（凝聚态物理专业论文）有限大小cayley树上自旋系统的相变研究.pdf

摘要 近年来，等级晶格上自旋系统的研究受到了人们的关注。本文通过固定 一个自旋取向，利用递推方法，研究有限大小c a y l e y 树上 s i n g 模型和 b l u m e c a p e l 模型的相变与临界现象。论文主要内容如下： 1 在热力学极限条件下，c a y l e y 树上i s i n g 模型没有自发磁化强度。对 分支数b 为3 和6 的有限大小c a y l e y 树上的i s i n g 模型，我们求得有限系统 的自发磁化强度随温度的变化关系，结果表明有限系统发生了对称性破缺。 因此，热力学极限对较大的有限大小c a y l e y 树上i s i n g 模型不是一个很好的 近似处理方法。这与b d s t o s i c 等人的研究结果是相似的。我们概括得出分 支数不同的有限大小c a y l e y 树上i s i n g 模型都出现了对称性破缺。 2 在热力学极限条件下，利用c a y l e y 树上自旋模型的精确递推方法， 求得b l u m e c a p e l 模型的自发磁化强度，结果表明系统没有发生对称性破缺。 对有限大小c a y l e y 树上的b l u m e c a p e l 模型，求得有限系统的自发磁化强度 随温度的变化关系，发现有限系统发生了对称性破缺。系统出现对称性破缺 与系统的有限性和c a y l e y 树本身的特殊结构有关系。此外还研究了晶体场作 用对有限大小c a y l e y 树上b l u m e c a p e l 模型的自发磁化强度的影响。 关键词：自发磁化强度，相图，i s i n g 模型，b l u m e - c a p e l 模型， c a y l e y 树，递推关系 a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r s , s p i nm o d e l so nt h eh i e r a r e h i c a ll a t t i c eh a v er e c e i v e d m u c hm o r ea t t e n t i o n i nt h i st h e s i s , 丘x i n gas i n g l es p i n , w es t u d yt h ep h a s c t r a n s i t i o n sa n dc r i t i c a lp r o p e r t i e so ft h ei s i n gm o d e la n dt h eb l u m e - c a p e lm o d e l o nt h ec a y l e yt r e eo ft h ef i n i t es i z eb yu s i n gt h er e c u r s i o nr e l a t i o n s t h em a i n r e s u l t sa r ea sf o f l o w s ： 1 i ti sk n o w nt h a tt h e r ei sn os p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o n sf o rt h ec a y l e y 慨i nt h et h e r m o d y n a m i cl i m i t f o rt h ei s i n gm o d e lo nt h ec a y l e yt r e eo ft h e f i n i t es i z e , w eg e tt h es p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o n sf o rt h ed i f f e r e n tb r a n c h i n g n u m b e r sbo f3a n d6 o ft h ec a y t e yt r e e p h a s ed i a g r a m sa r ep l o t t e d s y m m e u y b r e a k i n gi sf o u n df o rt h ef i n i t es y s t e m sf r o mt h ed i a g r a m s a l lt h e s er e s u l t ss h o w t h a tt h et h e r m o d y n a m i cl i m i ti saq u e s t i o n a b l ea p p r o x i m a t i o nf o rt h ei s i n gm o d e l o i lt h ec a y l e yt r e eo f t h ef i n i t es i z e o u rr e s u l t sa r es i m i l a rt ot h ee a r l i e rr e s u l t s 2 i nt h et h e r m