（计算数学专业论文）两类具有年龄分布和加权的种群系统的最优控制.pdf

两类具有年龄分布和加权的种群系统的最优控制 摘要 种群系统的最优控制问题是控制论中一个十分活跃的研究领域，它丰富的理论和先进的 方法为解决当今科技领域层出不穷的控制问题提供了卓有成效的工具，而且它还对种群的发 展和控制提供了重要的参考价值考虑到加权总规模对于种群发展的影响，本文给出了具有 年龄结构和加权总规模的种群系统数学模型，研究了依赖于年龄分布和加权总规模的种群 系统的最优控制问题依据内容，本文共分为三部分 第一部分是前言它主要介绍了本文选题的背景，研究现状以及预备知识 第二部分是在分析和总结了生物种群动力系统的控制问题基础上，考虑了种群年龄和加 权对其作用和影响，建立了微分一积分形式种群数学模型综合运用特征线方法，g r o n w a i l 引 理，b e l l m a n 定理，f a t o u 引理，e k e l a n d 变分原理，不动点定理，共轭系统等方法和知识，系统地 研究了依赖于年龄分布和加权总规模的种群系统的最优控制问题，证明了此微分积分方程 模型最优解的存在唯一性，得到了最优解的必要条件 第三部分是具有年龄分布的周期种群系统的最优控制问题，分析了模型的共轭系统，证 明了最优解关于控制变量是连续依赖的，得到了最优解的必要条件 关键词最优控制，种群模型，年龄结构，加权总量，周期解 o p t i m a lc o n t r o lf o rt w oc l a s s e so fa g e - d e p e n d e n t p o p u l a t i o ns y s t e mb a s e do nw e i g h t a b s t r a c t t h eo p t i m a lc o n 仃o lp r o b l e mo fp o p u l a t i o nd y n a m i c si s 锄a c t i v ef i e l di nc o n t r o lm e o r y i t s a b 蛐d a n tt h e o r i e sa n da d v a n c e dm e t h o d sp r 0 v i d ep o w e d u l 锄df h i t f u l t o o i sf o rs o l v i n gc o n t r o l p r o b l e m si nt h ef i e l i bo fs c i e n c ea n dt e c h n 0 1 0 9 y a n di tc o n t r i b u t e st 0t h e 、v o r ko fp o p u l a t i o ns y s t e md e v e i o p m e n ta n dc o n 仃0 1 c o n s i d e r i n gt h ew e i g h t e ds i z ei np o p u l a t i o ns y s t e m ，吐i eo p t i m a i c o n t r o lp r o b l e m sf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a rp ( p u l a t i o ns y s t e mw i t l lf e n i l i t y 锄dm o r t a l i t yd e p e n d i n go na g ea n dw e i g h t e ds i z ea 他g i v e n w ea l s od os o m er e s e a r c ha b o u tm ep r o b l e mo ft l l e 0 p t i m a lc o n 仃0 lf b fac l a s so fa g e d e p c n d e n tp o p u i a t i o ns y s t e mb 舔e do nw e i 曲t e ds i z e a c c o r d i n g t 0t h ec o n t e n t s ，m i sp a p e ri sd i v i d e di n t 0m r e ec h a p t e r s i i lt l l ef i r s tc h a p t e r w e 百v et l l ep r e f a c e i ti n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n d ，t h ep r e s e n ts t u d y i n go f p o p u l a t i o nd y n 删c s a th o m ea n da b r o a d 锄dt l l ep r e p 绷牡i v et h e o 阱 i