（概率论与数理统计专业论文）带利率的经典风险模型的绝对破产.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 带利率的经典风险模型的绝对破产 摘要 本文致力于研究带利率的经典风险模型的绝对破产，绝对破产模型是在经 典风险模型的基础上，假设当保险公司无力偿还索赔时，公司可以向银行贷款 来弥补暂时的赤字，继续经营业务文献【1 】- 【4 】都对绝对破产模型进行了研究， 文献【2 】利用鞅方法给出了索赔额为指数分布情形下绝对破产概率的解析表达 式，文献 4 】利用了逐段决定马尔可夫过程无穷小算子和鞅的关系来研究绝对 破产问题本文主要讨论了具有两类利率的经典风险模型的g e r b e r s h i u 函数 和绝对破产概率，并且讨论了带干扰的经典风险模型的绝对破产问题 根据内容本文共分为以下两章： 第一章，本章在文献【1 】的基础上，考虑带两类利率的经典风险模型的g e r b e r - s h i u 函数第二部分给出了绝对破产模型下的一些基本的定义；第三部分给出 了g e r b e r - s h i u 函数满足的积分微分方程；第四部分给出了索赔额服从指数分 布时的绝对破产概率 第二章，本章在文献【1 0 】的基础上，讨论了带干扰的经典风险模型的绝对 破产，我们把绝对破产情形分为由索赔引起的绝对破产和由扰动引起的绝对破 产，在第二部分给出了带干扰的绝对破产模型下的一些基本定义；在第三部分 给出了绝对破产概率函数满足的积分微分方程；第四部分给出了索赔额为指数 分布时绝对破产概率函数满足的微分方程 关键词：绝对破产；g e r b e r s h i u 函数；积分微分方程；指数分布 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ea b s o l u t er u i ni nt h er i s kp r o c e s s e sw i t hi n t e r e s t t h ea b s o l u t er u i nm o d e li sb a s e do nt h ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ， w h e nt h es u r p l u si sb e l o wz e r oo rt h ei n s u r e ri so nd e f i c i t ，t h ei n s u r e rc o u l d b o r r o wm o n e ya tad e b i ti n t e r e s tr a t et op a yc l a i m s t h ea b s o l u t er u i nm o d e l h a sb e e ns t u d i e di nt h el i t e r a t u r ef o r m 【1 】t o 【4 】t h ea b s o l u t er u i np r o b a b i l i t y w i t he x p o n e n t i a lc l a i m sh a sb e e ns t u d i e di n 【2 】u s i n gt h em a r t i n g a l ea p p r o a c h i n 【4 】，e m b r e c h t sa n ds c h m i d l id i s c u s s e dt h ea b s o l u t er u i np r o b a b i l i t yi nag e n 一 e r a li n s u r a n c er i s km o d e lu s i n gt h et h e o r yo fp i e c e w i s ed e t e r m i n i s t i cm a r k o v p r o c e s s e s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ea b s o l u t er u i ni nr i s kp r o c e s sb a s e do n t h el i t e r a t u r e 【1 】t oo b t a i nt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nw i t ht w o t y p e so fi n t e r e s ta n dt h ea b s o l u t er u i np r o b a b i l i t y w ea l s os t u d yt h ea b s o l u t e r u i ni nt