（应用数学专业论文）复杂网络上seiq模型研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 近年来，国内外掀起了研究复杂网络的热潮。许多社会、生物和技术系统 都可以用复杂网络来描述，如计算机病毒、传染性疾病、谣言或舆论的传播与 扩散等，其中系统的元素即个体或组织用网络的节点来表示，个体之间的相互 作用或联系则用边来模拟。而这也有效地增进了人们对爆发大规模传染病流行 的传染机制的认识，在复杂网络上来研究传染病已成为一种新的趋势。 本文致力于对复杂网络上的s e i q 类疾病传播模型的研究。其主要内容和创 新之处可概括如下： 1 、新引入潜伏和隔离状态，分别在小世界网络和无标度网络上建立s e i q 传播模型并对其进行分析。根据不同的疾病传播机制，利用平均场理论分别建 立了标准的s e i q 模型和具有远程感染的s e i q 模型( 即l - s e i q 模型) ，并对其 进行仿真，分析各个因素对疾病传播的影响，表明潜伏节点的感染率、远程感 染率等都会影响疾病传播。 2 、为了控制疾病的传播，针对不同的网络拓扑结构，采用不同的免疫策略： 对于小世界网络，采取均匀免疫；对于无标度网络，则采用按比例免疫和目标 免疫。对其进行仿真，并分析各免疫策略的有效性，同时还分析了隔离率对疾 病传播的影响，为更好地控制疾病的传播提供了指导意见。 3 、将疾病的传播模型应用到s a r s 病毒的传播中，将0 3 年s a r s 病毒传播 的实际数据转化为模型中的具体参数，在前面所建立的模型基础上利用m a t l a b 软件对其传播进行研究，并分析出要控制疾病传播所应采取的免疫策略。 总之，本文是在前人研究的基础上，利用复杂网络能模拟个体之间接触关系 的优点，结合疾病传播的特征，建立了复杂网络上s e i q 类疾病的传播模型，考 虑其免疫策略，并进行计算机仿真，分析影响疾病传播的不同因素以及控制其 传播的不同策略。利用该模型对s a r s 病毒的传播进行实证分析，并得出控制s a r s 传播的有效策略。 本文的研究成果，在一定程度上丰富了疾病传播的理论，本文所建立的模 型也具有明显的优点：新引入潜伏和隔离状态，更形象的描述了疾病的传播过 程；在复杂网络上对疾病传播进行分析，更好的模拟了疾病传播的途径；考虑 远程感染，更形象的刻画了疾病的传播机制。 关键字：复杂网络，s e i q ，平衡点，阈值，远程感染，仿真，免疫 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e c e n td e c a d eh a sw i t n e s st h eb i r t ho fan e wm o v e m e n to fi n t e r e s ta n d r e s e a r c hi nt h es t u d yo fc o m p l e xn e t w o r ki nd o m e s t i ca n di n t e r n a t i o n a la r e a m a n y s o c i a l ，b i o l o g i c a la n dt e c h n i c a ls y s t e m s ，s u c ha st h es p r e a do fi n f e c t i o u sd i s e a s e s ， c o m p u t e rv i r u s e s r u m o ra n ds oo n , a l lc a nb ed e s c r i p tb yc o m p l e xn e t w o r k i nw h i c h , t h ev e r t i c e sr e p r e s e n ti n d i v i d u a l sa n dl i n k sm i m i ct h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h e m t h e d e v e l o p m e n to ft h ec o m p l e xn e t w o r kt h e o r yh a sd os o m eh e l pt ot h er e a l i z a t i o no ft h e i n f e c t i o u sd i s e a s eo u t b r e a k , a n di ti san e wt r e