（应用数学专业论文）模糊概率论.pdf

摘要 模糊数学产生以来，模糊的思想和方法越来越受到重视，模糊数学与概率论 的结合模糊事件的概率成为人们关注的热点之一。本文在对z a d e h 所提 出的模糊事件的概率进行介绍之后，分析并说明了对相关模糊事件概率研究的必 要性；进一步提出了本文的写作目的建立模糊事件的清晰概率测度空间。 在本文进行其他研究之前，最为首要且必要的工作就是彻底明确本文的研究 对象。对于模糊事件的定义介绍，本文从三个层面进行：现实背景、直观涵义、 严格的数学定义。在给出模糊事件定义之后，一项最重要的工作就是研究模糊事 件间的关系，也就是模糊集合间的运算。本文从直观含义事件的运算，和数 学角度集合的运算两方面进行研究，基于概念模糊事件的出现程度，从 直观上共给出了五种运算形式：并、交、和、联、差；以及三种关系：两个模糊 事件互补，模糊事件类没有公共点，模糊事件类不交。最后在证明了模糊事件的 运算与模糊集合的运算之间的一一对应关系之后，给出了相应的数学表示。 研究模糊事件间关系直接导致模糊样本空间与模糊事件域的研究。基于要对 模糊事件运算封闭的目的，本文从数学角度研究了集合的模糊划分和模糊集合的 o - 可加类，并在此基础上给出了模糊样本空间与模糊事件域的定义。由于概率 是满足具有性质厂( q ) = l 的测度，于是本文先进行了模糊集测度的介绍，在此基 础上给出了模糊事件概率的定义及性质。进而完成了本文研究目的模糊概率 空间的建立。 一个自然的问题就是它和经典概率空间的联系，于是有了按下来的研究：经 典概率空间到模糊概率空间的转换，本文证明了z a d e h 对模糊事件概率的定义事 实上就构成了从经典概率空间到模糊事件的概率空间的转换，在这个证明过程中 引出了一个重要的概念f u z z y 集合的可变截集，并得出了几个重要的性质。 关键词模糊事件的发生程度；模糊样本空间；模糊事件域 模糊集合的可变截集 西北大学数学系硕士研究生论文 a bs t r a c t p r o b a b i l i t yo ff u z z ye v e n th a sa l w a y sb e e nah o t s p o ti nr e s e a r c hf i e l d s i nt h i s t h e m ea f t e ri n t r o d u c i n gt h ep r o b a b i l i t yp u tf o r w a r db yz a d e h ，t h ea u t h o ra r g u e st h e n e c e s s i t yt os t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n v o l v e df u z z ye v e n t s ：t h ec o n f o r m a t i o no f am e m b e r s h i pf u n c t i o nw h i c hi st h eb a s eo ft h ed e f i n i t i o np r o p o s e db yz a d e hi s i n a c c u r a t eb e c a u s eaf u z z ys t a t i s t i ce x p e r i m e n ti sa f f e c t e d b ym ep s y c h o l o g i c a l p r o c e s si nh u m a n sb r a i n am e m b e r s h i pf u n c t i o nn e e d sm o r ee m e n d a t i o nt h a n d e p e n d e n c e a n dt h ee s s e n c eo fr a n d o mp h e n o m e n o nd e t e r m i n e st h en e c e s s i t yo f r e s e a r c ho ft h ec o r r e l a t i o nb e t w e e ni n v o l v e df u z z ye v e n t s t h em a i np u r p o s eo ft h i s t h e m ei st oe s t a b l i s haf u z z yp r o b a b i l i t ys p a c e a tf i r s t ，t h em o s ti m p o r t a n tt a s ki st oa s c e r t a i nt h er e s e a r c ho b j e c to ft h i st h e m e d u r i n gt h ep r o c e s so fs t u d yi nf u z z ye v e n t s ，t h ea u t h o rg i v e st h ed e f m i t i o nf r o mt h r e e a n g l e s ：b a c k g r o u n di nr e a ll i f e ，i n t u i t i o n i s t i cm e a n i n sa n dd e f i n i t i o ni nm a t h e m a t i c s e x a m p l e si n r e a ll i f em a k eu sr e a l i z et h a td u et od i f f e r e n tp u r p o s e sa n dr e a l i z i n g a n g l e so fd i f f e r e n tr e s e a r c h e r s ，e v e nf o r t h es a m er a n d o me x p e r i m e n t ，t h e r ea r e d i f f e r e n tr a n d o me v e n t s a sar e s u l to fh u m a n sc h a r a c t e r i s t i c ，al a r g en u m b e ro f r a n d o me v e n t si n v o l v e si nf u z z yu n c e r t a i n t y t h ef o l l o w i n gt a s ki st os t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n v o l v e df u z z ye v e n t si n t h es a m ew a y , t os t u d yf r o mt w os i d e s ：c o r r e l a t i o nb e t w e e nf u z z ye v e n t s ，o p e r a t i o n b e t w e e nf u z z ys e t s a n da tl a s t ，t h e r ei sap r o o fo ft h eo n et oo n ec o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nt h eo p e r a t i o no f f u z z ye v e n t sa n di to f f u z z ys e t s i no r d e rt of i n daf i e l do fe v e n t st h a ti sc l o s e dt ot l l ea b o v eo p e r a t i o n s b a s e do n t h ei n t r o d u c t i o no ff u z z ym e a s u r e ，t h ea u t h o rp r o p o s et w on o t i o n s ：f u z z ys a m p l e s p a c e ，f i e l do fe v e n t s p r o b a b i l i t y , a s an o r m a lm e a s u r e ，i sp u tf o r w a r di nt h e f o l l o w i n gs t u d y f i n a l l y , af u z z yp r o b a b i l i t ys p a c eh a sb e e ne s t a b l i s h e d an a t u r a lt h i n gc o m e si n t oo n e st h o u g h ti st h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nd i f f e r e n t p r o b a b i l i t