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数学高级认知图式获得方式的比较研究 y l o j 5 9 2 5 数学高级认知图式获得方式的比较研究 发展与教育心理学专业博士研究生郭兆明 指导教师张庆林教授 摘要 样例学习( w o r k e de x a m p l e s ) 和问题解决是图式获得的两种主要方式。对图式获得来 说。哪种方式更优? 传统的回答偏爱于问题解决，而s w e l l e r 及其同伴的研究表明，在认知 技能形成的初期，问题解决是一种无效的学习方式，样例学习优于传统问题解决。但进一步 地分析发现，这些研究的被试都是新手。直到1 9 9 8 年，k a l y u g a 才把学习者经验作为影响 图式获得的独立变量。k a l y u g a 等( 2 0 0 1 ) 研究无经验的机械贸易学徒( i n e x d e r i e n c e d m e c h a n i c a lt r a d ea p p r e n t i c e s ) 学习样例和问题解决。研究表明，无经验的学徒更收益于 样例条件，随着经验的增加，样例变得冗余，问题解决优于样例学习。这建议。样例学习或 问题解决的效果依赖于学习者经验的水平。 数学认知图式就是学习者在数学学习的过程中，对数学学习材料进行概括的基础上形成 的、存储在长时记忆中的、具有框架结构的陈述性知识。它是认知技能的重要组成成分。本 研究把数学认知图式划分为初级认知图式和高级认知图式。初级认知图式以教材中的定理、 公式、运算法则等为表征。高级认知图式是学习者在初级认知图式的基础上和初级认知图式 运用过程中所形成的内部加工过程更复杂的认知图式，它比初级认知图式的适用范围更小， 更有特异性。数学高级认知图式也被称为“个人定理”即个人头脑中的知识组块，它不是 课本上规定的定理，而是学习者心目中的定理。 本研究界定的高级认知图式具有以下特点：( 1 ) 呈现的内隐性，即它不是课本中呈现的 显性的定理、法则，而是在解决问题中总结出的结论：( 2 ) 应用的广泛性，它被广泛应用于 数学问题解决中；( 3 ) 组块性，由于高级认知图式经常被使用，所以它在人脑中以组块形式 存储和提取，使学习者更容易产生顿悟，使得解题速度加快。 本文设计了5 个研究( 实验) ，主要分为3 个部分。研究1 - - 2 探讨初级认知图式质量对 数学高级认知图式获得方式的比较研究 高级认知图式获得方式的影响：研究3 4 探讨学习者经验水平的提高对高级认知图式获得 方式的影响。研究5 使用口语报告法研究具有初级认知图式学习者的解题策略。 研究1 表明，当学习者的数学初级认知图式质量较低时，样例学习似乎优于问题解决。 研究2 表明，当学习者的数学初级认知图式质量提高时，问题解决似乎优于样例学习。 研究3 4 与研究l 一2 相比，学习者的经验水平增加了。研究3 直接呈现高级认知图式， 研究4 提供高级认知图式的教学。研究3 4 表明，当学习者具有部分高级认知图式时，问 题解决显著优于样倒学习。研究3 和研究4 之间的结论可以相互验证。 研究5 采用口语报告法研究经验水平和策略使用，研究表明，优等生和差生都倾向于很 少使用“手段一日的”分析策略，更习惯于使用向前推理策略，即使用初级认知图式和高级 认知图式解题；优等生比差生拥有更多的高级认知图式。研究5 的结论可以解释研究1 4 。 作者根据s w e l l e r 及其同伴的5 个研究、k a l y u g a 等( 2 0 0 1 ) 的研究以及研究l 一5 的 结论，建立了数学高级认知图式获得方式比较研究的心理模型：( 1 ) 当学习者没有经验时， 样例学习显著优于问题解决；( 2 ) 当学习者具有数学初级认知图式时，样例学习和问题解决 无显著差异。当学习者的数学初级认知图式质量低时，样例学习似乎优于问题解决：当学习 者的数学初级认知图式质量提高时，问题解决似乎优于样例学习。( 3 ) 当学习者具有( 部分) 高级认知图式，问题解决显著优于样例学习。 本理论模型发展了s w e l l e r 及其同伴研究：第一，本文用数学材料验证了经验的反转效 应( t h ee x p e r t i s er e v e r s a le f f e c t ) ：第二，对“经验”进行细分，将经验分为初级认知固式 和高级认知图式：第三，在高级认知图式彤成的初期，当学习者初级认知图式质量较高时， 问题解决可能优于样例学习；第四，研究了初级认知图式质量对学习方式的影响。 本研究采用解题法、口语报告法相结合的方式测量被试的图式，验证研究结果的一致性。 口语报告法在本研究中使用得较多：类型1 ，要求被试报告对样例的理解程度；类型2 ，要 求被试报告图式学习过程中的认知负荷；类型3 ，要求被试归纳高级认知图式：类型4 要求 优等生和差生报告解题过程。 本研究对网络课程设计、教学设计具有一定的指导作用。根据本研究的结论。作者设计 了“促进高级认知图式获得的数学网络课程”。 关键词：数学高级认知图式初级认知图式样例问题解决 i l 数学赢级认如图式获得方式的比较研究 c o m p a r a t i v es t u d i e so nt h ew a y o f a c q u i s i t i o n i nm a t h e m a t i c a la d v a n c e d c o g n i t i v es c h e m a m a j o r ：d e v e l o p m e n t & e d u c a t i o np s y c h o l o g y p h d c a n d i d a t e ：g u oz h a o m i n g ( b2 0 0 2 019 ) t u t o r ：p r o f e s s o r z h a n gq i n g l i n a b s t r a c t w o r k e de x a m p l ea n dp r o b l e m ss o l v i n ga r et w ok e yw a y so fs