（概率论与数理统计专业论文）几类稀疏过程风险模型破产概率的研究.pdf

摘要 以往对古典风险模型及其推广模型的研究，大都是对保险公司保 费到达计数过程与索赔到达计数过程相互独立的情形进行在保险公 司实际经营中，索赔到达计数过程与保费到达计数过程是相依的，且 险种呈现多元化，有必要为这类险种情形提供更为客观实际的风险模 型本论文建立了几类稀疏p o i s s o n 过程风险模型，并讨论了保费到 达计数过程和索赔到达计数过程的推广情况，得到了关于破产概率的 l u n d b e r g 不等式，并与其他一类风险模型做比较。本论文主要研究 了以下四类稀疏p o i s s o n 过程风险模型： ( 一) 复合p o i s s o np 一稀疏过程风险模型模型中保费到 达计数过程为齐次p o i s s o n 过程，索赔到达计数过程为保费到达计数 过程的稀疏p o i s s o n 过程。得到了关于破产概率的l u n d b e r g 不等式， 并与其他一类风险模型做比较。 ( 二) 双复合p o i s s o np 一稀疏过程风险模型模型中的 索赔到达计数过程和保费到达计数过程均为复合齐次p o i s s o n 过程， 并且索赔到达计数过程为保费到达计数过程的稀疏p o i s s o n 过程。得 到了关于破产概率的l u n d b e r g 不等式。 ( - - ) 双稀疏过程风险模型其中保单到达过程是一个 p o i s s o n 过程，而索赔的出现过程是保单到达过程的p - 稀疏过程和q - 稀疏过程的双p o i s s o n 过程。对此模型给出了其破产概率的l u n d b e r g 不等式，并与其它一类风险模型进行比较。 ( 四) 双险种稀疏过程风险模型其中保单到达过程是强度 为z 。、z ：的双p o i s s o n 过程，而索赔的出现过程是保单到达过程为强度 为名。的p o i s s o n 过程的p 一稀疏过程和强度为名z 的p o i s s o n 过程的q 一稀 疏过程的双p o i s s o n 过程。对此模型给出了其破产概率的具体上界，并 与其它一类风险模型进行比较。 关键词破产概率，p o i s s o n 过程，l u n d b e r g 不等式，稀疏过程 a b s t r a c t b e f o f et ot h er e s e a r c ho ft h ec l a s s i cr i s km o d e la n di t se x p a n s i o n m o d e l ，m o s t l ya r r i v ea n dc o u n tp r o c e s sa n dc l a i m a n da r r i v ea n dc o u n t p r o c e s st ot h ei n s u r a n c ec o m p a n yi n s u r a n c ef e ei n d e p e n d e n ts i t u a t i o n a n dc a r r yo nm u t u a l l y i nt h e i n s u r a n c ec o m p a n yp h y s i c a l l y t h e m a n a g e m e n t ，t h ec l a i ma r r i v e sa n d c o u n t sp r o c e s sa n di n s u r a n c ef e ea n d a r r i v e sa n dc o u n t sp r o c e s sa n dd e p e n d so nm u t u a l l y , a n dg r o w sa n d p r e s e n t sa d i v e r s i f i c a t i o nn e a r l y , t h e r ei sn e c e s s i t yt of o rt h i st y p eo f g r o w s i t u a t i o na n dp r o v i d em o r eo b j e c t i v ea n da c t u a lr i s km o d e ln e a r l y t h i s t h e s i sb u i l tu paf e wt h i n n i n gr i s km o d e lo ft h ep o i s s o np r o c e s s e s ，a n d d i s c u s s e da i li n s u r a n c ef e et oa r r i