h ep e r t u r b e dc o m p o u n dp o i s s o nr i s kp r o c e s su n d e rd e b i ti n t e r e s tf o r c e t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h eg e r b e r s h i uf u n c t i o n si nt h er i s kp r o c e s s e s w i t ht w ot y p e so fi n t e r e s tb a s e do nt h el i t e r a t u r e 【1 】- i ns e c t i o n2 ，w eg i v e s o m ef u n d a m e n t a ld e f i n i t i o n sf o ra b s o l u t er u i nm o d e l ；i ns e c t i o n3 ，w ed e r i v ea s y s t e mo fi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h eg e r b e r s h i uf u n c t i o n ；i ns e c t i o n 4 ，w eg i v et h ea b s o l u t er u i np r o b a b i l i t i e sf o re x p o n e n t i a lc l a i m s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ea b s o l u t er u i ni nt h ep e r t u r b e dc o m p o u n d p o i s s o nr i s kp r o c e s su n d e rd e b i ti n t e r e s tf o r c eb a s e do nt h el i t e r a t u r e 【1 0 1 i n t h i sp e r t u r b e dr i s kp r o c e s s ，a b s o l u t er u i nm a yo c c u ri nt w od i f f e r e n ts i t u a t i o n s i no n es i t u a t i o n ，a b s o l u t er u i ni sc a u s e db yac l a i ma n d ，i nt h eo t h e r ，a b s o l u t e r u i ni sc a u s e db yo s c i l l a t i o n i ns e c t i o n2 ，w eg i v es o m ef u n d a m e n t a ld e f i n i - t i o n si nt h ep e r t u r b e da b s o l u t er u i nm o d e l ；i ns e c t i o n3 ，w ed e r i v eas y s t e mo f i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h ea b s o l u t er u i np r o b a b i l i t i e s ；i ns e c t i o n4 ， w ed e r i v ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o ra b s o l u t er u i np r o b a b i l i t i e sw h e nc l a i ms i z e s 曲阜师范大学硕士学位论文 a r ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t e d k e y w o r d s ：a b s o l u t er u i n ；g e r b e r s h i uf l m e t i o n ；i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ；e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文( ( 带利率的经典风险模型的绝对破产， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所 取得的成果论文申除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对 