c h e m aa c q u i s i t i o n w h i c hi sb e t t e r 7 t h et r a d i t i o n a la n s w e ri st op r e f e rp r o b l e ms o l v i n g b u ts w e l l e ra n d h i sc o m p a n i o n sa r g u et h a tp r o b l e ms o l v i n gw a sa l li n e f f e c t i v el e a r n i n gw a ya tt h e b e g i n n i n go fc o g n i t i v es k i l ld e v e l o p m e n ta n dt h a tw o r k e de x a m p l e sw a sb e t t e rt h a n t r a d i t i o n a lp r o b l e ms o l v i n g f u r t h e rs t u d i e sf o u n dt h a tt h es u b j e c t se m p l o y e di n c o m p a r a t i v es t u d i e si n v o l v i n gp r o b l e ms o l v i n ga n dw o r k e de x a m p l e sb e f o r e1 9 9 8 w c r el e a r n e r sw i t h o u te x p e r i e n c e k a l y u g ac o n s i d e r e dl e a r n e r se x p e r i e n c ea sa n i n d e p e n d e n tv a r i a n tw h i c he f f e c t st h ea c q u i s i t i o no fs c h e m a k a l y u g ae ta 1 s t u d i e d t h e p r o b l e ms o l v i n go rw o r k e de x a m p l e so fi n e x p e r i e n c e dm e c h a n i c a lt r a d e a p p r e n t i c e sa n dt h er e s u l t si n d i c a t e dt h a ti n e x p e r i e n c e dm e c h a n i c a lt r a d ea p p r e n t i c e s b e n e f i t e dm o r ef r o me x a m p l e sc o n d i t i o n ，w o r k e de x a m p l e sb e c a m er e d u n d a n c ya n d w e r ei n f e r i o rt op m b l e m s o l v i n gw i t ht h ei n c r e a s eo f e x p e r i e n c e ，w h i c hs u g g e s t e dt h a t e f f e c t so fw o r k e de x a m p l e so rp m b l e ms o l v i n gd e p e n d e do nt h el e v e lo fl e a r n e r s e x p e r i e n c e s c h e m ai so n eo f t h ec o r ep s y c h o l o g i c a lc o n c e p t s t h o u g hp s y c h o l o g i s t sh a v e n t r e a c h e da l la g r e e m e n to nt h ed e f i n i t i o no fs c h e m a , t h e yt h o u g h tt h a ts c h e m ai sa k n o w l e d g es t r u c t u r eo rp s y c h o l o g i c a ls t r u c t u r e ，w h i c hr e p r e s e n t e dt h eo b j e c t i v e i 数学高级认知圈式获得方式的比较研究 t h i n g so rr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e m t h ep r e s e n ts t u d yd e f i n e st h a tm a t h e m a t i c a l c o g n i t i v es c h e m a 鹤d e s c r i p t i v ek n o w l e d g e w h i c hi s b a s e do ng e n e r a l i z a t i o no f m a t h e m a t i c a lm a t e r i a l sa n di ss t o r e di nt h el o n g - t e r mm e m o r ya n dh a si t so w n f i a m e w o r ks t r u c t u r e s m a t h e m a t i c a lc o g n i t i v es c h e m ai si m p o r t a n tp a r to fc o g n i t i v e s k i l l s t h es t u d yc l a s s i f i e sm a t h e m a t i c a lc o g n i t i v es c h e m ai n t