（数学专业论文）再生核在算子方程求解中的应用.pdf

国防科学技术大学研究生院硕t 学位论文 摘要 算子方程的求解是数学理论和工程应用中最常见的问题之一，利用投影逼近 法求解算子方程是一种常见的方法将再生核应用在算子方程的投影解法中，可 以得到很好的结果本文主要是在连续再生核h i l b e r t 空间上阐述了这种再生核投 影法，具体内容包括以下三个部分 一是利用再生核投影法得到连续再生核h i l b e i r t 空间线性有界算子方程解析解 和数值解的形式，这部分的工作包括：拓展了再生核投影法的应用空间；给出了 利用再生核的性质判断一个空间是甭为连续h i l b e r t 函数空间的充要条件；简化和 发展了一些原有的结论二是在具体的连续h i l b e r t 函数空间上对线性微分方程组 初值问题和第二类f r e d h l o m 积分方程进行求解，这部分首次利用了一种新的再生 核，得到了很好的结果三是着重讨论了线性微分算子确定的再生核及其在求解 微分算子方程的应用，这部分不仅给出了不同线性泛函约束下微分方程解的关系， 而且还讨论了当线性微分算子l = d ”时的一些结论 子 主题词：算子方程，再生核，投影逼近方法，h i l b e r t 函数空间，线性微分算 第i 页 国防科学技术大学研究生院硕上学位论文 a bs t r a c t s o l v i n gt h eo p e r a t o re q u a t i o n si so n eo fm o s tc o m m o nq u e s t i o n sb o t hi nt h e m a t h e m a t i c a lt h e o r ya n dt h ee n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n t h ep r o j e c t i o na p p r o x i m a t i o n m e t h o dl sac o m m o na p p r o a c hf o rs o l v i n go p e r a t o re q u a t i o n s 、c a ng e tg o o dr e s u l t t h r o u g ha p p l y i n gt h er e p r o d u c i n gk e r n e l st ot h ep r o j e c t i o na p p r o x i m a t i o nm e t h o df o r t h eo p e r a t o re q u a t i o n s t h ep a p e rc h i e f l ye l a b o r a t e st h em e t h o do nt h ec o n t i n u o u s h i l b e r ts p a c e ，a n dt h r e ep a n sa r ei n v o l v e di nt h ep a p e r f i r s t l y ，w ec a l lo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o na n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o nf o rt h el i n e a r b o u n d e de q u a t i o n st h r o u g ha p p l y i n gt h e r e p r o d u c i n gk e r n e lp r o j e c t i o nm e t h o d ，a n dt h e w o r ki nt h i sp a r tc o m p r i s e se x p a n d i n gt h em e t h o dt ot h ec o n t i n u o u sh i l b e r tf u n c t i o n s p a c ea n dg i v i n gan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rd e t e r m i n i n gw h e t h e rh i l b e r t s p a c e si s ac o n t i n u o u sh i l b e r tf u n c t i o n s p a c ew i t ht h er e p r o d u c i n gk e n n e l sa n d s i m p l i f y i n ga n dd e v e l o p i n gt h eo r i g i n a lc o n c l u s i o n s s e c o n d l y ，t h