（光学专业论文）强非局域空间光孤子相互作用的理论初探.pdf

摘要 本论文研究了在强非局域克尔介质中平行入射、共同传输的两高斯光束的演化 规律。光束在非局域非线性介质中的传输满足非局域非线性薛定鄂方程( n n l s e ) 。 本论文共分四章，主要类容如下： 第一章，介绍了近几年来关于非局域介质中光束传输理论的研究进展，推广 了强非局域的概念。 第二章，在强非局域条件下简化了n n l s e ，利用线性叠加原理获得了双光束 共同传输的解析解。结果表明在传输过程中相互作用的高斯光束的相位决定于它 们的输入总功率。以振幅一强一弱共同传输的孤子光束为例进行了具体研究，相 位分析显示，与局域孤子相比，孤子光束在相当短的传输距离之内能产生大的相 移，可以通过对强光( 泵浦光) 能量的调控来实现对弱光( 信号光) 的相位调制。 第三章，对n n l s e 进行数值模拟，得到了双高斯光束共同传输的数值解。数 值解与解析解的比较结果显示：在强非局域条件下我们所获得的n n l s e 的简化 方程是十分精确合理的；当介质响应函数的特征宽度约为光束所占空间尺度的3 倍时，我们推导的简化方程依然适用。 第四章，是硕士期间协助导师所作的工作。通过对n n l s e 进行数值模拟，求 得了单光束传输的数值解把光束束宽、相位的数值解和对应的解析解进行了比 较。 本论文的主要贡献是：把光束的传输方程n n l s e 简化成一线性形式的近似 方程，发现可以通过调节强孤子光束的功率来控制另一弱光的相位并能使之在极 短的传输距离内产生大的相移。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ee v o l u t i o no ft w o c o p r o p a g a t i n go p t i c a lb e a m s i np a r a l l e l ，g o v e r n e d b yt h en o n l o c a ln o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ( n n l s e ) ，i sd i s c u s s e di nn o n l o c a lk e r r m e d i n t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1 ，w ep r e s e n t a no v e r v i e wo fr e c e n ta d v a n c e si nt h er e s e a r c ho fo p t i c a l b e a mp r o p a g a t i n gi nn o n o l o c a ln o n l i n e a rm e d i aa n dg e n e r a l i z et h ed e f i n i t i o no fs t r o n g n o n l o c a l i t y c h a p t e r2 ，w es i m p l i f yn n l s e t oan e wl i n e a rm o d e lu n d e rt h ec o n d i t i o no fs t r o n g t n o n l o e a l i t ya n d o b t a i nt h e a n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rt w ob e a m sc o p r o p a g a t i o nt h r o u g ht h e p r i n c i p l eo fs u p e r p o s i t i o n i ti sf o u n dt h a tt h ep h a s eo ft h et w oc o - p r o p a g a t i n gb e a m s i sd e p e n d e do nt h e i rt o t a lp o w e r a sa ne x a m p l e ，w es t u d i e dt h ec o - p r o p a g a t i o no ft w o s o l i t o nb e a m sw i t ho n e sa m p l i t u d ei sm u c h s t r