o d y n a m i cl i m i tc o n d i t i o n , n os p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o n si s f o u n db yu s i n gt h er e c u r s i o nm e t h o do ft h ec a y l e yt r e e f o rt h eb l u m e - c a p e l m o d e lo nt h ec a y l e y 缸o ft h ef i n i t es i z e , w co b t a i nt h ee x p r e s s i o no ft h e s p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o n s p h a s ed i a g r a m sa r ep l o t t e d s y m m e t r yb r e a k i n gi s f o u n df o rt h ef i n i t es y s t e mf r o mt h ed i a g r a m s i ti st h o u g h tt h a tt h es y m m e t r y b r e a k i n gi sd u et ot h ef i n i t es i z ea n dt h es t r u c t u r eo ft h ec a y l e yt r e e w ea l s o s t u d yt h ei n f l u e n c e so ft h es i n g l e 印i na r t i s o t r o p yp a r a m e t e ro nt h ef m i t e m a g n e t i z a t i o no f t h eb l u m e - c a p e lm o d e lo nt h ec a y l e yt r e o k e y w o r d s ：s p o n t a n e o u sm a g n e t i z a t i o n , p h a s ed i a g r a m ，i s i n gm o d e l ， c a y l e yt r e e , b l u m e - c a p e lm o d e l ，r e c u r s i o nr e l a t i o n s 第一章概述 第一章概述 1 1 相变简介 相交是凝聚态物理和统计物理学中重要的研究领域，相变的研究在物理 学、化学、生物学、经济学、社会科学等领域有着重要的应用。 相变是自然界中普遍存在的一类突变现象。例如早为人们所观察和记载 的气一液一固三态的变化，磁铁在加热到一定的温度会失去磁性等等，他们都 是相变现象。相互作用导致有序和组织，热运动引起无序和混乱，相变是在 这两种矛盾的倾向中，一种倾向盖过另一种倾向时发生的突变，是有序和无 序两种倾向矛盾斗争的表现。在相变中，由于组成体系的粒予之间的相互作 用起着重要作用，所以可以说相交是真正的多体问题，通常也把相变称为合 作现象 1 ，2 。 相变的现象丰富多彩，可以从不同的角度分类和研究。根据起因不同， 可以把相交分为热力学相交和量子相变。由热力学涨落引起的为热力学相 变，由测不准关系导致的量子涨落引起的为量子相变。根据热力学理论可以 把相变分成不同的类( 或级) ，首先对相变现象进行系统分类的是厄伦菲斯， 这位厄伦菲斯曾经对物理教育和统计物理的基础做过杰出的贡献。他的分类 的标志是热力学势及其导数的连续性。凡是热力学势本身连续，而第一阶导 数不连续的状态突变，称为第一类相变( 一级相变) 。我们知道自由能、内能 都是热力学函数，它们的第一阶导数是压力( 或体积) 、熵( 或温度) 、平均磁 化强度等等，而第二阶导数给出压缩率、膨胀率、比热、磁化率等等。因此 第一类相变伴随着明显的体积变化和热量的吸收。普通的气液相变就是一类 相变的实例。热力学势和它的第一阶导数连续变化，而第二阶导数不连续变 化的情形，称为第二类相变( - - 级相变) 。二级相变的相变点称为临界点。在 临界点附近表现出一系列特殊的性质，如某些热力学量趋于无穷，有很强的 涨落和关联等，这种现象称为临界现象。二级相变的例子有：液4 h e 横过九线 相变，铁磁体的顺磁铁磁相变( 磁场b = 0 时) ，反铁磁相变( 口= 0 时) ，铁 电体相交( 电场为零时) ，超导相变( b = 0 时) ，二元溶液相变以及合金的有序 第一章概述 一无序相变等等。按照厄伦菲斯菲斯的分类可以有第三类、第四类、第 k 类相变，但是在自然界中只看到了第一、二类相变。理想玻色气体的玻色 一爱因斯坦凝聚理论上是第三类相变，但现实的玻色系统，如4 i e ，仍表现 为第二类相变 2 5 。 一般地说，对第二类相交，可以引入一个物理量一序参量一来定量地描 写。对第二类相变，从有序相趋于临晃点时，序参量连续地变化到零，在i 临 界点序参量没有跃变。