（概率论与数理统计专业论文）wielandt不等式的矩阵形式.pdf

摘要 w i e l a n d t 不等式是对著名的c a u c h y - s c h w a r z 不等式的一种改进，该 不等式被广泛应用于统计理论中线型模型的研究方面，因此研究更一般 形式的w i e l a n d t 不等式有重要的意义 1 9 9 9 年，王松桂和叶伟彰在l 6 w n e r 偏序关系下，对于正定h e r m i t e 阵，给出了w i e l a n d t 不等式的矩阵形式。并给出了该矩阵形式的不等式 关于协方差矩阵和相关系数的一些重要统计应用本文进一步推广王松 桂等的结论，对于半正定h e r m i t e 阵，给出了推广的w i e l a n d t 不等式的 矩阵形式结论表明，我们得到的不等式是王松桂等的结论的更一般形 式的表达式 关键词；w i e l a n d t 不等式；广义逆；l 6 w n e r 偏序 a b s t r a c t t h ew i e l a n d ti n e q u a l i t yi sa n i m p r o v e m e mo nt h eg e n e r a lc a u c h y - s c h w a r zi n e q u a l i t y , a n di t sa p p l i c a t i o n st os t a t i s t i c sw e r e 鼬u 击e d i na n o t e ，w a n ga n di p ( 1 9 9 9 ) g a v et h ew i e l a n d ti n e q u a l i t yi nm a t r i x 、静 s i o ni nt e r m so ft h el s w n e rp a r t i a lo r d e r i n g t h a ti n e q u a l i t yw s ba n e x t e n s i o no ft h ew e l l - k n o w nw i e l a n d ti n e q u a l i t yi nw h i c hb o t hxa n d ya l ev e c t o r s s o m ea p p l i c a t i o n st os t a t i s t i c sw e r ea l s og i v e n i nt h i s p a p e r ，w h a th a p p e n st ot h ei n e q u a l i t yw h e nt h ep o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x i sa l l o w e dt ob ep o s i t i v es e m i - d e f i n i t ew a sc o n s i d e r e d t h i si n e q u a l i t yi s a g e n e r a l i z a t i o no ft h ei n e q u a l i t yw a n ga n di pg a v e k e yw o r d s ：w i e l a n d ti n e q u a l i t y ；g e n e r a l i z e di n v e r s e ；l s w n e rp a l - t i a lo r d e r i n g n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ：向坞爹 一年明柏 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打开 靠) 作者签名：自馅易日期：u 年了月铂 新鹤。砷嗍。7 钳嘶 第一章引言 第一章引言 1 近半个世纪以来，关于c a u c h y - s c h w a r z 不等式的研究有了显著进展，得 到了该不等式的种种形式的推广，并对该不等式在统计中的广泛应用进行了 讨论 设z ，影c ，记矿为向量z 的共轭转置，则 l z y 1 2 ( z z ) ( ! ，秒) ， 等号成立当且仅当寥与z 线性相关，这就是著名的c a u c h y - s c h w a r z 不等式 若a 为佗阶半正定h e r m i t e 阵，且a 的秩为t ，则 l z * a y l 2 ( 矿山：) ( 旷a y ) ， 当y 与z 线性相关时等号成立关系式( 1 ) 便是c a u c h y - s c h w a r z 不等式的一 种推广形式进一步地如果对z 