（运筹学与控制论专业论文）集值广义向量变分不等式解的存在性.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 变分不等式是数学领域的一个重要分支，它被广泛应用于运筹学、计算机科学、系 统科学、交通、经济和管理等许多方面。集值映射广义向量变分不等式是变分不等式的 推广形式，涉及数理经济学、机械学、物理学、金融学、控制论等学科，是研究多目标 规划、均衡问题、交通均衡问题的重要理论基础和工具，也是目前应用数学领域倍受关 注的热点之一。对这一问题的研究涉及泛函分析、凸分析、变分分析等数学分支，有重 要的学术价值和相当的难度。本论文主要从理论方面研究b a n a c h 空间和h a u s d o r f f 拓扑 向量空间的集值映射广义向量变分不等式，它们统一和推广了许多已有的向量变分不等 式，本文的主要结构如下： 1 第一章我们首先简单地介绍了变分不等式的背景和研究现状，随后我们在前人的基 础上提出了四类集值映射广义向量变分不等式模型，从而有了本文的研究构想。 2 第二章我们主要研究b a n a c h 空间中一类集值广义向量变分不等式： ( g 聊w ) ：找到一个向量x k ，使得3 s r ( x ) ， ( s ，r l ( y ，z ) ) + 厂( 少，工) 石a f o j0 ，v y k 。 在本章中，我们首先利用经典的k yf a n 弓 理和7 7 一半连续、伪单调的定义证明了单调映 射广义向量变分不等式解的存在性，然后，我们利用b r o u w c r 定点定理和b r o w d e r 定点定 理证明了无单调性的广义向量变分不等式变分不等式解的存在性。 3 第三章我们首先利用著名的k k m f a n 定理证明了h a u s d o r f f 拓扑空间中集值广义向 量变分不等式： ( g 所w ) ：找到z k ，使得对于v s t 仅) ， ( j ，7 7 ( y ，x ) ) - f f ( y ，z ) 名c q o l o ，v y k ， 解的存在性，接下来我们构造了一个函数 。，、f k f l 尸( 功，x k r x 2 1 e ， x 仨k 并利用这个函数和厶优化的定义证明了( g ”仍) 解的存在性，进而我们利用k f 映 射的定义和一系列定理分别证明了单调性假设和无单调性假设下非紧拓扑向量空间 中( g v v t i ) 解的存在性。 4 第四章总结结论和今后工作展望。 关键词：向量变分不等式；刁- 半连续；伪单调；厶一优化；k f 映射 集值广义向量变分不等式解的存在性 e x i s t e n c eo fs o l u t i o no fg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a b s t r a c t a sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa r ea p p l i e dt ot h ef i e l do f o p e r a t i o n a lr e s e a r c h ，c o m p u t e rs c i e n c e ，e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y ，t r a n s p o r t a t i o n , e c o n o m i c s a n dm a n a g e m e n te t a 1 g e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sw i t hs e t - v a l u e dm a p p i n g ， i n v o l v i n gm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s ，m e c h a n i c s ，p h y s i c s ，f i a n c ea n dc o n t r o lt h e o r ya n ds oo n , a l eg e n e r a t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s t h e yb e c o m es i g n i f i c a n tf o u n d a t i o na n dt o o lf o r s t u d y i n gm u l t i o b j e e t i v ep r o g r a m e ，e q u i l i b r i u ma n d 讯尚cp r o b l e m s ，s ot h e ya r eh o ts p o t si n t h ef i e l do f a p p l i e dm a t h e m a t i c s b e c a u s eg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u l i t i e st o u c h u p o nm a n ym a t h e m a t i c a lb r a n c h e s ，s u c ha