高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社7.ppt

1,总复习（2）,高等数学A(一),2,五、函数有界、极限、连续与可导的关系,收敛数列（函数）的性质,(唯一性,有界性,保号性),3,函数在x0处极限存在,函数在x0处有定义,函数在x0处连续,函数在x0处可导,函数在x0处可微,4,(A)有界函数,(B)单调函数,(C)周期函数,(D)偶函数,D,f(x)是奇函数，,奇,选择与填空,5,下列命题不成立的是（）.,C.连续的奇函数的原函数是偶函数；,D.连续的偶函数的原函数是奇函数。,A.可导的奇函数的导函数是偶函数；,B.可导的偶函数的导函数是奇函数；,奇,偶,偶,奇,D,？,6,下列函数中，是无界函数,但不是无穷大量的是().,D,下列命题正确的是().,D,7,设f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，,下列结论不成立的是().,C,A、D显然成立，,8,则f(x)在x=0处().,(A)极限不存在,(B)极限存在但不连续,(C)连续但不可导,(D)可导,=0,C,9,若f(x)在x=0处连续,则_;,若f(x)在x=0处可微,则_。,10,设f(x)在x0处可导，且,B,-2,-2,11,设f(x)在x=x0处可微,且,12,设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，,解：,=0；,=0；,13,设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，,=e,=e.,14,函数的增减性与单调区间,函数的凹凸区间与拐点及其判别,函数的极值及其判别条件,求函数的最大值与最小值,作函数的图形，求渐近线,曲线的切线方程与法线方程,六、导数的应用,最值的应用,15,第二充分条件,利用第一充分条件，,在上述所分区间上，,判断函数的极值点，,并求出极值。,求函数的单调区间：,(注意取得极值的必要条件),求函数的极值：,16,坐标为(x0,y0)。,求函数的凹凸区间与拐点：,来划分函数的定义区间，讨论各区间上,确定f(x)在各区间上的,凹凸性,求函数的最大值与最小值：,求出函数驻点(或导数不存在的点)处,与端点处函数值比较,最大者为最大值，,最小者为最小值。,对综合情况，列表讨论！,的函数值，,凹弧与凸弧的分界点为拐点，,17,驻点与极值点的关系,驻点x0,极值点,可导函数的极值点,极值点与最值点的关系,极值点,最值点,18,例题讨论,一、选择题,1.下列结论中正确的是（）,A.,是函数的极值点。,B.,若x=x0是函数f(x)的极值点,C.,函数f(x)在区间(a,b)内的极大值,一定大于极小值。,D.,是函数f(x)的极大值点。,C,19,C,B,20,即在x=a的某领域内，,由极限的保号性，,B,21,2.,则它在点x=_处,有极_值，其值为_。,2,大,3.,最大值=_，,最小值=_。,=0,22,在x0处的切线方程：,在x0处的法线方程：,曲线的切线方程与法线方程,23,处的切线方程。,解：,参数方程中含有隐函数，,方程两边对t求导：,t=0时，,求切线斜率,t,t,24,将边长为l的正三角形铁皮的三只角剪掉，做成如图的三个全等四边形后，将边折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，当剪去的x为何值时，盒子的容积最大？,设三棱柱的高为h,解：,函数最值问题的应用,25,目标函数,舍去；,为D内唯一驻点，,问题中存在最大值，,26,已知一点(x0,y0),过此点作一直线，使它在两坐标轴上的,截距都为正，且使截距之和为最小，,求此直线方程。,解：,设所求直线,k,求截距：,与x轴的截距X=,与y轴的截距Y=,27,k,为D内唯一驻点，,0，,且为最小值点；,所求直线方程：,28,求单位球内接正圆锥体的最大体积。,作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段长度为最短，并求此最短长度。,解：,设P(x0,y0),P,x0,则P点处切线方程：,(复习一下物体的面积、体积公式等),98级考题中：,29,P点处切线方程：,l,线段长度,x,y,30,为唯一驻点，,问题中存在最小值，,最短长度,31,函数的性态与作图,作图步骤：17,考察函数的定义域与奇偶性,函数的一阶与二阶导数必须求准,把驻点等代入相应导数中判断符号,判断有无渐近线,拐点要用点的坐标表示,32,1.零点定理（证明方程根的存在性）,2.介值定理,4.罗尔定理（证明导函数的零点存在）,5.拉格朗日(Lagrange)中值定理,（导数与增量比的关系，证明不等式）,3.最大最小值定理,七、利用定理进行证明,6.利用函数单调性证明不等式,7.泰勒公式,33,L定理的条件与结论：,及其它定理的条件与结论,知道：,泰勒公式的展开式及余项的形式。,罗尔定理,闭区间上连续函数的性质(条件与结论),34,证明函数可微性的主要方法：,利用函数的连续性找f(x0)利用导数的定义利用L中值定理利用函数极限与无穷小的关系,35,无穷小与函数极限的关系,36,证明不等式的常用方法：,作出适当的函数利用函数的单调性求出函数的最值（当函数不单调时）利用L中值定理（当不等式有增量形式时）利用泰勒公式,37,证明恒等式的常用方法：,利用罗尔定理（要验证条件）利用L中值定理利用L中值定理的推论：,无具体函数时，,从结论出发找辅助函数F(x)。,38,证明方程f(x)=0有根,证明方程根的存在性与唯一性：,零点定理,证明方程f(x)=0有根,罗尔定理,证明方程根的唯一性,利用函数的单调性,利用罗尔定理反证,39,证：,=A0=0,40,证：,=0，,得证。,证明不等式,41,证一：,得证。,由L定理,42,证二：,=0,43,设f(x)在0,c连续，在(0,c)可导，,44,设f(x)在0,1连续，在(0,1)可导，,证明：,证:(1),且在0,1连续，,由介值定理，,若由此证明,45,设f(x)在0,1连续，在(0,1)可导，,证明：,(2)分析：,46,设f(x)在0,1连续，在(0,1)可导，,证明：,(2)解：,且在0,1连续,在(0,1)可导，,由罗尔定理，,47,结论中,48,设f(x)在0,1连续,在(0,1)可微，,且f(0)=0,证明如果f(x)在0,1上不恒等于零，,证：,由结论，,且在(0,1)可导