（应用数学专业论文）离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性研究.pdf

首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 摘要 对于离散的可积系统一直是人们研究的热点。关于离散可积的海森堡铁磁 链方程人们已进行了大量的讨论和研究。最近对离散的修正海森堡铁磁链方程 的研究引起人们的关注。研究表明若将相关的离散修正海森堡铁磁链方程的自 旋矢量用闵可夫斯基空间中的离散曲线的单位矢量替代，则可给出与其几何等 价的可积微分- 差分方程。本文将具体研究相关的离散修正海森堡铁磁链方程 与其几何等价的可积微分- 差分方程之间的规范等价性。 关键词：离散可积方程，离散的修正海森堡铁磁链方程，规范等价性 l l 离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 a b s t r a c t i n t e g r a b l ed i s c r e t es y s t e m sh a v eb e e no fg e n e r a li n t e r e s t f o rt h ed i s c r e t e i n t e g r a b l eh e i s e n b e r gf e r r o m a g n e t ( h f ) e q u a t i o n ，i th a sb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e d r e c e n t l y , t h ed i s c r e t em o d i f i e dh fe q u a t i o n sh a v er e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n i ti sk n o w nt h a tt h eg e o m e t r i ce q u i v a l e n ti n t e g r a b l ed i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n s c a r lb eo b t a i n e db yi d e n t i f y i n gt h es p i nv e c t o ro fd i s c r e t em o d i f i e dh fe q u a t i o n s w i t ht h eu n i tv e c t o r so fd i s c r e t ec u r v ei nm i n k o w s k is p a c e i nt h i sp a p e r ，w e u i n v e s t i g a t et h eg a u g ee q u i v a l e n c eb e t w e e na d i s c r e t em o d i f i e dh fe q u a t i o na n da n i n t e g r a b l ed i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n k e y w o r d s ：d i s c r e t ei n t e g r a b l ee q u a t i o n ，d i s c r e t em o d i f i e dh e i s e n b e r gf e r - r o m a g n e te q u a t i o n ，g a u g ee q u i v a l e n c e 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名；田野同眙 日期：2 0 0 8 年4 月1 5 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：田野囝马旮 日期：2 0 0 8 年4 月1 5 日 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 引言 海森堡铁磁链方程是一个十分重要的可积方程，并得到人们的广泛关注。 究其原因主要是该方程不仅在物理学中有十分重要的应用，而且它与非线性薛 定谔方程( n l s e + ) 之间存在规范等价性关系 1 1 另外我们知道曲线的运动通常 与许多可积方程之间存在紧密的联系【2 5 1 。如果我们将海森堡铁磁链的自旋矢 量等价于欧氏空间中一曲线的切矢量，并利用h a s i m o t o 变换函数【6 】，则可得到 非线性薛定谔方程l s e + 。因此从几何的角度来看，海森堡铁磁链方程与非线 性薛定谔方程之间还存在几何等价性关系 t - 9 1 。 对于离散的可积方程一直是人们研究的热点。关于离散可积的海森堡铁磁 链方程人们已进行了大量的讨论和研究，研究表明它与离散的非线性薛定谔方 程( d n l s + ) 之间也存在规范等价性关系 1 0 1 。