（理论物理专业论文）关于eulerpoisson方程组的研究.pdf

博士学位论文 d o c t o r a l d l s s e r r 1 0 n 内容摘要 本论文主要研究以下e u l e 卜p o i s s o n 方程组： 风+ d i v 。( ) = o ， p + ( v v # ) v + v $ p + p v 。垂= o ( p s ) t + d i v 。( p v s ) = o ， 。圣= 竹一2 ) u 。9 “ 其中t o 表示时间，z q 是空间变量，q 是r ”( n 3 ) 中的有界光滑区域p = p ( t ，o ) 表示气态星体的密度，v = v ( t ，石) 础，圣= 圣( t ，石) 和s = s ( t ，$ ) 分别表示气体的运动 速度、重力势能和熵函数，g 是引力常数，“k 表示碾，中单位球的体积，p 是压力，它满足 状态方程tp = p ( p ，s ) = e 5 ，其中7 1 是绝热常数该方程组来源于天文物理学当 n = 3 时，它是描述具有自引力势能的气态星体内部结构发展的流体动力学模型它包括由质 量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程构成的e u k l r 方程组以及由星体本身的密度分布决 定的自引力势能所满足的p o i s s o n 方程 本文主要考虑方程组的平衡解，即与时间t 无关的解具体面言，就是在某些条件下，如 星体绕轴旋转【3 4 l 或是速度为零【1 7 | ，第一个和第三个方程是自动满足的，于是只需要考虑第 二个和第四个方程 我们首先考虑简单的情形；q = f k ( 0 ) 是m p 中的一个以原点为圆心、 兄 0 为半 径的球作变量代换； 叫= ；( k l 与e p ) p 1 ，k = n 一2 ) “k 9 ( 孚) 商于是第二 个和第四个方程就可化为一个半线性椭圆方程d i b ( e “v 叫) + e 一“叫g k 彳，( 茹) = o ， ，( 石) = 一d i v ( v v v ) = 盯这里需要克服盯 0 所产生的困难，因为这时强极值原理不再适 用我们应用打靶方法，证明了一定条件下上述方程满足边值条件训鲫= o 的径向对称解的 存在性( 依赖于，y ) 及其性质同时本文还讨论了一定条件下径向对称解的非存在性 其次，对于更一般的速度场v 和有界光滑区域qc 舯，经过变量代换t 钍= 芒t e 5 ， 把第二个和第四个方程化成个带参数盯 o 的半线性椭圆方程d i v ( e 一；v u ) 一寺( s ) e 一；钍+ 耳e i 备e i u i 与一盯， ) e 一 = o ，这里如i ，忙) 1 2 如= 1 ，扛) 和s 变号时，强极值 原理同样不能直接应用，所以也需要克服，( ) 和s 变号所带来的困难在， ) 和s 变 号的情况下，我们系统地讨论了在各种不同的条件下，椭圆方程边值问题d i v ( e i v 钍) 一 ( s ) e 一；u + k e 一盏e 一；札i 专一口，( 茹) e 一；= o ，茁d ；让l a d = o 正解的存在性、多重 性和唯一性 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e 砌1 a t i o n 关键词：e u l e r f b i s s o n 方程组，平衡解，半线性椭圆方程，径向对称解打靶方法，上 解，下解，紧性，( p s ) 序列( 条件) ，正解，多重性，唯一性 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e i u m i o n a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e se u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n s ： n + d i v 。( ) = 0 ， 户h + ( 户v - v 。) v + v 。p + p v 。圣= 0 ( 筇) + d i v 。( s ) = o ， 。垂= n ( n 一2 ) “k 9 p ， w h e r e 0d e n o t e st i m e ，z qi sas p a c i a lv a r i a b l ea n dqcr p ( 礼3 ) i sa b o u n d e ds m o o t hd o m a i n _ p = p ( t ，z ) i st h ed e n s i t y v = v ( t ，口) ，s = s 0 ，z ) a n d 壬= 西( t ，z ) s t a n df b rt h ev e l o c i 瓴e n t r o p yf u n c t i o na n dt h es e l f - g r 撕t a t i o n a l p o t e n t 埘r e s p e c t i v e l y 口d e n 砷e st h ef a v i t a t i o n a lc o n s t a n ta d i st h ev o l u m eo f t h eu n i tb a hi n 辩pi st h ep r 髑u r ew h i 出s a t