（理论物理专业论文）自旋系统中的量子纠缠.pdf

山西大学2 0 0 7 届博士研究生学位论文 摘要 量子纠缠态的概念最早由爱因斯坦等人的理想实验首先提出。纠缠态的奇妙 性质揭示了量子规律内在的非定域性。量子纠缠除了作为量子理论中重要的基本 概念，近年来随着量子信息和量子计算领域的快速发展，它逐渐被当作一种重要 的物理资源引起越来越多的关注。因而定量考察量子态之间的纠缠度成为一个有 重要意义的工作。相互作用多体系统发生的量子相交与其基态结构有紧密联系。 由于纠缠是量子非定域性或者整体性的体现，这种多体系统的全局关联与量子纠 缠之间的关系成为近期理论研究的热点之一。在本文中，我们研究了具有海森伯 交换相互作用的两个自旋之间的量子纠缠，从全量子理论的角度考察其在量子化 外场作用下的量子相变，得到了纠缠度表示的相图。我们也研究了自旋为1 的海 森伯模型的两体纠缠度，综合考虑了线性和非线性耦合的影响，得到了热纠缠对 温度的依赖关系，以及非均匀磁场的影响。对于存在各向异性情形的两体纠缠度 计算得到了可与多体相交图象联系起来的非常醒目的相图。 近年来，由于在量子信息处理中的潜在应用价值，纳米尺度的分子磁体引起 了越来越多的关注。对于由两个单分子磁体m n 4 的二聚物一 m n 2 ，已有研究表明 组成它的两个单分子磁体之间存在不可忽略的反铁磁交换相互作用，使得其性质 截然不同于单分子磁体，且更适用于量子信息过程。我们用n e g a t i v i t y 作为纠 缠度的度量，研究了 m n 4 1 2 的基态纠缠和热纠缠。 在实际的量子系统中，环境的影响是不可避免的。环境可能导致系统纠缠度 的减小直至消失。有一种纠缠的消失过程是在有限时间内发生的，纠缠度快速减 小至0 ，这被称为“纠缠猝死”，引起了很大的关注。我们分别研究了环境对两 个简单的两比特系统的影响，从整体的角度讨论了纠缠消失的问题。 关键词：量子纠缠，v o n n e u m a n n 熵，c o n c u l t e n c e ，n e g a t i v i t y ，海森伯模 型，交换耦合，反铁磁，铁磁，量子化外场，量子相变，超分子二聚物 m u 4 1 2 ， 热纠缠度，开放系统，时间演化，“纠缠猝死” 山西大学2 0 0 7 届博士研究生学位论文 a b s t r a c t e n t a n g l e m e n t , f r r s tn o t e db ye i n s t e i ne la 1 ，i sa ne s s e n t i a lf e a t u r eo fq u a n t u m m e c h a n i c s i ti sa ne x c l u s i v ec o r r e l a t i o no fq u a n t u mn a t u r ep r e s e n t i n gi nq u a n t u m s y s t e m s b e s i d e st h ec o n c e p t u a ls i g n i f i c a n c ei nq u a n r k r nt h e o r y ，i tw a sr e d i s c o v e r e d a san e wp h y s i c a lr e s o u r c et op e r f o r mn u n l e r o u st a s k si nq u a n t u mi n f o r m a t i o n m a n i p u l a t i o ni nt h el a s td e c a d e s t h e r e f o r e ，o n eo ft h em a i nt a s k so fq u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o r yi st oq u a n t i f yt h ee n t a n g l e m e n ta n dt h eq u a n t u mc o r r e l a t i o n s b e t w e e nq u a n t u ms t a t e s q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ( q p t ) i na ni n t e r a c t i v e m a n y - b o d ys y s t e mi st h es t r u c t u r a lc h a n g eo ft h eg r o u n ds t a t e t h ek n o w l e d g ea b o u t t h ee n t a n g l e m e n ta n dt h en o n l o c a lc o r r e l a t i o ni nq u a n t u ms y s t e m si sb e l i e v e da st h e k e yt ou n d e r s t a n dq p t s