sf u c t i o n a la n a l y s i s ，c o n v e xa n a l y s i sa n dv a r i a t i o n a l a n a l y s i s ，t h er e s e a r c hf o rt h e mi so fm u c ha c a d e m i cv a l u ea n dc e r t a i no fd e g r e eo fd i f f i c u l t 啦sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d yg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s t h eu n i t ya n d e x t e n s i o no fan u m b e ro fw e l l k n o w nv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，i nb a n a c hs p a c e sa n d h a u s d o r f f t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s t h em a i nr e s u l t s o b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o nc a nb e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h es t a t eo ft h ef i e l do f g e n e r a l i z e dv e c t o r v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sc o m p e n d i o u s l y b a s i n go nt h ef o r m e rt h e o r y ，w ep r o p o s et w o c l a s s e so f g e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sw i 也s e t - v a l u e dm a p p i n g a n dw e o b t a i nt h i sd i s s e r t a t i o n 2 i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi n b a n a c hs p a c ei sd i s c u s s e d f i n d x k ，s u c h t h a t 3 s 丁( x ) ， ( g y 聊) ：( 砖r ( y ，z ) ) + f ，x ) 茗c 、l o 】0 ，y ) ，k f i r s t l y ，m a k i n gu s eo f t h en e wc o n c e p t so fr - h e m i c o n t i n u o u sa n dk yf a nl e m m a , t h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o no f ( g v v t i ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no f p s e u d o m o n o t o n ei sp r o v e d s e c o n d l y ，b ym e a n so ft h ek n o w nb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n db r o w d e rf i x e dp o i n t t h e o r e m , w ee s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r ( g v v l 7 ) w i t h o u tp s e u d o m o n o t o n ei n t h i sd i s s e r t a t i o n 3 c h a p t e r3i sd e v o t e dt os t u d ya n o t h e rc l a s so fg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s w i t hs e t v a l u e dm a p p i n g ，w h i c hi st h ei m p r o v e m e n to f ( g i l l t 1 ) i nh a u s d o r f f t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e 一i i 大连理工大学硕士学位论文 f i n dz k ，s u c ht h a t v s r ( x ) ， ( g v v t l ) ：( s ，r l ( y ，x ) ) + 厂( y ，x ) 名( 、i o l0 ，v y k b e c a u s eo ft h ei m p r o v e m e n t ，w ee s t a b l i s h e daf u n c t i o n f c x ，= 主n p x x 二主薹 b ya p p l y i n gt h ec o n c e p to f 厶- m a j o r e da n dk fm a p p i n g ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no f ( g v v t l 。) i sp r o v e dw i t h o u tp s e u d o m o n o t o n e ，f i r s t l y t h e n , b ym e a i l so f t h e t r a n s f e r r e d c l o s e dm a p p i n g ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o ni so b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o no f p s e u d o m o n o t o n e 4 i nc h a p t e r4 w es u m m a r i z et h er e s u l t s k e yw o r d s ：v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；r - h e m i c o n t i n u o u s ；p s e u d o m o n o t o n e ； 厶一m a j o r e d ：k fm a p p i n g i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 叁丝鉴囟量麦坌圣垄氩殷鱼盘型 作者签名：j 已是芝一日期：单q 月 一日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 堡鱼鉴囟童耋坌丕篁煎碰亟垂杰廛 作者签名 兰星：谴：一一e t 期： 盈z 年z 月7 _ 日 导师签名：玉t 旦2 擎二一 日期：毕年# 月户日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1集值广义向量变分不等式问题的背景和研究现状 1 9 6 4 年至1 9 6 7 年，s t a m p a e c h i a 1 1 ，h 栅和s t a n l p a c c l l i a 【2 】等在研究一系列数理问 题时首次提出了经典的变分不等式问题：找到x k ，使得 ( t x ，y x ) o ，v y k 。 1 9 7 2 年，d u v o u t 和l i o n s 3 研究了变分不等式在机械、物理两方面的应用；b r 6 z i s l 4 1 研究 了它在数学中的应用；渐渐地，变分不等式问题作为一个新的研究课题开始受到数学工 作者的关注。 上个世纪8 0 年代，变分不等式受到越来越多的关注。随着理论研究的逐渐成熟， 学者们利用投影法、迭代法、辅助原理法、牛顿法、罚函数法等方法从理论、算法和应 用三方面同时研究这一问题，其中包括解的存在性证明、逼近解的全局误差界、以及它 们在控制与最优化、非线性规划、经济、金融、运输等领域中的应用，见文献 5 1 8 。 9 0 年代以后，变分不等式问题逐渐形成了一个研究热点。1 9 9 2 年，r o b i n s o n 1 9 】首先提 出t w i e n e r h o p f - 方程的概念，并讨论了该方程与变分不等式之间的等价关系。变分不 等式的一个极为有用的推广就是带有非线性项的混合变分不等式。由于非线性项的存 在，投影法和w i e n e r - h o p f - 力- 程均无法使用，这给研究带来了不少困难，m a r t i n e t 2 0 首先 利用集值映射的预解算子来代替投影算子作为一个突破口，后来的学者在此基础上不断 地加以改进和完善，又提出了预解方程，并建立起它和混合变分不等式之间的等价关系， 详见文献 2 1 2 7 1 。近几年来，在国内，h u a n g 和f a l l g 【2 2 】等学者在这个领域做出了很大的 贡献。 随着古典变分不等式理论和应用的不断深化，人们自然地想到把古典的变分不等式 中的映射由“数量值推广到“向量值，在空间中加上特殊的结构( 序结构) ，也能保 证原来古典变分不等式的形式。向量变分不等式由g i a n n e s s i 2 8 】于1 9 8 0 年在有限维空间 中首次引入。随后，许多学者对向量变分不等式做了研究。像我国的学者何诣然【9 】，黄 南京，方亚平【2 9 1 ，陈光亚【3 0 1 ，杨晓奇【3 l 】等，他们较早地把注意力转到无穷维空间向量 变分不等式问题的研究，一些学者还将其应用于向量最优化和向量均衡问题中。 集值广义向量变分不等式( g e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yw i t hs e t - v a l u e d m a p p i n g ) 是变分不等式的另一种极为有用的推广形式。