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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 不确定连续系统的鲁棒保成本控制 摘要 本文针对同时具有参数不确定性和非线性摄动的连续线性系统，利用 l y a p u n o v 稳定性理论进行鲁棒稳定性分析，并给出相应的鲁棒保成本控制 器存在的充分条件和设计方法。将具有参数不确定性的连续系统保成本控 制已有的研究结果扩展到更一般的不确定系统之中。具体包含以下内容： 1 不确定连续线性系统的鲁棒保成本控制 研究同时具有参数不确定性和非线性摄动的连续系统的鲁棒保成本控 制问题。假定系统中不确定参数满足范数有界不确定性、强结构不确定性 和矩阵多胞型结构不确定性，非线性摄动是状态的一般的非线性函数，但 满足范数有界。针对这三种参数不确定性情况，利用l y a p u n o v 稳定性理 论，结合一些不等式，分别给出相应系统的无记忆状态反馈鲁棒保成本控 制器，该控制器可使系统鲁棒稳定并傻二次型成本函数满足一定成本指 标，且控制器的设计基于线性矩阵不等式的可行解，并给出对应数值算例 加以验证。 2 不确定时滞连续线性系统的鲁棒保成本控制 研究同时具有参数不确定性和非线性摄动的时滞连续线性系统的鲁棒 保成本控制问题。针对上述三种参数不确定性和非线性摄动模型，其中非 线性摄动是状态和时滞状态的一般非线性函数。通过运用l y a p u n o v 稳定性 理论，结合已有的不等式技巧，分别导出相应系统鲁棒保成本控制器存在 的充分条件，并给出相应的有记忆状态反馈鲁棒保成本控制器设计方法， 其中的控制器参数可由l m i 的可行解给出，最后针对所得到的各个研究结 果分别构造了相应的数值算例，算例结果验证了本文所给出的鲁棒保成本 控制器设计方法的有效性和可行性。 关键词参数不确定性；非线性摄动；保成本控制；线性矩阵不等式 ：至至翌三查兰翌兰要圭兰釜丝三 r o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo ft h e c o n t i n u o u ss y s t e m sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mo f t h eu n c e r t a i nc o n t i n u o u sl i n e a rs y s t e m si ss t u d i e db yl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y t h er o b u s ts t a b i l i t y i sa n a l y z e da n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h em e t h o do f d e s i g nf o rt h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ra r eg i v e n t h er e s u l t st h a t r e g a r d i n g t h e g u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lo fc o n t i n u o u sl i n e a r s y s t e m s w i t h u n c e r t a i np a r a m e t e r sa r ee x t e n d e dt ot h em o r eg e n e r a lu n c e r t a i ns y s t e m s 1 t h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h eu n c e r t a i nc o n t i n u o u sl i n e a r s y s t e m s t h ep r o b l e mo ft h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h ec o n t i n u o u sl i n e a r s y s t e m sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni ss t u d i e d i ti s a s s u m e dt h a tt h eu n c e r t a i np a r a m e t e r sa r eo fn o r mb o u n d e du n c e r t a i n t y , m a t r i x p o l y t o p es t r u c t u r e du n c e r t a i n t y a n dh i g h l ys t r u c t u r e du n c e r t a i n t y , a n