（应用数学专业论文）脊波、曲线波和偏微分方程在图像处理中的算法研究.pdf

脊波、曲线波和偏微分方程在图像处理中的算法研究 摘要 寻求客观事物的“稀疏”表示方法，是计算机视觉、数学、数据压缩等领域的 专家学者们致力于的目标。小波分析之所以成功，一个重要的原因是其对范围广 泛的函数类的“稀疏”表示能力，尤其表现为对“点奇异”的最优非线性逼近能 力。然而，对于含线奇异、面奇异的二维或高维函数，小波的非线性逼近能力却 不尽如人意，事实上，此时m 项非线性逼近误差厶) 20 厶一旷的衰减速度只能 达到d 。1 j 。小波分析的不足，促使人们开始从不同角度试图寻找比小波更好的 “稀疏”表示工具。脊波理论由e m m a n u e lj c a n d e s 在1 9 9 8 年提出，脊波变换对 含直线奇异的多变量函数具有最优非线性逼近性能。后来，c a n d e s 又提出了曲线 波的概念，曲线波变换对含有曲线奇异的多变量函数具有最优的非线性逼近阶。 由于脊波、曲线波的这种能力，这使得它们在图像处理中比起小波具有一定的优 势，更能保持图像的边缘，所以它们越来越受到广大研究者的重视。在数学图像 处理中，相对于计算调和分析方法，另外一种方法就是偏微分方程方法。自从 p e r o n a 和m a l i k 在1 9 9 0 年引入了各向异性扩散的概念，人们提出了无数的各向异 性扩散模型。这些模型在图像去噪、图像增强、边缘检测等方面具有很好的效果。 时至今日，偏微分方程方法仍然是图像处理中的一个重要方法，是近年来图像处 理的热点。本文将对脊波、曲线波和偏微分方程中有关领域的若干算法进行探讨， 得到了些新的有意义的算法。 ( 1 ) 有限脊波变换方法是脊波变换的一种数字化实现方法，其核心是有限 r a d o n 变换的实现。本文针对有限r a d o n 变换中每一斜率投影的排序问题，利用 b e s o v 空间光滑模理论，在时域构造了一种光滑性判别函数，以判别函数值最小 的序作为最优序，从而给出了一种新的自适应排序算法。用该算法对图像进行压 缩和去噪，得到了很好的效果。 ( 2 ) 基于真脊函数的数字脊波变换是另一种脊波变换的数字化实现方法。比起 有限脊波，它克服了环绕噪声，但是它不具有正交性，而是构成一个紧框架。这 样，在对图像做稀疏逼近时并不是最优的。本文给出了数字脊波重构算法的全局 对偶框架( g d f ) 表示，提出了局部对偶框架( l d f ) 的新概念，并讨论了l d f 的 性质，在此基础上给出了一种基于( l d f ) 的新的数字脊波重构算法。该算法减少 了脊波重构的冗余，保持了快速计算的特点，提高了逼近的效果。用该算法对图 像进行压缩和去噪，得到了很好的结果。 ( 3 ) 曲线波变换是脊波变换的衍生物，它是由多尺度脊波变换合并带通滤波器 得到的，它对具有曲线奇异的图像具有很好的逼近效果。因而对于含有边缘的图 像，小波不能很好的探测出线奇异并且会让去噪后的图像边缘变的模糊，然而曲 线波能很好的保持图像的边缘，获得很好的去噪效果。本文基于曲线波变换的思 想，提出了一种新的数字曲线波变换的重构算法。我们的算法具有更稀疏的表示 并且计算量较小。我们用提出的算法对图像进行去噪，得到了比原始算法好得多 的结果。 ( 4 ) 相对于各向同性扩散，各向异性扩散引入了一个关于图像梯度的空间变化 的扩散系数。在图象梯度大的地方做弱的扩散，在图象梯度小的地方做强的扩散， 因而在去噪的同时很好的保留了图像的边缘，而且不会产生像小波、曲线波引起 的g i b b s 震荡，是一种很好的图像处理方法。本文提出了一种新的各向异性分数 扩散模型，这些方程是图像灰度值函数的分数导数的绝对值的一个增函数的欧拉 拉格朗日方程，所以该模型可以被看成二阶和四阶各向异性扩散模型的推广。我 们用离散傅立叶变换计算分数阶导数并且得到了一个在频域的迭代算法。这个算 法导致输入图像被看成一个周期图像。为了克服这个问题，我们将图像关于它的 边缘对称的延拓( 折叠算法) 。最后，我们给出了在去噪实际的图像上的数值结果， 实验结果表明提出的分数阶各向异性扩散模型产生了很好的视觉效果和信噪比。 ( 5 ) 将图像分解为卡通部分( 有界变差部分) 和震荡部分( 纹理部分) 是近年 来图像处理的一个重要问题。图像的卡通部分是由一个有界变差( b v ) 函数来刻 画，相应的将b v 罚项合并到变分泛函中需要解偏微分方程。d a u b e c h i e s 用b e s o v 罚项代替b v 罚项并且用小波解变分问题。按照这种思想，我们通过设计一种数字 曲线波算法和一种依赖于尺度的阈值规则，从而得到了一种有效的基于数字曲线 波变换的图像分解算法。我们可以看出该算法对噪声具有很强的鲁棒性并且能使 图像边缘保持稳定。 关键词：脊波，曲线波，脊波变换，曲线波变换，数字脊波，r a d o n 变换，各向异 性扩散，分数阶偏微分方程，分数阶差分，图像去噪，图像光滑，图像分解，b e s o v 空间，光滑模， s t u d y i n go fa l g o r i t h m so fr i d g e l e t ，c u r v e l e ta n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o ri m a g ep r o c e s s i n g a b s t r a c t m a n yi m a g ep r o c e s s i n gt a s k st a k ea d v a n t a g e so fs p a r s er e p r e s e n t a t i o n so fi m a g e d a t aw h e r em o s ti n f o r m a t i o ni sp a c k e di n t oas m a l ln u m b e ro fs a m p l e s t y p i c a l l y , t h e s er e p r e s