（概率论与数理统计专业论文）相互作用量子场论的白噪声方法.pdf

摘要 y 5 7 8 8 7 4 将上世纪初的两大变革性物理理论一狭义相对论和量子力学结合起来，得到 量子场论。实验证明，量子场理论可以很好地描述基本粒子之间的相互作用规律。从理 论建立之初到现在的八十年里，其发展也遇到严重的挑战，其中有一些基本问题还一直 困扰着理论学界。 在计算物理观测量时，人们通常采用形式扰动方法，此时一般会出现无穷发散问 题。为此，数学、物理学家们提出“重正化方法”，即将有意义的项提出来而将导致发 散的项去掉。虽然由这种方法所得到理论值与实验值非常吻合，但它却没有严格的数学 基础。场论的公理化体系对场概念的定义从数学上讲是优美的，且h a g g - r u e l l e 的碰撞 理论和b o t c h e r s 的同样发现强烈地显示了蕴涵在公理中的思想是合理的，但到现在为 止，在高维时空( 大于等于4 ) 仍然找不到满足公理的非平凡例子。这些事实促使理论 学家们发展新的数学理论来解决这些问题。 1 9 7 5 年，t h i d a 开创了白噪声分析( w h i t en o i s ea n a l y s i s ) 理论，该理论为研究 量子场提供了一个合适的框架这个框架包含了足够多的广义泛函( 广义算子) ，而其检 验函数空间( 相应的，定义域) 足够小，因此，使得量子场中的相当奇异的场算子在这 个框架中可以找到对应物。 因此，本文在白噪声分析框架下从两个方面讨论相互作用场理论的构造问题。一是 将量子场视作一族广义算子，一是将量子场视作广义泛函，前者对应h a m i l t o n 策略， 后者对应e u c l i d e a n 策略。 将量子场视作广义算子的处理方法的具体含义是：把在物理学的意义下推导出来 的量子场方程转化成广义算子值函数的抽象方程，然后利用广义算子的s 一变换( 象征) 将此抽象方程转化成经典的波方程，在经典意义下证明经典波方程有解，并且此解为 一族广义算子的象征，因而我们把这一族广义算子看作是所讨论问题的解，最后验证 所得到的解在广义算子意义下满足场的一些性质( 动力学性质，交换关系，散射性质， p o i n c a r d 不变性等) 。这种思想( 通常称之为白噪声方法) 并非在此处首创。h u a n g 首 先( 1 9 9 3 ) 提出量子白噪声以及量子白噪声测度，突破以往人们只把量子随机过程看作 h i l b e r t 空间算子值过程的传统观点，明确提出将量子随机过程看作广义算子值过程。 以后，h u a n g & l u o ( 1 9 9 8 ) 具体地用这种思想求解一类s c h r s d i n g e r 型广义算子值方 程。利用此方法一类量子c a b l e 方程的解的存在唯一性由h u a n g w a n ge ta l ( 2 0 0 0 ) 获得证明。类似地，使用该方法，h h o l d e n 等人讨论随机w i c k 型b u r g e r s 方程( 1 9 9 5 ) 以及f b e n t h ，t d e c k & j ，p o t t h o f f 利用压缩映像原理证明一类非线性随机广义泛函 热方程的解的存在唯一性( 1 9 9 7 ) 。事实上，随机偏微分方程的许多重要结果都是利用白 噪声方法获得的( 1 9 9 6 ) 。但在这里把白噪声方法应用于相互作用量子场理论( h a m i l t o n 策略) 应该说是一个重要的尝试。 将场视作白噪声分析框架中的广义泛函并把这种思想应用于相互作用量子场理论 首先由m g r o t h u u s l s t r e i t ( 1 9 9 9 ) 加以讨论。在那里，他们构造了一族较大空间 中的广义泛函西”及其相应的s c h w i n g e r 函数 鳄 甚o ，并验证了这一族s c h w i n g e r 函 数除了反射正定性之外满足全部的o s 公理。这里，我们也把这一思想应用于( 西4 ) 4 量 子场的构造 以下是本论文从两个角度构造相互作用量子场的主要结论。 一、h a m i l t o n 策略( 将场视作广义算子) 令卢f 0 ，1 ) ，此时，两个g e l l a n d 三元组为 s ( 皿3 ) = ec 咒= l 2 ( 疵3 ) ce + = s ( 皿3 ) 及 ( f ) 2c ( l 2 ) c = l 2 ( e + ，卢) cc ( e ) 云卢， 相应的广义算子空间 c = c ( ( e ) 2 ，( e ) ) 在白噪声分析框架下自由场及其共轭场分别可表示成 札。_ ( 2 砷 小“州刊喀+ e “步”去 j 皿3 、z u o 及 丌0 ( t ，。) = 啦”) 一。厶。一- p 神晖一e 一“p 曲) 、字d 3 p )j 矾3 v z 其中， a p 及0 ；分别是f o c k 空间( l 2 ) c 上的( 点态) 湮灭算子和增生算予，嘶= 驯2 十m 2 ，m 0 表示粒子的质量。 记曲( z ) = o ( o ，z ) ，”( z ) = ”o ( o ，。) 。