op r i m a r yc o g n i t i v e s c h e m aa n da d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a p r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ai sr e p r e s e n t e db y t h e o r e m ，f o r m u l a , a n do p e r a t i o n a lr u l e s a d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a i sm o r ec o m p l e x s c h e m a , w h i c hf o r m e do nt h eb a s i so fp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m aa n dt h ep r o c e d u r eo f t h eu s eo fp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m a c o m p a r i n gw i t hp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m a , a d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ac a nb eu s e di ns m a l l e ra r e a sa n dh a sd i f f e r e n tc h a r a c t e r s m a t h e m a t i c a la d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ai sa l s ot h o u g h ta s p e r s o n a lt h e o r e m ”t h a t i st os a y , i ti sak n o w l e d g ec h u n ki np e r s o n a lm i n d w h i c hd o e s n ta p p e a ri nt h e t e x t b o o k i ti st h et h e o r e mi ul e a r n e r sm i n d t h ea d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ad e f i n e di nt h ep r e s e n ts t u d yh a st h ef o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s ：( 1 ) i m p l i c i tp r e s e n t a t i o n t h ea d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ai sn o tt h e e x p l i c i tt h e o r e m ，r u l e sb u tt h ec o n c l u s i o nr e c e i v e di nt h ee x e r c i s e so u t s i d ec l a s s ；( 2 ) w i d eu s e t h e ya r ew i d e l yu s e di np r o b l e ms o l v i n g ；( 3 ) t h eq u i c ks p e e di np r o b l e m s o l v i n g b e c a u s eo ft h em o r eu s eo fa d v a n c e dr u l e s ，t h e ya r es t o r e da n dr e t r i e v e di n t h em i n di nt h ef o r mo fc h u n k ，w h i c hm a k e sl e a r n e rc r e a t ei n s i g h t a tt h es a n l et i m e ， l e a r n e r sc a l lu s et h ea d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ad i r e c t l ys ot h a tt h e yc a ns o l v e p r o b l e m sm o r eq u i c k l y t h ep r e s e n ts t u d yi n t r o d u c e sf i v ee x p e r i m e n t s ，w h i c hc a r tb ec l a s s i f i e di n t ot h r e e c a t e g o r i e s e x p e r i m e n t 1a n d2s m d i c st h ee f f e c t so ft h eq u a l i t yo ft h ep r i m a r y c o g n i t i v es c h e m a o i lt h ea c q u i s i t i o no fa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a ；e x p e r i m e n t3a n d 4s t u d i e st h ee f f e c t so ft h ei m p r o v e m e n to fl e a r n e r s e x p e r i e n c eo nt h ew a yo f a