和y 没有附加任何限制，这个不等式不能再 改进了下面介绍的w i e l a n d t 不等式，要求z 和可为一对正交向量，它是对 c a u c h y - s c h w a r z 不等式的一种改进 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，入l a 2 k 0 为a 的特征值， z 和y 为n 维向量且满足矿y = 0 w i e l a n d t 不等式【2 】为 l x * a y l 2 ( 而a 1 - - a n ) 2 ( 矿血) ( 旷a y ) ， ( 2 ) 并且存在正交向量z 和秒使关系式( 2 ) 中等号成立事实上，设妒l ，忱， 为a 的对应于a i 入2 ，k 的特征向量，那么取z = ( 妒l + ) 厄y = ( 妒l 一妒竹) 、，侄时，w i e l a n d t 不等式中等号成立这就是说，如果仅限制z 和y 正交，w i e l a n d t 不等式不能够再改进了e a t o n ( 1 9 7 6 ) 【4 】用不同于w i e l a n d t 的方法独立获得了w i e l a n d t 不等式h o u s e h o l d e r ( 1 9 6 4 ) 7 证明了当y = 第一章引言 2 扛z ) a 1 z 一( 矿a - 1 x ) x 时，w i e l a n d t 不等式就变成了著名的k a n t o r o v i c h 不 等式【2 1 】 1 x * a x x 矿* a - l x 芋，比o ( z + z ) 2 4 a 1 k “7 。 由于统计研究工作的需要，近年来许多统计学家对涉及广义逆的偏序显 示了很大的兴趣【l ，9 ，l o ，1 l ，1 2 ，1 3 ，1 6 ，2 0 】我们用a 0 表示a 为半正 定实对称阵，若a 0 ，b 0 且两者为同阶阵，用a b 或b a 表示 a b 0 关于l s w n e r 偏序的研究，主要围绕着如下经典事实的推广，即若 a 和b 皆可逆，且a b ，则必有a - 1 b 一w u ( 1 9 8 0 ) 1 6 证明了。对任意 半正定h e r m i t e 阵a 和b ，若a b ，则一定存在a 一和b 一，使得a 一b 一 成立，其中a 一表示矩阵a 的广义逆m i l l i k e n 和a k d e n i z ( 1 9 7 7 ) 1 0 证明了 当矩阵a 的秩与矩阵b 的秩相等时，a b 的充要条件为a + z 矿，其中 r 表示矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆 将向量形式不等式推广到矩阵形式不等式是非常困难的1 9 9 0 年，m a r - s h a l l 和o t k i n 9 对a 为正定h e r m i t e 阵情形，给出了不等式( 1 ) 的矩阵形 式，即向量z 和y 都是矩阵时的不等式 x a 一1 x ( x a x ) 一， 其中x 为n k 矩阵，且满足x x = 厶b a k s a l a r y 和p u n t a n e n ( 1 9 9 1 ) 1 】进 步讨论了a 为半正定h e r m i t e 阵时的情形，即在一定的条件下，有 x a + x ( x a x ) + 1 9 9 9 年，王松桂和叶伟彰【1 3 】在l s w n e r 偏序关系下，对于正定h e r m i t e 阵，给出了w i e l a n d t 不等式的矩阵形式，并给出了该矩阵形式的不等式关于 协方差矩阵和相关系数的一些重要统计应用他们的主要结果为， 设a 为扎阶正定h e r m i t e 阵，入l 和k 为a 的最大和最小特征值，妒l 和为相应的正交特征向量，假设x 和y 分别为n p 和n g 矩阵且满 第一章引言 3 足x y = 0 ，则 x ( m y ) - p 似( 弑) 2 x 似 本文进一步推广王松桂等【1 3 】的结论，对于半正定h e r m i t e 阵，给出了 推广的w i e l a n d t 不等式的矩阵形式结论表明，我们得到的不等式是王松桂 等的结论的更一般形式的表达式 第二章预备知识 第二章预备知识 4 在这一章里，我们首先介绍与本文有关的定义和结论，为后面的定理作准 2 1 h e r m i t e 阵 定义2 1 1 2 1 】设a = ( a q ) 为n 阶方阵，记a = a ，即共轭转置若 a = a ，则称a 是h e r m i t e 阵当a 为实矩阵时，h e r m i t e 阵就是实对称 阵 h e r m i t e 阵具有许多类似于实对称阵的重要性质 定理2 