例如，气一液相变的序参量是液相密度与气相密度之 羞，对超导相变，序参量为电子对的量子力学几率振幅，此序参量是复量， 铁磁体的序参量是自发磁化强度等等。实验观测和理论研究都表明，在临界 点的邻域，某些热力学量可以表示成幂函数的形式，这些数幂一般是非整数， 称为临晃指数。以铁磁体为例来说，序参量随温度的变化，临界指数用口表 示，序参量随磁场的变化，临界指数用万表示等等 1 。 相变的实验和理论研究已经有一百多年的历史，大致可以分为三个阶 段。自1 8 6 9 年安德鲁斯( t a n d r e w s ) 提出临界点开始到1 9 4 4 年以前这段时 期是人们研究临界现象的第一阶段。在这一阶段1 8 7 3 年范德瓦尔斯提出气 一液相变理论，1 8 9 5 年居里指出了铁磁相交与气一液相变的相似性，1 9 0 7 年外斯提出了顺磁一铁磁相变的分子场理论，1 9 2 8 年g o r s k y 引入有序度 ( d e g r e eo fo r d e r ) 概念，1 9 3 5 年布喇格( b r a g g ) 和威廉斯( w i u i a m s ) 提出了长程 序( 1 0 n gr a n g eo r d e r ) 概念，1 9 3 9 年c e m u s c h i 和e y r i n 8 讨论了晶格气体模型， 朗道的二级相变理论，所有这些都平均场理论。1 9 4 4 年昂萨格严格求解了二 维伊辛( s i n g ) 模型【6 】，这标志着相变的研究进入了第二阶段，昂萨格第一次 清楚地证明了从体系没有奇异性的哈密顿量出发，在热力学极限下能导致热 力学函数在临界点附近的奇异行为。它向第一阶段的所有相变理论提出了严 重的批评：在相变点，比热不是不连续，而是对数发散! 在六十年代，威东 ( w i d o m ) 理论，揭开了重整化群方法发展的序幕，相变的研究正式进入第三 阶段。七十年代初。威尔逊( w d s o n ) 把量子场论中的重整化群概念用到统计 物理中来，他吸收了卡丹诺夫( i ( 跚a n o f 0 等人关于标度律和普适性两个重要 概念，建立了关于临界现象的重整化群理论忉，提供了从微观上计算临界指 数的系统方法，使相变理论取得了突破性进展。近三十多年，重整化群理论 2 第一章概述 有了迅速的发展，除用于研究平衡相变( 静态临界现象) 外，已经开始应用到 非平衡相变( 动态临界现象) 。 理论的正确与否还得由实验来检验。对于一般的临界现象实验，由于受 到实验样品的纯度、重力引起的密度梯度等因素的影响，实验精度不足以来 准确地检验临界指数。目前液氦实验是检验重整化群理论的主要实验手段， 世界上许多著名的实验小组对此进行了多年的系统研究，在美国航天局的支 持下，人们通过航天飞机将实验在太空中的微重力条件下进行。目前，在误 差范围内，最精确地实验值与理论值是一致的，但实验的精度比理论的精度 高一个数量级【2 】。 1 2 自旋模型 相交是真正的多体问题，对于大量的微观粒子组成的系统，由于内部粒 子之间存在着复杂的相互作用，要描述系统的宏观性质，必须借助于理想化 了的理论模型进行简单化处理，得出一些规律。自旋模型就是人们在研究磁 性系统所采用的一种理论模型，分为经典自旋模型和量子自旋模型。根据自 旋取值和取向的不同，自旋模型可以分为离散自旋模型和连续自旋模型。离 散自旋模型如i s i n g 模型、b l u m e - c a p e l 模型等。连续模型可分为自旋取值连 续和自旋取向连续，如c r a y 吣s 模型、模型等为自旋取值连续模型【8 1 0 】， x y 模型、海森堡模型等【4 】是自旋取向连续模型。 1 2 1i s i n g 模型 i s i n g 模型是一种最常用的离散白旋模型，伦兹( l e a z ) 曾向他的学生伊辛 建议研究铁磁性的一个简单的原子模型，伊辛于1 9 2 5 年发表了他的研究结 果i 1 1 ，现在称为i s i t l g 模型。它是铁磁体的种最简单的理论模型，它可近 似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，还可以用于描述反铁磁体，气 一液相变，二元溶液相变以及合金的有序一无序相变等。由于i s i n g 模型能 精确求解，又能很好的描述磁性系统，因此一直受到人们的关注。 对于一个晶格，把每个格点上都放置一个经典自旋( 不当作算符处理) ， 每个自旋只能取向上或者向下两个状态，对应于自旋取值为+ l 或一1 ，我们 第一章概述 只考虑最近邻自旋之间的相互作用，这样的自旋系统称为l s i n g 模型，其哈 密顿量为 h = 一j e s 芦j 一弘b j ：= s l 。 ， ， ( 1 1 ) 其中s f 代表第f 个格点位置的自旋，罗表示对晶格上所有可能的自旋最近邻 歹 对( 扩 求和，为最近邻对自旋间的耦合相互作用常数， 0 代表铁磁体， 丽- ， 求和，为最近邻对自旋之间的耦合相互作用常数，j o 代表铁磁体， 而j 和定义的参数编的表达式( 2 1 4 ) 得到 = 去象 = 硒1 1 - # - o j 钏- 、3 ( e 脚( e 露+ e - o j 石罗( 2 1 5 】e 肿0 z ：1 - c。