（理论物理专业论文）三维无限长柱状系统的有限尺度效应.pdf

致谢 在粒子所的三年里，我得到了许多老师和同学们的帮助和鼓励， 也亲身感受到他们忘我的工作热情以及无私的献身精神在此，我不仅要 对他们的善意和支持表示深深的感谢，而且更应该致以我最崇高的敬意! ! 首先我要真诚地感谢我的导师陈晓松教授，感谢他三年来对我的 教诲和指导和他相处时，陈老师深厚的科研功底，敏锐的眼光总是令我 赞叹不已，使我受益颇深他认真严谨的工作作风更是深深地感染了我， 为我树立了最好的榜样我前进的每一步都有陈老师的指引和推动，我取 得的任何成绩都离不开陈老师的帮助，我会永远感激他为我做的这一切 感谢刘连寿教授对我的关怀和帮助感谢他在陈老师在国外期间 对我的指导和照顾感谢他相识六年来对我的培养和教育还要感谢他为 我们提供了优越的学习环境感谢李家荣老师对我的毕业论文的关心和帮 助 感谢粒子所所有老师的授课、讨论和帮助感谢所有关心和帮助 过我的同学 感谢我的父母多年来对我的学业的理解和支持，我所有的一切都 是他们给予我的，我将以最大的努力去回报他们 摘要 本文讨论了序参量维数n _ + o 。时三维无限长柱状系统的有限尺度效 应，给出了磁化率，比热的标度函数的精确解，并且将它与三维有限大小立 方体系统的结果作对比，从而探讨标度函数随系统的尺度不对称增大的变 化 首先，简单介绍了临界现象的基本常识，连续相变理论的发展过程以 及w i l s o n 重整化群理论 然后，介绍有限尺度效应的研究概况及建立在d ( n ) 对称的场论基础 上的有限尺度效应模型；分别讨论序参量维数n = 1 和n 1 时的求解方法 及有关结果 在第四章里，我们讨论了n _ + 。时，周期性边界条件下d 维正方体系 统的精确解 最后，把上述结果推广到三维无限长柱状系统，得出它的标度函数， 并且与三维正方体系统的结果作对比 在文章的结尾，我们总结了目前的结果，并且对今后可能的发展进行 了展望 关键词：有限尺度效应，d ( n ) 对称场论模型，磁化率，比热，有限尺度 标度函数，无限长柱状系统 3 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ei n v e s t g a t et h ef i n i t e s i z ee f f e c t so f c y l i n d r i cs y s t e mi nt h r e ed i m e n s i o n s i nt h eo r d e rp a r a m e t e rn _ 。l i m i tw eo b t m nt h ee x a c tr e s u l to fs u s c e p t i b i l i t ya n ds p e c i f i c h e a tt h ef i n i t e s i z e s c a l i n gf u n c t i o no ft h e s e t w ot h e r m o d y n a m i cq u a n t i t i e sh a v eb e e n g i v e n t h ec o m p a r i s i o nb e t w e e nt h er e s u l t so fc y l i n d e r i ca n dc u b i cs y s t e m sh a sb e e nd o n e k e y w o r d s ：c r i t i c a lp h e n o m e n a ，f i n i t e - s i z ee f f e c t s ，o ( n ) s y m m e t r i c 矿t h e o r y ，s p e r i c a ll i m i t ， f