i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h ee n t a n g l e m e n to fat w o s p i n s y s t e mw i t hh e i s e n b e r ge x c h a n g ei n t e r a c t i o ni naq u a n f i z e df i e l d t h ep a i r w i s e e n t a n g l e m e n tb e t w e e nb i p a r t i t es u b s y s t e m si so b t a i n e d i ti ss h o w nt h a tt h e e n t a n g l e m e n t e x h i b i t saq u a n t u m p h a s e t r a n s i t i o nd u et ot h ev a r i a t i o no f e x e h a n g - c o n p l i n g s p h r s ed i a g r a m sa r eo b t a i n e de x p l i c i t l y w e a l s oi n v e s t i g a t e e n t a n g l e m e n t si ns p i n ts y s t e mw i t ht h el i n e a ra n dn o n l i n e a re x c h a n g e c o u p l i n g t h e i f l e a s u r eo fe n t a n g l e m e n t n e g a t i v i t y a saf u n c t i o no ft h ec o u p l i n gp a r a m e t e r0i s c a l c u l a t e de x p l i c i t l y t h ee n t a n g l e m e n to ft h e r m a ls t a t ea saf u n c t i o no ft h e t e m p e r a t u r ei sd i s c u s s e d w ea l s oh a v ec o n s i d e r e dt h ee f f e c to fi n h o m o g e n o u s e x t e r n a lm a g n e t i cf i e l do nt h ee n t a n g l e m e n ta n d s t u d yt h ee n t a n g l e m e n tc o n t r 0 1 i nr e c e n ty e a r sn a n o m a g n e t sw i t hh i g h e rs p i nq u a n t u mn u m b e rh a v ea 址a c t e d m o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sd u et ot h ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n si ni n f o r m a t i o ns t o r a g ea n d q u a n t u mc o m p u t i n g t h es t u d i e so ft h ed i m e r i z e ds m m s ，【m n 4 1 2 ，h a v es h o w e dt h a t i n t e r m o l e e n l a re x c h a n g ei n t e r a c t i o n sa r cn o ta l w a y sn e g l i g i b l ea n dc a ni n s t e a db e u s e dt oc o u p l es m m s t h e s ei n t e r a c t i o n sl e a dt oa l la n t i f e r r o m a g n e t i cs u p e r e x c h a n g e i n t e r a c t i o nb e t w e e nt h et w om n 4u n i t so f t h e m n 4 1 2d i m c r i tw a sp o i n t e do u tt h a t t h es u p e r m o l e c u l a rd i m e r m n 4 1 2c o n s i s t i n go ft w om o l e c u l em a g n e t sm n 4w i 血 a n t i f e r r o m a g n e f i ce x c h a n g e c o u p l i n ge x h i b i t saq u i t ed