2025年中本数学考试试题及答案

2025年中本数学考试试题及答案

一、单项选择题1.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\)中自变量\(x\)的取值范围是（）A.\(x\gt2\)B.\(x\geq2\)C.\(x\lt2\)D.\(x\neq2\)答案：A2.一元二次方程\(x^2-3x=0\)的解是（）A.\(x=3\)B.\(x_1=0\)，\(x_2=3\)C.\(x_1=0\)，\(x_2=-3\)D.\(x=0\)答案：B3.若一个多边形的内角和是\(1080^{\circ}\)，则这个多边形的边数是（）A.6B.7C.8D.9答案：C4.在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(BC=6\)，则\(AB\)的长为（）A.4B.6C.8D.10答案：D5.抛物线\(y=2(x-3)^2+4\)的顶点坐标是（）A.\((3,4)\)B.\((-3,4)\)C.\((3,-4)\)D.\((-3,-4)\)答案：A6.已知点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)都在反比例函数\(y=-\frac{3}{x}\)的图象上，且\(x_1\lt0\ltx_2\)，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（）A.\(y_1\lty_2\)B.\(y_1\gty_2\)C.\(y_1=y_2\)D.无法确定答案：B7.一个圆锥的底面半径为\(3\)，母线长为\(5\)，则这个圆锥的侧面积为（）A.\(15\pi\)B.\(20\pi\)C.\(24\pi\)D.\(30\pi\)答案：A8.若关于\(x\)的一元一次不等式组\(\begin{cases}x-a\gt0\\1-x\gtx-1\end{cases}\)无解，则\(a\)的取值范围是（）A.\(a\geq1\)B.\(a\gt1\)C.\(a\leq-1\)D.\(a\lt-1\)答案：A9.数据\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(4\)，\(3\)的众数是（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)答案：B、C10.如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=6\)，\(DB=3\)，\(AE=4\)，则\(EC\)的长为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B二、多项选择题1.下列运算正确的是（）A.\(a^2+a^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\(a^6\diva^2=a^3\)D.\((ab)^3=a^3b^3\)答案：BD2.以下图形中，是轴对称图形的有（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案：BCD3.下列函数中，\(y\)随\(x\)的增大而增大的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=-2x+1\)C.\(y=\frac{2}{x}\)（\(x\gt0\)）D.\(y=x^2\)（\(x\gt0\)）答案：AD4.一个不透明的袋子中装有\(3\)个红球和\(2\)个绿球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出\(2\)个球，下列事件是必然事件的是（）A.至少有\(1\)个球是红球B.至少有\(1\)个球是绿球C.有\(2\)个球是红球D.有\(2\)个球是绿球答案：A5.若二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.\(a\lt0\)B.\(b\lt0\)C.\(c\gt0\)D.\(b^2-4ac\gt0\)答案：ACD6.下列命题中，是真命题的有（）A.同位角相等B.对顶角相等C.三角形的内角和是\(180^{\circ}\)D.直角三角形的两个锐角互余答案：BCD7.已知点\(A(1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)、\(C(-3,y_3)\)都在反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象上，则\(y_1\)、\(y_2\)、\(y_3\)的大小关系是（）A.\(y_1\lty_2\lty_3\)B.\(y_3\lty_1\lty_2\)C.\(y_2\lty_1\lty_3\)D.\(y_3\lty_2\lty_1\)答案：D8.计算\(\sqrt{12}-\sqrt{3}\)的结果是（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(2\sqrt{3}\)C.\(3\sqrt{3}\)D.\(2\)答案：A9.已知\(\odotO\)的半径为\(5\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(4\)，则点\(P\)与\(\odotO\)的位置关系是（）A.点\(P\)在\(\odotO\)内B.点\(P\)在\(\odotO\)上C.点\(P\)在\(\odotO\)外D.无法确定答案：A10.如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=36^{\circ}\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)交\(AC\)于点\(D\)，则图中等腰三角形的个数是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：C三、判断题1.两个锐角的和一定是钝角。（×）2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。（×）3.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)。（×）4.圆的切线垂直于经过切点的半径。