n dt os t u d yt h ei n f e c t i o u sd i s e a s ei n c o m p l e xn e t w o r k n l i sp a p e ra i m st ot h es t u d yo ft h es e i qm o d e li nc o m p l e xn e t w o r k s ，a n dt h e m a i nc o n t e n t sa n do r i g i n a l i t i e si ni tc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 i n t r o d u c et h ee c l i p s ea n dq u a r a n t i n es t a t e s ，t h es e i qm o d e la r ee s t a b l i s h e d a n da n a l y z e di nt h es m a l l w o r l dn e t w o r k sa n ds c a l e - f r e en e t w o r kr e s p e c t i v e l y d e p e n d i n go nt h es p r e a d o fd i s e a s em e c h a n i s m sa n dt h em e a n f i e l dt h e o r y , a s t a n d a r ds e i qm o d e la n dal - s e i qm o d e lw i t ht h el o n g - d i s t a n c ei n f e c t e da r e e s t a b l i s h e da n ds i m u l a t e di nc o m p u t e rw i t hm a t l a b ，a n a l y z i n gi tc a nb ef i n dt h a tt h e p r o b a b i l i t y o fe c l i p s e si n f e c t e da n dt h e l o n g - d i s t a n c ei n f e c t e d a l lh a v ea n i m p o r t a n ti n f l u e n c eo nt h es p r e a do fd i s e a s e 2 i no r d e rt oc o n t r o lt h es p r e a do ft h ed i s e a s e ，d i f f e r e n ti m m u n i z a t i o ns t r a t e g i e s w e r eu s e do nd i f f e r e n tn e t w o r kt o p o l o g i e s ：f o rt h es m a l l w o r l dn e t w o r k s ，t h e u n i f o r mi m m u n i z a t i o n s t r a t e g yi st a k e n ；f o r s c a l e f r e e n e t w o r k , p r o p o r t i o n a l i m m u n i z a t i o na n dt a r g e t e di m m u n i z a t i o na r ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l y t h e ns i m u l a t e i ta n da n a l y z et h ee f f e c t i v e n e s so fd i f f e r e n ts t r a t e g y ；a tt h es a m et i m e ，t h ei n f l u e n c e o fq u a r a n t i n er a t eo nt h es p r e a do fd i s e a s ei sc o n s i d e r e dt op r o v i d eg u i d a n c ef o rt h e b e t t e rc o n t r o lo fd i s e a s es p r e a