i s 矗e st h ef 0 u o w i n ge q u a t i o no fs t a t e ： p = p ( ns ) = e s w i t h7 1b e i n ga na d i a b a t i cc o n 8 t a n t t h i ss y 吕t e mo fe u l e r p o i 昭o ne q u a 上i o n sc o m e sf r o ma s t r o p h y s i c s w h e nn = 3 ，i ti sam o d e lt od e 8 c r i b e t h eh y d r o d y n a m i ce v o l u t i o no ft h ei n t e r n ds t r u c t u r eo ft h es e l o g r 撕t a t i o n a lg 勰e o u s s t a r s i tc o n t a i 璐e u l e re q u a t i o n sf o r 璐e r v a 止i o no fm a s s ，m o m e t u ma n de n e r g y i a n dp o i s s o ne q u a t i o nt h r o u g hw h i c ht h eg r a v i t a t i o n a lp o t e n t i a l i 8d e t e r m i n e db yt h e d e n s i t yd i s t r i b u t i o no ft h eg 嬲i t s e l f w ea r ei n t e r e s t e di ns t a t i o n a r ys o l u t i o n so f t h es y s t e m ，i e 8 0 l u t i o n si n d e p e n d e n t o ft i m et i d e t a i l ，t h e 矗r s ta n dt h et h i r de q u a t i o 璐a r ea u t o m a t i c a l l ys a t i s 丘e du n d e r 8 0 m ec o d i t i o n s ，f o re x a m p l e ，t h es t a rr o t a t 馏a r o u n ds o m ea x i s 【3 4 】o rt h ev e l o c i t y vi 8z e r o1 1 7 1 t h u sw eo n l yn e e dt oc o n s i d e rt h es e c o n da n dt h ef o u r t he c l u a t i o n s f i r s t ，w es i m p l yc o n s i d e rt h ec a 8 et h a td o m a i nq = 上k ( o ) ，w h i c hi sab a ui nr “ c e n t e r e da tt h eo r i g i nw i t hr a d i u sr o a f t e r t r a n s f o r m a t i o ：叫= ；备( i 与e 寻力7 _ 1 丽t h 耳= n m 一2 ) 9 ( 孚) 霄，t h es e c o n da i l dt h e6 眦r t he q u a t i o n sc 髓b et u r n e d i n t oa8 e l i h e a re l l i p t i co n e ，d i v ( 矿8 v 训) + e 一。5 删一i 三 ，扛) = o ，白) = 一d i v ( v v v ) = 盯h e r e ，t h em a md i m c u l t i 髑t h a tt h es t r o n gm a ) d m u mp r i n c i - p l ef h n 8t oh 0 1 da r en e e d e dt ob eo v e r c o m e d ，s i n c e 盯 o u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ， ，eo b t a j nt h ee x i s t e n c e ，d e p e n d i n go n a dt h ep r o p e r t i e so fs p h e r i c a l l ys y m m e t r i c s o l u t i o n 8o ft h ea b o v ee q u a t i o nw i t ht h eb o u n d a r yd a t a 训舳= o ，b yas h o o t i n g m e t h o d f l l r t h e r m o r e ，t h i sp a p e ra l s od i s c u 船n o n _ e ) 【i s t e n c eo f8 p h e r i c a l l ys y m m e t r i c s o l u t i o n 8u n d e rc o m ec o n d i t j o n b 