（应用数学专业论文）非线性脉冲微分系统的动力学分析.pdf

山东师范大学硕士学位论文 非线性脉冲微分系统的动力学分析 翟雷厚 摘要 脉冲泛函微分系统源于实践，在现代科技领域及工程技术中具有广泛的应用 的数学模型都可以用脉冲泛函微分系统来描述，因此对其研究日趋活跃，并取得了 一些好的研究成果 1 , 3 - - 3 2 , 3 4 - 3 7 , 4 0 - - 4 2 目前，关于脉冲泛函微分系统的解的振动性 7 - 9 】、一致渐近稳定 4 - 5 , 1 6 - 2 0 , 2 5 、指数稳定 2 1 ，2 2 ，2 4 i 、w 一稳定性刚等的结果已 同时我们注意到在许多数学模型中，如种群系统、食饵捕食者竞争系统、人 工神经网络等 61 4 , 1 53 0 - 3 2 】，为使系统在瞬时突变时依然保持平衡态和持久性，或者 具有某些优化处理的功能，必须要求系统具有全局稳定的平衡态，而这些系统都可 另外，切换系统作为一种重要的混合动态系统，在自动化控制等各领域的应用 日益广泛近年来，对切换系统的研究越来越热，在切换系统的稳定性和切换规则 本文的工作着重考虑时滞和切换影响下非线性脉冲微分系统的动力学分析全 胁测 拦曼 的全局稳定性与全局脉冲镇定性分段连续的i 心r a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技 山东师范大学硕士学位论文 进一步研究了该系统的全局脉冲镇定，最后举例说明了定理的应用性 在第二章，我们研究了脉冲时滞切换系统 x p ( t ) = 兄一l ( t ，z t ) ，t 【t k 一1 ，如) ，t t o ， x ( t k ) = 1 k ( t ；，z ( 坛) ) ，k a r + ， ( i i ) z ( t ) = 妒( 功，t o r t t o 的稳定性脉冲时滞切换系统一般包括组有限( 或无限) 个子系统和一个描述子系 统之间如何切换的切换规则，特点是不同时间段内微分系统的结构可以完全不同， 系统解的状态依赖于前面的时间段，并且在切换时刻受到瞬时脉冲影响目前关于 此类系统的研究并不多 4 1 - 4 2 】，已有成果的主要研究方法是l y a p u n o v 泛函及r a z u - m i k h i n 技巧本章从摄动的观点出发，采用变分l y a p u n o v 函数方法和r a z u m i k h i n 技巧，建立了脉冲时滞切换系统( i i ) 的两个变分比较原理，推广了右端函数不含切 换情形的结果，得到了系统( i i ) 依两个测度稳定性的比较结果和直接结果，最后举 例说明了定理的应用 关键词；脉冲泛函微分系统，脉冲切换时滞系统，l y a p u n o v 函数， r a z u m i k h i n 技巧，一致稳定性，全局稳定性，脉冲镇定性， 两个测度 分类号：0 1 7 5 2 1 2 山东师范大学硕士学位论文 d y n a m i c san a l y s i so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m s l e i h o uz h 撕 s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ss t e mf r o mp r a c t i c e ，w h i c hh a v e w i d ea p p l i - c a t i o n si nm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y n u m e r o u sm a t h e m a t i c a lm o d e l so fr e a lw o r l d p r o b l e m sc a nb ed e s c r i b e db yt h i st y p eo fd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，s u c ha sm o d e l si n v o l v i n g s p a c et e c h n o l o g y ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，c o n t r o ls y s t e m s ，c o m m u n i c a t i o n s ，l i f es c i e n c e se t c r e s e a r c hi nt h i sa l e ai sv e r ya c t i v e ，a n dq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so ft h em a t h e m a t i c a lt h e o r y o fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nd e v e l o p e d 1 ，3 3 2 , 3 4 - 3 7 , 4 0 - 4 2 】s u c h a so s c i l l a t i o n l 7 - 9 1 ，u