o n g e rt h a na n o t h e r i ti st h e nf o u n dt h a t t h ew e a k e r ( p r o b eb e a m ) c a ne x p e r i e n c eav e r yl a r g ep h a s es h i f tw i t h i nar a t h e rs h o r t p r o p a g a t i o nd i s t a n c eb ym o d n l a t i n gt h ei n p u tp o w e ro ft h es t r o n g e r ( p u m pb e a m ) c h a p t e r3 ，n n l s ei ss i m u l a t e df o rt w ob e a m sp r o p a g a t i o n t h ec o m p a r i s o n so f a n a l y t i c a ls o l u t i o n so ft h em o d e lw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ft h en n l s es h o wt h a tt h e m o d e li so fe x c e l l e n ta c c u r a c yi nt h ec a s eo fs t r o n gn o n l o c a l i t ya n di ss t i l lv a l i de v e ni f t h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t ho ft h em a t e r i a lr e s p o n s ef u n c t i o na p p r o a c h e sa b o u tt h r e et i m e s o ft h et o t a ls p a t i a le x t e n to c c u p i e db yt h et w ob e a m s c h a p e r4 ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fn n l s e f o rt h es i n g l eb e a m p r o p a g a t i o n i nt h e n o n l o c a lk e r rm e d i ai sp r e s e n t e d t i l el n a i na c h i e v e m e n to ft h ep a p e ri st h a tt h en n l s ei s s i m p l i f i e d t oal i n e a r e q u a t i o n i ti sf o u n dt h a tw ec a nc o n t r o l law e a kb e a m sp h a s et oe x p e r i e n c eav e r y l a r g ep h a s es h i rw i t h i nar a t h e rs h o r tp r o p a g a t i o nd i s t a n c eb ym o d u l a t i n gt h ei n p u t p o w e ro fas t r o n g e rs o l i t o nb e a m 第一章序论 1 1 引言 对光孤子的研究已经成为非线性光学领域的一个经典而重要的课题。光孤子 可分为时间孤子和空间光孤子两类。时间孤子，如光纤中产生的时间孤子，由于其 特殊的性能( 比如长距离高码率传输) 在光通信领域倍受青睐，至今仍是研究的热 点。相比之下空间光孤子含有比时域孤子更为丰富的物理现象和特性，因而空间 光孤子倍具吸引力。空间光孤子是能够在介质中保持波形不变的自导f s e l f - g u i d e ) 传输的光束。二十世纪6 0 年代人们首先在理论上预言光克尔介质f o p t i c a lk e r r m e d i a ) 中l ij 可以产生空间光孤子，这种空间孤子被称之为空间克尔孤子。理论上 业已证明只有( 1 + 1 ) 维的空间克尔孤子才是稳定的，而( 1 + 2 ) 维的空间克尔孤子 是不稳定的 2 1 。