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s 翮2 3 睦 光折变振荡器时空特性研究 徐炯 稳导老弹：症萃 摘要 在单向环形光折变振荡器的多模耦合理论基础上，针对不同的情况模式简 势辣l # 蕊并，骚交了横囊猫合对羧荡输出稳定蛙辩影螅以及光学溅萤稳定豹疑撬条 件，并以数值模拟方法进行了验证。另外，我们给出了光折变振荡器中时空不稳寇 约臻象，铡舞蠡壹空混涟，并对穗应鼹兹理掇割搀了秘多搽避。结慕表明，一方覆， 横向模式的占空比影响着模式在振荡中所能获得的增益：另一方面，由于横向模式 之闫存在突餐藕会，不嗣翡摸摸之阗，茏箕是罄邋摸式在攘囱空阉上豹交蹙，导致 增益的相互竞争、相互影响。这种横向祸合在准简并条件下变得尤其复杂，并将导 致系统基瑷瓣空不稳定，麴眩空髑翅、露窆涩涟簿等。毽在系统参数潢是定条终 时，将实现频率合作锁定，从而得到稳定的斑图输出。对于系统中出现的时空混沌 霉荧，我稻找到了薄发、倍蠲絮分岔嚣耱诱发掇瑷。此辨，我懿鼓鼗蓬模数中理察 并研究了光学涡旋，初步给出了单向环形光折变振荡器中的涡旋逶动特设。 r e s e a r c ho nt h e s p a t i o t e m p o r a l c h a r a c t e r i s t i c so f p h o t o r e f r a c t i v eo s c i l l a t o r x u j i o n g d i r e c t e d b y ：z h u a n g j u n a b s t r a c t u s i n gt h et h e o r yo f m u l t i m o d eo s c i l l a t i o ni nt h ew e 如f i e l da p p r o x i m a t i o n 。 t r a n s v e r s ec o u p l i n ga n d d y n a m i co f p a t t e r n si na u n i d i r e c t i o n a lr i n gp r oa r e s m d i e d ，o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h eo s c i l l a t i n gm o d e si nn o n - d e g e n e r a t ea r e s t a b l ea n dt h ea v a i l a n eg a i no fm o d e sg o tf r o mp u m p b e a mi sd e t e r m i n e d n o to n l yb yt h e i rt r a n s v e r s eo c c u p y i n gb u ta l s ot h er e s u l to fc o m p e t i t i o n f r o m 氇em o d e m o d et r a n s v e r s eo v e r l a p w 勰nt h eo s c i l l a t i n gm o d e sa r ci n d e g e n e r a t e o r q u a s i d e g e n e r a t e ，f u r t h e r m o r e ，t h e t r a n s v e r s e c o u p l i n g b e c o m e sc o m p l i c a t e d ，a n dt h e s y s t e m i s u s u a l l y u n s t a b l e e x c e p t t h e c o o p e r a t i v ef r e q u e n c yl o c k i n gp h e n o m e n o n i nc f l ，t h et r a n s v e r s ep a r e m o fs i g n a lb e a mi np r o si sc o m p l i c a t e db u ts t a b l e 飘1 ec o n d i t i o nb yw h i c h t h er a n g ef o rc f lo c c u l t c n c ec a l lb ee s t i m a t e di st h e o r e t i c a l l yg i y e n 。