首先，我们考虑如下两个方程在广义算子值意 义下的解的存在唯一性： 茹m z ) 一b 2 m z ) = 一a ：q ( 地z ) ) 庐( o ，z ) = ( z ) 薪( o ，z ) = ”( 。) ， 2 及 。 笳西( t ，。) 一日2 西( ，z ) = 一a ：西( t ，z ) 3 ： 中( o ，z )= 西( z ) ( 2 ) 茄蕾( o ，z ) = ”( z ) ， 其中方程( 1 ) 中的空间变量卫是一维的，而方程( 2 ) 中的空间变量z 是三维的， 0 是 满足一定条件的多项式，b 为拟微分算子( 一+ m 2 ) 1 2 ，a 0 是自耦合常数， ：表 示广义算子的w i c k 积。 结论一对任意的，r ( e ) c ，存在常数c ，k 0 使得咖( z ) ，”( z ) 的s 一变换 ( ， ) ，亓( ，q ) 具有如下估计： ( i ) l b 壬( ，q ) 培! k ( 蚓；4 + 1 1 7 1 ；i 4 ) ； ( i i ) i 亓( ，训：( i 4 + 1 1 7 1 ：i 4 ) ； ( i i i ) f b 2 函( q ) 塔k ( 1 f l ；4 + 吣4 ) ； ( i v ) i 声4 ( z ) d 3 岔( f ，q ) i ( 州4 + 4 。) ( v ) i p ( 乒( z ) ) d 。偿，q ) l c e ”( t + 蚓；“ 结论二设多项式p ( u ) 是q ( u ) 的原函数满足条件p ( “) 0 且p ( o ) = 0 。则方 程( 1 ) 存在唯一的解 咖( t ，。) lt 【0 ，o o ) ，。兄 cc ( ( e ) c ，( e ) ；) ，并称之为p ( ) 2 量子 场。 对方程( 2 ) 的两边同取s 一变换，我们得到一四维时空古典非线性渡方程( 以f 除 非特别强调，一般将( ，q ) 省掉) 3 - 。- 2 币。( t , z ) 一b 2 面( t ，。) = 一a 墨( t ，。) 3 壬( o ，。) = 壬( z ) ( 3 ) 爰毒( o ，。) = 亓( 茁) 结论三方程( 3 ) 存在唯一的全局解 圣( t ，z ) ，( t ，茁) 0 ，+ 。) r 3 ) ，且有 b 2 毒扛) l o ( i b 2 毒1 ：+ b 屯。1 2 0j 。1 e 亩( o h 成立，其中 即) = 互1 上。佃卯+ i 卵+ 百) k 扩- ) d 3 z 是方程( 3 ) 的保守能景，l l o 表示驴( 皿3 ) 的范数，是正常数。 3 结论四方程( 3 ) 的解面( t ，z ) 满足 郇，z 媳町) i k 1 k 2 ( a + 岫a ” 其中，甄尬均为正常数。 此外，我们给出了解的解析性的详细证明，因为它并不是一个明显的结论。 结论五固定矗，2 巾，q 2 ( e ) c 方程( 3 ) 的解毒( t ，z ) ( 6 + 卢2 ，研+ 9 n 2 ) 作为以 ( 卢，叫) f z 为变量的复变函数在疗2 上是解析的。 结论六方程( 2 ) 在广义算子值的意义下存在唯一的解，即存在唯一的广义算子值 函数f 圣( ，z ) it 0 ，o 。) ，。皿3 ) cc ( ( e ) ，( e ) i 。) 是方程( 2 ) 的解，并称之为( ) 4 量子场。 下面是有关场的动力学性质的结论( 以( 曲4 ) a 为例) 。 ( 西t ) 。场的重正化h a m i l t o n 量h ( t ) 和重正化动量卢( 分别定义为： 邢) 一从愀卜+ l 瓢圳2 ：十他小卜 声( ) = 一v 壬( ，z ) ：v 。圣( t ，z ) d 3 z ， 其中，v t = 袅及v 。= ( 击，盎，茜) 是梯度算子。它们都是粤时间f 无关的量，即 结论七对任意的t o ，h ( 0 三日( o ) 。因而h ( 0 c ( ( e ) ，( e ) 云o ) 是广义算子： 结论八对任意的0 ，p ( o ；声( o ) ，因而声( t ) 的每一个分量均在c ( ( e ) ；1 ，( e ) 孑i ) 中。 记h a m i l t o n 量h ( t ) 为h ，则日可以写成如下的形式： 日= 即) = 日f r e e + ：上。：以圳：如， ( 4 ) 其中 扩( 小= ( 2 丌) - 6 厶，。娶4 ( 2 嘞) 一1 2 e 一( p 1 时时。凸；2 。扣；4 + 4 e 叫0 1 + ”+ 9 3 一4 ) 。喀l 喀2 喀a 。p 4 + 6 e 一。0 1 + 2 呻3 一时2 a p + 1 a p + 2 8 p 4 + 4 e i ( ”3 1 。n ；1n p 2 m 唧4 + e 一4 ( 呐呐呐喇) 一a p l d p 2 0 p 3 4 却1 d p 2 却3 d m ， 4 h f r e e = kw v a v a ；d 3 p 。注意到方程( 4 ) 的右边的第二项仅仅是( e ) l c l 2 上的一个双线性 型。尽管。是f o c k 空间上的自伴算子，但日不一定是，甚至不是一个算子( p r o p e r o p e r a t o r ) 。