i f f e r e n tq u a n t u mb e h a v i o r f r o mt w oi n d i v i d u a lm n 4m o l e c u l e sa n dm a yf a v o rt h eq u a n t u mc o m p u t i n g 2 0 1 i n 山西大学2 0 0 7 届博士研究生学位论文 t h i sp a p e r , w es t i l d yt h ee n t a n g l e m e n to ft h es u p e r m o l e c u l a rd i m e r m n 4 1 2i ng r o u n d a n dt h e r m a l e q u i l i b r i u ms t a t e s n e g a t i v i t y 蠲t h em e a s u r eo fe n t a n g l e m e n t i s c a l c u l a t e df o rv a r i o u sc a s e s t h ee f f e c to fe n v i r o n m e n to nt h eq u a n t u ms y s t e m , w h i c hm a yd e t e r i o r a t et h e e n t a n g l e m e n ta n de v e nl e a d st od i s e n t a n g l e m e n t , m u s tb et a k e ni n t oa c c o u n ti n p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i tw a ss h o w nt h a te n t a n g l e n l e n tc a nd e c a yt oz e r oa b r u p a y i na f i n i t e t i m e ，k n o wa se n t a n g l e m e n ts u d d e nd e a t h t h i ss u r p r i s i n gp h e n o m e n o n i n t r i g u e sg r e a ti n t e r e s t s w es t u d yt h ed y n a m i c so ft w od i f f e r e n te n t a n g l e m e n t s ，t h e e n t a n g l e m e n to ft w o q u b rs y s t e r na n dt h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h es y s t e ma n di t s e n v i r o n m e n t a p h e n o m e n o no fe n t a n g l e m e n tw a n s f e r i sa l s od i s c o v e r e da n d i n v e s t i g a t e d k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t , v o nn e u m a n ne n t r o p y ，c o n c u r r e n c c n e g a t i v i t y ，h e i s e n b e r gm o d e l ，e x c h a n g e c o u p l i n g ，a n t i f e r r o m a g n e t i c ，f e r r o m a g n e t i c ， q u a n t i z e df i e l d ，q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n , s u p e rm o l e c u l e d i m e r m n 4 1 2 ，t h e r m a l e n t a n g l e m e n t , o p e ns y s t e m , t i m ee v o l u t i o n , e n t a n g l e m e n ts u d d e nd e a t h n i 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立完 成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如果今后以其他 单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律 责任。除文中已注明引用的文献资料外，本学位论文不包括 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。 