（应用数学专业论文）高振荡函数积分的高效数值算法及实现研究.pdf

博士学位论文摘要 摘要 很多应用领域，高振荡积分问题是一个非常重要的研究课题，比 如在量子化学、图象分析、电动力学、正电子发射型断层扫描术、单 光子发射型断层扫描术、流体力学等问题的计算中，其核心就是研究 高振荡积分的高效计算方法。然而，当振荡频率远远超过积分结点的 数目时，经典积分方法对应用广泛的高振荡积分，例如傅立叶( f o u r i e r ) 变换、贝塞尔( b e s s e l ) 变换等问题的数值计算将失去效用。因此，本 文把求解高振荡积分的新型、高效数值算法作为研究目的。 第一章简述了高振荡函数的定义及常见形式；然后列举了高振荡 积分的一些应用及现有的一些高效算法，比如f i l o n 方法、f i l o n 型方 法、l e v i n 方法、l e v i n 型方法、渐近法、广义积分方法以及数值最 速下降法。 第二章通过使用多重高频率f o u r i e r 积分的表达式，针对不规则 振荡因子的高振荡函数积分，提出了一个新型有效的参数方法，如果 g ( x ) 有驻点，通过一个简单的代换，驻点可以被忽略掉。方法的有效 性通过具体的算例进行了测试。 第三章利用b e s s e l 函数的渐近公式，将b e s s e l 变换转化成f o u r i e r 变换，再结合h u y b r e c h s 等提出的数值最速下降法，对b e s s e l 变换给 出了一个高效高阶算法。 第四章运用b e s s e l 函数的递进关系式d ( x 9 j v ( x ) ) a x = x 9 一，( x ) ，结 合分部积分法，给出了一个简单、新型高效的渐近方法，即b e s s e l 函数渐近法。 第五章应用同伦扰动方法讨论b e s s e l 函数积分。将积分问题转化 成求解微分方程问题，利用扰动技术，将方程的解写成序列形式 ”= ：。p ，通过构造一个简单的同伦，得到所有的序列项，即方 程的解为“= 畸：。p 。 第六章主要讨论向量值高振荡积分问题。在同伦扰动方法的基础 上，得到了高振荡函数向量值同伦扰动数值积分方法，并对方法的误 差进行了分析，获得方法和l e v i n 迭代方法在初值为常数的情况下是 一致的。 博士学位论文 摘要 关键词：b e s s e l 变换；广义f o u r i e r 变换；渐近法；f i l o n 方法；l e v i n 方法；广义积分方法；数值最速下降法。 博十学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h eq u a d r a t u r eo f h i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l si sac o m p u t a t i o n a l p r o b l e mo fo v e r a r c h i n gi m p o r t a n c ei naw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s ， r a n g i n gf r o mq u a n t u mc h e m i s t r yt oi m a g ea n a l y s i s ，e l e c t r o d y n a m i c s ， p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y , s i n g l ep h o t o ne m i s s i o nt o m o g r a p h ya n d f l u i dm e c h a n i c s n ek e yt ot h e s ep r o b l e m si st oe f f i c i e n t l yc o m p u t e h i 曲l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s t h ec l a s s i c a l i n t e g r a t i o n f o r m u l a ea r e a l l e g e d l y d i f f i c u l tt oc a l c u l a t e h i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s ，s u c ha s g e n e r a l i z e df o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n sa n db e s s e lt r a n s f o r m a t i o n sw h e nt h e f r e q u e n c yi ss i g n if i c a n t l yl a r g e rt h a