（应用数学专业论文）带利率因子的连续时间复合二项模型的破产概率问题.pdf

燮星塑鲤笪塞墼窭 带利率因子的连续时间复合二项模型 的破产概率问题 摘要 本论文以带利率的破产概率为主线展开讨论，主要研究了连续 时间复合二项模型。我们这里认为连续时间复合二项模型 u ( ) ) 是 g e r b e r 的复合二项模型( 离散时间复合二项模型) 的连续化版本当 初始准备金u n 且c = a = i 时，1 一维骨架链u ( n ) 即为g e r b e r 的 复合二项模型；当0 时，即可得到古典风险模型。本文利用古典 风险模型的思想，应用鞅，更新方程及盈余过程轨道的对偶理论得到 了连续时间复合二项模型的带利率因子的破产前瞬间余额，破产赤字 的联合分布，( nj l u ) 的更新方程，在破产时间时赔付现值的期望皿( t 。) 的更新方程和，( i ，j l o ) 的精确表达式，及本模型的d i c k s o n s 公式 本文共四章第一章是绪论，总述了一下本论文的方法。第二章 是预备知识，介绍本论文的选题背景及本论文在推导时用到的逐段决 定马尔可夫过程的广义生成算子，对古典风险模型和已有的工作也进 行扼要的介绍第三章是本文的主体，讨论了连续时间复合二项模型 的带利率因子的破产概率等上述所得到的结果第四章是结论，总结 性的列出了本文的主要结果 关键字：联合分布，连续时间复合二项模型，破产概率，破产赤字， 破产时，鞅，对偶理论，d i c k s o n s 公式 童型兰垦重墼堑堡翌塑墨盒三至壅型塑堡耋篓塞塑墅一 d i s c o u n t e dp r o b a b i l i t i e sa n dr u i nt h e o r y i nt h ec o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n d b i n o m i a lm o d e l a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o nw em a i n l ys t u d yak i n do ft h ec o n t i n u o u s t i m ec o l l - p o u n db i n o m i a lm o d e l i ti sd e v e l o p e da c c o r d i n gt ot h ed i s c o u n t e dp r o b - a b i l i t y h e r ew em a yt h i n kt h ee o n t l n u o u 8 一t i m ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l i st h ec o n t i n u o u sv e r s i o no fg e r b e r l sc o m p o u n db i n o m i a lm o d e l ( d i s c r e t e - t i m ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l ) 1 - s k e l e t o nc h a i nm a yb e c o m eg e r b e r s c o m p o u n db i n o m i a lm o d e lw h e nu na n dc = = 1 a n dt h ec l a s s i c a l r i s k m o d e lw h e n l0 i n t h i sp a p e r ，w eu s ea na p p r o a c hs i m i l a rt og e r b e ra n ds h i u 3 1 b ya n a p p l i c a t i o no fm a t i n g a l et h er e u e w a le q u a t i o n ，a n dd u a l i t yi nt h es a m p l e p a t ho ft h ep r o c e s s 玎0 ) w eg e t ，( z ， u ) ，t h ed i s c o u n t e dp r o b a b i l i t yo fr u i n f o ra i li n i t i a ls u r p l u s “s u c ht h a tt h es u r p l u sj u s tb e f o r er u i ni si c a m i dt h e d e f i c i ta tr u i ni sj c at h i sf u n c t i o nc a 1 lb en s e dt oc a l c u l a t