（计算数学专业论文）一维变系数问题的有限元强校正.pdf

湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 摘要 本文研究一维问题( 包括变系数两点边值问题，变系数一维抛物 问题) 有限元逼近的强校正问题对于非均匀网格，有限元解通过本 文的计算格式进行校正，将获得每个单元上的整体强超收敛结果， 使得应力和位移的收敛阶都提高了2 阶 首先，我们利用投影型插值，证明了一个强超逼近定理 其次，对于变系数两点边值问题，我们获得了一个有限元强校 正格式在以上定理的基础上，结合求原函数运算，给出了理论证 明并且数值实验验证了这一理论发现 最后，我们利用r i t z v o l t e r r a 投影及其时间依赖型g r e e n 函数，对 一类变系数抛物问题获得了一个有限元强校正结果并在此基础上 讨论了后验误差估计 关键词：有限元，变系数，强校正，投影型插值，r i t z - v o l t e r r a 投影 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 - i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i 8 ，w 电s t u d yu l t r a c o n v e r g e n tc o r r e c t e ds d l e m e0 ff i n i t ee l e m e n t a p p r o x i m a t i o ni no n e d i m e n s i o n a lc a s e ( i n c l u d ev a r i a b l ec o e m c i e n t st w o p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，、m r i a b l ec o e 岱c i e n t sp a r a b o l i cp r o b l e mo f o n es p a c e d i m 皂璐i o n l e v e nf 缸q h a s i u n i 如r mm e s h e s ，w eo b t a l nag l o b eu l t r a c o n v 莳一 g e n tr e s u l ti ne v e r ye l e m e n tu s i n gt h ec o r r e c t e ds c h e m eg i v e ni n o u rp a p e r t h r o u 曲c o r r e c t i n g ，t h ec o n v e r g e n tr a t eo f 8 t r e s sa l l dd i s p l a c e m e n ti n c r e a s e2 ， r e s p e c t i v e l h a tf i r s t ，w ep r a v eat h e o r e mo f 丘n i t ee l e m e n tu l t r a a p p r o x i m a t i o n n e x t ，f o rv a r i a b l ec o e m c i e n t st 、v o - p o i n tb o u n d a r yv m u ep r o b l e m ，a u l t r a c o n v e r g e n tc o r r e c t e ds c h e m ef o r 矗n i t ee i e m e n ti so b t a i n e da i l dp r o v e dd i r e c t l y b yt h em e t h o do fr e q u e 8 t i n go r i 百n a 王f u n c t i o n a n dc o m p u t a t i o n a lr e s u l t s d e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a l 矗n d i n g a tl a s t ，f o rv a r i a b l ec o e 佑c i e n t sp a r a b o l i cp r o b l e mo f o n es p a c ed i m e n s i o n ， w eo b t a i nau l t r a c o n v e r g e