dt h e n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni st h eg e n e r a ln o n l i n e a rf u n c t i o no ft h es t a t e ，w h i c h s a t i s f i e sn o r mb o u n d t h ec o r r e s p o n d i n gr o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rw i t h m e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c ki sg i v e nf o rt h r e ek i n d so fs t r u c t u r e du n c e r t a i n t y r e s p e c t i v e l y , w h i c hc a nm a k en o to n l yt h es y s t e m sr o b u s ts t a b i l i t yb u tag i v e n q u a d r m i cc o s tf u n c t i o ns a t i s f ya c e r t a i nc o s t ，a n dt h ed e s i g no fc o n t r o l l e ri s b a s e do nt h ef e a s i b l es o l u t i o n so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，t h e nt h e c o r r e s p o n d i n ge x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ec a s e 2 t h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h eu n c e r t a i nt i m e - d e l a yc o n t i n b o u sl i n e a rs y s t e m s t h ep r o b l e mo ft h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h et i m e - d e l a yc o n t - i n u o u sl i n e a r s y s t e m sw i t ht i l e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s a n dt h en o n l i n e a r p e r t u r b a t i o ni ss t u d i e d f o rt h em o d e lw i t ha b o v et h r e ek i n d so fu n c e r t a i n t ya n d n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n ，t h en o n l i n e a rp e r t u r b a t i o ni st h eg e n e r a ln o n l i n e a r f u n c t i o no ft h es t a t ea n dt h et i m e d e l a ys t a t e t h ec o r r e s p o n d i n gs u f f i c i e n t - - 氅至篓墨三銮：垩：篓圭兰垒釜銮 c o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo ft h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r si s o b m i n e d ，a n dt h ed e s i g nm e t h o do ft h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r sw i t h m e m o r ys t a t ef e e d b a c ka l eg i v e n ，w h e r et h ec o n t r o l l e rp a r a m e t e r sc a nb eg i v e n b yt h e f e a s i b l es o l u t i o no fl m i s ，b yu s i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n d c o m b i n i n ga p p r o p r i a t e m a t r i x i n e q u a l i t yt e c h n i q u e f i n a l l