et h ee x p e c t e d p r e s e n tv a l u eo fap e n a l t yt h a t i sd u ea tr u i n a ne x p l i c i tf o r r m l l af o r ( i ，j l o ) i sd e r i v e d t h e nlc i ss h o w nh o wf ( i ，jr ) c a nb ee x p r e s s e di nt e r m s o f ( i ，j l o ) ad i s c r e t ev e r s i o no fd i c k s o n sf o r m a l ai sp r o v i d e d t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s f i r s t ，w ei n t r o d u c et h er e l a t i o n a la p - p r o a c ho ft h et h e s i si ng e n e r a l ab r i e fr e v i e wo ft h eb a c k g r o u n do ft h e d i s c o u n t e dp r o b a b i l i t ya n ds e v e r a le l e m e n t a r yc o n c e p t so ft h ee x t e n d e d g e n e r a t o ro fp d m pa r eg i v e ni nt h es e c o n dc h a p t e r t h ec l a s s i c a lr i s km o d e l a n ds o i t t er e s u l t sa r ea l s oi n t r o d u c e di nt h es e c o n dc h a p t e r a f t e rt h a tt h e m a h lb o d yo ft h i sp a p e rs t a r t s i nt h el a s tc h a p t e r ，t h er n a l nr e s u l t sa r e g i v e n k e yw o r d s ：j o i n td i s t r i b n t i o n c o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a l m o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y d e f i c i ta tr n i n ，t i m eo fr u i nm a r t i n g a l e s d u a l i t y d i c k s o i l sf o r m u l a 带利率园子的连续时间复合二顷模型的破产概率闻题 i ( a ) b ( r ) e e x 吲 e ”瞵 f g r ( 锄 | v r 上 ( q ，p ) a v ( t ) 妒( 乱) 0 u 【t 一) u ( t ) 【u j ( u ) ，( 1 ) ( z ) 符号说明 事件a 的示性函数 显上的b o r e lj 一代数 状态空间 数学期望 条件数学期望 s ( x l u ( 0 1 = ) 分布函数 分布列 p ( a t x o = o 、 口一代数 正整数集 菲负实数集| o ，0 ( 3 ) 概率空间 广义生成算子 保费收入率 风险盈余过程 破产概率 利率因子 破产时刻 破产前瞬间余额 破产赤字 不超过u 的最大整数部分 u 的小数部分 函数f ( x ) 关于x 的一阶导数 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，也不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 学位论文作者签名：却壬硌 日期：三卯j ，声口 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权河北 工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：劫 钨 导师签名：琅 冈他 日期：溺。