（概率论与数理统计专业论文）不完全市场中的分位点套期保值问题.pdf

摘要 分位点套期保值问题在资产定价理论及金融投资实务中都有深刻背景和广泛的应 用在完全金融市场情形，该问题已经有了比较完善的研究，最优解的存在性证明和具 体刻画问题都已被很好得解决在不完全市场情形，该问题的研究才刚刚开始，最优解 的存在性已经得到证明，但是具体的构造依赖于特定的市场结构本论文主要研究不完 全市场的分位点套期保值问题。我们假定市场的投资机会集包括n 支满足几何布朗运动 模型的股票和1 个银行现金帐户，股票的波动率及现金帐户的利率可以是随机过程，市 场上存在一个在t 时刻到期的未定权益c ，投资者希望寻求最优的投资策略使得t 时 刻的财富超过c 的概率最大我们首先运用经典的效用极大化投资组合优化问题中常 用的对偶方法给出了上述一般框架下的最优解的刻画及求解步骤，然后运用随机分析理 论中经典的鞅的时变定理给出了最优解的精细刻画随后我们在v 嬲i c e k 随机利率模型 下，证明了最优解只依赖于一个布朗积分泛函的概率密度，运用广义c a m e r o n m a r t i n 公式求得该概率密度的拉普拉斯变换的显式表达，再进行逆拉普拉斯变换得到概率密 度的数值解该数值计算程序具有很好的计算效率 关键词：分位点套期保值，不完全市场，对偶方法，鞅时变定理，v l s i c e k 利率模型， 拉普拉斯变换，广义c a m e r o n m a r t i n 公式 a b s t r a c t q u a n t i l eh e d g i n gp r o b l e mh a ss i g n i 丘c a 砒b a c k g r o u n da n dp r a c t i c a lr e s e a r c hi n c e n _ t i v ef r o mb o t ha s s e t sp r i c i n gt h e o r ya n df i n a n c i a li m 髑t m e n ta c t i v i t y t h i sp r o b l e m h a sb e e n r e us t u d i e di nt h ec o m p l e t e 缸a n c i a lm a r k e ts e t t i n g s ，f o rb o t ht h ee x i s t e n c e o fo p t i m a ls 0 1 u t i o na n dc o n c r e t ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h es o l u t i o n b u ti tj u s tb e g i n st o s t u d yt h a tp r o b l e mi nt h es i t u a t i o no fi n c o m p l e t em a r k e t s a l t h o u g he x i s t e n c eo ft h e o p t i m a ls 0 1 u t i o ni nt h i ss i t u a t i o nh a sb e e np r o v e d ，d e t a i l e dc 0 i l s t m c t i o no ft h es o l u t i o n d e p e n d so nt h es p e c m cs t r u c t l l r eo ft h em a r k e ts e t t i n g s i nt h i sp a p e r ，w em a l i n l ys t u d y t h e ( 1 u a 础i l eh e d 酉n gp r o b l e mi ni n c o m p l e t em a r k e t s w ea s s u m et h ei n v e s t m e n to p p o r t u n i t ys e ti nt h em a r k e tc o n t a i l l sng e o m e t r i cb r 伽m i a nm o t i o nm o d e l e ds t o c k sa n d o n eb a n ka u c c o u n t ，w h e r ee i t h e rt h ev o l a t i l i t y0 ft h es t o c k so rt h ei n t e r e s tr a t eo ft h e b a n ka c c o u n tm a yb es t o c h a s t i cp r o c e s s e s t h e r ei sac o n t