d 3 硼1 es p r e a do ft h ed i s e a s em o d e li sa p p l i e dt ot h es p r e a do fs a r sv i r u s ， t r a n s l a t et h ea c t u a ld a t ao fs a r sv i r u sw h i c hi st r a n s m i s s i o ni n2 0 0 3i n t ot h es p e c i f i c p a r a m e t e r so ft h em o d e l ，a n ds i m u l a t ei t ss p r e a db a s i n go nt h ep r e v i o u sm o d e l ，t h e n c o m et ot h eb e s ts t r a t e g yf o rc o n t r o l l i n gt h es p r e a do fs a r sv i r u s i ns h o r t , b a s i n go np r e v i o u ss t u d i e s ，t a k i n gt h eb e n e f i t so f 廿l a tt h ec o m p l e x 武汉理工大学硕士学位论文 n e t w o r k sc a l ls i m u l a t et h ec o n t a c tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n d i v i d u a l ，a n dc o m b i n i n g t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es p r e a do fd i s e a s e ，t h ec o m p l e xn e t w o r km o d e lo ft h es p r e a d o fd i s e a s e ss e i qi se s t a b l i s h e d t h e n ，i m m u n i z a t i o ns t r a t e g ya n dt h ef a c t o r sw h i c h a f f e c tt h es p r e a do ft h ed i s e a s ea l ea n a l y z e d t h ee m p i r i c a la n a l y s i si sd o n ew i t ht h e s a r s ，a n dt h es t r a t e g yo fs a r sc o n t r o li sa b s t a i n e d t oac e r t a i ne x t e n lt h er e s u l to ft h i sp a p e re n r i c h e dt h et h e o r yo ft h es p r e a do f d i s e a s e ，a n dt h em o d e la l s oh a so b v i o u sa d v a n t a g e s ：t h en e w l yi n t r o d u c e ds t a t e d e s c r i b e st h es p r e a do ft h ed i s e a s ep r o c e s sv i v i d l y ；t h ew a yo fd i s e a s es p r e a dc a nb e s i m u l a t e db e t t e ri nc o m p l e xn e t w o r k s ；t h ec o n s i d e r i n go ft h el o n g - d i s t a n c ei n f e c t i o n d e p i c t st h em e c h a n i s m so fd i s e a s es p r e a dm o r er e a l i s t i e k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k , e q u i l i b r i u m ，t h r e s h o l d ，l o n g - d i s t a n c ei n f e c t e d ， s i m u l a t i o n ，i m m u n i z a t i o n i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 签名： 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务。 