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计算机光学元件的算法及实验研究 摘要 在激光的实际应用中，根据不同的要求，人们常常需要将激光束光强分布 加以整形。例如整形为矩形、圆形等。传统光学元件难以实现这种转换，而用 计算全息图效率太低。由于计算机光学元件能充分有效地产生任意形状的光波 波面，所以，本文主要涉及到研究计算机光学元件的理论设计、计算机模拟、 实验研究。 本文主要基于几何理论和标量理论来设计计算机光学元件表面的浮雕高 度，文中用几何理论推导出了把高斯光束整形为正方框形光束、矩形光束、线 形光束的计算机光学元件表面的浮雕公式：通过计算机辅助设计，计算得到了 计算机光学元件表面上的浮雕高度，设计出了计算机光学元件。计算机模拟结 果与预期得到的衍射图样相符合；文中还讨论了设计参数对成像质量的影响规 律。 同时，本文还用标量理论设计了把高斯光束整形为正方框形光束的1 6 阶的 计算机光学元件，文中主要是参考g s ( g e r c h b e r g s a x t o n ) 算法，并在此基础 上进行了改进；通过计算机模拟，得到了计算机光学元件表面的浮雕图。计算 机模拟得到的结果与预期衍射图样相符合：文中还设计了把高斯光束整形为矩 形、人形、鸟形以及多圆环形分布的光束的计算机光学元件，模拟结果与预期 结果相符合。 文中对上述两种设计理论得到的模拟结果进行了比较，得出有一定参考价 值的结论，对今后设计计算机光学元件具有指导性意义。 文章的第五章进行了实验验证，取得了令人满意的实验结果，同时也证明 了设计方法和理论推导的正确性。 关键词：计算机光学元件、激光束整形、浮雕图、透射率图、衍射光 学元件( d o e ) i i i 电子科技大学硕士研究生论文 a b s t r a c t i l at h el a s e r sa c t u a la p p l i c a t i o n ，a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tr e q u e s t ，p e o p l eu s u a l l y n e e dt os h a p et h ei n t e n s i o no fl a s e rb e a n a f o re x a m p l e ，s h a p i n gt h el a s e rb e a mt o r e c t a n g l eo rc i r c u l a re t c t h et r a d i t i o n a lo p t i c a le l e m e n t sa r ed i f f i c u l tt or e a l i z et h e s e k i n d so fc o n v e r s i o n ，a n dt h ee f f i c i e n c yo ft h ec a l c u l a t i o nh o l o g r a mi st o ol o w b e c a u s eo ft h ec o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t sc a ns h a p et h el a s e rb e a mt oa r b i t r a r ys h a p e ， s o ，i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d yt h ed e s i g n a t i o na n dt h ee x p e r i m e n t a t i o no ft h e c o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t s t h i sp a p e rw ed e s i g nt h er e l i e fh e i g h to ft h ec o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t sm a i n l y b a s e do nt h eg e o m e t r i c a lt h e o r ya n dt h es c a l a rq u a n t i t yd i f f r a c t i v et h e o r y b a s e do n t h eg e o m e t r i c a lt h e o r y , w ea c h i e v e dt h eh e i g h to fp h a s er e l i e ft h a tc a l ls h a p et h el a s e r b e a mt os q u a r ef r a m e 、r e c t a n g l es h a p e 、l i n es h a p e ；w i t ht h ec o m p u t e rs i m u l a t i o na n d d r a