i n g e n tc l a i mcw h i c he x p i r e s a tt i m eta d l dt h ei n 、，e s t o rw a n t st of h dt h eo p t i m a ls t r a t e g yw h i c hm a x i m i z e st h e p r o b a b i l i 锣o f1 1 i s h e rw e a l t hm e e t i n go re x c e e d i n gt h ev a l u eo ft h ed a i mca tt i m et w e 缸s t l ye m p l o yt h ed u “t ya p p r o a c h 胁n i n a u ri nt h eu t i l i t ym a 砸m i z a t i o nl i t e r a t u r e s t oc h a r a c t e r i z et h eo p t i m a ls o l u t i o n s e c o n d l y ，弋) l 陀u s et h ec l a s s i c a lt i m 争c h a n g i n gf o r m a r t i n g a l e st h e o r e mt og e ta d 、吼c e dc h a r a c t e r i z a t i o no ft h eo p t i m a ls o l u t i o n t h e n ，i n t h ec a s eo fv 缸i c e ki 1 1 t e r e s tr a t em o d e l ，w es h o wt h a tt h eo p t i m a ls o l u t i o no n l yd e p e n d s o nt h ep r o b a b i u t yd e n s i t yo fab r 们m i a ni n t e g r a t i o nf u n c t i o n a l f i n a u y w ec a l c u l a t e t h el a p l a c et r a n s f o r m a t i o no ft h a tp r o b a b i l i t yd e n s i t y 唧1 i c i t l y a n dg e tt 1 1 ep r o b a b i l i t y i i i d e n s i t yn u m e r i c a l l yb yi n v e r s el a 讲朗et r a n s f o r m a t i o n t h i sn u m e r i c a lp r o c e d u r eh & s v e r yg o o de 璇c i e n c yi nc o m p u t a t i o l l k e y w o r d s ：q u a n t i l eh e d 酉n g ，i n c o m p l e t em a r k e t s ，d u “t ya p p r o a c h ，t i m e - c h a n g i n g f o rm a r t i n g a l e s ，v a s i c e ki n t e r e s tr a t em o d e l ，l a p l a c et r a 璐f o r m a t i o n ，g e n e r a l i z e dc 锄e r o n - m a r t i nf o r m u l a 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：逊 枷悔彭月簟日 第一章引言 1 1 课题背景 在现代金融理论中，关于无套利假设下完全金融市场中的未定权益定价和套期保 值问题，已经有了比较完善的研究( 【1 0 】， 2 6 】) 从现代投资组合理论( p 0 r t f 0 1 i ot h e o r y ) 的角度，在无套利假设下，对于完全市场中的任何未定权益，我们都可以根据某种自融 资投资组合策略来构造基本资产的组合，使得此组合能完全复制该未定权益，即实现 无风险套期保值，而此复制组合的价格就是该未定权益的理论价格或者称为公平价格 ( f a i rp r i c e ) 从这个意义上讲，在完全金融市场无套利假设下，任何未定权益都是可达 的( a t t a i n a b l e ) 从数理金融( m a t h e m a t i c a lf i n a 1 1 c e ) 的角度，在无套利假设下，完全金 融市场存在唯一的等价鞅测度( e q u i v a l e n tm 