因此我们要对空间进行c u t o f f ( 在一个较大的范围之外关闭相互作用) ，即令 a = a ( 。) d ( 皿3 ) ( 无穷次可微且具有紧支撑函数全体) ，并用日( a ) 代替日，其中 日( 1 ) 2 e e + 研( 1 ) 2 嘶一+ ；皿。1 ( 。) ：砂4 ( z ) ：d 3 z 结论九设( 。) ，”( z ) ，日( a ) 如前所定义。则下面的正则交换关系成立。 ( g ) ，西( ) j = 0 = ”( 。) ，”( 9 ) 】， 【咖( z ) ，”( g ) 1 = i s ( z g ) ， ：4 ( z ) ：，咖( ) i = 0 ， 日( a ) ，西( z ) = ”( 。) 其中，后三个等式应理解为算子值分布。 其次，我们证明了( 4 ) 。量子场的散射解的存在性。具体地讲，是将方程( 2 ) 2 以t = 0 时刻的c a u c h y 初始值换成以t = 一。时刻的c a u c h y 初始值。记 垂( t ，。) = 垂( 厶。) ，垂。( t ，z ) = 五d 垂( t ，。) ，皿( t ，茁) = ( ；：l ：；) 此时得到同解的积分方程 皿( 亡，z ) = 皿j 。( t ，茁) + e 叫( 卜8 m j ( 皿( s ，x ) ) d s ，( 5 ) 其中， 眦= ( 糍赛) e - i r a ( 糍矜 这里，也n ( ，z ) ，7 r i n ( ，z ) 就是自由场o ( t ，z ) 及其共轭场7 1 0 ( t ，z ) 。 令= d 旧) o l 2 ( 皿3 ) 为h i l b e r t 空间，范数为f i ( u ， ) t 幢= i b 2 u l o 一+ i b v l ；。 对皿上的9 a - 值函数妒( t ) ，定义 再令 l 母( ) 0 ：= s u p 母( t ) l l 。+ s u p ( 1 + 1 t 1 ) 3 门i i 妒( t ) l l 。 拒最坨尻 e 。“：= l p 咒臼ir l j e - a 妒 0 及p z ，使得 f i o | | s c “k ( 垮b + ”i ，) 结论+ 一( 在t = 一o o 时刻的c a u c h y 问题) 在广义算子的意义下，抽象量子场方 程 南百圣o ，z ) 一b 2 西o ，z ) = 一a ：垂( ，z ) 3 ： 存在唯一的解 垂( t ，。) c ( ( e ) 5 ，( e ) j 1 ) l ( t ，z ) 尻a 3 ，使得在广义算子的收敛意 义f 有 垂( t ，z ) 如n ( ，z ) 呻0 ，( t 一o 。) 成立。并称此解为散射解 结论+ 二设 西( ，z ) c ( ( e ) 5 ，( e ) 孑1 ) 1 ( t ，z ) 皿皿3 是在广义算子值意义下 ? 学性k 1 。1 n g ! d 。n 方程的散射解。则存在一族广义算子 西。( ，z ) c ( 旧) 5 ：( e ) i ) i ( t ，z ) 毋x 皿3 ) ，使得在t + o 。时，有 垂( ，z ) 一九u t ( ，。) o ，( t _ + 。) 并且，九u c ( ，z ) 满足线性k l e i n g o r d o n 方程，即 ( 嘉一耐) 酬扣 设( o ，a ) 为狭义p o i n c a 她群( r e s t r i c t e dp o i n c a r 6 g r o u p ) 中的元。在l 2 ( k ：d n 。) ( 参 看正文的第4 章第1 节) 上狭义p o i n c a r 4 群的酉表示为 ( 职。，a ) 妒) 白) = e 96 妒( a 一1 p ) ， v 妒l 2 ( 月k ，d q 。) 其中，点乘为欧氏内积，当n = ( a o ，a b a 2 , a 3 ) 时，i = ( n 。，- a l - a 2 1 一。) 。则 ( u i - ) 妒) ) = e i a p a 妒( a p ) ，v 妒三2 ( 日m ，d n m ) 我们记队n ( n ，a ) = r ( 职。，a ) ) 为f o c k 空间- 5 。= 筑( 驴( 日。，d n 。) ) 的酉表示。则结论十 一和结论十二中的广义算子有以下不变性质。 结论十三设西( t ，。) 及t j 5 0 u t ( ，。) 分别是由结论十一和结论十二给出的广义算子。 则 巩。a ，a ) 西( ，z ) 以。( o ，a ) 一1 = 西( ，a ) ( t ，。) ) ， 矾na ，a ) 6 。t ( t ，z ) u 。a ，a ) 一1 = ( o u t ( ( n ，a ) ( t ，z ) ) 设三( z ) 是定义在h i l b e r t 空间咒的稠密子集d ( 兰) 上的双线性型，如果对任意“ 上的有界自伴算子a 有r ( a ) cd ( z ) 以及等式 ( ( “，量( z ) a ) ) = ( ( u ，a 三( 。) u ) ) ，v u ，u d ( e ) 即 三( 茁) ( “，a v ) = e ( x ) ( a u ， ) ，v u ，”d ( e ) 成立，蕴涵着a = b i ，b 四，则称- - ( x ) 是不可约的。 