研究生( 签名) 阖吁导师( 签名) 强州j t l i 弓 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 复杂网络研究背景及发展现状 近几年来，随着对复杂系统认识的深入，人们越来越多地发现子系统之间存 在的密切相互作用，以及种种依存关系对整体的重要性。因此在计算机高效计算 能力的辅助下，以及对生态系统、i n t e m e t 、社会系统、生命系统等系统及其子系 统的观测基础上，人们开始重视系统部件之间的相互作用关系和整体性，在不同 领域进行了从整体出发的复杂网络理论研究。复杂网络理论是对不同领域的相对 简单的网络拓扑结构进行观测的结果，这些网络不同于以前的网络系统，它们是 动态开放的，是不断成长演化的，因而具有生命的特点。它们在局部层次上杂乱 无序，而在整体层次上都呈现出小世界、高度聚类和无标度等特点。为理解复杂 网络的动态演化过程，人们试图运用随机图【l 】，小世界模型【2 。3 1 ，无标度网络【4 】， 演化网络【5 】等数学模型对它们建模，从而研究它们的统计特性、成长原因以及成 长规律。 从复杂网络的构建过程可以看出，复杂网络所研究的只是系统部件之间简单 的交互关系所导致的网络拓扑结构。它是对复杂系统比较一般的抽象和描述方 式，它突出强调了系统结构的拓扑特征。原则上说，任何包含大量组成单元( 或 子系统) 的复杂系统，如果我们将构成单元抽象成节点，单元之间的相互作用抽 象为边7 1 ，则可以将其当作复杂网络来研究。复杂网络可以用来描述物种之间 的捕食关系【引、人与人之间的社会关系【9 。15 1 、词与词之间的语义联系【1 每1 引、计算 机之间的网络链接【1 蛇2 1 、神经元之间的通讯反馈作用2 3 1 、蛋白质之间的相互关系 【撇5 】等等。复杂网络为研究复杂系统提供了一种新的描述方式，可以加深我们对 系统结构的深入了解，反过来，复杂网络的研究成果对探索复杂性又具有一定的 启发和借鉴意义。 自从1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 提出小世界网络模型( w s 模型) 【2 】以来，复杂 网络的研究在过去几年得到了迅速发展【2 1 1 。主要表现在以下几个方面：( 1 ) 复杂 网络拓扑结构的静态统计分析【3 2 3 6 】，包括更广泛的实证研究和更深入的理论刻 画，如给定度分布基础之上的匹配模式、各种相关关系、加权网络的统计性质和 描述方式以及网络的聚类等；( 2 ) 复杂网络的演化和机制模型【3 7 - 3 9 1 ，实证上可以研 究实际网络演化的统计规律，检验b a 模型的偏好连接假设，理论上则可以发展 更完善的具有形成特定几何性质的网络机制模型；( 3 ) 复杂网络上的动力学研究 武汉理工大学硕士学位论文 4 0 - 4 3 1 ，包括网络容错性和攻击鲁棒性，以及网络上的传播、同步与共振等各种动 力学过程。 根据拓扑结构的不同，复杂网络可以分为规则网络，随机网络，小世界网络， 无标度网络等。规则网络是指我们常见的具有规则拓扑结构的网络，如完全连接 图，星状网络，邻近节点连接图等。关于规则网络的研究，己经建立了比较完善 的理论框架。随机网络( 其代表模型是e r d 0 s 和r e n y i 于1 9 5 9 年提出的e r 模型) 是由一些节点通过随机布置的连接而组成的复杂网络，如美国的高速公路网【删。 随机网络的节点连接的分布为钟形曲线分布。小世界网络是一类特殊的复杂网 络，它具有大的集聚系数和小的平均最短距离。无标度网络是节点与节点之间的 连接分布遵循幂律分布的网络，如美国的航空网【4 4 j 。此类网络的大部分节点只有 少数连接，而少数节点则拥有大量的连接 1 2 复杂网络的研究意义 复杂网络的研究渗透到非常广泛的交叉学科，包括非线性科学、电路与系统、 计算机科学、控制理论、理论物理、数学、生物学、经济学、生态学等各个学科 领域。