n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y 4 5 ，1 6 2 0 , 2 5 ：e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y 2 1 , 2 2 , 2 4 】， w s t a b i l i t y 2 3 le t c h o w e v e r ，t h e r ea r ef e wr e s u l t so nt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h i sk i n do f s y s t e m s m e a n w h i l e ，w en o t et h a ti nt h er e s e a r c ho fm a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l s ，s u c ha s s p e c i e ss y s t e m s ，p r e d a t o r - p r e yc o m p e t i t i o ns y s t e m s ，n e u r a ln e t w o r k se t c 【6 , 1 4 , 1 5 , 3 0 - 3 2 】， g l o b a lc o n t r o ls t r a t e g i e sm u s tb ea d o p t e d i no r d e rt om a i n t a i nt h ee q u i l i b r i u ms t a t ea n d p e r s i s t e n c eo rc e r t a i nk i n do fo p t i m a lc a p a b i l i t i e s m o s to ft h e s es y s t e m sc a nb er e d u c e d t oi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h e r e f o r e ，r e s e a r c ho ft h eg l o b a ls t a b i l i t yo f i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sh a sg r e a tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e b e s i d e s ，s w i t c h e ds y s t e m ，w h i c hi so n eo fi m p o r t a n tw p e so fh y b r i dd y n a m i c a ls y s - t e r n s ，h a sw i d e s p r e a da p p l i c a t i o n si nt h ec o n t r o lo fm e c h a n i c a ls y s t e m s ，t h ea u t o m o t i v e i n d u s t r ya i r c r a f t ，a i rt r a f f i cc o n t r o la n do t h e rf i e l d s i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e n ag r o w i n gi n t e r e s ti nt h es t u d yo fs w i t c h e ds y s t e m s m a n yr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d o nt h es t a b i l i t ya n dt h ed e s i g no fs w i t c h i n gl a wo fs w i t c h e ds y s t e m s 3 7 4 2 i h o w e v e r i m p u l s e ：t i m ed e l a ya n ds w i t c h i n ga r eu b i q u i t o u si nt h er e a lw o r l d h o wt ob a l a n c et h e s e f a c t o r st oe n s u r et h ed e s i r e dd e v e l o p m e n ti sw o r t h yo fs t u d y i n g i t o w e v e r ，t h e r ea r ef e w r e s e a r c hi nt h o s ef i e l d s 4 1 ，4 2 i nt h i st h e s i s ，w cf o c u sr e s e a r c hw o r ko nd y n a m i c sa n a l y s i so fn o n l i n e a ri m p u l s i v e d i f f e r