（应用数学专业论文）hamilton动力系统及其在限制性三体问题上的应用.pdf

ab s t r a c t i n t h is p a p e r , h a m il t o n i a n d y n a m ic s s y s t e m s a n d t h e r e s t r ic t e d t h r e e - b o 衍p r o b le m a r e d is c u s s e d a s fi v e p a r t s , s ai d it s u m m a r i z e s t h e s t u d y o f t h e m o d e ls , c r it i c a l p o in t s , c lo s e d o r b it s a n d s t a b ili t y o f t h e r e s t r ic t e d t h r e e - b o d y p r o b l e m t h e f i r s t p a r t i s t h e r e v i e w o f t h e c o n c e r n e d b a s ic kn o w l e d g e o f t h is p a p e r , w h i c h c o n c lu d e s h a m i l t o n ia n s y s t e m s , l a g r a n g i a n s y s t e m s , l e g e n d r e t r a n s f o r m a t io n , k e p l e r v a r i a b l e s , d e l a u n a y v a r i a b le s , a n d p o in c a r e v a r i a b l e s . t h e n , i in t r o d u c e t h e t w o- b o 方p r o b le m . a t la s t , i t d i s c u s s e s d y n a m i c s s y s t e m s , e s p e c i a ll y h a m i l t o n i a n d y n a m ic s s y s t e m s a n d it s s t a - b i l i t y . ， t h e f o c u s o f t h e s e c o n d p a r t is t h e m o d e l s o f t h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o 勿 p r o b l e m . s t a r t in g w it h k i n d s o f e q u i v a le n t m o d e ls o f t w o- b o d y p r o b l e m s , it d e d u c e s t h e h a m i lt o n ia n m o d e ls o f t h e r e s t r ic te d t h r e e - b o d y p r o b l e m . l a g r a n g e m o d e l s a r e g i v e n t h r o u g h l e g e n d r e t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e n t h e d e la u n a y m o d e ls a n d p o in c a r e m o d e ls a r e g o t 勿d e l a u n a y m a p p 吨 a n d p o in c a r e m a p p 吨. t h e t h ir d p a r t is t h e d is c u s s io n o f t h e c r i t i c a l p o in t s o f t h e r e s t r ic t e d t h r e e - b o 勿p r o b l e m . i t f in d s o u t t h e c o l l i n e a r s o l u t i o n s o f e u l e r a n d t h e e q u i la