1 f 2 1 j 设a 为n 阶h e r m i t e 阵，则 ( 1 ) a 的所有特征值a l ，k 都是实数； ( 2 ) 存在个酉阵u ，即u 满足犷u = 厶，使得 u a u = d i a g ( ) q ，k ) ， 即h e r m i t e 阵一定酉相似于对角阵 设a 为n 阶h e r m i t e 阵，若对任意z 伊，矿a z 0 ，则称a 为半正定 的，记为a 0 若进一步，矿a z = 0 当且仅当z = 0 ，则称a 为正定的，记 为a 0 定理2 2 t 2 1 l 设a 为n 阶h e r m i t e 阵，则a 0 当且仅当下列条件之一 成立 ( 1 ) a 的所有特征值为非负； ( 2 ) 存在个h e r m i t e 阵b ，使得a = b 2 ； ( 3 ) 存在txn 矩阵b ，其中t 为矩阵a 的秩，使得a = b + b ； ( 4 ) 对任一复方阵p ，p a p o ； ( 5 ) a 的所有主子式为非负 第二章预备知识 5 定理2 3 【2 1 1 设a 为n 阶h e r m i t e 阵。则a 0 当且仅当下列条件之一 成立、 ( 1 ) a 的所有特征值为正数； ( 2 ) 存在个可逆h e r m i t e 阵b ，使得a = b 2 ； ( 3 ) 存在可逆复方阵b ，使得a = b 。口； ( 4 ) 对任一可逆复方阵p ，p a p o ； ( 5 ) a 的所有主子式为正数； ( 6 ) a 的所有顺序主子式为正数 2 2 偏序 定义2 2 【1 9 1 所谓偏序，是指在个集合s 的元素中定义的一种关系，记 为 ，它满足： ( 1 ) 自反性tg 卫，对一切z s 成立； ( 2 ) 反对称；若z - d ，y z ，则z = ! ，； ( 3 ) 传递性z 若z y ，y 0 ，入l ，为a 的非零特征值 将矿列分块成( 巩巩) ，其中仉为n ，矩阵，巩为n ( n 一，) 第二章预备知识 矩阵，贝! i 2 4 广义逆 a = ，( 言兰) 矿 = ( 仉巩) ( e o 。o ) ( 叼u ；) 7 矩阵是现代自然科学，工程技术和社会经济等领域的个不可缺少的数 学工具，广义逆矩阵是上个世纪以来矩阵理论中的一项极为重要的新发展， 并在概率统计数学规划、数值分析、控制论、博弈论和网络理论等领域得到 不同程度的应用广义逆矩阵是研究数理统计的个重要工具它的定义为 定义2 4 1 2 1 1 对矩阵a m x 行，一切满足方程组 a x a = a 定理2 6 1 2 1 1 ( 1 ) 设a 为m n 矩阵，p 和q 分别为m m 和n n ( p a q ) 一= q 一1 a p - - 1 ； ( ：三) 一= ( 耋三) 第二章预备知识 一一8 ( 3 ) 设a 为m n 矩阵，矩阵a 的秩为t ，且有秩分解 a = p ( ：三) q ， a 一= 口- 1 ( 耋三) p ， 定义2 5 x s 设a 为m n 矩阵，任意nxm 矩阵x ，若满足下述四个 定理2 7 【2 1 j 若a 有奇异值分解 a = 户( ：) q ， 其中拳d i a g ( a 1 ，砚) ，民 o ，i = 1 ，t ，入l = 盯 ，丸= 砖为a a 的 一卜 下面给出r 的一些性质1 1 e l 2 1 1 ： 第二章预备知识 9 ( 2 ) ( a + ) = ( a ) + ； ( 4 )r ( a + ) = r 似) ，其中，( a ) 表示矩阵a 的秩； ( 5 )a + = ( a a ) + a = a ( a a ) + ； ( 6 )( a a ) + = a + ( a ) + ； ( 7 )设口为一非零向量，则口+ = a l l o l l 2 ，其中口表示向量a 的转 置，f l a l f 表示a 的二范数； ( 8 )设a 为对称方阵，它可表示为 一p ， 这里p 为正交阵，= d i a g ( a 1 ，) ，矩阵a 的秩为r ，则 如p 卜 ( p a q ) + = q 一1 a + p 一1 ； ( p a q + ) + = q a + p 2 5 正交投影阵 定义2 6 2 1 设ze 伊，s 是伊的个子空间，将z 分解为 z = y + z ，其中y s 名舻，弘 口：口上s ， 第二章预备知识 1 0 此时，称可为z 在s 上的正交投影若p 为n 阶方阵，使得对任意z c 帆， 上式中的可可表为 可= p z ， 则称尸为向子空间s 的正交投影阵 我们知道，对任一子空间s ，一定存在矩阵x ，使得s = 朋( x ) ，其中 朋( x ) 表示x 的列向量张成的子空间下面的定理给出了正交投影阵的表 示 定理2 8 【2 l l 设a 为任一n 仇矩阵，p a 为向子空间a 4 ( a ) 正交投影 的正交投影阵，则r = a ( a 。