nt h en u m b e ro fq u a d r a t u r ep o i n t s r l r l l 一 lh ea i mo ft h i sp a p e ri st oe x p l o r es o m en e we f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d s f o re v a l u a t i n gh i g h l yo s c i l l a t o r y i n t e g r a l s i n c h a p t e ro n e ，w ef i r s tg i v et h ed e f i n i t i o no fh i g h l yo s c i l l a t o r y f u n c t i o na n ds o m e g e n e r a le x a m p l e s w ei n t r o d u c es o m ea p p l i c a t i o n sa n d s o m ee f f i c i e n tm e t h o d sf o rh i g h l yo s c i l l a t o r y i n t e g r a l s ，s u c ha sf i l o n m e t h o d ，f i l o n t y p em e t h o d ，l e v i nm e t h o d ，l e v i n t y p em e t h o d ， a s y m p t o t i cm e t h o d 、g e n e r a l i z e dq u a d r a t u r er u l ea n dn u m e r i c a ls t e e p e s t d e s c e n tm e t h o d i nc h a p t e rt w o ，an e we m c i e n tp a r a m e t e rm e t h o di s p r e s e n t e df o r i n t e g r a t i o no fh i g h l yo s c i l l a t o r yf u n c t i o nw i t ha ni r r e g u l a ro s c i l l a t o rb y u s i n gt h ee x p r e s s i o no fm u l t i p l ef o u r i e ri n t e g r a l sw i t hh i g hf r e q u e n c y i f t h e r ee x i s t sn o tt h es t a t i o n a r yp o i n t sf o rt h ef u n c t i o n g ( x ) ，t h es t a t i o n a r y p o i n t sc a nb eo m i t t e db yas i m p l et r a n s f o r m a t i o n t h ee f f e c t i v e n e s sa n d a c c u r a c ya let e s t e db yn u m e r i c a le x a m p l e sf o rt h ec a s et h a t 烈h a s s t a t i o n a r yp o i n t s b a s e do nt h ea s y m p t o t i cf o r m u l ao fb e s s e lf u n c t i o n ，i nc h a p t e rt h r e e w et r a n s f o r mb e s s e lt r a n s f o r m a t i o n si n t of o u r i e rt r a n s f c i r m a t i o n s w eg e t a ne f f i c i e n t ，h i g h e ro r d e rq u a d r a t u r eo fb e s s e lt r a n s f o r m a t i o n sb yu s i n g n u m e r i c a ls t e e p e s td e s c e n tm e t h o d p r e s e n t e db yh u y b r e c h se ta 1 a p p l y i n gt h er e l a t i o nd ( x j , ( x ) ) a x = x 7 山一l ( 力a n di n t e g r a t i o nb yp a r t s ， c h a p t e rf o u rp r e s e n t sas i m p l i e ra n de f f i c i e n ta