学位论文作者( 签章) 2 第一章量子纠缠现象的研究综述 第一章量子纠缠现象的研究综述 第一节引言 纠缠( e n t a n g l e m e n t ) 是近年来在量子物理文献中经常出现的一个词汇。从历史上 讲，纠缠态概念最早是由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在他们著名的“e p r 佯谬”【1 】 文章中提出来的。这篇文章对正统量子力学基本原理和概念的诠释提出了激烈的批评。 e p r 给出的二粒子体系的波函数就是一个典型的纠缠态。纠缠态的奇妙性质揭示了量 子规律内在的非定域性，这种与经典物理规律完全背离的非定域性使得量子物理现象 显示出种种令人费解的特征，引起了以爱因斯坦和波尔为首的关于量子力学的本质及 其完备性的长期争论。 然而早期关于量子纠缠及其非定域性的讨论大多局限于哲学思辨，直到1 9 6 0 年代 b e l l 不等式的提出才使得这方面的研究具备了实验基础。b e l l 通过几条非常普遍的假 设，引出了关于量子可观测量的关联测量的一个不等式，任意的经典定域理论都要满 足这个不等式；而量子理论预言，对量子纠缠态的测量结果有可能破坏这个不等式。 随后的大量实验证实了量子理论的预言，从而严重冲击了定域实在理论。值得关注的 是，最近的理论和实验研究【2 】表明，量子纠缠不仅破坏定域实在论，而且与某些非定 域的理论也不相客，所谓“非定域性”是不是量子纠缠的本质仍然是一个没有解决的 问题。 除了在物理学基础领域的进展以外，从上世纪九十年代以来，随着量子信息和量子 计算研究的快速发展，纠缠态的潜在应用价值开始被人们认识到。无论是信息以量子 比特为载体进行的隐形传输，还是比经典算法以指数形式节省计算资源的量子算法。它 们的实现都离不开纠缠态【3 】。因而近年来纠缠逐渐被当作一种重要的物理资源引起人 们越来越多的关注鞠，并已经广泛地应用于量子信息处理和量子通信量子态远程 传输【5 】、纠缠的传输 6 1 、量子密匙分配【7 】、量子纠错 8 】、量子计算【9 】等等本质上都是 利用了量子纠缠这一基本资源。量子纠缠也体现在对量子位相的研究中，因为多粒子 体系的量子位相本质上反映的就是多粒子量子态的纠缠特性 1o 】。 量子纠缠的重要地位使得对量子纠缠的定性和定量描述显得尤为重要。但到目前 第一章量子纠缚现象的研究综述 为止，量子纠缠程度的描述仍是一个十分棘手的问题。现在只有两体系统的纯态已经 研究清楚，而对多体的纯态和混合态，怎样描述量子纠缠的程度仍是亟待解决的关键 性问题。本文将简要回顾量子纠缠的一些基本概念【3 ，1 1 ，1 2 】，和度量纠缠的一些常 用方法。 第二节量子纠缠的基本概念 1 2 1e 陬佯谬与髓l i 不等式 爱因斯坦与玻尔就量子力学基础理论的完备性问题进行了长期争论，1 9 3 5 年，他 和两位合作者v o d o l s i 【y 和r o s e n 共同发表了一篇文章【l 】，从两个基本假设出发，通过 借助理想实验和逻辑论证，认为量子力学对微观体系的描述不可能是完备的。这就是 著名的e p r 佯谬。其基本观点是：一个完备的物理理论应该满足下列两个条件：一， 物理实在的每一个要素在理论中都应有对应的描述；二，如果不以任何方式干扰系统 就能肯定的预言一个物理量的数值，那么就意味着存在一个与这个物理量相对应的实 在要素。同时，根据相对论的定域因果性定律，如果两个事件之间的四维时空间隔是 类空的，则两个事件之间不存在因果关系。由此，如果一个系统包含的a 、b 两个子系 统是处在类空间隔的，我们对a 、b 测量两次可观测量，其结果应彼此无关，并且数值 是确定的。换句话说，对a 的测量不影响与其类空间隔的b 的状态。e p r 就此提出一 个坐标一动量的理想实验，后来b o h m 用电子自旋的概念对此进行了一番改造，成为人 们普遍讨论的一个模型，称为e p r b 理想实验，其方案是 1 3 】 假定总自旋为0 的两个1 2 自旋粒子( 以普朗克常数为单位l ，下同) ，比如正负 电子对a 和b ，处在状态 忱。= 专( 上) 。一个) 。) ( 1 z 1 ) 中。这里l t ) 、l ”分别表示自旋向上和向下的状态。当a 、b 反向飞行很远后，彼此 空间距离足够大，同时，对它们分别作独立测量的时刻间距足够短，也就是说两次测 量所构成的两个事件之间成为类空间隔，则e p r 认为，根据相对论定域因果律，对电 子a 的钡j 量将不会对正电子b 产生影响。假设我们测量吒，如果测量a 得到盯? = l ， 2 第一章量子纠缠现氖的研究综述 就可以断定盯? = - 1 。反之亦然。由于两次测量之间是类空的，对a 的测量不影响b 的 状态，按照e p r 的观点，由于我们没有对b 进行任何干扰而能确定的预言盯? 的值， 因此盯? 就应该是一个物理实在要素。也就是说，无论人们是否真的对b 实施测量，矿 得数值都是客观存在的，并且是确定的。 到此为止似乎并没有什么佯谬可言。但是当我们把测量自旋的方向改变时，问题 就出来了。如果我们测量的是以，由于 i ) i l 吒5 1 ) 2 击( 1 个) 4 - ( 1 2 2 ) 所以( 1 2 1 ) 式也可以写为 i ) ”2 击( h i - ) b - - i - ) 。