n tc o r r e c t e ds c h e m ef o r 鑫n i t ee l e m e n tl 培i n g r i t z _ v o l t e r r ap r o j e c t i o na n dt h et i m e d e p e i l d e n tg r e e nf u n c t i o n s f l l r t h e r m o r e ，w e d i s c u s s e dap o s t e r i o re r r o re s t i m a t i o n k e yw o r d s ：矗t ee j e m 朗t ，v a r j a b j ec o e 岱c j 朗姆u 托r a c v e r 驴n c d r r e c t i o n ，p r o j e c t i o ni n 把r p o m i o n ，尉t g v o j e r r ap r o j e c t i o n ， 湖南师范大学2 4 届硕士学位论文 第一章绪言 有限元超收敛性质和后验误差估计在有限元计算中具有重要的 实际意义近年来，这方面的研究工作已取得较丰富的研究成果【一他】 1 9 9 2 年z i e n k i 二i c z 与z i i 等【1 ，2 l ；( 简称z z ) 提出了超收敛单元片应力 恢复( | 室r ) 技术，并报道了一些强超收敛( 高2 阶) 数值结果，对常系 数两点边值问题，z h a n 臣z m i ；l | i 从理论上证明了恢复导数的强超收 敛性，张铁i | | 】提出了导数小片插值恢复技术并证得类似结果，朱起 定与赵庆华i i i l1 6 ，1 7 1 利用投影型插值方法给出了有限元解的一个校 正解，获得每个单元上的整体强校正结果对于变系数两点边值问 题，陈传淼【】提出了”新的正交化修正”，获得了一些强超收敛点 本文考虑一维变系数问题的有限元强校正问题有限元强校正 即通过某种计算格式对有限元解进行后处理，而获得高2 阶的超收 敛数值结果本文叙述了如下一些内容： 第二章，介绍了投影型插值，投影型插值是本文研究的基本工 具 第三章，给出了有限元强超逼近定理及其证明，这是有限元强校 正格式理论证明的基本定理 第四章，对变系数两点边值问题，我们获得了一个有限元强校正 格式，给出了理论证明，并进行了数值实验 第五章，利用投影型插值，融；季l l t a s s a 投影及时间依赖型g t * * n 函数，将有限元强校正格式成功的推广到一维变系数抛物问题 我们获得的强校正结果具有如下的优势及特点： 1 与文献【1 3 ，l l ，1 5 】相比较，我们的强校正结果针对的是更为复杂 的变系数问题，研究范围更广泛，当然也能应用到常系数问题 2 与文献 ； 相比较，经过校正，我们获得的是整体强超收敛性 3 我们的 究 5 我们考虑了抛物方程 6 我们的结果对奇次元和偶次元都成立，而s p r 技巧仅对偶次元获 得内结点上恢复导数的强超收敛性 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 - 2 本文在论证中使用通常的s o b o l e v 空闻和范数符号，用c 表示与 网格剖分尺寸_ f l ，真解u 无关的一般常数 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 第二章一维投影型插值及其性质 投影型插值是最优插值，是本文研究的基本工具正如文【6 所 说：”有了最优插值，可对有限元作后处理，产生更高阶的逼近” 假定p 是区间i = ( o ，1 ) 上的一个拟一致剖分，魏是该剖分上的k 次有限元空间： 甄= 瓯( ，) = 如g ( j ) ：训。r ( e ) ，”( o ) = ( 1 ) = o ) 设 e = ( g 。一h e ，。+ _ l e ) 为一维单元且 = 2 m 一 k ) 考虑工。( e ) 上的规范正交多项式系 ( z ) = 弧k 1 胆， 厶( 。) = 吼( 击) m ( z ) 】i “1 ) ， 矾= 庐雾 f k 2 = d ( h 2 ) ， 其中a ( 茁) = 【 一) 2 一 孔并令 c ，0 ：h 配 u t = 西妒( 。一( 铲吼 咄+ l = j 羔一 。厶( ) d $ = 吼( 鑫) 一1 【a ( 。) r ，“1 ) m l 斗1 = 仨一 。咄( 。) 妣“2 ) 性质1 ( 见文【6 】) m ( 。) 和m ( z ) 具有如下性质： 1 ) 1 二 ) i 曼g _ i l 孑叫，( l i ，工j ) 。