a ) 一a 由【1 8 】可知，a ( a a ) 一岔与广义逆( 小a ) 一的选择无关，所以正交投影 阵p a = a ( a a ) 一a = a ( a a ) + a 定义2 7 【2 l l 若，l 阶方阵a 满足a 2 = a ，则称a 为幂等阵 由 磁= a ( a a ) + a a ( a 。a ) + a 。= a ( a 。a ) + a = p a 知正交投影阵j ) a 是幂等阵 又由( a + ) = ( a ) + 知 j 气= a ( a a ) + a = ( a ( a a ) + a 。) = p a ， 所以正交投影阵p a 是对称幂等阵 第三章向量形式的不等式 第三章向量形式的不等式 本章主要讨论一些基本的不等式及其推广形式，这些不等式中z 和可均 为向量，第四章我们将其中有些不等式推广到z 和y 是矩阵的情形 首先讨论个非常基本的不等式c a u c h y - s c h w a r z 不等式 定理3 1f 2 1 l 设z ，y c n ，则 ( 1 ) l x * y 1 2s ( z 。z ) ( ! ，掣) ， 且等号成立当且仅当y 与z 线性相关 ( 2 ) 设a 为n 阶半正定h e r m i t e 阵，则 l x * a y l 2 ( 矿触) ( 矿a y ) ， 且等号成立当且仅当y 与z 线性相关 ( 3 ) 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵。则 i z 幸3 ，1 2s ( z 。4 z ) ( a 一1 秒) ， 且等号成立当且仅当z 与a - 1 1 ，线性相关 若z ，秒为对正交向量，对c a u c h y - s c h w a r z 不等式改进可以得到下面的 w i e l a n d t 不等式 定理3 2 i s l 设a 为绍阶正定h e r m i t e 阵，a l a 2 k 0 为 a 的特征值。则对任意一对正交向量z 和，有 i x * a y l 2 ( 雨a 1 - - 忑) i n ) 2 ( 矿止) ( 矿匈) ， 并且存在正交向量z 和! ，使上式等号成立事实上，若记妒l 和分别为对 应于入1 和k 的a 的标准正交特征向量，则容易验证，当z = ( 妒l + ) 以， 可= ( 妒l 一) 以时等号成立 1 1 第三章向量形式的不等式 b a u e r 和h o u s e h o l d e r 2 】讨论了z 和为任意一对向量时w i e l a n d t 不等 式的如下形式 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，z 和掣为任意一对n 维向量，入l 入2 k 0 为a 的特征值，则 i z * a y l 2 等祷* 渊p 锄魄 其中 汐2 丽渤。 m o h a m m e da h a s a n s l 给出了几个w i e l a n d t 不等式的推广形式，其中 包括 ( i ) 若z 和y 为单位向量，则( z + y ) 可f 而和0 一夕) 玎r 砑 是一对正交向量，代入w i e l a n d t 不等式得 l垒丝af兰二型!oi 盯而一 2 ( 1 - x , y ) l 糕一a l + k 一 ! 兰型2 ： 4 1 兰望2 2 ( 1 + 矿y ) 、2 ( 1 + 2 7 掣) 或者 i x * 血- - y * a y i 糕佰石而研骊 ( i i ) 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，z 和为一对单位正交向量， a l 入2 k 0 为a 的特征值，则 i z * a y l 2 c ( x 。z ) ( 旷a r y ) ， 其中c = 仇口z ( 筹毒) 2 ，i ，歹= - - n , i j ，r 为正整数 1 2 第三章向量形式的不等式 ( i i i ) 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，z 和秒为一对单位向量，且x * y = o 则 z a 3 z 一( z a z ) ( z a 2 z )学， 其中入l a 2 k 0 为a 的特征值 m o h a m m e da h a s 眦【6 】还讨论了含有最大的两个特征值和最小的两个特 征值的不等式，主要结论有 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，z 和可为一对单位向量，且z 秒= 0 ， a l a 2 k 0 为a 的特征值，则 ( 半) 2 外。