h ) ( 1 2 3 ) 因此，若对a 进行测量得到= 1 ，则我们可以确定= - 1 。反之亦然。也就是说， 同样在对b 不进行任何干扰的情况下，我们能够确定的预言的值，于是也应当 是物理实在的一个要素，无论人们是否对b 进行钡0 量，它都是客观存在的，有着确定 的数值。 然而，根据量子力学的观点，箅符一和彼此不对易，不具有共同本征态，也 就不可能同时具有确定值。事实上量子力学认为，虽然a 和b 总的自旋为0 ，但a 和 b 各自的自旋指向都是不确定的，即便二者已经处在类空间隔，各自的自旋指向仍然依 赖于对方而处于不确定的状态。这显然与上述的定域实在论是矛盾的。爱因斯坦等人 因此认为，量子力学的理论只给出对单次测量结果的统计性预言，没有找到统计规律 背后的物理原因，因而是不完备的。这就是e p r 佯谬。 实际上，e p r 佯谬表明下列两个观点必居其一：量子力学的描述不完备：即 便两个子系统处在类空间隔，它们的实际状态也是不独立的。出于对相对论性定域因 果律的深信小疑，爱因斯坦等人断然排除了第二种可能。然而，近年来的实验观测和 理论进展表明，观点并不一定意昧着定域因果律的破坏。虽然两个子系统互相纠缠 在一起，但我们无法利用这种状态来传递任何超光速的信号，也就不能导致由超越光 速极限而带来的因果关系的违背。 第一章量子纠缠现象的研究综述 1 9 6 4 年，b e l l 从爱因斯坦的定域实在论出发，利用隐变数假设推导出一个不等式 【1 4 】。b e l l 指出，任何基于定域实在论的物理理论都遵守该不等式，而量子力学的预言 却可能违反这个不等式。这样，b e l l 不等式就以定量的形式显示出量子力学与定域实在 论之间的矛盾。下面我们沿着b e 的思路建立这个不等式。 b e l l 不等式主要考虑的是a 、b 两个子系统的测量之间的关联。假设客观世界是遵 循爱因斯坦定域实在论的，实验中测量结果的随机性由某种暂时不为我们所知道的“隐 变数”决定。当我们把隐变数考虑进来之后，所有的物理量都应该能以确定的方式得 到它们的测量结果。比如对于自旋向上的纯态1 个) ，若存在隐变数理论，则它应当被写 i， 为1 个，兄) ，这里的旯是我们目前的实验手段无法了解的某种隐变数。不妨假设五的取值 ， 为从。到l ，其分布概率是某种未知的概率函数p ( 。考虑前述的两粒子自旋纠缠态 ) 仰= 击( 上) 。一个) 。) ( 1 2 - 4 ) 如果在a 方向测量a 粒子的自旋，结果记为a ( a ，兄1 ，处在类空间隔的b 粒子则测量b 方向的自旋，结果记为曰( 6 ，五) ，为简便我们把自旋向上和向下的测量结果分别用+ l 和 一l 表示，即a ( a ，a ) 和曰( 6 ，a ) 的可能取值均为+ 1 或一1 。由于l 缈) 。中a 、b 的自旋反向 关联，所以当a = b 时，对a 、b 的测量结果应满足 a ( b ，五) 曰( 6 ，五) = - 1 ( 1 2 5 ) 如果是对大量由i ) 。描述的系统组成的系综作多次同样的测量，所得平均结果应是对 随机分布的隐变数旯求平均值。于是对a 、b 分别沿a 、b 方向的测量结果的关联函数 为 e ( a ，6 ) = f d 2 p ( a ) a ( a ，五) b ( 6 ，2 ) ( 1 2 6 ) 同理我们可以分别沿a 、c 方向和分别沿b 、c 方向对a 、b 测量，又可得到两个同样定 义的关联函数p ( 口，c ) 和p ( 6 ，c ) 。对这三个关联函数- 我们可得 4 第一章 量子纠缠现象的研究综述 l p ( 口，6 ) 一p ( 口，c ) i _ i p 如( a ) 4 ( a ，a ) 曰( 6 ，a ) 一彳( 口，旯) 曰( c ，旯) l p _ p ( 丑) i 爿( 岛五) 曰( 6 ，五) 一爿( 口，五) b ( c ，五) l = j o 和( 五) l 爿( 口，a ) a ( b ，a ) - 1 - a ( b ，兄) b ( c ，五) | = p 印( 兄) 1 4 ( 口，旯) 4 ( 6 ，五) 忡+ 爿( 6 ，五) b ( c ，五) i j j 蕾印( 兄) ( 1 + 爿( 6 ，五) b ( c ，丑) ) = 1 + p ( 6 ，c ) ( 1 2 7 ) 以上推导中利用了( 1 2 5 ) 式以及4 ( 口，五) 2 = 嚣( 6 ，名) 2 = 1 ，阻( 口，x ) a ( b ，2 ) 1 = 1 ， 陋( 6 ，a ) b ( c ，a ) i 1 等几个显而易见的关系。最后我们得到，按照定域实在论，三组测 量结果的统计平均值之间必须满足的b e l l 不等式： i p ( 口，6 ) 一尸( a ，f ) i l + p ( 岛c ) ( 1 2 8 ) 但是根据量子力学，上述不等式却有可能被破坏。在状态 、王，。) 中对a 、b 分别沿 a 、b 方向测量自旋，其结果关联函数的平均值为 p ( n ，6 ) = l 王，加l ( a - 口) ( a _ 。