（应用数学专业论文）尘埃颗粒大小分布对尘埃等离子体集体行为影响的研究.pdf

摘要 随着科学技术的高速发展，非线性科学以其令人惊异的复杂性成为人们的研究热点。 对混沌、分形和孤立波等非线性现象的深入研究，改变了人们对自然界的认识，同时也成 为非线性科学的的热门研究课题之一。 本文运用约化摄动法分别研究了冷尘埃等离子体、热尘埃等离子体、磁化尘埃等离子 体和尘埃等离子体晶体中的尘埃声孤波现象，着重考虑尘埃颗粒大小分布对尘埃声波的影 响。 论文第一章为前言部分，简要介绍非线性科学的研究内容、等离子体物理基本概念和 摄动方法的基本原理。 论文第二章研究未磁化的、无碰撞的、双温度离子的冷尘埃等离子体中的有限小 振幅尘埃声波。通过使用约化摄动法，得到尘埃声波在习i 同情况下满足的k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( k p ) ，m o d i f i e dk p 和c o u p l e dk p 方程。结果表明：1 将尘埃颗粒大小呈p o w e r l a w d i s t r i b u t i o n ( p l d ) 分布的双温度离子冷尘埃等离子体中的尘埃声孤波与尘埃颗粒大 小相同的尘埃等离子体中的尘埃声孤波相比，其传播速度满足v o 丽，振幅满足西。 面。当尘埃颗粒半径的最大值和最小值之比c = a m a x n 。m 增大时，尘埃 声孤波的传播速度加快，振幅减小，而宽度增大。2 采用h i r o t a 方法解析求解k p 方程，得 至j j k p 方程多孤立子解的解析表达式，并用图形模拟多孤子的相互作用过程。 论文第三章研究在高阶横向扰动下，不同尘埃颗粒大小分布对未磁化的、无碰撞的含 有两种不同温度离子的热尘埃等离子体中二维尘埃声波的影响。研究结果显示：不论是等 温过程还是绝热过程，将尘埃颗粒大小服从p l d 分布的热尘埃等离子体中的尘埃声孤波与 尘埃颗粒大小相同的热尘埃等离子体中的尘埃声孤波作比较发现：当尘埃温度与有效温度 之比a = t d ，r 增大时，孤波传播速度之比 o 丽随着a 的增大而减小，振幅之比曲。；石：随 着a 的增大而增大，宽度之比u _ 随着口的增大而减小。 论文第四章研究磁化的双温度离子尘埃等离子体中的有限小振幅尘埃声波。通过使 用约化摄动法，我们得到描述磁化尘埃等离子体的z a k h a r o v k u z n e t s o v ( z k l ，m o d i f i e d z k 齐l l c o u p l e dz k 方程。结果表明：1 尘埃颗粒的极性对磁化尘埃等离子体中的尘埃声 波有重要影响：f i l 对于含有同种极性的尘埃等离子体，当所有的尘埃颗粒均带负电时， 无碰撞的三维磁化尘埃等离子体中存在稀疏的尘埃声孤波：当所有尘埃颗粒均带正电， 即z 卉 0 ，则系统中的孤立波为稀疏尘埃声孤波；若篓，鼍乎 0 ，则系统中 存在压缩尘埃声孤波。另一方面，用数值模拟的方法研究高阶横向扰动下c o u p l e dz k 方 程的孤立波解的稳定性问题。研究发现：对于尘埃颗粒大小呈一定分布的磁化尘埃等离 子体中的尘埃声波来说，如果在横向方向存在高阶扰动，且横向扰动的波数k 和l 满足条 件0 ( k 2 + l 2 ) ； o o t h e r w i s e ，t h e d a s wi s c o m p r e s s i v e o nt h eo t h e rh a n d ) t h es t a b i l i t yo ft h es o l i t a r yw a v es o l u t i o nf o r t h ec o u p l e dz k e q u a t i o n h a sb e e nd i s c u s s e db yn u m e r i e a lm e t h o d i ti sf o u n dt h a tf o rt h e d a wi nam a g n e t i z e dd u s t yp l a s m a sw i t hd u s ts i z ed i s t r i b u t i o n ，t h e r ei sa i n s t a b i l i t yt ot h e t r a n s v e r s ep e r t u r b a t i o n sw i t ht h ew a v en u m b e r sk a n dls a t i s f i e s0 ( k 2 + l 2 ) j s c2 t h en s o l i t o ns o l u t i o no fz k e q u a t i o nh a sb e e no b t a i n e db yt h eh i r o t am e t h o d ，m e a n w h i l e ， t h ed i f f e r e n tp r o c e s so ft w o - s o l i t o nh a sb e e ns i m u l a t e dn u m e r i c a l l y i nc h a p t e rf i v e ，t h ec h a