本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 带利率的经典风险模型的绝对破产系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大 学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文 的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以 采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：j 易纠金日期：饵占。7 一名27 黼咻 , f6 9 第一章具有两类利率的经典风险模型绝对破产时的 g e r b e r s h i u 函数 1 1 引言 经典风险模型的期望折现罚金函数( 让) 已经被广泛研究文献 5 】，文献 6 】都对此做出过重大贡献文献【5 】将破产时刻，破产前的瞬时盈余，破产时的 赤字三者的期望折现罚金函数引入到破产论当中并用来分析破产论中的问题 如今g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数( 下面我们简称为g e r b e r s h i u 函数) 已经 被证明是一个非常有用的工具，出现了大量关于经典风险模型的新成果例如 证明了圣( 缸) 满足一个瑕疵的更新方程。文献 7 】研究了e r i a n g ( 2 ) 风险过程，给 出了当叫( 矿( t 一) ，i u ( t ) j ) = l 时西( u ) 的一个二阶积分微分方程和西( ) 的拉 普拉斯变换文献【8 】研究了e r l a n g ( n ) 风险过程，导出了西( u ) 的一个瑕疵更新 方程文献 9 l i 和l u 考虑了当盈余过程具有两类索赔时g e r b e r - s h i u 函数的 拉普拉斯变换，其中这两类索赔记数过程分别是p o i s s o n 过程和广义e r l a n g ( 2 ) 过程 以上论文研究的为风险模型盈余小于0 或保险公司赤字时便发生破产文 献【1 1 将具有借贷利率的经典风险模型的g e r b e r s h i u 函数弓l 入到破产论中并 用其来研究破产论中的问题，即绝对破产当盈余小于0 或亏损时保险公司以 一定的利率贷款去支付索赔，同时，保险公司从它的保费收入中偿还贷款，那 么，负盈余可能恢复为正盈余，而当赤字达到一定的程度时，盈余不能恢复为正 值，这时发生绝对破产本章考虑具有两类利率的经典风险模型的绝对破产时 的g e r b e r s h i u 函数。第二部分给出了绝对破产模型下的一些基本定义；第三 部分给出了关于g e r b e r s h i u 函数满足的积分微分方程；第四部分给出了索赔 额服从指数分布时的绝对破产概率 考虑如下的一个盈余过程 u ( t ) = 让+ c t y ( z ) ，t 0 ， 1 1 1 其中牡0 是初始准备金，c 0 是单位时间的保费收入，y ( t ) = 搿是 总的索赔量过程， x n ，扎1 ) 表示独立同分布的正的随机变量序列，共同的分 布函数是f ( z ) ，且f ( o ) = 0 均值p = 伊f ( z ) d z 0 - f ( x ) = 1 一f ( z ) 为 第一章具有两类利率的经典风险模型绝对破产时的g e r b e r s h i u 函数 f ( x ) 的生存函数 ( t ) ，t o ) 表示到时刻t 为止的索赔次数过程，是相互 独立且同分布于参数为a 的指数分布假设风险模型的盈余为正时，保险公司 以利率r 0 获取利息收入，即e 7 一l 0 当盈余为负或保险公司赤字时，以 利率6 0 贷款维持经营，6 满足e 6 1 0 负盈余可能恢复为正盈余，然 而当负盈余达到一；或小于一；时，盈余无法恢复到正值，此时绝对破产发生 一；即为破产界 绝对破产对保险业务的经营者更具有实际的指导意义，所以在学术界引起 广泛的关注文献【2 】利用鞅方法给出了索赔额为指数分布情形下绝对破产概 率的解析表达式，文献【3 利用了逐段决定马尔可夫过程无穷小算子和鞅的关 系，通过构造合适的鞅来研究绝对破产问题。