， + 。”。“7 ( 2 1 5 ) 拽舯杪瓦+ e _ 屹珊剐蒜静 = 1 + 3 魄， 则关于的递推关系为 + l = 1 + 贫纯，( 2 1 6 ) 其中 ，一蛐烈纯= 专磊乩 由参数的递推关系式( 2 1 6 ) 及初始条件( 2 1 7 ) 得到了识的闭合表达式 识= 学 则c a y l e y 树上i s i n g 模型的自发磁化强度的表达式为 i ，表示自旋耦合相互作用常数，表示晶体场相互作用常数，h 是外磁场强 度，其中每个格点上的自旋毋= l ，0 。对分支数为g l ( q 为配位数) 的c a y l e y 树晶格的配分函数为 z = e x p ( - p h ) - - 刖 = c x p 汐 ，丑勺一霹+ | i l 而 】， ( 3 2 ) q jj 其中表示对所有的自旋位形求和，p o ) 可以看成是未归一化的概率分布 函数，我们可以把c a y l e y 树从初始格点处截断，分成q 个相同的子晶格， 则p ( s ) 还可以写成如下形式 p ( s ) = e x p p ( 一+ 慨) 】i - q ( 鸬) ， ( 3 3 ) - i 其中q ( s o _ ) = e x p 【 成 + ，日- 一砰+ 而岛 】。式中_ 代表第，个 叫 ii 子晶格上的自旋，是指除了 外所有最近邻自旋对求和，是指除 叫 f 了s o # b 所有的自旋求和。则系统的配分函数可以写为 z = e x p l a ( - a 4 0 + h s o ) f g ( s o ) ， ( 3 4 ) 毛 其中 g a s o ) = e x p 够 成墨+ ，鹕一霹+ 岛) l ( 3 5 ) 而扣 ji 每个子晶格又可以用同样的方法分成g 1 个相同的晶格，则 1 7 第三章有限大小c a y l e y 树上b l u m “：印c l 模型的相变研究 删童e x p 明 p ”( d s o s , 一砰删砒矿。 ( 3 7 ) 晶( 1 ) = 一砰+ 她) 】【。“) p ”7 = 酱舻错， 铲焉岩餐潞糍， ，：! 翌! 壁! 二二垒二垒2 坠霉! 翌【壁! ! 二垒二垒! ! 善基! 、。 “ e x p f l ( - a + h ) p 删+ e x p m ( - a 一 ) d 器+ l m = z 1 s o e x p f l ( - 山2 + 砜) 】瓴) r e x p f l ( - a + h ) x q - e x p f l ( - a - h ) y q ( 3 l o ) = v j e x p p ( - a + h ) x q + e x p f l ( - a 一 ) 】少+ l 在零外场条件下，即厅一0 时，对于分支数b = 2 ( 配位数q = 3 ) 的c a y l e y 树， 参数毛，只可写为 1 8 ：i 二翥豢瑟蓑。， 咒= 号篙怨篙器老社 m ：e x p ( - p a ) f x 3 - e x p ( - p a ) y f 3 一 ( 3 1 2 ) c x p ( 邓) 矿+ e x p ( - p a ) ，- i - l 、 其中罗表示对所有的自旋位形求和。 我们对分支数b = 2 的i l 代c a y l e y 树，通过在它的初始格点位置上固定 单个自旋方向，利用配分函数对外磁场导数的递推关系，求得有限系统的自 发磁化强度。由于n + l 代c a y l e y 树可以看成是由一代和l 代连接而成，我们 可以得到系统配分函数的递推关系式 乏l = 扩仕“露+ p 叫露+ 刃】2 ， 仃1 4 ) z ：i = ( z ：+ z ：+ 2 ：) 2 ， 、 其中露表示在初始格点位置上固定自旋- - + 1 时系统的配分函数，刃表示 固定自旋= 0 时系统的配分函数。 我们对配分函数表达式( 3 1 4 ) 求外磁场h 的导数，得到如下关系式 1 9 第三章有限大小c a y l e y 树上b l u m 脚l 模型的相变研究 裔= 叫矿零矿彳均2 ( “妒z ：仃石+ 刃妒丽a z ：篆+ 筹) ( 3 1 5 ) 需= 2 孵+ 石+ 刃唔+ 篆+ 历 在外磁场h - 0 0 时， 露_ - - e - , d a , 露= l 盟：虹一盟：0 8 8 h：a b h 利用数学归纳法得到如下的关系式， ( 3 1 6 ) 监：一监盟：o o r o a p h筇_ i l 7 a p h 根据关系式( 3 1 5 ) 和0 1 7 ) ，我们得到系统配分函数的递推关系式 丝量：虹，鼬(+p)露+刃】z+aph l 、， 月j 扩【( 仃烤均( 矿) 磊 一 则c a y l e y 树上b l u m e - c a p e l 模型的自发磁化强度可表示为 = 南去磊 ( 3 1 9 ) 3 3 结果及讨论 利用自发磁化强度的表达式( 3 1 9 ) ，我们求得了c a y l e y 树的大小不同和 晶体场作用不同时，有限系统自发磁化强度随温度的变化关系。由于在计算 递推关系时，涉及的计算量太大，我们只是给出了c a y l e y 树代数 ，l = 2 ，七= l ，2 ，3 ，4 时b l u m e - c a p e l 模型的相图。 