结论+ 四设广义算子西( t ，z ) 为由结论十一所得的散射解，则西( t ，z ) 是不可约的。 二、e u c l i d e a n 策略( 将场视作广义泛函) 此时，我们选择 e = s ( 皿4 ) l 咒= l 2 ( 五掣) qs ( 尻4 ) = e 。 及 ( e ) 2c ( l 2 ) c = l 2 ( e + ，越) cc ( e ) 孑4 作为分析框架。 在此框架下，定义以四维时空点z = ( ，司尻4 ( 或者d i r a cd e l t a 函数函 s 7 ( 丑铲) ) 为指标的g a u s s 随机过程 咖( t ，司：= ( ，以i ) 结论十五对任意的z = ( t ，习皿4 ，咖( t ，固( e ) ；，即咖( t ，回是h i d a 分布。 结论+ 六，：4 ( t ，劫d 4 z ( e ) 孑1 2 。 结论十七令 ”= e 谢( 一a 上。卿，列。) 7 则西 ( e ) j 1 2 ，其中a 0 为正耦合常数。 广义泛函蛾的s c h w i n g e r 函数砩按如下方式定义：岛：= 1 ，对任意的n n ， ：，厶( e ) c ，记 。霹( f l o - o ) ：= ( ( 西 ，( ， ) ( - ， ) ) ) 广义泛函( i h 的t 变换为 t 吲沪e x 。( 厶。( 埘( 圹互1 r 圳如) 利用s c h w i n g e r 函数和t 一变换之间的关系可以得到 结论+ 八与( 庐4 ) 4e u c l i d e a n 量子场理论相联系的广义泛函呱所对应的s c h w i n g e r 函数畿满足o s t e r w a l d e r s c h r a d e r 公理的缓增性o s l ，e u c l i d e a n 不变性0 s 2 及对称 性0 s 4 。 关键词： ( 咖4 ) a 量子场 相互作用量子场e u c l i d e a n 量予场理论 s c h w i n g e r 函数 p ( ) 2 量子场h a m i l t o n 白噪声分析方法广义算子广义泛函 8 a b s t r a c t t h ec o m b i n a t i o no ft w og r e a tr e v o l u t i o n a r yt h e o r i e si nl a s tc e n t u r y - - t h es p e c i a l r e l a t i v i t ya n dq u a n t u mm e c h a n i c s - - y i e l d e dq u a n t u m f i e l dt h e o r y f r o mt h ev e r yb e g i n n i n go fe s t a b l i s h m e n to fq u a n t u m f i e l dt h e o r yi t sd e v e l o p m e n th a de n c o u n t e r e ds e r i o u s c h a l l e n g e s ，w h e r es o m e b a s i cp r o b l e m ss t i l lp l a g u et h et h e o r i s t s t h eu s u a lf o r m a lp e r t u r b a t i o na p p r o a c ht oc o m p u t a t i o no fp h y s i c a lo b s e r v a b l e so f - t e nl e a d st ot h ea p p e a r a n c eo fi n f i n i t eq u a n t i t i e s f o rt h i sr e a s o nm a t h e m a t i c i a n s p h y s i c i s t sd e v e l o p e das k i l lc a l l e d “r e n o r m a l i z a t i o nm e t h o d ”，w h i c hm e a n st os i n g l eo u t s o m e s i g n i f i c a n tt e r m sf r o mt h ed i v e r g e n ts e r i e s a l t h o u g ht h i sm e t h o dh a si e dt og r e a t s u c c e s si na c c o r d a n c ew i t he x p e r i m e n t s ，i th a sn or i g o r o u sm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n s f