文献【4 】周和张利用盈余过程的马 氏性和强马氏性，借助推移算子给出了在一般索赔分布下绝对破产概率的一个 明确表达式盈余对利息的影响也被广泛研究，如文献【1 1 】，文献【1 2 】但与绝 对破产有关的很多问题还没有解决，如索赔具有重尾分布的绝对破产概率的性 质，绝对破产概率与经典破产概率的关系，绝对破产时的拉普拉斯变换，绝对破 产赤字，绝对破产前的瞬时盈余等 本论文研究绝对破产时的g e r b e r s h i u 函数该函数包含绝对破产概率， 绝对破产时的l a p l a c e 变换，绝对破产赤字，绝对破产前的瞬时盈余等许多相 关的问题 2 曲阜师范大学硕士学位论文 1 2 预备知识 记具有两类利率的经典风险模型的盈余过程在t 时的盈余为u ( ) ，满足下 面关系式； d u ( t ) = ( c + r u ( t ) 1 w ( t ) o ) d t d y ( t ) ，u ( o ) = u ， d u ( t ) = ( c + 6 u ( t ) 1 w ( t ) 一苫c ，则定义t = i 【，( t ) l 为绝对破产时刻风险模型的赤字，令u ( t 一) 为绝对破产前的瞬时盈余， 我们可以得到绝对破产b e a u 风险模型的赤字至少为一；，绝对破产前的盈余范 围为( 一；，) 。 下面定义绝对破产的期望折现罚金函数： 垂( u ) = e ( e a t w ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) i ( t 一；，x 2 ；表示绝对破产时的非负罚金函数，u 一否c 为 初始金 定义绝对破产概率： 妒( u ) = p ( t t u ( o ) = 牡) ， 锃0 ， 当q = 0 ，w ( x l ，x 2 ) = 1 时，妒( 让) = 西( u ) 我们把圣( u ) 分为两种情况： 垂c u ，= o 让 。 3 第一章具有两类利率的经典风险模型绝对破产时的g e r b e r s h i u 函数 同理有 妒c u ，= o 让 。 另外，我们定义复合泊松盈余过程( u o ( t ) ，t 0 的一般破产时为t o ， 经典破产概率为砂( u ) ，即 t o = i n f t 0 ：g o ( ) o ) ， 若v t 0 ，u o ( t ) 0 ，则定义t o = 。， ( u ) = p ( t o 0 ，显然t o t 时，叽( u ) ( 乱) ，让20 在安全负荷条件下有 l i m 妒+ ( 札) = 0 ，0 矽+ ( 札) 咖( u ) 1 ， u 0 u + 0 0 同样，假定l i m 缸- ，o 。圣+ ( 链) = 0 ，当留扛l ，z 2 ) 为有界函数时，l i m , , + 西+ ( 珏) = 0 显然成立 4 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3g e r b e r s h i u 函数满足的积分微分方程 州垆砌( r x + c 产 ”州鼬，3 + i + 5 垂一( x - - y ) d f ( y ) + a ( z ) l ， r “7 圣一( u ) = a ( 轧+ c ) 半 + c 一字+ 半+ c 一卞t 7 z + i 垂一c z 一可，d f c 秒，+ a c z ， 出 一y ) d f ( y ) z 一秒，二f c ，+ a c z ， d z ) ， 其中， a ( x ) = u ( z ，y x ) d f ( y ) ，o o ，外； 证明：( 1 ) 利用文献【1 】定理2 1 的证明方法，对首次索赔额和首次索赔发生时 刻取条件，可以得到下面三种情况： 第一种情况是首次索赔发生后：u ( t ) o ； 第二种情况是首次索赔发生后：一； u ( t ) o ； 第三种情况是首次索赔发生后：u ( t ) 一； 其中， ，乃 u ( 墨) = e r 孔( 缸+ c e - r s d s ) 一x 1 5 半 等 半 广 西 + h z z 如 ，p ，i i 、 e o o 啪 ， f z z ，、 引 e i e i c i 厂，加r z以厂止 + 、l，、l， 2 3 3 3 l 1 ，-l、，f 西+ ( 牡) ：e e 一订叫( u ( 卫) ，lu ( t ) i ) i 【r o 。) iu ( o ) = t 正】 = e u e - a t o d ( u ( 1 ) ，lu ( t ) i ) i t t ) ，f i 7 s tc l a i m 。c c 乱7 s ，u ( 死) o 】 + e u 【e - a t ( m ( u ( 卫) ，lu ( 丁) i ) s t ) ，勿s c 2 口i m 。c c 让r s ，一善 u ( 死) o t + e u- a t w ( u ( 卫) ，lu ( 丁) i ) 厶丁 ) ，i r s c f 。i m 。c c u r s ，u ( 兀) 一善】 = = o o ，x e - ( x + a ) e z u e + c 5 7 q ，+ c u e 7 r c 季7 可，d f c 可， + i * u e t + c 矿+ t j u e r t + c 矿 5 西一( 也e r + c 矿一y ) d f ( y ) + f u 。