s y m p t o t i cm e t h o d c h a p t e rf i v ec o n s i d e r st h ei n t e g r a l si n c l u d i n gb e s s e lf u n c t i o n sb y l l i 博士学位论文目录 u s i n g t h e h o m o t o p yp e r t u r b a t i o n m e t h o d t h e i n t e g r a l s a r ef i r s t t r a n s f o r m e di n t ot h ep r o b l e m so fe q u a t i o n s t h es o l u t i o n sa r ew r i t t e n a st h es e r i e sf o r m 掰= 二蚝b yu s i n gt h ep e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e sa n d a l ls e r i e st e r m sc a nb eo b t a i n e db yc o n s t r u c t i n gas i m p l eh o m o t o p y , t h a t i s ，t h es o l u t i o n so fe q u a t i o nc a nb ew r i t t e na s 牡l 川i m ：。p 。心 c h a p t e rs i xc o n s i d e r sv e c t o r - v a l u eh i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s b a s e d o nt h e h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ，w e o b t a i nt h ev e c t o r - v a l u e h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nn u m e r i c a lm e t h o df o rh i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s n e wm e t h o di si d e n t i c a lt ol e v i ni t e r a t i o nm e t h o df o rt h ec a s et h a ti n i t i a l v a l u ei sac o n s t a n t k e y w o r d s ：b e s s e lt r a n s f o r m a t i o n s ，g e n e r a l i z e df o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n s ， a s y m p t o t i cm e t h o d ，f i l o nm e t h o d ，l e v i nm e t h o d ，g e n e r a l i z e dq u a d r a t u r e r u l e ，n u m e r i c a ls t e e p e s td e s c e n tm e t h o d 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：堕佥兰导师签名! 曼；主三雯，日期：! 竺2 年月1 日 博士学位论文第一章文献综述 第一章文献综述 1 1 振荡函数的定义及常见的形式 很多应用数学领域，经常会遇到形如f ( x ) = s ( 缈，g ( x ) ) 的函数，其中缈是参 数。这种函数的特点是国越大，函数振荡的越剧烈。为了更好的呈现这类函数的 特点，我们看下面两个例子。 例1 1 1 正弦函数s ( 彩，g ( x ) ) = s i n c o x 的图形。 图1 1s ( 缈，g ( x ) ) = s i n a ，x ：国= 1 图1 - 2s ( 缈，g ( x ) ) = s i no ) x ：缈= 1 0 图l 一3j ( 缈，g ( x ) ) = s i n f o x ：彩= 1 0 0图卜4j ( 国，g ( x ) ) = s i n c o x ：彩= 1 0 0 0 从以上图形可以获得：对于正弦函数s i n ( 彩x ) ，随着缈的增大，图像振荡的越来 越剧烈。 博十学位论文 第一章文献综述 例1 1 2 第一类b e s s e l 函数s ( c o ，g ( x ) ) = l ( c o x ) 的图形。 