图3 1 给出了在约化晶体场作用参数a = a j = - 0 5 时，不同迭代数 2 0 第三章有限大小c a y i e y 树上b i m n e - c a p e l 模型的相变研究 甩= 磐，k = 1 , 2 , 3 , 4 时的c a y l e y 树的自发磁化强度随温度的变化曲线，从图上我们 看到，在n 取2 和4 较小值时，有限系统自发磁化强度随着温度的增加，由 饱和值l 连续地减小到一不变非零值，但在n 取8 和1 6 较大值时，有限系统 自发磁化强度随着温度的增加由饱和值l 逐渐减小到极限零值，即系统发生 了对称破缺。图3 2 给出了在约化晶体场作用参数d e = a j = - 1 时，不同迭代 数胆，k = 1 , 2 , 3 , 4 的c a y l e y 树上自发磁化强度随温度的变化曲线，从图上我们 也可以看到，在n 取8 和1 6 较大值时，系统自发磁化强度由饱和值1 连续地 减小到极限零值。这说明系统发生了对称破缺。由图3 1 和图3 2 我们知道， 通过在初始格点位置上固定单个自旋取向，使有限大小c a y l e y 树上b c 模型 出现了对称破缺，这与在有限大小c a y l e y 树上i s i n g 模型的结果是相似的。 在热力学极限下，系统没有自发磁化强度，我们认为出现对称破缺是与 c a y l e y 树本身的结构和其有限性大小有关。 我们还研究晶体场作用对有限大小c a y l e y 树上b c 模型的自发磁化强度 的影响。图3 3 给出了c a y l e y 树迭代数n = 4 时，晶体场作用参数 a = y j = o , - - o 5 , - 1 , - 2 , - 5 时，有限大小系统自发磁化强度随温度的变化曲线， 从图上看到，在0 5 k z j 3 时，对不同的口值，自发磁化强度都趋 向于同一不变值。图3 4 给出了c a y l e y 树迭代数n = 8 时，晶体场作用参数 a = a j = 0 , m s t - 5 时，有限大小系统自发磁化强度随温度的变化曲线。 从图上看到，在0 7 5 k b t j 2 时，有限大小系统自发磁化强度随约化晶体场 作用参数口不同有较明显的差别，但是差别的程度比c a y l e y 树迭代数n = 4 时 降低。由图3 3 和图3 4 知，在c a y l e y 树格点数较少( 即迭代数n 较小) 时， 晶体场作用对有限大小系统的自发磁化强度有明显的影响，但是随着c a y l e y 树格点数的增多和温度的升高，晶体场作用的影响逐渐减弱。 2 1 第三章有限大小c 蟛i c y 树上b t u m c - c a p c l 模型的相变研究 e k b t j 图3 1 约化晶体场作用参数口= ，= 加5 ，c a y e y 树迭代数甩= 矿，k = l ，2 ，3 ，4 时， 自发磁化强度随温度的变化。 e v l j 图3 2 约化晶体场作用参数口= 纠- ，= 一i ，c a y l e y 树迭代数行= ，k = 1 ，2 , 3 ，4 时。自 发磁化强度随温度的变化。 第三章有限大小c a y l 叫树上b l u m c - c a p e l 模型的相变研究 k b t j 图3 3 c a y i e y 树迭代数刀= 4 ，约化晶体场作用参数a = o ，0 5 ，一l ，2 ，一5 时。自发磁 化强度随温度的变化。 k w j 图3 4 c a y l e y 树迭代数, = 8 ，约化晶体场作用参数睇= o ，_ 0 5 ，一1 ，- 2 ，5 时，自发磁 化强度随温度的变化。 第三章有限大小c a y l e y 树上b t m n e - c a p e l 模型的相变研究 3 4 结论 利用c a y l e y 树上自旋模型的精确递推方法，我们求得了热力学极限条件 下，b l u m e - c a p e l 模型的自发磁化强度，发现系统不存在有限温度的相交。 另一方面通过在有限大小c a y l e y 树上初始格点位置上固定一个自旋的方向， 利用配分函数对外磁场导数的递推关系，求得了有限大小系统的自发磁化强 度。结果表明有限大小系统出现了对称性破缺。在热力学极限下，c a y l e y 树 上b l u m e - c a p e l 模型的自发磁化强度为零，但是在有限大小系统上却出现了 有序相，这可能与c a y l e y 树本身的等级结构和系统的有限性有关系。我们还 得到晶体场作用对产生磁化强度有明显的影响，但是随着温度的增加和 c a y l e y 树格点数的增大而逐渐减弱。 参考文献 f l 】北京大学物理系量子统计物理学编写组量手糖矽钐瘿p 田。北 京大学出版社。