，卯 日期：泐f ，、w 河北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 保险风险理论产生于保险公司承担项目的可行性研究，其中集体风险理论是一个重要 的组成部分它的发展已经有多年的历史集体风险理论的研究对象主要来自保险商业的各 种随机模型，它主要是利用概率论知识，根据保险经营中的实际问题建立数学模型，给出保 费的计算方法和包括破产概率、首次亏损等方面的分析对古典风险模型( 或称为复合泊松 模型) 破产理论的研究，已取得了丰硕的成果，见文献 1 1 和【1 2 】 从经济实际出发，我们发现带利率因子( 或称为贴现率) 的破产概率问题更接近实际问 题，所以这些年来也引起了许多人的兴趣对于古典风险模型来说， g e r b e r 和s b i u i 研首 次考虑了盈余过程初始准备金为u 的条件下破产前瞬间余额，破产赤字的带折扣的联台分 布，( z ，g i u ) ，并把d i c k s o n s 公式推广到了带利率的情况g e r b e r 和s h i u i 叫把风险模 型中最重要的三个量：破产时t ，破产前瞬间余额u ( t 一) ，破产时赤字1 u ( t ) l 的研究嵌 入到一个期望折现罚金的研究，通过选择适当的罚函数，再配合参数6 的取值，就可以得到 关于这三个变量的很多结果关于复合二项模型即初始余额u 为整数值，保费收入率c 为 1 ，索赔额也为整数值的情况，g e r b e r1 5 j _ 首先提出并给出破产概率公式，破产前余额和破 产严重程度的联合分布c h e , g ，g e r b e r 和s h i u l 6j 考虑了复合二项模型的带利率的破产概 率，得到了与古典风险模型相对应的结果 本论文考虑的是连续时间复合二顼模型，此模型是由l i u ，w a n g ，z h a n g 1 0j 首先提出 的我们这里认为连续时间复合二项模型 u ( t ) ) 是g e r b e r 的复合二项模型( 离散时间复 合二项模型) 的连续化版本当1 u n 且c = a = l 对，1 一维骨架链即为g e r b e r 的复 合二项模型；当0 时，即可得到古典风险模型 受到g e r b e r 和s h i u 0 1 ，g e r b e r 和s h i u l h 的启发，我们这里应用鞅，更新方程及盈 余过程轨道的对偶理论得到了连续时间复合二项模型的带利率因子的破产前瞬间余额，破产 赤字的联合分布f ( z ，j l “) 和在破产时间时赔付现值的期望) 满足的更新方程，( j 1 0 ) 的糖确表达式，及相应的d i e k s o n s 公式。在本论文中的注中我们把每一结果与古典风险模 型的结果相比较，它的极限情况都满足古典风险模型 这里我们需要做一下说明，鞅方法是本论文考虑的连续时间复合二项模型的基础自 d a v i s l l 8 f 提出逐段决定马尔可夫过程( p d m p ) 概念之后，d a s s i o n 和e m b r e c h t s 1 圳给 出了基于p d m p 理论的风险理论研究的程式化方法邵鞍方法，将风险模型纳入p d m p 框 架，通过求解算子方程a = 0 ，得到相关的鞅，这里的a 为p d m p 的广义生成算子 f e x t e n d e dg e n e l a t o r ) ，但圆于原有随机过程理论的限制，连续时间风险模塑只适于索赔到 达时间间隔服从连续型分布的情形，索赔到达时间间隔为离散型分布的情形仅限于离散时 l 带利率园子的莲续时间复舍二项模型的破产概率问题 间风险模型基于刘国欣，侯振挺，邹捷中的带离散分量的广义生成算子理论，突破了 这种限制，使连续时间风险模型也可以适于索赔到达间隔分布为离散型或为绝对连续型和 离散型的混合的情形 本文共四章，第二章是预备知识，介绍了本论文的选题背景，古典风险模型和已有的 工作，内容主要取自文献f l 王】， 1 2 和【1 6 】，并介绍了逐段决定马尔可夫过程的一些基本 概念及p d m p 的广义生成算子，内容主要取自刘国欣，侯振挺，邹捷中1 1j ；第三章是本 文的主体，讨论了带利率的连续时间复合二项模型的破产概率第四章是结论，总结性的列 出了本文的主要结果 2 河北工业人学硕十学位论文 第二章预备知识 2 1 选题的经济背景 我们这里先介绍一下这篇文章的选题的经济背景下面用到的利率贴现思想 在现实的经济生活中，我们往往要做一些财务决策。而这些财务决策往往会涉及存在 一定时间跨度的成本和收益核算无论是家庭还是公司的财务央策者，都必须根据未来的预 期收益评估当前的投资，因而不可避免的要对不同时期的货币进行价值比较逸就用到我们 要说的货币的时闻价值和现金流贴现的思想。 我们先从复利计息的概念出发，复利计息是当前的价值( 或称现值) ，转变为终值的过 程终值是指一笔投资按一定的复利利息计息，从而在未来某一时问获得的货币总额例 如，假设你将1 0 0 0 元存八银行，年利率为l o 如果5 年内你不动片j 这笔钱，5 年后你 将得到的金额就是1 0 0 0 美元的终值( f v ) 。 