e n t a t i o n sa r ea c h i e v e dv i ai n v e r t i b l ea n dn o n r e d u n d a n tt r a n s f o r m s c u r r e n t l y , t h em o s tp o p u l a rc h o i c e sf o rt h i sp u r p o s ea r et h ew a v e l e tt r a n s f o m - i t h e s u c c e s so fw a v e l e t si sm a i n l yd u et ot h eg o o dp e r f o r m a n c ef o rp i e c e w i s es m o o t h f u n c t i o n si no n ed i m e n s i o n u n f o r t u n a t e l y , s u c hi sn o tt h ec a s ei nt w od i m e n s i o n s f o r t w o d i m e n s i o n a l1 i n e a r , s u r f a c es i n g u l a r i t i e sf u n c t i o i l s t h ew a v e l e tc a n ta p p r o x i m a t e m e r f lv e r yw e l l i nf a c t t h e d e c a yo ft h ea t o ro ft h em t e r ma p p r o x i m a t i o n 岛) = 岭一邢o n l yr e a c h 咖- 1 j n el a c ko ft h ew a v e l e tm a k e sr e s e a c h e rt r yt o s e e kt h eo t h e rh a r m o n i ca n a l y s i st o o l s e m m a n u e lj c a n d e si n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f t h er i d g e l e ti n1 9 9 8 s u c hs y s t e mi sv e r yw e l la tr e p r e s e n t i n gt h es m o o t hf u n c t i o n s w i t hl i n es i n g u l a r i t i e s c a n d e sa l s op r o p o s e dt h ec o n e e d to ft h ec u r v e l e tl a t e r t h e c u r v e l e th a st h eb e s ta b i l i t ya tr e p r e s e n t i n gt h es m o o t hf u n c t i o n sw i t hc u r v i l i n e a r s i n g u l a r i t i e s a b i l i t i e so fr i d g e l e ta n dc u r v e l e tm a k et h e ms u p e r i o rt ot h ew a v e l e tf o r i m a g ep r o c e s s i n g t h e ya r ev a l u e db ym o r ea n dm o r er e s e a r c h e r s r e l a t i v et ot h e c o m p u t a t i o n a lh a r m o n i ca n a l y s i sm e t h o di nt h ei m a g ep r o c e s s i n g , a n o t h e rm e t h o di s p a t t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s i n c et h ew o r ko fp e r o n aa n dm a l i k ，w h i c hr e p l a c e dt h e i s o t r o p i ed i f f u s i o nb ya na n i s o t r o p i ed i f u u s i o n ，r e s e r c h e r sh a v ep r o p o s e dm a n y a n i s o t r o p i cd i f i l l s i o nm o d e l sw h i c hp r e s e r v ei m p o r t a n ts t r u c t u r e si ni m a g e s ，w h i l e r e m o v i n gn o i s e t h e s em o d e l sm a k eg o o de f f e c t si ni m a g ed e n o i s i n g , i m a g e e n h a n c e m e n t ，e d g ed e t e t i o nc ta 1 u n t i ln o w , t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n d e ) m e t h o di ss t i l la l li m p o r t a n tm e t h o da n dah o t a p o ti ni m a g e p r o c e s s i n g i nt h i sp a p e rw e w i l ls t u d