v et oc o u n tp r o c e s sa n dc l a i mt oa r r i v e a ne x p a n s i o nc i r c u m s t a n c eo fc o u n t i n gt h ep r o c e s s ，g e tc o n c e r n i n gt h e r u i np r o b a b i l i t ya l lr a t eo fl u n d b e r gi n e q u l i t y , a n dd oac o m p a r i s o nw i t h a t y p eo f o t h e rr i s km o d e l s t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e dt h ef o l l o w i n gf o u r t y p e so f t h i n n i n gp o i s s o np r o c e s s r i s km o d e l s ： ( 1 ) c o m p o u n dp o i s s o nt h i n n i n gp r o c e s sr i s km o d e l t h ei n s u r a n c ef e e a r r i v e st oc o u n tp r o c e s si nc o m p o u n dp o i s s o nt h i n n i n gm o d e lm o d e lo f t h ep r o c e s sr i s kf o rt o g e t h e rt i m ep o i s s o np r o c e s s ，t h ec l a i ma r r i v e st o c o u n tp r o c e s st oa r r i v et h i n n i n gp o i s s o np r o c e s so fc o u n t i n gt h ep r o c e s s f o rt h ei n s u r a n c ef e e g e tc o n c e r n i n gt h er u i np r o b a b i l i t ya l lt h el u n d b e r g o f r a t ei n e q u l i t y , a n dd oa c o m p a r i s o nw i t hat y p eo f o t h e rr i s km o d e l s ( 2 ) d o u b l ec o m p o u n dp o i s s o nt h i n n i n gp r o c e s sr i s km o d e l t h e c l a i mi nd o u b l et h em o d e lm o d e lo ft h ep r o c e s sr i s kw i t ht h i n n i n g c o m p o u n dp o i s s o n sa r r i v i n gt oc o u n tp r o c e s sa n di n s u r a n c ef e et oa r r i v e t oc o u n tp r o c e s sa l li sc o m p o u n dt o g e t h e rt i m ep o i s s o np r o c e s s ，a n d c l a i mt oa r r i v et oc o u n tp r o c e s st oa r r i v et h i n n i n gp o i s s o np r o c e s so f c o u n t i n g t h ep r o c e s sf o rt h ei n s u r a n c ef e e g e tc o n c e m i n gt h er u i n p r o b a b i l i t ya l lt h el u n d b e r go f r a t ei n e q u l i t y f 3 ) d o u b l et h i n n i n gp r o c e s s r i s km o d e l a m o n gt h e mi n s u r a n c e p o l i c y sa r r i v i n gp r o c e s si sap o i s s o np r o c e s s b u tt h ee m e