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时滞不确定j “义系统的控制器殴计 时滞不确定广义系统的控制器设计 摘要 本文主要利用线性矩阵不等式技术和l y a p u n o v 稳定性理论，分别讨论了 时滞不确定广义系统的 乙控制器和正实控制器的设计方法 在第一部分，首先考虑了带有状态滞后和不确定性的连续广义系统的乒 控制问题。给出了其广义二次稳定且满足一定的见。性能指标的充分条件，进 而讨论了当控制器存在扰动的情况，给出了系统的非脆弱控制器的具体设计 方法紧接着又研究了输出方程和状态方程均含状态滞后和不确定性的连续 广义系统的非脆弱控制器的设计问题。还用仿真例子说明了所给结果的可行 性。 在第二部分，考虑了广义系统的正实控制问题，首先给出了滞后离散广 义系统扩展严格证实的充分条件；基于此充分条件，又给出了系统存在不确 定性时正实控制器的设计方法接下来又得到了带有状态滞后及不确定性的 连续广义系统正实控制器的设计方法 最后在总结全文的基础上，指出了有待进一步研究的若干问题 关键词；广义系统：广义二次稳定：乙控制；非脆弱控制；正实控制 堕堂至塑塞! ：墨墨丝堕丝型登垦生 c o n t r o l l e rd e s i g nf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y s a n du n c e r t a j n t i e s a b s t r a c t b yu s i n gl m it e c h n i q u e sa n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ym a i n l y , t h ep a p e rd i s c u s s e s t h ed e s i g nm e t h o d so f 也c o n t r o l l e ra n dp o s i t i v er e a lc o n t r o l l e rf o ru n c e r t a i ns i n g u - l a rs y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y sr e s p e c t i v e l y ， t h ef i r s tp a r tc o n s i d e r s 以c o n t r o lp r o b l e mf o ru n c e r t a i nc o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s - t e r n sw i t hs t a t ed e l a y s ，a n dg i v e ss u f f i c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a tt h es y s t e m sa r eg e n e r a l q u a d r a t i cs t a b l ea n ds a t i s f ys o m e 珂。p r o p e r t y t h ep a p e rf u r t h e ro b t a i n st h ed e s i g n m e t h o do fn o n f r a g i l e h 。c o n t r o l l e rf o rs u c hs y s t e m si nt h ec a s eo fc o n t r o l l e rg a i n p e r t u r b a t i o n ，a n d g a i n s t h e d e s i g n m e t h o do f n o n f r a g i l eh 。c o n t r o l l e r f o r u n c e r t a i n s i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y sb o t hi ns t a t ee q u a t i o na n d i no u t p u te q u a t i o n f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dm e t h o d 。 