盯t i n g a l em e a u s u r e ) ，任何未定权益在该测度 下的期望就为此权益的公平价格在这种市场中，投资者想要对某个未定权益进行无风 险套期保值，则必须要拥有大于或等于其公平价格的初始资本 金融实务中更为常见的是不完全金融市场在该情形下，等价鞅测度不再唯一，并 且不是每个未定权益都是可达的在这种情况下，未定权益的无套利价格是一个区间， 区间中的每一个取值对应着此权益在某个等价鞅测度下的理论价格区间的上端点称 为最大价格( m a 撕h m mp r i c e ) ，即在所有等价鞅测度下的理论价格的上确界；投资者若 要对某未定权益进行无风险套期保值，则初始资本至少应该等于该最大价格。区间的下 端点称为最小价格( m i n i i n u mp r i c e ) ，即在所有等价鞅测度下的理论价格的下确界，是 此权益的最小公平价格( 2 1 第2 0 0 页) 最大价格对应的投资组合策略被称为超复制策 略( s u p e r r e p l i c a t i o ns t r a t e 百e s ) 或者超套期保值策略( s u p e r h e d 舀n gs t r a t e g i e s ) ，投资者 通过采用超复制策略，也能对未定权益进行无风险套期保值超复制策略投资组合的价 值过程在任何等价鞅测度下都为上鞅( 1 1 】， 2 0 】) ，相应的超复制策略由上鞅的可选分解 ( o p t i o n 越d e c o m p o s i t i o n ) 决定( 【2 2 】) 但是从现实的观点来看，超复制的成本即最大价 格通常太高( 1 3 ) 1 中国科技大学硕士论文 如果投资者初始资本较少，不能达到复制策略或者超复制策略的初始资金额，或者 投资者虽然有足够的初始资本但是不愿意支付过高的价格来实现无风险套期保值，反 而愿意承担一定的风险来获得相应的风险回报，那么投资者会寻求在初始资本限制下 使得套期保值概率最大的投资组合策略，这就是所谓的分位点套期保值问题( q u a n t i l e h e d g i n gp r o b l e m ) 具体地，我们将分位点套期保值问题描述如下：市场上存在一个在? 时刻到期 的未定权益c ，投资者初始资本为z ，记 x 叩( t ) ) o 坯t 表示投资者采用投资组合策略 丌( 亡) ) o 垤z 时相应的财富过程投资者希望找到一个最优的投资组合策略 7 r 。( 亡) ) o 垤丁， 使得在这个策略下，概率p 霸丌( t ) q 最大 上述内容论述了分位点套期保值问题在理论上的研究需要，事实上，在金融投资实 务中，对该问题的研究也有深刻背景和广泛需求现代投资组合管理在实务上分为消极 组合管理( p a s s i v ep o r t f 0 1 i om a n a g e m e n t ) 和积极组合管理( p o s i t i v ep o r t f 0 1 i om a n a g 争 m e n t ) ( 3 2 】) 消极组合管理是指按照某种指数( i n d e x ) 或者基准( b e n c h m a r k ) 的资产构 成来被动地构建投资组合，包括资产选择和权重分配采用该组合管理思想的投资组合 基本以追踪或者复制某种指数或者基准为目标例如，指数基金( i n d e xn n d ) 就是典 型的按照消极组合管理思想来操作的投资组合而积极组合管理正好相反，是以超过某 种指数或者基准的收益率为业绩目标的投资组合管理思想例如，s p5 0 0 指数的收 益率就常常被用做投资组合的相对业绩评价指标采用积极组合管理思想的投资组合 经理往往寻求最优的投资组合策略来使得此组合的收益率超过某指数或基准的收益率 的概率达到最大( 事实上，华尔街很多对冲基金就是按照其收益率是否超过某种指数或 者基准的收益率来决定交易员的分红( 【1 6 】) ) 指数或者基准的收益率往往是随机的，并 且如果基准是某些共同基金时，该基准的收益率常常要在特定的时间才能公布，在这些 情形下，寻找最优投资策略就是分位点套期保值问题的研究目的注意，对于投资组合 管理中的上述情形，只需要在上一段我们对分位点套期保值问题的描述中，将未定权益 c 考虑成目标指数或者基准在t 时刻的收益率即可，问题的本质不变 2 第一章引言 1 2 文献综述 理论文献中对于分位点套期保值问题的研究，首先考虑的是t = 且未定权益c 为常数的情况在这种情形下，给定初始资本z 满足o z c ，【9 】研究了离散时间框 架下的分位点套期保值问题； 2 8 】和【2 9 】研究了连续时间框架下关于扩散过程的分位 点套期保值问题； 1 】、 2 】和【2 4 】研究了与著名文献 2 5 中所处理的以末期财富或消费 的期望效用最大化为目标的最优投资组合策略问题的一些推广相关的分位点套期保值 