图l 一55 ( 缈，g ( x ”= j ，( c o x ) ：缈= l ，1 ，= 2图l 一6s ( o j ，g ( x ) ) = 以( 缈x ) ：国= 1 0 ，v = 2 图卜7s ( c o ，g ( x ) ) = 以( c o x ) ：彩= 1 0 0 ，1 ，= 2 图卜8s ( c o ，g ( 石) ) = ( 缈功：国= 1 0 0 0 ，1 ，= 2 以上图形说明：1 0 的越大，第一类b e s s e l 函数以( 缈x ) 的图像振荡的越来越剧烈。 因此，本文所谈到的高振荡被积函数是指在积分区域上有许多个局部极大 值与极小值点的函数【l 】。 为方便，本文将以模型 一 l f 】- l - 厂( x ) s ( 国，g ( x ) ) a x ， m 为高振荡积分的一般形式，其中函数f y f 1 9 是非振荡函数，参数彩表示被积函数 的振荡频率，被称为振幅函数，g 为( 1 1 1 ) 的振荡因子。一些常见的例子包括： ( 1 ) f o u r i e r 变换 2 博+ 学位论文第一章文献综述 r ( x ) e i a ，g ( x ) 出或r 彳( x ) p 嘲j + 五( x ) p j 】出； ( 2 ) b e s s e l 变换 r ( x ) 以( 彩x ) 出或f 彳( x ) 以( 彩x ) + 五( z ) ( 彩x ) l a x ； ( 3 ) f o u r i e r - b e s s e l 变换 f 厂( x ) e i a ，l g ( x ) j , ( c o x ) 出或f 【石( x ) e i a h g l ( x ) 厶( 彩x ) + 五o ) e i a l l 9 2 ( x ) 也( 国x ) 】出； ( 4 ) a i r y 变换 r 厂( x ) a i ( c o x ) 出或r 石( x ) 彳f ( 彩x ) + 石( x ) 彳f ( c o x ) d x 。 当频率缈很大时，传统经典积分方法求解积分( 1 1 1 ) 是失败的。众所周知，像 n e w t o n c o t e s 型或者g a u s s 型等经典积分方法都是基于多项式插值，多项式插值 不适合振荡函数的逼近，其原因是，经典方法计算积分( 1 1 1 ) 总是用复合积分法 【1 】，为了消除振荡的影响，积分区间【以，6 】子区间的数目不得不与振荡频率c o 是 相称的，这意味着积分点的数量与频率有关，随之而来的结果是方法的运算量随 国线性增加，进一步说这些积分方法所产生的误差会随缈的增大迅速增加。因此， 我们必须寻求一些新的方法计算高振荡积分( 1 1 1 ) 。 1 2 高振荡积分的应用 在探究计算高振荡积分的方法之前，首先简单的说明一下它的应用。大家 知道，无论我们身处何处，波每时每刻都伴随着我们。波的问题出现在很多学科 中，例如，电磁学、非线性光学，流体力学，计算机化层面x 线照相术、天体力 学以及s c h r 5 d i n g e r 系列问题的计算【2 2 】。波表现为两种状态：静态或动态，即 非振荡与振荡状态。从信息传播方式上看，对于静态传播，信息随传播距离的增 加而丢失。从数值方面看，意味着在远距离的静态或低振荡状态能够得到很好的 近似，有效的数值算法使数值模拟成为可能。从另一方面讲，说明了高频率波问 题将是更值得关注的问题。事实上，在很多情况下研究高频率问题实际上就是研 究高振荡微分积分方程问题。而高振荡微分积分方程包括大量的振荡积分的计 算。因此，微分积分方程的有效解法需要这些积分得以有效的求解。反之，对 振荡积分特性的研究可以导出求解高振荡微分积分方程的一些新方法的诞生。 下面我们列举一些常见的且非常有用的高振荡问题，例如： 与时间无关的一维s c h r 5d i n g e r 方程 一旦_ d 2 w ( x ) + u ( x ) 甲( x ) ：e w ( x ) 。 3 博士学位论文 第一章文献综述 与时间相关的一维s c h r 5d i n g e r 方程 一笔学删胛( x , t ) = i h 丁o w ( x , t ) ， 其中e 是一个常数，u ( x ) 是位势，甲( x ) 是波函数，m 是质量，壳= h 2 r c ，h 是 波长。s c h r 6d i n g e r 方程是波现象的基本模型，它在量子与等离子物理以及化学 学科中占据非常重要的地位。在这类问题中，高振荡还经常与非线性、大位势、 可积性以及汉密尔顿现象联系在一起，因此，它的分析与计算对我们具有很大的 挑战性。 第二类v o l t e r r a 积分方程 五“( x ) + f g ( x ，y ，u ( y ) ) d y = 厂( x ) ，x 口，名0 ， 函数u ( x ) 是未知函数。由于方程与g 有关，因此方程可能是非线性的。第一类 线性v o l t e r r a 积分方程有 e g ( x ，y ) u ( y ) d y = 厂( x ) ，x 口。 第二类f r e d h o l m 积分方程 a ( c o ) u ( x ，彩) + e g ( x ，y ，”，c o ) a y = 厂( x ) ，x 【口，6 】，兄0 。 