i nt h es e c o n dp a r t p o s i t i v er e a lc o n t r o li ss t u d i e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a t d i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y sa r ee s p ri sg i v e n ；b a s e do nt h i sc o n d i t i o n ， t h ed e s i g nm e t h o do fp o s i t i v er e a lc o n t r o l l e rf o ru n c e r t a i nd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s w i t hs t a t ed e l a y si so b t a i n e d t h e n ，t h ep a p e rc o n s i d e r sp o s i t i v ec o n t r o lp r o b l e mf o r u n c e r t a i nc o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y s f i n a l l y , t h ep a p e rp o i n t so u ts o m ep r o b l e m sw h i c hs h o u l db es t u d i e df u r t h e r , k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ；g e n e r a lq u a d r a t i cs t a b i l i t y ；也c o n t r o l ；n o n f - r a g i l ec o n t r o l ；p o s i t i v er e a lc o n t r o l 2 x ( t ) ：r l 维状态向量 y ( t ) ：p 维测量输出向量 z ( t ) ；，维控制输出向量 c a ( t ) ：q 维干扰输入向量 u ( t ) ：m 维控制输入向量 符号表 9 t ”：n 维实向量空间 c 4 ：口维复向量空间 a ：大写字母表示适当维数的矩阵 彳7 ：实数矩阵彳的转置 a ：复数矩阵a 的共轭转置 i ：单位矩阵 x 0 ：矩阵是正定矩阵 x 0 ：矩阵石是半j 下定矩阵 y ( r ) ：表示l y a p u n o v 函数 ( 主主 ：表示对陈矩阵，即群代表砑 时滞不确定广义系统的控制器设计 1 3 引言 随着现代控制理论与方法应用于工程系统的深入和向其它学科领域的渗透， 一类更具广泛形式的系统被发现，它与我们通常讨论的j 下常系统相对应，称之为 广义系统自1 9 7 4 年r o s e n b r o c k 在研究复杂电网络系统的过程中首次提出广义 系统 1 概念以来，人们在经济管理、电子网络、生物工程、航空航天技术、物 理变量的静态限制和脉冲元件等领域发现了很多广义系统的实例 2 在实际中， 事物的发展过程总会出现延迟现象，如电磁波和信号的传递、生物体对外界刺激 做出的反应、机动车的制动过程等等，都会出现明显的时间滞后现象，并且任何 事物都或多或少的存在着不确定性的干扰因素因此，对这类系统的研究具有重 要的现实意义和理论意义三十多年来，广义系统的研究已取得了丰硕的成果， 如关于广义系统的最优控制、保成本控制、故障诊断、j 下实控制、。控制等对 线性定常广义系统的研究理论上己相当成熟，目前时滞不确定广义系统已引起众 多学者的兴趣本文主要讨论这类系统的风，控制和萨实控制问题 鼠，控制理论起源于2 0 世纪9 0 年代，由于它弥补了控制理论在实际应用中 的不足及其模型本身所具有的广泛适用性，使其受到人们的普遍重视，已发展成 为当今最重要的控制理论分支之一近年来，j 下常系统的日。控制的研究已取得 了长足的进展 3 ，4 ，5 ，各种h 。控制器的设计方法相继提出另外，对中立型系 统的日。控制也有研究 6 对广义系统日。控制的研究一般是设计控制器使得闭 环系统容许且闭环传递函数矩阵的无穷范数小于某一给定的j 下数或者要求闭环 系统容许且输出变量的范数与输入变量的范数满足一定的关系文章 7 和 8 分别给出了线性定常离散和连续广义系统容许且传递函数矩阵小于某j 下数的 充要条件，【9 ，l o 探讨了广义系统的h 。