ys p a c e s i nt h i st h e m et h ea u t h o ra c h i e v e st h ec o n c l u s i o nt h a tt h ed e f i n i t i o n o fp r o b a b i l i t yo ff u z z ye v e n t sp u tf o r w a r db yz a d e hh a sb e e nt h eb r i d g ef o rt h e t r a n s f o r m a t i o nf r o mc l a s s i c a lp r o b a b i l i t ys p a c et of u z z yp r o b a b i l i t ys p a c ea n ds e v e r a l t h e o r e m s k e y w o r d s o c c u rd e g r e eo ff u z z ye v e n t s ；f u z z ys a m p l es p a c e ；f i e l do ff u z z ye v e n t s c h a n g e a b l ec u ts e to f af u z z ys e t 西北大学数学系硕士研究生论文 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：指导教师签名： 年月 e t年 月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年月日 未镀帮穗 勿垒奠丞茗m “融 1 l j l 月【舌 1 9 6 5 年，美国计算机与控制论专家l a z a d e h 教授提出了f u z z y 集的概念 1 】，创立了研究模糊性或不确定性问题的理论方法，经过4 0 年的研究和发展，成为一个充满活力的数学分支。 国内外学者在模糊理论与技术领域作了大量卓有成效的工作，使 其得到了迅猛的发展。这其中的许多探索是具有突破性的。模糊理论 与技术的一个突出的优点是能较好的描述与仿效人的思维方式，总结 和反映人的体会与经验，对复杂事物和系统进行模糊度量、模糊识别、 模糊推理、模糊控制与模糊决策等。尤其是模糊理论与人工智能在神 经网络的专家系统等方面进行相互结合的研究已涉及到计算机、多媒 体、自动控制以及信息采集与处理 2 等一系列高新技术的开发与利 用，并有力地推动了应用科学、决策科学、管理科学与社会科学的进 步。随着学术理论体系的不断完善，新成果正在迅速的转变成生产力， 同时促进了社会物质文明水平的不断提高。 在模糊理论和模糊技术迅速崛起的今天，对于像概率论这样一个 有着广泛应用的经典学科，在与模糊数学的结合方面虽然已有大量的 研究，取得了喜人成果，但仍有许多的工作等待深入，比如在模糊数 学中建立起随机理论的严格的数学体系。事实上，概率论与模糊理论 的结合也是复杂的科技活动所需要的。 在现实世界中，有些事件往往既包含随机不确定性，又包含模糊 不确定性。例如“今天会下雨的可能性很大”，就既包含随机不确定 西北大学数学系硕士研究生论文 性，又包含模糊不确定性：事件“今天会下雨”是清晰的，即这一事 件发生与否只有“是”和“否”两种情况，但概率“可能性很大”却 是模糊的：又例如“张三明天买到高质量遥感影像的概率是0 8 ”：显 然在这个例子中，事件“明天买到高质量的遥感影像”是模糊的，但 概率是确定的；再如“张三明天买到高质量遥感影像的可能性很大”： 事件和概率都是模糊的。 一般的，可从三个不同方面来研究模糊概率： 1 事件是模糊的，概率是清晰的，即“模糊事件的概率”问题。 2 事件是清晰的，概率是模糊的，即“事件的模糊概率”问题m 】。 3 事件是模糊的，概率也是模糊的，即“模糊事件的模糊概率”问 题。 本文仅就“模糊事件的概率”问题进行讨论，在空间信息处理中 主要用到的也是第一个方面的模糊概率。 西北大学数学系硕士研究生论文 本文的研究内容 本文的研究目的是建立随机现象中特定模糊事件的概率空间，其 内容安排如下： 第一章介绍z a d e h 所提出的模糊事件的概率，并在此基础上提出 了本文的研究目的。 第二章明确本文的研究对象。从现实背景和直观含义出发，给出 特定模糊事件的数学定义。 第三章从直观含义和数学定义两个层面上研究模糊事件之间的 运算关系。 第四章从直观含义和数学定义两个层面上定义模糊事件域和模 糊样本空问。 第五章基于模糊测度，对模糊事件的概率进行讨论，进一步建立 模糊事件的概率空间。 