a n dt h e r e s u l t ss h o wt h a tt h er a n g ei sc o n t r a c t e dw h e nt h en u m b e ro fo s c i l l a t i n g m o d e si n c r e a s e s ，w h i c hi n d i c a t e st h a tt h em o r e o s c i l l a t i n gm o d e s ，t h em o r e d i m c u l tt oc f li np r o s o u to ft h ec f l r a n g e s p a t i o t e m p o r a lp e r i o d i c b e h a v i o ra n ds p a t i o t e m p o r a lc h a o sa r eo b s e r v e d w ef i n dt h e r ea r ea tl e a s t t w or o u t e st o c h a o s ，i n t e r m i t t e n c e a n d p e r i o d d o u b l i n g b i f u r c a t i o n a d d i t i o n a l l y ，o p t i c a l v o r t i c e sw e r ei n v e s t i g a t e db ys i m u l a t i o n a n di t s d y n a m i c f e a t u r e sw e r es t u d i e d 复旦大学硕士学位论文 第一章绪论 光折变介质中的两波相互作用将形成强度干涉光场，并在电光效应( p o c k e l s e f f e c t ) 下感生出相应的折射率光栅，该光栅在一定条件下引起两束光之间的能量转 移，从而使得某一光束获得增益。基于此原理，1 9 8 2 年w h i t e 等人利用b a t i 0 3 晶体 实现了环形光折变振荡器。 随着在实验和理论上的深入研究，人们发现光折变振荡系统不仅与一般的激光 振荡器非常相似一一在横向效应引发的复杂的时空动力学过程中两者都存在频率合 作锁定、时空周期、时空混沌等现象f 2 7 。，而且与流体力学、非线性化学反应及分子 生物系统中的时空不稳定、斑图结构有很多相似之处。因此，从非线性基础研究的 角度来说，光折变振荡器为研究非线性系统的一般特性提供了个典型而直观的物 理模型。 随着在非线性光学系统中观察到丰富的空间花样，人们开始意识到对光学斑图 的深入了解啡1 0 1 除了在基础研究上有着重要意义外，在图像的编码、处理以及全光 控制中也有着潜在应用，因此，这一领域正吸引越来越多人的关注。一般说来，理 想的空间斑图结构，比如条状、矩形、菱状、六角状、卷曲状等 1 t q s ( 如图1 1 所 示) ，通常出现在与物理边界无关的空间扩展系统当中，如带反馈的被动光学系统， 这类光场横向分布的花样结构表现为规则的几何斑图：而在广泛的空间斑图结构定 义中，还包括光学涡旋、空间孤子等局域结构( 如图1 2 、图1 3 所示) ，它们则往 往出现在与边界相关的光学系统中，光折变振荡器就是这种系统的典型例子之。 就空间光孤子而言，自从1 9 9 2 年s e g e v 等人 j 6 l 首次提出利用光折变非线性补偿光 在传播过程中的衍射效应，从而产生光折变空间孤子以来，大量的理论和实验工作 相继问世。而本文部分工作的开展也正是基于研究光折变空间孤子这一目的。 光折变振荡器时空特性研究徐炯 图1 i 带反馈非线性光学系统中的光学斑图样式：( a ) 直条形，( b ) 矩形， ( c ) 菱形，( d ) 六角形，( e ) 卷曲形 图1 2 非线性光学系统中光学涡旋，( a ) 空间强度分布，其中iu2 表示 光场强度， 光场幅值，其中u 和w 指光场不同横向分布上的幅 值，r 表示与中心的距离 复旦大学硕士学位论文 图1 _ 3 振荡系统中光学局域结构( a ) 三维空间孤子，在简并光学参量振荡 系统的数值模拟中得到，( b ) 三维涡旋孤子环，在光学参量振荡 系统的数值模拟中所得 在这篇论文中，我们将从光折变振荡器的多模耦合理论出发，解析并结合数值 模拟，对单向环形光折变振荡系统的时空特性作以下几个方面的研究： i )非简并状态下的光折变振荡输出( 第4 章) i i ) 简并或准简并状态下的时空不稳定性，包括周期、非周期性及混沌现象( 第 5 宣) i i i ) 对光折变振荡器中光学涡旋运动特征的初步探讨( 第6 章) 光折变振荡器时空特性研究徐炯 第二章光折变振荡器理论基础 一般说来，在诸多光学系统中均匀平面波理论”l 已能够有效地描述波在介质中 的物理过程以及在光学谐振腔内的传播特征。但如果考虑光场的横向分布或横向效 应时，平面波理论将遇到些无法解决的困难，因为它忽略了以下几点因素：由 于光场的有限横向截面和光场振幅及相位的径向变化所引起的衍射。 当腔有球面 镜组成时所引起的波前弯曲，从而改变边界条件。与平面波模型中光场均匀分布 不同，增益介质上的横向光场分布存在一定结构横向模式。本章节将给出考虑 了多模相互耦合的自洽场理论，它能较好地解决平面波理论所遇到的困难。 2 1 环形腔的空腔模式结构 本文研究单向环形光折变振荡器，如图2 1 所示，由三块反射镜组成，m l 是 全反射球面镜，m 2 为半反射球面镜，透射率为r ，m 3 是全反射镜。