el i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dt h es e c o n dk i n do ff r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n sa r en u m e r i c a l l ys o l v e di n t h ec o n t i n u o u sh i l b e r ts p a c e s ，t h i sp a r tm a k e su s eo fo n en e w r e p r o d u c i n gk e r n e lf i r s t l y a n do b t a i n sg o o dr e s u l t t h i r d l y ，t h e p a p e rf o c u s e so nt h er e p r o d u c i n gk e r n e l s d e t e r m i n e db yt h el i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n di t s a p p l i c a t i o ni ns o l v i n go p e r a t o r e q u a t i o n si nt h el a s tc h a p t e r ，t h i sp a r tn o to n l yp r e s e n t sar e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s o l u t i o n sw i t hd i f f e r e n tl i n e a rf u n c t i o n a lc o n d i t i o n s b u ta l s o d i s c u s s i n gs o m er e s u l t s w h e nt h el i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rl = d k e yw o r d s ：o p e r a t o re qu a t i o n s ，t h er e p r o d u c i n gk e r n e l ，p r o j e c t i o n a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，h i l b e r tf u n c t i o ns p a c e ，l i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕上学位论文 表目录 表4 1例4 1 的近似解及绝对误差2 3 表4 2 例4 2 的近似解及绝对误差2 8 表4 3例4 3 的近似解及绝对误差2 9 第1 l 页 国防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 图目录 图4 1例4 1 近似解的绝对误差2 4 图4 2 例4 2 近似解的绝对误差2 8 图4 3 例4 3 近似解的绝对误差2 9 第1 l i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 噩垒蕉查盛簋笠王友猩生鲍座屈 学位论文作者签名：刁睦塞丘砬鸦日期：瑚7 年应月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文作者签名： 作者指导教师签名： 日期：瑚7 年2 - 月1 日 日期：知矿7 年，2 月日 谴一缸遭一 缝 国防科学技术大学研究生院硕j 学位论文 第一章绪论弟一早珀下匕 1 1 论文研究背景 方程求解是一个既古老又现代的研究课题随着数学理论和其他科技的快速 发展，各种各样繁杂但具有现实意义的方程变得越来越重要了所谓算子方程就 是把这些繁杂的方程在抽象的空间上表示为算子的形式，分析研究方程解的存在 性、唯一性以及方程的数值求解理论算子方程及其近似求解的理论和方法在理 论数学、计算数学和各工程应用领域都有着重要的地位和作用在数学理论推导 中和众多工程领域，我们常常遇到大量的线性方程和非线性方程、微分方程、积 分方程和积分微分方程等等，而这些方程很多都可以转化成算子方程来讨论和解 决通过研究和探讨这些算子方程解的存在性、唯一性以及方程的数值求解，我 们可以更加深刻的认识原问题的某些本质和规律 在对方程求解理论的研究和探讨中，我们经常要用到数学分析特别是泛函分 析这个强有力的数学工具当然，随着数学分析理论的发展与进步，关于方程求 解的理论和方法和有很多发展和进步本文中所利用的再生核方法便是其中的一 种重要方法再生核在数值计算中有多方面的应用，如函数和算子的最佳数值问 题【1 7 