i n i t e s i z es c a l i n g 4 第一章引言 相变与临界现象是统计物理中一个非常重要的领域自从1 8 6 9 年安德 鲁斯现临界点，1 8 7 3 年范德瓦尔斯提出非理想气体的状态方程至今，对相 变的实验和理论研究已经有一百多年的历史了本世纪以来，随着超导， 超流，液晶等一系列激动人心的重大发现，人们对于相变的兴趣也越来越 大其中，最引人注意的是连续相变及其展现的非常独特的临界特性 连续相变系统是指在相变点热力学势的一阶导数连续而二阶导数发散 的系统相对于一阶导数不连续的一级相变系统，连续相变系统有一些非 常独特的性质例如相变总是与一定的对称性自发破缺相联系；不存在两 相共存态和亚稳态；而最重要的是临界指数及其普适性：当系统趋近于临 界点( 即相变点) 时，热力学势的二阶导数按系统到临界点的距离的幂次发 散，而且发散的指数( 即临界指数) 具有普适性，不依赖于具体的系统 1 为了正确地理解临界现象的本质，几十年来，人们提出了形形色色的 理论除了极少数可精确求解模型的精确解以外，绝大多数理论都属于平 均场近似的范畴其核心思想是将热力学势在临界点附近展开，实质是将 系统在最可几态附近关于涨落作微扰展开事实证明，平均场近似是不成 功的因为它没有抓住临界现象的本质：在临界点附近，涨落是很大的， 而且正是涨落导致了热力学量的发散，从而决定了临界现象的根本特征 1 9 6 6 年，k a d a n o f f 提出标度假定【2 1 ，向正确的方向迈出了第一步1 9 7 1 年， w i l s o n 建立重整化群理论吼从而形成了连续相变的现代理论重整化群理 论令人满意地解释了临界现象许多方面的性质，获得了巨大的成功 4 5 然而，上述工作都是在热力学极限下作出的，因而只适用于无限大系 统所谓热力学极限，就是在保证单位体积内的粒子数目不变的前提下，令 系统的体积和粒子数均趋于无穷大，这样就可以忽略边界的影响，把系统 看作均匀单一的体系，系统中的每一个粒子都处于等同的地位从实验的 角度来说，只要实验的容器远远大于我们所要研究的问题中当系统的体积 有限时，许多从无限大系统的研究中得出的结论应该如何修正，或着说， 连续相变系统的热力学量随系统的体积趋于无穷大时的渐近行为如何? 这 些就是我们要着重介绍的临界点附近的有限尺度效应 最近二十年来，临界点附近的有限尺度效应一直是一个非常活跃的研 究课题1 9 7 2 年，f i s h e r 和b a r b e r 提出唯象的有限尺度标度律 6 】= 对热力学 量a 、可以把它写成约化温度k ( t 一瓦) l 和系统尺度的函数： a ( t ，l ) 工7 ，”尸4 ( 1 ”三) ，l d ，t 一“d 其中n 为晶格常数，r 为无限大系统中a 的临界指数该式成立的条件是关 联长度远远大于晶格常数而与系统的尺度同量级在这个渐近区域里，系 统保留了无限大连续相变系统的主要特点，同时又因为有限大体积的约束 而具有一些新的性质大量的工作，包括数值计算和m o n t ec a r l o 模拟【7 - 1 0 ， 都证实上述形式的标度律是很好地成立的因此，如何从理论上导出该标 度函数及计算标度函数的具体形式就成为理论工作者迫切的任务 原则上，有限尺度效应的理论并未脱离无限大系统的w i l s o n 重整化群 理论的基本框架，只是系统的体积不再可以趋近无穷大，相应的处理方法也 必须修改值得注意的是；如果说，对于无限大系统，平均场论是一种不太 好的近似方法，那么它对于有限大系统贝1 j 完全没有价值原因是由于体积 有限，系统的最可几态对于其它可能态的相对概率不再趋于无穷，相应的 在它附近的展开就失去了意义所以，有限尺度效应的研究必须从标准的 矿场论出发，通过重整化计算僻出热力学量及其标度函数具体的结果依 