r a c t e r i s t i co fd u s tl a t t i c ew a v e ( d l w ) i na d u s t yp l a s m ac r y s t a l h a sb e e ns t u d i e d i tc a nb ec o n c l u d e dt h a t ：1f o rt h ed u s tl a t t i c es o l i t a r yw a v ef d l s w l o fw e a k l yi n h o m o g e n e o u so n e - d i m e n s i o n a ld u s tl a t t i c e ，i ti sf o u n dt h a tt h ea m p l i t u d ea n d v e l o c i t yd e c r e a s e sa st i m eri n c r e a s e s ，b u tt h ew i d t hi n c r e a s e sa st i m eri n c r e a s e s o nt h e o t h e rh a n d ，t h ef r e q u e n c yu ，f o rt h ee n v e l o p ew a v ei nd u s t yp l a s m a sc r y s t a l ，i n c r e a s e sa s t h ew a v en u m b e rka n dt h ec h a r g eo fd u s t p a r t i c l e sq i n c r e a s e s 2 i th a sb e e n i n v e s t i g a t e d t h a tt h en o n l i n e a re n v e l o p ew a v ei nd i f i e r e n td i r e c t i o n sf o rat w o d i m e n s i o n a lh e x a g o n a l c r y s t a l i ti sf o u n dt h a tt h ef r e q u e n c i e si nd i f f e r e n td i r e c t i o n sa r ea l li n c r e a s e sa st h ew a v e n u m b e raa n dt h ec h a r g eo fd u s tp a r t i c l e s0i n c r e a s e s m o r e o v e r ，t h ef r e q u e n c ya n dt h e v e l o c i t yi n1 7 2 一d i r e c t i o ni sl a r g e rt h a nt h a to fn - d i r e c t i o n i nc h a p t e rs i x ，t h em a i nr e s u l t sh a v eb e e ns u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e rw o r k sh a v e b e e ni n t r o d t i c e d k e yw o r d s ：d u s t yp l a s m a ，r e d u c t i v ep e r t u r b a t i o nm e t h o d ，d u s ts i z ed i s t r i b u t i o n d u s ta c o u s t i cw a v e ，s o l i t a r yw a v e ，s o l i t o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名日期：年月 目 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名 作者指导老师签名 日期 日期 年月曰 年月日 第一章前言 1 1 非线性科学简介 1 1 1发展概况 现代科学的发展开端以牛顿力学的建立为标志，牛顿力学以精确的计算结果征服世 人，用严格的数学形式描述物体之间的相互作用及相对运动的基本规律，它描绘的是一幅 决定论的、时空相对独立的、可控的世界图景。一方面，牛顿力学作为近代科学的典范， 在科学技术的发展过程中已经取得了硕果累累的辉煌成就。另一方面，随着科学技术的飞 速发展，牛顿力学的局限性逐渐显现。牛顿力学局限性的突破与非线性科学的发展具有紧 密的联系，主要表现在以下三个方面： ( 1 ) 2 0 世纪初，科学家首先发现对于接近光速运动的物体牛顿力学并不适用，此时应 采用相对论来进行处理。相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉。 ( 2 ) 同时，人们又发现牛顿力学也不能用来分析微观粒子的运动，总结微观粒子的运 动规律，应当用量子力学来描述微观粒子的运动状态。量子力学的建立则排除了对可控测 量过程的牛顿迷梦。 ( 3 ) 混沌现象的发现，使人们认识到牛顿力学不仅对研究宇观天体、微观粒子不能适 用，而且对研究由多个要素构成的复杂系统也存在困难。 由此，人们发现了限制牛顿力学的三个普适常数：光速( 高速运动物体对牛顿力学的 限制) 、p l a n k 常数( 微观粒子对牛顿力学的限制) 和复杂性常数( 复杂性系统对牛顿力学的限 制1 。 以混沌为核心的非线性科学革命，极大地激发了人们探索自然界和人类社会存在的各 种复杂性问题的热情，同时也逐渐改变了人们观察周围世界的思维方式，成为1 9 世纪继相 对论、量子力学之后的第三次科学革命。 1 1 2 研究内容 1 1 2 1 自组织与耗散结构 自组织现象是指自然界中自发形成的宏观有序现象。目前对自组织现象进行理论研究 较多的典型实例有：b d n a r d 流体的对流花纹，b e l o u s o v - z h a b o t i n s k y 化学振荡花纹与化学 波，激光器中的自激振荡等。i l y ap r i g o g i n e 教授- 于1 9 6 9 年在一次“理论物理学和生物学” 的国际会议上首次正式提出关于非平衡系统的自组织理论一耗散结构理论。耗散结构理 论可概括为：一个远离平衡态的非线性的开放系统( 不管是物理的、化学的、生物的乃至社 会的、经济的系统) ，通过不断地与外界交换物质和能量，在系统内部某个参量的变化达到 一定的阈值时，通过涨落，系统可能发生突变即非平衡相变，由原来的混沌无序状态转变 为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡的非线性区形成的新的稳 1 第一章前言 定的宏观有序结构，由于需要不断与外界交换物质或能量才能维持，因此称之为“耗散结 构”( d i s s i p a t i v es t r u c t u r e ) 。下面就耗散结构理论中涉及的几个概念作一简要介绍： f 1 1 远离平衡态 远离平衡态是相对于平衡态和近平衡态而言的，所谓的“远离平衡态”是指系统内可 测的物理性质极不均匀的状态，这时其热力学行为与用最小熵产生原理所预言的行为相 比，可能颇为不同，甚至实际上完全相反，系统走向一个商熵产生的、宏观上有序的状态。 f 2 1 非线性 系统产生耗散结构的内部动力学机制，正是子系统间的非线性相互作用，在临界点 处，非线性机制将微涨落放大为巨涨落，使热力学分支失稳，在控制参数越过临界点时， 非线性机制对涨落产生抑制作用，使系统稳定到新的耗散结构分支上。 f 3 ) 开放系统 我们知道，孤立系统的熵一定会随时间增大，熵达到极大值，系统达到最无序的平衡 态，所咀孤立系统绝不会出现耗散结构。而在开放的条件下，系统的熵增量是由系统与外 界的熵交换和系统内的熵产生两部分组成的。由于系统与其外界的相互作用的不同使得外 界给系统注入的熵可能为正、零或负，在这种情况下，只要这个负熵流足够强，它就不仅 能够抵消系统内部的熵产生，而且还能使系统的总熵增量为负，总熵减小，从而使系统进 入相对有序的状态。因此开放系统可以通过自发的对称破缺从无序进入有序的耗散结构状 态。 f 4 1 涨落 一个由大量子系统组成的系统，其可测的宏观量是众多子系统的统计平均效应的反 映。但系统在每一时刻的实际测度并不都精确地处于这些平均值上，而是或多或少有些偏 差，这些偏差就叫涨落，涨落是偶然的、杂乱无章的、随机的。 ( 5 ) 突变 所谓“突变”是指在临界点附近控制参数的微小改变将导致系统状态明显的大幅度变 化的现象。当控制参数越过临界值时，原来的热力学分支失稳，并产生新的稳定的耗散结 构分支，在这一过程中微小涨落的关键作用使得系统从热力学混沌状态转变为有序的耗散 结构状态。 1 1 2 2 混沌与分形理论 混沌( c h a o s ) 混沌现象是非线性科学的核心问题，它揭示了有序与无序、确定性与随机性的统一， 它是继相对论和量子力学问世以来物理学的第三次革命。它几乎涉及自然科学与社会科学 的各个领域，它正促使整个现代知识体系成为新科学，并正在消除对于统一的自然界的决 定论和概率论两大对立描述体系问的鸿沟。 1 9 7 5 年，t i a n y a n l i 和、r o r k e 第一次赋予“混沌”这个词以严格的科学意义。他们用三 个本质特征对混沌进行刻划，即“有界”、“非周期”和“敏感初条件”。他们将混沌的概 2 1 1 非线性科学简介 念界定为：“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初条件的非周期行为”。 图11 ：l o r e n z 混沌吸引子图l2 ：陈氏混沌吸引子 分形( f r a c t a i l “分形”一词源于拉丁文f r a c t u s ，本意是指“破碎的”，用传统的几何观点来看，即是 不规则的和复杂的。目前，分形理论是尚未成熟的前沿学科之一，它以大量的经验事实为 依据，具有深厚的数学基础，与此同时，它还具有深远的哲学、方法论意义和遍及自然科 学、社会科学甚至文学艺术的广泛应用价值。在历史上，为分形理论的孕育和诞生做出过 重要贡献的有c a n t o r ，h a u s d r o f f ，b b m a n d e l b r o t 等卓越数学家。 