光折变增益 介质长度，腔总长度人( a f ) 。 图2 1 单向环形光折变振荡器示意图 在旁轴近似下，偏振光场可描述成 e 。= e 。( ，z ，f ) = 4 。o ，五，) e x p 【f g 。z 一。，) 】 其中z 是光场沿光轴方向传播的坐标，是径向坐标。 代入波动方程 v 2 玩) 专等玩晒) = o 复旦大学硕士学位论文 可得 v m 畅七警+ 等+ 等= 。o z0 z 。0 t 由场包络沿轴向慢变近似吣1 9 ：0 2 a ，瑟2 = 0 以及稳态条件：a 2 a 。a t 2 = o ， 可得： 其中 v i 。+ 2 i k o a 一, ：o 傀 v i = 生o r 2 + 了1 石0 + 专著 引入变量：，7 = 人，p = ( 斋) 啦r ( 其中 = 2 牙女) ，则有 等= 丢( 茜+ 上p 参+ 丢p 鲁卜 a j 74 l 口p 2劬 2 a 矿2j ” 其解为： 砒刊鸣胁删) 趔坳) 南【焉f 高q 【焉 e x p 【_ 南蚓f 【为一( 2 p + l + l 胁唧) 这是一个正交完备解集，即： r 4 却f 彳；，o ，仉办) p 咖= 西 正因如此，可用空腔本征模的叠加来表示系统中的光场。 其中 fl 芴，：0 研o ( 声) = 1 ；s i n l # ，l 0 , i = 1 【i i c o s ， 0 , i = 2 光折变振荡器时空特性研究徐炯 枷，= 南等 爿，拉盖尔多项式 d ( 玎) = i 【l 十( 叩确) 】_ ，表示位置叩处的光束腰宽，r ，为束腰参数 “( 叩) = 三( 7 7 卜矿) ，表示波前的曲率半径 当只考虑r = o 处的模函数时，可简单表示为 。= 去辟眇) e x p 2 ) 厶胁) ：誓萨 南降) e x p 嗍 q ” 其中p = p 矾。 2 2 多模耦合方程 我们在单向环形光折变振荡器的多横模耦合理论基础上2 0 , 2 u ，给出多模耦合方 程。方程的推导是从m a x w e l l 方程出发的，其中考虑了介质极化率的二阶非线性项。 我们把泵浦光( 外加介质上的光场) 昂与信号光( 振荡输出的光场) e 写成： e ，= 月，e x p i 讧，f q f ) j 托c e ，= 一。( ，f ) e x p 眩f q 叫+ 跚 其中不考虑泵浦光的横向分布。另外，假设关学系统满足以下几点： i ) 光场单向传播，且同向偏振； i i ) 弱场近似，即有，= e ，e ，= e e ，忽略泵浦光损耗，振幅恒定a 结合波动方程： v 2 n 7 1 可0 2 e = 等等 以及物质方程 j p ：生土e 复旦大学硕士学位论文 n = ”o + a n 及光场边界条件即可得到弱场条件下的多模耦合方程即】： a e a t = 一七 ( s 。+ 翻：一么。) 一2 c 览】 蛾o t = - y 。_ ( 1 + 鸠k 一乜+ 丕( 帆。b l l 1 2 ) ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) 推导详见文献呛如。其中e 。，只分别与光场及其感应光栅的空腔本征模展开系数有 关。m 表示不同的模式。其它参数： 女= ( c t ) ( 2 a )腔的驰豫速率 n = 1 光折变介质的驰豫速率，t 。为介质的驰豫时间 g 卅= 1 + 办其中以是唯象引入的衍射损耗 口：= ( 国。一。) k。m 是模式的空腔谐振频率，u 。参考频率， 一般取某一模式( 称其为参考模式) 的频率 墨= ( 红- a ，d k。s 是参考模式的实际工作频率 厶：= ( ，一吐) ，九出，为泵浦光频率 2 c = f 6 e x p ( - f 口) 为泵浦参量，其中b = a n ，( 2 万c ) ，o a ) ，a n ，为光折变饱和 系数，0 与外加介质上的直流电场有关的非局域相移。c 。卅与模间频率间隔有关： c 一= 矿e x p r 会。m 一) ( 矿+ 三) 这里，7 是纵向变量。此式反映了模式间相互作用与频率间隔的关系。当考虑简并或 准简并状态，则c 。a 1 。 己。是横模间的空间耦合系数，可写成： 光折变振荡嚣时空特性研究徐炯 m m ，= j p d p f d 玩。瓦：- m ：l ( p ，) 其中瓦( ，) = 哺彳。( ，o k ) ，r 1 是束腰参数。 在光折变振荡器中k n ，可作绝热近似a f ，l o t = 0 ，于是由( 2 2 a ) 可得： e 二= ( 彳。+ 旧。) p m ( 2 3 ) 代入( 2 2 b ) 得： 鲁= 吼 ( 1 + 么：k 一+ 蛾溅+ 蚤敏恍。q ，k + 嘎k l ) c z 其中 “。：( 2 c 。g 。一2 c t a 。i ( g 。2 “。2 ) ， b ，：( 2 c ，g ，+ 2 c 。厶。) b 。2 + 厶。2 ) ， d 。= 厶一以= 慨一c o ) k ， d 。= a 。2 + b 。2 ，己= 只e ， 2 c 月= r e ( 2 c ) ，2 c = i m ( 2 c ) 便于数值计算和模拟，引入只= 彳。