r g e n c ep r o c e s s o fc l a i mi st h ept h a tt h ei n s u r a n c ep o l i c ya r r i v e sp r o c e s s - t h i n n i n g p r o c e s sa n dq - t h ed o u b l eo f t h et h i n n i n gp r o c e s sp o i s s o np r o c e s s g i v et o t h i sm o d e li t sr u i np r o b a b i l i t ya l lt h el u n d b e r go fr a t ei n e q u l i t y , a n dc a r r y o na c o m p a r i s o nw i t ho t h e rat y p eo f d s km o d e l ， ( 4 ) t h ed o u b l eg r o w st h i n n i n gp r o c e s sr i s km o d e ln e a r l yi n s u r a n c ep o l i c y a m o n gt h e ma r r i v ep r o c e s si sas t r e n g t ht o 九ia n d 2o fd o u b l ep o i s s o n p r o c e s s ，b u tt h ee m e r g e n c ep r o c e s so fc l a i mi st h epo f 入ip o i s s o n p r o c e s st h a tt h ei n s u r a n c ep o l i c y a r r i v e st h e p r o c e s sa ss t r e n g t ht o t h i n n i n gp r o c e s sa n ds t r e n g t h i st h eqo f 入2p o i s s o np r o c e s s e s - t h e d o u b l eo f t h et h i n n i n gp r o c e s sp o i s s o np r o c e s s g i v et ot h i sm o d e li t sr u i n p r o b a b i l i t ya l lt h ec o n c r e t ea n dl a s tb o u n d a r yo fr a t e ，a n dc a l t yo na c o m p a r i s o nw i t ho t h e rat y p eo f r i s km o d e l k e yw o r d s ：r u i n p r o b a b i l i t y ，p o i s s o np r o c e s s ，l u n d b e r gi n e q u l i t y ， t h i n n i n gp r o c e s s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献己在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名：墨3 望笃 日期；一銎必月旦日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅：学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：瓣导师签名： 日期：乏! ! 年二上l 月2 ：! 日 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 风险理论及研究现状 1 1 1 风险理论的发展简介 “风险”一词通常有许多含义，下面给出在不同环境下的不同定义。在经 济学中，奈持( k n i g h t ，1 9 2 1 ) 明确地指出了“风险”相“不确定性”之间的区别， 奈持认为风险是指这样一种情形：一次行为可能导致许多不同的后果，但是出 现这些后果的概率已知，如果这些概率未知，这种情形奈特称之为“不确定性”。 随着统计学和决策论中贝叶斯方法的发展，风险和不确定性这两者之间的区别 对于系统地学习保险这门课程已不是本质性的了。在统计学中，通常把风险和 瓦尔德( w a l d ，1 9 5 0 1 理论中的统计决策函数联系在一起，瓦尔德将风险定义为试 验的预期成本与由于错误的终止决策而导致的预期损失之和。