y , t h e r e l e v a n t e x a m p l e sa r ec o n s t r u c t e df o rt h er e s u l t so b t a i n e d m o r e o v e rt h ea v a i l a b i l i t ya n d t h ef e a s i b i l i t yo ft h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o da r e v e r i f i e d k e y w o r d sp a r a m e t e ru n c e r t a i n t y ；n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n ；g u a r a n t e e d c o s t c o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ) 7 ( l m i ) m 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文不确定连续系统的鲁棒保成本 控制，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或 撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：琢f 请塘日期：蜘年j 月7 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 不确定连续系统的鲁棒保成本控制系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学 所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电 子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 日期：捌年3 月口日 日期：埘年3 月脂日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 1 1 1 课题来源 第1 章绪论 本课题属于理论研究范畴，主要研究具有参数不确定性和非线性摄动的连 续无时滞和时滞系统的保成本控制。 1 1 2 课题研究的目的和意义 近年来，不确定系统鲁棒二次镇定和鼠，控制研究取得了很大的进展，但 是在实际工程控制领域中，对一个实际控制系统，仅仅要求它具有稳定性是 远远不够的，还必须考虑和系统有关的相关成本指标，因此，往往要求设计 一个既能够使动态闭环系统具有一定稳定鲁棒性，又能使闭环系统的成本函 数值不超过某个确定上界的控制律，这是一个很有实际意义的问题，这种控 制问题就是保成本控制( g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l 简称g c c ) 问题。 在实际工程控制领域中，由于各种工业生产设备、运输系统以及其他众多 的被控对象，它们的动态特性一般都难以用精确的数学模型进行描述，同时又 不可避免地存在着各种各样的误差，因而任何一个动态系统都或多或少地带有 一些不确定的因素。此外，随着工业生产当中控制系统的零件的损坏或老化、 工业生产环境的变化，被控对象本身的特性也会随之发生变化。总之，众多混 杂的因素都可能导致我们所建立的数学模型和实际的被控对象之间存在着或大 或小的误差。还有，许多实际控制系统的发展趋势不仅与现状有关，而且与过 去的历史有关，这种现象被称为滞后现象，例如传染病的潜伏期、弹性力学的 滞后效应、网络传输和排队的时延等，时滞可能是定常的、己知的或是时交、 未知的，即时滞现象也是广泛存在于工业生产过种中的一种不确定因素，除此 之外，在实际工业生产中，还大量存在着系统受到外界的非线性摄动的情况。 事实已经证明这些不确定性、大量时滞现象和众多外界非线性摄动的存在是导 致控制系统不稳定和成本指标恶化的根源之一，而保成本控制理论的优点就在 于，保证闭环系统鲁棒稳定的同时又保证了系统不确定性引起的恶化后的成本 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 指标小于事先估计的成本指标上界。 上世纪7 0 年代以来，随着不确定系统鲁棒控制研究的深入，保成本控制 问题受到了人们的极大关注。目前对保成本控制的研究还主要是集中在系统参 数的各种不确定性的结构方面，至今已取得了十分丰富的研究结果，丽对系统 同时具有参数不确定性和外界非线性扰动这方面的研究仍就很少。我们知道， 在工程实际当中，控制系统由于种种原因一定存在着这样或者那样的非线性因 素，而非线性因素与线性因素相比较又复杂得多，难处理得多，虽然这些年 来，许多学者对各种参数不确定性系统保成本控制做了积极有效的探讨，但对 系统中不确定性存在非线性的保成本控制的研究却很少，对系统中同时存在参 数不确定性和非性线摄动的保成本控制的研究则更不多见。因此，这方面的问 题就更有代表性，值得我们进一步去研究。 