】、算子方程的求解2 1 等方面 再生核理论兴起于上世纪初，但是一直没有得到很好的发展直到1 9 4 4 年， n a r o n z a j n | 1 3 | 发展了再生核的一般理论，这一理论给出了研究各种特殊核函数的理 论基础，并使得许多证明得以简化核函数在它所属函数空间中的再生性成为这 一理论的核心，所以这种再生性便直接作为再生核的定义1 9 5 0 年，a r o n z a j n 发 表了关于再生核理论的重要论文( ( t h e o r yo f r e p r o d u c i n gk e r n e l s ) 1 1 3 1 ，代表了再生 核理论体系的形成直到上世纪8 0 年代，再生核理论与应用研究进展较缓慢1 9 7 0 年，l a r k i n 给出了再生核h i l b e r t 函数空间中的最佳逼近原则【i 】，1 9 7 4 年c h a w l a 又给出了再生核h i l b e r t 函数空间具有多项式精度的最佳逼近规则【2 】1 9 8 4 年，徐 利治、周蕴时将再生核用于重积分的降维展开计算【l4 1 ，1 9 8 7 年王小林用再生核与 样条函数讨论c a u c h y 型奇异积分的数值计算【l5 1 1 9 8 8 年s a i t o h 出版了关于再生 核理论和应用的专著【l6 。从1 9 8 6 年开始，崔明根等人在再生核的构造【2 4 1 、再生核 的最佳逼近性i l6 】及其在方程数值解i l6 j 中的应用等方面做了一系列的工作 再生核之所以在数值分析中有很好的表现力，是因为它使得离散的取值问题 有了连续的表示形式为了进行数值计算，必须先计算出再生核的具体形式，这 是一个比较复杂的问题在这方面，很多学者已经给出了彳、= 同的方法来构造再生 核【1 5 1 ，并日将他们构造的再生核应用到了具体的方程数值求解中【”】1 9 8 6 年，崔 第1 页 国防科学技术大学研究生院硕上学位论文 明根和邓中兴1 3 1 设计了一个特殊形式的 二阶微分方程边值i 、u j 题，并求得到这个微分 方程的解，用直接验证的方法证明了这个解就是了酬 口，b 】空间一种再生核按照 这一思想，通过求解特殊的四阶微分方程边值问题，吴勃英等在1 9 8 8 年给出了 孵【矾b 】空间再生核的解析表达式【4 】崔明根等人利用再生核的具体形式给出了最 佳插值逼近算子的解析表达式，并用于第二类f r e d h o l m 积分方程的求解【9 j 1 9 9 9 年，李云晖等进一步给出了一类积分方程的精确解 1 0 - 1 1 2 0 0 2 年以来，李春利等 利用再生核的良好性质求解非线性算子方程，并给出了其精确解的表示【2 4 1 2 0 0 7 年以来，张新建等人采用了不同的方法研究了再生核构造和计算【2 4 】，目前正研究 将新的再生核应用于方程的数值求解 随着再生核理论及其在方程数值求解方面应用的发展，如前面提到的，国内 学者崔明根、吴勃英、邓中兴、阎玉斌、李云晖、文松龙及李春利等等在求解町 空间的各类算子方程的近似解做了大量工作，取得了很多引人注目的成绩这些 工作，在崔明根、吴勃英所著的再生核空间数值分析1 2 4 j 一书中做了全面的总 结张新建关于再生核与样条、再生核的构造与计算、再生核的应用也做了很多 工作，具体可参考他的著作样条函数与再生核1 2 引 本论文在这些前辈所做的大量而丰富的工作基础上，对h i l b e r t 空间中的一类 算子方程，利用再生核及投影法理论进行近似求解 1 2 本文研究内容和主要工作 论文主要包含以下几个方面的内容： ( 1 ) 第一章，介绍了论文的研究背景、内容和主要工作 ( 2 ) 第二章，对关于求解算子方程的投影法和再生核理论做简单而必要的介 绍前者主要参考了陈铭俊、陈仲划2 6 】在他们1 9 9 2 年的著作算子方程及其投影 近似解一书；后者主要参考了崔明根等所著的再生核空间数值分析及张新 建等所著的再生核及样条理论，即文献 2 4 和文献 2 5 】 ( 3 ) 第三章，主要是在连续再生核h i l b e r t 空间，对算子是有界线性算子的算 子方程进行探讨和研究在这一部分给出了该算子的共轭算子在一般h i l b e r t 空间 的内积表示；通过取空间所在区间的- - y j j 稠密点列，利用再生核的性质得到了 h i l b e r t 空间的一个完备基；大大简化并发展了以前已有结论的证明；将再生核应 用于算子方程投影解法的理论拓展到了连续再生核h i l b e r t 空间；在连续再生核 h i l b e r t 空间，给出了利用再生核的性质来判断一个空间是否为连续再生核h i l b e r t 空间的充要条件；给出算子方程的解析解和投影近似解；给出了一种求解投影近 似解的简便方法 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕上学位论文 ( 4 ) 第四章，作为第二三章理沦的应用，利用一种新的再生核对酬 