（概率论与数理统计专业论文）一类与sierpinski地毯相关的拟可迁图上的渗流模型.pdf

摘要 渗流模型首先是被b r o a d b e n t s r 和h a m m e r s l y j m 在1 9 5 7 年所提出，这 一统计物理模型的建立大大扩充了概率的研究领域并且还为此模型提供了严格的数 学根据 在第章中，我们首先简单回顾了几类渗流模型的研究现状，如对平移不变格 点图上的经典渗流模型和非整数维的物理系统及描述分数维几何形状的分形格点 上的渗流，本文所考虑的是与分形格点s i e r p i f i s k i 地毯相关的拟可迁图g 警上的渗 流，于是介绍了一下s i e r p i f i s k i 地毯的定义形式及g 擘的定义形式；然后陈述了本 文的研究构想；另外，在这一章里我们还给出了本文所需要用到的一些基本定义和 基本引理 在第二章中，我们结合利用渗流中的键盘理论、平方根技巧，r s w 引理、 a c c f r 引理的技巧和高等概率的测度论，研究探讨了与分形格点s i e r p i f i s k i 地毯 有关的拟可迁图睇上的渗流临界概率点的连续性，当p p c 时，存在无穷开串的 唯性及当p o ) 一篡 而任一图上的渗流模型又与该图的结构紧密联系，文献 2 l 中关于在z d 上渗流的 概述及文献【3 1 中关于超出格点上的渗流的研究都说明了这一点 本文主要考虑的是与分形格点图有关的拟可迁图上的渗流分形格点图具有自 相似性，但是不具有平移不变性，文献 4 - 8 1 利用其自相似性研究得到了分形格点 上渗流的一些成果 在删上的一般s i e r p i f i s k i 地毯格是如下定义的；设工( 2 ) 为整数，定义 t l = o ，i ，2 ，- ，l 一1 ) d ， 如妇) ：【o i l l d 一k 。l ，i 。+ 1 l ，v ( i l ，如，i d ) t l ， 霍“。甑 ) 是仿射映射而对任意的非空子集tc 死，由拓扑学理论可知在【0 ，1 】d 中存在唯一的非空紧子集g r 。且满足 坼= u 吼( 坼) ， g e t 则称这些经过仿射映射后的胁的并是d 维的g r 的般化的s i e r p i f i s k i 地毯格 通常所考虑的s i e r p i f s k i 地毯( c a r p e t ) 和海绵( g a s k e t ) 是一般化的s i e r p h l s k i 地毯 格在d = 2 时分别取l = 3 ，t ；t 3 “l ，1 ) ，和l = 2 。t = t 2 ( 1 ，1 ) 的情况 如下定义相应于k t 的格点分形图令t 砰= 【o ，l 】d 砰= u 皿ko 皿k 一。o o 皿h ( 【o ，1 】4 ) ， t i ，虹，k e t 尉s r l = u 奶( 琊) ，由文献【9 1 可知此时j 白= n 研令图g 孚= ( v ，e ) ，相 应的顶点集v = z 。n l ”k 孕，边集e = “t ，口) ：t ，口k i i h t 叫i = 1 此处的l 表示欧几里得范数，本文中，由( 0 ，0 ) t 的假设、g 孕cg 矿1 及k t 的连通性可 得。g 竿与g t ：= ug 孚连通g t 如图( 1 ) 所示， n = l 再取从z d 到别的反射映射1 ，如，且满足： l ( ，j ) = ( 一i ，j ) ，也( ，j ) = ( i ，o ) ，( i ，j ) z 2 令 岛= g r u - ( 岛) u 庐z ( g z ) u 曲t 。也( g z ) 则岛就是一般化的s i e r p i f i s k i 地毯格 在此。令 并：= u u + g ；) i ，z d 由于岛所构成的格点虽然不具备平移不变性，但是具有拟可迁性我们称图具 有拟可迁性。