瓦尔德的这个定 义在决策论中比较重要，后来的学者一股不再按照瓦尔德定义的“风险”来使 用这一概念。在保险学中，“风险”一词的起源更为久远，一般认为泰藤斯( t e n t e n s ， 1 7 8 6 ) 是第一个给出风险概念的人，他在研究生存年金时，首次给出“风险”的 精确定义。随后精算风险理论就蓬勃地发展起来，但泰滕斯的理论直n - - 次世 界大战之前的精算学领域都破具影响。从某种程度上来说，精算风险理论是在 主流的概率统计之外发展起来的，因此它有一些专门的理论内涵。 1 1 2 风险模型简介 从概率论的角度，风险本身就是一个随机变量( 一般是非负的) 。因此，风 险模型就是一个关于损失或索赔x 的随机模型。风险模型是保险产品，尤其是 非寿险产品设计及保险经营的理论基础。按是否考虑时间因素，而将风险模型 区分为长期风险模型和短期风险模型，按保单是否随机，而将风险模型区分为 硕士学位论文第章绪论 聚合风险模型和个体风险模型；按保单总数在所考虑的周期内是否一开始就已 知且固定，而将风险模型区分为封闭风险模型和开放风险模型。在此，我们只 介绍几类常见风险模型。 1 ) 个体风险模型 个体风险模型又称短期个体风险模型，即不考虑时间因素，保单总数非随机 且对个体保单和个体保单理赔分别考虑，而建立的风险模型，是最简单的风险 模型。 n s = x l + x z 4 - - - + x n = 芝：x | i - i 其中：x 是保单f 的损失和理赔量，以是保单数或理赔数，称s 为理赔总额。对 上述模型通常有如下假设： ，( i ) 置是独立同分布的， ( 2 ) 每张保单只能理赔一次， ( 3 ) 疗为确定的正整数，即假定模型为封闭型的。 在现实生活中，个体风险模型存在很大的局限性。例如，在意外事故保险中， 理赔可能多次发生；在周期内保单数确定显然与保险事务的随机性脱节，等等。 对个体风险模型的推广得到短期聚合风险模型。 2 ) 短期聚合风险模型 设是给定时期中保单的理赔次数，置是第一次理赔的理赔量，墨是第二 次理赔的理赔量，余依次类推，则 与个体风险模型不同之处在于，理赔次数是随机变量。这正是“聚合”( c o l l e c t i v e ) 意义之所在。对此模型常有如下的假设：， ( 1 ) 随机变量序列z ，独立同分布，= 1 , 2 ， ( 2 ) 随机变量序列，z ，z ，相互独立， 3 ) 长期聚合风险模型 长期聚合风险模型所表示的是承保人在较长时间内的盈余的变动情况。所谓 盈余是指启动资金加上保费收入超过理赔那部分，而非财务意义上的。为了数 学上的处理方便，我们将不考虑利息和其它除了保费和理赔之外的影响因素， 2 r ，一 = k + + 邑 + 墨 i i s 硕士学位论文 第一章绪论 如，附加费和保单持有人的分红等。用数学模型表示，r ( t 1 盈余是一个随机过 程 r ( f ) = 群+ 甜一s ( ，) ( 1 一1 ) r f n 其中，甜= 尺( o ) 是启动资金，c o 为连续收取保费的速率，s ( f ) = 置为到时 l ，l 刻r 为止的理赔总额。当理赔次数过程( f ) 为齐次p o i s s o n 过程时，上述模型就 称为风险模型。对古典风险模型进行各种不同形式的推广，就得到各种具体的 长期聚合风险模型及其变体形式，从而造就了风险理论研究内容的丰富多彩。 1 1 3 古典风险模型的主要结果及推广方向 如果对模型( 1 1 - 4 ) * 的( f ) 和五作若干限制，就可得到古典风险模型古 典风险模型是研究历史较长并且理论最为完善的风险模型，也是最简单的风险 模型，很多条件都是为数学上处理方便而假定的： 令( q ，厂，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的随机变量和随机过程都是定 义在这个概率空间上 i 初始准备金( 厂( o ) = “，“是非负实常数； i i 计数过程= ( f ) ；f 0 ，( o ) = 0 ，是一个强度为口( 口 0 为实常数) 的齐次p o i s s o n 过程； i 各次的索赔颓构成一列独立同分布的随机变量 墨，局， ； i v 计数过程= ( f ) ；f 0 与随机变量序列 五，置， 相互独立； v 保费按照确定的常数保费率c 收取，( 这里c 0 为实常数，也称为“毛的 ( 或总的) 风险费率”) 假设 墨，五， 有共同的分布函数f ( 茗) 满足f ( o ) = o ，并且有期望z 方 勃2 定姗对安全负荷p = 揣= 云一当初始准备金为矾 最终破产概率定义为5 f ，( ”) = p 【，( r ) o ，则生存概率o ( ) = l - u ( u ) 并 令 ( ，) = f 。