r o mt h ev i e w p o i n to fm a t h e m a t i c s ，t h ed e f i n i t i o no ff i e l d si s v e r ye l e g a n ti nt h ea x - i o m a t i cq u a n t u mf i e l dt h e o r y ja n dh a g g - r u e l l e sc o l l i s i o nt h e o r ya n db o t c h e r s s a i u e d i s c o v e r yd e m o n s t r a t e dg r e a t l yt h ei d e a se m b o d i e di nt h ea x i o m b u t ，a tp r e s e n t ，n o n t r i v i a le x a m p l e s a t i s f y i n gt h ea x i o m s i ss t i l ln o tf o u n di nh i g h e rd i m e n s i o n a ls p a c et i m e ( 1 a r g e rt h a n3 ) s o i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m sw en e e dn e wm a t h e m a t i c a l t h e o r y i n1 9 7 5 ，t h i d ai n i t i a t e dt h ew h i t en o i s ea n a l y s i st h e o r y ( w n a ) ，w h i c hp r o v i d e sa g o o df r a m e w o r k f o rq u a n t u mf i e l d st h e o r y i nt h i sf r a m e w o r km a n y e n o u g hg e n e r a l i z e d f u n c t i o n a l s ( o rg e n e r a l i z e do p e r a t o r s ) a r ei n c l u d e d ，s ot h a tm a n ys i n g u l a ro b j e c t sc a n b ei n t e r p r e t e dr i g o r o u s l y i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i v e ( i n t e r a c t i n g ) q u a n t u mf i e l dt h e o r yf r o m t w os i g h t si nt h ef r a m e w o r ko fw n a ：t ot r e a tt h ef i e l d sa sg e n e r a l i z e do p e r a t o r sa sw e l l a sg e n e r a l i z e df u n c t i o n a l s t h ef o r m e rc o r r e s p o n d st os o - c a l l e dh a m i l t o n i a ns t r a t e g y ) w h i l et h el a t t e rc o r r e s p o n d st oe u c l i d e a ns t r a t e g y t h ec o n c r e t es t e p so fc o n s t r u c t i v eq u a n t u mf i e l d sa sg e n e r a l i z e do p e r a t o r sa r ed e ， s c r i b e da sf o l l o w s ：f i r s t ，t h eq u a n t u mf i e l de q u a t i o n sa r ei n t e r p r e t e da sa b s t r a c td i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rg e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e df u n c t i o n s ，w h i c ha r ec o n v e r t e db ys t r a n s f o r m a t i o ni n t oc l a s s i c a lw a v ee q u a t i o n s ；t h e n ，w ep r o v et h a tt h ec l a s s i c a le q u a t i o n s t h u so b t a i