由于它与多目标规划、均衡问题 之间的密切关系，所以受到许多学者的关注。2 0 0 5 年，f a n g 2 2 1 在h i l b e n 空间中引入了7 7 单调，( 日，r ) 单调的概念，p e n g 【2 5 】等人将此概念进一步推广，给出了b a n a c h 空间7 7 预解 集值广义向量变分不等式解的存在性 算子和p 一，7 预解算子的概念，并利用这些定义证明了g 一致光滑b a n a c h 空间变分包含 问题解的存在性和唯一性。2 0 0 8 年，l e e 8 1 介绍了集值映射的单调性，r 单调性和伪单 调性的概念( 其中r ：k k 专x 是一个单值映射，z 是一个b a n a c h 空间，k 是盖的一个 非空凸子集) ，同时对于这类变分不等式可构造预解方程来逼近其近似解。对于非单调 的广义向量变分不等式，利用b r o w d e r 不动点定理，k k m 定理等研究其解的存在性日趋 活跃，目前取得了许多成果。在解的存在性得到解决后，一般利用辅助原理的技术来构 造算法。大量的研究结果使得变分不等式问题形成了一个较为完整的理论体系，但学者 们并未满足于只对变分不等式本身进行研究，同时也从各个方面对这一问题加以推广和 改进，以适应更广泛的应用。 变分不等式理论的基本内容就是研究各种类型的变分不等式解的存在性和唯一性， 参数解的灵敏性，以及变分不等式的应用。因此，变分不等式的基本问题之一就是解的 存在性问题。纵观研究无穷维变分不等式解的存在性的历程，我们发现研究变分不等式 的解的存在性的方法可归纳如下： 其一，灵活的运用几个经典的大定理，j t l ：i b r o w d e r 不动点定理1 3 2 ，s c h a u d e r 不动点 定理口3 1 ，k k m 定理，k v f a n 极大极小原理等，这种方法可以看作是经典不动点理论的 一个重要应用。在变分不等式产生的时候此方法就被广泛使用，目前又重新受到人们的 重视，利用这种方法，通常可以在较一般的条件下解决变分不等式的解的存在性问题， 在一定程度上是对连续而不可微问题的推广；其二，在研究变分不等式解的存在性方面， 近年来出现一种方法伪单调性法。利用伪单调的概念和k k m 定理证明变分不等式 有解，参阅f 8 , 3 4 3 6 ；其三，将变分不等式问题转化为等价的不动点问题，构造迭代算 法，然后利用空间完备性证明迭代序列收敛到变分不等式的解。这种方法的核心有两个： 一如何把问题转化为等价的不动点问题，常用的技巧有辅助原理，预解方程和预解算子； 二如何构造迭代算法；其四，通过构造一个函数并利用l - 优化和k f 映射的概念证明不 等式有解，见文献 2 3 2 4 。 从整体上看，解的存在性的研究结果可分为：所论空间从刀维欧氏空间到无穷维抽 象空间；映射由单值映射到集值映射，从映射的条件上看，从要求全连续、连续到次连 续、上半连续、下半连续；从凸到拟凸、锥凸、锥拟凸等这种的广义凸性；从严格单调 到伪单调、常锥伪单调、变锥伪单调、拟单调等。广义伪单调性无论在纯量型的变分不 等式还是在向量型的变分不等式的研究中都起着重要的作用。以上发展趋势和纯量型变 分不等式有相似之处，但由于其特殊的形式又有其自己的特点。集值广义向量变分不等 式是研究非凸最优化问题、非凸和非可微最优化问题的强有力的工具，所以受到一些学 大连理工大学硕士学位论文 者的关注。有关纯量型的广义变分不等式组解的存在性和算法的研究结果较多，在此不 一一列举了。目前，有关向量变分不等式的研究结果和纯量型的变分不等式相比不是那 么丰富，由于映射的一般性、特殊的序关系和无穷维空间结构的限制，研究仅限于理论 层面上，算法的构造是一个难于解决的问题，必要时需借助于必要的数学工具。集值广 义向量变分型不等式是向量变分不等式的推广形式，目前，对集值广义向量变分不等式 的研究结果相对比较少。因此，研究集值广义向量变分不等式解的存在性从而带动向量 优化和多目标规划和向量均衡的推进无疑是一项重要而有意义的工作。 1 2 纯量型的广义变分不等式 在这一小节里，如无特别声明，我们都假设e 是一个实b a n a c h 空间，e 是其对偶 空间，日是一个实h i l b e r t 空间， | i i | 表示e 或日中的范数，( ，) 表示e 和e + 之间的偶 对或日中的内积。k 是e 或日中的一个非空闭凸集；c b ( e ) c b ( h ) 分别表示e 和日中 所有非空有界闭集组成的集簇。给定集值映射丁，彳，b ，c ：e c b ( e ) ，g ：e - - - hc b ( e ) ， 单值映射膨，n ：e 一e ，r l ：e e e 和g ：e e 。d o m a 表示集值映射彳的定义 域。 d o m a = x e ：a ( x ) 囝，。 赵亚莉【3 8 】曾在其博士论文中主要研究了下面的广义似变分不等式： 找至0 x e ， “r ( x ) ，v a ( x ) ，w b ( x ) ，z c ( x ) ，占g ( 功，满足 g ( x ) 厂、d o m ( o 刀矽( ，s ) ) a ，且 ( m ( u ，v ) - n ( w ，z ) ，7 7 ( y ，g ( z ) ) ) q k ( g ( x ) ，s ) 一矽( y ，x ) ，v y e ( 1 1 ) 其中0 , 1 矽( ，j ) 是真下半连续泛函矽( 不一定是凸的) 的刁一次微分。