赖于空间维数和序参量维数，第三章里将依次介绍有关的工作本文中， 我们重点讨论序参量维数趋于无穷的模型的精确锵，严格地解出三维空间 中立方体系统及无限长柱状系统的有限尺度标度函数，并把两者作对比 第二章无限大系统的连续相变理论 相变是自然界非常普遍的物理现象，诸如物质的三态变化，铁磁体的 磁化与退磁等等，人们很早就注意到这些有趣的事实简单地说，相变就是 物质由一种状态转变到另一种状态根据相变点热力学势的行为可以把相 变分类严格地说，凡热力学势的第k 一1 阶以内导数不连续，第k 阶导数 连续的相变称为k 级相变通常又把二级及以上相变叫作连续相变，即可 以简单分类为一级相变与连续相变两太类然而，至今为止，自然界只中只 观察到一级、二级两种相变所以。当人们提到连续相变时。实际上就是指 二级相变。 连续相变的研究始于1 8 6 9 年安德鲁斯对二氧化碳气态和液态两相密度 差的实验观测他发现，当温度等于3 1 。c ，压强为7 3 巴时，气态与液态二氧 化碳的密度差就变成了零当温度继续升高，气态和液态的概念就失去了 意义，实际上，二氧化碳进入了一种新的状态安德鲁斯把这个点叫作临界 点，由于l | 缶界点的存在，物质就可以从气态均匀地过渡到液态，而无需经过 常规的气液相变，反之亦然如图，临界点即对应于气液共存曲线的终点 r 我们知道，常规的气液相变属于一级相变，即热力学势的一阶导数不 连续但是，如果物质沿气液共存曲线通过临界点过渡到气液不分态，所发 生的相变就是二级相变( 连续相变) 由于这个原因，连续相变的相变点也 叫作临界点，与连续相变有关的现象叫作临界现象对于连续相变，热力学 势的一阶导数仍然是连续的，但二阶导数不连续典型的连续相变还有铁 磁相变，超导相变，超流相变以及近年来非常引人注意的液晶态之间的相 变等等相对于一级相变，连续相变要复杂和有趣得多例如，并不存在类 似冰水转化那样的两相共存与分离过程，系统是均匀连续地从一个态过 到渡到另一个态在通过临界点时，整个系统是同时转变为另一个态而不 管系统的体积有多大这些现象意味着连续相变一定和某种长程的关联有 关，是一种整体行为还有，许多事实( 如临界乳光) 说明临界点附近系统 的涨落是非常大的，绝不可以看作微扰那么，应该如何考虑涨落的作用 呢? 这些问题都是正确的连续相变理论必须回答的 2 1 连续相变的实验结果 m 屯_ 薹 u - ， 8 fd t 一。， 0 任 ld ( 一t ) ，t 0 t o f = ( 1 4 ) l 晶( 一t ) ，t 0( 11 1 ) 妒( x ) 与序参量有关，它的物理意义取决于所研究的系统在铁磁体中 m = = 1 。妒i lf v d d x ) 出) e x p 一h i( 1 1 2 ) m 是磁化强度( 单位体积内的磁矩) ，即铁磁系统的序参量后面我们将会看 到，虽然平均场论并不算成功，但是上式所定义的妒t 场论模型却被证明是 一种很好的连续相变的模型，w i l s o n 的重整化群理论也正是建立在它的基 础上在以后各章里，我们将会多次用到它 在最简单的近似下，只考虑几率最大的态，忽略涨落的贡献，即由 等k 。= o 。= b ： g = 一古1 n z = ；r 。9 2 + p 。9 4 一 。l 鬟 x 一 ：二二：二：三 即o = 0 我们可以注意到在上述结论和空间维数无关，显然是无法解释存在着 普适类的事实另外，它所得的热力学函数的图象及临界指数也明显不符 合任一种序参量维数为一的系统的实验结果i n 误差达百分之三、四十， 坞 h 埔 ” 埔 n 租 u u n n 旧 正 瓦 r r 叭 簪 ，_-r、_lli g 热比 | i 7以所 显然根本无法令人满意如果把涨落当作微扰考虑在内，能不能有所改进 呢? 