o j ( u e n 埘，可一 其中矿= e 那d s ，令 则 r t + 啪叫妣 z = u e r + c 矿= ( u + ；) e n 一；， t = i n ( 7 z + c u r + c 将它们分别代入( 1 3 4 ) 式可得： 圣+ ( u ) ) ，d t =r z + c 刈c ) 半z ( r x + c ) 掣防 圣+ ( z y ) d f ( y ) + z z + ；圣一c z 一秒，d f c 可，+ a c z ， d z ( 1 3 4 ) ( 2 ) 方程( 1 3 1 ) 式包含西一( u ) ，一； t 0 当初始盈余为负时保险经营者以 利率6 来贷款进行经营因此当一； 让 0 时， 令t o ：r o c k , ) 为九6 ( 屯u ) = u e 鼬+ ；( e 鼬一1 ) = 0 的解， 则。：幻( u ) ：i n ( 点) ；表示在t 。之前无索赔发生时盈余到达。的时间，有 h d ( t o ，u ) = 0 ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 当t t o 时，h 6 ( t ，u ) 0 ，若在( o ，t o 】无索赔发生，h 6 ( t ，u ) 为盈余额 因此，我们对首次索赔发生时刻和索赔额取条件可得： 其中， 圣一( u ) = e e 一口丁u ( u ( 卫) ，lu ( 丁) i ) f i r o 。 lu ( o ) = t 正】 = e 让【e q t u ( u ( 殳) ，iu ( 丁) i ) f i t ) ，n ( t o ) = l 】 + e u e 一。丁u ( u ( 卫) ，iu ( t ) j ) ， t o 。) ，n ( t o ) = o 】 = + 1 2 ， ，1 = e 【e a t u ( ( 卫) ，l 汐( 丁) i ) x o - ) ，n ( t o )= 1 ，n or u i n 】 + e 1 e 一口t u ( u ( 卫) ，iu ( 丁) i ) f i ：, - ) ，n ( t o ) = 1 ，r u i n 】 = f o t 。a e - ( x + ) t z k 。一+ 5 西一c 6 c t ，乱，一秒，d f c 秒， + 纛+ ；w ( h 6 ( t ，y h 6 ( t ，u ) ) d f ( y ， d t ， + ，t 正) ， 一 ， ) i ， ，k ( ，t i ) + ； j j 1 2 = e ue n t u ( u ( 卫) ，lu ( t ) i ) f i r ) ，f i r s tc l a i mo c c t t r 8i n ( t o ，) ，u ( 丑) 0 】 + e 缸 e - t w ( u ( t - ) ，iu ( t ) 1 ) 厶t ) ，i 7 s 亡c z 。i mo c c u r si 钆( ，) ，一善 u ( 五) + e ue - a t w ( u ( 卫) ，1u ( 丁) i ) 1 1 t o o ) ，f i r s tc 2 。i m 。c c u r si n ( 。，。o ) ，u ( a ) 一言】 = 小小刊。叫c 一刊删 + + i 圣一( c 矿一y ) d f ( y ) 叫c d 矿，可一e 矿，d f c 秒， d z ， 其中矿= q 。e r s d s ， 7 f 第一章具有两类利率的经典风险模型绝对破产时的g e r b e r s h i u 函数 故 西一( u ) =“a e 一( a + 。) 【 6 “芦+ 5 西一( 九a ( t ，“) 一秒) d f ( 可) 产 + 叫( 6 ( ，u ) ，y h 6 ( t ，u ) ) d f ( y ) d t j h 6 ( t ，) + ； + f 扩阱础 z 盯叫毋刊删 广o o + u ( c 矿，y c - 矿) d f ( y ) d t j 露七 在( 1 3 5 ) 式中，当t e ( o ，t o 】时，令z = h 6 ( t ，乱) ，当t e ( t o ，) 时 令 由此可解得 z = c - 吾c r ，= c z 。一幻e r 5 d s = t = t o + c ( e 7 ( o ) 一1 ) + c 一半+ 半z ( z r + c ) 一半- 1 + 旷ol 昕 r ( 1 3 5 ) 西一c z 一秒，d f c 可，- a c 誓， 出 西+ ( z y ) d f ( y ) 。+ 2 圣一c z y ，d f c 掣，+ a c z ， d z ) 注1 3 1 ：由( 1 3 1 ) 式，( 1 3 2 ) 式可看出垂+ ( 姓) 在( o ，。