nm es e c o n dc h 印t e r o nt h eb 私i so fa n a l y z i n g 明ds u m m a r i z i n gt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b i e m s o fm o d e mp o p u l a t i o nd y n a 删c s ，c o n s i d e r i n gm ei n f l u e n c eo fa g e d 印e n d e n c ea n dt h ew e i g h t e d s i z e ，t t i i sp a p e rc o n s t r i l c t st 1 1 em o d e lw i mt i l ef o mo fd i 厅e r e n t i a l i n t e g r a ie q u a t i o n s b ym e a i l s 0 fc h a r a c t 葫s t i cl j n e ，g r o n w a l lk l m m a ，b e l l m 锄n e o 嘎f a t o uk m m a ，e k e l a l l d sv 捌a i o n a l p r i n c i p l e ，m eb a n a c hf i x e d t l l ep o i n tt l l e o r y a d j o i n ts y s t e m 柚ds oo n ，t l l ep r o b l e mo ft h eo p t i m a l c o n t m lf b rac l a s so fa g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e mb a s e do nw e i g h t e ds i z ei sd i s c u s s e ds y s t e m a t i c a l l y ，t l l ee x i s t e n c e 锄du n i q u e n e s 8o fm eh a e s tc o n n o l0 ft i l ed i 仃e r e n t i a i i n t e g r a le q u a t i o n s i sp r o w 池，吐l en e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi s0 b t a i n e d h lt l l et h i r dc h a p t e r i ti sa b o u tt l l eo p t i m a lc o n t r o lf o rac l a s so fp e r i o d i ca g e d e p e n d e n t p o p u l a t i o ns y s t e mb a s e do nw e i g h t ，t 1 1 e 删o i n ts y s t e mo ft h em o d e l i sa n a l y z e d ，t 1 1 ec o n t i n u i t y p r o p e n i e so ft h es y s t e ms o l u t i o ni nt e m l so ft h ec o n 仃o lv 撕a b l ei sc e n i f i c a t e d ，a n dt h en e c e s s a r y c o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n 仃o lp r o b l e mi so b t a i n e d k - e yw o r d so p t i m a lc o n l ，p 叩u l a t i o ns y s t e m ，a g e s t m c t u r e ，w e i 曲t e ds i z e ，p 甜o d i cs o l u t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得墨鲞! 垂整苤鲎或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：日期：型墨：垒：! 