b bm a n d e l b r o t 给出了分形的两种定义：( 1 ) 分形集( 简称分形) 是满足= h a u s d r o f f 维数严 格大于拓扑维数的集合；f 2 ) 组成部分与整体以某种方式相似的形叫做分形。虽然这两个定 义尚不完善，但它们已从基本上刻划出了分形的主要特征，即复杂性和相似性。分形的著 名实例有：k o c h 曲线、m a n d e l b r o t 集合、s i e r p i n s k i 垫片等。分形理论利用分维的概念来研 究复杂的、自相似的即无特征尺度的对象，同时利用分维概念对无特征尺度的复杂现象进 行定量描述，从而实现了从e u c l i d 测度到h a u s d r o f f 测度的测度观的转变。 1 1 2 3 拟序结构与孤立子 拟序结构( c o h e r e n ts t r u c t u r e ) 拟序结构原是湍流理论中的术语，指的是湍流流动中大尺度的涡旋结构，这种结构具 有非常复杂的时空演化的几何形态，并以保持不变的几何形状做整体运动。后来，拟序结 构是通指在相互作用中保持的一种有序的动态图像，非线性系统的相互作用产生的稳定 而持久的动态过程是自然界广泛存在的一类极为重要的现象。目前在众多科学领域已有发 现，例如：木星大气湍流中保持稳定拟序结构的巨型红斑：固体物理学中原子尺度上的电 荷密度波；化学反应波；激波以及孤立波等。所有拟序结构，包括孤立子拟序结构和非孤 立子拟序结构都具有非线性效应和弥散力巧妙平衡这一共同特性。 孤立子( s o l i t o n l 3 第一章前言 图1 3 ：m a n d e l b r o t 集合图1 4 ：s i e r p i n s k i 垫片 1 9 世纪3 0 年代，j sr u s s e l l 在爱丁堡格拉斯哥运河中偶然观察到一种被他称作“大 传输波”的奇特现象：一个孤立的水波在浅水窄河道中持续行进，并长久地保持自己的形状 和波速不变。j s r u s s e l l 于1 8 4 4 年在英国科学促进协会第十四届会议上宣读了他的论文论 波动，报告了此次不寻常的发现。1 8 9 5 年，荷兰著名数学家d k o r t e w e g 和他的学生g d e v r i e s 根据流体力学研究浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下，求得单向运动的浅 水波运动方程，即著名的k o r t e w e 廿d e - v r i e s ( k d v ) 方程【1 】： 甓+ u 赛+ 卢雾= 0 ， 瓦十“瓦+ 卢砸2 【111 j k o r t e w e g 和d e v r i e s 发现k d v 方程具有形状不变的脉冲状孤立波解。它能够准确地描 述浅水波的非线性特征：行波速度依赖于其本身的振幅，当两个这样的脉冲波沿着同一方 向运动时，波峰高的脉冲波的行进速度快，波峰低的脉冲波的行进速度慢，因此波峰高的 波会赶上前面波峰低的波而发生碰撞，碰撞之后，两个脉冲波的波形保持不变。 1 9 6 5 年，美国p r i n c e t o n 大学的两位应用数学家m d k r u s k a l 和n z a b u s k y 通过数学模 拟方法深入地研究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程，意外地发现了两个 孤立波在碰撞后居然都能保持各自的波形与行进速度不变这一现象。这一独特性质使人 们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉的物理现象，只有粒子的碰撞才会有类似的情形出 现，因此遂将这种波定名为孤立子，以此来反映非线性波的粒子属性。此后，科学家们对孤 立子的研究热情不断高涨，在很多学科领域都发现了孤立予运动形态。相应地，在数学上 也发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方程，例如：k d v b u r g e r s 方程，非线性k l e i n g o r d o n 方程，f i s h e r 方程，非线性s c h r s d i n g e r 方程等等。除此之外，人们还通过系统地研究 具有孤立子解的不同类型的非线性方程，得到多种波形与特征都各不相同的孤立子解，从 而呈现出丰富多样的孤立子形态。例如：k d v 方程的钟形孤立子和坑孤立子( p i ts o l i t o n l ， s i n e g o r d e n 方程的扭结型孤立子( k i n ks o l i t o n ) 、反扭结型孤立子( a u t i k i n ks o l i t o n ) 和呼 吸孤立子( b r e a t h e rs o l i t o n ) ，非线。嗤：s c h r 5 d i n g e r 方程的包络型孤立子( e n v e l o p es o l i t o n ) ， 1 1 非线性科学简介 z a k h a r o v 方程的哨孤立子( w h i s t l e rs o l i t o n ) 等。 