复杂网络的研究无论在理论上还是实践中都有重要的意义，一方面，对复 杂网络的深入研究可以使我们的了解和解释现实世界的复杂系统，从而了解自 然、了解我们所生活的现实世界，这也是科学研究最主要的目的之一：另一方面 随着对复杂网络研究的深入，我们可以将理论研究成果应用到具体问题中去，如 设计出具有更好特征的实际网络或使网络处于对我们更有利的状态，以及应用到 其它在上面提到的应用问题中，使得网络理论可以更好地为我们所用。如今，复 杂网络理论不仅在电力网、通讯网、运输网、计算机网等技术性网络和基因网络、 蛋白质网络等生物网络的分析和设计中得以应用，而且也渗透到电路布图、模式 识别、统筹管所选址等涉及到网络优化的问题中。值得注意的是，复杂网络理论 不仅被应用到自然科学，而且也被应用到社会科学中。例如：通过构建人与人的 关系网络模型去研究传染病在人群中的流行、谣言在社会中的扩散等等，以及更 深一步去描述这种传播行为，揭示它的特性，找出对该行为进行有效控制的方法 等。所以对复杂网络进行研究有着重要的意义。 1 3 复杂网络上研究疾病传播的意义 传播现象在自然界和人类社会生活中广泛存在，它与我们的日常生活密切相 关。当我们提起传播的时候，总是最先想到传染病的传播。 2 武汉理工大学硕士学位论文 众所周知，传染病历来就是人类的大敌，回顾人类历史长河，任何一次传 染病( 如天花、麻疹等) 的大流行，都会给人类文明产生深远的影响，因此，对 传染病的传播特性加以研究并提出有效的控制方法就成为一项十分有意义的工 作。自1 9 2 7 年k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 提出的仓储模型【4 5 】到2 0 世纪中叶的蓬勃 发展m 】，对传染病的研究逐渐深入并成为热点。 对于疾病传播的研究，分析其传播、建立数学模型和进行仿真是研究传染 病传播的主要手段，建立模型可以更深刻地理解其传播方式，以及传播过程中的 各种参数。能够让我们清楚地知道疾病传播高峰期到来的时间，有利于更好地了 解与掌控传染病传播的过程，在疾病传播达到高峰期前提早采取手段，避开高峰 期或有效地缩短高峰期存在的期限，这样就能大大减少流行病对社会造成的危 害。对此也有大量的研究，如 4 7 - 4 8 是在s i s ( s u s c e p t i b l e i n f e c t e d - s u s c e p t i b l e ) 模 型的基础上分别建立了具有相互竞争和具有阶段结构的传染病模型，【4 9 5 1 是在 s i r ( s u s c e p t i b l e - r e m o v e - s u s c e p t i b l e ) 模型的基础上分别考虑具有免疫及交叉感 染等特点，从而研究传染病的传播特征， 5 2 5 4 贝t j 是在原有模型的基础上考虑隔 离等，从而分析具有该特性的疾病的传播规律， 5 5 】则建立和研究了具有潜伏且带 年龄和隔离的流行病模型 以上均是建立在完全接触的基础上的，即任何处于被感染状态( i ) 的个体都有 机会感染任何易感个体( s ) ，而在现实生活中，处于感染状态的个体往往只能感 染与其相接触的个体( 即邻居) ，因此，将个体间的关系构成网络结构进而在网 络上考虑疾病的传播将更具有实际意义。 复杂网络上疾病传播行为的研究，是从图论( 网络) 的角度出发，将传播主体 看成节点，传播主体之间的接触或者交流看成边，不仅能够很好的刻画疾病等在 个体之间的传播，同时也解决了并非所有的个体之间都有接触的难题，更有助于 理解其传播现象，具有重大实际意义。 1 4 复杂网络上传播动力学研究 网络的传播动力学作为一个传统的统计物理课题由来已久。而今，复杂网络 为这一传统课题提供了全新的结构基础，由于动力学的复杂性和结构的多样性， 基于物理学的基本思想所构建的一些简化模型揭示出了很多新颖的特征，这使得 人们能够在一个更接近真实复杂系统的新层次上更好的理解和掌握传染病、谣 言、信息和其他事物的传播特性，也对有效控制策略的设计等实际应用提供了有 价值的参考。 流行病传播的数学模型能够很好地描述复杂网络的传播特性，是复杂网络传 3 武汉理工大学硕士学位论文 播动力学研究的基础。研究各种流行疾病的传播行为所建立的数学模型中最为著 名的是s i 模型、s i s 模型和s i r 模型。近年来，由于复杂网络研究的兴起，这 些模型的应用领域又一次得到扩展。由于在真实系统中不同种类的传染病具有不 同的传播方式，研究它们的传播行为通常采用不同的传播模型。