= ，i u i ( 茁) i g ：7 2 ， 2 ) 姑( 。士_ i l 。) = 0 ， 2 ， 3 ) u ( z e 一( 一茁e ) ) = ( 一1 ) 4 挑( z 。+ ( 茁一z 。) ) ， 4 ) ( c 吨，p 一3 ) c = 0 ，e 3 ，v p 一3 b 一3 ( e ) ， 5 ) 如果t ，j 2 且 + j 是奇数，那么，屿) 。= o ， 6 ) i d 一二k i e f 叫。，“七，七1 ) 其中d 一表示在e 上对作z 次原函数运算，p m ( e ) 是所有在 e 上的m 一阶多项式的集合，而 ( p 川e = z p g 如 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 t 4 现在设n 灯t 【e ) ，于是“工2 ( e ) ，将它展开成f 0 u r i e r 级数 t 上= a o + 0 1 l 1 ( z ) + 0 2 工2 ( ) + ，+ o 女工( z ) + ( 2 1 ) 其中n = ( u ，“) 。在( 2 1 ) 两边乘以特征函数 一k 蒜；： 利用p a r s e r v a l 等式得 即 其中 且有 隧溢k ， 岛= o ，一l = ( u ，工j 一1 ) = ( 一1 ) ( u ”，d 一1 岛一i ) 由性质1 可以定义一个k 次插值算子 旗：日1 ( j ) r ( e ) 这种插值叫k 阶投影型插值 ( 2 2 ) f 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) z + qq ：豆 i | 0 扫岛 ：豆 = 曲 一 o 为有界函数，在o - 的某种限制下( 如2 。o a l o ) ，有 n ( u ，叫k ) g 0 因而4 反l g 胪+ 1 加+ 1 2 州女扎 ( 3 - 1 0 ) 一 一 e ) k u t一口 知 l 刁一叭僦 =主a eb u uo 而 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 8 定理3 3 假定7 _ n 是区间j = ( o ，1 ) 上的一个拟一致剖分，取是 该剖分上的k 次有限元空间，则有 l n ( u 一0 钍+ 反) ，”) i 墨g 七+ m + 1 l t i 七十1 ，q l l u l i k ，p ，v u s k ， ( 31 1 ) 其中： m 十l ，m = 1 ，2 ，；+ j = l ，1 q o 。 证明，注意到命题3 1 ，1 ) 得 8 ( 牲( 如珏+ 风u ) ，”) e = n 如一( 旗钍+ 展u ) ，讪”) e ( 3 1 2 1 = n ( “一如“，i k l u ) e 一卢k 口( u k ，一l u ) e 由( 3 3 ) 及性质2 ，4 ) 有 l n ( “一砍珏，t 七一l 劫) 。is 一 舻 _至 ” 一 q-墨 嘧叫e e 口 口 + + 女 钍 u + + m m + + k k 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 9 利用h j l d e t 不等式得 l o ( t 一( 如t + 反u k ) ，”) 。 p ：女+ m j ， ( 31 8 ) g + m + 1 l u i 女+ 1 q i l 0 一 定理即证 于是有如下推论： 推论3 1 在定理33 的条件下有 l ( u 一( k u 十反u k ) ， ) g + “+ 1 i u l 女+ 1 ，口| | ”0 ：n ，p ，v 既， ( 3 1 9 ) 其中： k m 十l ，m = 1 ，2 ，；+ ；= 1 ，l 口o 。 | | o ，系数q 适当光滑，对应变分问题是：找u 硎( n 使 o ( ，”) = ，( ) ，v f ，f ( ，1 塑童堑苎查兰垫竺鱼堡圭兰竺丝叁 ：! ! ： 其中 n ( u ，”) 。，【。u ”7 + n ，u ”+ 。” d z 4 2强校正结果及其证明 根据第三章定理3 3 及离散g r e e n 函数理论( 见朱等1 1 2 和林，朱 i i ；立即得到： 定理4 1 设u 。是两点边值问题( 4 1 ) 的k 次有限元解，那么有强 超逼近： 1 u h 一“r u + 反u k ) | i ，c 2 + 2 i u l r + 1 t s ， ( 七2 ) ， ( 4 2 ) i u 一( f k u + 反u 女) i o ，。