+ f y 卅，方程( 2 4 ) 可化为： 警= 卜一慨+ k 一最k 一磊吒鸭。乙k _ 一) ) ， 警= 陋一毡k 十一喊一磊敏一q 。k 皈厶+ 厶_ ) ) q5 其中 m = j 。2 + l 2 ， f = n f ( 2 5 ) 式即为数值模拟的基本方程。通过此式可以求得各模的光强 i m = e m e m = j 。d m 8 壅星奎兰壁主堂堡垒苎一 及总的光场强度分布 1 ( p 棚= 弘孔脚l 2 。 ，) = i e ，瓦( 户，声) l o 9 光折变振荡器时空特性研究棣炯 第曼章数值模拟 在过去的几十年里，随着计算机和计算方滋的飞速发展，计算模拟融逐步成为 瓣学骚究豹大缝成蘸分一一不仅开露疆全耨翁学辩领域( 弱熬：蒙特卡罗方法， 分子动力学，快速傅里时分析) ，发现了许多新奇的物理现象( 如：a l d e n 涡旋) ， 憨翌在骥论窝实验土豁掇出了缀多其骞灌要意义豹翊嚣( 弼热：德淹、奄啜g l 予、 神经网络等) 。 剩髑裹控熊诗算技术( 包揍疆 每、软传鄹算法) ，霹潋慰毅磷究豹对象进霉数毽 模拟和动态显示，获得由实验很难得到甚至得不到的结果。在许多情况下，由于理 论模型十分复杂，或者试验费斌霸贵甚楚不能遴短试验，计篓模数裁成为惩决阏题 的唯一戏主要手段了。程本文研究的工作中，幽于需要解决的筑组复杂的非线性 方程，如方程( 2 5 ) ，要等求其瓣捱鳃几警是不阿能妁，获以我嚣l 偌动了羧僮模拟豹 方法。 3 ， 数筐模拟滚程 豳3 i 数值计算流程 复旦大学硕士学位论文 一般地，用计算机来模拟一个实验系统需要这几个基本步骤：建立数学模型； 寻找合适算法：编程；计算并分析结果。完整的流程如图3 1 所示。 其中，从m a x w e l l 方程出发，结合边界条件与物质方程建立数学模型这一步骤 在第二章已有详述。接下来就要针对方程组方程组( 2 5 ) 选择合适的常微分方程初值 问题求解的算法。考虑到方程组( 2 5 ) 的非线性，在迭代过程中可能出现对初值的敏 感( 这在后来的多模振荡模拟中观察到混沌而得以证实) ，我们选择了强鲁棒、高精 度的变步长龙格一库塔( r u n g e k u l i a ) 自适应算法。 3 2r u n g e k u t t a 算法 龙格库塔( r u n g e k u t t a ) 方法是一种在工程上应用广泛的单步算法。其算法精度 高，并采取了对误差进行抑制的措施。对于一阶精度的欧拉公式有： y i + - = y j + h x k k i = f ( x i ，y i ) 其中f ( x i ，y 。) = y ( x b y i ) 。当用点x i 处的斜率近似值k 1 与右端点x i + 。处的斜率k 2 的算术平均值作为平均斜率k 的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式： y i + t = y i + h x ( k l + k z ) 2 k 1 = f ( x i , y o k 2 = f ( x i + h , y i + h x k 0 依次类推，如果在i r i 司 x i ，x i + 1 】内多预估几个a y - 的斜率值k l 、k 2 一k 。， 并用他们的加权平均数作为平均斜率k 的近似值，显然能构造出具有很高精度的高 阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格一库塔公式，也就是在工程中 应用广泛的经典龙格一库塔算法： y i + ，= y i + h x ( k l + 2 x k 2 + 2 x k 3 + 弛) 6 k t = f ( x i ，y i ) k 2 = f ( x i + h 2 ，y i + hxk d 2 ) k 3 = f ( x i + h 2 ，y i + h x k 2 2 ) 磁= f ( x i + h ，y j + h x k 3 ) 光折变振荡器时空特性研究捺炯 3 3 耦台系数的计辣 在多模联合瑷论孛，攮囊勰合系数楚一个羹簧参数，它在很大程度上影响了兜 拆变振荡器的输出特征。耦合系数计算公式 2 # 瓦一。= p 和解瓦墨乏如，彩 00 筵孛夏必g u a s s - l a g u e r r e 型援函数( 参见第2 1 章节) ，从中可见这跫一令嚣零 艇杂的积分函数，要求出其解析解一般楚不可能的，因此只能以数值积分的方法求 瓣。 乍舞镪子，黻下绘邂5 模耩合系数麴诗冀绥莱，并糖魏对藕合系数绱主要褥征 及物理含义加以论述。 由于耦合系数己。，：。