因此实验上要观察到空间光孤子的传输只能在平面波导中实现。 二十世纪8 0 年代中期人们首次在克尔型平面波导中( c 岛) 观察到 3 1 了( 1 + 1 ) 维 空间光孤子，自此之后人们陆续在玻璃【4 1 ，半导体1 5 1 和聚合物波导【6 中观察到 了( 1 + 1 ) 维空间克尔孤子近年来人们却在某些体介质中观察到了稳定的( 1 + 2 ) 维空间光孤子 o ，b ，辅，这就促使人们对空间光孤子进行更加深入和全面的研究。 这些研究不仅涉及到单个孤子的传输特性，而且也函括了孤子间的相互作用。空 间孤子的相互作用蕴含着相当丰富的物理内容，其表现形式多样，比如孤子光束 的分裂、两光束的聚合以及相互排斥、( 1 + 2 ) 维孤子的d n a 螺旋式的缠绕共同传 输剐等等。这些相互作用所包含的物理内容正是值得人们深入探讨和研究的，比 如相位对孤子相互作用的影响；影响孤子传输稳定性的条件等等。此外，空间孤 子也在某些光学设备，如全关开关以及未来的全光网络上也有潜在的应用价值。 因此空间孤子是一个极具吸引力的课题，值得人们的深入研究。 1 2 非局域非线性介质中光束传输理论的研究进展 1 2 1 非局域的概念及划分 对于空间孤子的研究很长的一段时间之内都是局限于局域介质的。如上文所 提到的g 岛、玻璃这些都属于局域材料。孤子在这类介质中的传输满足非线性薛 定谔方程，对它的精确的解析求解需要用到十分复杂的数学方法一逆散射法。而 近年来对空间孤子的研究有了很大的突破，人们开始研究非局域介质中的空间孤 子问题。这首先要归功于s n y d e r 和m i t c h e l l 的杰出贡献【上u 。光束在非局域介质 中的传输满足非局域非线性薛定谔方程( n n l s e ) ，s n y d e r 和m i t c h e l l 在强非局域 条件下将n n l s e 近似为一线性方程【l u ，利用相当简单的数学方法得到了空间 孤子的解析表达式。沈元壤博士对此开创性的工作给予了高度的评价，认为“它 会引起新一轮的光孤子研究热潮”【儿1 ，实际上也的确如此。那么什么是局域介 质，什么是非局域介质呢? 这是根据介质对作用其上的光场的非线性响应的不同 来划分的。 局域介质对作用其上的光场的非线性响应是局域性的，可称为局域非线性响 应( 1 0 c a ln o n l i n e a rr e s p o n s e ) 。正如人们熟知的非线性介质的折射率会因光场的入 射而发生改变。局域介质由光场引发的折射率的改变是局域性的，即介质中某点 x 折射率的改变( n ) 仅决定于该点的光强( x ) ，这里x 是d ( d = 1 ，2 ) 维横向空 间坐标( 在本论文中凡是用正黑体表示的量都是矢量) ，是光强。这种局域介质 折射率的改变可写为，比如克尔介质， = n 2 ，( x ) ，n 2 l 是介质常数( ”2 0 表示聚焦介质，n 2 0 表示聚焦介质，q 0 表示散焦介质) 。r ( x ) 是材料的非线性响应函数( 在本论文中，我们假设响应函数 是空间对称的、归一化的实函数，满足羔n ( x 7 ) d d x t = l ，其中，d d x 7 是对所有横 向维数的积分) 。假如【“j 非局域材料具有对数型非线性( 1 0 9 a r i t b _ m i cn o n l i a e a r i t y l 则f = i n ，有a n = 叩f n ，n ( x 7 一x ) t ( x 7 ) d dx ， ；对于非局域克尔介质 1 3 f = 1 ，相 应地n = ”f r ( x ，一x ) t ( x 7 ) d 口x 7 。 图1 1 ：不同程度的非局域性r ( x ) 是介 质的响应函数，( z ) 是光强( a ) 局域， ( b ) 弱非局域，( c ) 一般弱非局域，( d ) 强 非局域 r 图1 2 ：强非局域性 r ( x ) 是介质的响应 函数， 忙一x 1 ) 、，2 0 一z 2 ) 光束的光强 介质响应函数的特征宽度a 。和光束束宽a 的相对大小决定非局域性的强弱， 通常可按照强弱程度把非局域性划分为四种 1 4 ：局域，弱非局域，一般非局域， 强非局域。图l1 给出了这种分类的示意图，图( a ) 是局域的情况，有a 。 a 且 a 。一0 ；图( b ) 是弱非局域，有a 。 1 ，其中n 。为介质响 应函数的特征宽度，a 为光束的束宽。