离散曲线的运动同样与某些可积 离散方程有着紧密的联系【1 1 ，1 2 1 ，与连续的情况类似，利用欧氏空间中离散曲 线的运动，可以证明离散的海森堡铁磁链程与d 三s + 方程之间也存在几何等价 性关系1 3 1 与海森堡铁磁链方程的情况类似，修正海森堡铁磁方程也是一个十分重要 的可积方程，己被证明它与非线性薛定谔方程n l s e 一之间不仅存在规范等价 性关系 1 4 1 ，而且还存在几何等价性关系f 1 5 】。需要指出的是在证明几何等价性 关系时，与海森堡铁磁链方程不同的是要将修正海森堡铁磁方程的自旋矢量 等价于阂可夫斯基空间一曲线的切矢量，然后利用相应的h a s i m o t o 变换即可给 出n l s e 一。对于离散的修正海森堡铁磁方程，研究表明其与离散的非线性薛定 谔方程d n l s 一之间依然存在规范等价性和几何等价性关系f 1 6 ，1 7 】o 最近y u 等人【1 7 】利用闵可夫斯基空间中离散曲线的运动，给出了其它离散修 正海森堡铁磁链方程与相应的可积微分差分方程之间的几何等价性关系。但对 其规范等价性尚未讨论。本论文将就该问题进行深入讨论和研究。 本文的第一章中，我们将分别简单介绍孤子理论的一些基本知识，主要包括 零曲率方程、连续和离散的a k n s 方程以及规范等价性的概念。本文的第二章 1 2 一 壹邀煎鳖垂连鸯堡铁磁链方程的规范等价性 中，我们将具体研究一个离散的修正海森堡铁磁链方程与其几何等价的可积微 分差分方程之间的规范等价性关系。 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 第一章孤子方程及规范变换 在本章中，为下一章讨论问题方便，我们将简单介绍孤子理论的一些基本 理论知识，具体文献参见【1 8 】o 1 1 零曲率方程 在孤子理论中，对于1 + 1 维的微分方程，它可以从对空间x 与时间t 的联立谱 问题导出。设 舻脚 ( 1 ) 例如对于a k n s 方程，m 和n 分别取为m = ( _ 拟：) ，= ( 三：a ) 这样( 1 1 1 ) 可写成 及 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 3 妒 b 咖 认 “+ 卜1 一 妒吼力 入 ，o 彩扛 一 r = = h 如 妒 钞 ，-i-，、-_-、 2 2 仰 忱 b a + 一 l l 妒 妒 a c l i = k 乳 妒 咿 ，-_-，、i-l_-， 4 一 离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 一_-_一 这里a 、b 、c 是含有谱参数入及函数g ，r 及其各阶导数的函数。这时零曲率方程 可写成 4 霉= 口c r b ， t i t = b 2 + 2 i $ b + 2 q a ， r t = g + 2 i $ c 一2 r a ( 1 1 5 ) 将上式中a 、b 、c 取为入的多项式并比较a 的各次幂，可得 口t = 一差a 3 ( q x 善。一6 旷) 一三n 2 ( 一2 卉) + 碗q 。+ 2 a o g ， n = 一三。3 ( r 2 z 一6 旷) + 虿1 。2 ( r 勰- 2 q 7 2 ) + i n l 一2 a 0 7 ( 1 1 6 ) 对方程( 1 。1 6 ) 作不同的约化，可以得到非线性薛定谔方程 询t + 缸z + 2 q 2 q + = 0 ， ( 1 1 7 ) m k d v 方程 q t + 6 q 2 如+ q z z z = 0 ， ( 1 1 8 ) 等许多可积方程。 以上我们介绍了连续a k n s 方程的情况，现在我们简单地介绍一下离散的a k n s 方 程。如果取忱，z 塑生h _ 纽，那么( 1 1 3 ) 可写成 忙= - = 篙： 均， 其中 1 9 i ，n 三唧危) ，鼽= q ( n h ) ，? l 佶= 7 危) 。若定义 z = e x p ( - i a h ) 1 一i a h ， 1 三= e x p o a ) 1 + i a h ， 并令q n = ，如= r h ，贝j j ( 1 1 9 ) 变成 = z 妒1 ，n + q 体p 2 ，n ， = 心妒1 ，体+ 吾忱，n + + 住 n 扎 磊 妒 妒 ，i，、【 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 如果令离散a k n s 方程中的忱，n 随时间演化满足方程： 引进移位算子e ， 厶+ b 竹 ( 1 1 1 2 ) c n _ p l ，n + d 珏l ，9 2 丹 并利用相容性条件 妄( ) 刊警) ，瓦( e ) ：e ( 苛) ， 可得以下式子o z a n 氟= 吼瓯一心玩+ 1 ， 尾+ l 一名鼠= q 伪t a 蚪l q 仃+ d n q 俺， z g + 1 一；= 凡，t + r a r 伟d n - 4 - 1 ， n d 他= - ( q n c n + l 一玩) 其中氏如= 厶+ 1 一a n ，a n d n = d n + 1 一队。 ( i i 1 3 ) ( 1 1 1 4 ) 将厶，鼠，玩对z 及；展开代入( 1 1 1 4 ) 并比较z 各次幂可得以下非线性方程： 骗，t - ( 1 一q n r ) ( 口虢+ l 一6 骗一1 ) + ( 8 ( o ) 一d ( o ) ) 轨， r ，产( 1 一q 纷见) p 见+ l 一盘r 一1 ) + ( 删一口( o ) ) 心 ( 1 1 1 5 ) 对方程( 1 1 1 5 ) 作不同的约化，可以得到离散的非线性薛定谔方程： i 骱，t ：塾墨! 睁士蘸( + 1 + 一1 ) ( 1 1 1 6 ) 2 骱，t 2 万一士簖【+ 1 + 一1 j 【l l 1 6 j 离散的m k d v 方程 ，t = ( 14 - 2 蠢) ( 锄+ l 一一1 ) ( 1 1 1 7 ) 如果存在一个变换 1 2 规范变换与规范等价 峥= t 中 ( 1 2 1 ) 5 f f f i ， “ 一 丹 弦 1 2 t 饥 忱 = a一现a一良 l l ，i j 妒 e 即 6离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 其中t 是非奇异变换，将谱问题 变为谱问题 咿。= m 甲。 成= m 7 ， 则称( 1 2 1 ) 为规范变换。由( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 可得 将( 1 2 1 ) 代x ( 1 2 3 ) 可得 纯= 已妒+ t 妒。= 妒+ t m 妒。 成= m 7 = m 7 t 垆 对比( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) ，可以很容易得到 如果变换( 1 2 1 ) 也将 变到 同理可以推出 m 7 = 瓦丁一1 + t m t 慨= 垆， 矗= n 7 = 正t 一1 + t t 从( 1 2 6 ) 和( 1 2 9 ) 可以很容易给出以下式子： 心= t t m t 一1 + t m t t 一1 + t m ( t 一1 ) t + t = t t 一1 + 疋( t 一1 ) t ， q = t = n t 一1 + t 札t 一1 + t n ( t 一1 ) z + 死t 一1 + t t ( t 一1 ) 王， m 7 7 = t m 丁一1 + 疋t 一t m ( t 一1 ) t 一互( t 一1 ) t ， 7 = t 彳t 一1 + t t m t 一1 一t ( t 一1 ) z t t ( t 一1 ) 聋， ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 由以上式子我们可推出 悄一q + m 7 一7 m i = t ( m t 一虬+ m n n m ) t 一1 ( 1 2 1 4 ) 由于t 是非奇异的，因此零曲率方程 与 m t n 七m n nm ：0 ， 0 1 2 1 5 噬一心+ m 7 7 一7 m = 0 ，( 1 2 1 6 ) 是等价的，从而表明它们所对应的孤子方程在规范变换意义下是等价的。 7 8离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 第二章离散的修正海森堡铁磁链方程的规范 等价性 2 1离散的修正海森堡铁磁方程 海森堡铁磁链方程形式如下 s t = s z ，s s = 1 ，( 2 1 1 ) 其中s = ( 8 1 ，, 9 2 ，8 3 ) 表示自旋矢量。该方程表示的是经典连续的铁磁自旋系统的 非线性动力学情况。与( 2 1 1 ) 相对应的离散可积方程是 掣= 2 s n 羔+ 羔】 ( 2 抛) 这里s n = ( 1 ，s n 2 ，3 ) 且s 乏= ( s 毳) 2 + ( s 三) 2 + ( s 毳) 2 = 1 。该方程己被证明规范等 价于离散的非线性薛定谔方程d n l s 一 1 1 ， 堕d u = 2 询h + ( 1 一i q , d 2 ) 【一i ( 一l + + 1 ) 】 ( 2 1 3 ) 修正海森堡铁磁链方程形式如下 s t = s 叉s ( 2 1 4 ) 其中s = ( s 1 ，s 2 ，s 3 ) 表示自旋矢量，并满足s 2 = s o s = s + s 一s ；= - 1 ，- $ 3 0 ，“o 表示伪点乘。该方程已被证明与非线性薛定谔方程n l s 一是规范等价的f l o 】， i 讥+ 也z 一2 矽l 妒1 2 = 0 ( 2 1 5 ) 以上我们介绍的是关于连续的修正海森堡铁磁链方程，对于其离散的情形 人们也进行了相应的研究并给出了相应的离散可积方程 掣= 2 洲蔫+ 羔】 ( 2 拍) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 这里，s 住= ( s 住1 ，2 ，s n 3 ) 且2 = ( s 三) 2 + ( s 乏) 2 一( s 曼) 2 = - i 以及 0 与其规范 等价的是下列离散n l s 一方程 1 6 】 警= 2 i + ( 1 一i 1 2 ) - i ( 一1 + + 1 ) 】， ( 2 1 7 ) 最近y u 等人 17 】研究了如下离散的修正海森堡铁磁链方程： 掣= 2 鱼兰紫0+ 譬兰甓0 1 】 ( 2 m ) to i11i 、o o ， d t 。 