很遗憾，事实证明这样做并不能改变l 临界指数的计算结果，因而没有 什么价值 实际上，临界点附近的涨落是非常大的，以致于使在最可几态附近的展 开毫无意义这就注定了平均场论必然不能准确地描述l 临界现象另外， 热力学量的发散，尤其是关联函数和关联长度的发散暗示了连续相变一定 取决于长程的关联因此，能不能正确描述这种长程关联的作用将是理论 成功与否的关键 2 3 标度假定与重整化群理论 当系统趋近临界点时，关联长度趋于无穷大这时，原则上每一个粒子 的行为都同系统其它所有粒子相关，系统表现的是一种全体粒子的集体行 为相应地，与品格点阵的构造，粒子间相互作用的具体形式等有关的尺度 有限的效应全部被抹掉，任何自然尺度都不存在这是连续相变的本质特 征，任何正确的描述连续相变的理论都应该从它入手 1 9 6 5 年，w i d o m 首先指出 1 2 】，在临界点附近，随着系统与临界点距离 发生改变，热力学函数将改变它们的尺度，但不改变它们的函数形式，利 用严格的数学语吉即t 热力学函数是系统到临界点距离的齐次函数这就 是著名的标度假定，它形成了临界现象全部理论的基石随后，k a d a n o f f 从 微观上阐述了标度假定的物理实质 2 以 s l a g 模型为例，当关联长度增大 时，我们可以重新标度点阵中相互作用的单位也就是说，原来我们用相 互作用的格点来描述点阵，现在改用有相互作用的块体作为系统的基本单 位取几个格点组成一个块体，求出它的平均自旋，然后用块体作为单位来 描述系统，构造系统的热力学函数这个过程叫作标度变换当系统趋近 临界点时，关联长度越来越大，相应地我们把块体也取得越来越大，以保 证热力学函数的形式不变当系统到达临界点时，关联长度变成无穷大， 块体亦可以取任意大，换句话说，临界点正好对应标度变换的不变点 在此基础上，1 9 7 2 年，w i l s o n 建立了重整化群理论 3 重整化群理论 不仅给出了计算临界指数和热力学函数的严格方法，而且准确地说明了酱 适类的存在及其与空间维数，序参量维数的关系理论的预言与实验结果 1 3 精确到小数点后第二位，而且能够非常令人满意地描述连续相交的许多细 节，取得了非凡的成功 4 5 】下面我们就来详细地介绍重整化群理论的基 本思想 重整化群实质上就是标度假定严格的数学表述我们知道，标度假定 的核心思想是用重新标度过的量来描述系统而保证标度变换前后的热力学 函数形式不变对于i s i n g 模型，我们用块体取代格点作为基本单位，因此， 表征相互作用强弱的共轭常数k 及外场强度h 也必须做相应的变换才能保 证热力学函数( 这里指哈密顿量) 的形式不变由此可以求出对于k 及h 的 标度变换的数学表达式由于块的大小及结构并不是唯一的，标度变换也 就有许多方案，所有的标度变换的集合叫做重整化群需要指出的是，因 为块的不同取法可能得出相同的标度变换，重整化群实际上不是群而是半 群很明显，临界点应该对应标度变换的不变点，余下的问题就是使用数学 方法来找出它现在我们以l s i n g 模型为例，简单地介绍它的基本思路。由 z ( s 。 ) = e x p - h ( ， ，协) ) 】 ( 12 0 ) ，。) 出发，改用块体变量s t ，s 2 ，来描述系统。设每个块体中包含n 个格 点，即m = i v n 得 z ( 慨州) = e x p _ h7 ( ，h ，地， c ，慨一 s f f j = z ( s ，】)( 12 1 ) 其中一，是标志第1 个块体内部自由度的变量。很明显，每个由 s ，一，) 标志 的状态与由 s d 标志的状态是一一对应的我们所要做的就是找出c ，h 。 