a x ) ( y * a y ) ( 竿) 2 设a 为礼阶正定h e r m i t e 阵，z 和y 为一对向量，前面介绍了c a u c h y - s c h w a r z 不等式的推广形式 l z y 1 2 ( z 缸) ( 秒a 一1 秒) 特别当z = 矽时 l z z 1 2 ( z 4 z ) ( z a 一1 z ) ， 等价地，对任意z 0 ， x * a 历z x 再* a 广- l x 1 ( z z ) 2 一 上式左端是两个r a y l e i g h 商 x * a x 卜z * a 一1 z 一：习一 x * x。x*x 的乘积c a u c h y - s c h w a r z 不等式给出了这个乘积的下界1 ，而下面的k a n - t o r o v i c h 不等式【2 l 】给出了它的上界 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，入l 和k 分别为a 的最大和最小特征 值，则对任意非零向量z ，有 x * a - x , 一x * a 品- l x 0 和j l i l 砌 0 分别为a 和b 的特征值则对任意 非零向量o ，有 x * a 2 z z b 2 z 一，( a 1 p l + 入n p n ) 2 ( 矿a b x ) 2 二4 a i p i k 。 b l o o m f i e l d 和w a t s o n 3 在研究线性模型参数估计效率问题时证明了下 面的不等式 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，x 为竹p 实矩阵满足x x = 记 a 1 入2 之k 0 为a 的特征值又n 2 p ，则 如似揪- 1 x 赡。丧竽 w a n g 和s h a o 1 5 给出了如下带约束的k a n t o r o v i c h 不等式 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，入l a 2 k 0 为a 的特征 值，妒1 ，仇，为它们相应的正交特征向量设i z ，l = 1 ，七，是满足 1 4 第三章向量形式的不等式 1 i l i k n ，k n 的整数，圣l = ( 协。，9 札) ，m ( 圣1 ) 为由圣l 的 列向量张成的线性子空间，则 矿a z z a k ( 凡l + 九) 2 ( 矿z ) 2 二 4 九。h 且当且仅当z 与( 妒，士协- ) 线性相关时等号成立 1 5 第四章w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 1 6 第四章w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 王松桂和叶伟彰【1 3 】考虑了基本w i e l a n d t 不等式中向量z 和可为矩阵 的情形，给出了w i e l a n d t 不等式的矩阵形式，其主要结论为 定理4 1 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，入1 和k 是a 的最大和最小特 征值，妒l 和为相应的正交特征向量，假设x 和y 为n p 和n 口矩 阵且满足x + y = 0 ，则w i e l a n d t 不等式的矩阵形式为 x * a y ( y a y 矽y 似( 弑) 2 x 眠 ( 3 ) 并且等号成立的充要条件为 击毁妒t + p x q o = 讹- + ) 对某个参数，y 成立，且朋( y ) = a 4 ( i 一段) 其中z 4 ( x ) 表示x 的列向量 张成的子空间，局【表示m ( x ) 上的正交投影 同时，他们指出不等式( 3 ) 的左边与( y 。a y ) 一的广义逆的选择无关，即 不等式( 3 ) 等价于 x * a y ( y a y ) y 似( 弑) 2 x 觚 张宝学和朱显海【1 7 】利用矩阵的奇异值分解给出了带约束的k a n t o r o v i c h 和w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 本文仿照文【1 7 】类似的研究方法，把不等式( 3 ) 中的a 推广到半正定的 情形，给出了一种推广的w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 为了完成定理证明，先介绍几个引理 引理1 设a 0 且c 0 则 a b c = a b + c 