（√）5.数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的中位数是\(3\)。（√）6.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)中，自变量\(x\)的取值范围是\(x\neq1\)。（√）7.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。（√）8.若\(x^2-3x+2=0\)，则\(x=1\)或\(x=2\)。（√）9.相似三角形的面积比等于相似比。（×）10.二次函数\(y=x^2-2x+3\)的图象开口向上。（√）四、简答题1.先化简，再求值：\((x+2)^2-(x+1)(x-1)\)，其中\(x=-\frac{1}{2}\)。答案：先利用完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)和平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)化简式子。\((x+2)^2-(x+1)(x-1)=x^2+4x+4-(x^2-1)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5\)。当\(x=-\frac{1}{2}\)时，代入得\(4\times(-\frac{1}{2})+5=-2+5=3\)。2.解方程：\(\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}\)。答案：方程两边同乘\(x(x-3)\)去分母得\(2x=3(x-3)\)，展开括号得\(2x=3x-9\)，移项可得\(3x-2x=9\)，即\(x=9\)。检验：当\(x=9\)时，\(x(x-3)=9\times(9-3)=54\neq0\)，所以\(x=9\)是原方程的解。3.已知一个菱形的两条对角线长分别为\(6\)和\(8\)，求这个菱形的面积和周长。答案：菱形面积等于对角线乘积的一半，所以该菱形面积为\(\frac{1}{2}×6×8=24\)。菱形对角线互相垂直平分，两条对角线的一半分别为\(3\)和\(4\)，根据勾股定理可得菱形边长为\(\sqrt{3^2+4^2}=5\)，则周长为\(4×5=20\)。4.如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=8\)，\(BC=6\)，求\(\sinA\)、\(\cosA\)、\(\tanA\)的值。答案：先根据勾股定理求斜边\(AB\)的长，\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\)。\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)；\(\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)；\(\tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)。五、讨论题1.一次函数\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的图象经过点\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求这个一次函数的解析式，并讨论当\(x\)在什么范围内取值时，\(y\gt0\)。答案：把点\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\)，两式相减消去\(b\)可得\(2k=4\)，解得\(k=2\)，把\(k=2\)代入\(k+b=3\)得\(2+b=3\)，解得\(b=1\)，所以解析式为\(y=2x+1\)。令\(y\gt0\)，即\(2x+1\gt0\)，移项得\(2x\gt-1\)，解得\(x\gt-\frac{1}{2}\)。所以当\(x\gt-\frac{1}{2}\)时，\(y\gt0\)。2.已知二次函数\(y=x^2-2x-3\)，（1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标；（2）画出函数图象并讨论当\(x\)取何值时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。答案：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函数\(a=1\)，\(b=-2\)，所以对称轴为\(x=-\frac{-2}{2×1}=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=1^2-2×1-3=-4\)，所以顶点坐标为\((1,-4)\)。函数图象开口向上，对称轴为\(x=1\)，所以当\(x\gt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。3.如图，在\(\odotO\)中，\(AB\)是直径，\(CD\)是弦，\(AB\perpCD\)于点\(E\)，连接\(OC\)、\(OD\)，讨论\(\triangleOCD\)的形状，并说明理由。答案：\(\triangleOCD\)是等腰三角形。理由：因为\(AB\)是\(\odotO\)的直径，\(AB\perpCD\)于点\(E\)，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，所以\(CE=DE\)。在\(\triangleOCD\)中，\(OC=OD\)（都是圆的半径），又\(CE=DE\)，\(OE\)为公共边，可通过全等证明\(\triangleOCE\cong\triangleODE\)，所以\(\triangleOCD\)是等腰三角形。4.在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有\(2\)个，蓝球有\(1\)个，现从中任意摸出一个是红球的概率为\(\frac{1}{2}\)。（1）求袋中黄球的个数；（2）讨论若第一次摸出一个球后不放回，第二次再摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。答案：（1）设袋中黄球有\(x\)个，球的总数为