c n t i a ls y s t e m su n d e rt h e i n f l u e n c eo ft i m ed c l a ya n ds w i t c h i n g t h i st h e s i si sd i - v i d e di n t ot w op a r t s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h eg l o b a ls t a b i l i t ya n dg l o b a li m p u l s i v es t a b i l i z a t i o no f 3 山东师范大学硕士学位论文 -一 i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sa sf o l l o w s ： fz 他) = ，( t ，z ) ，t 2t o ，t t k ， z ( ) = 妒( ) ，t o r t t o ， ( i ) 【a x i t ：“= x ( t k ) 一z ( t i ) = i 七( t k ，z ( z i ) ) ，k = 1 ，2 ， l y a p u n o vf u n c t i o nc o m b i n e dw i t hr a z u m i k h i nt e c h n i q u ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t m e t h o d si nt h ei n v e s t i g a t i o no fs y s t e m ( i ) b yt h i sm e t h o d ，r e f 【4 5 ，1 6 - 2 0 ，2 5 s t u d i e dt h e u n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s r e f 2 1 ，2 2 ，2 4 】 o b t a i n e dt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ) o fs y s t e m ( i ) i t o w e v e r ，t h er e s e a r c hi nt h o s ef i e l d si s n o te n o u g h ，t h ed i f f i c u l t yi st h a tt h eu s u a lr a z u m i k h i nc o n d i t i o n sc a nh a r d l yg u a r a n t e et h eg l o b a ls t a b i l i t yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s t oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t y , m t h i sc h a p t e r ，a u x i l i a r yf u n c t i o n sa r ci n t r o d u c e dt oc o n s t r u c tn e wr a z u m i k h i nc o n d i t i o n s c o m b i n e dw i t hl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e g l o b a ls t a b i l i t ya n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e r n s i ns u b s e q u e n ts t u d y ，w ec o n s i d e rt h eg l o b a li m p u l s i v es t a b i l i z a t i o no fs y s t e m ( i ) s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h eo b t a i n e dr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e mw i t ht i m ed e l a y a sf o l l o w s ： ( i i ) a ni m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e mw i t ht i m ed e l a yu s u a l l yc o n s i s t so ff i n i t e ( o ri n f i n i t e ) s u b s y s t e m sa n dar u l et h a to r c h e s t r a t e s t h es w i t c h i n gb e t w e e nt h e m f o rt h i sc l a s so f s y s t e m s ，t h