贷款和存款的利息通常以年度百分率( a p r ) ( 如每年6 ) 和一定的计息次数( 如 按月计息) 表示因为计患次数之间存在差异，所以必须找到一种方式，使利率可以直接比 较，这就是实际年利率( e f f ) ，即每年进行一次计息时的对应利息率 倒如，假如你的存款按6 的年度百分率( a p r ) 每月计复利，也就是说，你的存款 每月按规定的a p r 的1 1 2 获得利息，这时，真正的利息率实际上是o5 月利率( 用小 数表示是每月0 0 0 5 ) 。 我们发现，实际年利率( e f f ) 可以用年初每美元到年末的终值( f v ) 计算在该例 中我们算得 f v = l 0 0 5 1 2 一1 0 6 1 6 7 7 8 实际年利率等于该数减一： e f f1 0 6 1 6 7 7 8 100 6 1 6 7 7 8 或每年61 6 7 t g 实际年利率的总计算公式为 e f f ：( 1 + 丝】”l y f l 其中，a p r 为年度盯分率；n l 为每年计息次数。假如一年汁息一次，邪么实际年利率就 等于年度百分率随着计息次数的增加，实际年利率会变得越来越大并趋向一个极限当i n 趋向于无穷大时，( 1 + ! 警) ”1 会越来越趋近fe “9 8 ，在该例中，e o 0 6 = 1d 6 1 8 3 6 4 所以当连续计复利时，e f f = 00 6 18 3 6 4 。或每年6 1 8 3 6 4 所以当连续i | i 复利时，e f f00 6 18 3 6 4 。或每年6 1 8 3 5 4 3 河北工业大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 选题的经济背景 我们这里先介绍一下这篇文章的选题的经济背景下砸用到的利率贴现思想 在现实的经济生活中，我们往往要做一些财务决策而这些财务决策往往会涉及存在 一定时间跨度的成本和收益核算无论是家庭还是公司的财务决策者，都必须根据未来的预 期收益评估当前的投资，因而不可避免的要对不同时期的货币进行价值比较这就用到我们 要说的货币的时间价值和现金流贴现的思想， 我们先从复利计息的概念出发，复利计息是当前的价值( 或称现值) ，转变为终值的过 程终值是指一笔投资按一定的复利利息计患，从而在未来某时间获得的货币总额例 如，假设你将l o o o 元存入银行，年利率为1 0 如果5 年内你不动用这笔钱，5 年后你 将得到的金额就是l o o o 美元的终值( f v ) 贷款和存款的利息通常以年度百分率( a p r ) ( 如每年6 ) 和一定酌计息次数( 如 按月计息) 表示因为计息次数之间存在差异，所以必须找到一种方式，使利率可以直接比 较，这就是实际年利率( e f f ) ，即每年进行一次计息时的对应利息率 倒如，假如你的存款按6 的年度百分率( a p r ) 每月计复利，也就是说，你的存款 每月按规定的a p r 的1 1 2 获得利息，这时，真正的利息率实际上是0 5 月利率( 用小 数表示是每月0 ，0 0 5 ) 。 我们发现，实际年利率( e f f ) 可以用年初每美元到年末的终值( f v ) 计算在该例 中我们算得 f v = 10 0 5 1 2 = 1 0 6 1 6 7 7 8 实际年利率等于该数减一： e f f = l ，0 6 1 6 7 7 8 1 = 0 0 6 1 6 7 7 8 或每年6 1 6 7 7 8 实际年利率的总计算公式为 e f f ：( 1 + a p rj , n 一1 m 其中，r 为年度百分率，为每年计，n 次数假如一年计息一次，那么实际年利率就 等于年度百分率随着计息欠数的增加，实际年利率会变得越来越大并趋向一个极限当n 趋向于无穷大时，( 1 + a 鬲p r r ) ”1 会越来越趋近fe “p r ，在该例中，e 00 6 = 10 6 1 8 3 6 4 所以当连续计复利时，e f f = 0 0 6 18 3 6 4 或每年6 1 8 3 6 4 3 带利率因子的连续时间复舍二项模型的破产概率问题 现值计算是终值的逆运算。也就是说，它能告诉我们现在投资多少钱将来才能获得你 想要的货币量我们称现值的计算为贴现，用于计算的利率通常称为贴现率就上倒而言， 将来1 美元的现值为e o0 6 = 09 4 1 7 6 4 这里的o0 6 就是我们下面要用到了贴现率，在 不影响混淆的情况下，我们在下面称为利率同时为了计算方便，我们考虑下面的折现是用 e 。2 来表达的 在现实的经济世界除了贷款和存款还有债券，年金等等这些往往要用到利率贴现的 思想 2 2p d m p 的广义生成算子 由d a v i s 1 8 l 引入的逐段决定马尔可夫过程( p d m p ) 在随机控制理论、风险理论中具 有重要的应用刘国欣，侯振挺，邹捷中【l j 推广了p d m p 的概念逐段决定马尔可夫骨 架过程是指这样的一类随机过程，存在一列随机时刻，使得在这些随机时刻过程具有马尔可 夫性，而在相邻两个这样的随机时刻之间过程按决定性系统演化，其详细理论可参见【l 】 本文碍i 到了有关逐段决定马尔可夫过程( p d m p ) 的广义生成算子。 