口 第一章前言 1 1 研究意义及现状 由于全球生态环境的恶化越来越严重，直接关系到人类生存环境的生态平衡，此外还与 生物多样性保护，生态环境优化以及可再生资源的歼发利用等问题都密切相关，因此人们对 生物种群系统也给予了更多的关注，所以对生物种群动力系统的控制问题的研究，不仅具有 重要的理论价值，而且还有重要的应用价值，用数学模型的方法对其进行研究，不仅能够揭 示种群发展的动态，预测它的未来，而且能使人们采取有效的措旌对其进行控制，使其向着人 们期望的理想状态发展 利用数学理论研究种群系统的最优控制策略，已有半个多世纪的历史，获得了很多重要 成果1 9 6 6 年在文献【6 】中，k n v j t c h 首先分析了一个具有离散年龄结构的种群模型的最优 收获问题，1 9 8 0 年r o 眦s 和f a i r 开始讨论具有连续年龄结构的收获问题，但他们假设控制策 略与时间无关，只与年龄有关【7 】后来，在文献【8 】中，德国学者b r o k a t e 假设收获控制与年龄 无关，导出了一个最优收获问题的极大值原理在文献【1 4 】中，李淑锦分析了一类最优收获 问题解的存在性文献【1 3 】中，b u s o n i 和m a t u c c i 考虑了一个具有两阶段年龄结构的种群收获 问题，证明了最优策略是三态的罗马尼亚学者a n i t a 在种群系统的控制方面有一些重要工 作，在文献【1 5 ，1 7 】中，他分别研究了线性周期系统和一类特殊的非线性系统的收获问题文 献【1 2 ，2 4 】和【2 5 ，2 6 】分别研究了时变种群系统和时变种群扩散系统的适定性及关于生育率和 边界的最优控制，给出了最优控制的存在唯一性和必要性条件在文献【ll ，1 6 ，2 l 】中，数学 家b 曲u 与i a 衄e i l i 在文献【1 1 】中的工作可用于文献【1 6 】中的传染病的最优控制，而文献 2 l 】的 工作表明：出生率控制比迁移控制更为有效a i n s e b a 和l a n g l a j s 在文献【2 2 】中分析了带扩散的 种群模型的近似可控性李键全，陈仁昭等在文献【2 7 ，2 8 】中处理了两类扩散系统的最优控 制问题，证明了最优解的存在性，给出了必要条件和最优性组何泽荣，王绵森研究了一类非 线性系统的周期最优控制问题在文献【3 7 】中，何泽荣建立了一个基于年龄因素和收获努 力的食饵一捕食者模型，分析了系统的适定性，讨论了两个最优收获问题：经济利益最大化 问题和在生态平衡约束下的利益最优问题，证明了最优策略的存在性，给出了相应的最优策 略的特征刻画而文献【3 9 】则是他在前人工作的基础上，建模时考虑了不同年龄的个体对种 群发展具有不同的影响使之更符合实际 现实生活中，各种种群的发展都与种群的年龄因素有着重要关系，这不仅表现在不同年 龄阶段的种群有着不同的死亡率，还表现在他们不同的生育力，因此年龄因素影响着种群的 动力学形态关于生理年龄结构的种群模型最优控制问题的文章有很多，如【6 ，7 ，8 ，1 3 ，1 4 】，而 加权总规模对种群显然也是一个重要的因素本文主要考虑具有年龄分布和加权的种群系统 的最优控制问题，在已有微分模型的基础上，分别建立了两种不同的具有年龄结构和加权总 规模的种群动力系统，其中前者模型中的出生率和死亡率的形式分别为：p ( 口，f p ( f ) ) ，( a ，f ，尸( f ) ) ， 尸( 力= j g 4w o ，力p ( 吼砂d 白 文章综合运用多种方法，对非线性微分一积分形式种群系统的最优控制问题进行了分析 讨论。分别得到了非周期系统和周期系统的最优控制问题的最优解的必要条件即最优收获策 略在文章的第二部分，讨论的模型是非线性带有加权项的依赖年龄分布的偏微分方程首 先利用特征线法求出此偏微分方程的形式解，利用g m n w a l l 定理和b e l l m 觚定理推出此形式 解关于控制项是连续的利用性能指标的下半连续性，e k e l a f l d 的变分原理，以及不动点定理 推出了最优收获的存在性至于性能指标达到最优时，控制项所满足的必要条件则用法锥概 念和共轭系统导出第三部分讨论的是具有年龄分布的周期种群系统的最优控制，采用与第 一部分类似的方法，讨论了解对控制的连续依赖性，并得到了相应控制的极大值原理 1 2 预备知识 定义1 设x 是b a i l a c h 空间，函数妒：x _ 灵称为是下半连续的：如果它在任一点翔x 上 均满足 l i mi n 却( 曲认加) 引理2 ( g r o n w a l l ) 设妒( f ) 是( 口，易) 上可积且几乎处处为正的函数，妒( f ) p ( 口，6 ) ，妒( d l 10 ，6 ) ，若，) 伊( 口，6 ) 且满足不等式 戏f ) 妒( 力+ j 烈s ) 项j ) d s ， j 口 则 “力s 妒( o + f 如) 帅) e x p ( f 帅冲) 地 v f 【口 乩 引理3 ( e k e l a n d ) 设( x 回是一个完备的度量空间，是一个下半连续的函数，厂o 且不恒 等于+ ，s 0 ，满足 ，( “) i n f 八曲；x x + 8 ， h x 则对任意的a o ，存在工，使得 ，( “8 ) 八“) ， 烈b ，“) l ， 八动，( ) 一s 一1 d ( 如，“) ，v 工x 1 2 第二章一类具有年龄分布和加权的种群系统的最优控制 2 1 引言 