ys o m ea s p e c t so fa l g o r i t h m so fr i d g e l e t ，c u r v e l e ta n dp d ea n do b t a i ns o m e n e wi n s t r u c t i v ea l g o r i t h m s n 1t h ef i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r mi so n eo ft h ed i g i t a lm e t h o d so fr i d g e l e tt r a n s f o r m t h ck e yi st h ei m p l e m e n t a t i o no f t h ef i n i t er a d o nt r a n s f o r m t h es e q u e n c i n gp r o b l e m o fe a c hs l o p ep r o j e c t i o ni nf i n i t er a d o nt r a n s f o h ai ss t u d i e do nt h i sp a o e r w ju s et h e t h e o r yo fm o d u l u so fs m o o t h n e s so ft h eb e s o vs p a c ea n dc o n s t r u c tas m o o t h d i s c r i m i n a n tf u n c t i o ni nt i m ed o m a i n t 1 l eo p t i m a ls e q u e n c eh a st h ef r i l l a l l e s t f u n c t i o n a lv a l u e ，s oan e wa d a p t i v es e q u e n c i n ga l g o r i t h mi sp r o p o s e d w h e na p p l y i n g i tt ot h ei m a g ec o m p r e s s i o na n dd e n o i s i n g ，t h eg o o dr e s u i t sa r eo b t a i n e d ( 2 ) t h eo t h e ri st h ed i i g i t a lr i d g e l e tt r a n s f o r mb a s e do nt r u er i d g er u c t i o n c o m p a r e w i mt h ef i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m i te l i m i n a t e st h e w r a pa r o u n d ”a n dc o n s i s t saf l a m e t h u si tc a n tp r o v i d et h em o s ts d a r e rr e p r e s e n t a t i o n so f t h ei m a g e ag l o b a ld u a lf r a m e ( g d f ) r e p r e s e n t a t i o nf o rt h ed i g i t a lr i d g e l e tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi sd i s c u s s e d ，t h e n an o v e lc o n c e p to ft h el o c a ld u a lf r a n l e ( l d f ) i sp r e s e n t e d b a s e do nt h ep r o p e r t i e so f l d f , w ep r o p o s ean e wd i g i t a lr i d g e l e tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m t h em e t h o dr e d u c e s t h er e d u n d a n c yi nt h ed i g i t a lr i d g e l e tr e c o n s t r u c t i o nw h i l ek e e p i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c s o fl o wc o m p u t ec o s t m e l la p p l y i n gi tt ot h ei m a g ec o m p r e s s i o na n dd e n o i s i n g t h e g o o dr e s u l t sa r eo b t a i n e d ( 3 ) f o ra na n i s o t r o p i ci m a g e ，w a v e l e t sl o s et h e i re f f e c t so ns i n g u l a r i t yd e t e c t i o n b e c a u s ed i s c o n t i n u i t i e sa c r o s se d g e sa r es p a t i a l l yd i s t r i b u t e d b a s e do nt h ei d e ao ft h e c u r v e l e t an e wd i g i t a lc u r v e l e tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi sp r o p o s e d o u ra l g o r i t h m p r o v i d e ss p a r s e rr e p r e s e n t a t i o n sa n dk e e p sl o wc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y w h e n a p p l y i n gi tt ot h ei m a g ed e n o i s i n g ，m u c hb e r e rr e s u l t st h a nt h eo r i g i n a la l g o r i t h ma r e o b t a i n e d “) 嘶sp a p e l i n t r o d u c e san e wc l a s so ff r a c t i o n a l o r d e ra n i s o t r o p i ed i f f u s i o n e q u a t i o n sf o rn o i s er e m o v a l t h e s ee q u a t i o n sa r ee u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n so fac o s t f u n c t i o n a lw h i c hi sa l li n c r e a s i n gf u n c t i o no ft h ea b s o l u t ev a l u eo ft h ef r a c t i o n a l d e r i v a t i v eo ft h ei m a g ei n t e n s i t yf u n c t i o n ，s ot h ep r o p o s e de q u a t i o n sc a l lb es e e na s g e n e r a l i z a t i o n so fs e c o n d o r d e ra n df o u r t h o r d e ra n i s o t r o p i cd i f f u s i o ne q u a t i o n s w e n s et h ed i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m f t ) t oi m p l e m e n tt h en u m e r i c a la l g o r i t h ma n d e v ea ni t e r a t i v es c h e m ei nt h ef r e q u e n c yd o m a i n i ti so n ei m p o r t a n ta s p e c to ft h e a l g o d t h r at h a ti tc o n s i d e r st h ei n p u ti m a g ea sap e r i o d i ci m a g e 。t oo v e r c o m et i f f s p r o b l e m ，w eu s eaf o l d e da l g o r i t h mb ye x t e n d i n gt h ei m a g es y m m e t r i c a l l ya b o u ti t s b o r d e r s a n df i n a l l y , w el i s tv a r i o u sn u m e r i c a lr e s u l t so nd e n o i s i n gr e a li m a g e s e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e df r a c t i o n a l o r d e ra n i s o t r o p i cd i f f u s i o ne q u a t i o n s y i e l dg o o dv i s u a le f f e c t sa n db e t t e rs i g n a l - t o n o i s er a t i o ( 5 ) r e c e n ty e a r s ，d e c o m p o s i n ga l li m a g ei n t oc a r t o o nc o m p o n e n t ( b o u n d e dv a r i a t i o n c o m p o n e n t ) a n do s c i l l a t i n gc o m p o n e n t ( t e x t u r ec o m p o n e n t ) i sa l li m p o r t a n tp r o b l e mi n t h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g t h ec a r t o o nc o m p o n e n to fa ni m a g ei sm o d e l e db ya b o u n d e dv a r i a t i o n ( b v ) f u n c t i o n ；t h ec o r r e s p o n d i n gi n c o r p o r a t i o no f b v p e n a l t yt e r m s i nt h ev a r i a t i o n a lf u n c t i o n a ll e a d st os o l v ep d ee q u a t i o n s d a u b e c h i e sr e p l a c e dt h eb v p e n a