第四章w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 1 7 对任意的b 一成立当且仅当m ( a ) c 朋( 矿) 和朋( c ) c 朋( b ) 引理1 的证明见【1 2 ，引理2 2 4 和推论1 4 ，p 4 3 引理2 设a 和b 为同阶半正定h e r m i t e 阵，则下列任两条可以推出第 三条 ( 1 ) a b ； ( 2 ) 矿a + ； ( 3 ) r ( a ) = ，( j e i ) ，其中r ( a ) 为矩阵a 的秩 引理2 的证明见【2 0 ，定理7 1 1 ，p 1 8 1 引理3 设只和恳为两个正交投影阵，则p = r 岛为正交投影阵当 且仅当r 恳= 恳只 引理3 的证明见【2 l ，定理1 8 6 ，p 4 1 l 引理4 设a 为n 阶半正定h e r m i t e 阵。入1 入2 0 为其 非零特征值，其中r 为矩阵a 的秩，且设t 为他亡矩阵假定a 和t 满 足p j _ t 是幂等的，则 r 矿t 芋( r 删+ ， ( 4 ) 并且等号成立当且仅当 ( r 胛) 2 = 生r a 丁，( r - a + q 2 = 篙釜r 矿z 这意味着关系式( 4 ) 中等号成立当且仅当a t = 0 或者p a t 和t * a + t 的 所有非零特征值分别为( 入l + x ) 2 和( 入l + ) ( 2 a l ) 引理4 的证明见【1 ，推论2 ，p 1 0 9 】 引理5 设a 为n 阶半正定h e r m i t e 阵，x 为扎p 矩阵假定m ( x ) 朋) ，则 ( p x a + p x ) + = a a n c n a n ) + n a ， 其中n2j p x 第四章w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 1 8 引理5 的证明见【1 7 ，推论3 ，p 1 5 5 如果将张宝学等【1 7 】给出的k a a t o r o v i c h 不等式的矩阵形式的约束条件 朋( x ) 冬朋( 协。，协。) 改为m ( x ) sj t 4 ( a ) ，可以得到如下引理- 引理6 设a 为n 阶正定h e r m i t e 阵，x 为n p 矩阵 a 1 芝a 2 k 0 和妒l ，仇，分别是a 的特征值和相应的正交特征向量 假设x + x 幂等且朋( x ) 朋( a ) ，则 x , a - 1 x 竿( x 。a x ) + 下面我们仿照文【1 7 】类似的研究方法，利用引理6 给出定理4 1 的另一 个证明 定理4 1 的证明注意到a - 1 的特征值等于a 的特征值的倒数，且m ( p x ) m ( x ) 朋似) ，p x p x = p x 幂等由引理6 有 毁a r 帮( 段a 。取) + 等价于 p x ( p x a 1 取) + 取器玖a p x ， 即 段似一( 取a - 1 段) + ) 殿 1 一黼p x a 取 = ( 蒜) 2 殿a 段 = ( 瓢a 1 - a n ) 2 p x a p x 由引理5 知上式等价于 p x a n ( n a n ) + n a p x 0 为其 非零特征值，其中，为矩阵a 的秩假设x 和y 分别为n p 和n q 矩 阵且满足x + p a y = 0 ，则 x w ( p a y ) 甲似( 糕) 2 x 。似 证明对a 作奇异值分解 a = u a u 。， 其中u 是个n r 矩阵满足扩u = ，a = d i a g ( a x ，) 0 ，入l ， 为a 的非零特征值 由 p a = ( u a u 。) + u a 矿= u a 一1 u 。u a u 。= u v ， 知 x r y = x u u x 注意到x p a y = 0 ，即( 扩x ) u y = 0 ，由定理4 1 可知 ( 矿科a 矿y ( ( 卅) a u y ) 叩y ) a 矿x ( 弑) 2 ( 犷科a u * x ， 即 x 叭附( 珊y ) _ y u a u * x 0 为其 非零特征值，其中，为矩阵a 的秩。x 和y 分别为n p 和n q 矩阵且 满足x 。y = 0 ，假定朋( x ) m ( a ) 且r p x = p x p a ，则 x w ( y * a y ) - y * a x ( 而a t - - a ) 2 x 似， ( 5 ) 等号成立的充分必要条件为a 吸= 0 或者取a 和段a + 局【全部非零特 征值分别为( a l + ) 2 和( a l + ) ( 2 入1 ) ，且 x a y ( y a y ) 一y = x a n ( n a n ) 一 其中n = i 一忍 证明注意到r p x = p x p a ，由引理3 可知尸a 段是幂等的。 