w i n gp r o g r a m ，t h ed i f f r a c t i o np a t t e m sa r eg o ti nt h i sp a p e r , t h er e s u l t sa g r e e dw i t h t h ea n t i c i p a t e dd i f f r a c t i o np a t t e r n s ；i nt h i sp a p e rw ea l s od i s c u s s e dt h ea f f e c t st ot h e d i f f r a c t i o np a t t e r n sb yc h a n g et h ep a r a m e t e r s t h i sp a p e ra l s od e s i g n st h ec o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t so f16l e v e lb a s e do nt h e s c a l a rq u a n t i t yd i f f r a c t i v et h e o r y w em a i n l yr e f e r e n c et ot h ea l g o r i t h mo fg s ( g e r c h b e r g s a x t o n ) a n di m p r o v ei t w i t ht h ec o m p u t e rs i m u l a t i o na n dd r a w i n g p r o g r a m ，t h ed i f f r a c t i o np a t t e r n sa r eg o ti nt h i sp a p e r , t h er e s u l t sa g r e e dw i t ht h e a n t i c i p a t e dd i f f r a c t i o np a t t e r n s ；i nt h ep a p e rw ea l s od e s i g nt h ec o m p u t e ro p t i c a l e l e m e n t st h a tc a ns h a p et h el a s e rb e a mt or e c t a n g l es h a p e 、t h es p o r t s m a ns h a p e 、t h e b i r ds h a p ea n ds oo n t h es i m u l a t i o nr e s u l t sa g r e e dw i mt h ea n t i c i p a t e dd i f f r a c t i o n p a t t e r n s i nt h ep a p e rw ec o m p a r e dt h es i n m l a t i o nr e s u l t so f t h ec o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t s b a s e do nt h et w od i f f e r e n tt h e o r i e s ，a n ds u m m a r i z e dt h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g e o ft 1 1 et w od i f f e r e n tt h e o r i e s t h a tw i l lb r i n gl e a d i n gm e a n i n gt ot h ed e s i g n a t i o no f t h ec o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t s i nc h a p t e r5w ep r o v e dt h ea c c u r a c yo ft h ed e s i g nt h e o r i e sa n dt h et h e o r e t i c a l d e d u c e sb yt h ee x p e r i m e n t a t i o n k e y w o r d s ：c o m p u t e ro p t i c a le l e m e n t s l a s e rb e a ms h a p i n g r e l i e f f i g u r e t r a n s m i s s i o nr a t i od i f f r a c t i o no p t i c a le l e m e n t s ( d o e ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 主拉雀 日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：主拯盔导师签名： 日期：年月日 型 计算机光学元件的算法及实验研究 第一章绪论 1 1 课题的目的和意义 随着激光技术的不断发展，其应用领域也在不断的扩展。