近年来，种群系统的最优控制问题是控制论中一个十分活跃的研究领域，不少学者做出 了许多重要的工作【卜枷文献【3 2 】讨论了较为般的一类周期种群系统的适定性及最优控 制；文献【2 4 ，3 0 】研究了线性周期系统和一类特殊的非线性系统的收获问题，但是目前对具 有加权项的种群模型的最优控制问题研究还较少如文献【3 8 】考虑了基于年龄分布和加权 总规模的种群系统的最优收获控制；为此本文讨论下列带有加权项的依赖年龄分布的非 线性种群系统的最优控制问题： d p ( 口，f ) + p ( 口，f p ( f ) ) p ( 4 ，f ) = “( 口，f ) ， p ( o ，f ) = f 卢( 口，p ( ，) ) p ( 口，d d 口， p ( 口，o ) = 内( 口) ， p ( f ) = r “口，f ) p ( 口，f ) d 口， ( 口，f ) q ， f ( o ，r ) ， ( 2 1 ) a ( o ，a ) ， f ( o ，r ) ， 其中q = ( o ，a ) ( 0 ，丁) ，常数a ，r 分别表示种群个体最高寿命和控制周期状态变量p ( a ，f ) 表示f 时刻年龄为口的种群个体数量，控制变量“代表输入率p ( f ) 表示f 时刻种群的加权总 量，“口，力为权函数，卢 ，f ，段力) ，p ( 口，尸( f ) ) 表示出生率和死亡率，它们的结构意味着不同 年龄的个体对种群的演化可有不同的影响肋( 口) 为初始年龄分布 选取指标函数： ，r ，d 以跖) = ff f 【p 国，) 一多o ，纠2 + 群和，f ) d 露戤 ，0j o 其中p 是对应于系统( 2 1 ) 的“的解，卢是理想状态，a 是大于零的常数设坚，面为常数，“ u = “p ( q ) ：0s 坚h ( n ，力i i ，v ( 口，力q ，称为允许控制集 我们的目的是在中选取矿使得 ，( “+ ) 2 嘧，( “) 3 定义2 1 所谓系统( 2 1 ) 的解是指函数p 0 ，der ( q ) 满足 却( 口，力+ ( 口，p ( f ) ) p ( 口f ) = “( 口，f ) ，口p ( 口，f ) q ， 缘p ( s ，f + o = f 卢( 口，f p ( r ) ) p ( 口，f ) d 口，口zf ( o 丁) ， 曼嚣p o + 易砂5 肋( 口) ， 口& 口( o ，a ) ， 尸( f ) = j u ( 口，f ) p ( 口，f ) d 口。 口已f ( o ，r ) ， 其中 却( m f ) = l i 砚r 1 【p ( 口+ ，f + ) 一p ( 口，f ) 】 u + 为了讨论系统( 2 1 ) 的最优控制问题，我们假设下列条件成立： ( 日1 ) 对任意的( 口，f 曲q 【o ，+ o o ) ，p ( 口 ，曲o ：对任意的工【0 ，o o ) p ( ，t ，妨如( 【o ，a ) 【o ，刀) ，f o ，六功出= + ，且关于工有二阶连续的偏导数，满足 j l 肘7 l ，函盯i 朋l ； ( 总) 声( ，曲r ( q r + ) ，对任意的( 口，曲q 0 + o o ) ，o 冬( 砺f ，曲s 尬，且声关于 x 有二阶连续的偏导数，满足峨l ，阪i 坞； ( 飓) ( 口，o 上尸( q ) ，对任意的( 口，力q ，0 ( 口，f ) 尬；p o ( 口) 上尸( o ，a ) ，对任意的 口( o ，a ) ，0s 内( 口) 缸，其中m l ， 心，l 毛， 厶均为常数 2 2 基本引理 由文献【3 8 】中定理l 知下面定理成立 定理2 1 对于任意给定的h u ，系统( 2 1 ) 存在唯一正解p ( 口，f ) ，它关于m 一致有界，并 且p ( 口，磅可表示为 p = 潞：裟：搿篱三：盟，i 巍茏亿2 ， l 易o 一以；p ) n ( n ，f ，订；p ) + j h ( 口一s ，f j ) n ( 口，f ，j ；p ) d s ， 口 厶 其中 n ( 口，；，s p ) = e x p 卜r ( 口一t f l p ( f d ) d f l ，j ( 。，m i n k f ) ， ( 2 3 ) 而6 ( ；力为下列v o l t e r r a 积分方程的解： 易( f ；尸) = ，( f ；p ) + j f 髟( f ，踮p ) 6 0 s ；p ) d 5 ， f ( 。