相应的谱问题 五( 国i ) 甜( x ，玫7 ) + lg ( x ，y ，甜，c 驴) a y = o ，x 口，6 】，名0 。 核函数g ( x ，y ，u ，国) 可能是连续的，也可能是奇异的。f r e d h o l m 积分方程在电磁 学和激光理论中受到广泛的关注。但是因为特征函数是高振荡的，所以常用的方 法受到了挑战。c o c h r a n 等对于a ( 国( x ，国) + e g ( x ，y ，f d , c o ) a y = 0 的核函数为 g = p 。呻的情况进行了分析 1 2 3 。对于g = e 帅一叫的渐近行为，u r s e l l 进行了研究 【1 2 4 。对这个核更详细的调查，包括特征值和解的近似扩展式，b r u n n e r , i s e r l e s 和 n o r s e t t 做了研究 1 2 5 。从得到的结论可以看出：求解高振荡积分方程是一项困 难而复杂的工程。 振荡磁场中的一类积分微分方程 警= 叫咖坝r ) f c o s ( 纬咖。) a s + 觯) ， 其中口( ，) ，6 ( f ) 和g ( t ) 是给定的带电粒子时间周期函数 1 2 6 。 当然，高振荡积分还有很多新的用途，这里不一一指出。除这些新的用途 博士学位论文 第一章文献综述 之外，一些传统应用也是非常重要的，例如，很多特殊函数可以表示成高振荡函 数积分。 a i r y 函数【2 】 似加妻j c o c 。s ( 手捌渺。 b e s s e l 和h a n k e l 函数【2 】 以( z ) = - 芴1 j c r c 。s ( n t - x s i n ，) 西， ( x ) = 丢j c r s i n o s i n t - n t ) 西一昙j c o 瞳脚+ ( 一1 ) ”p 州p 。s i n h 衍， 磁”( x ) = 以( x ) + i y o ( x ) ， 厶砭2 ( x ) = 以( x ) 一f k ( x ) 。 e r r o r 函数( z 为复数) 【2 】 e r f ( z ) = 去r e - ? d t 。 ) = 辜e 。 q 刀“ 小完全g a m m a 函数( z 为复数) 【2 】 r ，z ) = f t 口- l e - , d t 。 正弦、余弦与指数积分【2 】 叭加一j c 0 挚， 嘶) = _ f 争， 驰) = j f o 。 超几何函数【2 】。 基本超几何函数 1 2 2 。 既然特殊函数能够用高振荡积分来表示，那么如果高振荡积分能够得到很好 的解决，特殊函数的计算精度就会有很大的提高空间。对于大多数特殊函数来说， 计算通常使用渐近展开式。然而在复平面的不同区域同一特殊函数将有不同的渐 近式，除非使用更精确的工具，否则不同的展开式之间将存在巨大的误差。 5 博士学位论文第一章文献综述 1 3 计算高振荡积分的有效方法 近年来，一些基于f o u r i e r 变换f 厂( x ) p 嚼t j 凼的有效方法不断被创立，例如： a s y m p t o t i cm e t h o d 21 2 7 ，f i l o n t y p em e t h o d 21 2 7 ，l e v i n t y p em e t h o d 4 0 4 6 ， n u m e r i c a ls t e e p e s td e s c e n tm e t h o d 31 ，32 】，e x p o n e m i a lf i t t i n gm e t h o d 8 6 - 9 0 】， g e n e r a l i s e dq u a d r a t u r er u l e s 1 5 2 0 】。对于积分系统中含有b e s s e l 函数的积分 1 f ( x ) j v ( 缈x 胁，有a s y m p t o t i cm e t h o d 4 7 ，4 8 ，5 2 ，5 8 】，f i l o n t y p em e t h o d 5 8 ，5 9 】， l e v i n t y p em e t h o d 4 7 ，4 7 ，5 2 ，5 8 和g e n e r a l i z e dq u a d r a t u r er u l e s 4 7 ，4 9 。以上所提及 的方法有一个共同点：当频率缈增大时，所需要的计算量是不变的。这些方法基 于事实：积分的值仅仅与函数厂，g 在端点口和b 的状态，以及g 的驻点有关。所 谓的驻点是指满足条件g w ) = 0 的点。这些点的重要性是被积函数在驻点附近是 局部不振荡的。因此，除端点和驻点之外，我们可以不考虑被积函数的振荡性。 计算高振荡积分的方法可以追溯到1 9 2 8 年l n gf i l o n 创立的f i l o n 方法【6 ，7 】。 