然而，在通常情况 下激光束光强的横向分布是高斯分布，这样就限制了其在某些领域中的应用。例 如在激光加工及热处理l 、光学材料制作等领域【4 叫，需要使用矩形和环形等激 光光斑。因此，激光要在这些领域中应用，需要对激光束的横向光强分布加以转 换。 计算机光学元件( 在有的国内外文献中称为b o e 一一二元光学元件) 是 一类基于光波的衍射理论，利用计算机辅助设计，并用超大规模集成( v l s i ) 电 路制作工艺，在片基上( 或传统光学表面) 刻蚀产生两个或多个台阶深度的浮雕 结构，形成纯相位，同轴再现，具有极高衍射效率的一类衍射光学元件。计算机 光学元件源于全息光学元件( h o e ) ，特别是计算全息元件( c g h ) ，可以认 为像息图( k i n o f o r m ) 就是早期的计算机光学元件，但是全息元件效率低，并且 是离轴再现，像息图虽然是同轴再现，但工艺长期未能解决，因此进展缓慢，使 用受限。计算机光学元件则同时解决了衍射效率和加工问题，它是以多阶相位结 构近似像息图的连续结构。由于计算机光学是光学学科与计算机科学、微电子科 学相结合的产物，是光学、计算机与微电子学相互渗透、相互交叉形成的前沿学 科。因此，随着计算机科学与微电子科学的迅速发展，计算机光学也取得了前所 未有的发展：其中利用计算机设计和微电子加工技术研制成的衍射光栅作为一种 计算机光学元件，是一种高效的光学元件，在光束整形方面有着广阔的应用前景。 计算机光学的发展已有近2 0 年的时间了。早在2 0 世纪8 0 年代，前苏联的 a b f o h q a p c r m 订和b a a a n h j i o b 等人就给出了反射式线聚焦器和平面聚焦器的 算法 7 _ 8 1 ，1 9 8 3 年a b i o h q a p c k h h 和b a a a m i n o b 等人研究了在正入射和任意角 度入射的情况下的反射式线聚焦器的算法，并且制作出了c 0 2 激光的反射式线 聚焦器，这种线聚焦器能将光聚焦为按指定强度分布的任意曲线，能量效率高于 7 0 8 0 f 9 - 1 0 。1 9 8 6 年前苏联科学院组织了全苏联第一次计算机光学讨论会 h - 1 2 ，提出了他们对计算机光学的看法，c r m a r , , q h1 4 h ( h o q b a h ) 在开幕式上做了 大会发言。在报告中介绍了计算机光学出现的历史背景及其发展阶段，并对计算 机光学的概念做了定义，他指出：计算机光学一方面是借助于计算机来设计研制 第一章绪论电子科技大学硕士研究生论文 光学元件，这些光学元件完成所需要的光波场的转换工作；另一方面它又是为计 算机服务的一门科学，即为“研制光学处理器和光学存储器”服务。会议同时也 讨论了计算机光学元件的性质，提出了计算机光学的数字化算法以及计算机光学 元件的自动设计系统。 几乎与苏联人同时，美国m i t 林肯实验室主任维尔得砍普( wbv e l d k a m p ) 领导小组在研究设计新型传感系统中率先提出了“二元光学”这一术语，进而发 展成了一种新的光学分支二元光学1 3 - 1 4 。 八十年代后期，国内许多单位都开展了二元光学的研究。鉴于二元光学的潜 在价值和国际上的研究状况，国内一些有影响的光学专家9 0 年代初就向国家自 然科学基金委员会建议开展这方面的研究，为此基金会邀请国内二十几位有关专 家于1 9 9 1 年8 月在杭州召开了第一届全国二元光学讨论会，与会专家一致建议 把二元光学列为重点国家自然科学基金课题。1 9 9 4 年5 月国家自然科学基金委 员会在西安主持召开了“全国微光学( 衍射光学或二元光学) 学术讨论会”，1 9 9 5 年国防科学技术工业委员会召开了有关二元光学方面的讨论会，并出版了讨论专 集，全面总结了微光学在我国的发展现状。清华大学北京物理所、长春光机所、 中国科学院北京物理研究所、中国科学院上海光机所、北京理工大学、四川大学 信息光学研究所和中国科学院成都光电研究所等是国内开展这方面工作的主要 单位。 计算机光学元件主要具有以下几大特点： 首先它作为纯相位元件，可以把相位做成浮雕形，具有高的衍射效率。 衍射效率公式为：r = s i n ( n ：l ) ( r r 三】2 ，三是相位阶数，可以得到当l 等于1 6 时，衍射效率为9 8 7 ，连续相位时衍射效率可达到1 0 0 ，但是连续相位在制 作工艺上难以实现。 具有更多的设计自由度，例如：最小特征宽度、刻蚀宽度、刻蚀深度以 及台阶结构等。 计算机光学元件是将浮雕面形转移至玻璃、电介质或金属基底上，可用 材料范围大。 由于制作工艺的特点，计算机光学元件还具有体积小、重量轻、可集成 化以及可复制等优点，所以易于大批量生产，从而会使其费用大大降低。 计算机光学元件能产生任意波面、实现许多特殊功能，具有重要的应用 价值。如材料加工和表面热处理中的光束整形元件、医疗仪器中的h e n e 激光 聚焦校正器、光学并行系统中的光互连元件以及辐射转换器等 1 6 q 9 。