图1 5 ：钟形孤立子 图1 7 ：扭结型孤立子 图l6 ：坑孤立子 图1 8 ：反扭结型孤立子 孤立子理论的研究意义 第一，孤立子现象广泛地存在于自然界环境中：木星的红斑旋涡、晶体中的电荷密度 波、在小尺度湍流环境中长期存在的有序大尺度组织、神经元轴突上传递的冲动电信号、 大气中的台风、激光在介质中的自聚焦、晶体中的位错、超导体中的磁通量等。与此同时， 社会经济系统中也广泛地存在着非线性相互作用，由非线性机制产生的孤立子，无论其现 象还是本质，都可能启发我们更好地理解某些社会经济现象，如社会财富、社会权利等的 稳定集中，某些社会意识等的长时间稳定传播。 第二，孤立子深刻地反映了非线性系统相干结构中惊人的有序结构。通过研究孤立子 现象可以使我们对非线性系统的拟序结构有所了解。同时，我们还可以从稳定性角度考察 拟序结构所具有非线性效应和弥散力巧妙平衡这一新颖特征。 5 第一章前言 图1 9 ：呼吸孤立子 图1 1 0 ：包络型孤立子 第三，孤立子理论发展了散射反演方 法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 。散射反演方法的 成功，表明人们可以精确而系统地求解一大类非线性方程，这对我们深刻理解并认识非线 性的本质问题极具启发性。 1 1 2 4 复杂构形与元胞自动机 1 9 世纪8 0 年代，物理学家、计算机科学家对元胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ) 模型的兴 趣大增，原因是这类简单的模型能十分方便地复制出复杂的现象或动态演化过程中的吸引 子、自组织和混沌现象。一般来说，复杂系统由许多基本单元组成，当这些子系统或基元 相互作用时，主要是邻近基元之间的相互作用，一个基元的状态演化受周围少数几个基元 状态的影响。在相应的空间尺度上，基元间的相互作用往往是比较简单的确定性过程。用 元胞自动机来模拟一个复杂系统时，时间被分成一系列离散的瞬间，空间被分成一种规则 的格子，每个格子在简单情况下可取0 或1 状态，复杂一些的情况可以取多值。在每一个时 间间隔，网格中的格点按照一定的规则同步更新它的状态，这个规则由所模拟的实际系统 的真实物理机制来确定。格点状态的更新由其自身和四周邻近格点在前一时刻的状态共同 决定。不同的格子形状、不同的状态集和不同的操作规则将构成不同的元胞自动机。在一 维模型中，是把直线分成相等的许多等分，分别代表元胞或基元：二维模型是把平面分成 许多正方形或六边形网格；三维是把空间划分出许多立体网格。 s w o l f r a m 在大量的计算机实验的基础上，提出可以将所有元胞自动机的动力学行为 归纳为四类。 ( 1 ) 趋于一个空间平稳的构形，即指每一个元胞处于相同状态。 ( 2 1 趋于一系列简单的稳定结构或周期结构。 f 3 ) 表现出混沌的非周期行为。 ( 4 ) 出现复杂的局部结构，或者说是局部性的混沌，其中有些会不规则地传播。 6 1 2 等离子体物理简介 1 1 2 5适应性与神经网络 适应性 适应性，通常指有一定的向环境学习的功能。复杂的自适应系统具有通常动力学系统 所熟悉的性质，包括分层结构，多个吸引盆以及许多亚稳态图形之间的竞争，除此而外， 它们还必须有一种能应付并利用环境变化的能力。一种自适应系统的研究方法是构造一个 明显的时间层次：一个时间尺度描述真实动力学，另一个较慢的时间尺度考虑非线性方程 本身的变化。 神经网络( n e u r a ln e t w o r k l 1 9 4 3 年，心理学家w ，m c c u l l o c h 和数学家w ，p i t t s 合作提出神经元的二值逻辑模型， 从此开创了从信息论角度出发研究大脑和人工智能的时代。1 9 4 9 年，d h e b b 提出了改变 神经元联结强度的学习规则，这一规则至今仍在各种网络模型中起着重要作用。1 9 6 2 年， f r o s e n b l a t t 提出感知机模型，掀起神经网络研究的第一次热潮。1 9 8 2 年，t h o p f i e l d 提出 了一种全新的神经网络模型，它体现了d m a r t 的计箅神经理论、耗散结构和混沌理论的 基本精神，使网络的稳定性有了严格的判据，模型具有联想记忆、分类与误差自校正等智 能，两年以后研制出模型硬件电路，成功地求解了数学中著名的“旅行推销员问题”，这是 一项突破性的进展。与此同时，神经科学、脑科学、思维科学、计算机科学、行为科学的研 究成果奠定了神经网络研究的基础，以美国为发端，掀起神经网络研究的新热潮。 神经网络模型是由大量处理单元f 神经元、处理元件、电子元件、光电元件等) 广泛互 连而成的网络。它是一个具有高度非线性的超大规模连续时间动力系统，其最主要特征为 连续时间非线性动力学、网络的全局作用、大规模并行分布处理及高度的鲁棒性和学习联 想能力。同时它也具有一般非线性动力系统的共性，即不可预测性、耗散性、不可逆性、 高维性、广泛联结性与自适应性等。根据人工神经网络对生物神经系统的不同组织层次和 抽象层次的模拟，神经网络模型可分为：神经元层次模型，组合式模型，网络层次模型， 神经系统层次模型和智能型模型。根据连接方式的不同，神经网络可分成：不含反馈的前 向网络从输出层到输入层有反馈的前行网络，层内有相互结合的前向网络和相互结合型 网络。 