es t r u c t u r eo fd i f f e r e n t i a ls y s t e m sm a yb eq u i t ed i f f e r e n tf r o me a c ho t h e ri n d i f f e r e n tt i m ei n t e r v a l s ；t h es t a t eo fs o l u t i o n sa r ed e p e n d e n tu p o nt h ef o r m e ri n t e r v a l s ； a n ds w i t c h i n gt i m ee x h i b i t st h ei m p u l s ee f f e c t n o w a d a y s ，t h e r ea r cf e wr e s u l t sf o rt h i s c l a s so fi m p u l s i v es y s t e m s 4 1 - 4 2 a n dt h em a i nr e s e a r c hm e t h o du s e di sl y a p u n o vf u n c t i o n a la n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e i nt h i sc h a p t c r ，w ee s t a b l i s ht w oc o m p a r i s o np r i n c i p l e s f o rs y s t e m ( i i ) ，b yv a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o da n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e ，a n ds t u d y t h es t a b i l i t yo fs y s t e m ( i i ) i nt c t l n so ft w om e a s u r e s f i n a l l y e x a m p l e sa r eg i v e nt o i l l u s t r a t eo u rr e s u l t s k e y w o r d s ：i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s i m p u l s i v es w i t c h e ds y s t e r n sw i t ht i m ed e l a y , l y a p u n o vf u n c t i o n ，r a z u m i k h i nt e c h n i q u e ，u n i f o r ms t a b i l i t y , g l o b a ls t a b i l i t y ,i m p u l s i v es t a b i l i z a t i o n ，t w om e a s u r e s 4 c l a s s i f i c a t i o n ：0 17 5 2 1 r r “ 七 幻 文 “石 ，以乓啦 l l i | = 羔卅如幻 独创声明 一弥秽孚一名：雠 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行搜索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保 密的学位论文在解密后使用本授权书) 繇秽孕 导师签名： 签字日期： 山东师范大学硕士学位论文 第一章脉冲泛函微分系统的全局稳定性分析 1 1引言 脉冲泛函微分系统能更好地描述脉冲和时滞影响下事物的变化规律，已被广泛 应用于航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学等现代科技各领域中 1 - - 4 2 】 脉冲泛函微分系统最早的工作属于a n o k h i n 1 3 】，经过近十年的发展，脉冲泛函微分系 统理论已成为个十分重要的研究领域，许多学者对其进行了深入而广泛的研究， 取得了丰硕的研究成果 1 - - 4 2 】目前，有关脉冲泛函微分系统的解的振动性f 7 棚】、 一致渐近稳定 4 - 5 , 1 6 - 2 0 , 2 5 1 、指数稳定 2 1 , 2 2 , 2 4 j w 稳定性f 2 3 】等的结果已经相继 建立，但是关于这类系统全局稳定性方面的结果并不多见 但是，我们注意到在许多数学模型如种群系统、食饵捕食者竞争系统等 6 , 1 4 , 1 5 中，为使系统在瞬时突变时依然保持平衡态及持久性，必须要求全局稳定性；又比 如，若设计的人工神经网络具有非线性优化计算功能，就必须要求网络具有全局渐 近稳定的平衡态；若设计的网络具有快速搜索的能力，就必须要求网络具有全局指 数稳定的平衡态，而这些系统都可以归结为脉冲泛函微分系统因此对脉冲泛函微 分系统全局稳定性的研究，无论在理论上还是应用上都具有非常重要的意义 