t e r a l s o lu t io n s o f l a g r a n g e t h r o u g h c a r e f u l c a l c u la t 吨 a n d i t d is - c u s s e s t h e s t a b i l it i e s o f t h e s e c r it i c a l p o i n t s i n t h e m o d e ls o f t h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o 勿p r o b l e m . t h e f o u r t h p a r t p r e s e n t s a n e x a m p l e o f t h e a p p li c a t io n a b o u t t h e r e - s t r i c t e d t h r e e - b o d y p r o b le m . i t m a i n ly d is c u s s e s t h e c o n c e r n e d p r o b l e m s o f d e e p s p a c e d e t e c t o r a t e q u i l ib r iu m p o in t s i n s u n - e a r t h s y s t e m . t h e fi f t h p a r t w ill d is c u s s t h e c lo s e d o r b i t s o f t h e r e s t r i c t e d t h r e e - b o 勿p r o b l e m . f i r s t ly , i t in t r o d u c e s s o m e c r it e r i a . t h e n , i t s h o w s t h a t s o m e p a r t i c u la r c l o s e d o r b i t s a r e p r e s e r v e d u n d e r s m a ll p e r t u r b a t io n s o f p a w a y f r o m z e r o . f i n a l ly , i t d is c u s s e s t h e s t a b i li t y o f s o m e c l o s e d o r b i t s . k e y w o r d s : h a m i lt o n i a n d y n a m i c s , t h e r e s t r i c t e d t h r e e -b o 即p r o b l e m , c r it ic a l p o in t s , c lo s e d o r b i t s , s t a b i li 勿 . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文: 学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 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( i i ) d x在mx r中 是开的; 价 幻存 在 唯 一 的 映 射f x : d x - + m使 得 对 于 所 有 的，e m ， 映 扮 t f- 4 f g 恤为是 过 点二的 积 分0 线. 定义 2 . 1 . 5 . 今m是 一 个 流形 ， x x( m ) , 则 映 扮f x 是x的 积分， 曲 线t i- , f x ( m , 幼 是x在 点二的 极 大 积 分曲 线 . 扣 果x是 完 备的 ， f x叫 做 x的流. 定 义 2 . 1 .6 . 在 连续 且 有限 维的 情形 下， 动力系 统以 一 个 含。 个 未 知函 数 的 一 阶 常 徽 分 方 程 组 的 初 值 问 题 来 描 述 : 其 中 二 二 ( x l , . . . , x n ) t , f ( x , t ) f , ( 二 ， t ) ， . . . , f n (x , t ) ) t知 果f (x , t ) 中 不 显 含: ， 系统 称为自 治的; 否则 称为柞自 治的. 