d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m aa c q u i s i t i o n e x p e r i m e n t5u s e so r a lr e p o r tt os t u d yt h e s t r a t e g y , w h i c hi su s e db yl e a r n e r sw i t hp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ai np r o b l e ms o l v i n g e x p e r i m e n t1s h o w st h a tw o r k e de x a m p l ei sb e t t e rt h a np r o b l e ms o l v i n gw h e n t h eq u a l i t yo fl e a r n e r s m a t h e m a t i c a lp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ai sl o w , b u tt h e d i f f e r e n c ei sn o ts i g n i f i c a n t e x p e r i m e n t2i n d i c a t e st h a tp r o b l e ms o l v i n gi sb e r e r t v 数学高级认知图式获得方式的比较研究 t h a nw o r k e de x a m p l ew h e nt h eq u a l i t yo fl e a r n e r s m a t h e m a t i c a lp r i m a 巧c o g n i t i v e s c h e m ai sh i g h ，h u tt h ed i f f e r e n c ei sn o ts i g n i f i c a n t c o m p a r i n ge x p e r i m e n t3a n d4 w i t he x p e r i m e n tl a n d2 ，t h el e a r n i n gl e v e lo f t h e l e a r n e r si se n h a n c e d e x p e r i m e n t3p r e s e n t sa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ad i r e c t l y e x p e r i m e n t4p r o v i d e st h et e a c h i n go fa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a e x p e r i m e n t 3 a n d4 s h o w st h a tp r o b l e ms o l v i n gi sb e t t e rt h a nw o r k e de x a m p l e sw h e nl e a r n e r sh a v ep a r to f t h ea d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a t h ec o n c l u s i o n so fe x p e r i m e n t3 a n d4 c a r lb e t e s t i f i e de a c ho t h e r e a c hc o n c l u s i o nc a nb et e s t i f i e de a c ho t h e rb yc o g n i t i v el o a d ， s c h e m ag e n e r a l i z a t i o n ，t e s ts c o r c s e x p e r i m e n t5 ，w h i c hb s e so r a lr e p o r t ，s h o w st h a te x c e l l e n ts t u d e n t sa n dd i s a b l e d s t u d e n t sa r eb o t hi n c l i n e dt ou s ef o r w a r dd e d u c es t r a t e g ya n dl e s su s e m e t h o d s e n d ” s t r a t e g y t h a ti st os a y , t h ep r o p o r t i o no fa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m aw h i c hi su s e db y e x c e l l e n ts t u d e n t si sl o w e rt h a nd i s a b l e ds t u d e n t s o nt h eb a s i so f t h ef i v es t u d i e sd e s i g n e db ys w e l l e ra n dh i sc o m p a n i o n s ，k a l y u g a e ta l i ss t u d ya n dt h er e s u l t so fs i xe x p e r i m e n t si nt h ep r e s e n ts t u d y , p s y c h o l o g i c a l m o d e lo fa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m aa c q u i s i t i o ni sf o u n d e d ：( 1 ) w h e nt h el e a r n e r s d o n th