与k ，h 的关系由( 2 2 0 ) 和( 22 1 ) 式可知 e x p 【h ( ， ，) 】：e x p h ( k l ，h ， 8 i ，一川 ( 12 2 ) t o f j 将对a ，的求和作出即可得h 的表达式，进而求出形如 k = ，( k ， )( 1 2 z ) h r = g ( ，h )( 1 2 4 ) 1 4 的函数关系这就是我们要求的标度变换，而它的不变点即方程组 z = ，( ，掣) y = 9 ( z ，y ) 的解由于块体之间也存在耦合，求解标度变换过程中必须取近似，相应结 果的精度也依赖于近似方法的优劣利用标度假定，进一步可以计算临界 指数，标度函数及有关的物理量f 13 1 重整化群的计算可以象上面所讲的在坐标空间里进行，也可以在动量 空间里作出还可以不考虑实际空间的晶体构型而从前面提到的抽象的妒。 场论模型出发事实上，由于后者的数学方法十分成熟，重整化群理论的大 部分工作都利用它做出的【4 ，5 ，1 3 ，14 1 5 第三章d ( 仇) 对称妒t 模型的有限尺度效应 我们知道，统计力学的基本理论是建立在热力学极限下的，即在单位 体积内的粒子数保持不变的同时，令系统的体积和粒子数都趋于无穷大， 从而消除了边界的影响，使人们得以集中精力研究均匀系统的物理规律 对于普通的热力学系统，只要系统的体积足够大，对于远离边界的区域， 就可以忽略边界的影响，从而把它看作无限大系统来研究然而，对于连 续相变，我们知道它最熏要的特征是接近临界点时关联长度趋于无穷大， 即空间上相距无穷远的两点之问依然存在关联，因此原则上说，只要系统 的体积有限，就没有办法忽略边界的影响；同时，在体积有限的系统内，关 联长度事实上并不能真正趋于无穷大，所以，从对无限大系统的研究中得 出的结论是否仍然成立很值得怀疑 近二十年来，有限尺度效应逐渐发展成为一个非常活跃的研究课题 它有力地加深了人们对于连续相变的本质及其细节的理解 3 1 妒4 场论模型的有限尺度效应 有限尺度效应研究的并非任意的有限大小的系统，面是处于临界点附 近一个特殊区域的系统这个区域是指t 关联长度f 远远大于晶格常数n 而 与系统的尺度l 处于同一量级上严格地表述即： f t ”，l a ，一 【丁一t o ) t 。为约化温度，也就是系统与l 临界点的距离在这个区域里。 一方面系统的基本性质依然取决于长程关联，与具体的模型参数( 晶格常 1 7 数，相互作用的具体形式) 无关；另一方面，由于关联长度不能超过系统的 尺度，因而热力学势的二阶导数( 磁化率，比热，) 也并不会真正发散，而是 呈现为有限大的尖峰当然，随着系统的体积趋于无穷大，尖峰也应该逐渐 过渡到真正的发散奇点可见，有限尺度效应研究的是这样的系统，它保留 了( 无限大系统) 连续相变的基本特征同时又因为有限大体积的约束而具有 一些新的性质 如果系统距离临界点更远一些，即 l ，那么系统就感受不到边界的 约束作用，相应的它的性质就和无限大系统没有区别了如果系统距离临 界点更近一些，即f l ，那么，边界的影响就非常大，以致于不再可能出现 长程关联，相应的系统就不复具有连续相变的基本特征，这时系统的个性 ( 即晶格常数，相互作用形式) 就非常突出；系统内部粒子与边界粒子的相互 作用也必须考虑，因此，这些模型就失去了普遍的意义雨退化成具体的数 学问题 1 9 7 1 年，m f i s h e r 提出唯象的有限尺度标度律吼即在有限系统里，对 于热力学量a ，有 。l r p j d ( t v l ) ，。t u q ，l o 其中r 和r 分别为无限大系统中且和关联长度的临界指数在此之后，许 多基于数值计算和m o n t e - c a r l o 模拟的工作都证明了上述标度律的正确性， 因此，从理论上推导它就非常重要 现在我们来看平均场近似它的核，5 - 思想是在 日= d d x ：r 。妒( x ) 2 + i 1 ( v 妒( x ) ) 2 + 一。妒( x ) 4 】 中用最可几值争代替妒即 等k ，= 。 宙= 。d d x ；r 。庐2 + ；1 e v 妒，2 + p 。