控制，但大都没有考虑控制器存在扰动的 情形，并且输出方程中一般都没有状态滞后 另外，本文还讨论了时滞不确定广义系统的讵实控制正实性是网络理论中 6 时滞不确定j 义系统的控制器设计 一个重要概念，在系统与控制中的稳定性、耗散性、鲁棒性、二次型最优以及非 线性控制研究中具有重要意义，关于正常系统j 下实性的研究已取得了一些成果， 【1 1 】中给出了j 下常系统容许且扩展严格j 下实的充要条件，【1 2 】研究了带有不确定 性的正常系统的j 下实控制问题，【1 3 】给出了中立型系统扩展严格正实的充分条 件与正常系统相比，对广义系统j 下实性的研究还较少，文 1 4 】分别就离散和连 续情形，给出了广义系统容许且扩展严格下实的充要条件，基于这个充要条件， 1 5 】 就输出反馈情形，给出了正实控制器的设计方法而对时滞广义系统正实控制的 研究还较少 针对目前对广义系统。控制和j 下实控制的研究状况，本文首先给出了时滞 不确定广义系统非脆弱h 。控制器的设计方法，接着又给出了这类系统的正实控 制器的设计方法 7 时滞不确定 “义系统的控制器设计 1预备知识 广义系统：系统的状态模型通常归结为如下形式 嬲浆嬲筘0 。 - ， 【g ( x ( f ) ，珊( ，) ，：( f ) ，f ) = 其中t ( 2 ) x ( t ) 表示x ( ，) 的微分( 或差分) ，x ( f ) ，z ( f ) ，c o ( t ) 分别是系统的打维状态、 ，维输出和q 维输入向量，相应的系统称为连续系统( 或离散系统) 当系统( 1 1 ) 表示线性连续模型时，可以表示为 e ( ，) x ( f ) = 4 ( f ) x ( f ) + 口( ，) 国( ，)( 1 2 ) l z o ) = c ( ，) x ( ，) + d ( ，) ( f ) 这黾，爿( r ) ，b ( ，) ，c ( f ) 和d ( ，) 为适当维数的时变矩阵，当e ( t ) 非奇异( 对任意的 t r ) 时，系统( 1 2 ) 称为正常系统，即通常所说的线性系统；当e ( t ) 奇异时， 则称为广义系统，广义系统又被称为奇异系统( s i n g u l a rs y s t e m s ) ，微分代数 系统( d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i cs y s t e m s ) 等 当e ( f ) ，爿( r ) ，b ( f ) ，c ( ，) 和d ( ，) 为常数矩阵时，系统( 1 2 ) 称为时不变系统， 并记e ( t ) = e ，a ( t ) = a ，b ( t ) = b ，c ( t ) = c ，d ( t ) = d ，相应的广义系统称为时不变广 义系统，简称广义系统 定常线性连续系统的一般形式为 e x ( t ) = 瓜( ，) + 口出( ，)( i 2 ) 【j ，( ，) = ( f ) 十d a _ ( t ) 定常线性离散系统的一般形式为 严( t + 1 ) = 爿z ( 。) + 曰缈( 七( 1 2 ) 。 i y ( k ) = q ( ) + d r o ( k ) 类似于正常系统，同样有时滞广义系统 广义二次稳定：考虑系统( 1 2 ) 当脚( f ) = 0 时，如果存在j 下定函数v ( t ) ，标量 8 时滞不确定广义系统的控制器设计 口 0 ，使得矿( ，) 沿系统( 1 2 ) 的导数满足 多( ，) 0 都有g ( j ) + g ( j ) 0 ；系统( 1 2 ) 是 严格正实( s p r ) 的如果g ( j ) 在闭右半平面解析且对任意的脚e 【o ，+ ) ，有g ( j c o ) + g ( 问) 0 ：系统( i 2 ) 是扩展严格j 下实( e s p r ) 的如果它是严格正实的，并且 g ( j o o ) + g ( j o o ) 0 正实“1 ：系统( 1 2 ) 是正实( p r ) 的如果传递函数矩阵g ( z ) = c ( z e 一爿) 。b + w d 在h l 内解析，且对任意的h 1 都有g ( z ) + g ( z ) o ：系统( 1 2 ) 。是严格歪j ( s p r ) 的如果g ( z ) 在f z j l 上解析，且对任意的曰【o ，2 2 r 1 ，g ( e j e ) + g ( p 卵) 0 ；系统( 1 2 ) 是扩展严格正实( e s p r ) 的，如果它是严格正实的，且g ( j o o ) o r g ( 歹) 0 引理i 1 1 1 7 1系统( 1 2 ) 容许当且仅当存在矩阵p 满足 f e 7 户= p 7 e 0 1 a 7 p + p 7 a 0 证明参考 6 】中引理3 的证明 引理1 4 1 0 1 设k l ，如，k 3 是具有适当维数的矩阵且k 2 0 ，则 k j k 3 + 髟；k i k i k 2 k i + 髟；k ；1 k 3 ( 1 6 ) 引理1 5 1 彳，w ，d ，c 为适当维数的矩阵且 o ，f ( f ) 7 f ( t ) ，如果存在 杯量s 0 ，满足缈一s d d 7 0 ，则 ( 爿+ d f ( f ) c ) r w 一( 彳+ d f ( f ) c ) 8 - i c r c + 爿r ( 一f d d r ) 一a ( 1 7 ) 引理1 6 t 3 1 设a ，d ，f ，矽 o ，v 0 是具有适当维数的矩阵，满足一f 7 阿 0 ，则对任意的【o ，+ ) ，有 ( 爿+ d f e 归) - 1 ( a + d f e 。) a ( w f 7 v f ) 一a 7 + d v 一d 7 ( 1 8 ) 引理1 7 设a ，m ，p ，w 是适当维数的矩阵，p = p r , f 7 ( 七) f ( 女) ，。