从数学 上 说， 非自 治系 统可以 令x n + l 二云 和 而 化为自 治系 统; 但从物理上的解释则 很不同 . d x n + l 二 定 义 ， . 1 .7 . 考 虑r n 中 的自 治 微分 方 程f ( x ) ， 其中了 : r n 、r n c 向 责场. 一 1 1 由常 微分才程中熟知的结果， v x 0 r n， 方程 二f ( x ) 以x ( 0 ) = x 0 为 初 值 的 解a ( t , x 0 ) 在包 含t 二 0 的 某 区 问 上存 40 果f 伽 ) 满 足 使 得 条 件( 或 在 某 种等 价 意 义 下 琦f ( 劝进 行 改 追) ， 是心-以在 则 解a ( t , x 0 ) 可以 对 一 切t e l存 在， 并 且a 移 ， ) 满 足: a (0 ， 二 ) = 二 ， v x r n ; a ( s + t ， 二 ) = a ( $ , a o ， : ) ) ， v s , t e 皿 ， : e 砂; a ( t , 习对( t , 劝连 续 . (i)价价 我 们把满 足上述条 件( e ) - ( i i i ) 的映扮a : 1 x r n -r n 称为r n 中的 动力系 统， 或者称为方程d x d t= 了 伽 ) 的 流， 并 把 点 集o a ( 劝二 a 仕 ， 圳t r ) c r - 称为 流a 过二的 执 遗. 对d x 1 , x 2 r , o . ( x l ) 和o . ( x 2 ) 或 者 重 合， 或 者( 对 有 限 的 时 问t ) 不 相 交. 因 此 的不同 而呈 现不同 的 规律. d xa t 一 f (x ) 的 “集 合 依 了 定 x ( 2 . 1 .8 ( h a m i l t o n 系 绷. 令( m，的是 一 个辛 流形 ， h: m、r 是 一 个 梦泛 函(， 二 00或的 ， 则 由 条 件 w ( x h , y ) 二 d h. y ( 2 .1 .3 ) 即 编。 = d h ( 2 .1 .4 ) 决 定的 向 童 场x h 被 称为 是能 釜函 数h的h a m i l t o n 向 蚤场 . 称( m , w , h ) 是一个h a m i lt o n 系 统. 命 题 2 . 1 . 9 . 令( 9 1 , 9 2 , , 9 n , p 1 , p 2 , - - - , p n ) 是“的 典 刘 坐 标， 那么。= 2 袅 1 材a 电. 在 这 组 坐 标 下 ， 、 一 (_8hapl.一 _8h 一 aql _8h， _ 8h lapn . . 5q_-/一 dh (2.1.5) 0 i -i 0) “ ， ( 9(t),p(t)， 是 “ ” 积 分 线 ， ， 且 “ ， /声.认、 一- j .口 中 其 h a m i l t o n 方程成立 ， 一 _oh ， i,papi = - oha 9i , 二 1,2，一 ( 2 .1 .6 ) 命 题 2 . 1 . 1 0 . 那么 令( m , w , 劝是一 个h a m i l t o n 来 k, 城 幼是x h的 一条 积 介 h ( c ( t ) ) 相对于t 来 说 是常 数. .1 .1 1 ( l io n v i ll e 定 理 ) . 令( m , w , 刃是 一 个h a m i lt o n 统， f ( t ) 是 ，曰 线题 曲命 寿 的 流 ， 那么 对 任 意的t , 可。 二 。 ， 即f ( t ) 是 辛 的 . 定 理 2 . 1 . 1 2 ( j a c o b i 1 8 3 7 ) . 令( m , w ) 和( n , p ) 是 两 个辛 流形 ， f: m-+ n是一 个徽分通胚.那么了是一 个辛 映扮当 且 仅当 对于任意的 h -w ( n ) , f x h = x h o f . 上面 我们 介绍了h a m i lt o n 动 力 系 统， 下面 我们回 忆一 下l a g r a n g e 系 统. 定 义 2 . 1 . 1 3 脊维 导 劲. 令二e 、m和p : f 一m是同 一 个 底 空 问m 上的 两 个向 蚤 丛 ， f : e lf 是 一 个 保 纤 维 的c “ 映 扮. 令几表 示f lf- , 其中凡= 二 一 1 ( 讨是。 m上的 纤 维. 那 么 映 扮 ， ， : e 一u l (e , , f v ) : 、 d f ro (e v ) 。 l (e . , f . ) . 