l t yt e r mb yab e s o vt e r ma n dw r o t et h ep r o b l e mi naw a v e l e tf r a m e w o r k f o l l o w i n gt h i si d e a , w ep r o p o s ean e wi m a g ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h mb a s e do nt h e d i g i t a lc u r v e l e tt r a n s f o r m b yd e s i g n i n gad i g i t a lc u r v e l e tt r a n s f o r ma l g o r i t h ma n da s c a l e d e p e n d e n tt h r e s h o l d i n gr u l e ，e l e g a n ta n dn u m e r i c a l l ye f f i c i e n ts c h e m e sa l e o b t a i n e d w ec a ns e et h a tt h i sa p p r o a c hi sv e r yr o b u at oa d d i t i v en o i s ea n dc a nk e e p t h ei m a g ee d g e ss t a b l e k e yw o r d ：w a v e l e t ，r i d g e l e t ，r i d g e l e tt r a n s f o r m , c a r v e l e t ，d i g i t a lr i d g e l e t ，r a d o n t r a n s f o r m ，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n , f l a c t i o n a l o r d e rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ， f r a c t i o n a lo r d e rd i f f e r e n c e ，i m a g ed e n o i s i n g ，i m a g es m o o t h i n g ，i m a g ed e c o m p o s i t i o n , b e s o vs p a c e ，m o d u l u so fs m o o t h n e s s 西安电子科技大学 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：日期 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名 日期 日期 第一章绪论 第一章绪论 在图像处理的发展过程中，数学始终起着举足轻重的作用，并渗透到图像处 理的所有分支之中。 到上世纪六七十年代为止，以f o u r i e r 分析为代表的线性处理方法占据了整 个数字图像处理领域。与此同时，人们借助于随机过程理论建立了图像模型。线 性滤波方法为低层图像处理提供了有力的理论支持，快速傅立叶变换被广泛应用 于图像处理的几乎所有分支中。这些数学工具极大的促进了图像处理的发展和应 用。 从上世纪八十年代开始，非线性科学开始逐渐渗透到图像处理方法之中，许 多新颖的数学工具被引入到图像处理领域，使图像处理理论变得多元化。尤其以 小波为代表的信息处理方法，继承和发展了f o u r i e r 分析，将函数论和逼近论的 最新成果应用在工程应用中，建立起了一套完整的小波理论框架。小波分析由于 具有时一频局部化的特点和多尺度特性，在图像处理的多个领域如图像编码、图像 分割、纹理识别、边缘检测、图像去噪和恢复等方面得到了广泛应用，它已成为 静态图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 的核心技术。 过去几年，在数学分析、计算机视觉、模式识别、统计等不同的学科中，分 别独立的发展着一种彼此极其相似的理论，人们称之为多尺度几何分析。发展多 尺度几何分析的目的是为了检测、表示、处理某些高维空间数据。这些空间的主 要特点是：其中数据的某些特征集中体现于低维子集中( 如曲线、面等) 。比如， 对于二维图像，主要特征可以由边缘刻画；而在三维图像中，其重要特征又体现 为丝状物和管状物。目前，人们提出的多尺度几何分析方法主要有：脊波变换 ( r i d g e l e t ) 、曲线波变换( c u r v e i e t ) 、单尺度脊波变换( m o n o s c a l er i d g e l e t ) 、 b a n d e l e t 变换、c o n t o u r l e t 变换等等。 这些新方法的提出，无不基于这样的一个事实：对于含点奇异的一维信号， 小波达到了最优的非线性逼近阶，而在处理二维或高维线奇异的信号时，虽然由 一维小波张成的高维小波基在逼近性能上要优于三角基，却也不能达到最优的逼 近阶。多尺度几何分析发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的 表示方法。 同时。其他非线性的数学工具的应用也取得了显著的成果：如分形在图像编 码和纹理识别中的应用，多尺度分析在图像检索和识别中的应用，等等。特别的， 基于偏微分方程的图像处理方法已经成为近年来图像研究的一个热点。它从分析 图像去噪的原理入手，结合变分思想、数学形态学、微分几何等数学工具，建立 了滤波和偏微分方程相关的公理体系。它在图像恢复、图像分割、边缘检测、图 像插值、医学图像处理、图像修补等方面得到了一定的应用。