第六章研究从经典概率空间到模糊概率空间的转换。 第七章对全文的总结，指出遗留问题以及对今后研究工作的展 望。 西北大学数学系硕士研究生论文 第一章模糊事件概率空间的提出 第一节z a d e h 提出的模糊事件的概率 模糊事件的概率早在1 9 6 8 年就被z a d e h 提出p 】。 定义1 1 1 ( z a d e h ，1 9 6 8 ) 设( n ，s ，p ) 是概率测度空间，如果 j 善( 3 ) = je ，1 j a s ，a o ，t 廿 则称a 是q 上的f u z z y 事件( f u z z ye v e n t ) 。 定义1 1 2 ( z a d e h ，1 9 6 8 ) 设j 是概率测度空间，3 ，p ) 上的一个 f u z z y 事件， 艺兰f ( 舻= e ( 屯)e ， 称为是f u z z y 事件a 懈( p r o b a b i l i t yo faf u z z ye v e n ta ) ，芝称为 f u z z y c r 一代数善( 3 ) 上的f u z z y 概率测度( 如z z y p r o b a b i l i t y m e a s u r e ) 。 定理1 1 3 渊设j ，三e ，( q ) 是f u z z y 事件，则有 ( 1 ) 。芝( j 1 ，且芝( 中) = 。，忍心) = 1 ； 芝阱- 一芝( j ； ( s ) j 三j 尼( j 芝( 三 ； c t ) b ( j u 占 = 尸z ( j + 巴( 云 一足( j n 云 ； c s ) 4 f l b = 中j 己( j u 云 = b ( j ) + b ( 云 ； 西北大学数学系硕士研究生论文 4 定义1 1 4 设j 。，j ：，j 。f 心) ，称j 。，j ! ，j 。为两两互不相容，如果 当f - 时j ，n ：；【，：d 。 定理1 1 5 设j 。，j2 i ，- a 。f ( q ) 且两两互不相容，则 b 怕j ， _ 窆巴。 i = l i = l 定义1 1 6 设f u z z y 事件4 ，b f ( q ) ，称爿与b 是独立的( i n d e p e n d e n t ) ， 芝( j n 吾) = 己( j ) b ( 三 定义1 1 7 设f u z z y 事件五三，q ) ，若己( 三 。，则称 晰 = 帮 为j 在云下的条件概率( c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y ) ： 若j 与云独立，则己( j 吾 = b ( j a 定理1 1 8 ( 乘法公式) i r n 个f u z z y 事件j 。，j ：，j 。e ( n ) ，且 最( j - n j z n n 二【一 。贝。 芝( j t n jz n 。- n j 一 = 芝( j ) 巴( j ：l j ，) 芝( j 。l j n 定理1 1 9 ( 全概率公式) 设a l , 4z ，a 。e f ( q ) 是n 个两两互不相容的 f u z z y * t 牛a p z ( 3 - ) o ，( f = l ，2 ，”) ，则对于任意j 。a r ，a e f ) ，有 西北大学数学系硕士研究生论文 5 芝( j ) = 喜芝b ( j 附 定理1 1 1 0 ( b a y e s 公式) 设爿。，a ：，a 。f ( q ) 是”个两两互不相容的 f u z z y 事件且巴( j 。) 。，( f = 1 ，2 ，”) ，则对于任意j 自j 。，j f ) ，且 巴 o 有 小p = 黝 定义1 1 1 1 设( q ，3 ，p ) 是概率测度空间，而 ，( q ) 且 毒( 3 ) 记 e a h ) = p ( 舻 n 则称e ，o ) 是 的f u z z y 期望( f u z z ye x p e c t a t i o n ) 。 定理1 1 1 2 设h hh ：，h ，孝( 3 l ( f r ) ，其中丁是任意指标集，而ae o ，1 是 常数，则有 ( 1 ) e ，g ) = 口，且h 互h ：j e s o 。) e 1 0 ：) ； ( 2 ) e ，0 ，u h ：) o ) v e ，o ：) ，巧0 ，n h ：) e s 积。) e i o ：) ； e 也取 辨， ( 4 ) 0 0 u ) = nv e f 0 ) 。 e 怕曩 0 ，称实现结果对模糊事件在这 次实现中“发生( 完全出现) ”有贡献。