定义2 2 1令v ( a ) 表示满足如下性质的可测函数，：e r 的集合：存在可测函 数h 。：e r 及可测函数h d ：eu 0 + e _ r ，使得对每个2 e 函数t h 。( z ) 是 b a8 可积的，而函数t 一( 研) 。j l 是可和的，且过程 一 一 口= ，( z t ) 一，( z o ) 。( z s ) d 。一h d ( x 。一) d p j 0 j 0 是r 一前局部鞅，其中p 为过程分布跳点的计数测度则我们记h = a ，其中h = ( h 。，h d ) ，a = ( a a d ) ，并称( a ，口( a ) ) 为p d m px = ( z ( c ) u ) ，0 t r ) 的广义生 成算子其中a 。和山分别称为广义生成算子a 的绝对连续部分和离散部分 定理2 2 1 设x = 扛( t ，u ) ，0st t ) 为一标准的p d m p ，且x 的分布特征的分 解式中无奇异部分，则x 的广义生成算子a 的定义域) c a ) 由满足如下条件的可测函数 ，e uf r 组成： ( i ) p ，4 c 且在t = c ( z ) 点左连续；( ，p 4 c 表示f 为逐段绝对连续可测函数) ( i i ) ( 边界条件) g ，( 。) = 0 ，z r ( r = a + e ) ，其中 ， c ( z ) = f ( y ) q ( x ，d y ) 一，( 。) ，z e u f j e ( i i i ) b f 。( d p ) ，其中 b ( ：r t 。) = f ( z ) 一，( ( 。) ) 河北工业大学硕士学位论文 对，口( a ) ，a ，= ( a fa d j ) 由下式给出 a 。c ，( z ) = 爿，( 。) + a ( z ) 7 ( ，( 可) 一，( z ) ) q ( z ，匆) ，z e a d f ( z ) = ，扛) + o ( ) 7 ( ，( ) 一，( z ) ) q ( z ，d r ) ，z e u i 、 其中 疋，( z ) = 型掣k 。， 若芝掣k 。存在 lo ，否则 而若x o ，t o 使得z = m ( t o ，x o ) ，则 m ) = f ( q o ( t o , x o ) ) = 似( ”o ) ) - 。l i l m t 。m ( 8 ，。o ) ) 为，【妒( t ，x o ) ) 在t o 点的跃度 1 ) 由f 的可测性及x 一的可料性知，对每个石e ，b f 为可料过程b f 关于口的 积分为 e x r + 函 于是，当对每个自然数n b ( i f ( x 。) 一f ( x 。一) i ) 0 ( 3 k = l 或 e 。( i f ( x 。) 一f ( x 。一) i ) o o s “ ( z 司时，8 ， 。( 缸) 特别地，当f 有界时，b 三哥( 叱) 证明参见 2 3 古典风险模型及前人的结果 集体风险理论是保险或精算数学的一个重要部分，通过对保险业务进行数学描述，建 立起保险公司的随机风险模型，从而可以借助数学方法来处理这些随机风险模型本论文的 注中我们把每一结果与古典风险模型的结果相比较，为了以供读者更好阅读本文我们把古典 风险模型介绍一下 最简单的保险风险模型，这里称为“占典风险模型”或者“复合泊松模型”，如下 5 带利率因子的连续时间复合二项模型的破产概率问题 ( i ) 初始准备金u ，u 是非负实常数 ( i i ) 保费收入过程中的保费按照确定的常数保费率c 收取 ( i i l ) 索赔额序列( 墨i ，j n ) ，x j 表示第，个索赔的索赔额，是一列独立同分布的随 机变量 ( j v ) 索赔到达的计数过程 ( t ) ，t r + ) n ( t ) 表示在( 0 ，t 内发生的索赔总次数， 是一个强度为正实常数a 的齐次p o i s s o n 过程，且与索赔额序列相互独立 在风险理论中，人们关心的是盈余过程，它表示保险公司的盈余( 或累计资本) 对 v t20 ，若保险公司在t 时刻的盈余( 或者称余额) 用u ( t ) 表示盈余过程为 u ( t ) = u + c t s ( ) 累积索赔额过程为 n ( t ) s ( o = 玛 ，= i 我f f l f l tp ( x ) 表示为玛的共同分布函数，p ( o ) = 0 ，p 表示p ( x ) 的数学期望，有 时还有概率密度函数p ( x ) 用咖( “) 表示保险公司最终破产概率，记 t = i n f t 0 ：u ( t ) o ) ( 约定i n f o = o 。) ，t 称为破产时刻则 砂( u ) = p ( t a 弘，这意睬着单位时间内所收到的保费超过 单位时间内所支付的索赔额均值 