即 p a 反p a p x = p a p x ， 该式等价于 p a 段玖段p x = p a p x 这意味着 p x p a 段取r p x = p x p a p x 因此马f j ) a j k 亦是幂等的 由引理4 知 p x a + 段芋( p x a p x ) + ， 且等号成立当且仅当a f k = 0 或者殿a & 和a + f k 的所有非零特征值 分别为( 入l + ) 2 和似l + ) ( 2 a l ) 因为，( 段矿p x ) = ，( p x a p x ) = r ( ( p x a p x ) + ) ，其中，( a ) 表示矩阵a 的秩，由引理2 知 ( p x a + p x ) + 高等取a p x ， ( 6 ) 第四章w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 在关系式( 6 ) 两边分别乘以p x ，注意到乃f 是幂等的，有 故 即 p x ( e x 矿段) + 反苦等段a 反 p x a p x p x ( p x 取) + 最s ( 1 一高等寺) & a 玖 ( 而j 、l - - ) t r ) 2 p x a p x ， p x ( a 一( p x a + 时) 取( 弑) 2 e x a e x 由引理5 可知，关系式( 7 ) 等价于 p x a n ( n a n ) + n a p x ( 而a t - - a ) 2 p x a p x 另一方面，x 。y = 0 意味着朋( y ) s ( x ) = 朋( ) ，因此 等价于 则 所以 朋( a y ) 冬朋( a ) 壬y p a 墨， a y ( y 。a t ) 一y a a n ( n a n ) 一n a ， ( 7 ) p x a y ( y 。a y ) 一y 。a p x p x a n ( n a n ) 一n a p x ，( 8 ) 且等号成立当且仅当x a y ( y 。a y ) 一y = x a n ( n a n ) 一n 由关系式( 7 ) 和( 8 ) 可推出 殿训y w ) - y 蛾( 弑) 2 p x a p x ( 9 ) 第四章w i e l a n d t 不等式的矩阵形式 2 3 关系式( 9 ) 左乘x ，右乘x 得到关系式( 5 ) 这就完成了定理4 4 的证明 注1 由引理1 可知，不等式( 5 ) 左边与广义逆( y 。a y ) 一的选择无关 因此不等式( 5 ) 等价于 x 宰a y ( y w ) + y i 似( 弑) 2 x 似 注2 若a 是正定h e r m i t e 阵，则p a = 厶，这意味着r f x = p x = j k p a ，且m ( x ) j m ( a ) 自然得到满足，此时不等式( 5 ) 简化为不等式( 3 ) 参考文献： 【1 1 1j k b a k s a l a r y , s p u a t a n e a g e n e r a l i z e dm a t r i xv e r s i o n so ft h ec a u c h y - s c h w a r za n dk a n t o r o v i c h i n e q u a l i t i e s j a e q u a t i o n e sm a t h e m a t i c a e ， 4 1 ( 1 9 9 1 ) ，1 0 3 - 1 1 0 【2 】f l b a u e r ，a s h o u s e h o l d e r s o m ei n e q u a l i t i e si n v o l v i n gt h ee u c f i d e a n c o n d i t i o no fam a t r i x j n u m e r i s c h em a t h e m a t i k ，2 ( 1 9 6 0 ) ，3 0 8 - 3 1 1 【3 】p b l o o m f i e l d ，g s w a t s o n t h ei n e f f i c i e n c yo fl e a s ts q u a r e s j b i o - m e t r i k a ，6 2 ( 1 9 7 5 ) ，1 2 1 - 1 2 8 【4 】m l e a t o n am a x i m i z a t i o np r o b l e ma n di t sa p p l i c a t i o n st oc a n o n i c a l c o r r e l a t i o n j j o u r n