乒4 ( 31 ) ( 32 ) ( 3 3 ) 我们知道，这样做的前提是9 对系统行为的贡献是主要部分，而其它可能 的妒( x ) ( 即涨落) 的贡献可以忽略不计每一种可能的妒( x ) 对配分函数的贡 1 8 献为： e x n 【一x 【；r 。一c x ，2 + j it v 妒c x ，2 + 一。妒c x ，4 ， 所以，取 _ p ( x ) = 乒+ d 妒 其中6 妒为与x 无关的常数则 6 h = h 一厅等k 羽= v ( r a + 4 # o 耶 而它与庐的贡献的相对概率为 尸= e 一6 ( 3 , 4 ) ( 3 5 ) 显然，当体积趋于无穷时，p - 十0 ，即_ p ( x ) 的贡献的相对于庐而言可以忽略 不计这就是对于无限大系统，平均场近似还能取得一定程度上的成功的 原因但是，如果系统的体积有限，我们就总可以找到一些研x ) ，它的贡献 并不比庐小多少，因此是绝不能忽略的，并且也不能看作微扰所以，对于 有限大系统，平均场近似就失去了意义另外，注意到上一章介绍的平均场 理论的求鬃过程中根本就没有牵涉到系统的体积y ，也就是说，平均场近似 不区分无限大系统和有限系统，它不能用来描述有限尺度效应有限尺度 效应的研究必须从严格的重整化群理论出发 3 2 o ( n ) 对称妒4 模型基础 同无限大系统一样，我们来看o ( n ) 对称的标量场模型 h = l y n x ：r o 妒2 + ；耋c v 妒，2 + “。c 妒2 ，2 其中妒：壹_ p ：讨论周期性边界条件，d 维正方体系统，即y p ( x ) = 工“妒k e “。 有 且 其中k = ( 上1 ，七2 ，n ) ，b = 2 ”m f f l ，q = o ，= t l ，士2 ，歹= 1 ，2 ，d ，一asq 墨 a ，a 为有限的切断所以 饥2 上“d x e 。1 妒( x ) ( 39 ) 将( 3 8 ) 代入( 3 7 ) 得 h = 工_ d ；( t o + k 2 ) 一k + 舢l - 3 。( k 一) ( 坩妒- k - k - k ) ( 3 l o ) 由统计力学知识，系统的配分函数为。 z = d o e x p ( 一日) ( 31 1 ) 单位体积单位分量的g i b b s 自由能为 g 。一赤i n z ( 31 2 ) 关联函数 x = ；上以 ( 3 1 3 ) 其中 = j if d _ p 妒( x ) _ p ( o ) e x p ( 一日)( 31 4 ) 计算出x ，即可进一步讨论它的标度律及标度函数由于序参量维数和空间 维数的不同，求解的方法和结果也各不相同绝大多数情况下，必须采用微 扰近似，计算到一圈或两圈图的水平才能得到有意义的结果 3 3 序参量为标量的系统 首先，我们来看最简单的情况，即序参量维数n = i 的系统根据上一 节的知识，我们有： 日= 工脚。【；r o 妒2 + 妒1 轷协妒4 】 妒( x ) = “。 2 0 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 其中求和对分立的k 进行t 乜= 2 1 r m ，l ，m 。：o ，4 - 1 ，土2 ，f - 1 ，2 ，2 ，d x = 上以 = 刍d d x d 9 o ( 咖( o ) e x p ( 一h ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 现在我们来设法求解这个问题：基本思想是将妒( x ) 分成零模部分与非 零模部分 1 5 1 6 ，进而将啥密顿分为未扰部分和微扰部分定义 其中 为零模部分 是非零模部分，相应地 _ p ( x ) = m + 口( x ) 西= l 一4 妒。= l 一。d 。