脉冲泛函微分系统稳定性的研究方法上，分段连续的l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧是一种处理脉冲泛函微分系统的重要方法，借助这种方法，文献 4 - - 5 , 1 6 - - 2 0 , 2 5 】 等得到了泛函微分系统的一致渐近稳定性定理，文献 2 1 , 2 2 , 2 4 等得到了该系统的指 数稳定性结果，但是关于此类系统的全局稳定性结果并不多见，困难在于常见的 r a z u m i k h i n 条件，难以保证泛函微分系统的全局稳定性为了克服这一困难，在本 章中，我们通过引入辅助函数构造新的r a z u m i k h i n 条件并结合l y a p u n o v 函数方 法，研究得到了保证脉冲泛函微分系统全局稳定和全局指数稳定性的充分条件，并 进一步研究了该系统的全局脉冲镇定，最后举例说明了定理的应用性 1 2预备知识 本章主要讨论如下的脉冲泛函微分系统 p 卜八瓦祝l 崆幻。舢b ( i )、1 ， 【a x t ：“= x ( t k ) 一z ( t i ) = i k ( t k ，z ( t i ) ) ，k = 1 ，2 ， 其中z 讯) 表示x ( t ) 在f 处的右导数，x t ( p ) = z ( z + p ) ，口【一r ，o 】，0 t o t l t 2 o ) ； k = o k o ，且a 关于s 严格单增) ； q 1 = 1 n 石：当5 0 时，a ( 8 ) s ； q 2 = n k ：当s 0 时，a ( s ) o ，2 9 一y ( s ) = + s ，一r a w 在本文中总假定f ( t ，0 ) 三0 ，磊( t k ，0 ) 兰0 ，以保证系统( i ) 的零解存在此外， 总假定系统( i ) 满足初始条件z 仃= 妒的解x ( t 一妒) 整体存在且唯一 定义1 1 称函数v ：【一n + 。o ) xp c _ r + 属于( ) 类函数，若满足条件： ( a 1 ) y 在每个集合乩t k ) p c 上连续，且 l i m 矿( z ：砂) = v ( q ，砂) 存在； 纠。【气，妒j ( a 2 ) v ( t ，z ) 关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件且v ( t ，0 ) 三0 定义1 2 设v v o ( ) ，对任给的( t ，妒) 【t k “t k ) p c ，v ( t ，z ) 沿系统( i ) 的解 的右上导数定义为： d + v ( t ，妒( o ) ) = l i ms u p v ( t + h ，妒( o ) + h f ( t ，妒) ) 一v ( t ，妒( o ) ) 矗 0 十 定义1 3 系统( i ) 的零解称为 ( s 1 ) 一致稳定：若对任给的盯2t o 和 0 ，存在j 二ic ( e ) 0 ，使得当砂p c b a ( a ) 时，i x ( t ，盯，妒) i 0 m l ，对任意的初始条件( o r 妒) ，有 x ( t ，仃，妒) l m l l 妒l l e a ( 。一“ 6 山东师范大学硕士学位论文 1 3脉；中泛函微分系统的全局稳定性 在本节中，通过引入q 类函数构造r a z u m i k h i n 条件，并进一步借助分段连续 的l y a p u n o v 函数和r a z u m i k h i n 技巧给出了脉冲泛函微分系统零解的全局稳定性 以及全局指数稳定性定理，并举例说明了定理的应用 定理1 3 1 设存在w l ，w 2 k o ，拓q 1 ，c ，h c ( r + ，r + ) ，p p c ( r + ，r + ) ， v ( t ，z ) v o ( ) ，m 1 为给定常数，使得如下条件成立： ( i ) w l ( i x l ) v ( t ，z ) 叫2 ( 1 2 1 ) ，( t ，x ) 【一r ，+ 。) s ( p ) ； ( i i ) 对任给的盯t o ，妒p c ( 【一7 ，o 】，s ( 户) ) ，当夕( 7 ( 一口) y ( ，妒( o ) ) ) m 一1 ，y ( t 一 口+ o ) v ( t + 口，砂( a ) ) ，t t k 时 d + v ( t ，妒( o ) ) sh ( v ( t ，妒( o ) ) ) 一p ( t ) c ( v ( t ，妒( o ) ) ) ， 其中0 【一r o 】，8 0 ，k z 4 ； ( i v ) 一l i m + 等= g 等，v t 0 vs ( o ：( 6 + ) 】 ( 1 3 1 ) 7 山东师范大学硕士学位论文 对任给的( o ，扩j ，取j = 6 ( ) o ：满足w 2 ( 5 ) 丽专了m 对任给的仃z 。， 设z ( t 砂) 为系统( i ) 过( 盯，妒) 的解，下证当妒p c b 6 时，m 盯：妒) i ，t2 盯 首先对t f c r n 盯l ，显然有 啊( y ( t ，z ( z ) ) ( 占) 赢m ( ) 而! 玎w l ( ) ) ， 则y ，z ) ) = 丽毛1 吼( ) 又由( 1 3 2 ) 式，当z f c r r ，伊】时，矿( ，z ( ) ) 而备啊( e ) ，因此t + ( 盯，t 1 ) 且 啡，邢) ) 一y ( z + 一盯) y ( t + ，z ( t 8 ) ) 7 ( + 一玎+ 伊而备眠( ) 7 ( z 一盯+ e ) v ( t 。