a lo fm u l t i v a r i a t ea n a l y s i s ，6 ( 1 9 7 6 ) ，4 2 2 - 4 2 5 f 5 】w g r e u b ，w r h e i n b o l d t o nag e n e r a l i z a t i o no fa ni n e q u a l i t yo fl v k a n t o r o v i c h p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 5 9 【6 】m a h a s a n g e n e r a l i z e dw i e l a n d ta n dc a u c h y - s c h w a r zi n e q u a l i t i e s a m e r i c a nc o n t r o lc o n f e r e n c e ，2 0 0 4 【7 1 a s h o u s e h o l d e r t h et h e o r yo fm a t r i c e si nn u m e r i c a la n a l y s i s m n e w y o r k ：b l a i s d e u ，1 9 6 4 【8 1 l y k o l o t i l i n & t h ec a s eo fe q u a l i t yi nt h eg e n e r a l i z e dw i e l a n d ti n e q u a l - 埘【j 】j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，1 1 4 ( 6 ) ( 2 0 0 3 ) ，1 8 0 3 - 1 8 0 7 f 9 】a w m a r s h a l l ，i o l k i n m a t r i xv e r s i o n so ft h ec a u c h ya n dk a n t o r o v i c h i n e q u a l i t i e s j a e q u a t i o n e sm a t h e m a t i c a e ，4 0 ( 1 9 9 0 ) ，8 9 - 9 3 【1 0 g a m i l l i k e n ，f a k d e n i z at h e o r e mo nt h ed i f f e r e n c eo ft h eg e n e r a l - i z e di n v e r s e so ft w on o n n e g a t i v em a t r i c e s c o m m u i n s t a t i s t t h e o r ya n d m e t h o d s ，6 ( 1 9 7 7 ) ，7 3 - 7 9 【11 】j e p e c a r i c ，s p u n t a n e n ，g p h s t y a n s o m ef u r t h e rm a t r i xe x t e n s i o n s o ft h ec a u c h y - s c h w a r za n dk a n t o r o v i c hi n e q u a l i t i e s ，w i t hs o m es t a t i s t i c a l a p p l i c a t i o n s j l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，2 3 7 ( 1 9 9 6 ) ，4 5 5 - 4 7 6 【1 2 1c r r a o ，s k m i t r a g e n e r a l i z e dh v e r s eo fm a t r i c e sa n di t sa p p l i c a - t i o n s m n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 7 1 f 1 3 1s g w a n g ，w c i p am a t r i xv e r s i o no ft h ew i e l a n d ti n e q u a l i t y a n di t sa p p l i c a t i o n st os t a t i s t i c s j l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ， 2 9 6 ( 1 9 9 9 ) ，1 7 1 1 8 1 【