1 2等离子体物理简介 等离子体物理学是研究等离子体性质和运动规律的一门科学【。等离子体物理所研究 的对象是由大量带电粒子集合而成、密度足够低的系统，它致力于研究大量带电粒子之间 及带电粒子与电磁场之间的集体相互作用。由于等离子体所研究的电离气体的带电粒子数 目很大，所以长程库仑力是确定其统计性质的一个重要因素；又由于这种电离气体的密度 足够低，所以一个相邻粒子所产生的力远小于其它远距离粒子施加的长程库仑力。因此， 等离子体具备的最特殊的性质，即是由于长程库仑力的存在而使带电粒子表现出的集体行 为。 7 第一章前言 1 8 7 9 年，wc r o o k e s 为了描述气体放电管中所产生的电离介质，将放电管中物质的状 态称为物质的第四态。“物质第四态”这个术语是根据下述观点提出的：固态加热经相变， 成为通常的液体；若液体再进一步加热，则经相变成为气体：再在气体中加入更多的能量就 可以使一些原子电离，在高于1 0 0 0 0 0 0 k 的温度下大部分物质处于电离状态，这种电离状态 称为物质的第四态。除此之外，如果有一种机理也能使气体电离，而且气体的密度足够低且 复合较慢，则等离子体状态也能在低于1 0 0 0 0 0 0 k 的温度下存在。1 9 2 0 年，l o n g m u i r 在实验 室中发现了等离子体的集体振荡现象。1 9 2 3 年，d e b y e 提出著名的德拜屏蔽概念。1 9 2 8 年， t o n k s 和l o n g m u i r 【用源自希腊语的词汇“p l a s m a ”，借以描述放电管中远离边界的内部 区域，中文将其译为“等离子体”。由于众多科学家对电离层，太阳系和天体的广泛研究促 使等离子体物理于1 9 3 0 1 9 5 0 年之间逐渐形成。1 9 3 1 年，哈特里和阿普顿提出了电磁波在 电离层中传播的理论。1 9 3 7 年，a l f v d n 提出宇宙中到处都存在着磁场，认为等离子体的行为 在空间和天体物理学中具有重要意义。2 0 世纪4 0 年代，a l f v d n 建立磁流体力学。1 9 3 8 年， v l a s o v 提出无碰撞b o l t z m a n n 方程。1 9 4 6 年，l a n d a u 发展无碰撞等离子体中波与共振粒子 相互作用理论。2 0 世纪5 0 年代的前苏联成功发射第一颗人造卫星和苏美英等国的受控热核 聚变的研究标志着现代等离子体物理学的开端。 1 2 1基本概念 等离子体( p l a s m a ) 从广义上讲，等离子体可定义为【3 1 ：等离子体是由一定数量的带电粒子( 有时还有中 性粒子) 组成的，在电磁力及其它长程力作用下，粒子的运动和行为以集体效应为主的体 系。一般情况下，等离子体是电离的气体，它由电子、离子和中性粒子三种成分组成。并 非任何电离气体都可以称作等离子体，只有满足以下两个条件的电离气体才能叫做等离子 体：f 1 ) 整体呈准电中性，所谓“准电中性”是指等离子体中电子和离子的电荷总数基本相 等；f 2 ) 集体效应起主要作用，它是等离子体区别于其它物质三态的最基本特征。由于准电 中性的存在使得粒子的运动主要由粒子间的电磁相互作用所决定，由于这种长程的电磁相 互作用而显示出集体行为( 如各种振荡与波，不稳定性等) 。 一般说来，等离子体按其聚集状态可分为： i 气体等离子体：由大量的接近自由运动的带电粒子( 电子，离子和中性粒子) 所组成 的电离气体。 i i 液态等离子体：含有大量自由运动的电子和离子，同时也具有等离子体基本性质 的液态物质，如电解质溶液等。 i i i 固态等离子体：整体上呈电中性，虽然离子不能自由运动，但传导电子可以自由 运动的固态物质，如金属和半导体。 另一方面，依据等离子体的电中性特征又可以分为中性等离子体和非电中性等离子 体。中性等离子体是具有宏观电中性性质的等离子体的统称。若等离子体的带电粒子只是 单种电荷的粒子，整个体系呈非电中性，则将这种等离子体称为非电中性等离子体。 8 1 2 等离子体物理简介 尘埃等离子体( d u s t yp l a s m a ) 4 】 一般认为等离子体是- - 7 十由电子、离子和中性粒子组成的电离系统。但在实验室和空 间环境( 如彗星的围绕物、行星环、星际云以及地球低电离层冲，等离子体往往包含大量 纤细的固体“尘埃颗粒”，从而形成“尘埃等离子体”。“尘埃颗粒”成为对等离子体行为 产生重要影响的组成成分。尘埃颗粒与电子和离子相比质量巨大且运动缓慢，在运动过程 中捕捉大量电子和离子，由于电子远比离子移动迅速，所以尘埃颗粒带负电。在辐射或高 能等离子体环境中，尘埃颗粒上次级电子和光电子的发射也会使尘埃带电并产生带正电的 尘埃。尘埃等离子体代表了空间、实验室以及工业用等离子体的最普遍形式。尘埃等离子 体所包含的带电尘埃颗粒参与复杂的相互作用，从而使尘埃等离子体产生完全不同以往的 新型特征。 尘埃等离子体晶体( d u s tp l a s m ac r y s t a l ) 尘埃等离子体中最诱人的新发现就是尘埃等离子体的结晶现象i 目。早在1 9 8 6 年，i k e z i 就 作出理论预言 q ：在所谓的“尘埃等离子体晶体”中，那些存在于等离子体中微米量级的尘 埃颗粒由于带大量负电而形成库仑点阵结构。