存在顶点集v 的一个有限分划v l ，v 2 ，使得对于任意的 i 1 ，2 ，耐和任意的u ，口，存在图的一个自同构映射，使得，( t ) = t ， 3 图1 d = 2 ，t = t a ( 1 ，1 ) 时的g t 再定义g t 和s ，的对偶图g 备和品g 和s 簪的顶点分别为g t 和s r 每个 面的中心点所构成的集合，并且g 警( s ) 的边是在g r ( s 壬) 中有一条公共边的面 的中心点的连线，对于g t ( s r ) 中的每条边e ，g ；( s ；) 中存在唯一的边e 与 之相交，并且通常指定若e 边开( 闭) ，则e 边开( 闭) 定义模型的连通函数如下； 玎【p ( z ，y ) = p p ( z 一，) ，vz ，y t 令 p 。( 刁= 讯， p 1 0 ，1 】；o ( p ) o ， 其中t = 岛，睇，曲，岛，品或掣 定理1 1 m ( 1 ) 若p p o ( s r ) ，则存在唯一的无穷开串a 8 ( 2 ) 若p ( g 。) ，则i n 玛( z ，y ) 0 ， z ，”蛳 ( 3 ) 若p 1 一乳( 睇) ，则，( 。，f ) 随着l z y i o o 而指数衰减 注记1 1 在文献【7 中，k u m a g a i 按一般的方法构造了s i e r p i f i s k i 地毯格，但仅考 4 虑在g r 上的，且由拓扑学理论存在唯一的闭子集f - a ，使得 e r = u 讥j ( e ) ( i j ) e t 并假设t 满足以下三个条件t 1 连通性e 连通 2 对称性t 若( i ，j ) t 。则o ，i ) 和( i ，l j 一1 ) 都在t 里 3 边界包含性 ( o ，j ) ：0 sj l l ct 文献【7 】中已证得由t 生成的s i e r p i f i s k i 地毯格在 l i m s u p i 厶( 3 l ，1 ) 】 1 = 争l i m s u p p p a n ( 3 l ，2 ) 】 1 n+t卜 的条件下，在g t 上临界概率的唯一性，但对于t = 0 ，1 ，2 ) 2 “1 ，1 ) 时，在 s i e r p i f i s k i 地毯格g t 和岛上是否满足此条件还没被证实此处的a 。( ，d 表 示在g k ( ，) g 。( ，) =uu 【g 竿+ ( i 驴，j 驴) 】， 七，( 1 ) z o 曼sk - - 1 0 5 j s t - 1 中存在一条从左到右的开路，后有提及 定理1 1 的证明为得出下面的定理1 2 做了准备 定理1 2 ( 1 ) m ( s t ) = p 。( c r ) = 1 一乳( 品) ( 2 ) 在s t 中，渗流概率函数0 ( p ) = ( 0 一o o ) 在临界概率点仇( 曲) 是连续的 结合本定理与文献 1 1 】中的结论，即可得出，在g ；中，v p ( 0 ，1 ) ，对于开 串的数目这个随机变量而言，中一心极限定理成立 1 2 本文的主要结论 在本文中，将利用渗流中的促进理论并结合平方根技巧、r s w 引理，a c c f r 引理及其证明技巧和高等概率的测度论来进行研究 具体来说，在第二章中，首先将证明定理1 ( 关于渗流l f 缶界概率的个严格不等 式) 5 定理1 p c ( z d ) p c ( 岛) p c ( s 矿1 ) 九( 岛) 时，有唯一的无穷开串a - s ( 3 ) p c ( 岛) + 群( 毋) = 1 定理3 对岛及其对偶图s 罗上的边渗流模型，我们还有以下关于临界点的极限性 质t ( 1 ) ，墨器p ：( 岛) 2 磋( 岛) ；( 2 ) 墨恐乳( 岛) 。p o ( s t ) 此问题的证嚷，即说明具有不同的等周维数的图可有相同的临界概率点( 已知 岛的等周维数是2 ，s 的等周维数是3 2 ) ，且有p c ( 岛) + 虻( 岛) = 1 1 3 预备知识 为了行文方便，先介绍本论文将要涉及的些基本引理、公式和定理 引理1 3 ( r s w 引理) 对v n 1 ，k i ，f 芝i ，令 瓯( 七，z ) = uu 懈+ 3 ，i ( ，j ) l o t 曼七一1o _ j t - i 原点位于( k ( 后，f ) 的左下角，4 ；( 七，) 表示在( ( 七，z ) 中存在从左到右的开路， k ( ，1 ) 表示在g 。