p ”d f ( z ) 一1 对古典风险模型研究得出的经典结果主要有 硕士学位论文第一章绪论 ( 1 ) 若p 0 ，则( o ) = ， i + 口 ( 2 ) 当五服从指数分布时，妒( ) = g4 ( “， l + 口 ) 熙矿州班可筹弦一e r - l u n d b e 玛逼国 ( 4 ) 矿( 甜) s p “。( l u n d b e r g 不等式) 其中( 3 ) 、( 4 ) 两式中r 为l u n d b e r g 指数，即矗( r ) = 竺的正解 古典风险模型的研究为破产理论的发展奠定了基础但由于它不能很好地 反映保险公司经营的现实情况，已有许多风险理论研究者对古典风险模型作出 了各种更符合经营实际的推广其中较常见的推广方向有以下几个方面： ( 1 ) 古典风险模型的索赔到达计数过程是齐次p o i s s o n 过程，它的平稳性意味 着索赔发生次数的强度是恒定不变的但在实际经营中，由于生活环境、经济 环境的变化，索赔发生次数的强度是随机的，比如火灾的发生殃及周围的房屋、 传染疾病的流行、汽车保险中车祸的发生可能引发伤亡事故的发生等，故仅用 齐次p o i s s o n 过程描述索赔到达计数过程存在很大的局限性，可用更一般的点过 程代替，如广义齐次p o i s s o n 过程、非齐次p o i s s o n 过程、c o x 过程、一般的更 新过程等 ( 2 ) 古典风险模型中假设保险公司以单位时间常数速率c 收到保费，这样的保 费收入过程过于简单化和理想化，这意味着随着时间的推移，保单数目没有减 少，也没有增加，这显然不符合经营的实际情况( 也不是保险公司愿意接受的) ， 所以应考虑用更科学的方法描述保费的收入可将保费到达计数过程推广为齐 次p o i s s o n 过程、非齐次p o i s s o n 过程、c o x 过程等，或者考虑费率受当前资产 盈余的影响等 ( 3 ) 通胀事和利息率也被考虑进风险模型 对古典风险模型及其推广模型的研究，得到了一系列成果，其中破产概率 和调节系数等对保险公司的安全经营及其监管有着非常重要的指导意义但这 些研究大都是对保险公司只经营一个险种时的情形进行由于保险公司经营规 模的不断扩大。险种呈现多元化，有必要为这类多险种情形提供较单一险种更 4 硕士学位论文第一章绪论 为客观实际的风险模型 1 。2 论文内容和主要结果 本论文主要研究了以下四类稀疏p o i s s o n 过程风险模型： ( 一) 复合p o i s s o np 一稀疏过程风险模型 本章把古典风险模型推广到索赔的出现过程是保单到达过程的p _ 稀疏过程 的风险模型，本文称之为复合p o i s s o n 稀疏过程风险模型，对此模型讨论其有关 性质并给出了其破产概率的l u n d b e r g 不等式： 对于任意的, 0 d 一肌 纵= 币赢而- 其中f = s u p 厂i g ( 力绷， o 并与其它一类风险模型进行比较。 、 ( 二 双复合p o i s s o np - 稀疏过程风险模型 本章研究了一类风险过程，其中保单到达过程是一个强度为五的复合p o i s s o n 过程，而索赔的出现过程是保单到达过程的p _ 稀疏过程。对此模型讨论其有关性 质并给出了其破产概率的l u n d b e r g 不等式： 对于任意的0 ，、e m 妒【“) 2 面矛可瓦面 其中f = s u p r i g ( r ) o ， o 并与其它一类风险模型进行比较 ( 三) 双稀疏过程风险模型 其中保单到达过程是强度为力。、五。的双p o i s s o f t 过程，而索赔的出现过程是 保单到达过程为强度为五。的p o i s s o n 过程的p 一稀疏过程和强度为旯。的p o i s s o n 过 程的q 一稀疏过程的双p o i s s o r l 过程。对此模型给出了其破产概率的具体上界， 对于任意的u 0 ，、p 一血 妒2 瓦弘呵雨i 其中r = s u p r i g ( r ) o ， o 0 j 0 。增量m ，= m m 有参数为口( f j ) 的p o i s s o n 分 布，即对i = 0 ，l ，2 ， 帆：七) = e - a ( t - , ) 唑芈， 这里口0 是常数，称做过程的强度 ( 3 ) 具有独立增量 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限制条 件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量。