x _ p ( x ) 一( x ) = l “帆e “。 h = h o + h ( 西，口) h o ( r o ，p 。，l ，中2 ) i ( j 1 r 0 西2 + p 。中4 ) 因此，可以改写配分函数为 其中 z ：，。肿。x p 卜( h o + ) j o 。 f = - i n f d o e x p 一日( 中， 包含了非零模的贡献 如何进行微扰计算有不同的方法，其中之一【1 5 一l s 是令 h = h a 七h 2 打1 = d 4 x r 1 。a 2 + ；( v a ) 1 3 ( 3 2 0 ) ( 32 1 ) ( 32 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 32 5 ) ( 32 6 ) ( 32 7 ) ( 3 2 8 ) h z h p 一 舭 d =， g = z 符2 = d d x 4 # o 蛋盯3 + p o 旷4 i o3 ”o + 1 2 ；o 中2 ( 32 9 ) ( 3 3 0 ) 当面 0 ，即温度低于临界温度时，对于足够小的k 以致圣2 一t o ( 1 2 s z o ) 时， 即有i o + k 。 1 时，系统显示出一些不同于一维的性质，而且计算 的方法必须修改 众所周知，对于无限大系统，如果n 1 ，当温度低于临界温度时，零质 量的g o l d s t o n e 模的凝聚决定了系统的长程性质，也就决定了相变的主要特 征1 2 1 ，2 2 而对于有限系统。g o l d s t o n e 模会获得一个有限的小质量 1 5 】关 于这个阅题的讨论很多【1 5 ，2 3 - 2 5 f 2 6 】中证明了以前研究n = 1 系统的有效 哈密顿量 1 9 】是不能直接外推到n 1 的系统原因是低于临界温度时，体 积趋于无穷的极限下纵向零质量g o l d s t o n e 模的涨落会导致表观的红外奇点 33妒 瞎 0+p+ 啊 n 啪 1 2 | l妒 o r 上乎水图 圈一在 出现，从而使理论的近似方法失效在( 2 7 】中，陈骁松，v d o h m 和a 。e s s 。 提出了一种新方法，利用它可以定量地计算出o ( n ) 对称的模型的有限尺 度标度函数 这种方法的核心思想是设法把纵向模的涨落同横向模的涨落分开处 理： 记妒( x ) = ( p ( x ) ，妒：( x ) ，( x ) ) 为一n 元标量场，体积y = 矿周期性边 界条件下： 日= a d x i 1r o 妒2 + ；( v 妒) 2 + 一。妒4 ( 3 3 6 ) 其中 妒2 = 妒：( 33 7 ) 矿= ( 妒2 ) 2f 3 3 8 ) 且 妒( x ) = l - d m e i k x ( 3 3 9 ) 把妒( x ) 分为 妒( x ) = 中+ 口( x ) ( 3 4 0 ) 其中 m = l - d _ p o = l “d d l 妒( x )( 3 4 a ) 口( x ) = l “仇e i k x ( 3 4 2 ) k 0 进一步分一( x ) 为 矿( x ) = a 上( x ) + 叼( x ) ( 3 4 3 ) a t ( x ) 为纵向模( 平行予西) ，叼( x ) 为横向模( 垂直于m ) 相应地分哈密顿为 h = b ( 圣2 ) + h 。 f 3 4 4 ) h = h ( 垂2 ，口l ) + 日f ( 西2 ，叼) + h 2 ( 西，盯l ，即，)( 34 5 ) 其中 h o ( 西2 ) = 上4 ( ；r o 西2 + 肿t ) ( 3 a 6 ) 、z， 、 2 3 h ( 圣2 ，一。) = ；d d x ( r o + 1 2 p 。蚤2 ) 一2 + ( v 一。) 