，丁) ，( 2 4 ) 4 这里 ，q f o ；p ) = j卢( 口+ f ， p ( f ) ) p o ( 口) ( 口+ f ， f ；p ) d 口 j o + r 触删厂一地咄) ( 口 州妣 ( 2 5 ) k ( f ，口；p ) = 卢( 口，f ，p ( f ) ) n ( 口，f ，口；p ) ( 2 6 ) 上述表达式中，函数肋，卢，n 在其定义域外延拓为零 引理2 1 存在正的常数b l ，晚，曰3 ，使得对几乎所有f ( o ，丁) ，有 p i f ( f ；p 1 ) 一f ( f ；p j ) l 曰l ( 1 p i ( d p 2 ( f ) l + i i p i ( s ) 一尸2 ( s ) i d s ) + 尬i 陋l ( 口，) 一w 2 ( 口，f ) | l l ( q ) ， 1 6 ( f ；p ) i b 2 ， l 扶f ；p i ) 一6 ( f ；p 2 ) 5 历( i p i ( f ) 一p 2 ( d i + fi p l ( s ) 一p 2 ( s ) i d j ) + b 3 | i “l ( 口，d h 2 ( 口，f ) f i l t ( q ) ( 2 9 ) 证明 由( 2 3 ) ，( 2 5 ) 及假设( 日1 ) 一( 飓) 知对几乎所有f ( o ，丁) ，有 i ，( f ；p i ) 一，( f ；p 2 ) l f够( 口+ f ，l p l ( f ) ) 一卢( 口+ f ，p 2 ( d ) i 砌( 口) 丌( 口+ f ，f ；p 1 ) d 口 j o + f 风口+ 厶f ，尸2 ( f ) ) 舶( 口) i ( 口+ f ，f ，f ；p 1 ) 一n ( 口+ f ，f ，f ；p 2 ) i 血 i + j p l ( f ) m 肥( f ) ) i 广甜州 f - 蛳m ；眦血 + j 肌p 2 ( f ) ) 厂朋h 咖川i ( 口 眦血 + d 吼删广拼蹦 ，- 榔；跗嘶 ， 删批 当f ( a ，d 时，有 i f ( f ；p i ) 一，o ；p 2 ) l s 卜m m ( f ) l r 姒卜州j 血 + 尬r n f - 帅z ”吖训册 5 + m 尬r r 以口一文f s ) r l p l ( f - f ) 一n ( 卜f ) i d 础d 口 如弘2 i p l ( 力一p 2 ( f ) l + m l 如融2ll p l ( s ) 一p 2 ( s ) i d s + 如i l “l ( 口，力一“2 ( 口，f ) i i l ( q ) 如l f 2 a 2 m a x l ，肘l ( i p l ( f ) 一尸2 ( f ) i + fi p l ( s ) 一n ( s ) i d s ) + 娩”比l ( 口，) 一屹( 口，力f | 1 ( 口) ：= 尬融2 髓x l ，尬 w ( 力+ 尬( 口，) 一“2 ( 口，) i ll l ( q ) 其中( 力= i p i ( f ) 一p 2 ( f ) i + i p i ( s ) 一p 2 ( s ) l d j 当f ( 0 ，a ) 时，有 ，0 ；p 1 ) 一，( f ；p 2 ) i 施帆ri p i ( ，) 一p 2 ( 酬妇+ m - 尬慨rf i p i ( s ) 一尸2 ( 驯d 5 d 口 + 龟驰2 m a x l ，m l l w ( f ) + 如i 陋i ( 口，f ) 一h 2 ( 日，f ) - ( q ) p 龟i 壁弘i p l ( f ) 一岛( d i + m l 如 f 4ii p l ( s ) 一p 2 ( s ) i d 工 + 如露a 2 m a x ( 1 ，m ij ( f ) + 如i | “l ( 口，f ) 一“2 ( a ，f ) l i ( q ) ( 尬蚴+ 驰2 ) 舱x l ，尬 ( d + 尬( 口，f ) 一“2 ( n ，洲l 1 ( q ) ， 其中 口l = ( 尬m + 尥融2 ) m a x 肘1 1 故( 2 7 ) 式得证 由( 2 4 ) 一( 2 6 ) 知 趴f ；p ) i 尬蚴+ 驰m a x r + 尬f 叭s ；刷“ 由b e l l m a n 不等式，可得 1 6 ( f ；尸) i ( 如 f 私+ 尬f i a m a x a ，丁 ) p r 朋b ：= 丁1 6 利用( 2 4 ) ，( 2 7 ) ，得 l 聊；一肌；尸2 ) i + r i m 妒1 ) - 讹j ；p 2 ) i 阪，叫尸1 ) 灿 + f 聊矮p 2 ) i 即叫p i ) 叫f 叫p 2 ) i 出 口iw ( f ) + 如“i ( 口，f ) 一m 2 ( 口，f ) l l ( q ) + 乃f i ，厶口；一) 一h ( 口，f 口；岛) l 出 ，o + r t j f 坂j ，厶p - ( f ) ) 一烈墨，f p 2 ( f ) ) i 出+ 尬j f 叭j ；尸- ) 一6 ( s ；p 2 ) l 如 sb t w ( f ) + 如l i “l ( 口，f ) 一“2 ( 口，f ) l i ( 圆 + 丁t m 一尬r j i p l ( 卜丁一心( 卜r ) l d 勃 一 + 丁l 尬丁i p l ( f ) 一p 2 ( d l + 如ji 以5 ；p ，) 一扶s ；尸2 ) j d 5 s ( b