即m ，的分布只依赖于差数t j 而与s , t 的具体值 无关条件( 3 ) 表示过程是无后效的，即对任意正整数r l 和任意实数 o t i t 2 0 实际上不可能有 跃度超过l 的跳跃，亦即对应的点过程没有重点这一事实的确切表达是 p n t = o 或l ，对每一f ( o ，佃) = 1 8 硕士学位论文 第二章预备知识 这里n t l 表示点过程 m ；f 0 在时刻f 发生的点数 若以s 表示第疗点的发生时间，记瓦= 最一最一。( 令s o = 0 ) ，则序列 瓦， 一= 1 ，2 ，) 表示点过程的点间间距序列对此，有以下重要定理： 定理2 1 1 计数过程 m ；f 0 是具有强度口的齐次p o i s s o n 过程的充要条 1 件是它的点间间距( 瓦) 是相互独立的均值为二的指数分布随机变量序列 口 定义2 1 2 设m ； m ，t 0 和n ； n t ；t 0 是强度分别为旯和口的齐次 p o i s s o n 过程，而且这两个过程相互独立对于每一q 和任意r 0 ，令 k ( 缈) = m ( 国) + f ( 国) 则由上式定义的过程k = k ，t 0 称做过程m 和的叠加 定理2 1 2( 齐次p o i s s o n 过程的可加性) 上面定义的过程足是具有强度 = 五+ 口的齐次p o i s s o n 过程 定义2 1 3 假设事件e 的发生形成强度为口的齐次p o i s s o n 过程 n = f ；f 0 如果每一发生的事件只以概率p 被记录到( o 0 就是齐次p o i s s o n 过 程对于这样的复合p o i s s o n 过程，有如下重要的定理： 定理2 1 5 设s ，是，最为相互独立的复合p o i s s o n 过程， 9 硕士学位论文 第二章预备知识 s = m ( r ) l ， i = 1 ，2 ，k 其中 m ( ，) ，o 相互独立且m ( ，) 是参数为哎的齐次p o i s s o n 过程，对于同一 个f ， 为独立同分布的随机序列( 简记作e ) ，其分布函数为毋( j ，) ，则 t s = 墨 t = l 还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 f n s = 互 i = l k 其中( ，) 是参数为口- - x , z ，的齐次p o i s s o n 过程，且 i i l o ，( z ) = i 1 萎k 口，e ，( z ) 证明n 。的矩母函数 蚝o _ - e e n ：= 耖孚纠山i s 。的矩母函数 胁e e s ：= e 心即例= e ( ，) ) 虬 ；p 4 肛r ，( ，卜1 ) 其中蚝( ，) 为i 的矩母函数由s ；的独立性，得s 的矩母函数 坻( ，) ：兀k 地。( f ) ：a 。8 机加卜1 ) = 唧翰l 圳一t ) j z i j = e x p ( m 1 ) 1 0 硕士学位论文第二章预备知识 其中瑾= 口。，m = 圭口，m ，( f ) ，由唯一性定理知s 是一个复合p o i s s o n 过 i ，l g , 6 j l 程，且进一步有 兄，o ) = 专球，e ，( ：) “- j 1 证毕 ( 二) 更新过程及更新函数 齐次泊松过程是这样的点过程，它的点间间距z ，瓦，相互独立且有相 同的指数分布。如果我们只保留对点问间距的相互独立的要求，而允许它们有 任意的分布，这就很自然的引导出齐次泊松过程的一种推广更新过程。下 面给出这类重要过程的确切定义。 设饵，聆= 1 , 2 ， 是一串相互独立同分布的非负随机变量，它们共同的分布 函数为，( 石) 。如果把瓦看作是一个点过程的第胛一1 个和第疗个点事件之间的时 间间距，则第疗个点事件的发生时间是： 瓯= z 押l f i 再定义s 0 - o ，我们把由 ( ，) = s u p n ：s 。略 定义的计数过程 ( f ) ，t 0 ( 或等价地，与这计数过程相联系的点序列 ，即= 0 ，1 ， ) 称做更新过程。如果点间间距序列五，疋，全有相同的的分 布，这样的更新过程称做普通更新过程；如果正，五，全有相同的分布，但 第一个区间长度正，则有不同的分布g ，这样的过程就称做变形的更新过程或 延迟更新过程。 