+ 护：妒( 口) ) 2m 一1 7 ( + 一盯+ o ) v ( t + + p ，妒( 口) ) ， 从而条件( i i ) 的前提满足又注意到 帅4 一) = 而! 玎叭( ) w l ( ) m ( 州 山东师范大学硕士学位论文 结合( 1 3 1 ) 式得 d + y ( 矿，x ( t + ) ) s 危( y ( 矿，x ( t 4 ) ) ) 一p ( t + ) c ( y ( t ，x ( t + ) ) ) = ( 而l 一( ) ) 一p ( 矿) c ( 而! 玎肌( e ) ) c ( 志删 譬篇叫纠 与( 1 3 4 ) 式矛盾因此( 1 3 3 ) 式成立，于是 肌( ) i ) y ( t ，z ( t ) ) 而备肌( g ) w 1 ( f ) 上式表明i z ( t ) i ，t 【盯，t 1 ) ，因此x ( t 7 ) s ( j d l ) ，x ( t z ) s ( p ) 于是，当t = t t 时，由( i i i ) 式 y ( 锄) 以( y ( t f ) ) 五五芬气可m ( e ) ) s 砀毒；了也( 肌( ) ) 类似可证 y ( 。，z ( t ) ) 而备也( 矾( ) ) ，t 【轧t z + 1 ) 由数学归纳法，当t 【t k ，t k + 1 ) u o r ，t t ) ，k 1 ，k = l ，z + 1 ，z + 2 ，k ，l 4 时， y ( 姐( 踟砑南啊( e ) 羔j 七( j k l ( 一以( ( 州) ) 肌( n 阿1 ( i x ( t ) 1 ) v ( t ，z ( z ) ) w 1 ( 0 ，t 盯 于是l z ( ) i ，t 口因此系统( i ) 的零解是一致稳定的 下证对任给的初值z 。= 妒，当t 一+ 。o ，有l z ( t 一妒) l 一0 由m ，w 2 k 及条件( i v ) 一( v ) ，知存在9 1 ，e 2 ，e 3 ，4 ，使得 w 2 ( e 1 ) 肼( 矿) ，矿为( 1 3 1 ) 式中矿 梨g 帕，s ( o ，( 矾 c f s ) - = 1 。 。r 1 趴”j s 伽u p7 + l ( 。t y ) 0 ( 0 0 ，使得 i ，2 丽与了w ，1 ( 吐并且m m * a - 1 吲s u l p0 13 ( 印 m ( 咄 对任给的盯t o ，不妨设盯 t 1 1 t z ) ，记x ( t ，正妒) 为系统( i ) 过( 矾妒) 的解，任给的 妒p c b 6 ( a ) ，由- c ，6 的取法及前面部分的证明，知x ( t ，盯，妒) 是一致稳定的，因此 v ( t ，z ( ) ) ( e ) ( e ) ，t2o r 引入记号 y ( 盯) = m a x 矿( 盯) 令 = i n f t 【盯，t f ) i 西( z ) 2 矿( 盯) 由西( 盯) = ，y ( o ) y ( 口) m 一1 矿( 盯) g - - 1 ( 矿( j ) ) ：t ( t ，习 因此 夕( 7 ( t 一盯) y ) ) = 9 ( 西( t ) ) y ( 盯) 西( s ) ，y ( s 一盯) y ( s ) ，t r s t ，t 【t + ，t 1 条件( i i ) 的前提满足，于是d + v ( t ) ( y ( t ) ) 一p ( t ) c ( y ( t ) ) ，t 【t + ，t 7 ， 又v ( t ，z ( ) ) w 2 ( ) s p ) ，不等式( 1 3 6 ) 和( 1 3 7 ) 亦成立，于是 d + 圣( t ) d + 矿( t ) ，y ( t 一口) 4 - y ) ， 一盯) 九( 矿( t ) ) 一p ( t ) c ( y ( t ) ) 7 ( t 一盯) + y ( ) ( 一盯) 刮m t ) 帮叫帮+ 矧) 叫t ， 错 揣刊t ， + 蚓) 洲t ) 等【q + e * - p ( 卅秽) 洲t ，协掣【q + e * - 啪i n f 删+ s u p 籍 s0 故d + 圣( ) 0 ，t 【t + ，司，因此圣( t + ) 圣( ) ，另一方面币( t + ) = g - 1 ( 矿( 盯) ) 且巧一1 y ( 巧) ，t ( t + ，t z ) ，于是 夕( 一y ( t 一仃) y ( ) ) = 9 ( 西( ) ) 圣0 ) m 一1 矿( 丁) m 一1 圣( s ) 三= m 一1 7 ( s 一盯) y ( s ) ， 对任给的t rss t ，t 【t + ，t t ) 成立结合条件( i i ) 可得，对vt 【t 4 ，t 1 ) ，不等 式d + v ( t ) ( y ( t ) ) 一p ( ) c ( y ( t ) ) 成立 于是类似前面的证明，有d + 圣( t ) 0 ，因此圣( f ) s 西( z + ) ，另一方面，由t 4 的定 义，圣( 扩) m 一1 矿( 盯) ：= m ( t + ) 得到矛盾从而( 1 3 1 2 ) 式成立 于是再次利用条件( i i i ) 喇洲y 盯胚州器胚也( 等等胚旷h m ) ) _ 