n e dh a v eu n i q u es o l u t i o n sa n dt h e s es o l u t i o n sa r ee x a c t l ys t r a n s f o r m a t i o n o faf a a n i l yo fg e n e r a l i z e do p e r a t o r s ，w h i c ha r er e f e r r e dt oa s q u a n t u mf i e l d s ；f i n a l l y ， w ev e r i f yt h a tt h es o l u t i o n ss a t i s f ys o m e d y n a m i c a lp r o p e r t i e s ，c o m m u t a t i o nr e l a t i o n s ， s c a t t e r i n gp r o p e r t i e sa n dp o i n c a r 4i n v a r i a n c ee t c t h i si d e a ( u s u a l l yc a l l e dw h i t en o i s e a p p r o a c h ) w a s i n i t i a t e db yh u a n gi n1 9 9 3 h eg a v et h e c o n c e p to fq u a n t u mw h i t en o i s e s 9 a n dq u a n t u mw h i t en o i s em e a s u r e sa n dt r e a t e dq u a n t u ms t o c h a s t i cp r o c e s sa sg e n e r a l i z e do p e r a t o r v a l u e dp r o c e s sf o rt h ef i r s tt i m e ，r a t h e rt h a nt h et r a d i t i o n a lv i e w p o i n t t h a tq u a n t u ms t o c h a s t i cp r o c e s si sa no p e r a t o r v a l u e dp r o c e s si ns o m eh i l b e r ts p a c e a f t e rt h a t f o l l o w i n gt h i si d e a h u a n g & l u od i s c u s s e dak i n do fs c h r s d i n g e rt y p eg e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e de q u a t i o n s ( 1 9 9 8 ) ，a n dh u a n g ，w a n gc w a n gx ( 2 0 0 0 ) p r o v e d t h a tak i n do fq u a n t u mc a b l ee q u a t i o n sh a su n i q u es o l u t i o n s i nf a c t ，m a n yi m p o r t a n t r e s u l t si ns t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r eo b t a i n e db yw h i t en o i s ea p p r o a c h ( 1 9 9 6 ) b u ts of a ra sw ek n o w ，t h ep r e s e n tw o r k i st h ef i r s ta t t e m p tt o 印p l yw h i t en o i s e a p p r o a c hi n t oi n t e r a c t i n gq u a n t u m f i e l dt h e o r yf o l l o w i n gh a m i l t o n i a ns t r a t e g y f o l l o w i n gt h ee u c l i d e a ns t r a t e g y b yv i e w i n g f i e l d sa sg e n e r a l i z e df u n c t i o n a l sa n d a p p l y i n gi t i n t oi n t e r a c t i n gq u a n t u mf i e l d sw e r ed i s c u s s e d ( 1 9 9 9 ) b ym g r o t h a u sa n d l s t r e i t t h e r et h e yc o n s t r u c t e du n d e rt h ef r