是一个三维数组，所以用一系列的矩阵表示： 0 3 1 8 3 l0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 4 ) 往0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0o 1 5 9 1 5 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 一l 建露0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 7 9 5 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 3 9 7 8 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 5 9 1 50 0 0 0 0 00 0 7 9 5 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 3 8 7 30 0 0 0 0 0o 0 4 8 7 3 q 0 0 0 0 00 0 4 8 7 30 0 0 0 0 00 0 7 9 5 7 0 0 0 0 0 00 湖0 00 0 3 4 4 50 0 0 0 0 0 0 0 7 9 5 70 0 0 0 0 00 o o 0 0 00 0 0 0 0 0 娃0 0 0 8 0 龟11 9 3 6 魏鞫0 0 00 0 4 8 7 3 0 0 0 0 0 00 0 4 8 7 3o 0 0 l 0 0 00 0 9 9 4 7 o 0 3 4 4 50 0 0 0 0 0 & 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 ( 娃) ( 1 i i ) 羁 豳 鞫 k。k 嘴 哪 粼 邺 粼kkk一。一k。l霎k m h rr疋l矗 m 站 m m m kbkb瓦 他 瞳 糟 艟 糟兔r毛kk kkkkk 竹 m m 协瓦etl 。k。 蚴 搬 黝 戤 k：kkjr。k 柏 持 柏 ；啦x憾恤jt笠；m 复旦大学硕士学位论文 r o l 。 r 2 。 r 3 。 r 4 3 3 3 0 0 3 9 7 80 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0o 0 0 0 0 c o 0 0 0 0 00 0 7 9 5 70 0 0 0 0 0n 0 0 0 0 0o o o o o q o 0 0 0 0 0o 0 0 0 0 0o 0 9 9 4 70 0 0 0 0 00 0 4 3 07 l( i v ) 0 0 0 0 0 0q 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0o 1 4 9 2 0o o o o o c q o 0 0 0 0 0n 0 0 0 0 00 0 4 3 0 70 0 0 0 0 00 0 8 7 0 1 o 0 19 8 9n 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0q 0 4 9 7 30 0 0 0 0 0o 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0o 0 0 0 0 0n 0 7 4 6 0o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 口0 0 0 0 0 拐0 0 0 0 0 口0 8 7 0 3 0 0 0 0 0 0q 0 0 0 0 0n 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 ( v ) 其中m l ，m 2 ，m 取0 , 1 ，4 ，表示模式的角向角标( 本文只考虑径向角标为0 的 横向模式) 。 考虑到耦合系数表示了不同横向模式之间的耦合或交叉程度，从所列数据( 皆 是保留6 位有效数字的近似值) 可以看出如下特征： i ) 矩阵( i v ) 的对角元都相对较大一般为大于0 小于1 的值，而非 对角元一般很小，说明只有当m l = m 时，模式间的耦合作用才可能比较 大； i i )在矩阵( i v ) 的对角元中，即m l = m 时，模式角标m 2 的值越是与m 接 近，矩阵元的值越大，由可见此，两个相互作用的模式m l ( m ) ，m 2 越是邻 近，耦合越强； 以上对耦合系数特征的归纳与分析，有助于我们更深刻地理解多模耦合振荡的 输出特性( 参见第4 章) 。 3 4 对数值计算的验证 在数学模型的程序化这一环节里，往往会产生一些意想不到的差错。要消除未 知的差错，一方面须在编程阶段就注意合理的模块化，以便后来的调试、检验，确 定具体错误；另一方面，如有可能可由解析特解与数值计算的结果比较来进行验证。 在本论文中，我们从多模耦合方程出发，求出单模输出的定态解析解，以便与 “1u19 o 0 o 0 5 o o o o o o o 0 o 3 0 o 0 0 1 n n n n n kk o o o 0 ok 光折变振荡器时空特性研究徐炯 数值解对比，从而对数值模拟的正确性给予了一定的验证。 对于单模振荡，参考频率。可直接取该模的空腔谐振频率，从而我们有 口：= 0 ，厶= ( c o ，一。) 