( ，) 中存在从上到下的开路，a ：( ，z ) 表示在g k ( ，d 的对偶 图中存在从左到右的闭路，磁( ，) 表示在g k ( k ，f ) 的对偶图中存在从上到下的闭 路，g 表示在g 孕中有从左到右的开路，风表示在睇中有从上到下的开路， g 是如上定义在相应对偶图上的存在从左到右的闭路，d ：是如上定义在相应对 偶图上的存在从上到下的闭路，于是有 a 。( 女，d 。= 曰：( 七，) ，( 七，0 。= a ：( 膏，f ) 给定0 o l 1 6 ( i ) 若p p ( a ( 2 ，2 ) ) a ，剜存在一严格增的连续函数 ，七3 ，满足 ( o ) = o ， ( 1 ) = 1 ，且p p ( 砧( 七，2 ) ) ( d ) ( j i ) 给定0 p p c 时，有l i mp p ( 厶( 2 ，2 ) ) = 1 注记1 2 。此引理的证明参见( 文献l o ) ，此处的上角标( ，) 表示对原图和其对偶 图上均适用 引理1 4 ( a c c f r 引理) 取c = ( 七+ 1 ) 一，若对某a ( 0 ，1 ) ，有( a 。( 驴厶妒- 1 l ) ) 1 一c a ，则( 如( 驴+ 1 l ，k n l ) ) 1 一c p 推论1 5 若( a 。( k n l ，驴一1 l ) ) 21 - c a ，则( a ( 驴+ 仇厶护+ 一1 l ) ) 21 - c 矿 v m 0 引理1 6 ( b o r e l - c a n t e l l i 引理【1 7 j ) 设( n ，p ) 是一个测度空间。 。：ne ) c ，。 若p ( a 。) 0 0 ，剜 a 。，i o = “，：u a 。中的无穷个， n ) ，显然有 n = l ( a n ，i o = nua k ，则有p ( nua k ) = p ( a 。，i o ) = 0 n = l k - - n l = n 定理1 7 ( k o l m o g o r o v0 - 1 律m ) 若考察量及丢妻( k o o ) 的口代 数，丁一n 瓦为 五。：n 的尾代数，则任一独立的随机序列 j 0 ：n ) 的尾事件的概率为0 或1 定理1 8 ( f k g 不等式【1 6 1 ) 若x 和y 均是增的随机变量，且有e p ( x 2 ) 自，则 x ( 霉) ：z 舢和 x ( z ) ：z 研独立，就称随机变量族 x ( z ) ：z z d 是相关的 8 第二章定理的证明 2 1 定理1 的证明 首先利用促进理论来证明定理1 证明t 由渗流的促进理论，引入另个参数8 ，表示在某图g = ( v ，e ) 的基础上添加 边集f ，添加的边集每条边开的概率为8 ，闭的概率为l s 这里令 a = 0 ，8 ) ：口( p ，8 ) = o ) 原图的l i 缶界概率记为p c ，新图的临界概率记为绣，显然有p c = 醒，则必存在条临 界曲线，将( p ，8 ) 空间分成8 ( p ，8 ) = 0 和o ( v ，8 ) 0 两个区域，如图( 2 ) 图2 ( p ，s ) 一s p a c e 在此记日( n ) 为个中心在原点，边长为2 n 的盒子，事件q k = o a h ( n ) ) 渗流概率函数以( p ，8 ) = ，( q k ) 于是由r u s s o 公式可得t 岳靠( p ，s ) = 。( e 是q n 的关键边) ， 。 e 6 e 岳如p ，8 ) = ( ，是q 。的关键边) ， ，f 9 又因为v e e ，v ，( e ) f ，e ，f ( e ) 是共顶点最邻近的边，仅这两条边的状态不同， 但均能使得q 。发生，即e 开( 闭) ，f ( e ) 闭( 开) ，于是对应着两个组态u ，一，这样 就有 坠堂： 垦：盟 ( e ) = 1 ) 峨( x ( ，( e ) ) = 0 ) 或 监! 