曼c + 3 1 uj k + 1 g ， ( 七3 ) ( 4 3 ) 设u 日州( ，) 是方程( 4 1 ) 的真解，于是有 ”= 一n i l ( ，一n l t i + n ：“一n o u ) 由基本估计u u = o ( 胪+ ，) 川川，。以及性质l 得 胁= ( ，厶一1 ) e = 一( u ”，d 一1 皿一1 ) e = ( o i l ( ，一o u ) ，d 一1 三l 一1 ) e + ( 口i 1 ( o ；一1 ) u 7 ，d 一1 l l 一1 ) e = ( o i l ( ，一血o u ) ，d 一1 l 2 1 ) 。一( ( i 1 ( o ；一n 1 ) u ) ，d 一2 l f 一1 ) c ( f 一122 ) = ( o i l ( ，一n o u ) ，d 一1 lc 一1 ) + ( ( 。i 1 ( o l n ：) ) u ，d 一2 三l 1 ) e + ( o i l ( a 1 一畦) ，d 一2 l i 。) e = ( n i l ( ，一盘o “) ，d 一1 l f 1 ) e + ( ( o 彳1 ( n t n ：) ) “7 ，d 一2 l i 一1 ) e 一( n i 2 ( 。1 一o ；) ( ，一0 1 u + n ：1 7 一。“) d 2 工f 1 ) e = ( o i l ，| d 一1 工一1 ) e + ( 一。o 。i 1 ，d 一1 上f 一1 ) e + ( 血彳2 ( o ；一n 1 ) ，d 一2 上卜1 ) c + ( n o 口i 2 ( n l o ；) “，d 羹f 一1 ) e 十( ( ( 。；1 ( o l o ；) ) + ( 口i 1 ( o l 一：) ) 2 ) 乱7 ，d 一2 l f 一1 ) e = ( o i l ，山f ) e + ( 一口o n i l u h ，u f ) 。+ ( n i 。( o ；一n 1 ) ，m 1 ) e + ( o o i 2 ( 0 1 一o ) t h ，m f + 1 ) e 十( ( ( o i l 扣l o ) ) + ( 血i 1 ( n 1 一“；) ) 2 ) “2 ，7 n f + 1 ) e + d ( + 5 7 2 ) i “i k l 、 兰所+ o ( 胪+ 5 2 ) i “ + 1 ，( 2 = 南 1 艮+ 2 ：盘2 ) 塑童塑垄叁兰! ! 塑鱼至圭兰堡篁圭 ：! 坠 令 饿= 等= 蠢急訾豢普糍赢，讹一， p 。 n ( u k ，u 女) e( l k 一1 ，0 2 l k 一1 + o l u k ) e + ( u * ，n o u ) e 。 7 其中咖= n 扛+ n 1 机，则有 弓l 理4 1 。i 良+ p i 【g h 七+ 5 2 ( 1 u l k 州，+ l u 【+ 2 。声) i ( 一1 ) ( ( “，d 一k ) | g 一1 2 k 1 t g 驴一1 ，2 l l “k l 。 ( 4 5 ) g 一1 2l i 。 1 e c h ( ( “一如“) ，o o u 女) e i = l ( u 一k u ，o o u 女一缸一2 ( o o u ) ) e l c 胪+ 1 l u l + 1 ，o o e 胪一1 1 0 0 u k l k l ，1 一 sg 2 l u l k + l ，0 。，。 l u k 一l ，1 ，。 ( 4 6 ) e 2 + o 一忙一1 ) l 训十l ，o o ，。l l u i l o ，l ( 七1 ) s g + 5 2l u l k + 1 ，e ， l ( ( u i 七十l “) 7 ，咖) 。l = l ( ( u i 十l u ) ，咖一破咖) e l g f l 2 + 1 i u i k + 2 m e r + l ，l ，e 茎g 2 。+ 1 i u h 2 。i i u k 忆l ，。 ( 4 - 7 ) g o + 1 i l + 2 ，e l l u k i i o ，l ，e g f z + 5 2 i 珏h 2 m e ， 并注意到( 3 1 0 ) ，有 i 凤+ 饿】 = 面面 讽1 0 ( “一i “u ) e 一库| fl ( l 肛，庐) e 1 sg i ( ( u i k u ) 7 ，) 。成+ 1 ( l ，妒) 。十( ( u 一。乱) ，“o u ) c i 5g i ( ( u i + 】“+ 仇+ 1 u 1 ) ，) 。