6 ) i 、壬，m ) ( 1 2 9 ) 2 一c o s 乞 这里乞是a 、b 两方向矢量的夹角。类似的可以得到p ( 口，0 、p ( 6 ，c ) ，代入( 1 2 8 ) ， b e l l 不等式成为 | c o s s o j - - c o s 口a ， s l - c o s a , 。 ( 1 2 1 0 ) 由于a 、b 、c 可取为任意方向，容易验证在很多情况下这个不等式都不成立。例如，设 三个方向矢量在同一平面内，使其夹角分别为吒。= 皖。= 詈，见，= 等，( 1 2 1 0 ) 式 就成为 l 三( 1 2 1 1 ) 2 这样，b e l l 不等式以定量的形式把量子力学与定域实在论之间的矛盾曝露出来。 由此可以用实验来检验二者的是非。大量的实验结果表明，b e l l 不等式可以被破坏， 从而否定了定域实在论，反过来也就是验证了量子力学在本质上表现出了空间非定域 性。现在已经证明，对任意两体纠缠纯态，总可以找到一组适当的可观测量和关联函 数，使其b e l l 不等式遭至l j 破坏。 第一章 量子纠缠现象的研究综述 b e l l 不等式提出了一种可以明确的用实验检验的方法，来揭示量子力学本质上蕴 含着的与经典观念绝然不同的非定域性。在b e l l 不等式的基础上，人们发展了很多不 等式以及非不等式形式的理论，作为量子纠缠存在的判据。不过，b e l l 不等式只是给 出了纠缠态存在的充分条件，而不是必要条件。只有对两体纯态纠缠，破坏b e l l 不等 式是充要条件。在混态情况时，有一些存在纠缠的混态并不破坏b e l l 不等式。 1 2 28 e ll 基与两体量子纠缠 本节我们进一步考祭两体纠缠态a 对于自旋为1 2 ( 蠹= 1 ) 的粒子，它的两个自旋 态可以用s ：的本征值( m = l 2 ) 来标记，记为j 丢) = i 。) 和l 一丢) = 1 1 ) 。对于自 旋为1 2 的二粒子组成的体系的自旋态，在角动量耦合理论中，通常用角动量耦合表 象和非耦合表象来描述。所谓非耦合表象，是以两粒子体系( a 和b ) 的自旋力学量完 全集( s ? ，j ，) 的四个共同本征态为基矢的表象，即 i m m ：) = i mal m ) 。= j 1 2 ) 。1 1 2 ) 。，1 1 2 ) i 一1 2 ) 。， 一1 1 2 ) 。i 1 2 ) b ，i 一1 2 ) 。l 一1 2 ) 。， ( 1 2 1 2 ) 或形象地记为 o ) i o ) b ，l o ) 1 1 ) 曰，1 1 ) 一i o ) b ，1 1 ) 一1 1 ) 8 ， ( 1 2 1 3 ) 它们都是两个单粒子自旋态的直积形式，都不是纠缠态。 所谓角动量耦合表象，是以自旋力学量完全集( s2 ，s ：) 的共同本征态为基矢的表 象( 雪= i 。+ i 8 ) ，记为z s u 蜃2 z s u = s ( s + 1 ) z s u ，s = o ，l ， sz z s m = m z s m 0 1 2 1 4 ) m = 0 ，对于s = 0 ，m = 0 ，l ，对于s = l z 称为自旋单态，z 1 j i f ( 朋。= o ，1 ) 称为自旋三重态，用非耦合表象的基矢，可展 开如下 6 第一章量子纠缠现象的研究综述 z = f o ) 。f 1 ) 。一1 1 ) 。1 0 5 。】， 、二 = 去【l o ) 。院+ h i o ) 。】， 二 z t 一= j 0 5 。i o ) 暑， z l 一1 = 1 1 ) 1 1 ) 口， ( 1 2 1 5 ) 从波函数形式，直观上可以看出，z 和z l o 是纠缠态，而z 1 l 和z 1 - l 却并非纠缠态。 因此，角动量耦合并不等同于纠缠，其原因在于s ：= j ? + s ：b 是两个粒子的自旋算符 占? 和s ? 的线性叠加，此结论也可以从两个组成的复合体系的约化密度矩阵的性质看 出，以自旋单态z 为例，相应的密度矩阵为 p 仰2i z o o ) ( z o 。i ， ( 1 2 1 6 ) 它是一个纯态相应的密度矩阵，但对于一个子体系，例如粒子 ，其约化密度矩阵为 p ( z ) = t r e ( p 口) = 。( o l z ) ( z j 0 5 。+ 。( 1j z 。) ( z 1 1 ) 。 = 1 e 1 1 ) 。( i + j 。) 。( 。i 】= 兰( ： = 圭，。 c t 2 7 ， 显然，p j = 三，。p 。，可见它是混合态。类似可以求出，对于i 而。) 态 p 。c z 。，= 三( ： = j 1 ，。， c 2 ，s ， 也是混合态密度矩阵，但对于非纠缠态而，和厄一 p t p 胁( 川= ( 7 ( 1 2 1 9 ) 第一苹量子纠缠现象的研究综述 则是纯态密度矩阵( 户2 = p ) 。通常把而i 和z l - l 进行等权重( 相同或相反) 叠加， 以构成两粒子体系的另外两个纠缠态。这样，自旋为ii2 的二粒子的4 个自旋纠缠态 可表示如下 。2 万i 【1 ) s h i o 。】， 。2 西1 峨盹h 1 1 口】，( 1 2 2 0 ) 通常称之为b e l l 基它们与耦合表象的基矢并不完全相同。 