事实上在随机试验中口是取 值于区间 0 ，1 】上一个随机变量，取上界1 ( 表明事件发生) 或下界0 ( 表 明事件不发生) 都表明该事件在随机试验的这次实现中的不确定性完 全被消除，显然只有经典的随机事件才会有这样的情况发生；当“取 圭时，表明该事件在随机试验的这次实现中的不确定性完全没有被消 z 除。 西北大学数学系顾士研究生论文 以下给出本文研究对象的直观定义。 在经典随机试验中，若事件爿+ 在某一次实现中的不确定性不能 被实现结果提供的信息完全消除，则称a + 为经典随机试验下的模糊 事件。 一个模糊事件是其含义唯一确定的，并在随机实验的一次次实现 中被一步步地反映出来；也就是说，一个模糊事件可由，随机实验的 无数次实现中，模糊事件的出现程度唯一确定。而随机试验中模糊事 件的出现程度卢是取值于区间 o ，1 上一个随机变量，于是用实现结果x 对模糊集合a 的隶属程度来定义模糊事件4 。的出现程度是合理的，进 而用以q 为论域的模糊集合来定义经典随机试验下的模糊事件也是 合理的【1 8 】。 定义2 2 1 所谓经典随机试验下的模糊事件是指以样本空间q 为论域 的模糊集合。 第三章模糊事件的运算与模糊集合运算 第一节模糊事件的运算 给出了模糊事件的定义之后，必须要讨论的就是模糊事件之间的 关系，同样先从直观上进行考察： 设a ，b ，c 是某经典随机试验亘下的三个模糊事件： ( i ) 若在巨的每次实现下，模糊事件c 的出现程度不小于模糊事件 a 和模糊事件b + 的出现程度中的任一个；另一方面，模糊事件c + 的 出现程度又不同时大于模糊事件a + 和模糊事件b + 的出现程度；换句 话说，若在互的每次实现下，实现结果对模糊事件c 在这次实现中“发 生( 完全出现) ”的贡献量恒为实现结果对a + 和b + 的贡献量中的较大 值，则称c + 为a + ，b + 之并，记为c + ：爿u b ； ( 2 ) 若在e 的每次实现下，实现结果对模糊事件c 在这次实现中 “发生( 完全出现) ”的贡献恒为实现结果对模糊事件a + 和b + 的共同 贡献，则称c + 为a + ，b 之和，记为c = a + o b ； 性质3 1 。1 若模糊事件c 为模糊事件a ，b 之并( 和) ，则实现结果 对c 在这次实现中“发生( 完全出现) ”有贡献当且仅当实现结果 对爿+ 或对b + 有贡献。 证明易证。 ( 3 ) 若在三的每次实现下，模糊事件c + 的出现程度不大于模糊事件 a 和模糊事件b 的出现程度中的任一个；另一方面，模糊事件c 的 出现程度又不同时小于模糊事件a 和模糊事件b4 的出现程度；换句 西北大学数学系硕士研究生论文 话说，若在e 的每次实现下，实现结果对模糊事件c + 在这次实现中“发 生( 完全出现) ”的贡献量恒为实现结果对a 和b 的贡献量中的较小 值，则称c 为a ，b 之交，记为c ：a n 口1 ； ( 4 ) 若在兰的每次实现下，实现结果对模糊事件c + 在这次实现中 “发生( 完全出现) ”的贡献量恒为实现结果所携带的信息量中对模 糊事件a ，b 同时有贡献的那部分信息量，则称c + 为a + ，b 之联， 记为c = a g a b ： 性质3 1 2 若模糊事件c 为模糊事件a 。，b 之交( 联) ，则实现结果 对c + 在这次实现中“发生( 完全出现) ”有贡献当且仅当实现结果 对a ，b 同时有贡献。 证明易证。 ( 5 ) 若在量的每次实现下，实现结果对模糊事件a 在这次实现中 “发生( 完全出现) ”有贡献导致实现结果对b + 有贡献，则称b + 包含 爿，记为a + sb 或爿+ 2b ； ( 6 ) 设模糊事件b 包含模糊事件a ，若在兰的每次实现下，实现 结果对模糊事件c 在这次实现中“发生( 完全出现) ”的贡献量恒为 实现结果对b + 贡献的多于对a + 贡献的那部分信息量，则称c + 为b + 与 4 + 之差，记为c ：b + 一a ： ( 7 ) 若在巨的每次实现下，实现结果仅将除去对模糊事件a + 在这次 实现中“发生( 完全出现) ”的贡献之外所携带的信息量全部贡献给 模糊事件b + ；也就是说，若存在模糊事件b ，使得在互的每次实现 下，实现结果对模糊事件4 + 在这次实现中“发生( 完全出现) ”的贡 西北大学数学系硕士研究生论文 1 4 献量与实现结果对b 的贡献量之和恒为1 ，则称爿+ ，b 互补； ( 8 ) 称模糊事件爿和模糊事件b + 没有公共点，如果在互的每次实 现下，实现结果所携带的信息量中恒没有对模糊事件4 + 和模糊事件 占+ 同时有贡献的部分；或称模糊事件类 j 一) 没有公共点，如果在巨的 每次实现下，实现结果所携带的信息量中恒没有对所有模糊事件爿。 