其中 占 0 是杯量，且满足占。，一m7 p m 0 ，那么 a 7p m f ( k ) w + 7f 7 ( 后) m 7p a + 7 f 7 ( 后) 吖7 p m f ( k ) w s g - i w7 十a r p m ( s 一一m 7 p m ) 一m 7 p a ( 1 9 ) - 1i 证明令y = ( 占一，一m7 p m ) 7 m7 p a 一( p 一，一m7 p m ) j f ( k ) w ，由y y 0 及f 7 ( ) f ( ) 兰，得不等式( 1 9 ) 时滞不确定j h 义系统的控制器设计 引理1 8 3 1 ( s c h u r 补引理) 设可= 足，月；= 如，则 ( 跏 当且仅当r 2 o ，r i 一踊1 s 7 o ，或蜀 o ，r 2 一s r i s 7 o 通常称喝一s ? 4 s 7 0 ( 或是一趼s 7 0 ) 为是( 或冠) 的s c h u r 补 2 时滞不确定广义系统的控制器设计 2 时滞广义系统的。控制 过去人们在设计广义系统控制器时，大多假定系统有不确定结构，却很少考 虑控制器本身的不确定性，k e e l 和8 h a t t a c h a r y y a 在文 1 6 中指出当控制器的 参数存在摄动时，传统的鲁棒控制方法表现出高度的脆弱性，目前对广义系统非 脆弱控制的研究也备受关注，其中 1 9 ，2 0 1 给出了广义系统的非脆弱乒控制器的 设计方法，但两篇文章的输出方程中均不含状态滞后所以本节针对同时带有状 态滞后和不确定性的连续广义系统，设计带有控制器增益变化的无记忆线性状态 反馈控制 2 1 输出方程不含状态滞后的连续广义系统的非脆弱以控制 2 1 1 系统描述 考虑带有状态滞后的连续广义系统 r e x ( t ) 。a x ( t ) + 4 x ( t h ) + h t o ( t )( 2 1 ) i z ( ，) = 凸( ，) + d w ( t ) 其中x ( f ) ，z ( f ) ，c o ( t ) 分别是系统的状态变量，控制输出，外部干扰，e ，a ，4 ，b ，h ，c 和d 是已知的具有适当维数的实值矩阵。e 是奇异矩阵，h 是时滞常数 引理2 1 如果存在矩阵s 0 ，p 满足 e p = p e 0 ( 2 2 ) ( 爿7 p + 爿p i 尸r 彳+ sp r s a l ) 0 ，如果存在j 下定矩阵s 和矩阵p 使得 f e r p ：p 7 + e 0 i ，一“+ p 彬c + s + p 7 4 s - , 4 7 p + y - 2 删r p 0 和矩阵p 使得 e r p = p r e o 【p r a + a 7 p + c 7 c + s + p 7 4 s 。1 彳p + ( h + c 7 d ) v 。( p + d 7 0 0 ( 2 5 ) 则系统( 2 1 ) 是广义二次稳定的，且传递函数g ：( s ) 满足：6 g 2 0 ) 忆 0 证明由式( 2 5 ) 和引理2 1 知系统( 2 1 ) 广义二次稳定，又由式( 2 5 ) 可得 p r j + j 7 p + 亭7 - c + s + p 7 4 s 一彳p + 户7 万矿p 。亿s ， 将式( 2 8 ) 展开即得 ( c f ( f l o ) “圩+ d ) ( c ( r ( ) 。) 何+ d ) ，2 ，( 2 9 ) 圳g 2 ( 酬。 ， 时滞不确定广义系统的控制器设计 下面考虑系统( 2 1 ) 带有扰动时的情形 工( ，) - - - ( a + 削) 工( ，) 十( a i + 她) x ( ，- h ) + ( b + 8 ) “( ，) + ( 日+ 日) 脚( ，( 2 1 0 ) iz ( t ) = c x ( ，) + d c o ( t ) 其中“( ，) 为该系统的控制输入，a 4 4 ，出，j v 为系统不确定项，且有如下结构 b ) = m f ( t ) ( n 机) ，a a j = m f ( ，) j v l ，a h = m 2 f 2 ( t ) n 2 其中m ，m l ，m 2 ，n ，n h ，n i ，n 2 为已知的实值矩阵，f ( f ) 中，只( f ) ，e ( f ) 中， = f ( t ) ：f ( ，) 7 f ( t ) ，) 本节的目的是寻求无记忆线性状态反馈控制“( ，) = k x ( t ) ，使得系统( 2 t o ) 的闭环系统对不确定性爿，4 ，衄，a 日都是广义二次稳定的，且闭环传递函数矩 阵g ( s ) 满足8 g ( j ) 忆 0 和三个正的标 量毛，岛，岛使得式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 成立，则系统( 2 1 0 ) 在无记忆线性状态反馈 u ( t ) = g x ( t ) 下的闭环系统对于系统的不确定项和控制器增益扰动都是广义二次 稳定的，且闭环传递函数矩阵g o ) 满足g ( s ) k ， e r p ：p 7 e 0( 2 1 1 ) 其中 u p r 4p7 h + c 7 dp ”b m ，p 7 m 7 箕p - s000 n 1 h 1 p + d 。c0 d 。d y 2 1 00n ： 峨营p 0 0 1 m ：n j n h m 3 一9 2 1 00 m t p00 0 一e 3 1 0 w n i n 2 00 一e l l g ( s ) 盘c 【j 一( 爿+ ，4 ) 一( 一l + 4 ) p + 曲】( + j v ) + d 0 ( 2 1 2 ) 时滞不确定广义系统的控制器设计 令 t = u = p + p ra o + c t c + s + s 1 n j n 3 + s l p t ( m m + m l m j + m 2 m ：、p a o = a + b k ，= n + n b k 证明在反馈u ( t ) = ( k + a k ) x ( t ) 下，系统( 2 1 0 ) 的闭环系统为 e x ( t ) = 【磊+ m f ( t ) w + ( b + b ) a k 】x ( f ) + ( + 4 ) x ( f 一 ) + ( h + a h ) o a ( t ) z ( f ) = c x c t ) + d i n ( t ) p 7 ( 4 + i f ( f ) 阡7 + ( 曰+ a 8 ) 足) + ( a + m f ( t ) w + ( b + a b ) a k ) r j p + c 7 c + s ( 4 十m ) 7 p ( h + a 1 1 ) 7 p + d 7 c 撑群、 一s 撑 i o d 一，2 ，j = 五十正+ 五十e 其中 r p 7 4 + 彳p + c 7 c + s 牟群 石= i群p - s拌 【 h 7 p + d 7 c0 d 7 d y 2 i 乇=p7朋f0。p704，700 0 0 h 乇= ii 【j = p t = p l 孥m f n o m ，鼬q n 0 qq 楗f 3 ( t ) tm r ( b + m f ( t ) n j p oo0 000 6 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 0 0 m o m o 矿o o v 从 o o 瞰 。盹o w o o ，。，。 o o mo o 膨o o ，。l r 叭叫叫 0 0 o 五= r 时滞不确定j i 义系统的控制器设计 由引理1 4 得 e + 五 0 ，利用引理1 5 可得 ，7 ( b + m f ( t ) n b ) m 3 f 3 ( t ) n 3 + 埘f a t ) 7 埘( b + m f ( t ) n h ) 7 p s p 1 b m , ( 6 2 1 - e 3 m r n r n h m 3 ) “m j b 。p + p t m m t p + c 2 峨m 由式( 2 1 6 ) 和式( 2 1 7 ) 得 r t = 互 麓p h 7 p + d 7 c p 7 丘p 7 h + c 7 d s - n 1n l s o o d 7 d y 2 ， + i 1 n ；n z ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 其中e = u + p 7 b m 3 ( q l - e j m ；职虮鸩) 。埘b 7 j p + 町1 w w + e ；1 ，7 m m 7 p 由式 ( 2 1 1 ) 、( 2 2 2 )s c h u r 补引理可得r 于 0 和可逆阵p 使得 e 7 p = p 7 e 0 ( 2 2 0 ) f p 7 a + a 7 p + c 7 c + 口c j 十s # 1 i 4 p s 拌i 0 ( 2 2 1 ) i h 7 p + d 7 c 0 一v j 则系统( 2 1 9 ) 广义二次稳定且传递函数g 3 ( j ) 满足：0 g ( s ) 忆 。 