问题 由上一节可知，不管是金融投资实务中的投资组合管理问题，还是资产定价理论中 的未定权益定价与套期保值问题，几乎所有的情形都是在t 为有限时刻即t 0 ，i = 1 ，佗 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 打( 芒) = a ( 芒，r ( t ) ) 砒+ p ( t ，r ( t ) ) d b ( 亡) ； r ( o ) = r ( 2 3 ) 其中，岛( ) 表示银行现金帐户的变化过程，& ( ) ，叉( ) 表示股票价格的变化过 程( ) = ( w 1 ( ) ，n ( ) ) 7 为在腑n 中取值的佗维标准布朗运动，b ( ) 为在跪1 中 取值的1 维标准布朗运动，二者相互独立，定义在完备的概率空间( q ，孑，p ) 中，我们 进一步定义空间的域流为砸：= 厂( 亡) o t o t t 循序可测的投资组合策略 我们只考虑所谓的关于初始资本z “容许”的投资策略丌( ) ，定义为满足詹| | 丌( t ) 1 1 2 。o ，口s 以及x 卵( 芒) o ，o 亡t 这两个条件的投资策略我们用“容许集”4 ( z ) 来 表示所有“容许”的投资策略的集合即我们考虑的投资策略丌( 1 ) 4 ( z ) ，o 芒t 在上述框架下，我们的研究目的就是要找出成功套期保值的最大概率以及相应的 投资策略用数学的语言表达，我们的问题为： y ( z ) 兰y ；c ) ：=s u pp x z ，霄( t ) q( 2 1 1 ) 7 r ( ) 一4 ( z ) 8 第二章不完全市场情形的最优解 其中c 是未定权益。为了使我们的上述问题有意义，我们对初始资本做出如下限制： c 厂( t ) ；z c ( o ) ：= 7 ( t ) q ( 2 1 2 ) 这样限制就排除了平凡的情况 解 2 2 一般情况的最优解 在本节中，我们叙述并证明的定理将给出在一般情况下，我们考虑的问题的最优 定义所谓的“状态价格密度过程”( s t a t ep r i c ed e n s i t yp r o c e s s ) 如下： 日 ) ：= 7 ) z ) ，o 亡t 并且定义如下的函数及该函数的一个关键点 ( 2 1 3 ) k ( ) ：= 岛阻( t ) c 丘吠盯( t ) 1 】，o o ：k ( ) c ( o ) 一z ) ( 2 1 5 ) 显然，函数k ( ) 是单调递增并且右连续的函数。 定理2 1 给定z o ，q ( o ) ) 以及毒( o ，。c ) 】，存在集合e 厂( t ) 和一个投资策略过程 亓( ) 4 ( z ) ，使得： x 。亓( t ) ：= c h ( t ) c s l ) 一c 毛n ( 扭( r ) c ：l ， ( 2 1 6 ) 满足 p x z ，亓( t ) q = y ( z ) = s u p尸 x 。一( t ) c 】 7 r j 以忙】 以及 7 ( t ) x z ，亓( 亡) ：= e q h ( t ) x z ，青( 丁) i 厂( ) 】 9 中国科技大学硕士论文 = z + 弁) ，y ( 乱) 盯( 让) d 形( u ) ( 2 1 7 ) 吣伽) = 名黥) s 。) + 泐 ：2 c ( 叫) ， i ，c ( 训) 1 ( 2 1 8 ) 【 1 ，z ，o f c ( 叫) 1 、7 豫： 。，善嚣赫 仁聊 【c ( 叫) 如( 叫) ， i ，c ( 叫) = 1 进一步，有： p x 霄( t ) c ) 昂 u 爿( t ) ) 】一f e 日( t ) c x 羁丌( t ) 】 耳 矿 h ( t ) ) 】一f ( c ( o ) 一z ) = g ) 一f ( c ( o ) 一z ) 一k ) 】：= f )( 2 2 0 ) 1 0 第二章不完全市场情形的最优解 上式中的第二个不等式由如下事实保证：在概率测度q 下，7 ( ) x 即( t ) 为正的局 部鞅，所以为上鞅( 2 2 0 ) 中的记号g ( ) 和k ( ) 由如下定义： g ) ：= p 睦c 日( t ) 1 】，o 。