国内对这一 代计算机光学元件也进行了大量的研究。有研究人员将计算机光学元件应用在信 2 计算机光学元件的算法及实验研究 号分析和处理中，他们利用计算机光学技术制作子波匹配滤波器【20 1 ，纯相位滤波 器和振幅调制滤波器 2 1 o 还有研究人员为了实现光互连而根据光交换网络中光逻 辑f e t - s e e d 灵巧像元阵列的光栅分布，制作出1 6 1 6 非等间距的相位计算全 息光栅，与光逻辑f e t - s e e d 灵巧像元阵列器件光栅分布完全匹配【2 2 1 。 正是由于计算机光学元件具有以上的特点和优越性，它在许多领域得到应 用，例如在激光束整形、激光透镜阵列、激光相关合成以及光学成像等领域 2 3 - 3 0 】， 另外计算机光学元件也被广泛应用在准光学系统中，苏联在3 0 年前就已经将计 算机光学应用在厘米波领域了j 。俄罗斯科学院应用物理所的契尔科夫 ( a v c h i r k o v ) 等人将计算机光学器件应用于大功率回旋管中【3 2 1 。美国、德国 等国家也在开展了这方面的研究工作1 3 ”j ，他们的研究结果说明了计算机光学元 件可以用在准光学空间模式转换器中，这预示着计算机光学元件可以很好的使用 在其它准光学系统和微波领域中。因此研究用计算机光学元件来实现激光束的整 形，不仅具有重要的理论价值而且具有一定的实际应用价值。 1 2 计算机光学元件在激光束整形方面的国内外研究概况 在激光束整形方面，人们用二元光学元件进行了大量的理论和实验研究，研 究主要集中于将高斯光束整形为平顶状光束。例如：美国的j c o r d i n g l e y 在半导 体加工中，用2 台阶的二元光学元件将高斯光束变换成平顶状光束f 3 ”。九十年代 中期，在美国的研究人员研制出了能使光束均匀分布的任意相位板后，英国的研 究人员研制出了二元相位波带板阵列，它可以使光束均匀分布，其效果比任意相 位板要好【”j 。德国j e n a 大学应用光学研究所m i c h a e l d u p a r r e 等人，于1 9 9 6 年 通过光线追迹方法设计并利用电子束制作了四个掩模板，从而得到了1 6 阶的光 束整形器件1 3 8 ；并用快速傅立叶变换( f f t ) 解基尔霍夫积分计算输出结果，该 光束整形器能使二氧化碳激光器高斯光束转换成薄环形光束，此元件是反射式 的。j e n a 大学所得到的理论模拟结果如图1 2 所示，实验所得的环形输出光强分 布如图1 3 所示，从图中可以看出：实验光强值抖动较大。 第一章绪论电子科技大学硕士研究生论文 图卜2 计算机模拟输出光强分布1 图】3 试验输出光强分布1 ” 1 9 9 7 年，俄罗斯研究人员为了避免快速迭代算法在二元光学元件位相阶数 不大时量化位相产生的误差，提出了二元光学元件直接位相量化的二维计算方 法，计算单元为方形【3 9 】。他们设计模拟了用以实现将高斯光束聚焦成薄环的2 阶二元光学元件，衍射效率为7 3 4 。 在激光束整形这一领域，国内以清华大学、中国科学院北京物理研究所为代 表，例如中科院物理研究所杨国桢和顾本源提出任意线性系统中振幅一相位恢复 的一般理论和杨一顾算法( y g 算法) ，并用它设计了一些光学元件j 。 在用这种算法把高斯光束转化成厚环形光束的数值模拟计算中，所求得的b o e 相位在1 6 阶量化下，其衍射效率为9 0 。用这种算法设计的把高斯光束转化 成环形，用石英晶体经激光直写以及离子反应刻蚀制作而成的刻蚀台阶数为1 6 阶的相位元件，其衍射效率为8 7 2 【4 “。清华大学在金国藩教授的领导下，在计 算全息基础上进行了许多的研究工作。1 9 9 3 年，他们基于计算全息原理设计制 造了2 阶二元光学波面变形器件，测得一片二元光学元件的衍射效率为3 2 5 ， 比计算全息提高4 倍；利用两片二元光学元件实现了氦氖激光高斯光束转换为平 顶的均匀光束的设计；二元光学波面整形器件的激光利用率比计算全息提高1 6 倍。1 9 9 6 年，他们又研制成功将线阵半导体激光器的光束转换为光斑截面为矩 形的准平行消像散光束的二元光学元件，这一二元光学元件具有4 个位相阶数， 测得实际衍射效率为8 8 7 左右。1 9 9 9 年，他们利用二元搜索法与模拟退火法相 结合的设计方法，实现了将惯性约束核聚变( 所写为i c f ) 光束匀滑的连续二元 光学器件的设计，该元件的位相变化平缓且周期少。在具体计算中，为了避免大 量的计算，他们将二维设计转化为一维设计。实验结果显示：由于加工精度、实 验光路等影响，均匀性与设计值有较大的差距【4 4 1 。 计算机光学元件的算法及实验研究 1 3 计算机光学元件分析方法概述 计算机光学的元件的设计问题是光学的逆问题，即：“已知成像系统中的入 射场和输出平面上出射场的分布，计算相位调制元件平面上的相位浮雕高度，使 它正确的调制入射波的场分布，给出期望得到的场分布”。随着计算机光学元件 的广泛使用，其理论分析方法也得到了实质性的进展。