l + 丁l 尬r m a x l ，m l ) w ( f ) + 如| | h l ( 口，f ) 一h 2 ( 口，f ) - ( 口) + 尥r i 酞s ；p 1 ) 一郴；b ) m j o = 死( f ) + 尬“l ( m 力一“2 ( 口 f ) i | l ( o + 尬r p 1 ) 叫s ；驯“ 这里疋= b l + r l 拖r 舵x 1 ，肘1 1 应用g r o 肼a 1 1 不等式得 这里 易( f ；p i ) 一易( f ；如) l 曰2 w ( f ) + 疡i i “i ( 以，f ) 一“2 ( 口，力l k l ( q ) ， 境= 盼x 丁l ，死【l + ( 1 + 丁) 尬少7 】 ，口3 = ( 1 + r 沙r ) 利用上面引理，我们有下引理 引理2 2 存在正常数c l ，c 2 ，对任意的“，c ，下列不等式成立 p “ ，d p 。( 取f ) 0 l l ( o ， ) sc l i i “0 ，f ) 一v ( n ，f ) l l ( q ) ， f ( 0 ，丁) ，( 2 1 0 ) 7 i p “( 口，力一p ”( 口，f ) i i 户( q ) q h ( 口，f ) 一吠口，d 户( 缈 ( 2 11 ) 证明由( 2 2 ) 一( 2 9 ) 和文献【3 8 】中引理l 知，对儿乎j j r 碉f ( o ，7 ) ，硐 卜坳，f ) - 比l d 口 r 矿( a ，f p ) 一( 口z ) l 曲+ j r 矿。一尸1 1 ) 一矿( 巩f ；) l 血 j f 陬卜口；p ) 一坼一n ；p ) i 血 + j f 瞅f 一口；p ) i i 丌( 口 厶口；p 1 1 ) 一n ( 风厶口；) m + f 小产d 嘶喵删出血 + r r v 川即n ( n f 一) i d 幽 + 地厂陬“；阶n ；驯d 口 + ，小叫m 血 + 厂r 忙吖唧( 口即咐焉m 妇 sr 驯即一口) 川删+ r 呻叭d 川蚓血 j 0j o + b 3 i | “( 口，d v ( 口，力l ( q ) + 岛肘- fj 愀卜r ) 一p ( 卜f ) l 打血+ rr 坂五力一蚍_ ) ，) l 蛐 + 露尬f r r i p ( 卜f ) 一p v ( 卜丁) l 打d s 曲 堋尬j r 叭_ p v ( 删她 + r f 坂训川训批曲 + 面m - 厂f r 眺卜d p o 一下婀础血 尬现r 愀州) 叫( 删b ( 训s 一 + 疡m i 5 f 3 丁f 矿( 口，d p ”( 口，j ) 胁( ) 出 8 + 岛 毛rfi i p “( 口，d 一( 口，s ) ( o ) d j + i i f l 如a 丁fl i p “( 口，d p ”( 口，s ) l ，( o ) d j + 肘i 坞m 4li 矿( 以，s ) 一( 口，s ) i i l i ( 0 4 ) 出 + 露 f i 幻a 2 fi i p “( 口，s ) 一p ”( 口，s ) i l l ( 0 4 ) d s + ( 2 伯) r 小( 口 ( 口 姚山 ( 坞饬+ b 2 肘3 丁+ b 2 肘i 尬r + 露肘i 坞a r + m i 尬m 4 + 厅肘i 慨) 小胞帅岫训州2 圳上rn 缸f ) 吨油出 应用g r o 删a 1 1 引理得 这里 p ”( 口f ) 一p ”( 口，f ) l l ( o t ) sc ii l “( 口，力一v ( 口，) l ( o c i = e x p 丁( 尬b 2 + 毋尬r + 玩肘1 丁+ 厅m i 尬a 丁+ m l 尬m + 面尬尬a 2 ) ( 2 + 昆) 下证l l p “( 口，f ) 一p ”( 口，o i i 户( q ) sc 2 i i “( 口，o y ( 口，力d * ( q ) 当口f 时，利用( 2 1 0 ) 式，得 矿( 口，f ；p ) 一( 口，f ；) i s 舶( 口一d l n ( 口，f ，f ；p ) 一( 口，f ，f ；p ) i + ii “( 口一s ，f s ) 一v ( n s ，f 一5 ) i ( 口，厶s ；p “) d j + f “口一s ，f s ) i n ( 口，f ，s ；p “) 一n ( 口，f ，s ；) l d j sm ，尬j ，酽。一力一( f f ) i 叶+ j ，坂口一j ，卜。