， k ( ) ：= 马阻( t ) c c ( t ) 芝1 ) 】，o 0 由下式给出： 霉= i 佗， 莓 o ：k ) c ( o ) 一z ) ( 2 2 2 ) 再次回到式( 2 2 0 ) ，该式中的不等号要变成等号，当且仅当如下两式成立： c x z 亓( t ) = c 曲( t ) c l ，+ c 毛n 由( 丁) c ：1 o s ( 2 2 3 ) 以及 e 【日( t ) x z ，亓( t ) 】= z( 2 2 4 ) “仅当”部分是显然的我们分两步来证明上述中的“当”部分；第一步，对任意z o ，c ( o ) ) 以及( 2 2 2 ) 给定的享，存在集合e 厂( t ) 使得如下定义的随机变量又( t ) ：= c 曲( t ) e s l ，一c 岛n 船( r ) c ：1 ) 满足e 阻( t ) 又( ? ) 】= z 这个断言的证明可见 3 3 】的 p r o p o s i t i o n2 1 ，只需令其中的“a ”为0 本质上，该断言的证明基于( q ，孑，p ) 是完备的 概率空间的假定第二步，由( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 及鞅表示定理，在概率测度q 下，如下定义的 鞅，y ( 亡) 又( 亡) ：= 岛 又( t ) 7 ( t ) i 五 能够写成，y ( 亡) x $ ，责( 亡) = z + 开7 ) 7 ( u ) 仃( 乱) d 彬( u ) 其中的亓( ) 就是我们需要的投资策略，相应的终期财富x z ，骨( ? ) 在概率p 下几乎处处 等于贾( t ) 这样我们就证明了定理的结论 口 中国科技大学硕士论文 注2 1 由( 2 1 6 ) 看出，在最优策略弁( ) 下，终期的财富以概率l 有x 斫( t ) c ，o ) ，即x z ，亓( t ) 不是为零就是为c 。进一步，如果日口) c 是关于厂( t ) 可测的连 续随机变量，那么我们有： y ) = p x z ，卉( t ) c 】= p x 。，亓( 丁) = q = 尸瞎日( t ) c 1 】 x 毛霄( t ) = c 曲( t ) c 1 ) ( 2 2 5 ) 2 3 最优解的进一步刻画 由上一节得到的一般最优解及注2 1 可以看出，最大概率依赖于，y ( t ) 、z ( t ) 和 c 这三个随机变量在概率测度p 下的分布，一旦利率过程和未定权益c 给定，那么 最大概率就仅依赖于z ( t ) 在概率测度p 下的分布下面的定理给出了在概率测度p 下，z ( t ) 的分布的进一步刻画 定理2 2 给定居( s ) f 1 2 如的值，在概率测度尸下，一z d 9 z ( t ) 服从正态分布，均值为 丢舒归( s ) 1 1 2 如，方差为舒归( s ) 1 1 2 幽 证明 记：= 后p ，( s ) d ( s ) ，那么 尬) 呕f s o 。为关于域流 厂( t ) ) 0 m 耋呈 有 此因 第二章不完全市场情形的最优解 从正态分布，且均值为o ，方差为 t 于是由( 2 6 ) ，给定譬归( s ) i 1 2 如时，在概 率测度尸下，一f o 夕z ( t ) 服从正态分布，均值为丢舒归( s ) 1 1 2 如，方差为譬归( s ) 1 1 2 d s ， 定理得证 口 1 3 第三章随机利率情形的分位点套期保值问题 3 1 利率模型 在本章中，我们假定市场模型中，股票波动率为时间的确定性函数，即仃( ) 是已知 的函数；并且假定银行帐户利率过程r ( ) 满足i c e k 随机利率模型： d r q ) = 0 1 ( 6 一r ( t ) ) d 亡+ p d 日q ) ( 3 1 ) 其中，盘，6 和均为已知常数 基于定理2 ，1 和注2 1 ，我们考虑一类连续型的未定权益c 厂( t ) ，定义为： ，i r c = 尼( 7 ( t ) ) q = 尼e x p l r ( 亡) d 好 ( 3 2 ) ，0 其中k 为常数，并且由( 2 1 2 ) ，我们有z 七 这类特殊形式的未定权益c 具有实际的背景。比如所谓的随机赌博( s t o c h a s t i c g 鲫曲l e ( 9 ) ) 情形有两位投资人，一位具有初始资本忌，在t = o 时刻将全部资本存入 具有随机利率的银行帐户；另一。位投资入，有初始资本z ，打算动态投资于我们第二章 中所述的市场机会集，该投资者希望在t 时刻，其资本超过第一位投资人在t 时刻资 本的概率最大为公平起见，既然第二位投资者获取了更多的投资机会，那么自然应该 要求其初始资本要少于第二位投资者，即z o 和( 亡) 0 将( 3 1 1 ) 的记号的定义代入方程( 3 1 3 ) ，可将其化解为如下形式： 掣地掣蝴脚u _ 0 ， ( 3 1 7 ) 这是一个二阶线性常微分方程，并且可以经过某些初等变换将其化解为黎卡提方 程( r i c c a t ie q u a t i o n ) 进一步，如果a ( ) 是如下三种形式的函数：多项式、指数函数 和三角函数，那么( 3 1 3 ) 可以求得解析解( 文献 3 1 ) 简单起见，我们假定a ( ) 为常 数，该假定包含了股票波动率为常数的情形记a ( 亡) 三a o ，对任意亡 o ，卅，即有： i 7 ( 亡) i 三山，亡 o ，卅 ( 3 1 8 ) 此时，常微分方程( 2 2 4 ) 有如下形式的解析解： u ( 亡) = g e 6 。