通过对n n l s e 中的响应函数进行泰勒展 开可得到光束在非局域克尔介质中传输满足的新方程【l 7 ： i 晚妒+ 肛v i 妒一；p v p o r 2 砂+ p 凰p 0 妒一；p 7 妒 l 砂( r 7 ，z ) 2 r 。d d x 7 = o ( 16 ) 11r 。 一 “ j 一。 其中7 = 一( o ) = - d 2 r d x 2 i 。：o ，_ r 0 = r ( 0 ) 是响应函数的最大值，故r ”( o ) 1 ，则由( 2 2 ) 可得( n 。n 。) 2 = ( a m 咖 r ) 2 1 ，即有 0 r ( d 。a o ) 2 先考虑d = 2 的情况，对于强非局域克尔介质若有。a o2 1 0 ， 当输入功率等于i | 缶界功率时，r = 1 ，则有n = 2 0 0 。当0 r 1 时，2 c 1 0 2 ；当1 f ( n o ) 2 时，可得q 的取值范围为5 至2 0 0 。若。a o ， 且a 。一。即介质具有超强的非局域性，则n 将会趋向无穷大。若d = l ，则比 值q 会翻倍。可见，在强非局域克尔介质中，方程( 2 1 ) 第四项对相位的贡献远大 于最后一项的贡献。另外，方程( 2 1 ) 中的最后一项对高斯光束的束宽演变没有任 】5 何贡献【】，故可将其略掉而得到光束传输的新模型： 1 i 以妒+ p 甲i 妒一去p 7 r r 2 妒+ p 岛p o 砂= 0 ， ( 2 5 ) 这种形式是我们熟知的，它等价于旁轴光束在具有抛物型折射率分布的线性波导 中传输所满足的方程可见新模型的物理本质是：入射光在非局域克尔介质中激发 出了依赖于输入功率r 的对称的抛物型折射率分布n 2 = n 3 + p 凰p o 一1 1 2 p 7 p o r 2 。 则对于在强非局域介质中共同传输的两柬光而言，若它们的频率相同，只要总功 率为p o ，则它们的传输也必定满足方程( 2 5 ) 。 2 2 共同传输双光束的高斯解及其演化分析 2 2 1 共同传输双光束的高斯解 为使上述方程便于求解，对之进行变换，令 妒( z ，z ) = 妒( z ，z ) e x p ( i f z ) ， ( 2 6 ) 将其代入方程( 2 5 ) ，得 娩妒+ 肛v 王妒一；刃昂r 2 妒+ p 凰p 0 妒一厂p = o ， ( 27 ) 令上式波函数妒的常系数项为零，得 ，= p r o p o ， ( 2 8 ) 于是方程( 25 ) 就变换成s y n d e r m i t c h e l l 线性模型1 1 0 ： 娩妒+ p v i 妒一；胛r 向= o ( 29 ) 可见，方程( 2 5 ) 的解只是比方程( 2 9 ) 的解多了一个依赖于输入总功率和介质长 度的相位因子e x p ( i f z ) ，因此s y n d e r 和m i t c h e l l 由方程( 2 9 ) 所得到的关于光束柬 宽演变的结论同样适用于方程( 2 5 ) 。同时，正是由于该因子的存在使我们能够得 到由方程( 2 9 ) 所不能得出的关于光束相互作用的新结论。 】6 可假设方程( 2 9 ) 具有高斯解型解 如，加渊e 印 f 2 1 0 1 把其代入方程( 2 9 ) ，取r 2 系数的实部和虚部可分别得到n ( 。) 和c ( ：) 的方程 塞呻c n 扎 老一羞十a 肛孑+ ；一尸o = o 提取r 的零阶项可得到关于口( ：) 的方程： 鬈+ 害_ o 对以上三方程求解可得 a 2 = 0 3c o s 2 ( 卢z ) + fs i n 2 ( 卢z ) ， c = 盟掣， 百= 一旦2a r c t a n 行t a n ( 臼z ) 】 文献【1 0 】指出若妒( x 1 ：) 是方程( 2 9 ) 的解，则可得到另两个解 ( 2 l l a ) ( 2 1 l b ) ( 2 i i c ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 妒( x ，。) = 、7 ： 皿+ ( x ，。) 土皿一( x ，；) ， ( 2 1 7 ) 1 7 其中a 为一待定常数。以下我们将求出解( 21 7 ) 的具体表达式，先考虑( 1 + 2 ) 维的情况。