其基本思想是： 将疾病分成各种不同的状态，考虑现实生活中不同疾病在各种状态之间转换的可 能行，建立其传播的不同机制，利用平均场理论建立微分方程模型，从而求出疾 病传播的临界阈值，分析影响疾病传播的因素以及控制策略等，如s i s 、s i r 和 s i r s 传播模型【4 2 1 1 5 本文的研究内容 根据前文所提到的复杂网络的发展、疾病研究的重要性以及复杂网络上研究 疾病传播的重要意义，本文将研究选题界定为复杂网络上s e i q 类疾病的传播现 象及其机制的研究，内容组织如下： 第一章，绪论。主要介绍了复杂网络的研究背景、发展现状、研究意义以及 复杂网络上研究疾病传播的意义和动力学研究。 第二章，复杂网络基本概念和性质综述。介绍了复杂网络的静态特征( 度分 布，最短路径，聚类系数) 以及复杂网络发展过程中最重要的几个网络模型( 规 则网络、随机图、小世界网络以及无标度网络) 并分别给出和研究了这些模型上 各自的度分布，最短路径长度，聚类系数等性质。 第三章，复杂网络上s e i q 模型的建模及其研究。在复杂网络上对s e i q 疾 病传播模型进行建模，考虑实际情况的不同，分别建立了标准s e i q 模型以及 l - s e i q 模型，分析各模型中影响疾病传播的各种因素及其传播机制，并对其进 行仿真，最后，针对不同网络拓扑结构研究不同免疫策略，为疾病的有效控制提 供指导意见。 第四章，传播模型的应用。以s a r s 病毒的传播为例，对s e i q 模型进行实 证研究，运用真实的疾病数据，对其进行复杂网络拟合，并结合第三章的研究成 果分析其控制策略。 第五章，总结和展望。对全文进行总结并提出了进一步需要解决的问题以及 研究方向。 4 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 网络的图表示 第2 章复杂网络概述 一个具体网络可能抽象为一个由点集v 和边集e 组成的图g = ( v ，e ) 。节 点数记为n = m ，边数记为m = i e i 。e 中每条边都有v 中一对点与之对应。从 统计物理学的角度来看，网络是一个包含了大量个体以及个体之间相互作用的系 统，是把某种现象或某种关系抽象为个体( 顶点) 以及个体之间的相互作用( 边) 而 形成的用来描述这一现象或关系的图。如果任意点对( f ，j ) 与( ，f ) 对应同一条边， 则该网络称为无向网络( u n d i r e c t e dn e 婀v o r k ) ，否则称为有向网络( d i r e c t e d n e t w o r k ) 。如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络( w e i g h t e d n e t w o r k ) ，否则称为无权网络( u n w c i g h t c dn e t w o r k ) 。 表示网络的图的结构信息用邻接矩阵表示，如果节点f 与节点，存在着连接 的边，那么矩阵上相应位置我们就用1 来表示，如果不存在连接我们就用o 来表 示，显然一个无向图的邻接矩阵具有对称结构。 幽必恢幽 彻僻袖 图2 1 不同类型网络的例子 ( a ) 单一类型节点和边的无向网络；( b ) 不同类型节点和边的无向网络； ( c ) 节点和边权重变化的无向网络；( d ) 有向网络 2 2 网络的基本概念 2 2 1 度与度分布 度( d e g r e e ) 是单独节点的属性中简单而又重要的概念。节点f 的度岛定义为与 该节点连接的其他节点的数目。有向网络中一个节点的度分为出度( o u t - d e g r e e ) 和入度( i n - d e 粤 e e ) 。节点的出度是指从该节点指向该节点的边的数目。直观上看， 一个节点的度越大就意味着这个节点在某种意义上越“重要”。网络中所有节点的 度的平均值称为网络的( 节点) 平均度，记为 。网络中节点的度的分布情况可 用分布函数p ( 七) 来描述。p ( 后) 表示的是网络中度数为j | 的顶点的个数占顶点总 5 武汉理工大学硕士学位论文 个数。 2 2 2 平均路径长度 网络中两个节点f 和j 之间的距离以定义为连接这两个节点的最短路径上的 边数。网络中任意两个节点之间的距离的最大值称为网络的直径( d i a m e t e r ) ，记 为d ，即 d = m 邸毛 网络的平均路径长度l 定义为任意两个节点之间的距离的平均值，即 扛獗而否九号( + 1 ) 匀驴 其中n 为网络节点数。网络的平均路径长度也称为网络的特征路径长度。 如果对于固定的网络节点平均的 ，平均路径长度l 的增加速度至多与网络 规模n 的对数成正比，那么则认为该网络具有小世界效应。 