材 称为f 的 纤 维导 数. 定 义 2 . 1 . 1 4 ， 令q是 一 个光 滑 流 形 ， l jr ( t q ) . 那 么 映 扮f l t q : w 9 -d l q ( w 9 ) e l ( t g q , r ) = t q 彼 称为l 的 纤 维 导 数. : t q- 命 h 2 .1 . 1 5 . 令q是 一 个 光清 流 形 ， l ( t q ) . 那 么 映 射f l : t q、 t q是一 个保纤维的 光滑映射. 定 义 2 . 1 . 1 6 ， 令w o 是t q 上的 典 刘 辛 形 式 ， l e .- ( t q ) . 称w l = 担 劝 . w o 为t q上的l a g r a n g e 2 一 形式. 定 义2 . 1 .1 7 . 设l : t q、r . 定义 作用a 能贡e= a一 l . l在t q上的l a g r a n g e 称( t q , w l , 劝是一 个 叼 r a n g e 系 统 . : t q、r: a ( v z ) 向蚤场x e 定义为 = f l ( v z ) 名 笼 e w 石= 吸 , d e. 定 义 2 . 1 . 1 8 . 流形m上 的 一 个二 阶方 程 是t m上的 向 童 场x , 满 足t -r m o x是t m上的恒等映扮. 定 理2 . 1 . 1 9 . 令介 是l : 功 - 4 a的l a g r a n g 。 向 童 场. 很设介 是一 个 二 阶 方 程. 在 坐 标卡u x e中 ， 如 果( - ( t ) , v ( t ) ) 是寿 的 一 条 积 夺曲 线 ， 那么它满足下面的l a g r a n g e 才程: d 气-ul b 1二 二 um d t ( 2 .1 乃 d t d 2l (u (t), v (t) 。 = d l l ( u ( t ) , v ( t ) ) 。 。 d u t .e e . 在有 限 维的 流 性中 ， 上式 等同 于 经典的e u l e r - l a g r a n g e 方 程: 兰 ( o l 、 二 a l d t灭， v q l 定 义 2 . 1 . 2 0 椒正 则 钧. 令q 是 一 个 光 清 流 形， l e .0 ( t q ) . 称l 是 超 正 则 g a a n g e 函 数， 知 果f l : t q 、t q 是 徽 分同 胚. 同 样 ， h ( q ) , 称h是超正则h a m i l t o n 函 数， 知果f h : t q - + t q是 微分同 胚. 由 上面定义 的 超 正则 性， 我们 可以 得到 如下的 定理， 可以 使得协 g r a n g e 系 统和h a m i lt o n 系 统 相互 转 换. 定 理 2 . 1 .2 1 . 令l 是q上 的 超 正 则l a g r a n g e 函 数， h=e 。 ( f l ) - 1 : 尹q、r ， 其中e是l的 能童函数.那么耘 和寿 是f l相关 的 : ( f l ) , 几 = 翔。 f l 书 会 把寿 的 积 分曲 线 变 为介 的 积 分曲 线. 而 且， 耘 和寿 有 相同 的 底积 分曲 线. 称f l 为l的峋e n d r e 变 换. 反 之， 结论也成立. 定 理 2 . 1 . 2 2 沃限 小 辛 特 征 值 定 理 ) . 令( e , m ) 是 辛 向 圣 空 问 ， 、 s p ( e , w ) , 知果a 是重数为k 的 特征值， 则_ a 也是重数为k 的特征值. 扣果0 是 特征值， 则 它的 重 数为 偶 数. 定 义 2 . 1 . 2 3 ( h a u s d o r f f 度 氢. 令s 是 一 个 度 蚤 为d 得 到 度 童 空 问 ， 2 s 是 s 的 所 有 子 集. 对 于。 s , b s ， 且bo 。 ， 令d ( a , b ) = i n f d ( a , 6 ) 1b e b , 对 于a , bc s , a , b0o ， 令d ( a , b ) =- p d (a , b ) la a ) . 因 为 它 不 是 对 称的 ， 我 们 进 一步 会 令,! ( a , b ) 二， u p f d- ( a , b ) , 3 (b , a ) ) . 知 果 a a o , a 34 。 ， 令d ( a , 功= 0 0 ， 粼， 功= 0 0 . 最 好 令风 。 ， 的= 。 ， 这 样 的d 是 h a u s d o r f f 度量. 定 义 2 . 1 .2 4 . 今伽, w 1 ) 和恤, w 2 ) 是 辛 流 形恤x 只 ， 认 ) ， 二 1 , 2 ， 相 应 的 切触 流形， 光滑 映射f: rx p 1 - - rx 乃被称为是典则变 换知果下面的 条 件都成 立. ( i ) f是一 个 徽 令同 a ( “ )f , t = t 价 幻存 在 函 数k f e .f 恤x p 1 ) 使 得f , w 2 二 “ ， 其 中“ k p = w 1 十 d k f a d t 定 卿. 1 .2 5 ( j -b i ) . 如果f: rx p 1 、r x 乃满 足定 义2 . 1 . 8 4 中 的 ( : ) , ( i i ) ， 那 么 涉 及到 的( i i i ) 等 同 于 存 在 函 数朴 e 9 ( 1x 乃 ) 使 得 对 于 所 有 的h e 岁 恤、 乃 ) ， 尹 寿二 寿， 其 中k 二 h o f 十 朴. 命 题 2 . 1 . 2 6 . 知 果l .f ( t m ) ， ( u , 叻是m上 的 坐 标 卡 ， 那 么w l it u = l e i ; 材n 却+ l i v 材八 材， 6 ， 夕 = 1 ， 二， 动 . g 2 . 2天 体 力 学中 两 体 问 题 的 等 价 性 模 型 两个 彼 此 相互 作用的 物体所构 成的 力学系 统， 如 果不受系 统 外 其他 物 体的 作用， 则该 系 统的 力 学间 题称为 两 体间 题. 例 如， 在 不考虑 其它 星 体的 作 用时 讨论两 个星 体间 的 作用时， 两个 星 体间 的 运动; 在讨 论双 原子 分 子中 两个 原 子间 的 振 动对光 谱的 贡 献， 甚 至 讨 论多 原 子 分子中 某 一 基团 对分 子 光 谱的 贡 献时 都会遇 到两 体间 题. 本文 主 要 考虑的 是 天 体 力学中 的 两 体问 题. 两 体间 题 是 个传 统的间 题， 也 是一 个 在天 体 力学中 解 决得 很彻 底 很 成 熟的问 题. 并且， 在人们 研究 两 体间 题的 过程中 发现了 很多 模型 来 描 述 这 个 间 题， 这 些 模 型 有 些 在 整 体 上 保 持 结 构， 有 些 是 局 部 上 保 持 结 构， 而 有些则 没有 保持结 构. 总之， 人们 总 是 在 探求 这 其中 的 等价 关系以 求 以 最简 单 直白 的 方式 来 描述和 解决两 体问 题. 下面石 我们 考虑 两体问 题的 模型以 及它们 之间 的 关系. 2 b i h :两 体问 题的第 一 个 模型 是一 个系 统( 从h il ， 二 ， 川 ， 其中 ( i ) m二 t w , w二 r 3 x r 3 、 ， = ( ( 4 , 4 ) i4 。 r3, m上 有 典 则 辛 结构; ，任 m是 初始条 件; a e r , 0 拼 是约 化质全; h o.f ( m ) , h % ( 9 , 4 , p , 司 11 p 112 2 p“ 4 一 i ll , 其中 一 卿一2 + 动词词 9 , 4 e 1r 3 , p , p e (r 3 ) , 11】 表 示jjt 3 中 的 欧 氏 范 数 . 注 砂. 2 .1 . m上的 拓 扑 结 构和 辛 结 构 是由t 卿 x 砂) 中 的 拓 扑 结 构和 辛 结 构 通 过 : w*砂x 砂诱导而 得的. 命 题 2 .2 .2 俄动 量 守 恒 定 律 ) . 在 模型2 b i h中 ， p + 户 在 运 动中 宁 恒. 即 p 1 十 几 , p 2 + 死 , p 3 + 凡是常 数. 下 面的 命 题可以 使我们 相对于质 心 改 变坐 标. 命 翻. 2 . 3 . 存 在 一 个辛 徽 分同 jef: m、n , 示 ， n= 2 - v , v = 砂、 回 0 ) ， 使 得 .且1，山 + h o f - 1(q,4,p ,” 一 命 .， + ， 其中m如2 b i h中 所 iip il， 一 1 i l gl l 共中h a 知2 b i h中 所示. 在 上 述 命 题中， p 在 h ” 二 h n o f - 1 的 运 动中 是守 恒的. 如果。 e n 表 示 初 始 条件 ， 。 = ( q o , 4 o , p o , p o ) ， 利 用 上 述 变 换( q 瓜p , 司、( q 一 q o 疡p 一 ， ，司 ， 设 。 = 。 ，、 二 。 ， 那 么 h (q ,么 几 司 一 1 十 幼 奖 旦 一 杰， 这 l + / z i l g1 1 就 得 到了 第 二 个 模 型 ， ( 1 + - 称 为 约 化 质 量. 拼 / 2 b i i h : 两 体问 题的 第 二 个 模型 是一 个系 统( m , h , 间， 其中 : ( i) m二 t u , u 二 护、 ( 0 ) ， 其 上 有 典 刘 辛 结 构 ; 淤 ( “ ) 。 m是 初 始 条 件; ( “ 9 h e -0 ( m ) , h ( q , p ) = 注 砂 .2 .4 . ; 一 ( ， 、 约 。 . 事 实 上 ， 令 9 二 什/ 代 入h p 得，h a = ( 1 + f i) - 1 就得到如上模型。 g + 1 ) 。 ” q = + 11) 一 p iiz 一， 令h o , r ) =( 1 + w ) i h a 命 题 2 . 2 . 5 虎动 量 守 恒 定 钧. 在 模 型2 b i i h中 ， 下 述 爹 在 运 动中 是宁 恒 的( 。 场一 。 恤， 4 3 p 1 - 4 ip 3 , 4 ip 2 - 4 2 p , ) 二 ( g i , g 2 , g 3 ) . 其 中 9 二 ( 9 i , 9 2 , 4 3 ) , p = (p i , p 2 , p 3 ) . 利用辛同 胚 0: (o , o o ) x s i x s i 、 护 0 ( r , 0 , 封、( r c o s 0 c o s 0 , r c o s 0 s i n 0 , r s i n 的 可以 得到 p . =p i c o s 0 c o s 价 + p 2 c o s 0 s i n 功 + p 3 s i n b p o 二，i r s i n o c o s o 一 p e r s i n g s i n 0 + p 3 r c o s 0 p b =- p l r c o s 0 s i n 0 + p 2 r c o s 0 c o s 砂 这样可以 得到 下 面的 模型: 2 b i i h : 这 个 模 型 是 一 个系 统( m , h , 间， 其 中 ( ) m = t ( ( 0 , 0 0 ) x si x 5 1 ) ， 有 典 a ll 辛 结 构w = d r 八 d p r + d 8 八 即 。 + d o a 如价 ; ( i i ) 二 m是 初 始 条 件; ( i i i ) h 庐是h a m i lt o n 西 数. 由 上面 的 命 题2 .2 .5 ， 我们 知 道角 动 量p x q 不 变， 那么 我们 可以 运 用 转 动 变 换s o ( 3 ) 转 动 坐 标 系， 把 其中 的: 轴 转 动 到p x q 方向 ， 这 样 我 们 可以 得到如 下的 模 型: 2 b i i i h : 这 个 模 型 是 一 个来 统( m , h , m ) ， 其中 。 ( ) 万二 尹衅 0 ) ) 有 典 则 的 辛 形 式w = d q l 入 d p i + d q 2 八 咖; 向 ， m 是 初 始 条 1 (iii) h .f (m ) , h = 2 11 p 11 ， 其 中g e 1 2 , p e 衅) * ， 11 表示砂 中 的 欧氏 范 数. 同 样， 利 用直角 坐标 系 和极 坐 标系 之间 的 变 换， 得到 如下的 模型: 2 b i i i h : 这 个 模 型 是 一 个系 统( m h , 间， 其中 m = t ( ( 0 , 0 0 ) x 5 1 ) 有 典 刘 的 辛 形 式w = d r a d p ,. + d b a d p e s 价6 m是 初 始 条 件; (i)价 ( i i i ) h 9 伽) ， h二丢 份 十 部 一 : ， 其 中 (r,6) e (0,00)x s l, (p, ps) 任 1r 2 . 综上 所 述， 我们 可以 看 到两体间 题的 运动轨 线实 际 上 是一 条 平 面曲 线， 而上 面所 有的 模 型 都是从 运动 点的 运动 状态 出 发 来导出 模 型， 而这 些 模型只 是 从 局 部 上 说明 了 运动点 的 运动 状态， 是从 局部 上 来 看问 题的， 并没有 从 整体上 把握 运 动轨 迹的 特点， 下面 我们 给出 推 导整 体 轨 道模型 的方法和结果. 命 题 2 . 2 . 6 . 