本课题以同时具有参数不确定性和非线性摄动的连续系统为研究对象，目 的是设计一个不但能使闭环系统鲁棒稳定同时又能使闭环系统满足一定性能指 标的状态反馈控制律。 1 2 国内外关于不确定系统保成本控制的发展概况 不确定线性系统的研究综述 对一个实际系统而言，仅仅具有稳定性还不足以反映系统的本质特征，还 必须考虑它的其它成本指标。当然，对于定常线性系统，线性二次型最优控静j 理论已经揭示了一个适当的二次型成本指标能够反映系统的许多成本要求，但 是该理论是建立在精确的数学模型之上的，相应的鲁棒性较差。因此对于不确 定线性系统设计系统的状态反馈保成本控制器，使得相应的闭环系统二次稳 定，同时还能保证不确定闭环系统的成本指标值不超过某一确定上界，这一思 想，一经提出即引起了人们的极大关注。这一思想，最早可以追溯到1 9 7 2 年， 是c h a n g 和p e n g 【l l 针对自适应控制提出的，从此不确定系统保成本控制便引起 了人们的极大关注。但是在很长一段时间里，这一保成本控制思想所提出的问 题并没有得到很好的解决，直到1 9 9 4 年，由p e t e r s e na n dm c f a r l a n e l 2 1 采用不确 定系统二次镇定的r i c c a t i 方程处理方法，提出了二次保成本的概念，并给出了 最优二次保成本控制律的设计方法，这一思想才得以很好的解决。随着系统规 模不断扩大，复杂性日渐增加，系统中往往会存在时滞现象，也正是由于时滞 的存在往往使得系统的稳定性和成本变得很差，于是在1 9 9 7 年由m o h e i m a n i 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 a n dp e t e r s e n ( 3 ) 将文献【2 】中的无时滞系统的用r i c c a t i 方程方法处理的保成本控制 拓展到了不确定时滞系统当中，并且提出了一种通过解某一参数依赖的r i c c a t i 方程来给出保成本控制律的设计方法。1 9 9 8 年，俞立等人1 4 1 针对同时具有状态 滞后和模型中具有时变参数不确定性的系统，研究了它的保成本控制问题。他 利用l y a p u n o v 稳定性理论，借助于不确定系统二次镇定的r i c c a t i 方程处理方 法，提出了系统存在保成本状态反馈控制律的充分条件，进而证明了这一条件 等价于一个参数r i c c a t i 方程正定解的存在性问题，当该r i c c a t i 方程有正定解 时，给出了保成本控制律的构造方法。以r i c c a t i 方程方法来研究保成本控制的 相关研究成果还有嗍f 6 】【7 l s l g 。虽然r i c c a t i 方程方法在研究保成本控制方面是一个 非常熟知和有效的工具，但是它也有其自身的缺点，缺点在于，当解r i c c a t i 方 程或不等式时，有大量的参数需要预先调整，很难求出问题的解，另外当系统 需要添加一些额外的要求，例如：关于所得到的控制器的结构的限制，关于成 本函数上界的最小值等问题时用已有的r i e c a t i 方程方法很难处理，而另外一种 线性矩阵不等式( l m i ) 方法，可以很好地解决这一难题。1 9 9 9 年，俞立，褚健 o ”利用l m i 方法针对一类参数不确定性满足范数有界的时变时滞系统，给出它 的无记忆状态反馈保成本控制器存在的充分条件，进而得出该条件与一个线性 矩阵不等式组的可行解等价，而且它的解提供了保成本控制器的参数化表示， 这最大的优点就是可以基于此而设计使得闭环不确定系统成本指标值最小的控 制器。同年，俞立本人【i ”又将该方法推广到了不确定离散时滞系统。虽然，在 此之前文献 1 2 】已经研究了一类不确定离散系统的保成本控制问题，通过将保 成本控制问题转化为一个辅助线性时不变系统的 乙控制问题，采用矾，控制技 术给出了保成本控制律的设计方法，但其仍然存在以下问题：保成本控制律存 在的条件仅仅是充分的，不能确定使得闭环不确定系统成本指标值的上界尽可 能小的最优保成本控制律。而俞立的这篇文章针对这两个存在的问题，给出了 有效的解决办法。2 0 0 0 年，l y u 【1 1 针对一类具有范数有界时变参数不确定性的 线性系统和一个给定的二次型成本指标，研究了它的最优保成本控制问题。不 久，陈国定和俞立等【l ”将以往文献所考虑的系统仅仅局限于只有单状态滞后且 滞后时间确定的不确定系统保成本控制推广到了多状态滞后和时变滞后的不确 定系统的情形，采用l m i 方法，导出了保成本控制律的存在条件和参数化表 示，通过求解一个线性矩阵不等式约束的凸优化问题，提出了保成本控制律的 设计方法。同年，x u ea nk e ，s u n y o ux i a n ( ”】讨论了参数不确定性满足多胞型 结构的系统二次保成本控制的鲁棒性问题，给出了一种参数依赖的二次保成本 控制鲁棒界，以及通过优化该鲁棒界来增加二次保成本闭环控制系统鲁棒性的 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 算法和优化步骤。韩安太等“”又给出了多状态滞后不确定系统最优化问题，提 出了保成本控制律的设计方法。