幽：坠塑： p a x ( e ) = o )e 僻( ，( e ) ) = 1 ) 即有。扣) = r 笔t l ( “，) si _ 笔p p 。( u ，) 或p p ，p ) = 旦孑。( ) 眸，。( u ) ， 所以只要取1 = m i i l 弘s ，1 一鼽1 一s ，就有7 ，。( “，) 兰，s p ) 三，a ( 即可推得p 如( e 是q 。的关键边) h ( v ，s ) ，。( ，( e ) 是q 。的关键边) ， 此 时的h ( p ，8 ) 是( 0 ，1 ) 2 上的连续函数 品( p ，s ) ( p , s ) 。e 。p p 一，( e ) 是q 。的关键边) d ( p ，s ) 玮。( ，是q 。的关键边) f e f s d ( p ，s ) 未靠( p ，s ) ， ( 2 1 ) 如图在p ，s ) s 脚e 上，存在i 缶界曲线f ( p ，s ) = 0 ，且可设定f ( p ，s ) = 0 是满足在 目( p ，s ) 。时f ( p ，s ) = 口( p ，8 ) 的连续可微函数，该曲线的梯度为v f = ( 面o f ，石o f ) 由( 2 1 ) 在n o o 时， v 呻1 ) = o 挑f 一 岍) 筹 因此 南丽o f 一( o 叩f o 。f 。) 2 + 1 ) 蒜 雨可否i 2 i 叩a s + 1 j 4 2 了磊彳菱亏乒i 彳 对于充分小的e 0 ，我们在k 1 一e 1 2 上总可以找到j ( 0 ) 使得( p ，8 ) 五再令 1 0 t a a , p = 6 1 ，妒【0 ，7 r 2 ) v ( p ，s ) 忙，1 一司2 ， v 艮( 嘲砒一血妒) 一等删妒一警8 i n 妒 s 芸孟妒4 s i n 炉o 于是总可以找到一曲线l ：s = l ，满足以下三点 ( 1 ) 曲线s = l ( p ) 随p 的增大而减小 ( 2 ) a ( p ，s ) 随p 的增大而非增 ( 3 ) ve 0 ，曲线与直线p = p c 一相交 则有 掣= o e 却( p , 8 - _ - - a + 面d s 掣 0 ，存在，( 0 ，而 定，于是有 砖 一 p c 同时又已知道 s tc 蹬1c 睇cz 2 c 所以不等式( 1 1 ) 成立 2 2 定理2 的证明 接着来考虑在d = 2 ，l = 3 ，t = o ，1 ，2 ) 2 ( 1 ，1 ) 时，固定n ，路上渗流模 型的几个基本问题，即定理2 当然，也是在文献【7 】中k u m a g a i 给出的条件 l i m s u p p p ( a n ( 3 l ，1 ) ) p c ( g 1 ) ，则l i m ( a 。( 1 ，1 ) ) = 1 且总存在常数c 0 ，0 口 1 使得 ( 4 。( 3 ，1 ) ) 1 一d 铲” ( 3 ) 若p 0 ，0 0 ，使得屹( a 。( 2 ，2 ) ) 1 一e o 即p p ( a ：。( 2 ，2 ) ) eo 由r s w 引理( i ) 得( a 裂( k ，2 ) ) ( a ) 再由对称性，平 方根技巧及f k g 不等式得 在( 毛一2 ( 6 ，2 ) + ( 一妒- 。，2 3 ，1 4 ) 中，存在 一 l 连接洞【一2 3 - i ，一3 n 一- 】3 - - i , 2 3 - - i l ( 1 一l 一，6 ( 屹( l ：一2 ( 2 ，2 ) ) ) 2 - q 洞【3 ”1 ，2 3 n - 1 】2 的闭的对偶路 1 2 则有 p p ( 在协& f 幻i - 3 - 唧, 3 焉篇黧) ( 1 一乒丽而厕) 8 i p 【_ 3 ，i 一，3 ，i 一2 】2 的对偶闭环路2r v ”趴。