2 2 3 聚类系数 在你的朋友关系网络中，你的两个朋友很可能彼此也是朋友，这种属性称网 络的群聚属性。一般地，假设网络中的一个节点i 有毛条边将它与其他节点相连， 这局个节点就称为该节点的邻居。显然，在这岛个节点之间最多可能有 岛( 岛- 1 ) 2 条边。而这匆个节点之间实际存在的边数e 和总的可能的边 岛( 岛一1 ) 2 之比就定义为节点f 的聚类系数q ，即 c ：= 2 , s , k , ( 岛一1 ) 从几何特点上来看，上式的一个等价定义为 。与节点i 相连的三角形的数量 1 与节点湘连的三元组的数量 其中，与节点i 相连的三元组是指包括节点f 的三个节点，并且至少存在从节点i 到其他两个节点的两条边。 整个网络的聚类系数c 就是所有节点i 的聚类系数的平均值g ，即 c = 三军q 很明显，0 c 1 。c = 0 当且仅当所有的节点均为孤立节点，即没有任何连接 边；c = 1 当且仅当网络是全局耦合的，即网络中任意两个节点都直接连接。 6 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 网络的基本模型 2 3 1 规则网络 早期，人们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则网络表示，如一 维链、二维平面上的欧几里得格网等。用的最多的规则网络是由n 个节点组成 的全局耦合网络，在一个全局耦合网络中，任意两个节点之间都有边直接相连。 因此，在具有相同节点数的所有网络中，全局耦合网络具有最小的平均路径长度 1 和最大的聚类系数1 。虽然全局耦合网络反映了许多实际网络具有的性质，但 该模型作为实际网络模型的局限性也是很明显的：一个有n 个点的全局耦合网络 有n ( n 一1 ) 2 条边，然而大多数大型的实际网络都是很稀疏的。它们的变数至多 是d ( ) 。 一个得到大量研究的稀疏的规则网络是最近邻耦合网络，其中每一个节点只 和它周围的邻居节点相连。具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含个围成 一个环的点，其中每个节点都与它左右各k 2 个邻居节点相连，这里k 是一个 偶数，对较大的k 值，最近邻耦合网络的聚类系数为 q = 黼三 因此这样的网络是高度聚类的，然而，最近邻耦合网络不是一个小世界网络，相 反，对固定的k 值，当点数n 很大时，该网络的平均路径长度为 k 素专( 一o o ) 另外一个常见的规则网络是星形耦合网络( s t a rc o u p l e dn e t w o r k ) ，它有一个中 心点，其余的n 1 个点都与这个中心点相连接，而它们彼此之间不连接，星 形网络的平均路径长度为 k _ 2 _ 端叫刊 星形网络的聚类系数为 c o ：1 n - 7 - 1 一i ( n 专) 星形网络是比较特殊的一类网络。这里是假设如果一个节点只有一个邻居节点， 因此星形网络的聚类系数为1 。 7 武汉理工大学硕士学位论文 固。桊 ( i ) 秭( c ) 图2 2 几种规则网络 ( a ) 全局耦合网络：c o ) 最近邻耦合网络；( c ) 星形网络 2 3 2 随机图 与完全规则网络完全相反的是完全随机网络，其中一个典型的模型是e r d 6 s 和r e n y i 于4 0 多年前开始研究的e r 随即图模型【1 1 。 e r 模型建立在随机过程上，即一定数量的节点彼此完全随机地连接在一起， 每个节点的连接数大致相同。因此，这种模型在统计意义上是一种均一性网络。 随机网络的产生规则如下：在n 个节点的网络中等几率地选取p n ( n 1 ) 2 条边， 其中，0 p 1 。连接概率夕在研究随机网络是起着很重要的作用。若p = 0 ， 则连接边数为0 ，网络中所有的节点都是孤立的；若p = l ，则连接数为n ( n 1 ) 2 网络是完全连通的，每个节点都与其它节点相邻，任意节点间的距离都为1 。当 p 介于0 1 之间时，网络边数则介于0 n ( n 一1 ) 2 之间。随机网络中连接概率p 存在一个阈值以，当p p c 时，网络就会一个巨连通部件。随机网络的阀值p c = 去。 随机网络的平均度 = p ( n 一1 ) p n ，若固定 ，则对于充分大的n ， 由于每条边的出现与否都是独立的，其节点的度分布可用泊松分布来表示。平均 路径长度l a cl n i n ，比较小，具有典型的小世界特性。随机网络的聚族 系数c = p - n l ，很小，而实际网络中的聚族系数一般远大于这个值。 