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r l i o n t h e n ，w ec o i l s i d e ram o r eg e n e r a lv e l o c i t y 矗e l dv o nam o r eg e n e r a lb o u n d e d s m o o t hd o m a i nqc 舻n a n s f o r m a t i o nu = 曼t e 5 矿_ t u r n st h es e c o n da n d t h ef o u r t he q u a t i o n si n t ot h ef o l l o w i n gs e m i 一1 i n e a re q u a t i o nw i t hap a r a m e t e r 盯 0 ， d i v ( e 一；v ) 一( s ) e 一札+ k e 一舟e 一； 击一口，( z ) e 一；= o ，w h e r e 厶l ，( z ) 1 2 d 茁= 1 w h e n ，( z ) a n d sc h a n g es i g n ，t h e8 t r o n gm a x i m u mp r i n c i p l ec a nn o tb ed i r e c t l y u s e dh e r e ，s oi t i sn e c e s 8 a r yt oo v e r c o m et h ed i m c u l t i e sc a u s e db yt h e m f o rt h e c a s ew h e n ，( z ) a d sc h a n g es i g i l ，u n d e rv a r i o u sc o n d i t i o n s ，t h ee ) 【i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t ya n du n i ( 1 u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n so fp r o b l e md i v ( e 一号v u ) 一( s ) e 一亏让+ k e i 专e 一号u 亍与一盯，( o ) e 一芎= o ，z q ；“i a n = oa r es t u d i e d k e y w o r d s ：e u l 小p o i s s o ne q u a 七i o n s ，s t a t i o n a r ys o l u t i o n s ，s h 0 0 t i n gm e t h o d ， s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ，s p h e r i c a l l ys y m m e t r i cs o l u t i o n s ，u p p e r s o l u t i o n ，s u b s o l u _ t i o n ，c o m p 8 c t n e s s ，( p s ) s e q u e n c e ( c o n d i t i o n ) ，p o s i t i v es o l u t i o n ，m u l t i p l i c i t y ，u n i q u e _ e s 8 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r i 1 0 咐 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包合任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： o ( 1 1 7 ) 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e l h m l i o n 设星体的总质量为彤，解上述方程则可转化为在约束条件 w 吖= p 芝ol p ( z ) 如= m ) ( 1 1 8 ) 下求泛函 m ) = 上。鲁一晦一叫训( 州z ( 1 1 9 ) 的极小化问题 a u c l l m u t y 和b e a 】s 【1 】在假设7 ；和以下衰减条件 j ( + 罗j + ? o ，它则满足方程( 1 1 7 ) 接着l c a 甜e l l i 和a f r i e d m a nf 1 1 】讨论了a u c h 瑚【u t y b e a l s 解以及使真空和流体分离的有关自由边界的形状在1 3 2 i 中，l iy i n ”n 研究了等熵 一致旋转( 即s 和角速度都是常数) 星体的内部结构随后，c h a n i l l o ，s 孵u n 和l iy h n y a n 【1 3 1 研究了 3 2 】中所得解p 的紧支集的半径 在【1 】中，角速度是给定在整个空问r 3 ( 包括真空区域) 中的，并假设衰减条件( 1 1 1 0 ) 成立而且在以上的研究中，所有的结论都是在等熵情形下假设7 ；，并给定总质量作为变分 同题的约束条件下碍到的若没有这个约束条件，瑟函的极小值不一定存在 最近，7 i 如l o 