2 0 0 1 年，俞立和冯浩【1 刀采用线性矩阵不等式处 理方法研究不确定离散时滞系统的保成本控制问题，提出了无记记状态反馈保 成本控制律的存在条件，并用一个线性矩阵不等式的可行解给出了保成本控制 律的一个参数化表示，有效地克服了在文献 1 8 中存在的得到的控制器不仅依 赖当前信息，而且依赖过去信息。由于状态的增维，导致系统模型的阶数大幅 度增加，从而使得计算量大幅度增加。不能应用到具有未知滞后或具有滞后不 确定的系统当中等缺点。同样，用线性矩阵不等式方法研究保成本控制的问题 也备受研究者们的关注，也产生了一系列很好的结果1 1 9 1 1 2 0 1 1 2 1 】瞄1 口3 】。同年，薛 安克和孙优贤脚1 针对保成本控制没有一种比较一般的理论可以用来分析它的鲁 棒稳定和成本指标的现实情况，通过对具有保成本控制的闭环系统鲁棒性的研 究，将不确定性推广到了矩阵多胞型和非结构不确定性当中，提出了具有保成 本控制的不确定系统的鲁棒界的概念，得到了g c c 的鲁棒性的条件，而且，此 条件还可以通过解关于一个参数的选择和权重矩阵的相应最优问题而进一步改 进，其中的不确定性不仅存在于输入矩阵，同时存在于系统矩阵，而且不确定 性克服了以往的只是针对范数有界情况的狭隘限制。2 0 0 2 年，冯俊娥和程兆林 对奇异时滞系统进行了保成本控制的研究，奇异系统又称为描述系统、微分 代数系统、广义状态空间系统等，它是比正常状态空间描述的系统更为一般的 系统，具有广泛的实际背景，在工业系统及社会经济系统中均有重要应用，并 且取得了一些研究成果 2 7 2 s 2 9 1 。不过，已有的对奇异系统的研究都是针对确定 性模型进行的，因此，冯俊娥和程兆林针对一类同时含有参数不确定性和状态 变量存在时滞的奇异系统，利用l y a p u n o v 稳定性理论，采用l m i 处理方法，提 出了状态反馈保成本控制器的存在条件和设计方法，并给出了相应成本指标上 界。2 0 0 4 年，俞立和张冬梅又将该文献的研究成果推广到了一类同时具有状 态和控制时滞的不确定奇异时滞系统，研究保成本鲁棒控制问题。这些文献所 提到的鲁棒控制方法往往比较保守，所导出的控制信号往往具有较大的幅值和 能量，而实际工业过程中的执行器具有饱和特性，若在控制系统设计中不考虑 由执行器饱和特性所带来的控制律幅值约束，将使得所设计的鲁棒控制律很难 保证闭环系统具有所期望的特性。基于此，同年，徐建明和俞立【3 l 】研究了具有 控制约束的不确定离散时滞系统保成本控制问题，采用l m i 方法，将控制约束 转化成一个适当的l m i ，基于已有的不确定离散时滞系统保成本控制器设计方 法，提出了具有控制约束的不确定离散系统最优保成本控制律设计方法。2 0 0 5 年，l y up 4 等又研究了模型参数不确定性是时变的具有控制约束的不确定离 兰玺鎏詈三查兰垩主璧主兰竺兰銮 散系统的最优保成本控制。 上述的保成本研究主要是针对非广义系统进行的，对于广义系统保成本的 相关研究还很少，而且取得的一些研究成果p 3 1 1 3 4 1 1 ”1 也主要是针对其精确数学模 型基础上的相关线性二次型的，对于不确定的相关结果还没有。因此，胡刚吲 针对不确定连续广义系统，利用广义二次稳定的有关结果，首次提出了广义二 次保成本的概念，通过采用矩阵不等式方法，导出广义二次保成本的一个充要 条件，并给出一个保成本控制器的设计方法。2 0 0 4 年，熊军林和张庆灵 3 7 1 给出 了不确定广义系统的最优保成本控制的两种设计方法，一是代数r i c c a t i 方程 方法，给出了参数化的控制器，另一个是线性矩阵不等式方法，给出了在使成 本函数上界最小的意义下，最优控制器的设计算法。此后又有不少好的研究成 果口q 【帅】，其中文献 3 8 】和【3 9 】的最大特点是将弹性控制器的设计思想引入到一 类不确定广义系统中，利用l m i 方法，研究被控对象与控制器同时存在摄动 的弹性保成本控制问题。 1 2 2 具有非线性摄动的不确定系统的研究综述 对于一个实际的系统，非线性摄动是普遍存在的，各种线性系统都是对非 线性系统的一种近似。近几十年来，随着科学技术的发展，被控对象的种类越 来越多，控制的装置也越来越复杂，再加上工程界对精度的要求日益提高，因 此，使得传统的以线性模型来研究非线性对象的方法已远远不能满足实际工程 需要。然面，非线性系统与线性系统相比，它的内容十分丰富，运动类型也非 常之多，导致了非线性系统的研究与分析比线性系统复杂得多，难以形成统一 的方法对其进行分析和反馈控制设计。随着数学中的非线性分析，物理学中的 非线性动力学等的迅猛发展，非线性系统控制也突破了原有的基于微分几何的 非线性系统理论与l y a p u n o v 稳定性理论等，给出了许多系统鲁棒分析和保性 能控制器设计的方法。但对非线性系统的保性能控制的研究并不多，对不确定 系统，尤其是不确定性不满足范数有界情况的保成本控制的研究则更少。 2 0 0 3 年，贾新春等人【4 l 】研究了非线性时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性， 时滞相关保性能鲁棒稳定控制问题，建立了系统时滞相关稳定性判据和时滞相 关的保性能鲁棒稳定性判据，指出了系统时滞相关鲁棒稳定时存在时滞上界， 并且提出了降低系统可保性能的一个优化算法，给出了系统两类时滞相关鲁棒 稳定控制器的设计方法。