a v e a n ye x p e r i e n c e ，w o r k e de x a m p l e i sb e t t e rt h a np r o b l e ms o l v i n g s i g n i f i c a n t l y ( 2 ) w h e nt h el e a r n e r sh a v em a t h e m a t i c a lp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m a ， t h e r ei sn os i g n i f i c a n td i f f e r e n c eb e t w e e nw o r k e de x a m p l e sa n dp r o b l e ms o l v i n g w h e nt h eq u a l i t yo fl e a r n e r s m a t h e m a t i c a lp r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ai sl o w , w o r k e d e x a m p l ei sb e t t e rt h a np r o b l e ms o l v i n g ；w h e nt h eq u a l i t yo fl e a r n e r s m a t h e m a t i c a l p r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ai sh i g h ，p r o b l e ms o l v i n gi sb e t t e rt h a nw o r k e de x a m p l e s ；( 3 ) w h e nl e a r n e r sh a v ep a r to ft h ea d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a , p r o b l e ms o l v i n gi s s i g n i f i c a n t l yb e t t e rt h a nw o r k e de x a m p l e s t h i st h e o r e t i cm o d e lw a sa d e v e l o p m e n to f s w e l l e ra n dh i sc o l l e a g u e sr e s e a r c h ： f i r s t l y , t h ee x p e r t i s er e v e r s a le f f e c to fe x p e r i e n c ew a sv a l i d a t e db ym a t h e m a t i c m a t e r i a l s ；s e c o n d l y , c x p c r i e n c ew a sd i v i d e di n t op r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ea n d a d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m e ；t h i r d l y , i nt h ei n i t i a ls t a g e so ft h ef o r m a t i o no fa d v a n c e d c o g n i t i v es c h e m e ，i fl e a r n e r s p r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ew a so fh i g hq u a l i t y , t h e n p r o b l e m s o l v i n gw a ss u p e r i o rt oe x a m p l e s t u d y i n g ；f o u r t h l y , t h ei n f l u e n c eo ft h e v 数学高级认知图式获得方式的比较研究 q u a l i t yo f p r i m a r yc o g n i t i v es c h e m ei nl e a r n i n gm a n n e rw a se x a m i n e d b ym e t h o d so fp r o b l e m ss o l v i n ga n dv e r b a lr e p o r t ，t h i sr e s e a r c hm e a s u r e dt h e s c h e m e so fs u b j e c t sa n dt e s t e dt h ec o n s i s t e n c yo fe x p e r i m e n t a lr e s u l t s v e r b a lr e p o r t w a su s e do f t e ni n t h i sr e s e a r c h t y p e1 ，s u b j e c t sw e r ea s k e dt or e p o r tt h ed e g r e et o w h i c ht h e yu n d e r s t o o dt h ee x a m p l e s ；t y p e2 ，s u b j e c t sw e r ea s k e dt o r e p o r tt h e c o g n i t i v el o a dd u r i n gt h ep m c e s so fs c h e m el e a r n i n g ；t y p e3 ，s u b j e c t sw e r ea s k e dt o s u n lu