l 一5 n5 n + 1上一5 t ls n j1、 这里s 2 = - 1 他们的具体作法是用闵可夫斯基空间m 3 中的离散曲线的切矢量t n 替代s 。 利用离散的f r e n e t - s e r r e t 方程 其中 ( 三i ) = c k ( 兰) ， = 卜兰如二亳 可将( 2 1 8 ) 改写成 一2 ( t a n h + c 0 8c n 一1t a n h 警) + 2s i n 一lt 趿h 孥k = 锄1 l 磊 ( 2 1 9 ) ( 2 1 i 0 ) 未( 兰) = ( 兰三竹；) ( 兰 c 2 1 1 2 ， 9 、lil_、 多 曲 。 峨硪 a 昌 i i 掣 1 0离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 利用相容性条件 e ( 未) = 熹( e ) ， 可以得到以下关于钆和的方程： 鲁= 一+ c o sn y n + l 一钍n + l s i n o 竹， 警= w n + 1 一u n s i n h 0 一w 竹c o s h g n ， = 忑k ( c o s 饥+ l + s i n 4 ) v + 1 一u nc o s ho ) 令九= 讥一l 一饥，则上式可写成如下形式： ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) i = ：芝：= 二5 ， 一t a n h 学e x p p ( 一1 一饥) 】) ( 2 1 1 6 ) = ( 1 一l 1 2 ) ( 一l 一+ 1 ) 上式表明( 2 1 8 ) 与( 2 1 1 6 ) 具有几何等价性。 2 2离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 在上一节我们介绍了离散可积的修正海森堡铁磁链方程( 2 1 8 ) 与可积微分- 差分方程( 2 1 1 6 ) 之间具有几何等价性关系。对于方程( 2 1 8 ) ，其相应的l a x 表示 为 这里 ( 2 2 1 ) 眨i z + z - 1 箍一i 竽器， 2 l 慨= ( 1 一竽) 麓一i 竽器， 其中i 为单位矩阵，的形式为 = 【i 。s 兰三s i ，钛一兰： 对于方程( 2 1 1 6 ) ，其l a x 表示为 ，+ 。= 厶饥， l 警= 吨饥， 一一一l z 叫 1 一z 一2 + 一l 蟊 下面我们证明方程( 2 1 8 ) 与方程( 2 1 1 6 ) 是规范等价的。 ( 2 2 3 ) ( 2 2 ，4 ) ( 2 2 5 ) 证明：假设 ( ) ) 是方程( 2 1 1 6 ) 的解，其对应l a x 对( 2 2 4 ) 的解可以记为 饥( 舌，z ) 。 考虑以下规范变换： ( 2 2 6 ) 付 ” 协 “ 妒 己 霸乩瑰 r l l n 办一池警 ，-ii-，、-_i-， ， 一 r 、r礼佩答篁 z 氟 1 i l | i 厶 尥 离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 其中鳜是l a x 对( 2 2 4 ) 在z = l 的基本解。下面我们证明上面的 ( t ，z ) ) 是l a x 对 ( 2 2 1 ) 的解。将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 4 ) 中的第一式，可得 另外m ( 2 2 6 ) 和( 2 2 1 ) 可得 饥+ l = l n = l n 鲰 k + 1 = j + 1 妒n + l = g n + l l n 。h 比较( 2 2 7 ) 和( 2 ，2 ，8 ) ，很容易得到 k = d 1 厶鲰 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 又由于鲰+ 1 = 厶( 1 ) 鲰，其中l ( 1 ) 表示( 2 2 5 ) q 了z = 1 的情况，也即 踮，： - 1 1 ( i k - q n ) 1 c 2 舢， 将( 2 2 1 0 ) 代入( 2 2 9 ) ， 其中 n 竿川竿& ， = ( 一i ) 簖1 z 一1 z 一1 l 簖1i f 。r 1 f 0 卜击 g _ _ = z 一- - 1 0 2 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) g n = 一i 簖1 0 3 9 n( 2 2 1 5 ) 簪 一 鲰 、llli-， o o o ： + z 孔 荑 lj 、一、 _ 一 1 o 坐。 