但是该文献最大不足在于系统状态方程中未考虑参数 不确定性。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 0 0 6 年，谢楠和唐功友f 4 2 j f 对一类具有变时滞的非线性系统，研究了时滞 相关的非脆弱保成本控制问题，利用l y a p u n o v 稳定性理论和l m i 方法，在系 统控制器存在加法和乘法两种摄动的情况下，给出时滞相关的非脆弱保成本控 制律的存在条件，通过参数变换和s c h u r 补定理，以l m i 的形式给出了非脆弱 保成本控制器的设计方法。 1 3 本文所做的工作 1 3 1 具有非线性摄动的不确定系统的保成本控制 考虑系统 童( f ) = ( 4 + a a ) x ( t ) + ( 丑+ a b ) u ( t ) + ，( x o ) ，f ) 其中。算( f ) r ”是系统的状态向量，u ( t ) r ”为控制输入向量，彳和b 是已知 定常矩阵，a a 、a b 为具有适当维数的不确定矩阵。，( x o ) ，) 为有界非线性摄 动且满足 0 ( 石( f ) ，f ) 9s ，0 g 蟹( r 其中，参数y o 表示不确定扰动项( 并( f ) ，t ) 的界，g 为已知定常的结构矩阵 该系统的相应成本指标函数为 ，= | ：- 7 8 ) ! 参( d + 材7 ( f ) 昱群9 ) ) d ， 其中，q 0 和r 0 为给定的对称正定加权矩阵。 本文分别对系统中存在的不确定性讨论了以下三种情况： 1 a a 、口满足范数有界不确定性。 鲋= d 赐，a b = d 嘎 其中，d ，置，易是己知的常数矩阵，f o ) 是一个具有l e b e s g u e 可测元的未知 函数矩阵且满足 f 7 f ( f ) i 其中，是相应维数的单位矩阵。 2 4 、b 满足强结构不确定性。 1 4 一i 0 ，卢 0 ，x ( t ) r ”。g 和日为已知定常的结构矩阵。 该系统的相应成本指标函数为 j = l ( x 7 ( f ) 参( ，) + 7 ( f ) r ( f ) ) d t 其中，q o 和r 0 为给定的对称正定加权矩阵。 系统中的不确定参数a a 、她和衄同样考虑了无时滞时的三种假设情 况。 在文章中的以下部分，我将主要讨论上面两类系统在上述三种不确定性假 设情况下的保成本控制问题，给出相应的鲁棒保成本控制器存在的条件和相应 的保成本控制器的具体设计方法，同时，算例验证了本文所提出的控制器设计 方法的正确性和有效性，并配以仿真图像从直观上更形象的说明这一点。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章基础知识 为了文章后面的需要，本章将介绍连续系统的l y a p u n o v 稳定性理论，同 时给出本文后面将要用到的数学引理。 2 1 连续系统l y a p u n o v 稳定性理论 考虑连续系统 j = ( x ，f ) x ( t o ) = x o ，t t o ( 2 一1 ) 其中x ( t ) r ”是系统的状态向量，( ，) 为玎维向量函数，( o ，t ) = 0 ( f 0 ) 。 定理2 1对于连续系统( 2 1 ) ，如果存在具有连续的一阶偏导数的标量函 数y ( 工，f ) ，并且满足以下条件： 1 ) r ( x ，f ) 是正定的； 2 ) 矿( x ，t ) 是负定的， 则系统在原点的平衡状态是渐近稳定的。如果随着_ o o ，有y o ，t ) 一0 0 。 则系统在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。 定理2 2 对于连续系统( 2 1 ) ，如果存在一标量函数矿0 ，) ，它具有连续 的一阶偏导数，且满足下列条件： 1 ) v ( 善，f ) 是正定的； 2 ) v ( x ，f ) 是负半定的； 3 ) y 睁( f ，x o ，t o ) ，j 对任意气和任意：c o 0 在t t o 时不恒等于零， 则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有当_ o o 时 v ( x ，t ) 一o o ，则为大范围渐近稳定。式中的o ( t ，t o ) 表示t = t o 时h k x o 出发的 根的轨迹。 定理2 3 对于连续系统( 2 1 ) ，如果存在一个标量函数矿f ) ，它具有连 续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1 ) v ( x ，f ) 是正定的： 2 ) 矿o ，f ) 是负半定的，但是在某一非零向量x 处p ( x , t ) 的值恒为零。 则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的，但非渐近稳定。 