2 日j ( 中2 ，一r ) = ；f d d x ( t o + 4 p o q - 2 ) 一 + ( v r ) 2 日：( 西，一c ，) = fd d x 【a 一。圣一t a 2 + 一。一4 然后计算配分函数 先作一。和一r 的泛函积分得 其中 定义非负参数 z = d 妒e x p ( 一日) z = d r l 垂e x p 卜日。( 币2 ) 一r ( 圣2 ) 一t n 。，。叼e x ”c 一日7 ， r o l = r 。+ 1 2 p o m ； r o t2 f o + 4 9 0 m 0 f 34 7 1 f 34 8 1 ( 34 9 ) ( 3 5 0 ) ( 35 1 ) f 35 2 1 ( 35 3 ) ( 35 4 ) 其中 m ；= 。= 1 d n l f f p 2 e x p 一。( 西2 ) ( 35 5 ) 玩= 扩圣e x p 一h o ( f f 2 ) ( 3 5 6 ) 且 h t = 一x 孙。畦+ ( v 一。) 2 j rr o t e r + ( v 卵) 2 ( 3 朋) 为了消除奇异性，可以对叼的泛函积分留到最后，而先考虑对面和一。的 积分 首先，用微扰方法作对o l 的泛函积分，取h - ( 埘，一c ) 为未扰部分且 h ( 中2 ，a c ) = h ( 圣2 ，一c ) 一h l m ；，一z ) = f d d x 6 p 。( 西2 一 船) 畦 ( 35 8 ) 作微扰部分一级近似下有 z = 。卵d n 圣e x p 一凰( 西2 ) 一日 ( 圣2 ，呀) 一n ( 壬2 ) 一r 一2 ，叼) ( 3 2 4 其中 其中 ；l 一8 l n ( r 0 l + k 2 ) + 6 p 。( 垂2 一增) s 。( 吼) k 0 3 6 p 3 ( 西2 一 蹭) s 2 ( r 。l ) + o ( u o ，p 3 圣2 ，p 3 ( 垂2 一m g ) 3 )( 3 6 0 ) s m ( r ) = l “( r + k 2 ) 一 r 代表高阶项 然后定义纵向零模有效哈密顿量为 其中参数为 得出 口o ( 币2 ) + f l ( 西2 ) = 蛳7 ( 西2 ) + r l ( o ) h ；7 7 ( 西2 ) = 4 ( i 1 r e 0 7 7 西2 + ；7 7 圣4 ) r ：”= r o + 1 2 # o s l ( r o l ) + 1 4 4 p i 墙s 2 ( r o l ) p f 7 = p ：一3 6 p o s 2 ( r o ) ( 36 1 ) ( 36 2 ) ( 3 6 3 ) ( 3 6 4 ) f 36 5 1 z = e _ r 胛嘶扩西e x 一 卅，( 妇一h t ( 酽卵) 一即2 ，训 ( 3 6 6 ) 然后作对西的积分，将田+ r 作为微扰定义 将 嵋，= 2 如果，= ，由、i 1 = ) 我们得到 ，。= 一4 肌k 。 为r 讨论有限尺度效应，将k = ( j 项分出来是必要的 = f 。+ 。| l h n l l , - d 、+ 讪h 1 p 。( 、_ 1 + k ! k ( ) 最后我们来研究临界点附近单位分量单位体积的比热。定义 ，“，0 1 2 a 2 。2 。i 矛92 “；碡9 等、! 十警三盯1 憎， 一” 得 篮 j = 和 故 由 ! 有限尺度标度律 现在我们来探讨这些热力学蹙可能的标度律。叭( z t2 ： ) 出发，首先，将 热力学量中对应于无限大系统的背景部分和有限尺度效应的部分分开。然 后，在固定的n 一= 。f 下令、一x 。最后，吲定、t f ：取大l 和大、的 极限，丢掉低次项即可以得到相应的标度律。 其中 其中 且 矗= h “+ 蛾 【k = ( x “+ k 2 ) 】。1( 42 7 ) 在固