b e l l 基可以作为一般的两体量子系统a 和b 的纠缠态，子系统之间有量子纠缠的 最重要特征是( 由测量造成的塌缩可以知道) 子系统a 和b 的状态均依赖于对方而各 自都处于一种不确定的状态。这样一来，对一个进行测量必将使另一个产生关联的塌 缩。需要注意的是，在纠缠态中，粒子a 和b 的空间波包可以彼此相距遥远而并不重 叠，这时它们的自旋波函数仍会产生关联的塌缩：当a 系统因测量面发生塌缩时，b 系统必将发生相关联的塌缩a 例如，对态i + ) = 去【i o ) 。i o 。+ 1 1 ) 。i i 。】中的a 作测量，测a 时，若a 的状态塌缩到f o ) 。jb 必为i o ) 。，若a 的状态塌缩到 1 1 ) 。jb 必为1 1 ) 。b 的这种关联塌缩是a + b 系统测量塌缩的一部分，因而它也 是瞬时的、非局域的、不可逆的、去除相干性的。现在一般认为，纠缠态的关联是一 种纯量子的、非定域的关联，是一种超越经典的近距相互作用的关联，不能用任何经 典相互作用的机制来解释。这是量子纠缠被称作具有“非定域”性质的理由所在。 1 2 3 纯态和混态；未关联态、可分离态与纠缠态 上一节中我们分析了e p r 佯谬和b e l l 不等式，从中出现了纠缠态的概念，也涉及 到了纯态、混合态等。随着人们对量子力学摹本概念的深入理解和对纠缠态的研究进 展，目前纠缠态概念已开始展现其广泛的应用前景，如量子并行性、量子计算、量子 密码术、量子超密编码、量子远距隐形传态和减低通信复杂性。为了理清量子纠缠的 基本概念，下面我们就量子力学中关于纯态、混合态、纠缠态、可分离态等概念做简 要梳理。为简便记，只考虑两体系统。 第一章量子纠缠现象的研究综述 1 、纯态 在量子力学中，能用单一波函数描述的态，或在态空间王l 圆h b 中任一套基矢下 的任一相干叠加态，称为纯态。对一般体系，任一纯态为 i ) = q l 。) ( i ) ) 是n 体的正交归一基矢) ( 1 2 2 1 ) 考虑体系a 和b 组成的二体系，设a 的一组力学量完全集的共同本征态记为l 妒。) 。， 1 1 1 代表一组完备量子数，b 的一组力学量完全集的共同本征态记为l 纯) 。，n 代表一组 完备量子数，则i 妒_ ) 。圆i ) 。( 直积形式，简记为i ) 。l 纯) 。) 可以作为复合体系a 电 的一个完备基，复合体系的任意量子态1 。可以表示成它们的线性叠加 i ) 爿口= l ) 4o 慨) 口= i ) 一i 纯) 丑 ( 1 2 2 2 ) 两体纯态可以分为两类，一类为可分离态，即l 。= l 。o l 伊) 。，a 和b 均处于确定 的量子态，则成为非纠缠态。另一类为不可分离态即纠缠态，l 曲。不能表示为直积形 式i 。o i 妒) 。的量子态。比如 l ) + = 去( i o ) 。h + hl o ) 。) ( 1 2 2 3 ) v 二 就是一个纠缠态。应当指出，量子纠缠必然体现为粒子态之间的关联，但关联不等于 纠缠a 例如态1 q 1 个) 。，它表明在a 和b 的自旋取向之间有关联，但未纠缠，a * ob 均处于自旋确定态。 2 、混合态 系统的态是若干个纯态( 不一定都是正交归一的) i ) 。的非相干混合，这些p ) 。 之间不存在固定的位相关联，因而也就不存在彼此相干叠加并发生干涉的问题。 混合态可以用密度矩阵p 来描述 p 朋= q f 缈) 。舳( f ， 9 第一章量子纠缠现象的研究综述 q 一，0 1 一口- - e c 7 一l ) 4 。口 驴( p 口) = l ，驴( p 2 口) 1 ， 可以认为，纯态是混合态的特殊情况，这时p 。求和式中只有一项，q ：是t r ( p 2 ”) = 1 。 两体系统中单独对a 或b 的约化密度矩阵的一般表达式为： j ，m p 。= t r ( 。) = 。( ，b l 屯，( i _ ，) b b ( ，i = i b ) ， j = lj = l ，j l ， p 。= i t 。( 尸。) = 。( f p 。院，( 院。i l = i 。) ， ( 1 2 2 6 ) i = l毕l 在用混态密度矩阵表示的一艘隋况下，a 、b 组成的复合系统的态可分类为： ( 1 ) 未关联态：p 口= 成o p 占 ( 2 ) 可分离态，包括纯态和混态，其密度矩阵可写为一些未关联态之和： 以口= p , p o p 口，0 p f l ，且只= l ( 1 2 2 7 ) 未关联态是可分离态的一种特殊情况。 ( 3 ) 不可分离态，包括纠缠纯态和纠缠混态，即不能写成可分离态形式的态。设 a - bb 均为双能级系统，则下述态在口妄的情况下是纠缠的 反。= d i + ) 解( y + 1 + 0 一a ) i 妒+ ) 。妒+ l ， ( 0 。i t ) 。( j l 。( 7 i ) j 2 巩( 到一一( j l 。1 7 ) 蒯) 2 莩a ( 观帆( 巾 ( t 圳 比较p 的上述两表示式( 1 2 3 2 ) 和( 1 2 3 3 ) ，则有 丑( 7 h = b 岛 由此可见态 1 7 ) 。，是正交的，于是便可以构成如下正交矢量 。