、- 2 7 7 因此若l i r a s u p p p ( 代( 2 ，2 ) ) = l i r a s u p ( 1 一p p ( a ( 2 ，2 ) ) ) 0 ， 则由b o r e l - c a n t e u i 引理得，我们依概率几乎处处能找到无限多个不交的对偶闭环 路包围原点，从而在s r 中就不存在无穷开串，也就意味着p p c ( s r ) ，矛盾 ( 2 ) 若p p c ( g r ) ，对于充分大的n 1 ，在岛n g 孚中依概率几乎处处存在无穷 开串，这开串将避开中一l - 洞p ，2 3 ，i 】2 穿出g 矿1 因此它必包含穿过g 芋+ ( 扩，0 ) 的左右开路或穿过g 警+ ( 0 ，3 ，i ) 的上下开路由对称性，平方根技巧，我们可得 l i m op p ( a ( 1 ，1 ) ) = 1 再由对称性和f k g 不等式，我们有p p ( 。( 9 ，1 ) ) 2 聪( a l ( 3 ，1 ) ) ，由独立性，我们有 p p ( a 件l ( 3 ，1 ) ) 2 妒( ( 厶( 9 ，1 ) ) ) 妒( 畔( 厶( 3 ，1 ) ) ) ， 这里妒( 妨= 1 一( 1 一z ) 2 若对于某一口( 0 ，1 ) ，有1 5 2 p ( 厶( 3 ，1 ) ) 0 ，则由引理2 2 ( i ) 得 。 。j i m 。p p , ( a n ( 2 ，2 ) ) 21 而v p 0 ，3 n o ，当n n o 时，有b ( 厶) 1 一印 如此就有。l i r a 。p ，( a ( 2 ，2 ) ) 1 又由连续性得规p k ( n ( 2 ，2 ) ) p c ( 岛) 时，由引理( 2 2 ) 得l i m ( 月。( 2 ，2 ) ) = 1 若依 概率有多于一条的无穷开串a s ，那么就依概率必存在一条无穷闭串将不同的无穷 开串分开a s ，也就意味着l i m ( 锦( 2 ，2 ) ) = 1 用与引理2 2 ( 3 ) 相同的证明方法 可以得到而p p ( 如( 2 ，2 ) ) + b ( a ( 2 ，2 ) ) = 1 ，这就矛盾了，所以原命题成立 引理2 3 若p 1 一p 。( s ) ，则l i m ( 如( 2 ，2 ) ) = 1 ， 证明t 因为p 乳( 睇+ ) ，用类似于引理2 2 ( 1 ) 的证明得 l i m ( 如( 2 ，2 ) ) = 1 引理2 4 若p 。( z 2 ) p 0 ，使得连通函数p ( z ，y ) c e 印 一e p ) d 0 ，) ) ，vz ( z l ，1 2 ) ，v ( v l ，y 2 ) s 象c 为常数 此时的d ( x ，y ) = ( z 2 一z 1 ) 2 + ( 抛一y 1 ) 2 是点毛y 问的距离 证明：vn20 ，定义一盒子类眇：= 作3 “，( i + 1 ) 妒) u 3 ”，u + 1 ) 3 n ) ：( i ，j ) z 2 ) vb i ，b 2 b ”，b l b 2 ，若d ( b 1 ，b 2 ) ：= i n f d ( u ， ) ：牡b 1 ，口b j ) = 0 ，则称 b l ，b 2 是相邻的v b 矽，记( b ) 为所有与b 相邻的盒子v n 1 ，b 矽， 由f k g 不等式得 ( 在( b ) 中存在包围b 的闭环路) 嘭( 心( 3 ，1 ) ) b ( n ，1 7 ) 是在舻中包含z 的最小盒子，v 为y 岛，令 m m ：= 叫删：耳刚胗味规；擞 1 4 由n ( x ，) 的定义得d ( b ( n ( x 可) + 1 ，功，b ( n ( 善，y ) + l ，) ) = 0 或趔霉，) s6 、，伍这 就意味着d ( x ，) 6 以扩扛- ” 现在p c e 1 m ( m 毋i n ) a ( 岛) 1 & ( ( a ( 4 三，2 三) ) ) ( 乳( s , n s r * + ) 一1 ) ，( 2 2 ) 此时的矿( 1 一p c ( 睇) ，乳( 睇) ) 面对于vk 1 ， 局，( ( a 。( 4 l ，2 l ) ) ) k 哆( ( a 。