根据元件的衍射特征尺寸 和波长的关系，可以归结为三大类：几何理论( g e o m e t r i ct h e o r y ) 、标量衍射理论 ( s c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r y ) 和矢量理论( v e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r y ) 。 当计算机光学元件的衍射特征尺寸远远大于波长时，采用几何光学的方法。 这种方法主要是由已知的入射场和出射场的分布以及入射场坐标求得出射场坐 标，从而再由入射场坐标和出射场的坐标求出计算机光学元件表面形状的函数。 当计算机光学元件的衍射特征尺寸远大于光波波长时，采用标量衍射理论， 基于标量衍射理论的优化设计方法大致有两类： ( 1 ) 基于f o u r i e r 变化的迭代方法，它的基本思想类似一个“反馈”系统， 首先对初始位相进行估计，代入该系统后将输出与理想输出的相对误差反馈到输 入端，经过一定的循环，待趋于稳定后可得到所求的位相解，在这一思路下的方 法有e s 算法h 5 4 6 1 、i o 算法1 4 7 1 、位相混合算法【4 8 1 等。现在可以用种软件即 d i f f r a c a o 来设计，它主要是基于标量理论和g e r e h b e r g s a x t e n 优化算法而形成 的。由它设计的边长为o 5 m m 的正方形d o e ，衍射效率达到了9 4 ，其成像形 状与理想情况相对误差为9 6 e 4 。 ( 2 ) 基于搜索极值的优化方法，如：共轭梯度法”、模拟退火法 5 1 、基因 算法1 52 j 、杨一顾算法( y g 算法) 等，这类方法将计算机光学元件的位相 看作泛函空间中的一些构形，期望优化过程将这些构形向优化解方向移动，这也 同时会对费用函数进行极小化。 当二元光学元件的表面特征尺寸与波长相当时，标量衍射理论的假设条件已 经不能满足，这时就需要采用严格的电磁矢量衍射理论来分析其衍射场。基于矢 量理论，对于大多数实际问题，很难得到封闭式的解析解，因此，具体分析中必 须使用一些数学技巧。这方面的几种相关方法有：积分法、微分法、模态法、耦 合理论 4 5 】、等效媒质理论【5 4 - 5 5 等。 1 4 计算机光学元件的主要制作方法 在v l s i 加工技术发展的推动下，计算机光学元件制作工艺取得的进展主要 第一章绪论电子科技大学硕士研究生论文 集中表现为：从二值的位相元件向多台阶连续的位相元件发展，从掩模套刻技术 向无掩模直写技术发展。下面介绍几种主要制作方法。 1 单点金刚石车削方法【5 6 1 该方法能制作光学表面质量很好、衍射效率很高、特征尺寸在1 0 微米以上 的计算机光学元件，但只限于加工一些质的较软的且不容易碎裂的材料，如铜铝 等金属和丙烯酸树脂等透明塑料，而且元件的位相轮廓受到金刚石刀具形状的限 制。 2 干涉技术 5 7 - 6 0 1 该技术根据光的干涉原理来制作全息图波带片、平面光栅和二维亚微米抗反 射光栅等，缺点是周期结构受到使用光波波长的限制。 3 二元光学方法 5 9 - 6 3 】 二元光学方法是利用掩模进行紫外光刻蚀，使图形成在基片上的胶层内，再 通过刻蚀或薄膜沉积技术使图形转移到基底上来完成计算机光学元件的制作。 4 灰度掩模法 灰度掩模法是一种变狄度掩模，与二元掩模不同之处在于：灰度掩模在掩模 平面不同位置提供可变的透射率，单个灰度掩模可含有一组二元掩模的位相信 息，经过一次光刻和刻蚀后就得到计算机光学元件灰度掩模，它具有成本低、周 期短、方法简单、无对准误差等优点。 5 直写技术 直写技术是一种新兴的计算机光学元件加工方法，包括激光直写、电子束直 写、聚焦离子束直写几种方法。 6 复制技术 该技术需要激光光学元件的模具和适合的光学材料，由于单件计算机光学元 件的制作成本很高限制了它在实际应用中的推广，所以复制技术是降低计算机光 学元件价格并使之走向市场的重要途径，目前已有电铸法、塑料模压法、注塑成 形法和溶胶一凝胶s o l g e l 法等用于复制计算机光学元件，复制品的保真性和波前 质量决定计算机光学元件衍射效率的高低，迄今为止高精度的复制技术还不成 熟。 上面的几种制作方法，其中激光直写方法效果比较好，得到的衍射效率和精 度都比较高。目前国外有激光直写系统的国家和单位主要有：西班牙的圣地亚哥 大学、加拿大的国家光学研究所、德国的f r o u n h o f e r 微电子电路和系统研究所、 瑞士的p a u ls c h e r r e r 研究所、俄罗斯科学院自动化和电工研究所、美国的麻省理 计算机光学元件的算法及实验研究 工学院林肯实验室、美国的亚利桑那大学、日本的大阪大学等；国内有激光直写 系统的单位主要有：浙江大学( 自己研制的) 、中国科学院长春光学精密机械与 物理研究所( 自己研制的) 、中科院成都光电研究所( 进口于加拿大的) 等。 1 5 计算机光学元件的主要发展趋势 计算机光学发展的总体趋势是向着微光学、微电子学和微机械的集成技术和 高性能的集成系统。计算机光学的发展趋势有可能有以下几个方面： 第一：进一步完善和发展计算机光学元件的计算机辅助设计软件，并随着制 作工艺水平的提高，可以制作具有亚波长结构的计算机光学元件。这方面的研究 包括设计理论和制作技术两个方面。