o ) 可微，西一( 珏) 在( 一；，o ) 可微，且 西+ ( o ) = 西一( o 一) 8 ( 1 3 6 ) 黑卜 z 想 崃 周 式 乩 0 = 入 m 代 e i 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 1 3 2 ) 式我们可以确定圣一( u ) 的边值条件 引理1 3 1 ：若 一l i m ；z 。( s x + c ) 1 畔俐z 弧 则 若 则 u 叫u ) = 熹小善) r o u l 叫i r a 上( 如+ c ) 斗字a ( z ) d z 。o ， l i m 圣一( u ) = 0 t + 一i 证明：由( 1 3 2 ) 式，可看出，若 则 一l i m 小c ) - 卜半厂叫肌d f ) 】d z o 。， ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) 中x y ) d f ( y ) d x = 0 ( 1 3 1 1 ) 若 一l i m 小蚺c ) _ 卜半厂叫肌肛z 一 则由l h s p i t a l 7 8 公式可得 l i m “一+ 一； 入( 她+ c ) 字几6 褂c ) + 半厂外5 垂一( x - - y ) d f ( 彰) 】如：o j 缸j 0 因此( 1 3 1 1 ) 一定成立在( 1 3 2 ) 中，令缸。一；可得 札1 + i m 一；西_ ( 铭) = n l ，i r a 一；a ( 如+ c ) 学z 。( 6 z + c ) 小学a ( z ) 哆 9 ( 1 3 1 2 ) 第一章具有两类利率的经典风险模型绝对破产时的g e r b e r s h i u 函数 因此若( 1 3 7 ) 成立，由l h 6 p i t a l s 公式和( 1 3 。1 2 ) 可得( 1 3 。8 ) 若( 1 3 ，9 ) 成 立，则由( 1 3 1 2 ) 可得( 1 3 1 0 ) l i m u _ , _ ；西一( u ) = 0 定理1 3 2 ：当锰0 时， 刚乱) = 而a + a 州札) 一熹【z u 叫让刊州卅脚) 1 ，( 1 t 3 - 1 3 ) 当一； 缸 0 矽一( u ) =1 + 汀e 飞+ 分字出， 一呈 让 0 6 例1 4 2 ( 绝对破产时的拉普拉斯变换) 当w ( x l ，x 2 ) = 1 时， a ( u ) = e - 盖e 一， 1 2 a ( 一善) = l ， ( 1 ，4 6 ) ( 1 , 4 7 ) ( 1 4 8 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 西( 缸) = e ( e - - q t i t ) 为绝对破产时的拉普拉斯变换 显然a ( u ) 满足( 1 3 7 ) j - 0 让+ l i m ；z ( 如+ c ) 。1 一字a ( z ) 出= ， 从而由( 1 3 8 ) 知 u 氅叫u ) = 熹 令圣一( u ) = 可( z ) ，因为a 7 ( 让) + 丢a ( 让) = 0 ，则 z = ( u - 4 - 笔) ( 一署) = 一弘( u + 万c ) ， ( 1 4 2 ) 式可化为 其中 一罢 u 0 6 z 可竺+ ( b z ) 可：一a y = 0 ， z 0 6 = 訾 6 0 a = 一 a l = 1 一半， o t 一 孓 由文献 1 6 】中的方程( 1 3 1 1 5 ) 和( 1 3 1 1 8 ) 我们可得到 ( z ) ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) = c l e u ( b a ，6 ；一z ) 4 - c 2 ( 一z ) 1 6 e z m ( 1 一a ，2 一c ，；一z ) ，z 0 ， 其中，m ( a ，b ；x ) 为第一类合流超几何函数，u ( a ，b ；x ) 为第二类合流超几何函 数则 其中 圣一( 牡) = 可( 一p ( t 正+ 善) ) = c t ( u ) + c 2 九2 ( 乱) ， 一呈 0 为单位时间 的保费收入；( z k ，k = 1 ，2 ) 表示索赔额是独立同分布的非负随机变量序 列， ( ) ，t o ) 为参数是a 0 的泊松过程，表示到时刻t 为止的索赔 次数过程； w ( ) ，t o ) 为标准布朗运动；口 0 为常数，此外， x k ，k = 1 ，2 ) ， ( ) ，t o 和 ( ) ，t o ) 相互独立 我们假设当盈余为负时，保险业务经营者以利率6 0 贷款，同时保险公司持 续从保费收入中偿还贷款因此，保险公司在盈余为负时可以继续经营，但当负 盈余达到一；或小于一；时，绝对破产发生 记阮( t ) 为t 时刻具有贷款利率6 的盈余，则有 d u 6 ( t ) = ( c + ( ，u 6 ( t ) 1 w d t ) 一；，则有t = 。