这是随机网络与现实世界中的网络不相符点之一。 2 3 3 小世界网络模型 规则的最近邻耦合网络具有高聚类特性，e r 随机图具有小的平均路径长度， 因此这两类网络模型都不能再现真实网络的一些重要特性，毕竟大部分的实际网 络既不是完全规则的，也不是完全随机的。在现实生活中，人们通常认识他们的 邻居和同事，但也可能有少量的远在异国他乡的朋友。小世界网络被定义为既具 有较短的平均路径长度又具有较高的聚类系数的网络。下面来介绍它的构造方 法。 作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，w a t t s 和s t r o g t z 于1 9 9 8 年引入 8 武汉理工大学硕士学位论文 了一个有趣的小世界网络模型，称为w s 小世界模型2 1 。w s 小世界模型的构造 算法如下： 从规则图开始：考虑一个含有n 个点的最近邻耦合网络，它们圈成一个环， 其中每个节点都与它左右的相邻的各k 2 节点相连，k 是偶数。 随机化重连：以概率p 随机地重新连接网络中的每条边，即将边的一个端 点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两 个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在上述模型中，p = 0 对应于完全规则网络，p = 1 则对应于完全随机网络， 通过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机图的过渡，如图2 3 所示： o 彰 图2 - 3w s 小世界模型( 随机化重连) 下面介绍小世界网络模型的一些统计性质： 聚类系数：w s 小世界网络的聚类系数为 ) = 黼( 1 - p ) 3 平均路径长度：迄今为止，人们还没有关于w s 小世界模型的平均路径长度l 的精确解析表达式，不过，利用重正化群方法可以得到如下公式【3 2 】： 三( p ) ：了2 n 厂( 脚2 ) 其中f ( u ) 为一普适度函数，满足 弛，- 蕊f ：姜： n e w m a n 等人基于平均场方法给出了如下的近似表达式： m ) 丽鼍a r c 伽壶 度分布：基于“随机化重连”机制的w s 小世界模型，当节点的度k k 2 时有 雕)=岬r(卅”p帅2一丽(pk2)k-(x2)-p嘣，2 而当k 时指数下降。因而假设网络中每个节点的度岛都近似等于 ，即包 ； ( 2 ) 均匀混合假设：处于各状态的节点均匀混合，即感染强度与感染个体的密 度成正比； ( 3 ) 假设疾病传播的时间尺度远远小于个体的生命周期，从而不考虑个体的出 生率和自然死亡，即网络的节点总数保持不变。 3 1 1 模型建立 定义f 时刻网络中各状态节点所占的比例分别为s ( f ) ，e ( f ) ，( f ) ，q ( t ) ，并进 一步约定岛，岛分别表示潜伏类和感染类节点的传染率，占表示潜伏类节点成为 感染类节点的比率；y 为隔离率，艿为恢复率，即由隔离类又成为易感类的比率。 其中岛，, 0 2 ，g ，7 ，万均为正常数。 1 、标准的s e iq 模型 对于标准的s e i o 模型，在每个时间步内，处于易感状态的节点如果与某个 处于e 状态的节点相邻，则以概率届被感染成潜伏节点，若与某个处于i 状态的 节点相邻，则以概率反被感染成潜伏节点，因此，在t 时刻，处于易感状态的节 点以( 角e ( f ) + p 2 i ( t ) ) 的概率被感染为潜伏节点，又因为该时刻易感状态的 节点所占的比例为s ( t ) ，所以，在t 时刻，由易感状态被感染成潜伏状态的节点 数占网络总节点数的比例为( 乃e ( f ) + 岛j ( 功 s ( f ) ，同时，潜伏节点以概率占变 成染病节点，染病节点以概率y 被隔离，而被隔离的节点则以概率万被治愈。 如图3 - 1 所示，根据平均场理论【6 3 1 ，得出s e i q 模型的传播动力学方程如系 统( 3 1 ) 所示： 8 q 图3 1 均匀网络上的s e i q 模型 百d s ( t ) = 一 ( n e ( r ) + 岛砸) ) s ( r ) + 阳( t ) 掣叫俐+ 俐) 盼啦( 。 ( 3 - 1 ) 掣划( r ) 一( ，) t d q ( t ) = ( f ) 一阳( f ) 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 2 、l - s e iq 模型 而对于具有远程感