i k e z i 认为：由于尘埃颗粒吸收了大量电子， 所以尘埃组分的平均势能大于其平均动能。这就导致了在这种情况下，尘埃等离子体的性 质与我们所熟悉的弱耦合等离子体( w e a k l yc o u p l e dp l a s m a ) 性质相比产生明显差异，以 致在一般条件下形成强耦合等离子体( s t r o n g yc o u p l e dp l a s m a ) ，即产生尘埃等离子体晶 体。尘埃等离子体晶体所展示的类似液体或固体的性质，己成为一种用以研究凝聚物质物 理过程( 如熔化、退火和点阵缺陷) 的有用工具。 等离子体物理中常用的基本描述方法有吼 ( 1 ) 单粒子轨道理论：完全忽略等离子体粒子问的相互作用，把等离子体视为大量独 立带电粒子的集合，由n e w t o n 方程确定单个带电粒子在外场作用下的运动轨道。单粒子轨 道理论只适用于研究稀薄等离子体。 ( 2 ) 磁流体动力学：研究导电流体在电磁场中运动规律的一种宏观理论。将流体力学 和电动力学结合起来描述电磁场中导电流体的运动。磁流体理论最适合研究稠密等离子体 以及缓慢变化的等离子体现象，如等离子体的平衡、宏观不稳定性和冷等离子体中的波。 ( 3 ) 等离子体动力论：等离子体的统计理论，从微观粒子运动的观点出发，用统计方 法研究分布函数的演变和宏观的不可逆过程，在求出粒子分布函数以后，对所有粒子的微 观量经过统计平均得到宏观量，从而把宏观理论中所出现的输运系数与物质的微观结构联 系起来。 等离子体中的波动现象吲 以等离子体为介质的波动现象一一等离子体中的波是等离子体粒子的一种集体运动 形式。等离子体中的波具有以下重要特点： ( 1 ) 在等离子体中存在着三种不同的力：热压力、静电力和磁力，它们对于等离子体 的扰动都起着准弹性恢复力的作用。因此，等离子体中包含丰富多彩的波动现象： ( 2 ) 恒定磁场对等离子体中的波有实质性的影响，从而引起许多新的波动模式； 9 第一章前言 ( 3 ) 由于电子和离子性质的显著差异( 电荷相反，质量相差很大) ，使得它们在波动过 程中的作用很不相同； ( 4 1 等离子体中的波往往有很强的色散，各种不同频率的单色波以不同的相速度传播； ( 5 ) 等离子体的空间不均匀性使波的特征发生变化，并导致新的波动模式。 等离子体中的波大体上可以分为两类一一线性波( l i n e a rw a v e ) 和非线性波( n o n l i n e a r w a v e l 。线性波表现为小振幅的较缓和的扰动，其中出现的振荡与波的振幅不大，可用线 性化方程描述：非线性波一般表现为较为激烈的扰动，其中振荡和波的振幅较大，如激波 和孤波，它需要用非线性方程描述。 描述等离子体中的波动现象通常有两种不同方法。第一种方法是等离子体的流体描 述，它将等离子体看成是由介电张量描述的电介质，把流体密度通过介电张量表示成电场 的线性函数，然后把求得的电流密度代入m a x w e l l 方程，即求得色散关系，从而由色散关 系反映波的频率u 和波矢k 之间的关系，并完全确定给定条件下等离子体波的性质。第二 种方法就是动力论方法，将描述带电粒子速度分布演化的运动方程和m a x w e l l 方程联立求 解，从而得以研究各种波和粒子的共振相互作用。 1 2 2 发展前景 1 9 6 0 年以后，等离子体物理发展的主要推动力是：( 1 ) 受控热核聚变的研究，其目的是 寻求人类可以无限使用的干净能源；( 2 ) 空间研究，主要探索太阳系中自然过程的整体行 为。 实验室等离子体物理研究的最主要推动力是实现受控热核聚变。人们在受控热核聚变 研究中认识到，要同时达到恒星中心等离子体的高温、高密度以及长能量约束时间，必须 大大提高产生和约束等离子体的能力，以及加深对等离子体的了解。由于各种诊断系统能 力及精确性的不断提高，要求等离子体物理理论越来越全面和细致地解释所观测到的各种 现象。在实验室中创造高温等离子体所需要的技术，如强磁场、大型超导磁体、强流高能 中性束、大功率激光器、真空和表面技术等都已迅速发展起来，受控热核聚变的科学可行 性已经基本得到证实，这些都鼓舞着人们对等离子体进行深入研究。 空间研究已成为基础等离子体物理研究的重要方面。已经证实，太阳系等离子体物理 现象只是一般天体过程的一个例子，等离子体物理可以同时描述太阳系及一般天体物理现 象，因而太阳系可以成为研究天体过程的实验室。近年来，为分析聚变研究及实验室和空 间等离子体测量结果而发展起来的理论分析及计算技术，使得模拟更大范围等离子体过程 成为可能。 1 0 1 3 摄动方法简介 1 3 摄动方法简介 1 3 1基本概念 从1 9 世纪末天文学家在研究行星轨道因其它天体的影响所造成的小扰动问题开始，摄 动方法在实际应用和理论研究上都得到了迅速发展，特别是2 0 世纪5 0 年代以来发展更为迅 速。现在，摄动方法在天文、力学、物理，甚至化学、生物以及控制论中都在普遍而有效地 使用着。但至今摄动方法仍处于应用发展阶段，我们将对摄动方法有待研究的问题作进一 步的探讨。 在实际问题中，有时会出现含有摄动量一一无量纲的小参数e 的情况，通常称这类问 题为摄动问题( p e r t u r b a t i o np r o b l e m s l 。