在研究过程中，人 们引入了一些概念，如a c t i v ec o n t o u r ( s n a k e ) ，l e v e ls e t 等，把数学和图像有 机的结合起来。 另一方面，图像处理的实际需要和工程背景也刺激了一些数学分支的发展， 如小波理论的研究动力来源于信号处理中对于时频局部化分析的需要，而且在理 论体系建立起来之前已经有了广泛的应用：偏微分方程的粘性解概念的提出也是 因为在图像处理的应用中应用条件不满足各种微分学中的假设。 本文主要是对图像处理和分析中两个最新进展多尺度几何分析和偏微分方程 方法进行探讨，得到了一些新的有意义的算法。本章首先对图像处理的概念及数 2 脊波、曲线波和偏微分方程在图像处理中的算法研究 学模型、小波分析、多尺度几何分析和偏微分方程的发展历史和研究现状进行回 顾，然后介绍文本的主要工作。 1 1 图像处理的概念及数学模型 图像处理，这个传统的工程领域，在过去的十几年中已经吸引了许多数学家 的注意。图像处理的研究随着计算技术的不断发展而不断深入。研究者可以从不 同的角度去看待图像处理的问题，这依赖于进行图像处理时所用的数学模型。在 这一节首先筒述图像处理的一些概念 6 4 - 6 6 及数学模型。 1 1 1 图象处理的概念 图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界获得的，可以直接或 间接作用于人眼并进而产生视知觉的实体 6 4 6 6 。简单的说，图像是自然界景物 的客观反映，图像处理技术是人类认识世界和改造世界的重要工具。具体来说， 人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼中形成 的景象。一般的，一幅图像可以用一个二维数组，b ，y ) 来表示，这里x 和y 表示二 维空间胛中的一个坐标点的位置。而厂则代表图像在像点仁y ) 的某种性质f 的数 值。例如常用的图像一般是灰度图，这时，表示图像的灰度值( 或亮度) 。 常见图像是连续的，即，x ，y 的值可以是任意实数。为了能用计算机对图 像进行加工，需要把连续的图像离散化，即在图像域上离散的取样点，在每个像 素上的灰度值也是离散的，常分成1 2 8 或2 5 6 个等级。这种离散后的图像是数字 图像。本文以后主要讨论数字图像，即，x ，y 都在整数集合中取值。由于人的 视觉能区分的等级有限( 小于1 2 8 ) ，所以对于数字图像在视觉上的效果近似于连 续图像。 1 1 2 图像处理的数学模型 图像信号由于其不连续一般很难用准确的数学模型去描述，从而给图像处理 带来很大的困难。在大多数情况下，图像处理可以被抽象为一个输入输出系统 绕咂巫垂卜q 其中r 代表图像处理算子，如去噪、锐化、分割、压缩或图像修复。输入数据q 0 可 第一章绪论 以是一幅图也可以是图像序列，输出数据q 是所有希望得到的图像性质。 人类的视觉系统可以看成是一个复杂的多极处理算子r 。岛是投影到视网膜 上的图像序列。输出向量q 包含了所有我们所需要的信息，从简单的相对顺序、 形状、群组特征到比较复杂的帮助我们辨认物体的特征信息。图像处理的两个基 本问题是作为输入的0 - o 和算子r 的建模。因此，现代图像处理的数学方法主要分 为( a ) 输入的视觉信号绕的建模和表示，( b ) 图像处理算子r 的建模。它们是相 对独立但又紧密相连的：算子r 的性能很大程度取决于输入数据的模型。 为了能够有效的处理图像，首先需要知道如何从数学的角度理解和表示图像。 例如，用二维的函数来表示一幅图像是否合适，需不需要加一些适当的约束条件， 等等。图像模型和它的表示方法在很大程度决定了图像的处理模型。迄今为止， 数学上主要从三方面来研究图像处理：概率统计、小波分析和偏微分方程。这里 介绍了它们对应的三类图像建模和表示方法。 随机场模型( r a n d o mf i e l dm o d e l i n g ) 人们最早借助于随机过程理论建立的图像模型。该模型将图像，看成是随机 场的一个抽样结果，即图像可以用一些g i b b s 或m a r k o v i a n 随机场模型来模拟。 随机场模型在描述纹理比较丰富的自然图像( 如树和山等) 方面是最理想的模型。 小波模型( w a v e l e t sr e p r e s e n t a t i o n ) 图像都是通过一组微传感器的响应( 或相片感应器) 得来的。在最近的二十 年里，人们逐渐认识到并且证明了这些局部的响应可以用小波近似。小波作为一 种新的表示方法，让我们对图像的看法有了根本性的变化。新的j p e g 2 0 0 0 协议 和f b i 指纹数据库的成功压缩是它最有影响力的两项应用。它的理论还在不断的 发展中。最近几年出现的脊波和曲线波就是小波理论的进一步发展。 正则空间( r e g u l a r i t ys p a c e s ) 在传统图像处理的线性滤波理论里，图像，被认为是s o b o l e v 空间( 哟中的 一个元素。因为s o b o l e v 空间的函数具有连续性，所以s o b o l e v 模型在处理一幅 图像的某块均匀区域的时候是很好的，但它不足以作为一整副图像的模型，因为 它模糊了图像的一个最重要的视觉信息一边缘。目前有两个非常有名的模型可以 处理边缘的问题。一个是m u m f o r d 和s h a h 6 7 的物体边缘模型，该模型假设理想 图像，是由不连续的均匀物体块 五，o 。】及正则边界舶。( 用一维h a u s d o r f f 钡u 度 描述) 组成的，其中五e h l ) 。另一个是r u d i n , o s h e r 和f a t e m i 2 7 的b v ( b o u n d e d v a r i a t i o n ) 图像模型，该模型是假设理想图像具有有界的全变差j 1 别。所有这些基 n 于正则化的图像模型一般只适用于纹理较少并且没有快速震荡的图像。 