1 z l ( f z ( 州， 圣( ) = ，y ( 赴一盯) y ( 乱) 一y ( t f o ) m 一1 ( 7 ( 赴一盯) ) 一1 五( y ( 仃) ) m 一1 也( y ( 口) ) ( 1 3 1 3 ) 下证当t 【t t ，t t + 1 ) 时 西( t ) 五( y ( 盯) ) ( 1 3 1 4 ) 若不然，必存在某些t 【t l ，t l + 1 ) ，使得圣( t ) 以( y ( 盯) ) 令= i n f t 【t t ，t l + 1 ) j 圣0 ) 以( 矿( 盯) ) ) 由( 1 3 1 3 ) 式，( t l ，t t + 1 ) ，从而 垂( 匀= 以( 矿( 盯) ) ，圣( t ) g - x ( 也( 矿( 口) ) ) ， o ( t z ) sm 一1 巩( 矿( 盯) ) g - 1 ( 五( 矿( 口) ) ) 于是定义 t + = s u p t f t l , ) l 西( ) 9 - 1 ( 五( 矿( 口) ) ) 则 圣( t + ) = g - 1 ( 以( 矿( ) ) 且垂( t ) 9 - 1 ( 以( 矿( 盯) ) ) ，t ( t + ，司 因此 9 ( 7 ( t 一盯) y ( t ) ) = 夕( 巾( t ) ) 也( 矿( 盯) ) 圣( s ) 7 ( s 一口) y ( s ) ，t r 5st ，t 【f ，司 由条件( i i ) d + v ( t ) s ( y ( ) ) 一p ( ) c ( y ( t ) ) ，t 【t + ，习 12 山东师范大学硕士学位论文 又v ( t ，z ( t ) ) ( f ) ( 矿) ，不等式( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) 成立，于是 d + 圣( ) d + y ( t ) 7 0 一o r ) + v ( t p ( t 一仃) 茎 ( y ( ) ) 一p ( ) c ( y ( ) ) ) 7 ( 一矿) + v ( t p ( t 一盯) 鲥t ， 帮 嬲刊d + 渊) 鲥如5 掣【q + e * - 伽i n f p 】+ 潞鬻) 0 故d + o ( t ) 0 ，t t q ，因此圣( t + ) 圣( 幻，另方面圣( 矿) = g - 1 ( 也( y ( 盯) ) ) 也( 矿( 盯) ) = 圣( 匀，矛盾，故不等式( 1 3 1 4 ) 成立 于是t 【t t ，t t + 1 ) 时 w x ( i z i ) sy ( t ) s 掣s 入一l m + 矿( 盯) m 4 入_ 1m 觚 s u p ，y ( p ) ，m 7 ( o ) ( 6 ) 、口卜r ，0 j 。 m m a - 1s u p - r ( e ) ( 占) p 【- r ，0 】 晰( e ) ， 上式表明z ( i 1 ) s ( p 1 ) ，因此x ( t t + 1 ) s ( p ) 于是，当t = t t 十1 时，由条件( i i i ) y ( t l + 1 ) - - m 一1 也( 矿( 盯) ) ，t 【白，t t + x ) ，要么存 在某些t 【t t ，t l + 1 ) ：使得垂( ) m - 1 以( y ( 盯) ) 对于第一种情况，a ( 7 ( t 一盯) y ( ) ) = 9 ( 圣( ) ) m ( ) m 一1 也( 矿( 盯) ) 之m 一1 圣( s ) = m 一1 ，y ( s 一盯) y ( s ) ： ( 1 3 1 5 ) 其中s t r 扎t t t ，t t + 1 ) 上式表明 圣( i 1 ) m 一1 圣( 赴) ，即7 ( t + l o ) v ( t h l ) m 一1 7 ( t z 一口) y ( t f ) ， 1 3 山东师范大学硕士学位论文 注意到条件( v ) 中2 的定义， 川s 糟姗砌圳裟帮= 朋y ( t h l ) 由( 1 3 1 5 ) 式，条件( i i ) 满足，故对任意t 【t l ，t t + 1 ) ，不等式d + y ( t ) ( y ( t ) ) 一 p ( z ) c ( y ( t ) ) 成立，由( 1 3 7 ) 式 d + y ( t ：z ( t ) ) h ( v ( t ，z ( t ) ) ) 一p ( t ) c ( v ( t ，z ( t ) ) ) 纠俐 嬲刊) 如c 俐一粼) 一c ( y ( ) ) ；呈5 p ( t ) 一( g + + ) ， 将上式两端积分 蔗：，击如吨俐如 # 。i n f ，p ( t ) 一( g + e 8 ) ) 另一方面 震：，击如5 簏j 高认s u p f 。肌。雨1 班 于是 s 跏u pj 。高班p 嘁p ( ) 一( 口+ e + ) ) 注意到+ 的取法，知( 1 3 8 ) 式成立，得到矛盾 对于第二种情形，定义t 。= s u p t 【t l ，t l + 1 ) i 壬( ) m - 1 以( y ( 盯) ) j ， 故由t + 的定义，圣( 矿) = m 一1 以( 矿( 盯) ) ，且西( f ) m 一1 以( 矿( 盯) ) ，t ( t + ，t l + 1 ) ：于是 g (