若 能 童 函 数e 。 ， 则 是 逆 时 针 转 动， g 0 是 顺 时 针 转 动. 我们 现 在 直 接考虑椭圆 轨 道. 为了 处 理这 些角 变 量， 我们 利 用 环面 t 2 = 12 2 / ( 2 动 x ( 2 的 . 同 时 ， 我 们 知 道 把t 2 作 为 李 群 时 ， 其 李 代 数 为r 2 , 并 且 其 上 有 平 凡 余 切 丛t ( t 2 ) t 2 x i t 2 . 现 在， 我 们 来 介绍 变 量的 第 一 变 换- - k e p l e r 映 射. 定 义 2 . 2 . 9 ( k e p le r 映 绷. 在 模 型2 b i i i h 的 条 件 下 ， m二 t 尸 0 ) 的 直 接 椭圆 域为 开 集e = 恤 m i h ( m ) 0 0 , b e ( 0 , 1 ) 1 k e p l e r 元素 为 : a : ,. 一s l , a角 口 : e - + s ， 近 地角 距 。 : p . 弓i t + ， 长 丰 轴 b : e ( 0 1 1 ) , ,a n ; 率 k e p l e r 映 扮 定 义 为 : i : e 、,c . : 。、( a 闲, a 回, a 回， 回) 显然， 由 定义可知下面的 命题. 命 题2 . 2 . 1 0 . k e p l e r 映射i f 是徽分同 a. 很自 然 的 ， 下 一 个 间 题 就 是k e p l e r 映 射 是 不 是 辛 映 射， 由l a g r a n g e 括 号可以 很 容易的 验证k e p le r 映 射 不 是 辛 映 射， 那 么由k e p l e r 元素 组成 的 流 形就 不能 保 持前面几个 模型中 定 义的 辛 结构， 这 对我们的 研究 是很 不 方便 的. 于 是， 我们 进 步 构 造 新 的 变 量， 使 它 们 成 为 典 则 辛 坐 标 . 我们 将 利 用 角 变 量. 令s 二 12 / 2 x , 或 川= c - ( m , s ) , m为 任 意 光 滑 流 形。 对 于 角 变 量a e a ( m ) ， 它 的 微 分 是m上 的1 一 形 式， 即d a e r( m ) , 记t ( t 2 ) 、 s l x s l 、 1r 、 r的 坐 标 函 数 为( 7 , b , 1 , 司 ， 若行 成下 ， 习 ic*， 则7 0 , 0 b 1 . 对 于i f : e 、k : ( 4 1 , 4 2 , p 1 ,p 2 ) 、(a q , a 沟， 则ic . 二 i f 体 * ) ， v m e , y 二 a 回 r + , 6 = b ( m ) ( 0 , 1 ) , 下面 定 义d e l a u n a y 变量. 定 义 2 . 2 . 1 1 ( d e la u n a y 变 影. 令二 ， a a ( k ) , p 泳 ,- ( k ) : k c t 衅) 、s 1 : k c t 沪) 、s 1 行 ， 氏 呀 ， 习、占 行 ， 氏 于 ， 习*7 一 吞 尤 * 斗r 尤* 一 r (y , b , n , d ) 、 m 1 一 p ) 1= (y , b , 1 ,、 ， 香 令9 , l e a ( k ) , 0 , l .r 伏 . ) ， 9 = k a , l = k, g 二 pa , l = k 入 这就是模型2 b i i i h的d e la u n a y 变圣. 下 面， 我 们 给出 一 个 命 题 来 说明d e la u n a y 变 量和 定 义2 .2 .7 中 的 角 变量关系. 命 题 2 .2 .1 2 . 9 e 武 尸 ) 是 近 地 角 距 . 。 ( 户) 是 初 菇 平 均 近 地 角 ， 1 二 与 。 口 是 模 型2 b i i i h中 的 角 动 童， l e 9 ( k ) , 1 + 2 l e 2 = o 或刀= a . 下面， 我 们 把d e l a u n a y 变 量 组合 起 来构成 一个 映射. 定 义 映 射d: k c t * (r ) 、1 y c t (t 2 ) , d=( 二 ， a , p , 习， 其 中 二 d (k ) ， 令0 = d o k: 8 c t 淤) *，c t ( t 2 ) 是d e la u n a y 映 如图 : t 衅) * (4 1 , 4 2 ,p l , p 2 ) 护舷 ( a ,