。这时甜：即指该模式的实际工作频率。由此( 2 2 ) 式可 化为： o e o t = 一七 ( g 。么，) 一2 c p m 】 ( 3 1 a ) a s , a t = 一y 【( 1 + i ：弘乙一e 。+ 己。e 。，。j ( 3 1 b ) 令o e 。f o t = 0 ，a 只o t = 0 ，则可得定态输出的光强： 1 2 = ( 1 1 4 ) 。 ( 3 2 ) 其中“。：( 2 c 。g m 一2 e 厶。) g ，2 + 厶。2 ) 。i v 卅脚。与横模的空间占有相关，由第3 3 章 节的结果可知，模式阶数越高( 也即m 大) ，它的值越小。 简单计，考虑瓦输出：碍= ( 1 - 1 & ) ，又由前面计算知r o o o o = 0 3 1 8 3 1 ， 所以它的最佳输出条件是4 = ( 2 g g o 一2 c ，a 。y k 。2 + 如2 琦最大值；若以该模式的失 谐量为自变量，由极值条件： g 斧+ 4 卜i 。2。2j 可得a o = ( c r c ，一b ) g o ，其中6 = a n ，( 2 ，r c - ) 以- 后a ) 。代入泵浦参数，化 简得： 毡= t a n ( 号- 詈) 】岛 ( 3 3 ) 取系统的各参数：g o = 1 ，光折变饱和值= 1 6 2 x 1 0 - 6 ，波长a = 1 0 x 1 0 m ，非 局域响应的相移护= 0 ( 加直流电压) ，反射率r = 0 8 ，腔长a = 2 m ，光折变晶体长 度，。= o 0 2 m ，响应时间f 0 = l s ，得到a 。= 1 0 1 7 8 7 6 ；所以可求得在此参数设置 下i o 一= 0 0 5 5 。然后，我们在建立的模拟程序中设以同样参数条件，计算得到瓦输 出最终稳定在0 0 5 5 的值上，与前一结果相同。 复旦大学硕士学位论文 以此步骤比较其它单模输出结果都显示数值解和( 3 2 ) 式的解是一致的，由此 我们可以确定所建程序是正确的。 光折变振荡器时空特性研究徐炯 第四章非简并的多模振荡 从( 2 4 ) 式可以看到，模一模之间的横向空间耦合程度与瓦。和c 。的乘积 有关a 其中c 的值与模一模频率间隔有关，当各横模间的频率很小时，即简并或 准简并情况，c m 。z1 ；当频率间隔较大时，巴。= o ，即非简并隋况a 以下先讨论 - 篓e = ( a o 一比如一巩k 一吾k 吼似m 蝴) ， ( 4 1 ) 鲁= 慨一_ ：k + k 一1 减一善瓦。，见己阪以+ 以) 。 可见非简并时，不同横模瓦与瓦仍有耦合，耦合程度与l o 。有关。由3 3 章 节的计算表明：当m = 时，0 。，= 己。最大；当册m 。，有只。，。 。， 并且随m 与m 的差距增大而减小。换言之，模式阶数m 与r c t 相差较大时 只，。“i 。，横向耦舍效应很弱，以致可以忽略；模式阶数m 与硝邻近 己。卅卅 朋。，横向耦合效应较强。以下分别讨论这两种情况。 4 1 无耦合振荡的解析解 首先讨论模式阶数相差较大的情况，即有己。埘 ( 2 口。y ) ，则可得到模式五。的稳定光强输出： 譬= 疋( 口。+ 】) 】= ( 1 1 一，) 瓦。可见在只。，。 瓦的条件下， 各模的行为与第3 4 章节中单模振荡的情况相同。 4 2 两模的耦合振荡解 当横向模式五。与页m ，邻近时，则有己。0 。，模一模间的横向耦合效应不 可忽略。此时由( 4 1 ) 式得到： 等= a ，l 一莓q 。己l ( 4 4 ) 其中绒= t 。k 彳。，= 2 y f ，上式即为l o t k a - v o l t e r r a 方程，与激光器中描写 多模竞争的方程形式相同。为简便，以下考虑两个振荡模式的情况，于是有： 睾咆t 也露驰，( 4 ；) 等= 只一瓯。 m 己一绋。露 令舐坩f = 玩，a f t = 0 ，可获得如下四组稳态解： 当a 。 0 ，口“ 0 ，口：。 ( 2 口，n ) - l ， 显然 中。= 2 ( 风朋。一厶2 ) ，1 r + e o n s t ， 于是 o 。= 2 ( 4 。一2 ) ， 复旦大学硕士学位论文 而；+ 击。即为模式的实际工作频率矾。如果要得到稳定的斑图输出，则要求 击。= ( b ，代入爿。、得： 墨旦：牟( 5 2 ) g 。a 。 其中g 。= 1 + d 。，! ，= 如+ m 5 ( 这里取五。模为参考模式，占为模式的频率间隔) 。 上述结果表明，当系统参数d 。、氆、艿等取合适的值，使( 5 2 ) 式成立，则各模 的实际工作频率相同，从而有稳定的斑图输出。当然由于上述结果是在非简并无耦 合条件下得出的，因此，这种稳定输出并不是真正意义上的合作频率锁定。但下面 对模一模之间存在耦合的情况，即简并条件下对( 2 5 ) 式的数值模拟结果表明，( 4 | 3 ) 式给出的条件对是否出现稳定的斑图输出仍有重要的指导作用。 对于简并情况，作为例子，我们模拟三个模式夏、互、互的振荡，邻近模式频 率间隔占= 0 0 0 1 ；衍射损耗d o = 0 0 ，d = 0 0 0 1 ，d 2 ；o 0 0 2 ：光折变饱和值 a n 。