口，b 1 空f h j 中 的两类算子方程，即线性微分方程组和第二类f r e d h o l m 方程进行数值求解，并与 之前已有的结果做了比较 ( 5 ) 第五章，讨论了一般线性微分算子及其确定的再生核，并将该再生核应用 到微分方程的求解中，研究了线性微分方程在不同定解泛函约束下解的关系；作 为特殊情况，本章还讨论了当微分算子= d ”时的一些结论 论文的主要工作包含以下几个方面： ( 1 ) 在一般的再生核h i l b e r t 空间给出了共轭算子的内积表示，较之前的结论， 该结论不仅更具有一般性，而且证明过程也大为减少 ( 2 ) 将再生核应用到算子方程的投影解法从孵h b 】空间拓展到了连续再生 核h i l b e r t 空间；在该空间中，给出了利用再生核的性质来判断一个空间是否为连 续再生核h i l b e r t 空间的充要条件 ( 3 ) 利用纠 口，b 】空间上的一种新再生核对线性微分方程组和第二类 f r e d h o l m 方程进行数值求解，并与之前已有的结果做了比较 ( 4 ) 利用一般线性微分算子及其确定的再生核，研究了线性微分方程在不同定 解泛函约束下解的关系，并将这种关系应用到微分方程的求解中作为线性微分 算子的特殊情况，还讨论了关于微分算子d ”的一些结论 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕上学位论文 第二章预备知识 2 1 算子方程及其投影近似解 本小节将主要介绍算子方程及其投影近似解，其中大部分内容引用文献 2 6 】， 即陈铭俊、陈仲英的著作算子方程及其投影近似解中的第一章和第三章的部 分内容 设x 和y 是两个抽象空间，丁为x 到y 的算子，欲求解算子方程 t u = f( 2 1 ) 此处f y 方程的数值解法大致可以分为两大类：逐次逼近和有限维逼近，各种类型的 迭代法属于前者；投影法，求解微分方程和积分方程的有限差分法和有限元素法， 属于后者 有限维逼近的核心在于将问题离散化，用有限维空间的近似方程来替代原方 程这首先必须将求解的空间和映像所在的空间离散化，并构造出原方程的近似 模拟离散和构造的方式不同，就得到各种不同的数值方法一般来说，是按某 种方法选取x 和j ，的有限维子空间序列 咒) 和 e ) ，以及x 到瓦的映射和j ，到 e 的映射q ，令瓦= p r i x ，以 瓦“。= q 厂( u 。疋) ( 2 2 ) 作为( 2 1 ) 的近似方程这样作出的近似求解的计算格式，记为f 。= x o ，p 。；k ，q ) ， 并称之为方程( 2 1 ) 的逼近格式 对于大多数近似求解的方法，和q 是线性算子如果只和q 是线性投影算 子，就是所谓的投影法此时，r 。称为投影逼近格式 定义2 1 1 2 6 i 设x 为b a n a c h 空间，p ：x 专x 为有界线性算子如果p 2 = p ， 且尸是自共轭的，则称p 为线性投影算子( p r o j e c t i v eo p e r a t o r ) 下面给出投影算子的一些基本性质 定理2 1 俐设p ：x _ x 为投影算子，则 ( 1 ) x = 尺( 尸) 0 ( p ) ； ( 2 )r ( 尸) = n ( i 一尸) ，n ( p ) = r ( i p ) ； ( 3 ) p v = v ，v v 尺( 尸) ； 其中记号n ( p ) 表示p 的值域 1 ，i1 ，= p u ，u x ) ，n ( p ) 表示尸的零空间 vlp v = 0 ，v x ) ，o 表示直和 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕上学位论文 定理2 2 1 2 6 1设m ，为x 的两个闭子空间，并且 x = mo n 如果存在有界线性算子尸：x x 使 p vm - v ，v v m ； p v = 0 ，v v n 则p 为投影算子，且m = r ( 尸) ，n = ( p ) 用投影法近似求解算子方程时，为了得到近似解的收敛性，投影逼近格式中 的有限维子空间序列和投影算子序列常要求满足下列的某些条件： ( 1 ) 疋 逐一包含，即咒c 鼍+ 。 = l ，2 ，) ； ( 2 ) 以) 与x 终归稠密，即 u 以= x n = l ( 3 ) ) 一致有界，即存在常数c 使 慨忙c ( ，2 = 1 ，2 ，) ( 4 ) ) 逐点收敛于恒等算子，：v v x ，舰| | 只1 ，一v 0 = o 关于上述条件相互间的关系，有如下的命题 定理2 3 1 2 6 条件( 1 ) ( 4 ) 有如下的关系： ( i ) ( 4 ) j ( 2 ) ： ( i i ) ( 4 ) j ( 3 ) ： ( i i i ) ( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) j ( 4 ) 证明因为对任何v x ，只v 以cu 五 = l ，2 ，) ，所以若条件( 4 ) 成 k = l 立，则v u 五从而( i ) 式成立 k = 1 由共鸣定理即可知( i i ) 成立 假设( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 成立，往证( 4 ) 成立任取，x ，据( 1 ) ，( 2 ) ， 存在序列饥) ，屹k 能使 慨一v i i = o 疗- - - o o ” ” 据( 3 ) 并利用三危不等式得 0 只v v 0 0 只v 一屹0 + l i 心一v 0 = l l p o , - v ) l + l l v - - v ( c + 1 ) i i 屹一1 ，8 可见( 4 ) 成立证毕 第5 页 围防科学技术大学研究生院硕上学何论文 定义2 2 1 2 6 1 设算子丁定义b a n a c h 空问x 的子集d ( t ) ( 表示算子丁的定义域) 而取值于b a n a c h 空间】，丁称为在d ( 丁) 上是弱连续的，如果对任意序列 x j ) c 7 d ( 丁) ，x j 专x d ( 丁) ( 一o 。) ，恒有戤，_ r ( 歹j0 0 ) 此处的收敛均表 示弱收敛 定理2 4 1 2 6 l 由b a n a c h 空间x 到b a n a c h 空间y 的有界线性算子是弱连续的 定理2 5 1 2 6 i 设x 和】，是自反的b a n a c h 空间，彳是x 到y 的有界线性算子， f 。= 咒，p 。；匕，q ) 具有性质( 1 ) ( 4 ) ( 即 疋) 、 k 都满足( 1 ) 和( 2 ) ； ) 、 q ) 都 满足( 1 ) 和( 2 ) 的投影逼近格式，则 ( 1 ) vx x ，4 e x 专a x ( r 专) ( 2 ) 对任何序列 _ cx ，x j 咒，( = 1 ，2 ，) ，( 专) ，如果_ 专x ，则 4 1 x ，专血( 一0 0 ) 设x 是b a n a c h 空间，并设空间y 为x 的共轭空间x + ，那么算子( 2 1 ) 中的 乃x x 的算子这种情况经常出现在一些数学物理方程中此时，投影逼近 格式f 。= 托，p 。；t o ，q ) 的构造，通常取q = p ，k = 巧x ，此处焉：x + jx + 为 e ：x 专x 的共轭算子，它由下式确定： ( 巧，v ) = ( ，v ) ，v v x ，x ( 2 3 ) 这里( ，y ) 表示有界线性泛函，x 在v x 的值这样，近似方程 t u 。= 9 - f ( u 。以) 成为：求u 。以使 l u 。= 巧f( 2 4 ) 其中瓦= 巧丁b 显然，巧是投影算子下面来讨论 艺，巧) 的一些性质，它们是由 以，) 派 生出来的当 r o ，q ) 由 k ，) 派生出来时，常简记为f 。= 以，p 。) 定理2 6 1 2 6 1 设x 为自反的b a n a c h 空间， 以) 为x 有限维子空间序列， e ) 为x 到以的投影算子序列，乞= e ( 甩m ) ，e = e n x ，那么，如果 五) 逐一 包含， 只 点态收敛于恒等算子，则 ) 逐一包含， 牟 点态收敛于x + 的恒等 算子， 证明由条件e 乞= ( ，z 聊) 可推出e 巧= 巧故当( ，z 肌) 时，匕c 匕 其次，据空间x 的自反性，如果u 艺= x 不成立，则必存在v x ，1 ，0 ，使 n = l ( ，v ) = o ，w u r o n = l 第6 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 于是 0 = ( 巧，1 ，) = ( ，乞v ) ，v i x + ，刀1 e h d ：知e v = o ( n 1 ) 但v 一，q 40 0 ) ，故v = o ，得出矛盾因此u e = x n = l 成立再利用定理2 2 即推出 牟 点态收敛于，证毕 假设x 为h i l b e r t 空间，( ，) 表示其内积如所熟知，若m 0 ) 是x 的闭子 空间，则存在正交投影算子p 使 r ( p ) = m ，( 尸) = m 上 又h i l b e r t 空间的正交投影算子p 是自共轭的、非负的，且算子范数为l ，即 ( p u ，v ) = ( “，e v ) ，v u ，v x ， ( p u ，“) o ，v u x ，i i e l l = 1 假设给了x 的一列有限维子空间 以) ，它们式逐一包含且终归稠密的以只 表示x 到e 的投影算子若e l ，e n ，是咒的一组正规直交基，则 v v e x ，1 ，= ( v ，e j ) e j 以 ( 2 5 ) j = l 由于1 1 只i l = 1 ( 行= l ，2 ，) ，据定理2 3 知 只) 点态收敛于恒等算子， 当投影逼近格式r 。