+ q e 6 弘，( 3 1 9 ) 其中，6 1 ，如为二元一次方程z 2 2 a z 一2 a p 2 a o = 0 的两个不同实根，即有； 6 。= q + “西丽；如= q 一诉西丽( 3 2 0 ) 再由边界条件( 3 1 4 ) ，我们可得； g 6 l e 6 1 t + q 如e 6 2 t = 0 1 8 ( 3 2 1 ) 第三章随机利率情形的分位点套期保值问题 结合( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) ，我们得到 u ( 丁)( 6 1 一j 2 ) e 如t 丽5 万习孤蜀丽 再由( 3 1 6 ) 可得： 邮m r 口( s ) 鬻d s = e a t 口( s ) 喜荨兰兰；三 篇d s 以及 p 2 ：= m 2 ( t ) 巩 ( 3 。2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 于是，譬咿( s ) 1 1 2 如的拉普拉斯变换，即耳 e a 口i l 口( s ) i | 2 d 8 】，有如下的解析表达： ( 器沌妒吒叫肌肛( s ) 小冲坩川妒2 ( s ) 帕( s ) ) ) d 甜， ( 3 2 5 ) 其中的记号可在( 3 1 1 ) ，( 3 2 0 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 中找到定义 有了表达式( 3 2 5 ) ，我们就可以通过逆拉普拉斯变换求得譬归( s ) 1 1 2 d s 的概率密度 函数，记为( ) 然后通过定理2 2 ，在概率测度尸下，一f 凹z ( t ) 的概率密度函数，记 为f ( z ) ，有如下表达形式： 啦) = 。南州一譬匆 ( 3 2 6 ) 以此为基础，就可以得到z 口) 的概率密度函数有如下形式： 龙( t ) ( 名) = 一e q f ( e 叫) 在概率测度q 下，通过( 2 7 ) 可以得到z ( t ) 的密度函数为： ( 3 2 7 ) 蛇( r ) ( z ) = z 龙( r ) ( z ) = 一z e 呻r ( e 叶) ( 3 2 8 ) 在( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 中经过经过简单计算，我们得到： 1 9 中国科技大学硕士论文 5 痞， ( 3 2 9 ) 1 其中，。是z ( t ) 在概率测度q 下的上素分位数，即满足q z ( t ) 】= 鼍于是， 最大概率可以表示成： y ) = 尸 酝z ( t ) s1 ) = p ( z ( t ) 专) ( 3 3 0 ) 我们现在来求解最优策略首先由( 2 5 ) 式定义及测度变换的贝叶斯定理，有； 他妒= 警黼 ( 3 3 1 ) 于是，我们需要知道在给定到t 时刻为止的信息的条件下，z ( t ) 在概率测度p 下 的条件分布，由定理2 1 ，即需要知道铲( s ) l | 2 d s 在给定五下的条件分布简单的计 算可以得到： 其中， t i 口( s ) f | 2 d s = r 五( 舌，s ) d s + t 丘( 亡，s ) 矗s ， 五( 亡，s ) ：= p ( s ) 7 ( s ) p ( s ) + p ( s ) f 2 ( 磁) 十口( s ) f ( 或) 昱( 舌，s ) ：= p ( s ) f 2 ( b ；) + k ( s ) + 印( s ) f ( 瑶) 】f ( 露) 通过变量变换s _ s 一芒，我们可以将丘( 亡，s ) 如重新写为：铲忌( t ，s ) 如= ( s ) 2 ( 承) d s + 矿( s ) f 7 2 ( 岛) d s ，其中r 三t 一亡，兰p ( s + 亡) ，魂三b 。+ t ，矿( s ) 三 口( s + 亡) + 2 f ( b 5 ) p ( s + t ) ，f ( 拂) 兰片，( u + 亡) d b ( 乱) 经过上述变量变换，丘( 亡，s ) 的拉普拉斯变换可以由引理3 1 求得解析解结果 如下； 厶( a ) = e e a f 肌) 舳f 五】 2 0 第三章随机利率情形的分位点套期保值问题 = e 一土五( 厶s 泌e e a 忌) 幽f 五】 - e _ 彬讯如冲( 器) 1 2 疹2 砖 其中，；= 描口，( 口) 钆( u ) 如 于是我们可以通过求函数厶( 入) 的逆拉普拉斯变换得到f 归( s ) 1 1 2 d s 在给定五下 的条件分布再由定理2 2 ，z ( t ) 在给定五下的条件分布就可以求得，我们记为也( ) 由此，最优财富过程可以表达为；x 研= e 菇巾) 如笔喜爱拦。再在( 3 3 1 ) 中利用i t 。 