4 脊波、曲线波和偏微分方程在图像处理中的箨法研究 1 2 小波分析的发展概况 小波变换是8 0 年代后期发展起来的一个应用数学分支，是近十几年来国际上 掀起的一个前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析的一个突破性进展。它给图像处理 领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高 度重视。它既包含了丰富的数学理论又是工程应用中强有力的方法和工具。 从数学角度看，小波分析为函数空间提供了一套逐渐逼近的子空间，这些子 空间有不同的逼近度，但逐渐逼近于全空间，从而可以用具有不同精度和分辨率 的一系列函数来逼近原函数，而且不同逼近之间的误差是正交的：从信号处理角 度看，它提供了一种时间一频率的局部化分析 6 8 ， 9 ，而且时一频窗在整个时一 频平面上移动时，时宽和频宽会随着频率的变化自适应的变化。由于它对高频采 取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因此小波分析 具有“数学显微镜”的美称 1 3 ， 6 9 ， 7 0 。而f o u r i e r 分析是纯频域分析，加 窗f o u r i e r 分析的时一频窗也是固定的。 小波分析与f o u r i e r 分析的本质区别在于：f o u r i e r 分析只考虑时域和频域 之间的一对一的映射，它以单个变换( 时间或频率) 的函数表示信号：小波分析 则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的区别在于：时 频分析在时频平面上，而是在所谓的时间一尺度平面上。在小波分析中，人们可以 在不同尺度上观察信号，这种信号分析的多尺度观点 1 4 是小波分析的基本特点。 小波分析在数学上的主要来源包括：s t r o m b e r g 等人在构造调和分析、偏微 分方程、b a n a c h 空间等常用的无条件基方面的研究：m e y e r 。e o i f m a n 等人在伪微 分算子的原子分解和分子分解理论方面的工作：c h u i ，w a n g 等人在样条理论、逼 近论方面的工作：c r o s s m a n ，m o r l e t 和b a t t l e 等人在数学物理方面的工作等。同 f o u r i e r 分析一样，小波分析的主要内容包括小波变换和小波级数两大部分。 小波的起源可以追溯到2 0 世纪初。1 9 1 0 年h a a r 提出了规范正交小波基的思 想，构造了紧支撑的正交函数系一h a a r 函数系，这是最早的小波基。1 9 3 6 年 l i t t l e w o o d 和p a l a y 对f o u r i e r 分析建立了二迸制频率分量分组理论：对频率按 2 ，进行划分，其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析 思想的最早来源。1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换( 或短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这个闷题。后来， c a l d e r o n , z y g m u n d ，s t e m 和w e i s s 等人将l - p 理论推广到高维，并建立了奇异积 分算子理论。1 9 6 5 年c a l d e r o n 给出了再生公式。1 9 7 4 年，c o i f m a n 对一维h p 空 间和高维h p 空间给出了原子分解。1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用他最先提出的再生公式 给出了抛物型日1 的原子分解，这一公式现在成为许多函数分解的出发点，其离散 形式己接近小波展开。此后许多数学家为着各种不同的目的，给出了各自函数空 间上的“原子分解”、“分子分解”、“拟正交分解”、“框架分解”等。1 9 7 6 年，p e e 仃e 在用l p 方法给出b e s o v 空间统一描述的同时，引入b e s o v 空间的一组基，其展 开系数的大小刻画了b e s o v 空间本身。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 通过对h a a r 正交基的 改进，引进了s o b o l e v 空间h 5 的正交基。这些工作为小波分析奠定了基础。 小波变换是由法国地质物理学家m o r l e t 于1 9 8 4 年在分析地震资料时提出的。 后来，他与法国理论物理学家g r o s s m a n n 共同研究小波理论。它们首先提出了“小 波”这一概念，建立了完整的连续小波变换的几何体系，其基础是平移和伸缩变 换下的不变性。1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 首次提出光滑的正交小波基 7 3 1 ，后 第一章绪论 来被称为m e y e r 基，对小波理论作出了重要贡献。1 9 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 利用多尺度思想构造出具有紧 支集的正交小波基 6 8 1 ，这样小波分析的系统理论初步建立起来。1 9 8 8 年m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出多分辨分析 【7 4 7 6 的概念，用多分辨分析来定义小波，从尺度函数出发构造出了正交小波基， 为此前各种小波基的构造建立了统一的框架。另外将离散小波变换与d a u b e c h i e s 紧支集正交小波相结合提出了m a l l a t 塔式分解算法，为离散小波变换建立了快速 算法，并把它应用到图像处理d p l 6 8 ，【7 3 1 ，【7 4 1 。m a l l a t 算法的作用和地位相当 于f o u r i e r 分析中的f f t