中投影算子为正交投影算子时，称之为正交投影逼近格 式显然对于可分的h i l b e r t 空间，总存在正交投影逼近格式 2 2 再生核的定义及主要性质 在该小节，主要简介了再生核的定义和性质，主要内容引用了文献 2 5 】 定义2 3 1 3 1 i 设h 是内积空间，其元素是某个抽象集合b 上的实值或复值函 数，则称日是b 上的内积函数空间在不至于引起混淆时，也称h 为b 上的内积空 间 定义2 4 1 1 设日是b 上的内积函数空间，其内积为( ，) ，设k ( t ，s ) 是b 上的 二元函数，如果对每个给定的j b ，k ( t ，s ) 作为，的函数是h 中的元素，且对任意 的厂h ，有 ( j ) = ( 厂( ) ，k ( ，s ) )( 2 6 ) 则称k ( t ，j ) 是内积空间厅的再生核，日称为b 上的再生核内积函数空间，在不至 于引起混淆时，也称h 为再生核内积空间若日是完备的再生核内积空间，则称 日为再生核h i l b e r t 空间 第7 页 国防科学技术大学研究生院帧士掌何论文 对b 上的_ 二元函数k ( t ，s ) ，通常记k 。= k ( ，5 ) 用，+ 表示在t 处的点赋值泛函， 则我们有f + ( 厂) = f ( t ) = ( f ，k ) 定理2 7 1 2 5 i 设日是b 上的再生核内积空间，再生核为k ( t ，s ) ，则 ( 1 ) 对一切f ，s b ，有k ( t ，s ) = ( k ，k ) ，从而k ( t ，f ) 0 ； ( 2 ) 对一切，s b ，有k ( t ，s ) = k ( s ，f ) ； ( 3 )对一切r ，s b ，有i k ( ，s ) l k ( f ，) k ( s ，s ) ； ( 4 ) 若对某点t o b ，有k ( t o ，t o ) = 0 ，则对任意f h ，有f ( t o ) = 0 证明( 1 ) 由再生核的定义知，对每个f b ，有k h ，且k ( t ，s ) = ( k ，k ) ( 2 ) 由( 1 ) 的结果知，k ( t ，s ) = ( k ，k ) = ( k ，k ) = k ( s ，f ) ( 3 ) 应用c a u c h y s c h w a r z 不等式和( 1 ) 的结果，得到 l k ( t ，s ) l2 = i ( k ，k ) i2 ( ，k ) ( k ，墨) = k ( s ，s ) k ( t ，) ( 4 ) 若k ( t o ，t o ) = 0 ，则由( 3 ) 的结果知，对任意s b ，有k ( s ，t o ) = 0 ，于是 f ( t o ) = ( 厂，k ( ，t o ) ) = ( f ，0 ) = 0 ，v f h 推论2 1 1 2 5 1 设日是b 上的再生核内积空间，则其再生核是唯一的 证明 设k i 0 ，5 ) ，k 2 ( f ，s ) 都是h 的再生核，则由定义2 4 和定理2 7 ( 2 ) ，知 墨( ，s ) = ( k ( ，s ) ，k 2 ( 7 ，) ) = ( k 2 i , f ) ，k ( ，s ) ) = k 2 i s ，) = k 2 i t ，j ) 即再生核是唯一的证毕 定理2 8 1 2 5 1 设日为h i l b e r t 空间，h ，是日的闭子空间，p 是到h 的正交 投影算子，则 ( 1 ) 若q 是具有再生核k 。i t ，s ) 的h i l b e r t 空间，则 ( e f ) ( t ) = ( f ，k i ，) ，v f h ( 2 7 ) ( 2 ) 若日也是再生核h i l b e r t 空间，再生核为x ( t ，s ) ，则q 的再生核为 k ( ，f ) = p k ( ，r ) ( 2 8 ) 证明( 1 ) 对任意的f h ，因为厂一尸厂上q ，而k i ，h i ，于是 ( 厂，q ，) = ( s - p s ，q ，) + ( 尸厂，q ，) = ( 尸厂，q ，) = ( 尸厂) ( r ) ( 2 ) 易知p k ( ，t ) q ，又对任意的f h i ，有尸厂= f ，且注意到投影算子的 自共轭性，得 ( 麒，) = ( p 厂，k ，) = ( f ，k ，) = f i t ) 即胀( ，) 是且的再生核证毕 第8 页 国防科掌技术大学研究生院硕士学何论文 定理2 9 1 2 5 l 设内积空间h 具有再生核k ( t ，j ) ， g 。) 是h 的标准正交系， 则对任意满足e l a 1 2 0 ，对任意的s is 2 “口，b 】只要l 一s 2 i 万，对所有的f 陋，6 】有 i i x ( t ，而) 一x ( t ，是) 忙占 ( 3 4 ) 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院硕士宁何论文 证明 ( 充分性) 若k ( t ，s ) 满足条件( 3 4 ) 时，则v ( f ) h t a ，6 】有 l f ( t 1 ) - f ( t 2 ) | 2 = l ( 厂( ) ，k ( ，t 1 ) - k ( ，2 ) ) 1 2 l i 厂旷占 即v f ( t ) h a ，6 】，v 占 0 ，对任意的置，s 2 【a ，b 】只要i & 一s 2 i 万，有 i 厂( ) 一厂( ，2 ) i 8 厂i | 占 故h a ，b 】为连续再生核h i l b e r t 空间 ( 必要性) 首先根据再生核的再生性，对任意的s 1 ，s ：【a ，b 】有： i i k ( ，s 1 ) 一k ( ，s 2 ) 1 1 2 = ( k ( ，s 。) 