1 9 8 7 f 2 】于禄，郝柏林，陈晓松边第手迹扫芟与够界况象嗍科学出版社， 2 0 0 5 【3 】h e s t a n l e y i n t r o d u c t i o nt op h a s e 孙a n s i t i o na n dm o d e r nt h e o r yo f c r i t i c a l p h e n o m e n a 【m 】o x f o r d ：c l a r e a t e np r e s s ，1 9 7 1 【4 】冯端，金国钧旋震苍彬翟学【m 】高等教育出版社，2 0 0 3 【5 】杨展如分形彩理学f m 】上海科技教育出版社，t 9 9 6 ， 【6 】l o n s a g 日c r y s t a ls t a t i s t i c s i at w o d i m e n s i o n a lm o d e lw i t h 缸 o r d e r - d i s o r d e r t r a n s i t i o n 叨p h y s i c a lr e v i e w , 1 9 4 4 ，6 5 ( 3 - 4 ) ：1 1 7 1 4 9 【7 】 kqw i l s o n r c n o r m a l i z a d o n g r o u pa n d c r i t i c a lp h e n o m e n a 1 - r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pa n dt h ek a d a n o f fs c a l i n gp i c t u r e 叨p h y s i c a lr e v i e wb ， 1 9 7 1 ，4 ( 9 ) ：3 1 7 4 3 1 8 3 【8 】t h b e d i l l ，m k a c ms p h e r i c a lm o d e lo faf e r r o m a g n e t 阴p h y s i c a l r e v i e w , 1 9 5 2 ，8 6 ( 6 ) ：8 2 i 8 3 5 【9 】h e s t a n l e y i n t r o d u c t i o nt o p h a s et r a n s i t i o na n d c r i t i c a l p h e n o m e n a 嗍 o x f o r d ：1 9 8 3 【1 0 s k m s m o d e r nt h e o r y o f c r i t i c a l p h e n o m e n a 嗍n e w y o r k ：1 9 7 6 【l l 】e ，i s i n g 阴z p h y s ，1 9 2 5 ，3 1 ：2 5 3 【1 2 】伍法岳，杨展如相变与临界现象( 卜- i s 啦模型叨物理学进民 1 9 8 1 ，l ( 2 ) ：1 8 - 2 3 【1 3 】m b l u m e t h e o r yo f t h ef i r s t - o r d e rm a g n e t i cp h a s ec h a n g ei nu o z 闭 p h y s i c a lr e v i e w , 1 9 6 6 ，1 4 1 ( 2 ) ：5 1 7 5 2 4 【1 4 】h w c a p e l 0 nt h cp o s s i b i l i t yo ff i r s t - o r d e rp h a s et r a n s i t i o n si ni s i n g s y s t e m so ft r i p l e ti o n sw i t hz e r o - f i e l ds p l i t t i 】a g 卿p h y s i c a , 1 9 6 6 , 3 2 ( 5 ) ： 9 6 6 - 9 8 8 【1 5 】mb l u m e ，vj e m e r y , 1 lb g r i f f i t h s i s i n gm o d e lf o rt h el a m b d a t r a n s i t i o na n dp h a s es e p a r a t i o ni nh e 3 h e 4m i x a a - e s 们p h y s i c a lr e v i e w 气 1 9 7 1 ，4 ( 3 ) ：1 0 7 1 - 1 0 7 7 【1 6 】p ef o x ，d s g a u n t c r i t i c a li s o t h e r mo f t h ei s i n gf e r r o m a g n e t 谢t hs p i n s = 1 2 忉j o u r n a lo f p h y s i c sc ：s o f i ds t a t ep h y s i c s 1 9 7 2 ，5 ( 2 1 ) ：3 0 8 5 - 3 0 9 6 【1 7 】d m s a u l ，m w o r t i s ，d s t a u f f e r t d e r i f i e a lb e h a v i o ro f t h eb l u m e - c a p e l m o d e l 叨p h y s i c a lr 州& o b ，1 9 7 4 ，9 ( 1 1 ) ：4 9 6 4 4 