定理2 4 对于连续系统( 2 - 1 ) ，如果存在一个标量函数v ( x ，r ) ，它具有连 续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1 ) v ( x ，) 在原点的某邻域内是正定的； ：玺鎏至三盔兰登兰要圭：鳘兰兰 2 ) 矿( x ，f ) 在同样的邻域内也是正定的， 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 2 2 常用的引理 引理2 1 h ”假设口( ) r ，6 ( r “是区间q 上的可积函数，则对任意对 称正定矩阵x r “，y r 。有 ， 掣c 洲d m s 癜珂 点。内+ ，嚣。灯 捌出 引理2 2 4 4 设a ，d ，e 为适当维数的实矩阵，对任意的对称正定矩阵p 及 标量占 0 ，f 7 f s i ，如果有6 1 一e p e 7 0 ，p c d d 7 0 则 ( a + d f e ) p ( a + d f e ) 7 兰a p a + a p e 7 p ，一e p e 7 ) - 1 e p a r + e d d r ( a + d f e ) p 1 ( a + d f e ) a 7 ( ，一占d d 7 ) - 1 a + e - 1 e e 引理2 3 4 8 设d ，f ，e 是相应维数的实矩阵，且f 7 f i ( 单位矩阵) ，则 2 x 7 d f e y 墨9 7 d d 7 苫+ 三y r e 7 e y ， v 占 0 引理2 4 嗍矩阵l 罢三i 是正定矩阵当且仅当 d 0 ，a b d - c 0 或 a 0 ，d c z 一1 b 0 引理2 5 1 4 7 1 设x 。r 是同型矩阵，则有 ￥7 y + y 7 x s e x 7 x + t y 7 y 。v s 0 引理2 6 嗍若栉研阶矩阵爿满足j 4 卜d ，则( 4 爿) 7 ( 4 爿) ，( d ) 其中 删= 骶戋锄，黟硼d i a g ( d ) 这里，0 0 为最大奇异值矩阵范数。 引理2 7 嗍对给定适当维数的矩阵】，d 和e ，其中】，为对称矩阵，对任 意f f t ) 满足f 7 0 ) f ( f ) i ，矩阵不等式 】，4 - d f ( t ) e 4 - e 7 f 7 q ) d 7 0 ，使得 】，+ s d d 74 - s - 1 e 7 e f ) 0 r l l g x ( t ) 8 ( 3 2 ) 其中，参数y o 表示不确定扰动项，( 砸) ，t ) 的界，g 为已知定常的结构矩阵。 系统( 3 1 ) 式的成本函数为 ，= i ：- ( 工7 ( f ) q k ( f ) + “7 ( f ) 月“( f ”d ，( 3 3 ) 其中，q 0 ，r 0 为给定的对称正定加权矩阵。 本章的目的是要设计一个无记忆状态反馈鲁棒保成本控制律 “( f ) = k x ( t ) ， k r ( 3 4 ) 使得闭环系统 j c ( t ) = ( a + a a + b k + a b k ) x ( t ) + f ( x ( t ) ，f ) ( 3 - 5 ) 鲁棒稳定且成本函数不超过某一个确定的上界。 为此，首先给出系统( 3 1 ) 式的保成本鲁棒控制器的定义。 定义3 1 对于不确定系统( 3 - 1 ) 式，如果存在控制器( 3 - 4 ) 式和正数，使 得对所有允许的不确定性，闭环系统( 3 - 5 ) 式是鲁棒渐近稳定的，且成本函数( 3 - 3 ) 式满足j ，则称控制n ( 3 4 ) 式为不确定系统( 3 - 1 ) 式的一个状态反馈保成 本鲁棒控制器。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 3 1 范数有界不确定性下的保成本控制 假设不确定性a d 、a b 满足范数有界形式，即： 【a a 凹】= d f ( t ) e 1 易】 ( 3 6 ) 其中，d ，巨，易是已知的常数矩阵，f ( t ) 是一个具有l e b e s g u e 可测元的未知 函数矩阵且满足 f 7 ( f ) f ( f ) si ( 3 - 7 ) ，是相应维数的单位矩阵。 3 1 1 主要结果 定理3 1 如果存在常数f 0 、适当维数的矩阵x 和对称正定矩阵p 0 。 使得对所有允许的不确定性，下面的矩阵不等式成立 p 瓜广缈胱二 。 p s ， 则( 3 4 ) 式为系统( 3 1 ) 式的一个状态反馈保成本鲁棒控制器，且对所有允许的不 确定性，闭环系统成本函数( 3 - 3 ) 式满足 j j = x ( o ) 7 a ( o ) = ? x o 其中，a = 一十纠+ b k + a b k ，x ( o ) = 而是系统的初始值。 证明设有控制器( f ) = g x ( t ) ，代x ( 3 - 1 ) 式中得闭环系统为( 3 5 ) 式。