首先求解方程( 2 1 6 a ) ，若取初始条件为 x 0 ( o ) = m ，( d x o d 。) l ：o = 0 ，y o ( o ) = 0 ，( d y o d z ) l ：0 = 0 ， 则可得 x o ( z ) = m c o s ( z z ) ，y o ( z ) = 0( 2 1 8 ) 把z o 代入方程( 21 6 b ) 、( 2 1 6 c ) 可得到 o ( z ) = ( 1 4 ) k 卢m 2s i n ( 2 f l z ) ：v ( z ) = 一k r a f t s i n ( 3 z ) 把式( 21 0 ) 和z o ，u 和日代入式( 2 1 5 ) ，再把所得结果代入式( 2 1 7 ) 就可得到新方 程( 2 5 ) 的解。此时解( 2 1 7 ) 中 皿t(。，y，=)=v俪oexp：i7咖磊(-2)ti v x e 。p 一i ! 字) ( 2 1 9 ) e x p i c ( x4 - ) 2 + 犷 ) ， 其中( 2 ) = 日+ 毋+ f z 表示高斯光束的相位，有 曲( 2 ) = 一a r c t a n 、厅t a n ( 口。) 】+ 凡p p o z + ；k f l m 2 s i n ( 2 f l z ) ( 2 2 0 ) 由式( 2 1 9 ) 可知皿+ x ，y ，2 ) 和皿一x ，y ，。) 分别代表两个高斯光束，z o 表示光束中 心偏离。轴的距离，该距离在传输过程中做周期性的改变，即光束中心的位置是 周期性变化的。由( 21 8 ) 中z o 的表达式可看出在传输过程中光束的中心轨迹是一 条余弦型的曲线。可看出v 实际上表示光束波矢在x 方向的分量，它和k o 一起构 成光束的波矢k = k e ：+ i j e 。，这里e ：，e 。分别代表；，x 方向的单位方向矢量。这 说明光束的传输方向和z 轴的方向有一个夹角a r g t a n ( v k ) 。当。= 0 时，在入射位 置”= u ( o ) = 0 ，则夹角a r g 。n ( ”) = 0 ，即说明两光束是沿z 方向平行入射的。 必须强调的是，该两高斯光束满足方程( 2 5 ) 的前题是它们的输入总功率为p 0 ， 故两光束必须满足危l 啦( z ，y ，o ) 1 2 d x d y = p o ，可得a = 2 - 1 ( 1 士e - m 2 。3 ) 。 当。= 0 时得到初始输入条件， 姒刚，归舞h m ) 2 + 9 2 1 丽厂一j j ( 2 2 1 ) 由此式可知两高斯光束的初始束宽、输入功率都相同；两光束分别位于z 轴的两 侧，中心间距为2 m ；式( 2 2 1 ) 中土表示两输入束光的初始相位差为零或1 8 0 。 对于孤子情况p o = p c 有 皿t(z，v，。)=!垦三挚7ta0 e z p 一生三主 2 塑a t 、， ( 2 2 2 ) 其中 曲= 一甭z + 凰p 只z + ( 2 云) 2 s i n 2 圳n ：矧， ( 22 3 ) 此时”= ( 一m n 3 ) s i n z l ( a 3 k ) 。 对于( 1 + 1 ) 维情况，在初始条件印( 0 ) = a 及( d x o i d z ) f 。：o = 0 之下，可得 嘶小学唧 _ 譬 z a ， e x p ( 1 4 ( z - x o ) 2 千i u x ) ， 其中1 = 一0 2 ) a r o t a n v - r t a n ( 卢z ) 十岛p p o z + ( 1 4 ) k f l m 2s i n ( 2 卢z ) 。 图2 1 ：初始相位差为”的空间光孤 子对之演化图x 是横向坐标，： 是纵向坐标( 传输距离) ，i 世( z ，= ) j 2 是 总光强，l 咖i 2 是初始输入光强的最 大值两光束初始中心间距为6 虮 由光束的束宽口、波前曲率c 、相位曲( ”、( 1 ) 和中心轨迹z o 的解可知他们 的演化仅依赖于两光束的输入总功率p o 、各自的传输距离= 以及输入时的中心 距离2 m 。故当p o 和m 确定之后，两光束对彼此的波形演化和传输轨迹没有影 1 9 响。则对于孤子光束，在每次碰撞之后波形依然保持不变继续按照自身的演化规 律传输，即具有碰撞不变性。图2 1 和图2 2 给出了( i + i ) 维情况下相互作用两孤 子光束的传输演化图，该图直观地显示了孤子光束的碰撞不变性。由图可见两光 束的中心轨迹是余弦型的。另外，可以看出不管初始相位差为零还是”，两光束 都是相互“吸引”的，保持周期性的碰撞。 初始相差对光束演化的影响在两光束碰撞的时候表现出来。碰撞的位置是在 ：轴上，当。= n t r ( 4 , c d ) 时发生碰撞，为奇数。