i 口- j 题( 1 1 ) 称为广义 集值混合似变分不等式，是一类非常一般的变分不等式，适当地选取空间e 和映射 r ，么，b ，c ，g ，g ，r l ，( 1 1 ) 可繁衍出许多已有的变分不等式，本小节只列举一部分： ( 1 ) 如果e = h ，n = 0 ，g = g = i ，i 是日上的恒等映射，则问题( 1 1 ) 等价于 找到x h ，u 丁( ，v 么( z ) 满足 ( m ( u ，v ) ，r l ( y ，z ) ) + 痧( y ，x ) 一( x ，x ) 0 ，v y h ( 1 2 ) 这类问题被称为广义集值强非线性混合似变分不等式问题，文献3 9 ，4 0 的作者对其解的 存在性做了一系列的研究。 ( 2 ) 对给定的单值映射n ：e e e 和集值映射k ：u k 似) ， 找至0 x e ，砧t x ，彳工，使得 集值广义向量变分不等式解的存在性 ( n ( u ，x ) ，歹( g ( y ) 一g ( x ) ) ) 0 ( 1 3 ) n o o r 提出并分析了此类问题，并称之为b a n a c h 空间中的集值拟变分不等式。 ( 3 ) 如果对所有的石日，材t x ，v a x ， = 0 ，g = g = 1 ， ，) = ( z ) 且 ( 少) 一( x ) = f ( y ，x ) ，则问题( 1 1 ) 简化成： 找到x d ，满足 v y d ，( 丁( x ) ，r ( y ，x ) ) + f ( 少，x ) 0 ( 1 4 ) ( 4 ) 如果m ( u ，v ) = t ( x ) ，对所有的x h ，u t x ，1 ，a x ，= 0 ，g = g = 1 ， r l ( y ，x ) = y x ，矽( ，x ) = 矽( x ) ，且矽 ) 是d 上的指示函数，则问题( 1 1 ) 简化成 找到x d ，使得 ( r ( x ) ，y - x ) 0 ，v y d ( 1 5 ) 这就是经典的变分不等式问题。 1 3向量型的广义变分不等式 设x ，】，是两个实的b a n a c h 空间，k 是z 的非空凸子集，c 是y 中的尖闭凸锥，即c 是闭的且满足cn ( 一c ) = o ) ；c + c 互c ；a c c 对任意的旯0 ，且c 是内部非空的，即 i m c a 。任意的z ，y y ，x c 少y - x c ，x 名c y 营y x 仨c ，这样在】，中定义了 序关系，从而y 称为由c 诱导的序b a n a c h 空间。l ( x ，y ) 表示从x 到y 的所有连续有界 线性算子所构成的空间，按通常的线性运算和算子范数l ( x ，y ) 也构成b a n a c h 空间，( z ，x ) 表示线性连续映射z l ( x y ) 在x x 处的值。设c ：k 一2 y 是集值映射且满足对每一个 甜k ，c ( 甜) 是】，中的闭的尖凸锥 i n tc ( u ) a 。设s ，t ：k 一2 上x y 是集值映射， n ：三( x ，y ) xl ( x ，j ，) 一l ( x ，即，7 ：k xk k ，h ：k k 一】，是三个单值映射。z h a o 1 6 】 曾研究以下的广义向量变分不等式： 存在u o k ，存在s s ( u o ) ，f t ( u o ) ，满足 ( n ( s ，f ) ，7 7 ( ，u o ) ) + h ( v ，甜o ) 仨一i n t c ( u o ) ，v v k ( 1 6 ) 与 存在u o k ，满足 ( n ( p ，g ) ，r l ( u o ，v ) ) + h ( u o ，v ) 仨一i n t c ( v ) ( 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 对v v k ，v p s ( 力，v g ，( 1 ，) 。以上两个问题称为b a n a c h 空间中似变分不等式，其中 ( 1 7 ) 是相应的纯量型变分不等式( 1 2 ) 的推广形式，而且这两类变分不等式在某种 程度上存在对偶关系，在本文中，我们主要研究( 1 7 ) 的推广形式，先简单介绍如下： ( 1 ) 如果n = a ，a ：l ( x ，y ) 一l ( x ，】，) 是一个单值映射，且对v s s ( “) ，f t ( u ) ， 仅，) = a s ，则( 1 7 ) 可简化成： 存在n o k ，存在s s ( u o ) ，满足 ( a s ，7 ( v ，甜o ) ) + 厂( v ) 一( “o ) 萑- i n t c ( u o ) ，v v k ( 1 8 ) ( 2 ) 如果c ( x ) = c ，对任意的z k ，其中c 是y 中的闭凸锥，i n t c o ，且= 0 ， r l ( y ，z ) = y - x ，a = 1 ，则( 1 7 ) 可简化成： 存在u o k ，存在s s ( u o ) ，满足 ( s ，1 ，一u o ) 仨- i m c ，v v k ( 1 9 ) l e e 等人在文献 4 2 中研究了它的解的存在性。 ( 3 ) 如果i n t c ( x ) = c + f ( y ，x ) ) 名c 、l o ) 0 ：争( y ，r ( y ，z ) ) + f ( y ，z ) ) c0 成立，则称丁是伪单调的。 注2 1 假设x = r ，c = 霹，7 ，x ) = y - x ，v x ，y k ，f 暑0 ， 丁( z ) = s i n 2 ( x + 量万) + 1 c 。s 2 ( x + 詈万) + 1 ，n = 0 ，1 ，2 ， 其中r ：k k x ，f ：k x k y 是两个单值映射， 如果 贝u y - x 0 ，因此 大连理工大学硕士学位论文 ( 丁( z ) ，7 7 ( y ，工) ) + f ( y ， 茹c o 0 ，z = o ，1 ，2 ， c丁cy，刁cy，x，+厂c夕，x，=：三二茎三二：一x， c0 ，z 20 ，l ，2 ， 这也就是说伪单调定义的集值映射是存在的。 定x 2 6 t ：k _ 2 l j y 是一个集值映射，如果对于任意x ，y k ，对任意的， o ，l 】，映 射，0r ( x + t ( y - x ) ) 在0 + 是上半连续的，则称丁是，7 一半连续的。 定义2 7 啪3 彳是一个h a u s d o m 拓扑向量空间，k c 彳是非空闭凸子集，：足一2 茁是集 值映射。如果对任意有限集合 毛，而，而) 都有c o x ，恐9 1 9 x 。 cuf ( x j ) ，其中 m l c o x ，恐，而 表示集合 五，x 2 ，毛) 的凸包，则称f 是k k m 映射。 引理2 1 脚3 x 是一个h a u s d o r f f - 拓s b 向量空间，k c x 是非空闭凸子集，：k 一2 胃是集 值映射。如果对任意有限集合 而，x 2 ， ，都有 而，而，x 。 cu f ( x j ) ，即f 是一 卢j 个洲映射，且对任意z k ，( x ) 都是闭集，存在x k ，f ) 是紧集，那么 fl ，( x ) 乃。 引理2 2 彳是实b a n a c h 空间，k c x 是非空闭凸子集，c 是顶点在原点的非空闭凸锥， i m c 囝，y 是由c 定义的有序实b a n a c h 空间。映射r ：k k x 和 x 一 少l 一、，j ，l + + 万 万 万一2”一2 + + x x 一 一 y y， 、，一、，一 1 ， + + 万 万 拧一2 刀一2 + + x x ，ll 2 2 1 s m 郴 姒 甜 耐l厂；、 、代k = = 、l ， x x x 一 一 y y，l l + + 万 万 玎一2 彤一2 + + x z 鸟 兮 卜卜 集值广义向量变分不等式解的存在性 f ：k xk ru + a o 满足x _ r ( x ，) 和x f ( x ，) 是仿射的， 且对任意 x ，y k ，r l ( x ，y ) + 刁，x ) = 0 ，f ( x ，y ) + f ( y ，x ) = 0 。假设丁：k _ 2 l x r ) 是7 7 一半连续的伪 单调映射，那么对任意而k ，存在 3 x o t ( x o ， + f ( y ，) 名a o 0 ，y y k 、 ( 3 8 ) 等价于 v y 丁( y ) ，( 少，r k y ，) + f ( y ，x o ) c 、 o j0 ，v y k ( 3 9 ) 证明 首先，如果满足( 3 8 ) 式，那么由t 的伪单调性可知( 3 9 ) 式成立。 其次，假设x o k 满足( 3 9 ) 式，令乞= 口y + ( 1 - a ) x o ，口 0 ，l 】，将乞代入( 3 9 ) 式， 则对任意z 口r ( 乙) ，有( z 口，7 7 ( 乃，而) + ( 乙，) c0 ，即， 口( ( z 口，7 7 ( 少，) + f ( y ，) ) ( 0 。 由于c 是凸的，所以对于任意y k ，任意z 口丁( + 口 一) ) ， ( z 口，刁( y ，) + f ( y ，而) f 0 。 根据丁的7 7 一半连续性，我们知道当口一0 + 时，z 。t ( x o + a ( y - x o ) ) 。z o 丁( ) 。所以 对任意y k ，都存在7 , o 丁( ) ，当口一0 + 时， 满足x 一刁( z ，) 和z f ( x ，) 是仿射的， 且对任意 x , yk ，7 ( z ，力+ ，7 ( y ，x ) = 0 ，f ( x ，y ) + 厂( 少，x ) = 0 。假设r ：k _ 2 l ( x r ) 是，7 一半连续的伪 单调映射，要g z , ( g v v t i ) 的解是存在的。 证明 定义两个映射，g ：k 一2 置， f ( y ) = z k ：3 x r ( x ) ，( x ，7 7 ( 少，x ) ) + f ( y ，x ) 名c l o l0 ) ， g ( j ，) = x k ：3 y 丁( y ) ，( y ，7 7 ( y ，x ) ) + f ( y ，x ) fo ) ，y y k 。 显然对任意y k ，有少f o , ) ng 0 , ) 。因为k 是有界的，所以g ( y ) 也是有界的。 很明显g ( y ) 是k 的一个凸闭子集。因为丁是一个，7 一半连续的、伪单调映射。根据引理2 2 对任意y k ，有v ( y ) cg ( y ) ，