pa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m e ；t y p e4 ，t h ep m c e s s e so fp r o b l e m s o l v i n go f l e a n i n ge x c e l l e n ts t u d e n t sa n dl e a r n i n gd i s a b l e ds t u d e n t sw e r ec o m p a r e d t h ec o m p a r i s o nr e s e a r c ho ft h ea c q u i r i n gm a n n 白f so fm a t h e r n a t i ca d v a n c e d c o g n i t i v es c h e m e w a so fg r e a ti n s t r u c t i v es i g n i f i c a n c et oc o u r s ed e s i g na n dt e a c h i n g d e s i g n b yd o i n gt h i sr e s e a r c h ，t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o nc o u l db em a d e ：w h e nd o i n g e n l , l r s ed e s i g no rt e a c h i n gd e s i g n ，l e a r n e r s p r e v i o u se x p e r i e n c es h o u l db et a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o n b a s e do nt h i sr e s e a r c h , am a t h e m a t i ci n t e r a c tc o u r s ew h i c hc a n p r o m o t et h ea c q u i r i n go fa d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m ew a sd e s i g n e d k e yw o r d ：m a t h e m a t i c s a d v a n c e dc o g n i t i v es c h e m a p r i m a r yc o g n i t i v e s c h e m aw o r k e de x a m p l e s p r o b l e m ss o l v i n g v i 独创性声明 学位论文题目：数堂直筮丛塑圈盎莛堡虚塞煎出楚丑究 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得匿南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：爹po b 明签字日期：加占年s 月弘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解话南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：言po s 明导师签名： 签字日期：2 0 口易年岁月弘日签字日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：鎏蛐拯型查鲎趣重盘重鲎f 堑 通讯地址：摇蚓盘盗盎盘塑蕉垂叠盟i i 簦 。蠢擀甜乞 电话：12 邮编： 数学高级认知图式获得方式的比较研究 第一章文献综述 第一节数学认知图式的界定与特征 图式( s c h e m a ，复数为s c h e m a t a ) 是心理学的核心概念之一，但心理学家 们对图式概念的界定仍未取得共识。本文在概述图式概念的基础上，对图式概念 进行概括，然后，再对数学认知图式进行界定。 1数学认知图式概念的界定 最早提出图式这个概念的心理学家是巴特莱特( f c b a r t l e t t ，1 9 3 2 ) 。他 采用有意义的故事、图画和散文作为实验材料做记忆实验，研究发现：回忆得到 的信息与实验材料相比，实验材料的结构保存下来了，但那些不重要的部分被忘 记了。在记忆研究基础上，巴特莱特提出了图式概念，将图式界定为：“关于过 去反应或以往经历的一种主动组织”。r u m e l h a r t 界定图式为：“表征某些刺激领 域的有组织的知识体系或心理结构”。t h o r n d y k e 界定图式为：“表征一类程序、 物体、知觉、事件、事件序列或社会情境的一组知识，这组知识为一个可以示例 化( i n s t a n t i a t e d ) 或者用被表征对象的特性加以填充的概念提供了框架结构”。 s i m o n 将图式称为数据结构( 转引自，辛自强，2 0 0 5 ) 。 综上所述，尽管每位心理学家对图式的界定各不相同，但都认为图式是用以 表征客观事物及其关系的知识结构或心理结构。正如a l a n ( 1 9 9 6 ) 所说，无论 是图式、脚本、框架，还是网络，基本的内涵都是一致的。即图式是个体的知识 结构，它对输入的新信息进行选择、组织，并将其整合到一个有意义的框架中， 以促进对信息的理解。 数学认知图式就是学习者在数学学习的过程中，在对数学学习材料进行概括 的基础上形成的、存储在长时已忆中的、具有框架结构的陈述性知识。数学认知 图式是一个大的概念，它包括数学原理图式、数学问题图式、数学运算图式、数 数学高级认知翻式获得方式的比较研究 学概念图式、数学方法图式等。在数学中，存在大量的概念、规则和方法图式。 l 例如，分数图式兰就是一个典型的概念图式；完全平方公式( a + b ) 2 = a 2 - f 2 a b 口 + b 2 就是一个典型的数学原理图式。反证法图式就是一个数学方法图式。即否定 要求证的结论从而导致矛盾，按照否定结论、推理、造成矛盾的结构构造反证法 图式。