也就是建立正确和有效的理论模型设计超精 细结构衍射元件；发展衍射光学元件的制作工艺，制作并应用亚波长的计算机光 学元件。 第二：微型光机电集成系统是计算机光学研究的总趋势【6 5 j 当前国外己在微米级和纳米级的制造技术，即微工程技术方面进行了大量的 研究，这种技术主要包括微电子学、微机械学和微光学这三个相互关联相互促进 的学科，是发展新一代计算机、先进机器人及智能化系统，促进机械、电子及仪 器仪表工业实现集成化、微型化的核心技术。计算机光学技术则是发展微光学的 重要基础，计算机光学元件有可能直接刻蚀在集成电路芯片上，并在一块芯片上 布置微光学阵列，甚至完全集成化的光电处理单元，这将导致包含各种全新的超 密集传感系统的产生。 1 6 本论文的主要工作 本论文分别以几何理论和标量理论为基础，设计出了把氦氖激光器的基模高 斯光束转化成正方框形光束的计算机光学元件，即光束整形元件，其相位量化阶 次为1 6 ；主要以几何理论为基础，推导出了光束整形器件表面上的相位函数： 并且进行了计算机模拟，得到了所需要的正方框形的输出；同时也设计模拟了整 形为矩形、双线形光束的整形元件。以标量理论为基础，在g s 算法的基础上进 行了相应的改进，并设计了光束整形元件，模拟得到了与预期结果相符的衍射图 样。并对几何理论和标量理论的结果进行了对比，得出了各自的优缺点。同时也 研究了参数的变化对衍射图样的影响。最后对上述结果进行了实验验证，实验结 果与计算机模拟结果相符，证明了设计方法的正确性。 第一章绪论 电子科技人学硕士研究生论文 本论文主要分为五章，各章的主要内容如下： 第一章概述了8 0 年代在光学领域出现的两个相近的新兴学科计算机光 学和二元光学，并介绍了它们用于波面整形方面的发展情况以及计算机光学元件 的研究理论、制作方法、特点及其应用。 第二章主要介绍了设计计算机光学元件用到的理论基础，重点介绍了几何 理论和标量理论。 第三章首先基于几何理论提出了划分等能量区域的思想，并利用这种思想 推导出了光学元件表面的相位表达式：通过计算机模拟得到了所需要的f 方框形 图样的输出；并用此方法进行了其他衍射图样的模拟，得到了与期望相符的结果； 最后模拟了参数变化对衍射图样的影响。 第四章用标量理论模拟得到了同样是正方框形的衍射图样；用此方法进行 了其他复杂图样的模拟，得到了与期望相符的结果；与几何理论模拟的结果进行 了比较，总结出了各自的优缺点。 ， 第五章本章对上面模拟得到的结果进行了实验验证，用照相缩微的方法制 作出了计算机光学元件的透射率底片，并搭建了实验光路，在接收屏上得到了所 需要的图样。实验结果达到了所设计的目的，从而证明了设计方法和理论推导的 正确性。 计算机光学元件的算法及实验研究 第二章理论基础 根据元件的衍射特征尺寸与波长的关系，可以将设计衍射光学元件的理论分 为：几何理论( g e o m e t r i c t h e o r y ) 、标量理论( s c a l a r d i f f r a c t i o n t h e o r y ) 、和矢 量理论( v e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r y ) 。 当元件的衍射特征尺寸远远大于波长时，可采用几何理论来设计：当元件的 衍射特征尺寸远大于波长时，可采用标量理论来设计；当元件的衍射特征尺寸与 波长相当时，采用矢量理论来设计。 本章主要对本论文中设计衍射光学元件用到的几何理论和标量理论进行简 单的介绍。 第一节几何理论基础 当衍射光学元件的衍射特征尺寸远远大于波长时，采用几何理论来设计衍射 光学元件就可以达到所需要的要求。 在光学中，可以忽略波长时即相当于九一0 极限情况的这一分支，通常称为 几何光学。因为在这种近似处理下，光学定律可以用几何的语言来描述，这时能 量可以看作是沿着一定的曲线传输。在此情况下，波长足够小，所以光学现象都 可由几何学的方法导出，方法是定出光线路径，并计算出相关联的强度和偏振。 下面由麦克斯韦方程组推导出( 当九一0 时) 几何光学方面的光学定律。 2 1 1 程函方程 对一个各向同性、非导体媒质中的一个一般时谐场，可以写为： e ( r ，) = e 。( r k l “ ( 2 1 - l a ) r l ( r ，r ) = h o ( r k l “ ( 2 1 一l b ) 式中岛和凰代表位置的复矢函数。 将式( 2 1 1 a ) 和( 2 1 1 b ) 代入麦克斯韦方程组，在没有电流和电荷的区域 ( 印= o ) ，可以得到： v h o + i k o 业o = 0 ( 2 - 1 2 a ) 第二章理论基础 电子科技大学硕士研究生论文 v x e o i k o 出o = 0 v e e o = 0 v t h o = 0 ( 2 - 1 2 b ) f 2 - 1 - 2 c ) ( 2 - 1 2 d ) 式中利用了物质关系式d = e e ，曰f 执并且k o = c o c = 2 7 r , t o ， o 是真空中的波 长。 在离场源很多倍波长的区域，场的更普遍的类型可以表示成如下形式： e 。