一成+ 1 ( l ，) e l 十c h 8 + 5 2 h + 1 m e g i ( 凤十l 一雕+ 1 ) ( l ，咖) 。| + g i ( ( u 一“+ 1 u ) ，咖) c i ( 4 8 ) + g h + 5 ，2 i u b i m i 雾篓骚拜 7 e 薯；j 孟耋薹建；i i j 奏j 毒；! 畦；i 薹鲁重! ；! i i i ；i i 薯：； 妻 蔫 k + l ，+ 1 u l k + 2 、，)| f 一 一 o 用b ( ；u ，”) 表示由算子b ( t ) 确定的聊础上的双线性形式，即： b ( 岛“，口) = ( 。2 u 口7 + 8 l 缸7 口+ o 钍u ) 咖， j n 其中u = 爱，且记 ( t ；，x ) = ，) ( 如 j n 设丁j z ( o 1 ) 是区域q 的一族拟一致剖分，s c 硎是定义在7 _ n l 二的分片k 次多项式构成的有限元空间定义问题( 5 1 ) 的半离散有 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 1 8 限元近似为： 求u h ( t ) ：l ，- + 甄满足 赴乱h ，x ) + b ( ；t 如，) ( ) = ，x ) 。x s ，# 五( 5 2 ) “ ( 0 ) = u h & ，( 5 3 ) 其中眠一警，从方程( 5 1 ) 的第一式和( 5 2 ) 式可推得 ( t ；( “一让a ) ( ) ，x ) + b ( t ；“( t ) 一 ( t ) x ) = o ，x 瓯( 54 ) 现取初值u h ( o ) = r “o ，满足 ( o ；u o 一“ ( 0 ) ，x ) = 0 ，x s ，( 5 5 ) 则对( 5 4 ) 式关于z 积分得 ，t ( 赴钍0 ) 一珏h 0 ) ，x ) + f 丑( 7 ；“( r ) 一u 丁) ，) d 下= o ，x 鼠( 5 6 ) j 0 不妨令 一 y ( t ；u ( t ) ，u ( ) ) = ( t ；“( t ) ，。( t ) ) + b ( t ，r ；“一) ， ( t ) ) d t ，( 5 7 ) j 0 则可以定义有限元r i t z _ v 0 1 t e r r a 投影玩：。日3 ) _ + 工。o ( j ；鼠) 满足 y ( ；让( ) 一让( t ) ，x ) = 0 ，x 甄，工( 5 8 ) 比较( 5 6 ) 与“( t ) 的定义( 5 8 ) 即可发现：当初值u ( o ) = r u 。时，由 ( 5 2 ) ，( 5 3 ) 定义的半离散有限元解u n ( ) 即为抛物方程精确解u ( t ) 的有 限元r i t z v o l t e r r a 投影k ( t ) 这样，当取初值。 ( o ) = 忍“o 时，本文下述的所有关于u ( 如的结 果，对抛物方程的半离散有限元解“n ( t ) 都保持成立于是我们将利 用投影型插值，从r i t z - v 0 1 t e r r a 投影着手，去讨论抛物方程的强校正 问题 注：1 9 8 8 年，c a n n o n 和l i n l l9 j 引进了r i c z v o j t e r r a 投影，定义为；h ： “( ) _ u ( t ) 乳满足 r l a ( t ；u ( t ) 一“( f ) ，口) + b ( t ，r ：u ( 下) 一k “( t ) ，u ) d r = o ，口瓯，( 5 9 ) j 0 其中a ( ；u ，u ) 和b ( t ，f ；u ，) 分别是与算子a ( 站扫b ( t ，r ) 相应的双线性形式 可见，本文由( 5 8 ) 武定义的r i t z v o l t e r r a 投影是由( 5 9 ) 式定义的r i t p v 0 1 t e r r a 投影的一种特殊形式，故由式( 5 9 ) 定义的r i t z v o l t e r r a 投影的有关结论在本 文中都是适用的 塑壹! ! 苎叁兰竺! 鱼塑圭兰竺丝叁 ：! ! ： 现定义函数俨( ) ，以( t ) 的离散近似分别为g i ( t ) ，巩g i ( t ) 。l o 。( j ；甄) 满足 矿( 亡g 2 ( ) 一g ( t ) ，x ) = o ，x 乳，t 正 ( 5 1 5 ) y ( t ；a 。g 2 ( t ) 一玩g 置( t ) ，) = 0 ，x s h ，j ( 5 1 6 ) 根据文【2 0 ，2 l ，2 2 ，1 2 1 的研究成果可有如下估计 i i 巩g i 0 ) l | 1 ，l + i l g 2 ( t ) 0 2 ，1 + 一1 i i g 。