9 8 0 【l8 】a n b e r k e r , m w o r t i s b l u m e - e m e r y - c r r i f f i t h s - p o t t sm o d e li nt w o d i m e n s i o n s ：p h a s ed i a g r a ma n dc r i t i c a l p r o p e r t i e s f r o ma p o s i t i o n - s p a c e r o m l a l i z 撕o ng r o u p 叨p h y s i c a lr e v i e wb ，1 9 7 6 ，1 4 ( 1 1 ) ：4 9 4 6 - 4 9 6 3 【1 9 】a kj a i n d 。el a n d a u m o n t ec a r l os t u d yo f t h ef c cb l u m e - c a p e lm o d e l 四p h y s i c a lr e v i e wb ，1 9 8 0 ，2 2 ( 1 ) ：4 4 5 - 4 5 2 【2 0 】s g r o l l a u , e k i e r l i k , m l r o s i n b e t g , e ta 1 t h n o d y a a m i c a l l y s e l f - c o n s i s t e n tt h e o r yf o rt h eb l u m e - c a p e lm o d e l 【刀p h y s i c a lr e v i e we 2 0 0 1 ， 6 3 ( 4 ) ：0 4 1 1 l i ( 1 3 ) 【2 l 】a b r o g n a r a , a p a r o l a , l r e a t t o h i e r a r c h i c a lr e f e r e n c et h e o r ys t u d yo f t h eh u i c er e s t r i c t e d p r i m i t i v em o d e l 明p h y s i c a lr e v i e we ，2 0 0 2 ，6 5 ( 6 ) ： 0 6 6 1 1 3 ( ii ) 【2 2 】c e k i z , m k e s k i n , o y a l c i n m e t a s t a b l ea n du n s t a b l es t a t e so ft h e b l u m e - c a p e lm o d e lo b t a i n e db yt h ec l u s t e rv a r i a t i o nm e t h o da n dt h ep a t h p r o b a b i l i t ym e t h o d 忉p h y s i e aa ：s t a t i s t i c a lm e c h a n i c sa n di t sa p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 l ，2 9 3 ( 1 2 ) ：2 1 5 - 2 3 2 【2 3 】l y u n g ，kr a u c h w a r g e r m u l t i e r i t i c a l b e h a v i o ri nf i n t s i n g a n t i f e r r o m a g n e tw i t hz e r of i e l ds p l i t t i n g 阴p h y s i c sl e t t e r sa ，1 9 7 6 ，5 9 ( 1 ) ： 7 3 7 4 2 4 】p d b e a l e f i n i t e - s i z es c a l i n gs t u d yo ft h et w o - d i m e n s i o n a lb l u m e c a p e l m o d e l 啊p h y s i c a lr e v i e wb ，1 9 8 6 ，3 3 ( 3 ) ：1 7 1 7 - 1 7 2 0 【2 5 】k b i n d e r a p p l i c a t i o no f t h em o n t ec a r l om e t h o d s 胁s t a h s h c a lp h y s i c s 嗍b e r l i n ：s p r i n g c r - v c r l a g ，1 9 9 4 【2 6 】w ：k i n z e l , m s c m c lp h e n o m e n o l o g i c a ls c a l i n ga p p r o a c ht o t h e t r i a n g u l a ri s i n ga n t i f c r r o m a g n e t 叨p h y s i c a lr e v i e vb ，1 