= e ( r k 9 ( 2 1 3 a ) h o = h ( r k 9 。( 2 1 。3 b ) 式中妒( r ) 为“光程”，是位置的实标函数，而e ( r ) ；手t j 是位置的矢函数，它 们一般可能是复数。 以( 2 1 3 a ) 5 f l j ( 2 - 1 - 3 b ) 式作为麦克斯韦方程组的试探解，即可得到e 、h 、p 的 一组关系式。下面将要证明，当k o 很大( 波长很小) 时，这些关系式要求舻应 满足某一微分方程，这个方程和振幅矢量e 、h 无关。 f l q ( 2 1 3 a ) 和( 2 1 3 b ) 式，利用矢量恒等式得： v x h o = ( v x h + i k o v 妒x h k ”( 2 1 4 a ) v x e 。= ( v e + v 妒e k 9 ( 2 1 4 b ) v 肛i o = v h + h v ，t + i k o t h v f a ) e ”( 2 1 4 c ) v e e 。= g v e + e v e + i k o 卯v 妒k 9( 2 1 4 d ) 把式( 2 1 4 a ) ( 2 1 4 d ) 代入式( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 d ) 得： v e x h + 礴：一士v h ( 2 - 1 5 a ) z 庀0 v 妒e 一加一去v e ( 2 - 1 - 5 b ) e v p = 一- 去o ( e v l o g e + v e ) ( 2 - 1 - 5 c ) 计算机光学元件的算法及实验研究 h v 妒2 一h v l o g ，, + v h ) ( 2 - i - 5 d ) 当知很大时，式( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 d ) 中右边的l “) 就很小， ( 2 - 1 - 5 d ) q h 右边各项就可以略掉，方程可简化为： v 口h + e e = 0 v 妒e 一肚= 0 e v 口= 0 h v 口= 0 ( 2 - 1 6 a ) f 2 1 6 b ) ( 2 1 6 e ) ( 2 1 6 d ) 可以只注意( 2 - 1 - 6 a ) 、( 2 - 1 - 6 b ) 式，因为用v 妒标乘这两个式子后，就可以得到 ( 2 1 6 c ) 、( 2 1 6 d ) 式。 ( 2 1 6 a ) 、( 2 - 1 - 6 b ) 式可以看作是e 、h 的笛卡儿分量e 。巩的六个联立线 性条件( 其结合行列式为零) ，这些联立方程才有非零解。从( 2 1 6 a ) 和( 2 1 6 b ) 式中消去p 和h ，即可直接得到这个条件，以( 2 1 6 b ) 中的l i i 代入( 2 1 6 a ) z 1 4 ： 吉 ( e v 伊) v p e ( v p ) 2 】+ 占。e = 。 式中第一项n ( 2 1 6 c ) 而为零，而由于e 不是处处为零，因而方程化为： 勺妒) 2 = 疗2( 2 1 7 ) 式中n = 印f 代表折射率，函数妒常叫做程函。而( 2 1 7 ) 式称为程函方程。 ( 2 - 1 7 ) 式也可写为显式： ( 刳2 + 期2 + ( 老 2 崭咖， 陪m ， 程函方程是几何光学的基本方程，而 p ( r ) = 常数 可称为几何波面和几何波阵面。 2 1 2 光线的定义与其微分方程 我l l j 生n 道电能密度和磁能密度的时间平均值 和 为： 第二章理论基础电子科技大学硕二b 研究生论文 ( 峨) 2 志e 。e ： ( 。) = 去h 。h ： 把( 2 - 1 - 3 a ) 和( 2 - 1 3 b ) 两式代入上面两式得： ( 国。) 2 志e e + ( 。) = 志h n 分别用( 2 1 6 a ) 和( 2 1 6 b ) 代替上式的口和h ，得到 ( q ) = ( ) = 而1 ，v 卅 方括号表示标量三重积。因此，在光学的精度范围内 的时间平均值是相等的。 坡印廷矢量的时间平均值为： ( s ) = 击r e ( e 。h ：) 把式( 2 1 3 a ) 和( 2 1 - 3 b ) 代入式( 2 1 一1 2 ) 得： ( s ) = 丢r e ( e h ) 利用( 2 1 6 c ) 式，则有： ( s ) = 面1 ( e _ e 扣妒一( e v 妒川 ( 2 - 1 9 a ) ( 2 1 9 b ) ( 2 - 1 - 11 ) 电能密度和磁能密度 f 2 1 - 1 2 ) ( 2 - 1 1 3 ) 上式中后一项因式( 2 1 6 c ) 而为零，剩下前一项以 表达式( 2 1 1 0 a ) 和麦 克斯韦关系式掣= 矛代入，即有： ( s ) = 等( 吼) v 妒 因 = ，故2 代表总能量密度的时间平均值 = + ) 。此外，由于程函方程，( v 妒) m 是一单位矢量 s = = 一 v 够v p ” l v 刊 r 2 - 1 - 1 4 ) ( 即 设为： ( 2 1 15 ) 而( 2 1 1 4 ) 式表明，；是在平均坡印廷矢量的方向上，令c r l = v ，则( 2 1 1 4 ) 式变为： ( s ) = v ( p ( 2 1 - 1 6 ) 汁算机光学元件的算法及实验研究 因此，平均坡印廷矢量的方向垂直于几何波阵面，而它的大小等于平均能量 密度和速度v = c n 之积。