( t ) 一g i ( t ) i l l ，1 + i i 以g | | + i i g i ( t ) 悒，l c ( 口( t ) + f 口( r ) d f ) ，t ， ( 5 1 7 ) 在本文中也将使用如下符号： 川t 0 ) 。巾= l i “( ) i i p + 后1 1 u ( r ) | 1 m d i t ， 5 3强校正格式及其证明 定理5 1 设u ( t ) l 。( 日3n w 川，o 。) ，u ( t ) ，t k “( t ) 乳分别是 。( t ) 的有限元r i t z v 0 l t e r r a 投影和k 次投影型插值逼近，则如下超收敛 估计成立 1 “u ( t ) + 反( t ) “托一“( t ) 1 l ，o 。sg h + 2 川u ( t ) + 1 ，o 。，2 ， ( 5 1 8 ) 1 i 七u ( t ) + 反( t ) “堰一u “) l o o 。g h 。+ 3 l u ( 亡) k + 1 ，南3 ( 5 1 9 ) 证明记e ( t ) = i u ( t ) + 厥( t ) u b h u ( t ) 、依次使用以g 。( t ) 和乱g i ( t ) 所满足的方程( 5 1 3 ) ，( 5 1 6 ) ，等式( 51 1 ) ，“( t ) 的定义，推论3 1 ，定理3 3 估计式( 51 7 ) 和等式( 5 1 0 ) 可得到 l 譬巩【t ，z ) o ( 1 ) d “ = j ：iy ( t ；岔g ( ) ，e f 。( t ) ) 训 = ij ：ly ( t ；( t ) ，以嚷( ) ) 酬 = ij ：y ( t ； k 让0 ) + 卢k 0 ) u k 一“o ) ：以g ；0 ) ) d t i g + 2j ：川“( ) | k + l ，o 。l l 以g i ( t ) l i l ，l 出，( 2 ) s g + 2r | l l u ( t ) + 1 o o ( 口( t ) + 上1d ( t ) d r ) d t = g + 2 口( 川u ( ) 川女+ l ，。+ 露川“( r ) 川b + l ，。d t ) d ( t ) 出 取a ( t ) = 一。( t ，s ) ，并令_ “_ + o ，由式( 5 1 4 ) 得到 钛e j l ( s ，z ) i e + 2 | | 1 1 ( q ) | l jk + 1 ，。c v s 2 n 塑壹! ! 苎叁兰竺! 鱼塑圭兰竺丝叁 ：! ! ： 现定义函数俨( ) ，以( t ) 的离散近似分别为g i ( t ) ，巩g i ( t ) 。l o 。( j ；甄) 满足 矿( 亡g 2 ( ) 一g ( t ) ，x ) = o ，x 乳，t 正 ( 5 1 5 ) y ( t ；a 。g 2 ( t ) 一玩g 置( t ) ，) = 0 ，x s h ，j ( 5 1 6 ) 根据文【2 0 ，2 l ，2 2 ，1 2 1 的研究成果可有如下估计 i i 巩g i 0 ) l | 1 ，l + i l g 2 ( t ) 0 2 ，1 + 一1 i i g 。( t ) 一g i ( t ) i l l ，1 + i i 以g | | + i i g i ( t ) 悒，l c ( 口( t ) + f 口( r ) d f ) ，t ， ( 5 1 7 ) 在本文中也将使用如下符号： 川t 0 ) 。巾= l i “( ) i i p + 后1 1 u ( r ) | 1 m d i t ， 5 3强校正格式及其证明 定理5 1 设u ( t ) l 。( 日3n w 川，o 。) ，u ( t ) ，t k “( t ) 乳分别是 。( t ) 的有限元r i t z v 0 l t e r r a 投影和k 次投影型插值逼近，则如下超收敛 估计成立 1 “u ( t ) + 反( t ) “托一“( t ) 1 l ，o 。sg h + 2 川u ( t ) + 1 ，o 。，2 ， ( 5 1 8 ) 1 i 七u ( t ) + 反( t ) “堰一u “) l o o 。g h 。+ 3 l u ( 亡) k + 1 ，南3 ( 5 1 9 ) 证明记e ( t ) = i u ( t ) + 厥( t ) u b h u ( t ) 、依次使用以g 。