选取 l y a p u n o v 函数为 v ( f ) ) = 一( f ) a ( r ) 于是矿( “f ) ) 沿闭环系统式( 3 - 5 ) 式的任意轨线对时间导数为 矿( x o ) ) = r o ) ( f ) + 并7 ( f ) 戥o ) = 工1 ( f ) ( 爿+ 4 + b k + t d ，g ) 1 鼢( f ) + 工1 ( f ) p ( 彳+ a a + 日k + a b k ) x ( t ) + 厂7 ( j ( f ) ，t ) p x ( t ) + x 1 ( f ) 只r ( x ( f ) ，f ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 = t x 7 。，7 c 石c 。， 7 _ ；砀： ，。x 。( 。o ， 将( 3 - 2 ) 式改写成 矿蛾明k g 乩黝 。 又由于闭环系统( 3 5 ) 式鲁棒稳定的充分条件是矿( x ( f ) ) l ( ) o 。 ( 3 9 ) ( 3 - 1 0 ) 根据s - 过程，在约束条件( 3 一l o ) 式下的矿o ( f ) ) i 。、 0 ，等价于存在一个标 量f 2 0 ，使得 m f n 0 内驰黝 。 于是f h ( 3 8 ) 式知 矿( 并( f ) ) 一x 7 ( t ) q x ( t ) - u 7 ( t ) r u ( t ) - r 2 g 7 g r x 7 苫+ f ，7 ( x ( f ) f ) ( 石( f ) ，f ) s - x 1 ( r ) q x ( t ) - - 1 9 1o ) r “( f ) 0 ，标量f 2 0 ，矩阵w r 和x r ，使得 对所有允许的不确定性，线性矩阵不等式 堕垒鎏翌三查兰詈兰要主兰垒丝吝 l r i ( e t x + 臣) 7 矿7zf 粥7 if i oooo e z + e 矽 。一s iooo w00一r - 100 xooo- d 4 o r g x0000一；j ， 0 ( 3 - 1 3 ) 成立，则系统( 3 1 ) 式是鲁棒渐近稳定的，并且相应的保成本控制律和保成本值 分别为 “= w x 一1 x ( t 1 = ，( o ) x 。x ( o ) 其中，y = ( 从+ b ) 7 + ( a x + b w ) + 6 d d 7 ， 证明 记m ；i ( _ + b k ) 。p + p ( 4 + b k ) + 砂z g l g + k 1 r k + q p i ip- r ll 则矩阵不等式( 3 8 ) 式可以写成 。m + 孙眦叫也雌0 r ，阿 0 使得 + 膨+ l 肋o1 j l 肋o j 7o e l + 易置。n 置+ 岛足。】 。( 3 - 1 5 ) 对( 3 - 1 5 ) 式整理，并应用s c h u r 补引理得不等式( 3 1 5 ) 式成立当且仅当下式 成立 ( a + b k ) 7 p + p ( a + b k ) + s p d d 7 pp ( 巨1 + 互k ) 7k 7 1r g 7 i 户 吖，ooooi (蜀+&秘0 一c l 0 00 l k00一r 一100 l 100 0 一q - 0l f goooo 一手叫 ( 3 一1 6 ) 1 4 - o 氅互鋈堡三銮兰翌兰璧圭兰竺尘三 令t = d i a g ( p - 1 , i ，i ，i ，i ，i ) ，对不等式( 3 1 6 ) 式左右两端同时左乘和右乘矩 阵r ，并记x = ，1 ，w = k p ，则可得不等式( 3 1 6 ) 式成立等价于( 3 1 3 ) 式有 解。 3 1 2 数值算倒 例3 1 考虑下面的不确定系统 其中 i ( f ) ；( a + d f e t ) x ( t ) + ( 口+ d f e 2 ) u ( t ) + f ( x ( t ) ，t ) ，x ( o ) = x o i _ 0 0 3 6 60 0 2 7 1 0 0 1 8 8 - 0 4 5 5 5i 爿戢兹恐黑嚣卜爿2 io 1 0 0 2 o 2 8 5 5 - o 7 0 7 ”2 2 9i ，0 2 l 00 10 1 0 4 4 2 2o 1 7 1 1 3 0 4 4 7 - 7 5 9 2 2 - 5 5 24 9 9 o0 。= | i | ，置= 0 0 。跫9 2 s 0 。冬s - ，易= ，曼刀； f = n 圪皿 ，且一- 一，一s 吒- ， 选取q = 一t 丑t ，g = ：l ： ，= 0 - 000 i ：l ，r ： ，及系统初值x c 。，= - 【- 001i 应用定理3 2 ，由l m i 工具箱f e a s p 求解器可得相应的线性矩阵不等式( 3 1 3 1 式是可行的，并且可以得到一个可行解 j0 4 0 8 5 - 0 0 0 4 1 - 0 1 8 4 20 3 2 7 8j t ，l - o 0 0 4 1 4 5 3 4 5- 2 7 6 8 5 0 4 3 6 7 l l 卸1 8 4 2 - 2 7 6 8 5 3 3 7 0 2- 0 5 3 7 4l l0 3 2 7 8 0 4 3 6 7- 0 5 3 7 4 0 4 9 6 2j 形：l - 0 2 6 3 6 1 7 5 5 3 3 2 1 6 2 - 0 0 1 4 5 l l 卸1 6 8 5 z 0 3 7 1- 4 6 0 2 6 - 0 0 1 7 7 j 1 5 s = 1 7 7 0 9