和j o e ls m o l l e r 【3 4 l 对非等熵流，即s ( z ) 不是常数，和l o = 争u 7 ( 。) o ，z q ， ( 1 1 _ 1 8 ) p f a n = 0 = = = 山i a n = 0 这时我们考虑一种情形即，( z ) = 常数盯由p 和叫的关系式可知，欲求径向对称解p ( r ) ，r = ，其需要考虑下面的常微分方程边值问题； f 州+ ( 孚瑚圳酊( e 1 8 儿耳占仃) 扎( 9 ) 【 伽7 ( o ) = o ， ( 冗) = o 在这里需要指出的是，对予等熵流： s 0 ) 三常数，由【2 7 】中的结果可知( 1 1 1 7 ) 的解 是径向对称的，从而得到p 知) 是径向对称的，这时自然有( 1 _ 1 1 9 ) 本文采用打靶方法分别讨论了非等熵流和等熵流两种情形下( 1 1 1 9 ) 正解的存在性，并 得到了有关解的一些性质另外，本文还讨论了径向对称解的非存在性条件 注解1 1 1 如果n = 3 ，气体以角速度u ( 常数) 绕z 3 轴旋转，那么口一2 u 2 0 ，所以 【3 4 】是本文的一种特殊情形 情形2 对于s c 心是一般的有界光精区域，八茹j 常甄，丽且可以变号- 作变换 u ：? e 8 ( 1 1 2 0 ) 1 一l 由f 1 1 3 1 易证 ! v p ：生土v + 矿一2 e 3 v p ( 1 1 2 1 ) p7 对等式( 1 1 2 1 ) 两边取散度得 d i v ( ；v 耻e 劬e v u ) 一等u ( 1 1 2 2 ) 又由( 1 1 2 ) 和( 1 1 1 9 ) 得 垂= n 一2 ) g ( 掣) 告e 一寺u 击= 眈一鲁钍古 ( 1 1 2 3 ) 将( 1 1 2 2 ) 和( 1 1 2 3 ) 代入方程( 1 1 1 4 ) 得到下面的半线性椭圆方程 d i v ( e a s v 札) 一：( s ) e n s 钍+ e 一南e n s 口一，( z ) e a s = o 这里= j ，q = 击 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r 7 r 甜1 0 n 现将，( z ) 用上2 一模标准化，仍然记为，0 ) 。于是有 d i v ( e 一。8 v “) 一；( s ) e 一占钍+ k e 一南e n s “口仃，( 茁) e 一。s = o ( 1 1 2 4 ) 这里玎 o 是参数，n i ，( z ) 1 2 如= 1 由( 1 1 2 0 ) 知 p i a n = o ；p ( z ) o ，z q 当且仅当 u a n = o ；“( 。) o ，z q ( 1 1 2 5 ) 当，伽) 和s 变号时，强极值原理不能直接应用，这时需要克服，0 ) 和s 变号所带 来的困难但是我们可看到d i r i c h l e t 边值问题( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 的解与齐次边值问题 fd i v ( e 一。8 v u ) + ( s ) e 一。5 “= k e 一寺e 一。5 u 口，石q ， ( 1 1 2 6 ) l钍1 8 n = o ；札( z ) o ，茹q 和线性边值问题 fd i v ( e o s v 牡) + ( s ) e n s 锃= 一，( z ) e 一8 s ，z q ， ( 1 1 2 7 ) 【l a n = o ；让( z ) o ，z q 的解有着密切的联系我们可以把( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 看成是( 1 1 - 2 6 ) 的一个扰动我们将 在比 2 1 】更弱的条件下证明d i r i c l l l e t 边值闸题( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 正解的存在性为了叙 述上的方便，设 朋= ，( z ) e 1 ( 而) o ) i 边值问题( 1 1 2 7 ) 有解) = g 1 ( 晁) o ) ) m 为了讨论，扛) 时解的存在性。设6 0 ，定义 ( 6 q ) = ( a q ，6 ) = 茁nd i s t ( z ，a n ) j ) ， ，= ，扛) e 1 ( 囝 o i 丑d 使得，扛) 墨o ，z ( o q ，6 ) ， 则，n o 事实上，若西扛) c 铲( n ) ，庐( z ) o ，则( z ) ，n 注解1 1 2 在某些条件下可以证明m 口，见第三章的引理3 2 ，6 ( 1 1 2 8 ) ( 1 1 2 9 ) ( 1 1 3 0 ) ( 1 。l 。3 1 ) 类似于1 2 1 1 ，我们主要应用上下解方法、变分方法、椭圆理论以及在第三章得到的一个类 似于h o p f 引理的极值结果，讨论( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 _ 2 5 ) 在各种不同的条件下正解的存在性以 及解的个数问题 6 博士学位论文 d o c t o r a l d j s s e r i i o n 1 2 符号和定义 为了对本文的结果作准确的说明，我们在本节给出一些符号和定义 在整篇文章中，我们用g ( 有时也用c l 或( 之) 表示正常数，c ( ) 表示依赖于的正常 数，它们在不同的地方可以不同；d ( 1 ) 表示j - + o 。