= 1 6 2 1 0 “，波长a = 1 o 1 0 。卅，反射率r = o 8 ，腔长a = 2 m ，光折变晶体 长度= o 0 2 m ，响应时间o = l s ，非局域向移口= 0 ，参考模式的频率失谐量战与 我们此前工作中的取值相同，即取互模输出最大时所对应的失谐量 厶。= t a n 婿- 导) 】g 。= 1 ( 参见第3 4 章节) ，此时系统参数满足( 5 2 ) 式给出的条件。 计算显示各模光强最终稳定( 如图5 1 ( a ) ) ，在横向光斑上也得到稳定的输出( 如图 5 1 ( b ) ，其中白色处代表光斑最亮部分，黑色代表最暗部分) 。在此基础上改变模式 频率间隔巧，即偏离( 5 2 ) 式的条件，这时我们发现当o 0 0 3 占 表示时间平均。图5 3 d 是对5 模振荡输出最 2 8 复旦大学硕士学位论文 终计算与分析的结果，其中，定义相关阈值c 。( ，) 0 6 ，也即如果光场横向分布 上的点r 与r l 的强度相关函数值大于0 6 ，则认为它们相关：把满足定义的空间点填 以同颜色即得相关分布图：基本由6 块不相关区域构成。与一般的非线性系统发 生弱湍流类似，在光场分布上可以用相干长度与分布空间尺度的比值来反映其分布 的复杂性孙。有启发性的是可以把这些不相关区域视为一种粗粒子，其尺度即为 相关长度。对于本文的情况，如果也要用这种比值，显然只能是一种平均，并可表 示为l n ，其中n 是不相关区域的个数。n 数越大该比值越小，说明空间分布越 复杂：而当n = 1 则说明相应的物理量在空间上是完全相关的，即为一般的时间混 沌。因此用不相关区域的个数更能普遍地来衡量空间分布的复杂程度，尤其是在时 空混沌不太强烈的情况下。我们知道，在单模输出时光场的横向分布是稳态的，也 就是完全相关的，即n = 1 ；而图5 3 d 显示5 模振荡中n = 6 ，显然，此时由于振荡 模式数的增多使得光强空间分布复杂化了可认为在多模耦合振荡的不稳定输 出中出现了时空混沌。同时，我们进一步计算了相同参数设置下1 0 个模振荡的相关 情况，结果如图5 3 e 所示：不相关区域的个数变成n = 1 7 。因此，我们认为在多模 耦合振荡中，随着振荡模式数的增多光场分布的相干长度将会变小，换言之，光场 空间分布复杂化了。 对于进入混沌的途径，在以前的工作中口1 ，观察到通过改变失谐而由阵发导致 的混沌；而当改变其它参数例如衍射损耗，我们发现系统还会由倍周期分岔进入混 沌。取光折变饱和值为1 1 。= 1 6 4 x 1 0 一，波长2 = 1 o 1 0 。m ，反射率r = 0 8 ，腔 长人= 2 m ，光折变晶体长度，= o 0 2 m ，响应时间f 。= l s ，非局域向移0 = 0 ，模拟 5 个模式振荡。对于衍射损耗，取d m = m - d 。，改变d 。分别取 o 0 i 0 0 0 6 0 0 0 6 5 1 0 0 0 9 ，各与图5 4 的a 、b 、c 、d 对应。观察瓦模的强度变化( 图 5 4 左列) ，及其相空间轨迹( 图5 4 右列) ，则可清楚看到瓦模从a 到d 经历不断的 倍周期分岔而走向混沌：a 显示模式强度做单周期振荡，其相迹a 运动在单周期极 限环上：b 、c 分别为2 周期和4 周期振荡；而d 显示出混沌运动，相迹d 是混沌吸 光折变振荡器时空特性研究徐炯 引子。 ( a ) j ( b ) 苎 j ( c ) ( d ) r i m e ( s ) 图5 4 夏模由倍周期分岔进入混沌的过程。( a ) d f0 0 1 ，( b ) d o - 0 0 0 6 ， ( c ) d o = 0 0 0 6 5 ，( d ) d f0 0 0 9 ，其中左列表示忑模的强度随时间的 变化：右列表示互模的相迹图。 复旦大学硕士学位论文 此外，在寻找系统振荡通向混沌的途径时，我们观察到，当改变失谐大小时， 系统倾向于由阵发进入混沌，而当改变模式的衍射损耗，系统则倾向于由倍周期分 岔进入混沌。 光折变振荡器时空特性研究徐炯 第六章光折变振荡器中的光学涡旋 与流体系统相似，大多光学系统的横向光场分布上也存在缺陷和畸区，也即对 称性破缺后形成的斑图。这种斑图结构一般由光学涡旋( 又称相位奇点) 、明暗孤子 的畸变阵列构成；它们因为具备一些类似粒子的有趣性质而正引起研究者的广泛兴 趣。对这类缺陷的研究，一方面有助于理解基本的非线性现象，另一方面在光通信 领域还存在较好的应用前景。 6 1 光学涡旋的一般特性 所谓光学涡旋是光束横截面上的相位以螺旋式围绕中心变化的光场，在光传播 过程中涡旋中心稳定，故称光学涡旋孤子若考虑一闭圈，逆时针绕暗斑中心一周， e 。= 4 e ，le 坤的相位变化妒是2 石的整数倍： = ( 1 v d l = 垃m 石， 其中m 为正整数，称为拓扑电荷数。图6 1 是一个m = 3 的光学涡旋示意图，其中彩 色区域表示渐变的光场相位，栅格表示光强分布。 