证明由式( 2 2 1 ) 可得 r 分蟠矧 。 z z ， l彳p sj m 纠 r 卅娄 0 f 2 2 3 ) f p 7 a + 爿7 p + c 7 c + s #撑、 卅ps # i 0 ( 2 2 4 ) 1 日7 ，+ d 7 c0 一vj 结合s c h u r 补，由式( 2 2 2 ) 和引理2 1 得系统( 2 1 9 ) 广义二次稳定 由式( 2 2 3 ) 得p r a + a 7 p + c c l + s + a l s 一。群p + 2 7 。p 7 删7 p o 。 令 r ( j a o m e aa l e 叫衲。结合引理2 2 得 厅7 r ( ) 。g r g r ( j c a ) h 了y 2 ，( 2 2 5 ) 由式( 2 2 4 ) 得 p r a + a 7 p + c 7 c + s + p 7 4 s 一1 群p 十( h + c 7 d ) v 一( 日7 p + d 7 c ) o 由引理2 3 得 g 2 ( j a ) ) g 2 ( j ) 妥，( 2 2 6 ) 又 g ( j r o ) g ( 出) = g 2 ( _ ，) g 2 ( j o ) ) + h 7 r ( ，缈) 。0 q r u 功) - 1 日+ g 2 ( 归) c l r ( 归) 卅胁7 + h 7 r ( p ) 。c r g 2 ( j c o ) e 。7 由引理1 4 可得 g 3 ( j r o ) g , ( j r o ) 2 g 2 ( j a j ) g 2 ( r i o ) + 2 h 7 r ( 加) 。g r c , r ( j 缈) 1 h 结合式( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 得g 3 ( j a ) ) g ，( j c o ) ，2 几所以l l g , ( s ) l l 。 ， 类似2 1 节，考虑系统( 2 1 9 ) 带有控制和不确定项时的情形 1 9 时滞不确定广义系统的控制器殴计 j e x ( t ) = ( a + t u l ) x ( t ) + ( 4 + 4 ) x ( t 一 ) + ( b + l x b ) u ( t ) + ( h + m - 1 ) o j ( t ) 【z ( ，) = ( c + c ) x ( ，) + ( c l + a c , ) x ( t r ) + ( d + 2 t d ) c o ( t ) ( 2 2 7 ) 其中b 为己知的实值矩阵，“( ，) 为控制输入，z x a ，4 ，a b ，胴，a c ，a c , ，z x d 为系统 的不确定项，且有如下结构 ( a a 占) = m f ( f ) ( | m ) ，( a ca d ) = m 4 ( f ) ( m 5 ) m = m i e ( ，) l ，a h = m 2 f g t ) 2 ，a c , = m 6 f 6 ( t ) 帆 其中m ，m i ，m 2 ，m 4 ，m 。，n ，n b ，n ，n 2 ，m 和6 为已知实值矩阵，函数f ( f ) ， f lc t ) ，v d t ) ，只( r ) 和f 6 ( t ) 均属于集合m ，o = f ( f ) ：，( ，) 7 ，( ，) s n 下面的目的同2 1 节，即寻求控制u ( t ) = k x ( t ) 使系统( 2 2 7 ) 的闭环系统对上 述不确定性都是广义二次稳定的，且传递函数g ( s ) 满足i i g ( j ) | l 0 ，如果存在矩阵z ，可逆矩阵y ，j 下定矩阵s ， 四个正的标量q ，岛，毛和_ 使得式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 成立，则系统( 2 2 7 ) 在无 记忆线性状态反馈控制u ( t ) = a t 。x ( t ) 下的闭环系统对于系统的不确定项和控制 器增益扰动都是广义二次稳定的，且闭环传递函数矩阵g ( j ) 满足忪( j ) 9 。 y y 7 e 7 = e y 0( 2 2 s ) ，= ( 2 杰) 。 亿 其中 g ( j ) = 【c + c + ( c i + a g ) e 一” s e - ( a + a a ) 一( 4 + 4 ) p 一“】一1 ( h + a ) + d + d j n = d i a g - s - , - i 。