此时若两光束的初始相差为”， 由于它们具有相同的传播常数、经过相同的传输距离到达了碰撞位置，则相差仍 为n 将发生干涉相消形成波谷，光强变得最弱。如图21 所示；反之，若初始相差 为0 则会发生干涉相长形成波峰，光强变得最强。如图2 2 所示。 图2 2 ：初始同相位的空间光孤子对 之演化图z 是横向坐标，z 是纵 向坐标( 传输距离) ，i 妒( m ，z ) 1 2 是总光 强，i 讪o 2 是初始输入光强的最大值 两光束初始中心间距为6 0 0 2 2 2 高斯光束的相位分析 以下就上文所得的光束解析式进行具体的相位分析。由式( 2 2 1 ) 可知( m + 印) 代表两光束所处的总空间范围故以a = ( t t 0 + m ) 。来表示介质的非局域性的强弱 程度，o z 越小，非局域性越强。则对于双光束而言，根据非局域的概念可得n i 式( 2 2 3 ) 中第二项和最后一项之比为a = 2 k ( d 。m ) 2 s i n c ( 2 , s z l r ) 。 又kz1 ，且2 1 2 s i n c ( 2 p z c r ) l 1 0 。则在强非局域条件下，若a ol ，则 2 n i aj 2 0 0 。由此我们可以略掉式( 2 2 3 ) 中最后一项。同样由于在强非局域情况下 式( 2 2 3 ) 中的第二项的值远大于第一项的值【1 。由此可以将第一项略去得孤子 光束的相位 p l o p 只2 = o 刍a = ( 2 ”k o ；n o )( 2 2 5 ) 比较式( 22 5 ) 和式( 2 2 3 ) 可知在强非局域条件下，无论共同传输的两高斯光束的 初始间距有多大，其相移主要决定于两光束的输入总功率。这表明即使两光束具 有2 m 的初始中心间距，但是依然可以对彼此的相位演化产生影响。 对于( i + i ) 维局域介质中的孤子光束，其相移为hz ( 2 k w 0 2 ) 将其与非局域 介质孤子光束的相移( 2 。2 5 ) 相比较可知后者是前者的( a ma o ) 2 倍。对于有耻 1 时，光束柬宽是周期性扩展的；当f ，= 1 ， l ，f = 1 1 4 ，1 1 6 ，12 0 图( d ) ，( e ) ，( ，) ，分别有f 1 ，f = 1 1 4 ，1 1 6 ，1 2 0 图( d ) ( e ) ，( ，) ，分别有f 0 4 的时候实线和虚线重合得非常好，基本上 分辨不出数值解和解析解的区别。对数值解和解析解的相对误差的分析 17 】表明 越大，误差越大。对于( 1 + 1 ) 维情况在f = 0 6 时，误差仍小于3 ；对于( 1 十2 ) 维情况在= o 5 时，误差仍小于5 。故在f = 0 5 时光束相位的解析解还是比较 精确的。 匕孽1 匕：匕 图4 7 ：( 1 + 1 ) 维光束相位的数值解( 虚 线) 和解析解( 实线) 的比较f = 1 ( a ) = 0 1 - ( b ) f = 0 2 ，( c ) 一0 3 ，( d ) = 0 4 ， ( e ) f = 0 5 ，( f ) f = 0 6 图4 8 ：( 1 + 2 ) 维光柬相位的数值解( 虚 线) 和解析解( 实线) 的比较f = 1 f a ) f = o 1 ，( b ) f = 0 2 ，( c ) = 0 3 ( d ) = 0 4 ， ( e ) f = 0 5 ，( f ) = 06 综上所述，在= 0 1 时解析解和数值解几乎没有误差；在s0 3 时光束振 3 2 幅和相位的解析解仍然比较精确；故我们可得到结论：若介质响应函数的宽度大 于或等于光束束宽的1 0 倍时简化方程( 4 3 ) 是相当精确的；当介质的响应函数的 宽度约是光束柬宽的3 倍时，简化方程( 4 3 ) 还是适用的。 总结与展望 本论文在理论上研究丁平行入射、共同传输的两高斯光束在强非局域克尔介 质中的演化规律。首先从理论上推广了适用于多光束的强非局域的概念，在强非 局域条件下简化了光束在非局域克尔介质中传输满足的非局域非线性薛定鄂方 程，得到了一个近似的线性方程。通过线性叠加原理求得了适用于双光束共同传 输的高斯型解析解，并获得了空间孤子的解析解。据所得解对光束的相位进行了 详细的讨论，发现共同传输的孤子光束在传输过程中的相位决定于它们的输入总 功率。能够在相当短的传输距离之内能产生大的相移，大约4 0 # m 的长度即可实 现7 r 相移。我们还讨论了振幅一强一弱、具有一定初始距离的双孤子光束的传输 情况，得到了一个很有意义的结论，即弱孤子光束( 信号光) 的相位正比于强光f 泵 浦光) 的输