图6 a 光学涡旋示意图 在实验上发现光学涡旋的自发产生、湮灭是正负成对的，从而在光场随时间的 演变过程中保持拓扑电荷的总数守恒。而且有研究表明，在许多光学系统中涡旋的 复旦大学硕士学位论文 运动遵守角动量守恒的规律。 6 2 光折变振荡器中的光学涡旋 在n rh e c k e n b e r g 等人的研究中卸，首先发现了圆面镜腔模( 如g u a s s l a r g e r r e 模) 的线性迭加中存在光学涡旋；他们认为光学涡旋的运动来自不同模式间存在频 率差异。我们从耦合方程出发，考虑模式间横向效应，对这一现象进行具体的计算 机模拟研究，并给出一些新结果。 我们在这里给出模式互、互起振时出现的稳态光学涡旋。这两个 g u a s s - l a g u e r r e 模式表达如下： 五( p 。，) = 每2 p e x p ( 一p 。) c o s 庐， v 石 _ 2 ( p ，) = 2 户( ) ”2 e x p ( 一p “) c o s 2 妒， 吖石d 设定模式频率间隔为占= o 0 0 1 ：衍射损耗以= m d o ( 矗= o 0 0 1 ) ；光折变饱和值 a n ，= 1 6 2 1 0 一；信号光波长a = 1 0 x 1 0 一：圆面镜反射率r = o 8 ；空腔长度 a = 2 ；介质厚度，= 0 0 2 m ：介电弛豫时间= l s ：非局域相移目= 0 ；参考模 式的频率失谐量。= t a n ( 一手) k 。= i ，即取7 - o 模输出最大。计算结果显示在此 条件下的系统输出是稳定的，如图6 2 a 所示。通过计算光场的横向分布可以得到 斑图结构及相应的相位分布，见图6 2 b 和图6 2 c 。从中可以清楚地看到在标有方 格的两个暗斑区域一周的相位积分为2 厅，换言之，这里存在一对1 阶正负拓扑 电荷的相位奇点。注意到上面给出的空腔模式函数形式中并未预先嵌有涡旋电荷 ( 一般可表示成i 五一i e x p i ( 2 m 石) 的形式) ，所以可认为观察到的光学涡旋产生于 系统的起振过程( 见图6 2 a 的阴影部分) ，它们是模式互和夏迭加的结果。另外， 在这一情况中，虽然模式间的频率闻隔不为零( 万= o 0 0 1 ) ，但输出的光学斑图最 终是稳定的，也即涡旋没有运动，这是前面讨论的由于系统的横向耦合与非线性 效应导致起振模式发生了频率合作锁定。 光折变振荡器时空特性研究徐炯 ( a ) ( c ) 图6 2 稳定的光学涡旋偶极子，其中起振模式互、互。( a ) 模式强度随时间的变化，阴 影区是不稳定的瞬态过程，无阴影区发生频率锁定。( ”光场的横向分布，其中标 有格子处存在涡旋偶极子。( c ) 相应的光场相位分布 复旦大学硕士学位论文 * t 藻 ( a )( b )( c ) 图6 3 形成相位奇点的示意图。( a ) ，( b ) 表示模式以和一。的相位奇 线，( c ) 表示奇线迭加融台后形成相位奇点 在g u a s s - l a g u e r r e 模中，我们认为光学涡旋的出现是由于不同横模的相位奇线 相交、融合及分岔而导致的。当单模瓦稳定后，光斑是c m 对称的。对应的相位分 布则是d ：。对称，且被m 条奇线均分成梯田状，相位奇线对应光场的暗线，两边存 在土厅的相位差( 见图6 3 a - b ) 。当若干模式同时被激活，不同模的相位奇线就极可能 发生相交，又由于模一模的横向耦合效应使得奇线融合或分岔并不在通过光场中心， 从而形成孤立的相位奇点，即光学涡旋。图6 3 c 是模式互和五共存的稳态输出中 所得等相位线，它显示了互的相位奇线厶、三：偏移到厶、工：分别与五的相位奇 线厶、厶相交、融合，从而产生了两对1 阶拓扑电荷的相位奇点( 图6 3 c 记号“”、 “+ ”) 。 斑图稳定也就存在稳定的光学涡旋，但若斑图有不稳定的时空行为，光学涡旋 的产生和湮灭将伴随着合并、分裂和蠕动而频繁出现。光学涡旋的种种动力学行为 根本上来自于模式强度的交错起伏和相位变化的不同步。在多模振荡的过程中，一 对涡旋的产生通常是由于此时某个受抑制的横模得以生长，该模的相位奇线渐渐凸 现出来，从而与已存在的相位奇线相交、融合，导致新的相位奇点产生。这种产生 过程有两个显著的特征：一是拓扑电荷相反的相位奇点成对出现( 或成对消失) ；二 是光斑中央的相位畸变，沿某对相位奇线拉伸变形后分裂出一对拓扑电荷相反的相 位奇点，并在相位奇线上相反地蠕动( 见图6 4 ) 。在前一特征里，g u a s s - l a g u e r r e 模的对称性是决定因素：光强分布的对称关联着相位分布的对称，满足d 。对称， 光折变振荡器时空特性研究徐炯 所以在d ： 对称轴的左右总是同时发生反宇称事件，由相位奇线相交引起的光学涡 旋也就有反宇称性成对且拓扑电荷相反。后一特征，即沿某一对相位奇线蠕动 的原因在于振荡模拟中，存在一个强度占主导的模式，并可能伴随若干模式的相位 奇线在同一位置重叠，致使该处奇线深度加大，奇线之间的融合、分岔不能改变其 形状，而只会改变在该奇线方向上相交的位置，也即光学涡旋的蠕动。模拟5 个模 式不稳定