d l e v i n 在1 9 8 2 年利用配置原理提出了l e v i n 方法【2 8 】，1 9 9 6 年对方法进行了系 统阐述【2 9 】，1 9 9 7 年对方法的误差进行了分析【3 0 】。a i s e r l e s 等使用分部积分法 创立了a s y m p t o t i c 方法 2 1 2 7 ，而后在f i l o n 方法的基础上创立了f i l o n - t y p e 方 法 2 1 2 7 。s o l v e r 等在l e v i n 方法的基础上提出了l e v i n t y p e 方法 4 0 4 6 。d h u y b r e c h s 等利用积分区间中的新路径与g a u s s l a g u e r r e 积分法创立了n u m e r i c a l s t e e p e s td e s c e n tm e t h o d 3 1 ，3 2 】。ga e v a n s 等根据l a g r a n g e 恒等式提出了 g e n e r a l i z e dq u a d r a t u r er u l e s 15 2 0 。 这些新方法的发展在于计算工具的发展，新工具的出现允许i f 】的计算可以 带有任意高的渐近阶。也就是说，如果新方法的误差满足 ，【门一q f 】= o ( c o ”。) ，缈寸o o ， ( 1 3 1 ) 则i f 】的一个近似研厂】有渐近阶j ，s 0 。这意味着近似值与精确值的绝对误 差随频率彩的增大迅速下降。如果不存在驻点，对于很大的国，利用分部积分法， 通过截断l f 】的渐近扩展式，可以得到有着高渐近阶的a s y m p t o t i c 方法。这种方 法是其它方法的基础。具体讨论可参考【2 7 】。下面对几种高精度方法进行简单的 叙述。 6 博士学位论文 第一章文献综述 1 3 1 渐近法 如果经典积分方法不适合，一个直率的选择是利用渐近法。不像以前的近 似，渐近法的精度将随频率的增大而提高，如果能够得到f 和g 足够高阶的导数， 那么精度也能得到任意高阶，而且获得的展开式所需的计算量与频率国无关。更 让人惊奇的是计算仅仅与积分区间的端点有关，如果需要更高的渐近阶，那么就 还与端点的导数值有关。当然，渐近法也有一个很大的缺点：当频率缈固定时， 渐近法通常是不收敛的，方法的精度将受到限制。 ( 1 ) 高振荡f o u r i e r 积分 j 【厂】= e 厂( x ) p 胁g 臼) d x 。 ( 1 3 2 ) 对于g ( x ) 0 的情况 假设g 不存在驻点，即在积分区间内对任意的x ，有g ( x ) 0 成立，直接的 方法是反复运用分部积分法得到渐近展开式。展开式的首项可按照下列方法获 得： 彤】= r m 妙怔去r 器专哪出 i o j 嚣g 拶) 一篇g 咖) 】- 三l o ) r 旦d x 【嚣g 妙饥 ( 6 )( 口) 。 七 。 ( x ) 。 渐近项 土【掣p 蚓们一盟p 吲a 】 ( 1 3 3 ) i c o g ( 6 )g ( 口) 4 逼近积分，【门，它的误差为 一去磋c 嚣肛叩- 2 ) 。 因此振荡的越厉害，( 1 3 3 ) 将越近似于积分( 1 3 2 ) 。反复重复这个过程，将得到 任意阶的渐近式： 引理1 3 1 【2 1 2 7 】对于积分e 厂( x ) p 。孵o ) d x ，其中f ，g 是光滑函数，假设在积 分区间内有g ( x ) 0 ，且 【】( x ) = 厂( x ) ， 咄) = 瓦d 等小0 ，l ，2 。 7 博+ 学位论文 第一章文献综述 鄹对f o o 。 耵卜喜南 嚣) 一嚣州) ) o ( 1 3 4 ) 引理1 3 1 的一个直接结果是渐近法： 硝们一荟高1 萧r a g ( b ) 们( 旷斋i c a g ( a ) 们。) ) o ( 1 3 5 ) h 疗疗 引理1 3 2 2 1 2 7 】对于光滑函g f f 和g ，在积分区间内，如果g ( x ) 0 ，则渐 近法( 1 3 5 ) 的误差满足： 醇 f - i f 卜o ( e 0 1 1 ) ，缈一o o 。 ( 1 3 6 ) 1 0 蕾i 蠢剪_ 再1 0 孵孀帕，曩叠秘曹柚1 1埔，i 曩，m 再蛳m 1 羽 - 9 渐近法簖 c 。s ( x ) 】计算f c o s ( x ) p 叫，出。绝对误差乘以国2 ：，= 1 ( 左图) ；绝对 误差乘以缈4 ：l e = 3 ( 中图) ；绝对误差乘以缈6 ：n = 5 ( 右图) 。 图1 - 9 反映的是用渐近式的部分和来近似积分 f c o s ( x 弦砌，+ 剃d x 。 图形说明：在扩展式中如果项数增加，则近似值所产生的误差将随着缈的增大而 趋向于零。 假如存在孝【a ，b 】，使得g t ( 孝) = g ”( 孝) = = g ( o ( 孝) ，g “1 偕) 0 ( 1 3 2 ) 可以重新写成： ，【门= 丢t - t 而i 厂气孝) r ( x 一孝) 彩吣( j ) 出+ rl 厂( x ) 一丢t - t 万1 厂( 孝) o 一亏) 】p 魄( x ) 凼。 