同时有贡献的部分。 ( 9 ) 称模糊事件类仁。) 是不交的，如果在e 的每次实现下，对于任 意两个模糊事件爿。+ 和彳。+ ，实现结果所携带的信息量中恒没有对它们 同时有贡献的部分。 第二节模糊集合的运算 以上从且础上，r 列j 经。吊罱墨芍聪州争仟刚开、父、利、职、包 含、差、以及对立事件等，以下将给出对应的数学定义 定义3 2 1 设j ，吾f ) ，定义它们的和、差、联、并、交分别为： 并：( 驰云 g ) = m a x m x 吾。) ) ，坛眠 交：( 加占胁m i n ( j 础) ，幽 秕( j 。云) g ) 划n ( 确+ 云。) ) 胁x ； 联：( j 舻云胁m a x ( 。，砸) + 三g ) 一) x ； 差：p 三 似一( 嘶阱云g ) ) 肌。 性质3 2 2j o j j ；j p j j 。 f t , n 3 2 3 ( j 。占 p 己( j p 亡 。( 云舻6 。 性质3 2 4j p 三c j n 云c j ，三c 3 u b j o 云。 性质3 2 5 如果a ，be p 伍) ，则a u b = a b ，j p 云= 3 n b 。 定义3 2 6 设j ，云，伍) ，若有关系：j 。三：x ； a p 占= o 。 贝0 称j ，云互卒h ；记云：二c 命题3 2 7 设j ，云，伍) ，则 ( 1 ) j c ：z j ： ( 2 ) ) u b = ( 知占卜； 撕b = ( 础 。 命题3 2 8 设j ，j 。f l n ：l 2 ，则 c - ，j 。 鱼j 一 = 旦( j 。j 。) ； j 。( 舛) = 曼( 赫。 ： ( 3 ) ( 4 ) j p ( 耍j 一 = 曼( j 舻j 。) ； j 如j 一) = 立( 撕一 。 命题3 2 9 设j 。f ( x ) i ：1 2 ，n ，则 ( 1 ) ( 垒j ，) g ) = m i n ( ，喜jr g ) 西北大学数学系硕士研究生论文 ( 引= ( 缈) 。 定义3 2 1 0 设 j 一) c ，伍) ，定义他们的和为( 垒j 。 b ) = ! 受( 鱼五j 。) ； 他们的联为( 曼j 一 g ) = n - i m f k i 刍= t j 0 。) 。 命题3 2 1 1 设j ，f ( x ) ，i ：1 2 ，卅，则 c ，) ( 虽五n 。) = m i n ( ，喜j g ) ) ； ( 引= ( 弘 。 命题3 2 1 2 设j 。f ( x ) ，i = 1 2 。月，则 ( 引”m a x ( 叫一b ) ； c z ，( 垂j 一 g ) = m a x ( 。，一喜j 。g ) 。 定义3 2 1 3 设 j 。 c ，伍) ，称j 。，j ：，j 。没有公共点，如果 lj 刍j ，：。，也称扛。 是没有公共点的。 r = i lj 注如果j ，三尸伍) ，则j 与云没有公共点的充要条件是jn 云：m ； 如果j ，五是一般的模糊集合，jn 云：中时，j 与b 一定没有公共点， 但反之不一定成立。 命题3 2 1 4 设 j 一 c ，暖) ，则 ( 1 ) j ，j ：，j 。没有公共点的充要条件是 喜j t b ) 蔓n 一1 ；特别的，j 与三没有公共点的充要条件是 ( j 。云抄j g ) + 如垤幽 ( 2 ) p 一) 没有公共点的充要条件是善五。g ) 1 。 定义3 2 i si 2 一l c f ) ， ( 1 ) j ，j ：，j 。被称为不交的，如果对于七= 1 2 ，n 一1 ， 成立( 叠j 。如j 。= 面； ( 2 ) 称j 。l 为不交序列，如果对于任何n 2 ，j - ，j ：，j n lj 是不交的。 命题3 2 1 6 设仁一) 亡f ) ，则 j 。是不交的充要条件是爿t g ) 1 ，v z j ( 2 ) j 。 是不交序列的充要条件是爿一g ) 5 l ，搬e ； j 月= l ( 3 ) 如果j ，j ：，j 。是不交的，则对于任何 1 f ( 1 ) f ( 2 ) 厂g ) ) 为f u z z y 集爿的强，截集( s t r o n gf - c u ts e t ) ，或称为j 的强，水平集 ( s t r o n g ，一l e v e ls e t ) ；厂称为n 催 ( t h r e s h o l dv a l u e ) 或置信水平( b e l i e f l e v e l ) 。 