9 8 1 ，2 3 ( 7 ) ：3 4 3 5 - 3 4 4 1 【2 7 】p 丸r i k v o 地kk a s k i , j d c m n t e n , e ta 1 f i n i t e - s i z es c a l i n gs t u d yo fa l a t t i c e g a sm o d e lf o ro x y g e nc h e m i s o r b e do nt u n g s t e n 阴p h y s i c a lr c v i 臼nb ， 1 9 8 4 ，2 9 ( 1 1 ) ：6 2 8 5 - 6 2 9 4 【2 8 】j d k i m e l , s b l a c k , ec a r t e r , e ta 1 m o n t ec a r l os t u d yo ft h e a n t i f e r r o m a g n e t i ct w o - d i m e n s i o n a lb l u m e - c a p e lm o d e l 叨p h y s i c a lr e v i e wb ， 1 9 8 7 ，3 5 ( 7 ) ：3 3 4 7 - 3 3 5 3 2 9 】 j d k i m e l ，e 八p d k w o l d , y - l w a n g p h a s ed i a g r a m f o rt h e a n t i f c t t o m a g n c t i cb l u m e - c a p e lm o d e ls e a l - t r i c r i t i e a l i t y 叨p h y s i c a lr e v i e wb ， 1 9 9 2 ，4 5 ( 1 3 ) ：7 2 3 7 7 2 4 3 【3 0 】w ：j i a n g , g z w e i ，q z h a n g e f f e c t so f b i a x i a ic r y s t a l - f i e l do ns p i n - 3 2 h o n e y c o m bl a t t i c e 闭p h y s i c aa ：s t a t i s t i c a lm e c h a n c sa n di t sa p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 3 ，3 2 9 ( 1 2 ) ：1 6 1 1 6 9 【31 】i ch m u t o u , a o l l b e l l 【嘲a a i n a n e ，e ta 1 t r i c d t i c a lb e h a v i o ri nt h e d i l u t e dt r a n b w e r s es p i n - 1i s i n gm o d e lw i t hal o n g i t u d i n a lc r y s t a l 丘e l d 叨j o u m a l o f m a g n e t i s ma n dm a g n e t i cm a t e r i a l s ，2 0 0 5 ，2 8 8 ：2 5 9 2 6 6 【3 2 】j s i v a r d i 6 r e ，m b l u m e n i p o l a ：ra n dq u a d r u p o l a ro r d e r i n gi ns = 3 2i s i n g s y s t e m s 叨p h y s i c a lr e v i e wb ，1 9 7 2 , 5 ( 3 ) ：1 1 2 6 - 1 1 3 4 【3 3 】yg e f e n , b b m a n d e l b r o t , a a h a r o n y c r i t i c a lp h e n o m e n ao nf r a c t a l l a t t i c a ：s 叨p h y s i c a lr e v i e wl e t t e r s ，1 9 8 0 ，4 5 ( 1 1 ) ：8 5 5 8 5 8 【3 4 】m k 羽1 6 n a n ，b g r i f f i t h s e x a c t l ys o l u b l e s i n gm o d e l so nh i e r a r c h i c a l l a t t i c e s 阴p h y s i c a lr e v i e wb ，1 9 8 1 ，2 4 ( 1 ) ：4 9 6 - 4 9 8 【3 5 1 i lj b a x t e r g x a c s o l v e dm o d e l s 加s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s 嗍n e w y o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 2 【3 6