( 4 l ，2 l ) ) ) ， ( 2 3 ) 记a l ，a 2 分别表示g 孕( 2 厶4 l ) + ( - 2 l 铲，- 2 l 3 ，) 和g 孚( 4 l ，2 l ) + ( - 2 l 3 n ，- 2 l 扩) 两个区域，s 为在a 2 中存在的所有的左右开路，r ( s ，t ) 表示在g 争( 4 l ，4 l ) + ( - 2 l 铲，- 2 l 3 n ) 中，在s 的上方，在t 的右边的区域，a ( 8 ) 表示在g ! r ( 4 l ，4 l ) + ( 一2 l 3 f l ，一2 l 妒) 中，在s 的上方的区域，令m 表示在a 2 中所取的事件8 是 最低的左右开路， 厶表示在a ( s ) 中所取的事件t 是最左的从上边界到与8 的上 方相邻的某一条边的闭路，虬t 表示事件8 为a 2 中的最低的左右开路，事件t 为 a ( s ) 中的从上边界到与8 的上方相邻的某一条边的最左闭路， 心表示事件8 为 a 2 中的最低的左右开路，事件为a ( s ) 中的从上边界到与s 的上方相邻的某一条 边的最左闭路，且在n ( s ，t ) 中这样不同的与s 的上方相邻的边至少有k 条，设 铲= uu 磷。， 8 c a 2 t c a t 虽然在图岛上不具有平移不变性，但对于在固定了扎的情况下，把每一个g 孚看 作一个基本单位，它又是具有可迁性的于是我们在此可定义事件d h 。( z ) 为在 a 4 咖( z ) 中至少存在k 条不交的包围茁的闭环路，并且我们可以看出事件q c n ( a n ( 4 l ，4 l ) ) ) ，此处的 a 4 l 。( z ) ：= g t ( 4 l ，4 l ) + ( 一2 l 驴，一2 l 3 ”) + $ 上面的说明如图( 3 ) 来表示 1 6 i i i r ( s ，班 。、一 人 如 、： 图3 2 l 3 i 则有 p f c n ( a n ( 4 l ，4 l ) ) 2 ) ( 矿) = ( 蛾。i 。j ) p a n t ) s c a 2 t c a i 。吩( 噬t ) 印( t ) # c a 2 t c a i ( 魄。( z ) ) ( m ，t ) = f a d ：l ，。( 茹) ) 吩( 厶i m ) ( m ) a c a 2 t c a l f k g ( d 缸，。( z ) ) ( 厶) ( 肌) ( d 缸。( z ) ) ： ：( 厶) ( 肌) s c a 2 t c a l 2 p r ( d 4 l ，。( 髫) ) ( 虬) 呀( 镌( 4 二，2 ) ) s c a 2 印( 唬，。) 哆( 如( 4 l ，2 l ) ) ( 镌( 4 厶2 l ) ) ( 2 4 ) 引理2 5 存在口 0 ，使得v l o ，p 【1 一( s 罗) ，( 岛) 】 有 ( a 。( 4 l ，2 l ) ) 2o ，( 联( 4 l ，2 l ) ) d 证明一若p 【1 一乳( s 笋) ，p c ( 踯) 】，由如p ) ，先p ) 函数的连续性及定理2 ( 1 ) 可得 1 7 靠( p ) = 嚷p ) = 0 ，则在图s 孕( 及其对偶图) 上依概率几乎处处不存在无穷开串( 闭 串) ，使得j ，y ( 0 ，1 ) ，p p ( 。( 6 l ，2 l ) ) ，y ，p p ( 嵫( 6 l ，2 l ) ) 1 ，这样由r s w 引 理即可得 72 雌( 月。( s l ，2 ) ) ( p p ( a 。( 2 l ，2 l ) ) ) 3 ( 1 一( 1 一( a 。( 2 l ，2 l ) ) ) 1 7 2 ) 1 2 令6 为e 式所对应方程的根，则有p p ( a n ( 2 l ，2 l ) ) 最同理可得p p ( b ：( 2 l ，2 l ) ) 最又因为 ( a 。( 2 l ，2 l ) ) + p p ( 联( 2 l ，2 二) ) = 1 ， 所以( a n ( 2 l ，2 l ) ) 21 一最( 蟛( 2 l ，2 l ) ) 1 6 再由r s w 引理即可得 证 引理2 6 v 七z + ，v 0 ，存在l o ( k ) ，使得若p 【1 一p c ( $ + ) ，p c ( s 孕) 】，当l l o ( 七) 时，则有( d 缸。) 