- c 1 i ，一2 i ，2 m j n j n h m l 一i f ，- 1 ，m 4 m ：一 l , - e i l ，s 4 m 6 m ：一i 时滞不确定广义系统的控制器设计 j i l = a y + y r a l7 + b x + x 7 8 1 + ， m m l + m l m j + m z m j 鼙n j n l s 7 o ( y y r n t + x t n ：y r n j mb m 3 y r n j y r c t y r n ：y r c j 以l = 1 000 0 00000 10 0000n ：d 7 00 证明在反馈“( ，) = ( 足+ a k ) x ( t ) 下，系统( 2 2 7 ) 所得闭环系统为 e x ( t ) = 【4 + m f ( t ) w + ( 口+ a b ) a k x ( t ) + ( 4 + a a , ) x ( t 一而) + ( + a h ) o g ( t ) z ( t ) = ( c + c ) x o ) + ( c l + a c t ) x ( t f ) + ( d + a d ) c o ( t ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 其中a = a + b k = 彳+ b x y - , w = + m 置= + m 删一取p = y - ，由式( 2 2 8 ) 得e 7 p = p e 0 令 t = p ，( 4 + m f ( t ) w + ( 曰+ 日) k ) 十( 4 + m f ( t ) w + ( 曰+ 口) k ) 7 。户+ ( c + c ) 7 ( c + c ) + ( c i + c i ) r ( c l + c i ) + s ( 4 + a l ) 7 p ( + h ) 7 p + ( d + d ) 7 ( c + a c ) = + 瓦+ 瓦+ 五十五+ 正 其中 群 一s o 瓦= 尸7 4 + 彳p + s a ；p h 1p 2 群 拌 - s 群 。一荽， z ( 2 3 2 ) ， 广一： 撑襻 一： 晖 ， 广一： 一曲 # 撑 队 功 a+ 时滞不确定广义系统的控制器设计 五= 尸7 0 。尸7 0 4 尸7 0 r 铲l 。 。j = 7 瓣弧，喜矧 三，= ( c 0 d ) ，兰：= ( m 0 m ) ，瓦= 巧7 乃= l p r ( b + m f ( t ) n ) m 3 f 3 ( t ) n 3 0 n or e 。，肘；b + 朋f 。m 7 尸ii 正= ( c + c ) 7 群拌 ( c + a c ) o0# 置a d ) 7o ( d + a o ) 7 。( d + a d ) x ( c + a c ) 、 = ( - _ - - i + 托只( f ) 兰2 ) 7 ( 三l + 肘4 只( f ) 量2 ) f ( c 1 + c 1 ) 7 ( c l + c 1 ) 桴撑1 正= i o o 群l l 0 0 0 j 由引理2 4 知，如果t o ，i - g , m 6 m r 0 ，利用引理 1 5 可得 p t ( b + m f ( t ) n b ) m 3 f 3 ( t ) n 3 七峨f 3 ( t ) t m ；( b + m f ( t ) n h ) t p s p r b m 3 ( g t i - o r 2 m ；n ：n h m j l m j 学p + p 4 m m t p + l 峨n 3 堕堡至堕塞! ：墨墨丝塑丝型矍生盐 ( 2 3 4 ) t ；1 三墨2 + 三? ( f 一，m t 埘) - 1 兰- ( 2 3 5 ) ( c 1 + m 6 f 6 ( t ) n 6 ) ( c i + 帆层( f ) 6 ) 联t 6 + 0 ( ，一毛帆磁) 。c l ( 2 3 6 ) 由式( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 、( 2 3 6 ) 得 r t = 墨pn j n j s 替 h ? 七8 ；峨n ttn峨n 1 + s ? 峨n s 一安l 。一岛m4 m t 丫c j ，i f ：；，毛二：0 d ( 2 3 7 ) 其中 已= p 。a + a 1 p + p 。b k + k t b p + s + w t w + p t ( m m t + ml m ：+ m m r ) e + p r b m 3 ( c , i s m ：n j n h m 3 ) 。