8 博士学位论文第一章文献综述 弓i 理1 3 3 【2 1 2 7 】今i f 】的广义矩为： ，( c o ，手) = 歹 ( x 孝) 歹】= c ) d x ( x - oe o g t x ) d x ，j 0 ， ，手) = 歹 ( x 孝) 】= l ， 。 m 扁 厂】( x ) = 厂( x ) ， 伽，：丢竺萼t - i1 一一。 则对于彩专， 彤】鬈去驰胡薹丽1 脒) 一艺k - l 上( - - i 国) k 而e i o j g ( b ) 川以6 ) _ 阳眦) 】 一斋嘛一l 厂】( 嵋- t l 厂】( 毋】 口 ( 1 3 7 ) 引理1 3 4 【2 卜2 7 】对于光滑函数厂和g ，假设存在善【口，b 】，使得g ，( 9 = g 弋0 = = g 7 ( 孝) ，g “1 ( f ) 0 ，截断展开式( 1 3 7 ) 定义的渐近法为： q a t f = 芸去咖期萎击椰k ) 一喜击 嚣川抓垆枷赠) 】 一杀【所一， 厂】( 口) 一级一。【厂】( 孝) 】) ， ( 1 3 8 ) g 【口j 其中广义矩以( 织孝) = r ( x 一善) 7 p f 孵j 出。 则对于专o o ， 鳞【门一i f 】= o ( 缈叫。悱1 ) 。 ( 1 3 9 ) ( 2 ) 对于一般高振荡积分 堰厂】= r 羔k = l 以( x ) ，x ) 出兰r f ( x ) ( 缈，x 进， ( 1 3 1 。) 其中，( 功= ( 石( 力，以( x ) ，厶( x ”7 是一m 维非高振荡函数，w ( c o ，x ) = ( w l ( 缈，x ) ， ( 国，x ) ，( 缈，x ) ) 7 是一个与国有关的m 维线性无关高振荡函数，“ 表示内 积，“t 表示转置。假设 9 博士学位论文 第一章文献综述 其中彳( 国，x ) 是一个m x m 非高振荡函数矩阵。对于( 1 3 1 0 ) ，文献【4 7 】得到了一个 广义渐近法。 引理1 。3 5 4 7 】假设( 缈，x ) = 么( 国，x ) w ( t o ，x ) ，其中x ( c o ，x ) 是一个非奇异删高 振荡函数矩阵，b ( c o ，x ) = ( 毒二a ( c o ，x ) ) ，且当f ( 彩) 0 时，b ( c o ，x ) 以及它 c 1 0 9 的s + l 阶导数一致有界，w ( c o ，x ) ，b ( 缈，x ) c 1 口，b 】。令 e ( x ) = f ( x ) ， 最+ l ( x ) = ( 艿r ( c o ，x ) 最( x ”，k = 1 ，2 ，。 则当c ( ) 0 时， f 凡力矿x 渺喜专拳哦( 6 ) 烈皑功6 ) 一e ( 砂b ( c o , a ) w ( 魄硼。( 1 3 1 2 ) 引理1 3 6 4 7 】对于积分r f ( x ) w ( c o , x ) d x ，假设缈( 缈，x ) = 么( 缈, x ) w ( c o , x ) ，其 中a ( o ，x ) 是一个非奇异朋m 高振荡函数矩阵，b ( c o ，x ) = ( 毒i a ( o j ，x ) ) ，且当 c ( 缈) c ( 彩) 0 时，b ( 彩，x ) 以及它的s + l 阶导数一致有界，w ( c o ，x ) ，b ( 缈，x ) c 1 口，b 】。定义渐近法为： 硝们= 喜筹吲悯蜊嗡6 ) 堋力b ( c o , a ) w ( 纰训，( 1 3 1 3 ) 则误差满足关系式： e l f 钢i 卅洲d ( 警) 。 ( 1 3 1 4 ) 特别，对于f ) j , ( o x ) d x ，令形( 缈，z ) = ( 。( c o x ) ，五( 彩x ) ) r ，f ( x ) = ( o ，( x ) ) r 且 0 引口，b 】，由第一类b e s s e l 函数的递推关系： j v - i ( x ) ：v - lj , 一l ( x ) 一- i v ( x ) 了。v ( x ) = 一。( x ) 一 五( x ) l o 博士学位论文第一章文献综述 得至0 彳( 缈，x ) = 1 ，一1 一岔) x v 国 一一 x ，因此对于r ( x ) 山( 缈x ) 出有结论： 研门= l ，i f 一鲫州= d ( 嘉) ； 对于f 厂( x ) c 。s ( q x ) 山( 国x ) d x ，令形( 缈，x ) = o 铂。 一。( c o x ) ，p i o h x 山( 国x ) ) 7 ， f ( x ) = ( 0 ，厂( x ) ) r ，有 则 形( 缈，x ) = 她+ v - 1 一缈 x v 国 z q 一一 x r e ( a , ，x ) 。 形】_ i 彤卜q ；e ：1 1 却( 南) 。 