a m e w o r ko fw h i t en o i s ea n a l y s i saf a m i l y o fs c h w i n g e rf u n c t i o n ss a t i s f y i n ga l lo sa x i o m se x c e p tf o rr e f l e c t i o np o s i t i v t y h e r ew e a l s ou s et h i sm e t h o dt oc o n s t r u c t ( 扩) 4q u a n t u mf i e l d s ， o u rm a i nc o n c l u s i o n si nt h i sp a p e ra r el i s t e di nt h ef o l l o w i n g ih a m u t o n i a n s t r a t e g y ( v i e w i n g f i e l d sa sg e n e r a l i z e do p e r a t o r s ) l e t 卢f 0 ，1 ) ，h e r e ，w ec h o o s et w og e l f a n dt r i p l e s ( n 3 ) = ec 花= l 2 ( 觑3 ) ce 4 = ( 廊3 ) a n d ( e ) 5c ( l 2c = l 2 ( e 4 ，肛) cc ( e ) 孑! a so u rb a s i cf r a m e w o r k c o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e do p e r a t o r ss p a c ei s c = c ( ( e ) g ，( e ) ) u n d e rt h ef r a m e w o r ko fw h i t en o i s ea n a l y s i s ，f r e ef i e l d sa n dt h e i rc o n j u g a t ef i e l d sc a n b ee x p r e s s e d ，r e s p e c t i v e l y , a sf o l l o w s ： 艄垆(2矿2厶。ei(wpt-p-x)喀q-e-i(wpt-pz)apj) 去皿3 、z u 9 a n d r一 伽( ，z ) = ( 2 ”) q 乙。( 一“”动睇_ e - k w _ t - p x ) a p j) 、警d 3 弘卯 v z w h e r e a p ，a p + a r e ( p o i n t w i s ed e f i n e d ) a n n i h i l a t i o na n dc r e a t i o no p e r a t o r so nf o c ks p a c e ( l 2 ) e ，r e s p e c t i v e l y , i m p = v 1 开了丽，m 0 s t a n d sf o rt h em a s so fp a r t i c l e 1 0 p u t 咖( z ) = 咖o ( o ，茁) ，丌( ) = 7 r o ( o ，z ) f i r s t ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so ff o l l o w i n gt w oe q u a t i o n sf o rg e n e r a l i z e do p e r a t o 卜v a l u e df u n c t i o n s ： a n d 器咖( 如) 一b 2 ( 扣) ( o ，。) 爱婀z ) = - a ：q ( 咖( t ，z ) ) = ( 。) = 7 r ) ， ( 1 ) 貉垂( 如) 一b 2 壬( t ，z ) = 一a ：币( t ，z ) a ： 壬( o ，。) = ? i ( z ) ( 2 ) 番西( o ，z ) = ”( z ) ， w h e r e ，v a r i a b l ez i ne q u a t i o n ( 1 ) i si n 皿1 ，w h i l ev a r i a b l ezi ne q u a t i o n ( 2 ) i si n 皿3 ，qi s ap o l y n o m i a l ，b = ( 一+ m 2 1 1 2 ，入 0s t a n d sf o rs e l f - i n t e r a c t i n gc o n s t a n t ，：| i sw i c k p r o d u c to fg e n e r a l i z e do p e r a t o r s c o n c l u s i o n1f o ra r b i t r a r y ，q e c ，t h e r ee x i s tc o n s t a n t sc ，k 0 s u c h t h a tt h es - t r a n s f o r m a t i o n s ( ，q ) ，亓( ，q ) o fg e n e r a l i z e do p e r a t o r s 西( z ) ，7 r ( z ) h a v et h e f o l l o w i n ge s t i m a t e s ： ( i ) 1 日嬉，q ) j ；k ( p s i ；，4 + i q l i 4 ) ； ( i i ) | 亓( ，叩) 曙( 眺4 + 蚓 4 ) ； ( i i i ) l b 2 $ 偿，q ) i ；“引；4 + l 町居4 ) ； ( i w i l 。