f u z z y 集j 的厂截集j ，( 强厂截集j j ) 同它的乜截集一样是经 典集合m 卜是模糊集合，他们= 乙日j 的关糸有如r 定理。 定理6 1 2 若je r ( x ) ，厂：寸 o , l l ，则f u z z y 集j 的，。截集j ，与j 的 口截集j 。之间有如下关系： j ，- 以j “一乞) ，其中乞2 x e 爿i 厂6 ) 口) ； f u z z y 集j 的强厂截集j j 与- a 的口。截集j 。之间有如下关系： 爿? = ui 一。一无) ，其中厶= x x 0 ) 口 ： n e 1 证明先证明前一半结论。一方面，由于工j ，j j g ) ，g ) ，根据 0 ，1 】1 的稠密性，必存在厂g ) a j b ) ，这时j a j x j 。且 ，g ) 口j x 鞋乞，于是有工e j ，jz 。_ 。1 。( j a 一乞) ；口 ， 1 、口， n - ；疗n ，由于z e 。_ 1 1 4 a 一j j j 0 o e o ，l l xs a o - f 。_ 1 ，即x e 爿a 。 d e o ，1 。蜘 且挪! 乞，于是有j a 。e 0 , 1 1 f ( x ) f j n j l = j 。n 吾。s l。 于是有a n be 毒( 3 ) ； 和：( 枥 ( 扣m i n ( ，j g ) + 三g ) ) 肌x 其任意a 截集( j 。吾) 。= 纠( j 。云) g ) = m i n ( ，j + 云b ) 口 ( j 。云 。= k l j g ) + 云g ) a ) j ( j 。云 。= 扛l j g ) 口三g ) u x i 三g ) 口一j g ) 根据定义6 1 1 和定理6 1 2 ，有： = 一。一j ( ，) ub a j “ = ，掣，。【j ，一 a 一吾 j u 刖，( 三，一 口一j j 口【o ，1 f i r 视为q 上的模糊集合：v x e q ，a g ) ；t 2 ，即口，心) 且满 足叩f o ，吐= q o r o t 3 ，于是根据z a d e h 对q 上的模糊事件的定义， 口，心) 是z a d e h 所定义的q 上的f u z z y 事件，即a 毒( 3 ) 。 根据推论6 。1 3 ， a 一三 je s 和 口一j j 3 。 再由善( s ) 是q 上的f u z z y o - 代数，s 是q 上的盯一代数，于是彳，b 一。一一、 f r 和的任意口截集1 4 。b j 。2 ，e 崭0 , 1 i4 一一l “ 于是有a o b 毒( s ) ； 西北大学数学系硕士研究生论文 占 ； u ，￥，( 三，一 口一j j s 3 ， 联：( - a v b ) ( x ) = m a x m 聃一t ，垤 其任意d 截集( j p 云 。= 翻( j p 云 。) = m a x ( o ，- a ( x ) + 占。) 一 a j 三) = 纠j g ) + 云g ) - 1 口 j ( j 舻三 。= b l j b ) l + 口一吾。) u 工ib ( x ) l + a - j g ) ) 根据定义6 1 1 和定理6 1 2 ，有： = a 1 一；( ，) ub l j ( ，) = ，掣。( j ，一 + 口一言 j u ，掣，( 三，一 + a j j 类似的1 + 口【0 ，1 】可视为q 上的模糊集合：v x q ，( 1 + a x x ) ；- l + a ， 即1 + 口f ( q ) 且满足v 卢【o ，l l ( 1 + a k = q d 廊s ，于是根据z a d e h 对q 上的模糊事件的定义，l + a f ) 是z a d e h 所定义的q 上的f u z z y 事 件，即l + a 善( s ) 。 根据推论6 1 3 ，善( s ) 是q 上的f u z z y - 代数，以及s 是q 上的盯一 代数 ，于是j， 云联的任意口截集 ( j p 吾 。= ，掣，( j 一一 + 口一三 j u ，g ，。( 吾，一 + 口一j j e s ，于是有 j p 吾亭0 ) ； 差：( j b ) ( x ) = m a x ( 。，j g ) 一三g ) ，垤z 它的任意口截集为 ( j 一吾 。= 纠( j 一云 g ) = m a x ( 。，j g ) 一三b ) ) a ) j f j 一云 l。 西北大学数学系硕士研究生论文 扛ij 0 ) 一占0 ) a j ( j 一言 。