m j b t p + 0 p t m m l p + s t n ：n 3 + ；n i n + c t ( i 一3 m m j r c + s ? n 6 t n + q ( i - e 4 m b m ：t ? c t 令r = d i a g y r , ，z i rd i a g y ，) ，页= d i a g y r , ，) 亍d i a g y ，) ，贝0 r r = 墨n jn 、- s 祷 h 崛r + e i 删 n n 4 y + 旧。瓮二嚣挈2 其中 f = a y + y r a 7 + 以+ f + ，盯+ ( y 十科( j 7 7 y + m + + 聊岬+ m 磁+ b m 3 ( e i i 一乏珥w m ) 一磁矿+ i 溉f + e , y r n m y + 一j ，7 村n 4 y + y r c 7 ( ，一岛嵫磁) 一c y + c ；。，醒j ，+ y 7 口( ，一毛坛磁) - i c , r 由s c h u r 补得i 0 等价于j 0 ，由式( 2 2 9 ) 得r s 忑 0 ，所以t 0 结合弓 理2 4 得系统( 2 2 7 ) 在无记忆线性状态反馈控制“( ，) = x y 。x ( f ) 下的闭环系统对 于系统的不确定项和控制器增益扰动都是广义二次稳定的，且闭环传递函数 g ( j ) 满矧g ( s ) 儿 ， 堕堂至塑塞! ：墨墨竺塑丝型矍堡生 2 2 3 数值仿真 考虑系统( 2 2 7 ) ，其中 e 2 ( ： ，4 = ( 一1 ：。6 5 三 ，口= o l ， ，4 = ( 之17 。 ，= ( ：芝) c = ( 0 4 一。2 ，c = c z - , o - - 一o ，肘= ( ：j 是) ，m = ( 。善3 ，吖：= ( 。o 。) 坞- - 0 0 1 ，托= o 0 2 ，帆= 0 0 1 5 ，= ( o 3 3 5 - 0 0 7 ) ，m = o 1 ，m = o 0 2 l = ( o 0 10 0 2 ) ，m - - ( o 2 o 1 ) ，- - ( o 1 - - 0 1 ) ，虬= - 0 1 虬- - ( o 0 1 - 0 0 3 ) 存在矩阵r = ( ：一：5 l j = ( 1 。5 ) ，标量e i = 1 0 0 , 岛= l ，岛：5 ，_ ：。1 满足定 理2 2 的条件，所以系统( 2 2 7 ) 在无记忆线性状态反馈控制“( ，) = ( 1 1 ) x ( f ) 下 的闭环系统对于系统的不确定项和控制器增益扰动都是广义二次稳定的且闭环 传递函数g ( j ) 满足j j g ( s ) 忆 ， 时滞不确定j “义系统的控制器设计 3时滞广义系统的正实控制 目前对时滞广义系统的正实控制的研究还较少，本节中分别给出了时滞不确 定离散和连续广义系统的正实控制器的设计方法 3 1 时滞离散广义系统的正实控制 3 1 1 系统描述 禹敢厂义系统冈播殓为如f 彤式 瓣d x 脚( k ) + h o j c x ( k ) 似 ( 3 1 ) 【z ( 七) =+ q 珊( t ) 一 其中工( t ) ，( ) ，z ( 七) 分别为系统的状态，外部干扰和输出变量，e ，a ，日，c ，h 为具 有适当维数的常值矩阵，假设h 为方阵，r a n k ( e ) = ， 行 带有状态滞后的离散广义系统形式为 j 及( 。+ 1 ) = 爿娴) + x ( k - d ) + g ( o ( 七( 3 2 ) 【z ( ) = c l ( ) 十q x ( k d ) + h l o j ( k ) 其中4 ，c i 为具有适当维数的常值矩阵，d 是滞后常数，且取整数值系统( 3 2 ) 可 化为如下维数更高的无滞后系统 蓊鬻? h + i 筹 。， i z ( 七) = 0 r ( t ) + 脚( 七) 其中星= d i a g ( e ，) ，h l = i x ( t ) = ，a = a0 0 爿， ，o oo 00 00 00 1 0 。h = h o ： o o ，= c 7 0 ： 0 c j 器：搿 “ 颤 时滞不确定广义系统的控制器设计 样，如果系统( 3 3 ) 是因果的，就称系统( 3 2 ) 是因果的；另外，当系统( 3 3 ) 正则 且d e t ( z 墨一4 ) = 0 的所有根都在单位圆内部，即方程d e t ( z e a z a 1 ) = o 的 注2 ：设系统( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的传递函数分别为g ：( z ) ，g ，( z ) ，由于 g 2 ( z ) = g ( ：) ，当系统( 3 3 ) 分别是p r 、s p r 和e s p r 时，系统( 3 2 ) 也分别是p r 、 旧rpa-erpc hp a 一。掰篇尸h ) 。 c s s ， 【 一7 一( h i + j ) + 7 j