1 一s 证明，对于p 【1 一p c ( s ) ，p c ( s ) 1 ，有p p ( 魄。) p k ( 瞻。) ，另方面，由定理 2 ( 1 ) 得，依概率几乎处处如( ) = 0 ，则就有无穷多个不交的闭环路包围着原点， 因而对于任意的正整数k ，有) i r a p 玉( 咙。) = 1 即v 0 ，3 l o ( ) ，当l l o ( k ) 时，有p k ( 跣。) 1 一e 所以岛( 珑。) 2 1 一s 定理2 ( 3 ) 的证明，反设1 一p c ( s 罗) 击【慨( s 孕) + p c ( 5 笋) 一1 ) 0 2 】_ 1 ，由( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 及引理2 4 可得 ( 砰) ( 厶( 4 l ，2 l ) ) 一p l m 滞) ( 4 厶2 l ) ) 1 矛盾，反设不成立，所以1 一( s 筘) = v c ( 岛) 2 3 定理3 的证明 最后我们来考虑在d = 2 ，l = 3 ，t = 0 ，1 ，2 2 ( 1 ，1 ) ，i o o 时，研上 渗流模型的几个基本同题，即定理3 现已证得1 一( s ) = 终( $ ) ，由定理1 又 知图研上的临界概率p c ( s 警) 是随着n 的增大而增大的，相应的其对偶图上的临 界概率虻( s 孕) 就是随着竹的增大而减小的试想是否有l i m 乳( s 孚+ ) = p c ( 岛) 引理2 7 ( 1 ) 若p v c ( s ) ，则有l i m ( 锦( 2 ，2 ) ) = 1 ( 2 ) 若l i m ( a ：( 2 ，2 ) ) = 1 ，则有v 奄 1 ，h m ( a ：( 女，2 ) ) = 1 1 8 ( 3 ) 取常数c = 5 - s 2 ，若对于某p ( 0 ，1 ) ，有p p ( 群( 6 ，2 ) ) 1 一c 口，月 ( + l ( 6 ，2 ) ) 1 一c 铲 即在以上条件下，可推得v m 2o ，p p ( 瓴。( 6 ，2 ) ) 1 一c 矿 证明 ( 1 ) 因为p a a ：( 2 ，2 ) ) + p p ( 厶( 2 ，2 ) ) = 1 ，所以要证一。p a a ；( 2 ，2 ) ) 2 1 ， 亦要证慨p p ( a ( 2 ，2 ) ) = 0 反设在p p ：( ) 时， o ，vn o ，n 蛳时，有 p p ( 戎( 2 ，2 ) ) 1 - - c o 即昨( 凡( 2 ，2 ) ) e o ，接着由r s w 引理( i ) 得b ( n ( 七，2 ) ) ) ， 1 再用类似于引理2 2 ( 1 ) 的证明得到 n m s u p p , ( a 。( 2 ，2 ) ) 0 ， 再由b o r e l - c a n t e l l i 引理得t 依概率几乎处处存在着无限多个不交的开环包围原点， 因此在图岛上不可能存在无穷闭串，这就于它题设矛盾，所以原命题成立 ( 2 ) 由l i m ( 群( 2 ，2 ) ) = 1 ，可得tv e o 0 ，9 n o ，札 n o 时，有p p ( 群( 2 ，2 ) ) 1 - e 0 接着由r s w 引理( i ) 得( 以( ，2 ) ) ( 1 一o ) ，v k 1 在口一1 时， ( a ) 一1 的，所以结论成立 ( 3 ) 考察事件a ：+ 。( 6 ，2 ) 为在图( 4 ) 中存在的从左到右的闭路 2 3 n + 1 形形形 ， 形形形形； 图4 记事件a 。为图( 4 ) 中上两条格点中存在从左到右的闭串，同样的再定义a 磐l 为 图( 4 ) 中下两条格点中存在从左到右的闭串，显然 ( a 。) = p p ( a 鼻。) 屹( 筋( 1 8 ，2 ) ) ， 1 9 ifk 。lk f j i ： j r 卜“汁r 对。升 图5 且上事