= k i j g ) 口+ 占b ) ) u 石i 云g ) d + j 。) ) 根据定义6 1 1 和定理6 1 2 ，有： = a 。+ ；( 。) ub 。+ j ( ，) = ，革，。( j ，一 a + 三 ； u ，掣。( 吾一一 口+ j ， a 【0 ，1 n 司- 视为q 上的模糊集合：v xe q ，a 0 ) s 口，即口e f ( q ) 且满 足v 卢 o ，l l a 口= q 。地s ，于是根据z a d e h 对q 上的模糊事件的定义， a f ( q ) 是z a d e h 所定义的n 上的f u z z y 事件，即a 考( 3 ) 。 根据推论6 1 3 ，善p ) 是q 上的f u z z y ( 7 一代数，以及。是n 上的盯一 代数，于是a ，b差的任意a截集 ( j 一云) 。= ，划。( j ，一 口+ 吾 j u ，掣，( 蠢，一 口+ j j e 3 ，于是有 a b 孝( 3 ) 。 于是得到：若壶中的模糊事件满足z a d e h 对模糊事件的定义，则 z a d e h 对模糊事件概率的定义就构成了从概率空间心，s ，p ) 到模糊事 件的概率空间( 矗，j 的转换。 第三节推广f u z z y 集的分解定理 定理6 3 对于任意的a f ( x ) ，有 j 2 i 。r ( x ) k ，n 计 西北大学数学系硕士研究生论文 j = ，。甚。) ( 厂n j j 当且仅当执e x ，e 弓构成 o ，1 上的稠 密子集。 证明，。爿。( ，n j ， g ) 2 ，p f s ( x ) j ，g ) = ，s 。u 山p f ( x ) = 几s 。u 以p ，厂g ) = j g ) 类似 总，( ，n j j 胁牌【刷 j j g ) 的 s u p f ( x ) = s u p 厂g ) = a ( x ) 当且仅 x e z几k j ( 一) 当v x x ，厂e3 构成【o ，1 】上的稠密子集。 西北大学数学系硕士研究生论文 3 7 本文小结与展望 模糊事件的概率一直以来都是一个研究的热点，本文在对z a d e h 所提出的模糊事件以及模糊事件的概率进行介绍之后，分析并说明了 对相关模糊事件概率研究的必要性。模糊事件概率所依赖的隶属函数 的确定具有不精确性，原因是在实际中隶属度的具体确定包含着人脑 的加工，存在有某种心理过程。即使f u z z y 统计实验中所呈现的频率 稳定性可以承担隶属度的客观意义，它仍被希望更多的是给以某种方 式的矫正，而不是过度的依赖；从随机本身来看，随机现象的研究是 要通过事件的相互联系去认识随机现象的规律性，从这个意义上说研 究模糊事件和与其相关的模糊事件在概率方面的联系是必要的。 本文分析并介绍了现实生活中的三类随机模糊现象，在初步明确 本文的研究对象的同时，进一步提出了本文的写作目的建立模糊 事件的清晰概率测度空间，并说明建立模糊事件概率空间的必要性。 本文在进行其他研究之前，最为首要和必要的工作就是彻底明确 本文的研究对象：经典随机试验中，由于研究者受到研究目的的影响， 常会考虑一些涵义模糊的事件的概率。对模糊事件的定义介绍，本文 从三个层面进行：现实背景、直观涵义、严格的数学定义。 本文通过现实中的多个实例给出了模糊事件的现实背景，并得到 一系列结论：对于同一个随机试验，由于人们根据研究目的、认识角 度的不同，也会产生不同的随机事件。由于人自身认识的特性，很自 然的产生了最为贴近生活的随机事件，它们常常是模糊的，简称模糊 事件。 本文在对模糊事件的直观定义中，明确指出了本文的研究对象， 基于信息分配的思想，提出了一个重要的概念模糊事件的出现程 度，紧接着给出研究对象的直观定义：在经典随机试验的每次实现中， 某事件总不能被实现结果提供信息以完全消除它在这一次实现中的 不确定性，这样的事件称为经典随机试验下的模糊事件。 文章最后从数学的角度，证明了模糊事件域模糊集合之间的一 对应，后给出了模糊事件的数学定义：即经典随机试验下的模糊事件 指的是以样本空间为论域的模糊集合。 在给出模糊事件定义之后，一项最重要的工作就是研究模糊事件 间的关系，也就是进行模糊集合间的运算。本文从直观含义事件 的运算和数学角度集合的运算两方面进行研究，基于概念模 糊事件的出现程度从直观上给出了五种运算形式：并、交、和、联、 差以及三种关系：两个模糊事件互补，模糊事件类没有公共点，模糊 事件类不交。最后证明了模糊事件的运算与模糊集合的运算之间的一 一对应关系，并给出了相应的数学表示。 研究模糊事件间关系直接导致模糊样本空间与模糊事件域的研 究