关于古典风险模型的破产概率在文献中有大量的论述g e r b e r ，g o o v a e r t s ，和k a s s 5 j 引入丁变量u 0 和y 0 的函数， g ( u ，y ) ：= p ( - y u ( t ) 0 ，t o o l u ( 0 ) = u ) g ( “，口) 描述的是破产发生时，破产赤字i u ( t ) i 小于y 的概率之后，d u f r e s n e g e r b e r 7 又引入函数 f ( u ，。) ：= p ( o u ( t 一) sz t o o l u ( 0 ) = u ) 它描述了破产发生时，破产前瞬间余额u ( t 一) 的分布；d i c k s o n 8 】利用破产发生时各事件 之间的关系将f ( u 、z ) 用g ( u ，y ) 和出( u ) 来表示 “ 河j t - r - 业大学硬士学位论文 g e r b e r 和s h i u 2 j 考虑的是破产前瞬间余额，破产时赤字和破产时间的联合概率密度 函数f ( x ，y ，t 1 ) ，其中对破产时是考虑的l a p l a c e 变换可以看作是折现借助余额过程轨 道的对偶理论，再证明了满足更新方程，得到了d i c k s o n h 公式的推广 g e r b e r 和s h i u 3 】继续考虑联合密度函数f ( x ，y ，t “) ，用不同的方法推广了d i c k s o n 8 】 公式，首次计算了期望折现罚金，使其更具有经济意义 我们首次把g e r b e r 和s h i u 3j 的思想引入连续时间复合二项模型中去，得到本文的主 体即第三章 带剥率因子的连续时闻复舍二项模型的破产概率向题 第三章带利率的连续时间复合二项模型 3 1 带利率的连续时间复合二项模型的介绍及其联合分布 在连续时问复合二项模型中，初始准备金u 0 ，保费收入以常数率c 连续地到达 余额过程可以表示为 u ( t ) = + c t s ( t ) ， 这时，累计索赔额过程为 j r ( t ) s ( ) = x k ； k = l 还需假定： i 索赔额序列 x k 1 相互独立与x 同分布，且 p ( x = k c a ) = ：p ( ) ，= 1 ，2 ，- ， 。o 满足p ( k ) = 1 k = 1 i i x ) 1 与计数过程 ( t ) ，t20 ) 相互独立 i i i 计数过程 ( t ) ，t 0 ) 是参数为p 的( 延迟的) 连续时间二项过程，即从盈余 首次达到c a 的整数倍开始，时间每增加，就以相同的概率p 到达一索赔x 在时间 t 之前【包括t ) 最多可能发生索赔【去十( 盖) j 个，其中( ) 表示取小数部分， 表示 取整数部分因为余额过程首次到达c 整数倍的时刻为 1 一( 羞) ，方便起见，以后记 t 。：= h 一( 羔) 1 ，n = 1 ，2 ，则t 。表示第n 个可能发生索赔的时刻换言之，在每 一个t 。n = 1 ，2 ，一，处以相同的概率p 到达一索赔，以概率1 一p 无索赔发生，而在除 t 。，n = 1 2 ，- ，外的时间不可能发生索赔，那么就有 e ( n ( t 。) = ) = 磷矿( 1 一p ) “，k = 1 ，2 ，r b 丁 p l l = 砂 u 耋j | p 证 曝 x e p件条益收净是满v 1 i l l 0 河北工业大学硕士学位论文 若令 。女) k ! 。表示第k 个索赔到达时刻，约定印= 0 ， n ) = l 表示第k 一1 个和 第k 个索赔到达时间间隔，即t k = f f k 一口一hk = l ，2 ，- 一，则 p ( t i = t k ) = 尸( = k a ) = p ( 1 p ) 2 ，k = i 2 ；n = 2 ，3 令t 和咖( u ) 分别表示盈余过程的破产时刻和初始准备金为n 时最终破产的概率，若 集合丁为空约定t = o c t = i n f t 0 ：u ( t ) 曼o ) ， ( 3 1 1 ) 妒( u ) = p ( t 。o l u ( o ) = “) ( 3 1 2 ) 另外，对于u ( o ) = “o , t k = 【k 一( 基) j ，定义 ，( t ，j ，k l u ) ：= p ( u ( t 一) = i c a ，i u ( r ) i = j c a ，t = t k l u ( 0 ) = ) ( 3 ，1 3 ) 为随机变量破产前瞬间盈余u ( t - ) ，破产赤字l u ( t ) l 和破产时丁的联合分布则 。o 。