最常见的是小参数含于方程或条件中的微分方程 定解问题。一个摄动问题b ，实际是依赖e 的一族问题，其中= o 时的问题p o 称为足的退 化问题。 只的解“( z ，e ) 通常可以按小参数的幂展开为【9 1 或者更一般地展开为 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 其中，首项u o ( 。) 是退化问题p 0 的解。这种展开式当n 一。时未必是收敛的，但只要当e 一 0 时余项 r n ( x ，- c ) = o ( e 。)或者r i v ( z ，) = o ( 妒忙) )( 1 3 3 ) 这种展开式就有可能比一致收敛且绝对收敛的展开式更为有用。通常称之为渐近展开 式( a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ) ，记作 o 。 u e ) 矿u 。( z ) 或者u ( 。，) 一( g ) u 。( 。) ( 1 3 4 ) n = 0n = 0 当解的渐近展开式在z 的整个区域q 内一致有效时，称问题只为正则摄动问题( r e g u l a r p e r t u r b a t i o np r o b l e m ) ；否则，称r 为奇异摄动问题( s i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m ) 。处理 摄动问题的这种渐近展开的方法称为摄动方法( p e r t u r b a t i o nm e t h o d s l ，它是近似方法中的 一种重要方法。摄动方法包括：正规摄动法、多尺度方法、p o i n c a r e l i g h t h i l l k u o ( p l k ) 方 法、平均值方法、k r y l o v - b o g o l i u b o v m i t r o p o l s k if k b m ) 方法、约化摄动法和幂级数展开 法等。通过摄动方法求得的近似解析解，它不但能对问题作出定性分析，而且还能作出近 似的定量分析，这是数值解无法做到的。 1 1 z r+z n r m l +z 钍 = ezu ez r+z h n妒 m d +zu | | zu 第一章前言 1 3 2 约化摄动法 约化摄动法f r e d u e t i v e p e r t u r b a t i o n m e t h o d s ) 是在p l k 方法的基础上发展起来的 一种摄动方法。其日的是化复杂的非线性方程或方程组为比较简单的且可准确求解的 非线性演化方程。这些非线性演化方程包括b u r g e r s 方程、k d v 方程、m k d v 方程和非线 性s c h r s d i n g e r 方程等等。约化摄动法常用于求解非线性波动问题，其应用条件是长波近 似，即z 方向上的波数满足1 ，这就是通常所说的弱非线性条件。 约化摄动法的一般步骤为： ( 1 ) 在方程中引进无量纲的小参数e ( o e 1 ) ，对方程作所谓的g a r d n e r ， m o r i k a w a ( g m ) 变换； 在长波条件下，非线性方程的演变是慢变的。但不同的非线性波动受不同的物理规律 控制，频散关系不同，因而慢变的空间、时间尺度也不同。设e 为一无量纲的小参数，则通 常的g m 变换的形式为： = ，( z c t ) ， t = t ( 13 5 ) 其中a ，口和c 均为常数。上式表明空间坐标变成了以c 为速度的移动坐标。 ( 2 ) 将方程的解u ( z ，e ) 展开为小参数的幂级数形式： ( 1 3 6 ) 即对方程作摄动展开，并依次求得该方程的各级近似解析解，化复杂的非线性方程或方程 组为简单的非线性方程； ( 3 ) 分析摄动级数的收敛性。 ez r +z n “ n e m d +zu 第二章冷尘埃等离子体中的孤波 2 1 砑究现状 目前，“等离子体中非线性波的传播过程”这一问题已成为等离子体物理最重要的课 题之_ 1 0 - 2 】。尘埃等离子体是包含电子、离子和尘埃颗粒( 吸附等离子体中大量电子和离子 而带负电) 的电离气体。由于带电尘埃颗粒广泛地存在于诸如行星环，慧尾，星际云和地球 电离层等自然环境中【1 0 n 】，这就使得尘埃等离子体的相关研究产生重大意义。实验室环境 中尘埃颗粒以杂质形式出现，并对周围的等离子体产生重要影响1 1 2 】。随着人们对尘埃等离 子体研究热情的高涨，其研究成果也被广泛应用于实验等离子体、空间等离子体等众多领 域。在尘埃等离子体的研究过程中，众多科研工作者作出了重要的贡献：r a o 在理论上首 次预言无磁场的尘埃等离子体中存在尘埃声波( d u s ta c o u s t i cw a v e ) 1 4 】；s h u k l a 和s i l i n ”】 研究了高频情况下尘埃离子声波( d u s ti o na c o u s t i cw a v e ) 的存在性问题，而这些研究成果 均已得到实验证实【1 6 】。为了研究问题的简便，以上众多研究工作均只考虑非线性波在含有 同种尘埃颗粒( 尘埃颗粒的大小和质量均掘同1 的尘埃等离子体中的运动状态f 1 4 ，1 5 , ”4 l 。