( t ) 和乱g i ( t ) 所满足的方程( 5 1 3 ) ，( 5 1 6 ) ，等式( 51 1 ) ，“( t ) 的定义，推论3 1 ，定理3 3 估计式( 51 7 ) 和等式( 5 1 0 ) 可得到 l 譬巩【t ，z ) o ( 1 ) d “ = j ：iy ( t ；岔g ( ) ，e f 。( t ) ) 训 = ij ：l x 塑童坚苎查兰垫墼鱼塑圭兰釜燕圭 ：! ! ： 由推论5 1 以及性质l ，及其求原函数运算得 屈= ( u f ，厶一1 ) 。 = 一( u ”，d 一1 l f 1 ) = ( o i l ( ，一n o u u ) ，d 一1 l l 一1 ) e + ( 口i 1 ( 畦一虮) o ，d 一1 l l 一1 ) e = ( o i l ( ，一n o t 一t ) ，d 一1 工l 一1 ) e 一( ( 口i 1 ( o 一a 1 ) u ，) ，d 一2 l 一1 ) e ，( i l 2 ) = ( a i l ( ，一o o t 一t t ) ，d 一1 五l 1 ) 。+ ( ( n i l ( d 1 一口) ) 牡，d 一2 l f 一1 ) e + ( i 1 ( 0 1 一畦) t ”，d 一2 如一1 ) e = ( n i l ( ，一n o t 工一m ) ，d 一1 l l 1 ) 。+ ( ( n i l 扣l 一口) ) ，d 一2 l 一1 ) e 一( i 2 ( q l 一吐) ( ，一n l u 7 + 吐一b o t 一扯t ) ，d 一2 工l 。) e = ( o i l ，d 一1 二i 1 ) e + ( 一啄1 ( u t + a o t ) ，d 一1 工l 1 ) e ( 5 2 1 ) + i 2 ( o & 一0 1 ) ，d 一2 二c 1 ) e + ( n i 2 ( 8 1 一畦) ( t + o o u ) ，d 一2 厶一1 ) e + ( ( ( 口i 1 ( b l 一吐) ) + ( 8 i 1 ( 8 l o ) ) 2 ) 0 ，d 一2 l f 一1 ) e = ( n i l ，叫k + ( 一啄1 ( u # + 咖u ) ，蛐k + ( o 产( n 一d 1 ) ，m l + 1 ) e + ( 口i 2 ( 口l 一畦) ( t ，t + n o u ) ，m l 十1 ) e + ( ( ( n i l ( n l 一畦) ) + ( 口i 1 ( n 1 一畦) ) 2 ) t ，”l + 1 ) e + d ( ，产+ 5 2 ) ( l l b l i l + l ，+ 0 现“( 曲i u 女+ l ，* ) 三 成+ 0 ( 胪+ 5 2 ) ( t 上川七+ l ，。o + | d t t ( t ) k + l ，o 。) ， “= 七十1 ，七+ 2 ；南2 ) 令 成= 糕= 蠹等等篆嵩裟赢，v e 一 其中妒= 0 2 三k 一1 + o l u i ，贝0 有 弓l 理5 2 1 口+ p ：i 冬c 胪+ 5 ，2 ( u k + 1 ，o o + l u k + 2 ，* ，e ) 证明由于 ( 工t ，咖) 。i = 1 ( 一1 ) ( 妒( m ，d 一工k ) l 兰g 胪一1 ，2 t ，l e g 胪一1 2 0 蛾1 ，。 ( 5 2 2 ) g 一1 2 | l 执l # sg ， 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 一2 4 证明注意到 u u ：= ( u 一 k + 2 t 上) + ( 畦“+ 仇u k t 上 ) 一( 风+ 蝶) u ( 5 2 9 1 十( i 七+ 2 1 上一t k “一成+ l u k + l 一成+ 2 u k + 2 ) ， 4 由投影插值性质 0 u i 七十2 u o m ，o 。，e = 0 ( + 3 一m ) j u l 女+ 3 ，。，( m = o ，1 ) ，( 5 3 0 ) 又由( 5 2 1 ) 得 0 ( “+ 2 “一讧“一成+ 1 u k + 1 一成+ 2 u k + 2 ) 1 | m ，e = i l ( 凤+ l 一成+ 1 ) u + 1 + ( 仇+ 2 一成+ 2 ) u k + 2 1 1 m ，一 ( 5 3 1 ) = d ( + 3 一”) ( | u k + 1 ，o 。+ d t u ( ) 1 e 十1 o 。) ，( m = o ，1 ) ， 再由引理5 2 得 0 ( 风+ 成) u l l l 。，。月= o ( 驴+ 3 一“) ( | u + 1 ，o 。