0 0 巾，j ，k l u ) = p ( t u + c t k 时，( i ，j ，k l “) = o ； ( 2 ) 当i = l c aj + k ：= k “时，则，( ，i u ) = p ( k “十j ) p ( 1 一p ) k - i ； ( 3 ) 在其余情况， 矗= ”，fk i “) 2 = 0 p ( i 十j ) 1 一f ( 托一t ) c a ) ( 3 1 5 ) 证明： ( 1 ) 和( 2 ) 显然 下证( 3 ) 由条件概率公式p ( anb ) = p ( a ) p ( b i a ) ，f ( i ，j ，i u ) 可以看成在 初始准备金为时u ( t 一) 和丁在( i c a ，靠) 的联合分布与1 u ( t ) 1 在j c a ，条件为 u ( t 一1 = i c at = t k 的条件概率乘积，且后者不依赖于丁即： p i i u ( t ) = j c i u ( t 一) p 【| u ( t ) i = j c a i u ( t 一) p f i u ( r ) i = j c a ，u ( t 一) 尸( v ( 丁) = i c a ) 。o p ( u ( t ) - i c a ，l u ( 7 1 ) l = j c a ) 3 = 0 尸0 + ，) 1 一f ( ( 。一1 ) c a ) 9 让 = ou = 7 媳渊： 带利率因子的连续时间复合二项模型的破产概率问题 其中，f ( i c a ) ：= p ( x 曼i c a ) 因此， f ( i ，j ，i u ) = p ( u ( t - ) = i c a ，i u ( 丁) i = j c a ，t = “l u ( o ) = u ) = p ( u ( t 一) = c a ，t = t k l u ( o ) = u ) p ( 1 u ( t ) i = j c a i u ( t 一) = i c a ，t = t k ，u ( o ) = u ) om 、 p ( 。+ ，) 2 善八t 1 1 引i - 蒜当两 对于6 0 为利率因子，定义带利率的( u ( t 一) ，u ( t ) ) 的联合分布 o o f ( i ，l u ) = e 。巾，j ，m k = 1 坪l u ) = f ( i ，1 u ) = o 为叙述符号方便，f ( i ，j 1 u ) ，f ( i l u ) 并没有显示对6 的依赖 由( 3 15 ) 可得 o 。 f ( i ，州= e “f ( i ，j ，i u ) 七= i e “坤，l ， u ) i k = 1= 0 = f ( i ，i l = o 定义 g ( j ) p ( i + j ) p ( i + j ) f ( ( i 一1 ) c a ) f ( i l nd 等 ( 3 1 6 ) ( 3 ，1 7 ) ( 3 1 8 ) o o = ，陟 ( 3 l 9 ) t = 1 9 ( j ) 可解释为盈余过程首次低于( 或触到) 初始值1 1 , ，且余额为( 【迭j j ) c a 的带利率的 概率通过区分盈余首次低于( 或触到) u 时破产是否发生，可得下面的定理： 1 0 定理3 1 2 0毛 j叮 d e ：i 盟型垫缕童塞 ( 1 ) 当0 n l e a ， 【茏j 一1 九q 引砌2 鲋，j i ( l 五“3 一) c m f ) + 坤一【去协去州去) ) ；( 3 1 1 。) ( 2 ) 当0 c 0 ：u ( 0su ) f 3 1 1 2 ) 通过区分盈余过程首次小于等于时破产是否发生， 当0 n 诧， f ( i ，j l u ) = e ” e 一6 丁“u ( 丁r 一) = i c a ，i u ( t ) i ：，c ) 】 = e “f e 一打r ( u ( r 一) = i c a ，j u ( 丁) l = j c a t u 丁) 1 + e “f e 一6 r i ( u ( t 一) = i c a ，j u ( t ) i ：j c a t u ：丁) 1 2 e “妒丑u ( 丁) 施m ) i = j c ，u ( t u ) ：( 嘲一f ) c ) 】 f = u 0 l 1 + 巾一l 去j j + 五uj l 丽i t ) ) 一 e “m ”“u ) = z r ， 【，酬：，c ) 1 ：_ 8 j 打“巧( p ) = ( 1 去j 一啦) 1 十“一i 去协“去羞) ) 2 吾邝矧( 【去j _ f ) c m f ) + 巾【去协+ 【基州c 兰a ”，= 0 。 ( 1 n c 。 。 堂型童旦至堕垄丝堕旦星盒三堡壅型丝墼童堡垩旦嬖 类似可证，当0 茎i c a “， 剜北工业大学硕士学位论文 3 2 鞅及关键公式 容易看出盈余过程u ( t ) 是一个逐段决定的马尔可夫过程，它的三元特征为( ，只q ) ： 妒( ，工) = z + 以，z r ，t f 0 ；f 定义为f ( x ) = ( 1 一p ) l 号手j 一1 蠢j ；q ( z ，d 可) = g ( x d y ) 在这种意义下茁一b x 可：y b ) ，( b b ( t e ) ) 由第2 2 节知时间空间 过程 ( u ( t ) ，t ) ) 的广义生成算子为a = ( a n c ，a d ) 有如下形式： ia 。