s ) 一吠口一岛，一列出 埘m - f r 恍m ”丁黼 ( 尬+ 厅丁) m lfl p ( j ) 一( s ) i d j + 丁h ( n ，f ) 一v ( 口，d 俨( 囝 9 5 ( 地+ 面丁) f i 如f i i p “( 口，j ) 一p ”( 口，j ) l i ( 0 4 ) d s + 丁“( 口，) 一y ( 口，d i l 户( q ) o s ( 厶+ f i 丁) f i 如c l ? a | i “( 口，力一 ，( 口，f ) z 尸( q ) + r “( 口，f ) 一“口，) 尸( q ) = 【( 戤+ 厅丁) f i 朋r 3 c l 丁a + 丁】i i “( 口，力一“口，d l * ( q ) 同理可证口 ，时 l 矿( 口，f ；p l i ) 一( 口，；) i c ( 口，f ) 一“口，f ) l i p ( q ) ， 所以 i i 矿0 ，f ；，掣) 一p ”0 ，f ；，) n p ( q ) c 2 0 ，f ) 一y ( 口，d i b ( 圆， 其中c 2 = 嗽x l c ( 胁+ 露丁) 觚飓c i 姒+ 孔 2 3 最优控制变量的存在性 考虑控制问题 嘧m ) = 咖rr 似删一讹) 】2 + 矗( 州出 定义谚：l 1 ( q ) - ( 一，+ o o ) ， 缈( “) ：lr r 仞( f ) 一p ( 口f ) ) 2 + 鲫2 ( 口f ) 】血戤 雎 【+ ， “隹u + 引理2 3 函数沙是下半连续的 证明不失一般性，设， 在1 ( q ) 中收敛到雎，又f p j 在r ( q ) 中是有界的 ( 0s 矿矿，其中矿对应的是系统( 2 1 ) 的”= 面的解) 由定理2 1 知，矿关于“一致有界，且 i i p ( 口，f ) 一p “( 口，力i i ( 0 4 ) c l h 。( 口，f ) 一“( 口，f ) n l l ( q ) ， 故有 p ( 口，f ) 一烈口，) ) 2 + ( 口，力一p “( 口，f ) 一础，力) 2 + 口2 0 ，)口z 在q 中 由f a t o u 引理得 疗骧i n f r r 妒( 口 帅慨f ) ) 2 硼州眦m rj 呲口 f ) 协嘞2 硼脚， 1 0 即。l i ei n f 砂( ) 眇( 比) 由下半连续的定义知，缈是下半连续的证毕 n + + 。 引理2 4 设( 矿，矿) 是系统( 2 1 ) 的最优对，飓充分小，当a 充分小时，对任意的氓口，f ) 。( q ) ，使得矿+ l v u ，则 ，z 竺掣一z 弛，f ) 在* ( o r ；1 ( o ，a ) ) 中，当a _ o + 时 其中z ( a ，o 满足 其中 z 砣( 口，力+ 工( 口，f ，p “( f ) ) p ( 西f ) fc j ( 厂 f ) z ( 力d ，+ 芦( d ，厶p “( f ) ) z ( 口，d = 2 m ，( 口，f ) ， z ( o ，力= j g a 眵o ，缎( 口， 尸| l ( ，) ) f 以f 随厂f ) d 厂 i 侈( 口，毛j 明。( f ) ) z ( 口，) 】d 口， z ( 口，o ) = o ， p r ( f ) = r 删m 油 ( 口，f ) q ， f ( 0 ，r ) ， 口( 0 ，a ) ， ( 2 1 2 ) 证明 由文献【2 0 】知，系统( 2 1 2 ) 的解z 缸，力* ( q ) ，且解的表达式为 z c 盘，力： f 夕似一马j d n l f ：；p + ：最 口芝l q 。3 ， 【6 l o 一口；p ) i ( 口，f ，口；p ) + f 五( 口一s ，卜- s ) n l ( 口， j ；p ) d s ，a f ， 、 定义 其中 i ( 口一j ；尸i ) = e x p 卜r ( 口一卜rl j p i i o 一) ) d r l ， 五( n ，f ) = 2 口v ( 刚) 一心( 口，f ，p ( f ) 汩( 口，f ) | _ u ( 厂f ) z ( ，力妣 j o 6 以；p ) = 局( f ；p + ) + r 蜀( 厶s ；p ) 易l o s ；p i f ) d 足 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 蜀以口；p ) = 懒 f p ( 力) + ( 口，力r 尾( 厶p 。( f ) ) p ( ，f ) d 厂】n l 。_ n ；p + ) ， f l ( f ；p ) = f 眵( 口，以p ( d ) + 甜( 口，d r 晟( r f ，p ( f ) 沙+ ( r d 州f 1n f 口n 五。一j ，f 一曲 n l ( 口，厶s ；p ) d j d 口 。 i i 、， f ， 口矗 显然j l ( 口，) 满足 d 彘( 口，d + ( 口，f 尸“) | z ( n ，力+ p j ( 口，厶p 。+ ( ，) ) p “+ 舢fc ，( 口，f ) ( 口，d d 口 = 2 口y ( 口，f ) ， 矗( o ，力= j g a 【山( 口，f ) f 反( 厂f ，p w ( f ) ) p 矿仙( r f ) d ， 邗( 口，p | l + ( f ) ) 】庇( 口，f ) 妇， i z ( 口，0 ) = 0 ， 其中矿+ a z 和矿+ 朋都介于叫和“+ a 1 ，之间 山文献【2 0 】知道，系统( 2 1 6 ) 存在唯一的解，且解的表达式为 ( 口，) = 0 ，f ) q ， f ( o ，丁) ， 口( o ，a ) ， ( 2 1 6 ) 五 一j ，f s ) n 2 ( 口，f ，j ；p + + 加) d 矗 n 幻( f 一口；p i | + 。”) n 2 ( 口，f ，口；尸“+ 。