时趋于零的数a c c b 表示a 是真 包含于b 的紧子集我们始终定义2 + ：= 惫( n 3 ) 是临界s o b o l e v 指标我们用硪( q ) 表示带有权函数e n 5 的s o b o l e v 空间，其等价模定义为 础：= 上e 棚l v 砰如r 日- 1 ( q ) 是硪( q ) 的对偶空间；i 尸( n ) 表示带有权函数e 一胡的p 空间，其模定义为 忆 = ( ：e 一。s i 钍i p d z ) ；，s p o ，叫( r ，p ，仃) 当o r o ，记冗，仃) = + o o 因此r ( p ，口) 就是球的半径记 君= 湖s ( r ) ，量= 瓣s ( r ) ，r = mr 07 u 并且设 一。o 量可 o ，s ( 。) e 1 ( 翁) 且s ( t ) = s ( r ) ，r = 睁1 设z 扣) 是常微分方程始值问题 ( r ) + ( r ) + 拓= o ，z ( o ) = l ，一( o ) = o 的并，z l 是2 p ) 的第一个零点如果! 半 ，y 2 ，s ( r ) 满足 n 刚幻一各，o r o 有 兄( p ，盯) o ，s ( z ) e 1 ( q ) 且s 扛) = s ( r ) ，r = j 卫j ( 1 )若1 o 都有r 0 ，盯) = + o 。j ( 2 ) 如果恶 ，y o ， r ( p ，口) + o o 情形2 ：考虑等熵流，即s ( 。) 兰常数不妨设s = 0 定理1 3 3 设q = b r ( o ) ，s ( z ) = o ，箍 o 使得 r ( p ，盯) o 都有r ( p ，盯) + o 。 ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) 直接求( 1 1 1 9 ) 的正解是很困难的，为了克服这一困难，我们注意到m a ol u o 和j o e l s m o l l e r 在【3 4 】中所用的打靶方法，应用这一方法我们证明了( 1 1 1 9 ) 正解的存在性，即定理 1 3 1 一定理1 3 3 在【3 4 】中t h dl u o 和j 0 e ls m o l l e r 讨论了当n = 3 ，2 7 o ，希 o ，则有 且，盯1 ) 且( p ，c r 2 ) 2 )对盯 0 ，若p 2 p 1 p 0 ，则有 r ( p l ，仃) r ( p 2 ，口) 1 0 ( 1 3 1 2 ) 3 )存在常数e = e n ，口) o 使得 r ( p ，盯) 唧i # b 印i 簪b 特别地。 蚓，盯) - + 0 ， 当p _ + o o ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) 定理1 3 5 设q = b r ( o ) ，s ( z ) 三常数( 不妨设s = o ) ，仃 o ，格 ，y 2 若 盯l 观 0 ，则有 r ( p ，盯1 ) r ( p ，c r 2 ) 定理1 3 6 设q = b r ( o ) ，s 和) 三常数( 不妨设s = o ) ，惫 o 使得对v r ( o ，r o ) ，( 1 1 1 9 ) 在玷( o ) 上存在径向对称解 下面给出一个径向解的非存在性结果 设q = b r ( o ) cr n ，s 扣) ，扛) 都是径向对称函数，即s ( z ) = s ( r ) ，扣) = ，( r ) ，r = 嚣1 把，( r ) 标准化，化方程( 1 1 1 7 ) 为带参数盯 o 的方程 u ”( r ) + ( 孚+ 。( r ) ) u ，( r ) + e 础( e 埘( r ) 叫a 一盯，( r ) ) = o ( 1 3 1 5 ) 我们依然用u ( r ，p ，盯) 表示方程( 1 3 1 5 ) 满足初始值 ( o ) = o ，u ( o ) = p o 的解，r ( 弘盯) 为u ( r ，n 口) 的第一个零点 定理1 3 7 设q = b r ( o ) ，s ( 石) = s ( r ) ，( z ) = ，( r ) ，r = i 岱i 著，( o ) 0 ，( r ) o ，( r ) 0 ，则下列结论成立 ( 1 )若袅 7 2 ，则当p 克分小时r 囟，盯) = + o o j ( 2 )若1 o 都有r ，口) = + o o ( 1 3 1 6 ) 对于一般的有界光滑区域q 和速度场v ，设，( 霉) e 1 ( q ) ，s ( z ) c 2 ( 蟊) ( o 1 ) 使得 ( 研) 算子一d i v ( e 一。5 v ) + ：( s ) e 一8 5 的第一特征值a l = a l ( q ) 大于零。 或者加强为 l l 博士学位论文 d o c t o r a l d j s s e r l j 盯i o n ( 玩) s 0 主要有以下一些结果 定理1 3 8 设q 是r ”中的有界光滑区域，s ( 。) g 2 ( 囝) ( o 1 ) 使得( 日1 ) 或 ( 凰) 成立，扣) m 或在分布意义下，) o 若燕 7 2 ，则存在o 巩 + o 。 