更新过程称为常返的，如果以概率1 有瓦 - - 0 是任意的随机过程，令厂j = 叮( y o ) ，s f ) ，f 7 = ( 厂j ，t o ) ， 则厂j 是由过程】，在( o ，1 时间段生成的仃一域，表示过程y 直到时刻，的历史 如果对每个t 0 ，r ( t ) 为厂，一可测，那么过程j ，称为，一适应的，显然， r 是f 一适应的当且仅当对于所有的t o ，厂；厂，成立 定义2 2 1 实值过程m = 膨( f ) ，r 0 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的t 0 ，m ( f ) 为厂，一可测； ( 2 ) 对于任意的t 0 ，e li m ( r ) 门 t z ，n n t 是f 一停时 定理2 2 1 ( d o o b 停止定理) 设m = 吖( f ) ，t o 为一右连续的，一鞅， s ，r 为两个停时，则e 肘( r ) i 互 = m ( 丁人s ) p a 且 硕士学位论文 第三章复合p o i s s o n 稀疏过程风险模型 第三章复合p o i s s o np 稀疏过程风险模型 本章把古典风险模型推广到索赔的出现过程是保单到达过程为为p o i s s o n 过 程的p - 稀疏过程的风险模型，本文称之为复合p o i s s o np - 稀疏过程风险模型，对 此模型讨论其有关性质并给出了其破产概率的l u n d b e r g 不等式并与其它一类风险 模型进行比较。 3 1 模型的建立 在经典风险模型中，往往假设保险公司在单位时间内保险费收取率c 为常 数，这一条件与实际情况不一致。在实际中，不同单位时间内收取的保单数往 往不一样，是一个随机变量。本章在文献 5 】司建东建立的风险模型基础上讨论 了该模型的若干性质，得到了该模型的l u n d b e r g 不等式，并与复合p o i s s o n 过程 进行了比较。 3 1 1 定义假设风险模型 r 9 0 ) ，r o ) 如下： “、 r p ( f ) = “+ c m ( r ) 一= “+ s o ) k - i ( 3 1 ) 其中： i m ( f ) 是一个参数为舶珈泌鲫过程，表示( o ，f 】内保险公司收的保单数 c 表示保单的平均保费额； i i ( ，) ) 是 m ( f ) 的p 一稀疏过程，即 ( f ) ) 是强度为p 2 的齐次p o i s s o n 过程。 ( f ) ， z a 相互独立 则( 3 1 1 ) 所定义的过程本文称之为复合p o i s s o np - 稀疏过程风险模型 1 4 硕士学位论文 第三章复合p o i s o n 稀疏过程风险模型 注p 的实际意义如下： 每张保单的持有者可能索赔也可能不索赔，假定每张保单的持有者是否索赔 与其他保单的持有者无关，每张保单的持有者以索赔的概率为p 。假定0 p 且远 小于1 。否则此险种没有经营价值。 由此定义破产时刻为：瓦= i n f t ：r ( t ) o ， t z o 最终破产概率为：甲( “) = p 叫r ( o ) = 甜 3 。2 模型性质 性质3 2 1 赢余过程 r ( ，) ，r 0 具有平稳独立增量。 证明：对任意f o o 是当r 个r 。时有吃( ，) 个+ m 性质3 2 4 对于盈利过程 s ( f ) ，t z o ，存在函数氍f ) ，使得 p 一6 = e t g ， 证明：s ( r ) = c m ( t ) 一s ( r ) p ：e h 嘲m 酬 瑙f 唧( 一卅r 警l m ， = 窆薹e x p ( - r c i ) e e x p ( ，窆薯卜= 恤e x p ( 1 = 1一；z = l ，薯阻( f ) = f l 一( 办) 2 h ii e x p ( ，善薯) 斗川小， 所以，er e 一矗) 】= e x p ( - 2 t ) e x p a t e 一” p h ，( r ) + 1 1 = e t s 7 1 6 硕士学位论文第三章复合p o i s s o n 稀疏过程风险模型 从而g ( r ) = 一五+ 加”【p 吃( r ) + l 】 证毕。 记 一2 + 2 e p h a r ) + q 。o 3 3 主要结果 ( 3 2 ) 定理3 3 1 j l 毛( ，) = e ) 【“一旭( f ) e x p 【留( ，) 】是一f t 8 鞅，其中f 。= 盯( 胄( j ) ；j s f ) 定理3 3 2 对于任意的u 0 。 ) e 一黜 其中r = s u p r i g ( r ) s o , r o 证明：由瓦的定义知其为只5 停时，任选瓦 c o ，则不人瓦为有界停时，根据鞅的性质： e 一“= 蚝( o ) = e 【峨( t o a t 。) i - t o e 【肘。( 毛) i s 瓦】， t o 于是有：e f t , 瓦 p 一“i e m 。( 毛) i 瓦瓦】 5 e 一“e e x p ( 一瓦g ( r ) ) i 瓦t o o 是当r t r 小。时有噬( r ) t + 定理3 4 1 对于盈利过程 s 。( ，) ，r o ，存在函数g ( r ) ，y 吏得e e - s o ) = p 神 证明：s 。( d = c m ( f ) 一s 。( ，) e e 一目。 = e e x p ( 一”吖。，+