一 得 1吨等。 可 ， 、，一 。 鲒 、l、 o o 1 0 ，ji一 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 由于鲰是l a x 对( 2 2 4 ) 在z = l 的解，我们可以直接验证鲰具有如下形式 舴剖， 仁2 朋， 这样由( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 6 ) 可知具体形式取为( 2 2 3 ) 。 下面将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 4 ) 中的第二式，可得 另外m ( 2 2 6 ) 和( 2 2 1 ) 可得 饥t ：尬。饥= 鲂( 2 2 1 7 ) ，t = 鲡，t + 鲰，t = 鲰，t + 娠( 2 2 1 8 ) 比较( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 1 8 ) ，很容易得到 又由于 地= 簖1 哦如一簖1 鲰 鲰t = 尥( 1 ) 鲰， ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) 其中成( 1 ) 表示( 2 2 5 ) 中z = 1 的情况。将( 2 2 2 0 ) 代入( 2 2 1 9 ) ，我们可以得到 = 簖1 ( 孔- l 五：石。，。1 1 j q ) 鲰 孔一1 ( 1 一石2 ) 一z _ 2 j 刈一竿姑鲰一竿1 。刊鲰 = ( 1 一t z 2 + z - 2 ) 畿一i 竿兰，( 2 2 m ) 在证明上式中，我们利用了下列等式 一、 i s m 一1 s n 二1 鲰2f i 瓦= ( 2 2 2 2 ) 1 4 离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 从以上结果我们可以看出k 和恰是l a x 对( 2 2 1 ) 的系数。 下面我们证明以上变换从( 2 1 1 6 ) 至l 1 ( 2 1 8 ) 是可逆的。 我们选取具有如下形式的矩阵鲰( 亡) 舴剖， 仁2 ， 使得它满足条件 及0 3 = i 甄簖1 。 令 删= 计 磊= 蜘+ t l n g i l = ( z ( 2 2 2 4 ) 廊= 鲰，t 鲂1 + 鳜眠蛎1 = 鲰，t 簖1 + ( 甄_ ：i ：名勺：( 二：。2 ) ，c 2 2 2 5 ， 其中l n ，是l a x 对( 2 2 1 ) 的系数矩阵。由相容性关系 警+ 磊磁一磕。政- 0 ( 2 1 2 2 6 ) 一叫一兰1 虱一：1h 丁，un 仁2 删 一一一 一1 ，、盯【艺j ， 、lil7 l l z 一 z 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 鲰一蟊= 剖鲰， 其中p ( 亡) ，q ( t ) 只依赖于t 。在这个变换下可以得到 耐= 计 其中虱( 亡) = q ( 亡) p ( t ) 一。通过直接计算，我们可以得到： 蟊，t 菇1 = + ( 一掌魏一= ) i ( 只p 一1 乞p r p 一1q 。q 一。? q i 盯q 一，) c 2 2 2 8 ， 我们要求p ( t ) 和q ( 亡) 分别满足： 警= 一i q ( 蝴) ， 警刊p ( 帅) ( 2 2 2 9 ) 1 5 用蟊代替鲰，则( 2 2 2 7 ) 中右边第二项可以消掉。通过以上分析表明磊和廊是l a x 对( 2 2 4 ) 的系数。这样结论得证。 离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性 参考文献 【1 】m l a k s h m a n a n ，t ，m r u i j g r o ka n dc j t h o m s o n ，p h y 7 s i c aa8 4 ( 1 9 7 6 ) 5 7 7 【2 】g l l a m b ，s o l i t o no nm o v i n gs p a c ec u r v e s ，j m a t h p h y s 1 8 ( 1 9 7 7 ) 1 6 5 4 3 1k n a k a y a m a ，h ，s e g u ra n dm w a d a t i ，p h y s ，r e v l e t t 6 9 ( 1 9 9 2 ) 2 6 0 3 【4 】a d o l i w aa n dp m s a n t i n i ，p h y s l e t t a 8 5 ( 1 9 0 4 ) 3 7 3 【5 】s m u r u g e s ha n dr b a l a k r i s h n a n ，p h y s l e t t a2 9 0 ( 2 0 0 1 ) 8 1 6 】h h a s i m o t o ，j f l u i d m e c h 5 1 (