使得对每个口( o ，“) ，边值问题( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 至少有一个正解 定理1 3 9 设q 是r ”中的有界光滑区域，s ( 。) g 2 ( q ) 使得( 研) 成立， ， ) m 或在分布意义下， ) o ，格 吖时无解而且当盯( o ，吖) 时，( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 的极小正解 札。具有以下性质z ( 1 ) u 。口妒干q ，咖( 石) 是( 1 _ 1 2 7 ) 的解 ( 2 ) 矗e ”叩矿。1 2 + ；( s ) e 8 “。如口k 矗e 一寺e ”8 让吕+ 1 如， ( 3 ) 珏。在q 上关于口单调递增 定理1 3 8 和定理1 3 9 的证明思想主要来源于1 2 1 1 ，【4 4 】，【2 2 】因为，0 ) 和s 都是 变号函数，所以强极值原理不适用，我们就不能直接应用变分方法和强极值原理来证明正解的存 在性，这时需要克服s 和，扫) 变号所带来的困难但在我们的假设条件下，我们通过寻找 方程的上、下解，应用上下解方法得到方程的非负解，再利用个类似于h o p f 引理的极值结果 ( 在第三章中证明) 证明解在q 上是正的在这个过程中寻找方程的正的上解是比较困难的 定理1 3 1 0 设q 是r “中的有界光滑区域。s ( z ) g 2 ( 佥) 使得( 玩) 成立， ，0 ) 朋鳆在分布意义下，0 ) so 若是 7 钍，于q ， ( 2 ) 矗e 一口5 l v 以1 2 + ( s ) e n 3 以如g 矗e 一岳e a 8 堙+ 1 出， 定理1 3 1 1 设q 是r ”中的有界光滑区域， s ( z ) e 2 ( q ) 使得( 日1 ) 或( 王 ) 成 立，( z ) n ，箍 ，y o 使得( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 至少有 一个解u 。而且当盯叶。时，“口j 乱o ，u o 是( 1 1 | 2 6 ) 的解 定理1 3 1 0 和定理1 3 1 l 的证明方法源于【2 1 】， 17 】，【3 1 】，【2 9 】和【14 j 我们应用变分 方法证明弱解的存在性，再利用椭圆正则化理论和一些技巧证明古典正解的存在性 1 2 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r l m i o n 关于解的个数问题，我们有下面的两个定理 定理1 3 1 2 设燕 7 o ，使得边值问题( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 对每个盯( o ，c r o ) 恰 有两个解的充要条件是，扛) 1 而且当口_ 0 时，其中一个解一致收敛于o ，另一个一致 收敛于齐次边值问题( 1 1 2 6 ) 的唯一解 定理1 3 1 3 设惫 7 o ，使得边值问题( 1 ，1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 对每个盯( o ，印) 只有 一个解的充分条件是，( z ) 厂n 而且当矿o 时，解一致收敛于齐次边住问题( 1 1 2 6 ) 的唯一解， 定理1 3 1 2 和定理1 3 1 3 的证明思想主要源于【2 1 】在证明中要甩到有关解的性质的预 备知识，但是得到解的这些性质是比较困难的 最后是2 7 + o 。和l 7 箍时，关于( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 正解的一些结果 定理1 3 1 4 设q 是r ”中的有界光滑区域，2 ，y + ，s ( 石) g 2 一( q ) 满足( 日1 ) 或( 玩) 则( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 存在正解的充要条件是，知) t 定理1 3 1 5 设q 是r “中的有界光滑区域，2 ，y + 。若s 0 ) c 2 ，”( q ) 满足 ( 日1 ) ，扣) m ，则( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 的解唯一 定理1 3 1 6 设qc p 是星搿区域，1 o 使得当口( o ，c r o ) 时，( 1 1 _ 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 有解的充要条件是，0 ) m 定理1 3 t 1 4 一定理1 3 1 6 的证明方法主要来自于【2 1 】，【4 4 】和【5 0 】类似于第三章的证 明，应用假设条件，我们可通过寻找方程的上、下解，应用上下解方法得到方程的非负解，再利 用第三章中证明的极值结果证明解在n 上是正的 1 3 博士学位论文 d o c t o r a l d l s s e 群f m l i o n 1 4 结构安排 我们将整篇论文分成五章在第二章中我们主要用打靶方法证明边值问题( 1 1 1 9 ) 径向对 称解的存在性及解的性质，证明定理1 _ 3 1 一定理1 3 7 在第三章，我们首先在第二节给出一些预备知识，如解的先验估计、解的性质和类似于h o p f 引理的极值结果等 在第三节