一k ( ，s ：) ，k ( ，一) 一k ( ，s 2 ) ) = k ( s l ，而) 一k ( s 2 ，s i ) 一k ( s l ，s 2 ) + k ( s 2 ，s 2 ) ( 3 5 ) i k ( s l ，墨) - k ( s l ，s 2 ) h k ( ，s 2 ) - k ( s 2 ，s i ) i 又因为再生核空间h a ，b 】为连续再生核h i l b e r t 空间，故k ( s 。，s ) ，k ( s ：，j ) 作为j 的 函数均为连续函数，从而可知v 占 0 ，j4 ，嘎 0 ，当i f l t 2 i 磊，( f 。，t 2 【口，6 】) 时，有 i k ( s l ，t 1 ) - k ( s 1 ，f 2 ) i 占么 ( 3 6 ) 当k t 2 i 最，( t l ，t 2 【口，h i ) 时，有 i k ( s 2 ，t 1 ) - k ( s 2 ，t 2 ) i s 么 ( 3 7 ) 则1 主i ( 3 5 ) 、( 3 6 ) 和( 3 7 ) 式可知，v 占 0 ，存在常数万满足0 l l u ：1 1 2 从而当( 么) 0 ，u 2 ( 少) 是其中的最小范数解证毕 自此，我们在连续再生核h i l b e r t 空间得到了算子方程a u ( y ) = f ( y ) 的通解， 而且给出了方程最小范数解的具体表示在第3 3 节中，我们将讨论方程的最小范 数解的近似求解简便起见，下面都用u ( y ) 表示方程的最小范数解 由于在实际应用中，不可能在求解区间上取一列稠密点，而且正交化过程比 较麻烦，所以下面我们给出方程近似解的表示 3 3 算子方程的近似解及其数值求解 我t f j 总可以取区间【口，6 】上的有限个点 & 囊k 。c x l o ：川( 1 门) ，使得对任意的 l k n 有f o k ( y ) 萑n ( a ) ，由定理3 5 知 ( y ) ) ：，是一组线性无关组，并设 哌 ? 是 ( y ) ) ：。标准正交化的结果 设只是连续再生核h i l b e r t 空间h a ，b 】到s p a n 汐1 , ) ? 】上的投影算子，并记 k u n ( y ) 全甜( y ) = ( “( ) ，哌( ) ) 魄( y ) = 磊厂( _ ) 晚( y ) ( 3 1 4 ) 第1 8 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 其中玩表示正交化系数 定理3 9 一般地，( y ) 在，b 】上逐点收敛于u ( y ) ；当k ( y ，y ) 在【口，b 】上有 界时，( y ) 在 o ，b 】上一致收敛于“( y ) 证明因 痧( j ，) 兰州为h a ，6 】完全正交基，故舰慨( y ) 一甜( y ) l l = o 又 因为 1 ( x ) 一“( x ) i = | ( ( ) 一材( ) ，k ( ，x ) ) l - o ，使得1 1 ( x ) l l m ，从而v “兀叫， j = l 有i i a , , i - m 忱( x ) 0 = m 愀x ) l l ，从而4 是有界，则尸有界证毕 ，= l 上面讨论了算子p 及其性质，下面将讨论p 的表示 定理4 1 对任意v ( x ) 兀咧陋，6 】，关于共轭算子尸有 ( p 1 ，) ( y ) = ( v ( s ) ，p k ( s ，j ，) ) ， ( 4 5 ) 证明由于算子p 是连续再生核h i l b e r t 空间上的有界线性算子故根据定理 3 1 ，故尸的共轭算子p + 也是兀叫陋，6 】上的有界线性算子，且满足： ( 尸+ v ) ( y ) = ( 1 ，( s ) ，p k ( s ，y ) ) ，( v v ( x ) 兀咧 口，6 】) 证毕 做了上述的准备工作，我们就可以根据第三章的理论来求解算子方程( 4 4 ) 求解方程( 4 1 ) ，也就是求解方程( 4 2 ) ，亦即求解算子方程( 4 4 ) 文献 2 4 】证明了 方程组( 4 1 ) 式在明 口，b 】中算子尸是可逆的从而其共轭算子p 也是可逆的，即 ( 尸) = 0 设 _ ) - 是陋，6 】中的互异节点，记( y ) 全，k ( y ) 弓 u = 1 ，玎；i = 1 ，2 ，) ， 其中弓= ( o ，矗，o ) 且k ( y ) = k ( j ，薯) 并设将 ) 品p s c h m i d t 标准正交化 第2 l 页 州川 x 川 、x， q ， 。