而l y a p u n o v 第二方法是l y a p u n o v 在他著名的“运动稳定性的一般问题” 中解决系统的稳定性时提出来的：l y a p u n o v 第二方法比l y a p u n o v 泛函来直接判 定解的稳定性的方法广泛的应用于中立型系统的稳定性的研究中，这种方法不要 求出方程和精确或者近似解，把方程的解视为某空间的轨迹，根据方程右端的函 数本身所具有的性质，然后构造l y a p u n o v 泛函，再用系统状态空间方程可以得到 使系统稳定的充分条件。由于构造l y a p u n o v 泛函到目前没有统一的方法，所以构 造不同的l y a p u n o v 泛函。就得到的不同的稳定性条件。当然这些稳定性条件有的 与时滞有关，有的与时滞无关，有的容易验证，有的相对复杂。l y a p u n o v 第二方 法已成为解决非线性系统稳定性的重要理论和方法并被普遍地应用。 线性矩阵不等式法( l m i ) 。2 0 世纪9 0 年代初，线性矩阵不等式( l m i ) 再次受 到控制界的关注，线性矩阵不等式及其线性矩阵不等式技术已广泛应用于控制工 程、系统辨识等领域，许多控制问题都可转化为一个线性矩阵不等式( l m i ) 的可行 1 0 第二章基础理论 性问题，是控制理论发展的一个问题。人们可以用m a t l a b 中的l m i 工具箱更 加方便有效地来求解线性矩阵不等式，所以引起了许多学者的极大兴趣。 1 9 9 4 年，b o y d 及他的同事们【2 6 】则通过深入研究并总结了以往研究成果，出 版了线性不等式相关著作，大大推动了线性矩阵不等式研究和发展。1 9 9 5 年 m a t l a b 中的l m i 工具箱可以方便有效的来处理和求解线性矩阵不等式，从而 进一步推动了线性矩阵不等式在系统和控制领域的应用。虽然线性不等式的理论 的还不太完善，但计算机的飞速发展使得线性矩阵不等式的求解变得方便可行。 线性矩阵不等式问题主要包括三类： ( 1 ) l m i 可行性问题； ( 2 ) l m i 最优化问题； ( 3 ) l m i 广义特征值问题。 鲁棒控制、非线性控制等问题的求解都可以转化为上述三类标准线性矩阵不等式 的求解，利用m a t l a b 工具箱中的命令和函数方便的处理和求解线性矩阵不等 式，从而使得问题得以方便解决。 线性矩阵不等式( l m i ) 的一般形式 f ( x ) = f o + 五正+ 屯e + + e o( 2 - 4 ) 在许多系统与控制问题中，矩阵不等式的变量是以矩阵的形式给出的，表面 看起来不具有线性矩阵不等式的形式，但可以通过适当的变换，应用矩阵的s c h u r 补性质，问题将转化成具有所给线性矩阵不等式( 2 4 ) 形式的问题。 例如：l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) = a7 x + 剧+ q 0( 2 - 5 ) 令x = 五e ，巨，忍，是是对称矩阵集= m ：m = m7 r “” 的一组 基，因此 f c x ，= 彳r ( 善薯局 + ( 姜誓量 么+ q 。 = q + x t ( a r 巨+ 巨彳) + + 勃( 么7 厶+ 么) o 虽然线性矩阵不等式( l m i ) 技术的研究还不成熟，但是已经成为l y a p u n o v 第 二方法强有力的工具。由于线性矩阵不等式方法存在很多优点，计算的简单性， 电子科技大学硕士学位论文 特别是利用m a t l a b 中的l m i 工具箱方便快速的求解，容易对参数进行优化， 因此，广泛应用于控制系统并成为了控制工程技术发展的一个崭新的研究领域， 研究者们对其产生了浓厚的兴趣，随着计算机技术和相关优化理论的发展，l m i 方法在控制领域也将得到进一步发展。 1 2 第三章非线性不确定时滞中立型系统的稳定 第三章非线性不确定时滞中立型系统的稳定 本章主要是对非线性不确定时滞的中立型系统进行研究，这种不确定是时变 的且范数有界的。 近年来，中立型系统已经有了一定的发展，例如：2 0 0 0 年，m s m a h m o u d 4 0 】 研究了一类中立型时滞系统 戈( f ) 一c 蹙( f - r ) = 彳工( f ) + b x ( t f ) 这类系统由于它不依赖与时滞，所以不论从系统的形式还是所得结果都比较简单， 而且结果也容易验证。 对于时变时滞不确定中立型系统的稳定性研究就比较复杂。例如：2 0 0 4 年 q i n g - l o n gh a n 在文献 4 3 】中研究了含时变时滞的不确定中立型系统 圣( f ) 一c 鸶o f ) = ( 么+ l f ( t ) e 。) x o ) + ( b + l f ( t ) e b ) x 一五( f ) ) 这类系统的特点是它不仅依赖于时滞，而且还存在不确定项，作者在文献中给出 了以l m i 形式表示的时变时滞不确定中立型系统的稳定性条件。 3 1 非线性不确定时滞中立型系统的渐近稳定 3 1 1 问题描述 考虑如f 的带非线性扰动的不确定时滞中立型系统 戈o ) = o + 鲋) + i = l + 衄，一q o ) ) + 善心+ q - h i o d ( 3 - 1 ) + ，o ，x ( 4 托一f o ) j o 一五o ) ) ) z ( 岛+ 秒) = 伊( 矽) ，v oe 【p ，0 】( 3 - 2 ) 其中z ( f ) r ”为系统的状态向量，缈( 臼) 是初始函数。a r “”b l r “以及 e r 艄“( i = 1 ，2 ，1 ) 是常数矩阵，鲋，a b i 以及c ，( i = 1 ，2 ，所) 为不确定的 电子科技大学硕士学位论文 扰动矩阵。 不确定的扰动矩阵满足下面的关系式 幽，鹋，a b m ，q ，q 】- d o ) k ，巨，已，瓦十”，e 2 。】 ( 3 3 ) 其中d ，e 。，巨( i = 1 ，2 ，2 m ) 是适当维数的已知矩阵，o ) 是适当维数的 未知函数且满足 r ( f ) ( f ) ，v f o 有界的时变时滞t ( f ) 以及红( f ) 满足 0 y i o ) q ，t ( f ) 气 1 ， 0 h i ( f ) h l 0 ，互 0 ，形 0 ，m 0 ，r 0 ， q o ( i = i ，2 ，m ) 以及常数岛，口，届，乃( i = i ，2 ，m ) ，在条件p 下满足不等式( 3 9 ) ，则所描述的系统( 3 8 ) 是渐近稳定的。 t 。= t 0 。 t o 1 t 1 i t o m t i m t m 用 ，i 木 奎 宰 毒 拳事 宰宰 其中奉是代表矩阵的对称项以及 t o 2 m t 1 2 m t 。2 m t m + 1 2 朋 t 2 m 2 m 掌 奎 t o 2 m + l o o o o t 2 m + 1 2 m + i t o 3 m 0 o o 0 o ： t 3 m 3 m 木 k = p a + a r p 一( z f q + 形一m f ) + 彳7 s a + o + 2 m 谚。口2 ， i = 1 i = 1 ，m i = m + 1 ，2 m ， i = 2 m + 1 ，3 m f = 3 m + l 一z i 心一f mq i + b r , s b i + q + 2 m ) 6 0 p ；i = 一( 1 一瓦) r ，+ c f s c , + ( 1 + 2 聊成7 ；z l一形一【1 一h 击j i i 彳f 1 5 i = 1 ，m ，卅、 i ( c ) i o ，形 o ，m