+ 卜l k + 2 ，o o ，。) ( 5 3 2 ) 当选取初值u ( o ) = r 珈时，由定理5 1 有 i i 七t 0 ) + 反( t ) u k 一“ ( t ) 1 m ，。g 。十3 一m | u ( ) l i i + l ，o 。，( 七3 一m ，m = o ，1 ) ( 5 3 3 ) 于是由( 5 2 9 ) ，【5 3 0 ) ，( 5 3 1 ) ，( 5 3 2 ) 及( 5 3 3 ) 得诋本定理 5 4 后验误差估计 对于两点边值问题及一维抛物问题，p k m o o r e 在文【2 5 ，2 6 】中讨 论了后验误差估计我们考虑用以上的强校正格式，对一维抛物问 题进行后验误差估计记 e = u i t 地 那么由( 5 2 6 ) 式毒可以简单算出以下定理表明壶能被用来作为有 限元近似误差e = u u n 的后验误差估计 定理6 1 在定理5 2 的条件下有 e 0 1 ，o 。，。一g ( t 正) 胪+ 2 i i 壶1 1 l ，o 。l l e 1 ，o o 。+ c ( u ) + 2 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 2 5 若 则有 证明注意到 i i e 忆。，。g ( ) 胪 牌畿= - e = e + “一1 ： 由式( 5 2 7 ) ，( 5 2 8 ) 和( 5 3 4 ) 即证 注：变系数两点边值问题的后验误差估计与此类似 ( 5 3 4 ) 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 第六章总结与展望 本文解决了变系数两点边值问题和一类变系数抛物问题的有限 元强校正问题即对于非均匀网格，有限元解通过校正，将获得每 个单元上的整体强超收敛结果，使得应力和位移的收敛阶都提高了 2 阶在理论上和应用上都有很重要的意义 本文主要运用了如下一些思想与方法：投影型插值及性质，”正 交化修正”思想，求原函数运算方法，r i t z v o l t e r r a 投影及其性质， 离散g r e e n 函数理论及时间依赖型g r e e n 函数理论 以上我们解决的是一维问题，但是，我们也意识到，真正具有重 大意义迫切需要解决，而研究更为困难的是二维直至多维问题所 以，继续探讨非均匀网格( 多维) 上的高精度算法，将会是作者今后 一段时间内极具挑战性的工作! 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 2 7 参考文献 1 o c z i e n k i e w i c za n dj z z h u ，t h es u p e r c o n v e 。g e n c ep a t c hr e c o v e 。ya n dap o s t e r i o r e s t i m a 上e s p a r t1 ：t h er e c o v e r yt e d l n i q u e ，如t m e rm e f 。出e “9 ，3 3 ( 1 9 9 2 ) ，1 3 3 1 1 3 6 4 f 2 1o c z i e n k i e w i c za n dj z z h u ，t h es u p e r n v e r g e n c ep a t c hr e c o v e 。ya n dap o s t e r i o r e s t i m a t e s p a r 乇2 ：e r r o re s t i m a t e sa n da d a p t i v i t y ， _ v u m e r e 地。出西t 9 ，3 3 ( 1 9 9 2 ) ，1 3 6 5 一 1 3 8 2 【3 】o c z i e n k i e w i c za n d jz z h u ，t h es u p e r c o n v e r g e l l c ep a t c hr e c o v e r y ( s p r ) a i l da d a p t i v e6 n i t ee l e m e n tr e 矗n 咖e n t ，m p m e 执。出a fm e c e h g ，1 0 l ( 1 9 9 2 ) ，2 0 7 2 2 4 i 1i b a b u s k a ，ts t r 。u b o u l i s ，c su p a d l l y a ya 1 1 dskg a n g a r a j ，c o m p u t e r _ b a s e dp r o o f