一 。 一 0“讪 x 有 ， 哝怯峪 兀。商 = v ， 恤 甜“ l i 甜v 国防科学技术大学研究生院硕上学何论文 ，j 后得到= 磁，其中雠是正交化系数( = l ，n ；i = 1 ，2 ，) 1 = 1k = l 根据第三章定理3 3 ，对任意所n 有 ( y ) ，= l ，n ；i = l ，2 ，朋 是兀吲中 的线性无关组；同时根据第三章定理3 4 ， 有 ) 鼢；是兀吲中的完全规范正交 系最后根据第三章定理3 7 ，得到算子方程( 4 4 ) 的解“( x ) = ( ) ，甜。( x ) ) 7 可表 示为： 材( 功= 甜j ( 戈e = ( _ ( x ) ，耽 ( 4 6 ) j = lj = li = l 自此我们给出了方程组( 4 2 ) 的精确解表示但是按照上面的方法求解方程组的 解，不仅求解过程繁琐，而且计算量很大为了更加简便地球的算子方程( 4 4 ) 的近 似解，我们按照第3 3 节，可进行简化，由于与向量相关，所以再叙述一遍 由( 4 6 ) 式可知，利用 ( x ) = ( 吩( x ) ，觋 ( 4 7 ) 3 = 1l = l 可以表示方程( 4 2 ) 的近似解解且根据定理3 1 0 ，当1 k m 时，有 p u 。( 心) = g ( 故) ( 也可参考文献 2 4 】) 由s c h m i d t 正交化过程，可以知道呒是由 ) ：誓线性组合表示的，从而( 4 7 ) 式可以写成 = q ( 4 8 ) i = 1j = l 其中q 是待定系数 对( 4 8 ) 式两边作用算子p ，并与k 血( j ，) 亏作内积，然后再乘亏，对，作和得 ( 尸“。，k ( y ) 弓再= 乞( p ，氏( 夕) 亏) 弓 ( 4 9 ) i = 1 = lt = lj = l 由p u ，( 吒) = g ( ) 式和( 4 8 ) 、( 4 9 ) 式可以得到 q ( ( x ) ，| ；f 厂“( x ) ) 萄= p u 。( ) = g ( ) ( 4 1 0 ) = 1l = lj = l 即得到关于 c ) 0 j 一) 的朋x n 阶线性方程组： q ( ，) = g ，( 坼) ( 七= l ，历；，= l ，门)( 4 1 1 ) i = lj = l 由于 ) 黥是线性无关的，所以可得到( 4 9 ) 式的系数矩阵是正定对称的，所 第2 2 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 以方程组( 4 1 1 ) 式是有解的为方便求解方程组( 4 1 1 ) 式，一般将它表示成矩阵的形 式求l p , f c 。 ? 后便可得到方程组的近似解 、 7 i ，l ， 下面列举一个算例来说明文中方法的实用性基于以上的理论，我们应用了 m a t h e m a t i c 5 2 对以下方程作了求解 注：表4 1 4 3 ，图4 1 4 3 中每组近似值与真值的误差的正负号都是一致的故 为了方便比较，这些图表就全采用了近似值与真值的绝对误差来表示 例4 1求解线性微分方程组 “( 石) + 1 ，( x ) = x 2 v ( x ) + “( x ) + v ( x ) = 1 甜( o ) = - 5 ，v ( o ) = 4 已知真解为u ( x ) = - - x 2 4 x 一5 ，v ( x ) = x 2 + 2 x + 4 计算结果见下表4 1 表4 1例4 1 的近似解及绝对误差 节点真解近似解绝对误差节点真解近似解绝对误差 0- 5 05 0004 04 00 0 1 - 5 4 1 5 4 0 9 8 90 0 0 0 l1o 14 2 14 2 0 9 8 60 0 0 0 1 4 o 25 8 4- 5 8 3 9 7 30 0 0 0 2 70 24 4 44 4 3 9 8 20 0 0 0l8 0 36 2 96 2 8 9 6 20 0 0 0 380 34 6 94 6 8 9 6 7 0 0 0 0 3 3 o 4- 6 7 66 7 5 9 5l0 0 0 0 4 90 44 9 64 9 5 9 5 20 0 0 0 4 8 “o ) o 5- 7 2 57 2 4 9 3 60 0 0 0 6 4 v ( x ) o 55 2 55 2 4 9 4 80 0 0 0 5 2 0 6- 7 7 6- 7 7 5 9 2 50 0 0 0 7 5o 65 5 65 5 5 9 310 0 0 0 6 9 0 7- 8 2 98 2 8 9l30 0 0 0 8 70 75 8 95 8 8 9l50 0 0 0 8 5 o 88 8 4- 8 8 3 8 9 80 0 01 0 2o 86 2 46 2 3 9 0 80 0 0 0 9 2 0 99 4