= p ；- 2 1 7 ) 。 ( 假定p o ) ， ( 1 2 3 5 ) 于是就得到了式( 1 2 3 0 ) 即j 妒) 。= 、厉l i ) 。f ) 。，这就是两体量子系统任一 纯态j 妒) 。口的s c h m i d t 分解式，其中 i f ) 。l f ) 。) h a 圆日。的一个特殊正交基，它的 选用依赖与i ) 。，就是说，一般而言，不可能用这两组正交归一基 j f ) 。 、 l i ) 。) 同时又去另一个纯态i 伊) 。作s c h i i l i d t 分解。 对于s c h m i d t 分解- ，由几点结论：( 1 ) 不同态i ) 日所选用于s c h m i d t 分解的基矢 是不一样的；( 2 ) p 。= 只l i ) 。( 引， l i ) 。) 是岛对角化的基，即n ，几有完全 相同的非零本征值( 但两者的维数可不一样，即零本征值的数目可不相同) ；( 3 ) 若p 。 ( 因而也是p 8 ) 没有非零的简并本征值，那么l y ) 8 的s c h m i d t 分解便由p 。和几唯 一确定：分别将p 一和p 。对角化，找出j f ) 。，1 7 ) 。，然后构成分解式；( 4 ) 分解式中 未出现相位，但f ) 。和f ) 。可分别乘上相反的因子。 s c h m i d t 分解中p 。( 或几) 非零本征值的数目称为s c h m i d t 数，即分解式中的项 数。若l 妒) 。的s c h m i d t 数大于1 ，贝 j l w ) 。称为纠缠态，否则i ) 。可分解( 非纠 缠) 为 1 矿) 。= l 缈) 。oi 少) 。 ( 1 2 3 6 ) 1 2 第一章量子到缚现象的研究综述 任何不能表示成这种直积形式的态称为纠缠态。 1 2 5 纯态的量子纠缠；最大纠缠态，b i i z 态 前面已经介绍了纠缠态的概念，对于粒子l 与粒子2 纯态l ) 。：，如果它具有形式 i ) 乜= 1 ) 。o i ) ： ( 1 2 3 7 ) 即它能被写成粒子1 与粒子2 各自的h i l b e r t 空间日与日：中的纯态的直积形式，我们 就称i ) 。：为粒子1 与粒子2 的可分离态。反之，若i 奶，：不具有( 1 2 3 7 ) 式的形式， 则称它为纠缠态。纠缠态的定义可以推广到任意多粒子的情况。应该说，多粒子量子 态的大部分都是纠缠态，用数学语言来说，就是在多粒子h i l b e r t 空间中，纠缠态是紧 致的。 如果只对粒子1 和粒子2 系统的其中一个粒子的子系统感兴趣，则此子系统的态将 由两粒子系统量子态取部分迹而得到 岛= 吼( | y ) ：缈1 ) ，, 0 2 = 织( 1 ) ，：( i ) ( 1 2 3 8 ) p lp 2 分别由对粒子2 及粒子i 的h i l b e r t 空间q 与z 毛取迹而得到，称为粒子i 和粒 子2 的约化密度矩阵。若l ) 。是可分离态，则由( 1 2 3 7 ) 和( 1 2 3 8 ) 式可看出， 岛= l ) 。( l 和岛= l ) ：( l 描述的是粒子i 与粒子2 的纯态；而j ，：是纠缠态， 则ap 2 描述的是粒子1 与粒子2 的混合态。 由前述四个b e l l 基出鹄对a 或b 分别独立地施以任何么正变换所得到的纠缠态 都称为最大纠缠态，即 i m a xe n t a n g l e d 蛆= u 。u b ( i 2 ) ，伊) )( 1 1 3 9 ) 这时，如果对子系统b ( 或a ) 部分求迹，锁找到的密度算符p 。( 或p 8 ) 将为 矶= ( i 2 ) 仰。( 缈2 f ) = 弓1i 。， 矶= 矿) 。+ i ) = 弓1i 。 ( 1 2 4 0 ) 第一章量子纠缠现象的研究综述 这意味着，使用两个双态系统原本能够储存两位的信息，但在修2 ) 0 缈2 ) ) 态中，这些信 息却全部被隐藏在a 和b 之间的关联上。a 或b 都未能单独荷载任何信息，因而不能 通过单独对a ( 或b ) 的局部测量来获取它们。尽管如此，人们可以局部地对a ( 或b ) 施行么正变换来改变这些最大纠缠态。例如。采用一可使眵+ ) 付i 妒一) ，l 少+ ) i y 一) ， 而一可使眵+ ) 停l y + ) ，l 一) 抖j 一) ，等等。 假若粒子1 和粒子2 具有同样的h i l b e r t 空间，其维数都维s ，则可以定义粒子2 和粒子2 的最大纠缠态：若由( 1 2 3 8 ) 式得到的约化密度算符p l 和见满足 岛= 喜，仍= i 1 i ：，n 2 m ， 其中，1 1 和厶分别维为目与日：中的单位算符，则粒子1 和粒子2 态i 妙) ，：是最大纠缠 态。前面的b e ll 基就是s = 2 的最大纠缠态。从量子力学的观点来看，两体纯态处在 最大纠缠态等价于两个子系统都处于完全混合态。也就是说，在这种态中找到单粒子 的任何状态的几率为砉。从量子信息论的观点来看，量子纠缠态最重要的性质是它所 携带的信息只蕴含在粒子之间的关联中，任何单个粒子都完全不蕴含所携带的信息。 另外，由( 1 2 3 9 ) 式可看出，对最大纠缠态的任何单粒子作么正变换一局域么正交 换