石4 扛) d a x ( i k ( m t + 岫t ) ( v ) l p ( 壬( z ) ) 血( ，口) sc e 酬；4 + | 毗) c o n c l u s i o n2 s u p p o s et h a tp o l y n o m i a lp ( 让) i st h ep r i m i t i v eo fq ( ) s a t i s f y i n g 尸( 札) 0a n d 尸( o ) = 0 t h e n e q u a t i o n ( 1 ) h a sa u n i q u es o l u t i o n ( ，x ) l t o ，o 。) ，茁 研c c ( ( e ) c ，( e ) ；) ，w h i c hi sr e f e r r e dt oa sp ( 咖) 2q u a n t u mf i e l d b yt a k i n gs - t r a n s f o r m a t i o no fe q u a t i o n ( 2 ) ，w eg e ta4 - d i m e n s i o n a ls p a c e t i m e c l a s s i c a ln o n _ l i n e a rw a v e e q u a t i o n ( i nt h es e q u e lw eo m i t ( f ，q ) u n l e s so t h e r w i s es t a t e d ) a 0 酽2 - ( t ，z ) 一日2 毒( ，。) = 一a 毒( t ，。) 3 壬( o ，z ) = 西( z ) 番毒( o ，。) = 亓( 毋) 1 1 ( 3 ) c o n c l u s i o n3e q u a t i o n ( 3 ) h a su n i q u eg l o b a ls o l u t i o n 西( t ，。) ，( t ，z ) 0 ，+ ) 腑3 f u r t h e r m o r e i b 2 6 ( x ) l o ( i s 2 6 1 ；+ i 曰壬i ；) e ”8 ( o h ， w h e r e 彦( o ) = ；厶胪$ n 例2 + 犰扩岱 i sc o n s e r v a t i v ee n e r g yo fe q u a t i o n ( 3 ) ，l 1 0d e n o t e st h en o r mo fl 2 ( 艉3 ) c o n c l u s i o n4t h e s o l u t i o n 圣( t ，。) o fe q u a t i o n ( 3 ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y ： f 毒( f ，z ) 僖，町) f l e 鲍( 蚓影。刊口目，t ”， w h e r e f l ，k 2a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s m o r e o v e r ，w eg i v ead e t a i l e dp r o o ff o r a n a l y t i c i t yo fs o l u t i o n s w h i c hu s u a l l yi s i g n o r e di ns o m er e f e r e n c e s ，b u ti ti sn o to b v i o u s c o n c l u s i o n5f o r f i x e d 1 ，已，啦，叩2 ( e ) c ，t h es o l u t i o n 壬o ，茁) ( 1 + 卢已，叩l + ，y 叩2 ) o fe q u a t i o n ( 3 ) i sa na n a l y t i cf u n c t i o no nf 2i n ( 卢，7 ) c o n c l u s i o n6e q u a t i o n ( 2 ) h a su n i q u es o l u t i o ni nt h es e n s eo fg e n e r a l i z e do p e r - a t o r s ，i e - - t h e r ee x i s t s ，a u n i