1 3 2 f i l o n 方法及f i l o n t y p e 方法 第一个求解高振荡积分的著名数值方法是l o u i sn a p o l e o ng e o r g ef i l o n 于 1 9 2 8 年创立的f i l o n 方法【6 】，这个方法是针对高振荡f o u r i e r 积分 r m ) s i n a , x d x 和 j c o 掣s i n a , x d x 所提出来的。 f i l o n 起初构造f i l o n 方法时，将积分区间分成长度为h 的2 刀个小区间， 在每个小区间上运用s i m p s o n 公式。换句话说，函数厂在每个小区间的端点和中 间点被插值。这样，在每个小区间上积分被转化成了一个多项式与振荡核s i n 僦 的积的形式，这个积分通常能够被显式的计算出来。在原始文章中，f i l o n 方法 的误差界满足 c s i n 丝( 1 一上s e c 丝) 。 2 、1 64 从界的表达式好像得到：为了保持精度，当国增大时，h 必须减小。但事实并非 如此，精度实质上随频率的增大而提高，这也是f i l o n 未能认识到的。 yk l u k e 通过在小区间使用高次多项式，进一步扩展了f i l o n 方法【1 0 1 。 一个基于大区间的f i l o n 方法被e a f l i n n 在文献【7 】中提出来。m c h r y s o s 把 f i l o n 方法推广n 1 2 7 ： 博+ 学位论文第一章文献综述 r m ) & c o s 抛。 对于般的积分( 132 ) ，可令v ( # ) = q z - 设区问 日6 1 内存在结点o ： 口= c l = b ，使得对于0 s ，s ，有 v ( c j ) = f ( c j ) 。 ! | i | ， ， = r ，( z ) e 咖“出* r v ( z k 鲫“出2 砉q r z e 删“出5 a ”【， ，( 1 3 1 5 ) 蚓卜i o l o u i s n a p o l e o n g e o r g ef i l o n 积分f l32 ) 的计算依靠矩f x , r s p ) d x 的计算。一般情况f ，这个矩是很难训算的 这也是f i l o n 方法的缺点。当然，对于有些矩是能够显式的表示出来的，例如： p e “女= 击【r ( 1 + k , - i 一) - r ( i + k , - i 咧【2 ， p ”出= 南【r ( 等h ( 等，咖 2 , 2 3 , 5 0 。 对于f i l o n 方法的误差，l s e r l e s 给h 了证明。如g u ) 0 ，l s e r l e s 得到： l i f 一q + i f 卜d ( m 4 ) ，m 斗； 如存在f e ( 口，6 ) ，使得gx f ) = g 弋f ) = = g 7 ( f ) = 0 ，g l t + 1 ) ( # ) 0 ，l s e r l e s 得到 ， ，】一矿i f 卜o ( t o 。) 博士学位论文 第章文献练述 在f i l o n 方法的基础上，i s e r l e s 和n o r s e t t 基j 二f o u r i e r 积分得到了f i l o n 刑方法：令s 是一个正整数， m a ：是一个与结点= 岛 c 、= 6 有天的集 合，且，。j 。假设v ( ) = 吼以( x ) ，n = 一1 ，对于o k v 满足： v ( q ) = ( q ) ，v ( c ) = ，+ ( 0 ) ， ，v “( c ) = ，“_ 。1 ( q ) a 则 “仆醇【，】= 砉q 胁咖”出。( i 3 1 6 ) 簋塞 蚓卜1 1 a r i e h l s e r l e s ( 芹i n ) ，s y v e r t r n o r s e t t ( 2 s 幽 对于口t b 有g y x ) 0 ，则f i l o n 型方法的误差满足 酵【，】一l i f l o ( o 一。) ，m _ - ( 131 7 ) 对于区问【以剀内的一点或者多点有g ( x ) 的导数为零，即存在善f d ，川，使得 g 。( f ) = ( f ) 一= g 。( f ) = o ，g l t m ( f ) 0 时，f i l o n t y p e 方法的误差满足 科l 厂卜z f - o ( 一“) ，甜斗。 ( 1318 ) 文献【5 8 ，5 9 1 制i 了计算含有高振荡第一娄b e s s e l 函数j ，( 州) 有限区间上 形如积分 ， ，】= r ，( z ) ( m x 冲 1 3 博士学位论文第一章文献综述 的f i l o n t y p e 方法，其中1 ，是一个非负整数，f ( x ) 在【口，b 】上充分光滑。假设 v ( x ) = 哝x ，刀= z m - 1 ，对y - o _ k m 满足： 则 v ( q ) = f ( c k ) ，1 ，( q ) = f ( 吼) ，1 ，一1 ( ) = 厂帆一1 ( 吼) 。 ( 1 3 1 9 ) ，i f 饼【门= 窆k = o 乃r ( 僦) 出。( 1 3 2 0 ) 矩可以通过m a p l e 软件显式的表示成 ，(