，( 。，t ) = c 鑫，( z ，t ) + 岳t f ( x ，) ， la d f ( i c a ，t ) = a ( i c a ，) + p ( 露”f ( i c 2 x ，t ) g ( d y ) 一f ( , z c a ，) ) ， 其中i c asz ( i + 1 ) c a ，i = 0 ，t ：1 ，士2 ， 刘国欣，候振挺，邹捷中的定理4 2 5 有如下引理： 引理3 2 1 假设f ：r r + 一r 是一个函数满足： ( i ) 对任意的z r ，f ( x + c t ，t ) 是一个关于t 逐段绝对连续的： 是c a 的整数倍才发生； ( i i ) a f = ( a 。f ，月d ，) = 0 ； ( i i i ) 对任意的u e ，t 兄+ ， e ( l ，( 矿( ) ，盯。) 一，( u ( 一) ，) 1 ) o 。 且它的跳只在z 斗d ( 3 2 1 ) 那么 ，( u ，t ) ) 是一个鞅 由上述引理，为得到一个如下形式的鞅 f ( u ( q ，) ) ，我们需要解方程a f = 0 事 实上，我们只需要一个特解 试求形如如下的特解f ( x ，t ) = e x p s ( l 云j i 巷j ) c 一口 一( 云) + ( 基) ) ) 这里【u j 和( u ) 分别代表整数部分和小数部分我们看出0 是依赖于s ，即0 = o ( s ) 那 么方程a ，= 0 导出 ，“c ，t ) 一f ( i c a ，z ) e ( 一8 。+ 8 ( 5 ) ) 十p f ( i c a ，t ) ( 西( s ) 一1 ) = 0 ， 这里芦( s ) = 铲e “y c ( d y ) 0 我们有 1 一e ( 一3 。+ 。( 8 ) ) + p ( p ( 5 ) 1 ) = o ， 因此 1 口( s ) 2c s + 云1 1 l 【1 十烈酬1 ) j -( 3 - 22 ) 1 3 童型兰垦王塑壅丝壁堡星垒三堡堡星墼堡兰堡圣堡墅 所以为证 e x p 刚罢却c 叫s ) ( 川罢) + ( 羞) ) ) 是鞅，我们只需证明( 3 21 ) 对于任意的“r ，见 是成立的事实上，在索赔到达时 刻o r 。，u ( a n 一) 和己，( 。) 都是c 的整数倍对于0 s 。，我们得到 e ( i ，( u ( t ) ，o n ) 一，( u ( 一n 一) ，a n ) 1 ) o n t f n ，孓( 1 、0 l e s ( i 旦! 挚j _ 1 卷j ) c a - e ( s ) ( 。一( 生；掣) 十( 盖) ) = e 【 i 避挚h 卷”( 蜘一掣+ 盖 一e s ( 1 掣j 一【告j ) c 一8 ( s ) ( 。n 一 掣) + ( 盖) e e 州! i j c ) e s 【去j c a - - 0 d ) + ( 盖) 】 ) m 默 e 一8 【老j c a ，e 一5 l 羞j c 一9 ( 8 ) ( 冲( 羞) ) ) s e 【e 阱“ m a x 1 ，e 一8 + 蠢 n = 1 “气i 去j + 1 ) m a - x 1 ，e 埘忙“件) 0 这是由 s c h w a r z 不等式可得所以0 ( s ) 为严格凸函数 当6 0 时，当8 = 0 ，( s ) = 一占 u = u ( o ) ，噩。= i n f t 0 ：u ( t ) = i c a 为盈余过程首次到达水平 i c a ，为停时对鞅m ( ) = e x p 一6 ( t 一( 辔) + ( 卷) ) + 反l 警j i 基j ) c ) 是一 个正鞅且0st 墨正。a ，u ( t ) i c a 有界，应用可选时定理，可得 e ( m ( 互c ) l 己，( o ) = ) = l 即为 球计旧。d 等! ) + ( 芸) ) 州l1 7 掣卜i 帮c 酬叩) ：“) _ l ， 化简为 e ( e 一6 l c i u ( 0 ) = u ) = e - p ( 卜一【羞j ) 。+ 6 ( 巷) ( 3 2 3 ) 上式可解释为若6 为利率因子，e - o ( 4 一【叁j ) 。+ 6 ( 叁) 就是当盈余过程首次到达i c a 时， 被付值为1 的期望折现值 注3 2 1 ( 1 ) 即使u 为负时，( 3 2 3 ) 也是成立的，所要求的条件是i c a “。在推导中条件 “0 是不需要的。 】5 童型塞亘重墅壅堡堕塑茎鱼三堡塞笪壅主茎主塑堑 ( 2 ) 当l x 一0 ，为复合泊松过程 e ( e 一6 rl u ( o ) = u ) l i me p ( z 一【卷j c ) + 6 ( 盖) 一0 e p ( t 一“)