7 ) ( 2 17 ) + f 正( 口一文f j ) n 2 ( 口，f j ；p i “”) d s ，口 f ， 其中 丌2 ( 口，f ，j ；p + a 9 ) = e x p 一f p ( 口一l f l p o r ) ) d r ， j o ，蚺 五( 口，f ) = 2 口y ( 口，f ) 一j ( 口，f ，p “+ ( f ) ) p 矿+ 加( 口，f ) f ( 口，o ( 口，f ) d 口，( 2 18 ) j 0 易2 ( f ；p v ) = r ( f ；p | l v ) + f 砭( 厶5 ；p v 渤( f s ；p v ) d j ， ( 2 1 9 ) j o 岛( f 口；p 1 + 加) = 够( 口，f ，p ( f ) ) + ( 口，力f 晟( 厂，f ，p i l 7 ( d ) p 山1 ”( 厂，f ) d ，】h 2 ( 口，f ，口；p 饥) ， j o r ( f ；尸”) = f 坂口，f ，p l + ( f ) ) + ( 口，df 晟( 厂厶尸i i + 盯( f ) ) 矿( ，f ) 州f 州刚正( 口一s ，f j ) 2 ( 口，f ，s ；p “+ _ ”) d s d 口 当口 f 时，由( 2 1 4 ) 知 因此 l 五i 2 口i p ( q ) + m i 肘3 | i 矿( 口，f ) i l p ( q l i z ，f ) p ( q ) ， ( 2 2 0 ) i 置l i + 尬地杪( 口，f ) | l 俨( q 一， l f l i 【 j f 2 + 尬蝎| l p “( 口，d i | 户( q 4 】m a x a ，丁) i l 尸( q 芦， 瞰f ；p l l ) l 【坞+ 尬坞咿( 口，f ) l i p ( 一】眦x a ，驯剐p ( 一 + ( j | l j f 2 + j i l 如 如i i p 。( 口，f ) i l 户( q 一) 易l ( 5 ；p “) d s 1 2 利用b e l l 脚m 不等式，可得 1 6 i ( f ；尸l ) l 【 如+ 尬 毛矿0 ，f ) l i 护( q 一】m a x a ，r i m l l p q 一胁+ 恤胁l 旷( 口删i p t 口一矿 ( 2 2 1 ) 故由( 2 1 3 ) 知 l l z ( 口，f l l 护( q ) 【j j i 如+ 尬 j r 3 i l 矿( 风力l i p ( q 芦】m a x a ，丁l i i l i p ( q 芦p 拖+ 胁胁咿佃。) l i p 口) a 7 + 川五垆( q 一 = m “p ( q 4 【l + ( 如+ 膨肘州矿( 口，圳护( q 一) m a x f a ，r 一胁+ 施胁驴硝俨( 口 ) r 】 a 【l + ( j j i 如+ 尬i j 矿( m 叫l 垆( 口一) m a x a ，r j d 胁+ 尬l 扩( 口n i 扣口 ) r 】 ( 2 a b ( q ) + m i 毛l i | l 垆q ) a i l z ( 口，f ) i l p ( 口) ) = 孙| i v | l 俨( 甜【l + ( 心+ 尥咿( a ，f ) | i l * ( 甜) m a x a ，丁l 施+ 胁帆批删l p 口) a r 】 + 膨l 如| f 矿( 口，f ) f | 俨( q 一2 【l + ( 尬肘j | f 矿p ( q 4 m a x f a ，r p ( 胁+ 施胁h i p w b f 矿) r 】| i z h 护( 口， 令 m = 肘l 尬咿怯( 卵2 【l + ( 施飓桫怯( 一眦x a ，r p ( 施+ 施胁旷( d 州扣e o a ) r 】， 令飓充分小，使得l l ，此时有 懒，f ) 岫口) 型数唑业世业峄萨型坐竺竺竺丝 ：= 2 由( 2 2 0 ) 一( 2 2 1 ) 式，得 忻( 口，f ) i 2 酬v ( 口，圳l 姊( q ) + m l j f 3 矿( d ，f ) i i 沪( q 芦2 ：= 3 ， 陋l ( f ；f ) i 【肘2 + 尬朋3 矿( 口，f ) 护( q 一 m a x a ，r 3 a p ( 施+ 施胁咿( 4 力p 口一) r ：= _ ， 同理，可得到 ( 口，力i | 户( q ) ，1 2 ， 陇( 口，d l n 3 ， l 易2 ( f ；p l l m ) i 似 由( 2 1 4 ) 和( 2 1 8