这表明在几何光学的精度范围内，平均能量密度是以速 度v = c n 来传播的。 现在，可以把几何光线定义为几何波阵面舻= 常数的正交轨迹。把它们看作 是一些定向曲线，他们的方向处处都与平均坡印廷矢量的方向相重合。 设，o ) 代表某一光线上点p 的位置矢量，并作为光线弧长s 的函数，则。q f = j ， d s 而光线方程可写为： ”_ d r ：v 妒( 2 1 1 7 ) 从( 2 1 - 6 c ) f f 口( 2 一1 6 d ) 式可以看出，电矢 量和磁矢量在每一点都和光线垂直。 ( 2 - 1 一1 7 ) 式的意义从下列说明可以看得更 加清楚，考虑相邻二个波阵面妒= 常数和 伊+ 却= 常数，如图2 1 所示： d ，= 寓教 ，= 常数 图2 - 1 关系式n s = v ( o 的图示 于是有： 宰：宰v 妒： ( 2 - 1 1 8 ) 凼出 、7 因此这两个波阵面之间的法线距离幽与折射率成反比，即与v 成正比。 沿着某一曲线c 取积分k 出，此积分称为曲线c 的光学长度，设用方括号 表示连接尸- 和尸2 两点的光线的光学长度，则： b p ：】= 野d s = 妒：) 一妒( 砧( 2 - l - 1 9 ) 我们已经看到，平均能量密度是以速度v = c h z 沿光线传播的，因而： n d s ：! d s ：c d t 式中西是能量沿光线行经距离出所需要的时间，因此： b t p ： c r 2 d t ( 2 - 1 - 2 0 ) 即光学长度d i p 2 等于光的真空速度和光从p i 传播到p 2 所需时间之积。 2 1 3 能量守恒定律 光的强度定义为坡印廷矢量的时间平均的绝对值【6 7 】，所以由式( 2 1 1 6 ) 得： 第二章理论基础 电子科技大学硕士研究生论文 而能量守恒定律表达式为 ，= | ( s ) | = v ( o j ) ( 2 1 2 1 ) l n , i d s = 0( 2 1 2 3 ) i 代表窄管表面的外向法线，由于：在出2 上，j i = 1 ，在d s 2 上，j i = 一1 ， 在其他各处， j 口= 0 。因而f 2 一l 一2 3 ) 式化为： j l d s l = 1 2 d s 2 ( 2 - 1 2 4 ) ，l 和五分别代表出l 和d s 2 上的强度，由此可见，l d s 沿一个光线管保持不变， 这就是几何光学中的强度定律，也就是能量守恒定律。 第二节标量理论基础 光在传播过程中，除反射、折射外，偏离直线传播的现象称为光的衍射，它 是光的波动性的主要标志之一。标量衍射理论是把光场视作标量来处理，即只考 虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定任何别的有关分量都可用同样方式独 立处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系，实 验证明：当衍射孔径比照明光波长大得多，并且观察点离衍射孔径不太近时，由 这种近似处理的方法所得的结果是很精确的。 通常将光的衍射分为三种类型：瑞利一索末菲( s o m m e r f e l d ) 衍射、菲涅耳 ( f r e s n e l ) 衍射和夫琅和费( f r a u n h o f e r ) 衍射。三个衍射区的划分如图2 3 所示。光 通过衍射物以后的区域均可称为瑞利一索末菲衍射区：达到菲涅耳近似以后的 区域称为菲涅耳衍射区；达到夫琅和费近似条件以后的区域称为夫琅和费衍射 区。在夫琅和费衍射区衍射条纹的相对强度分布不再改变。 计算机光学元件的算法及实验研究 喘牙0 一索末菲 i ：i 射区 r i b 、k? 恪、 l l ： j o ，) 7 。7 i l 时区 夫琅和费衍射 ： 非涅尔衍 图2 - 3 衍射区的划分示意图 2 2 1 瑞利一索末菲衍射 早期解决衍射问题是利用惠更斯一菲涅耳原理，它的基本概念是：在光场中 任一点凡的光振动是由该点和光源之间任意选择的波面所发射的次波叠加的结 果。在光的电磁理论发展起来咀后，基尔霍夫( k i r c h h o f f ) 从波动的微分方程出发， 利用场论中的格林( g r e e n ) 函数作了理论推导，得到了更精确的数学公式，即基尔 霍夫衍射公式： u ( 异) = 去颤g 豢一u 豢卜 ( z 。) 基尔霍夫衍射公式( 2 2 1 ) 可以给出与实际符合很好的结果，因而在实际中得 到了广泛的应用。然而，从理论上讲，这个公式被认为存在内在的不一致性。这 引起了许多讨论与研究，人们试图探讨一个更 。 令人满意的结果，这个公式的主要困难来源于 l 关于边界条件的假设。在基尔霍夫边界条件假 ；h 。 设中，对场u 和它的导数o _ u 都人为地作了规，。二莎；：4 2 l 1 咖 l 定，这和波动方程解的性质是不一致的。索末 “ l 菲改用了另一种格林函数，而不需要同时列u 图2 - 4 瑞利一索