公式，我们就能通过比较( 2 1 7 ) 式的两端，得到最优策略j ( ) 此处，另外一种可以采 用的方法是用随机分析中的c l a r k 公式来求解最优策略( 【2 1 】) 但是不管是用i t o 公式 还是用c 1 a r k 公式，本质上都是涉及对x z ，膏( ) 的微分，虽然观念上很简单，但是计算 非常繁琐 3 3 简化情形 在本节中，作为例子，我们来考虑一种简化的情形：市场上仅有一只股票，其漂移 率为o ，波动率为1 ，并且在v a s i c e k 模型中，设定r ( o ) = o ，b = 0 ；t = 1 ，忌= 1 此时，最 大概率仅决定于两个参数：v 拈i c e k 模型中的口和p 片归( s ) 1 1 2 d s 的拉普拉斯变换为： 砌) = 蕊而丽蒜墨蒜赫而丙丽p 在下图中，我们给出了不同的参数q 和对应于初始资本x 的最大概率图示由 图中可以看出，当0 且a 固定时，最大概率关于单调递减；当0 ) 固定时， 最大概率关于q 单调递增。p = o 为退化情况，此时有y ( z ) = z 2 1 中国科技大学硕士论文 v ( x ) 垤i n 咐a 1w e a i mf o rv a o u 8p a 怕m e t e 瞎 i n 柑甜w e a 胁x 第四章总结与讨论 本文主要运用对偶方法、鞅时变定理和广义c a m e r o n m a r t i n 公式等工具给出了随 机利率情形这一重要的不完全市场结构中的分位点套期保值问题的最优解的刻画及数 值求解步骤分位点套期保值问题具有在金融投资实务中的普遍性、资产定价理论上的 重要性，同时又是很有挑战性的问题希望本文的工作能对推动这一问题的研究尽到一 点绵薄之力 分位点套期保值问题的研究目前已经发展到主要针对各种不完全市场的具体结构 来构造最优解或者给出求解步骤由于不完全市场的具体结构复杂多变，该问题的研究 呈现出多样化和难度越来越大的趋势从方法上来讲，在已有的工作中，处理该类问题 的方法主要集中于n - p 引理、对偶方法和偏微分方程方法( 需要先用随机优化控制理 论中的h j b 方程将原问题转化为非线性偏微分方程) ，也就是说研究该问题的切入点主 要包括概率角度和偏微分方程角度，这与传统的数理金融或者金融数学问题的解决思 路高度一致 我们下一步将进行如下一些问题的研究： 一、随机波动率情形的分位点套期保值问题这是另一类重要的不完全市场该问 题的最优解的刻画已经由本文第二章给出，但具体求解比随机利率情形更有挑战性，广 义c a m e r o n m a r t i n 公式不能运用于此情形，我们将探索其他的求解方法 二、随机利率情形或者随机波动情形的偏观察分位点套期保值问题偏观察情形的 投资组合优化问题已经逐渐引起了国际知名学者的兴趣，该类问题同样具有显著的理 论和应用意义 2 3 参考文献 【1 】b r o w n es ，o p t i m 酊i n 鹏s t m e n tp o l i c i e sf o ra 丘r mw i t har a n d o mr i s kp r o c e s s ：e x p o n e n t i a l u t i l i t ya n dm i n i m i z i n gt h ep r o b a b ：i l i t yo fr u i n ，且死玩0 i p e m r e s ，1 9 9 5 ，2 0 ，9 3 7 - 9 5 8 2 】b r o w n es ，s u r v i v 酊a n dg r o 、) l r t hw i t hal i a b i h t y ：o p t i m 甜p o r t f o l i o si nc o n t i n u o u st i m e ， 且叠- 0 1 9 p e r 口t r e s ，1 9 9 7 ，2 2 ，4 6 8 4 9 3 3 】b r o w n es ，a c h i n gg o a l sb yad e a d l i n e ：d i 班a lo p t i o i l sa n dc o n t i n u o u s - t i m ea c t i v e p o r t f o l i om a n a g e m e n t ，a 如4 p 砖p m b ，1 9 9 9 ，3 1 ，5 5 1 - 5 7 7 【4 】c 锄e r o nr a n dm a r t i nw t ，e v a d u a t i o no fv a r i o u sw i e n e ri n t e g r a l sb yu s eo fc e r t a i n s t u r i 卜l i o u v i l l ed i 任宅r e n t i a le q u a 土i o n s ，b 钆f 正a m e 7 讹t s d c ，1 9 4 5 ，5 1 ，7 3 9