数学归纳法图式也是一个重要的数学方法图式。解一元一次方程的运算图 式：去分母、去括号、移项、合并同类项就是一个典型的运算图式。本文主要研 究代数原理图式和几何原理图式的获得。 2 、数学认知图式的特征 t h o r n d y k e ( 1 9 8 4 ) 认为图式具有抽象、示例化、预测、归纳和层次组织这 五个特征。本文以问题“一辆汽车在上午l o ：0 0 以3 0 英里d 时的速度离开某 地，在上午n ：3 0 另一辆汽车从同一地点沿同一路线，以4 0 英罩小时的速度 出发。多长时间后第二辆汽车超过第一辆汽车? ”为例，阐述图式的五种特性。 第一，抽象性。由于图式是表征客观事物及其关系的知识结构，因此，图式 的抽象性是图式的最重要的特征之。例如，图式v 。t 。= v 。t ：不但是这一个问题 的图式，它是一类追击问题的图式。 第二，示例化。图式可以用变量来表示，变量可以用特定的实例加以填充( 示 例化) 。例如，图式v j t ，- - - - - v 。t ，是抽象的，它具有四个槽( ) ( ) = ( ) ( ) ， 两个速度槽和两个时间槽。通过将每个槽填入具体的信息，从而达到示例化。若 设第二辆汽车所用的时间为t ，则第一辆汽车所用的时问为t + 1 5 。因此，图式 v , t = v 。t 2 示例化为( 3 0 ) ( t + 1 5 ) = ( 4 0 ) ( t ) 。 第三，预测。如果输入图式中的信息不完整，利用图式可以对期望的信息加 以预测。预测可以理解为推理，主要是对进入图式的“槽”的缺失值方面的信息 的预测。例如，此题中，“若设第二辆汽车所用的时间为t ，则第一辆汽车所用 的时间为t 十i 5 ”就是通过预测得到的。问题越难，预测越重要。 第四，归纳。归纳是图式获得的重要方式之一。在样例学习或阃题解决中， 通常呈现给学习者几道相关代数应用题的样例( 或问题) ，学习者从中归纳出数 2 数学高级认知圈式获甜方式的比较研究 学认知图式“v ，t 。= v 2 t ：”。 第五，层次性。在h i n s l e y 等的研究中，被试根据故事的表面内容的相似性 对问题进行分类，他们甚至只听到几个词就能分类，比如距离问题、利息问题、 面积问题等。但是随着专长的增加。人们能根据解题程序的相似性对问题进行分 类。这暗示图式是按照层次性方式组织起来的，随着专长的增加，图式的概括性 也增强( 转引自，辛自强，2 0 0 5 ) 。此应用题涉及的图式有vl t ，= v 。t 。和s = v t 等。 但s v t 代表所有行程问题的图式，而vr t 。= v ：t 。只是表示追击闯题的图式，学 生开始可能只有图式s - - - - v t ，但随着对几个追击应用题的归纳，逐步形成图式v j t ， = v 。t ：。然而，关于图式组织的层次性问题缺乏强有力的实证研究。本文将在数 学认知图式的层次性方面进行一些实证研究。 从上述可以看出，尽管数学认知图式也具有t h o r n d y k e 定义的图式的五种特 征，但数学认知图式更强调它的抽象性和层次性。 数学认知图式的抽象性是由于数学学科知识的抽象性和应用的广泛性决定 的，数学认知图式的抽象有别于其它知识领域图式的抽象。数学认知图式的抽象 包括强抽象、弱抽象和广义抽象。这与徐利治( 1 9 8 5 ) 所界定的“抽象”一致。 如果通过引入新特征强化原结构来完成抽象，这种抽象称为“强抽象”。例如， 图式“( a + b ) 2 - - - - a 2 + 2 a b + b ”中，开始获得此图式时，a 、b 被认为是单个字母， 随着学习的深入，a 、b 可以看作单项式或多项式，因此，尽管还是同样的一个 公式，但抽象度提高了。如果在定义图式b 时用到了图式a ，则称图式b 是图式 a 的广义抽象，即图式b 比图式a 抽象。例如，定义图式“( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b ”时，用到图式“( a + b ) ( c + d ) = a b + a d + b c + b d ”，则称图式“( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b ”比图式“( a + b ) ( c + d ) = a b + a d + b e + b d ”抽象，这种抽象 称为广义抽象。而弱抽象是一种不同的抽象方法，即从图式中选取某一特征加以 抽象，从而获得比原图式更广的图式，使原图式成为后者的特例。例如，图式“p x a ，+ p 。a 。_ - - p 。a 。”是从方程0 0 6 a + o 1 2 ( 4 5 - a ) = o 0 8 x 4 5 抽象而来，把具 体的溶液的浓度和溶液的质量抽象为字母。同样，图式“溶质的质量+ 溶质的 质量：= 溶质的总质量”是从图式“p x a 。+ p 。& = p 。x a 。”再次抽象得到。由于 数学认知图式是通过逐层抽象而来，所以，它的抽象程度度会越来越高，这是其 它知识领域的图式不能达到的。 数学高级认知图式获得方，的比较研究 数学认知图式的层次性与其它知识领域的层次性不同。例如，“人体”图式， 由脸、胳膊、腿、躯干等子图式组成，每一个子图式又包括更小的子图式。因此， “人体”图式是一个树状结构。每一个图式作为大树的一个分杈，同时又根植于 其中，组成图式树。而本文的数学认知图式层次性是指数学认知图式之间的层次 性，而不是某个数学认知图式与其“槽”( 子图式) 之间的层次性关系。例如， 下列四个数学认知图式具有层次性，( a + b ) ( c + d ) = a b + a d + b c + b d ，( a + b ) 11 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ，( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ，( a + 三) 2 = a 2 + 二 n 口 + 2 。第一个认知图式在第一个层次上，第二个数学认知图式在第二个层次上，