o 定义绝对破产概率 妒( t ) = p 丁 o o l 阮( 0 ) = u ) = p ( t ) 一否c ，v o l u 6 ( o ) = u 带扰动的风险模型的绝对破产有两种情况，一种由索赔引起，另一种由扰动引 起，记l 为由索赔引起的绝对破产时，t d 为由扰动引起的绝对破产时，t = m i n 瓦，t d ) 同样。我们把绝对破产概率分为两种情况： 讥( t ) = 尸 瓦 o 。i u 6 ( o ) = ) 妒d ( i t ) = p t d 。o l 巩( o ) = u ) 把妒( 牡) 分为两种情形，记 帅，= 髓鼢冀姐 同理有 姒小蒜锄 姒班c d - ( u ) , 冀姐 显然绝对破产概率矽( 让) 有如下表达式： 矽( u ) = 妒。( 札) + 矽d ( u ) ， t 20 1 7 第二章借贷利率环境下带干扰的经典风险模型的绝对破产 2 3绝对破产概率的积分微分方程 定理2 3 1 ：假设讥+ ( 乱) 二次连续可微，则u 0 时，讥+ ( u ) 满足： 去仃2 矽：，+ ( u ) + 却：+ ( “) + a f ( t | + 姜) = a 妒s + ( u ) ，i 。 ，缸+ ； ( 2 3 1 ) ，i t ，缸十蓄 、。， 一a 讥+ ( 让一y ) d f ( y ) 一a 讥一( 让一y ) d f ( y ) j0ju 证明：令九( t ) = c t + o w ( t ) ，考虑由( 2 2 1 ) 定义的风险模型u 6 ( ) = + c t + a w ( t ) = u + h ( t ) 在小区间( 0 ，t 】中有三种情况发生： ( i ) 在( 0 ，t 】无索赔发生，此时， u 6 ( t ) = 牡+ c t + a w ( t ) = u + h ( t ) ( i i ) 在( 0 ，t 】发生一次索赔，索赔额为x l ， ( a ) x 1 u + 九( t ) ，不发生破产，则有 u 6 ( t ) = t + h ( t ) 一x 1 o ； ( b ) 珏+ ( ) x 1 钍+ h ( t ) + ；，不发生破产，此时有 一否c 阮( z ) = u + 一x l o ； ( c ) x 1 牡+ 九( ) + ；，则有u 6 ( t ) 一；，此时发生破产 ( i i i ) 在( 0 ，t 】有两次及两次以上索赔发生 由以上三种情况可得： 讥+ ( 缸) = p ( 正 ( 3 0 ，u 6 ( o ) = 仳) = 尸u ( 瓦 ( 3 0 ，n ( t ) = 0 ) + p u ( 瓦 0 0 ，n ( t ) = 1 ) + o ( t ) = i + z 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 i = p u ( l ) ( p 缸( t = o 。) i 尻) 】 = p ( 乃 芒) e ( 妒。( u + c t + 盯w ( ) ) ) = ( 1 一入t ) e ( 妒。( u + c t + 仃w ( ) ) ) ， j = p u ( 瓦 c o ，n ( t ) = 1 ，x 1 t t + ( t ) ) + p u ( 正 0 0 ，n ( t ) = 1 ，让+ h ( t ) x 1 u + ( t ) + 姜) + p u ( 瓦 ，n ( t ) = 1 ，x 1 u + ( t ) + 妻) = e p u ( 正 o 。，乃 t ，x l 冬u + ( ) ) l 黾】 + e p u ( 疋 。，7 1 t ，钍+ h ( t ) x l u + h ( t ) + 署) i 矗】 + e l f l ( 瓦 ，五 t ，x l u + h ( t ) + 姜) 1 】= j 1 + 以+ 以， 其中 j 1 = b i b l ( l o o ，死 t ，x lsu + ( ) ) l 矗】 = e 【j r 乃 t ) p u ( 瓦 o o ，x 1 u + ( ) ) 1 】 = p ( 乃 u 午 ( ) + ；时，妒。一i t + ( t ) 一y ) = 1 ， 所以 ， e j 。，n 。妒。一( u + ( ) 一秒) d f ( y ) 】= e 【f ( 牡+ ( t ) 吾) 】， , - - h ( t ) + ； - i - u 1 9 第二章借贷利率环境下带干扰的经典风险模型的绝对堕产 从而可得 r u + h ( t ) 砂。+ ( u ) = ( 1 一a t ) e 【妒。+ ( u - 4 - ( t ) ) 1 + a t e 妒。+ ( u + 允( t ) 一y ) d f ( y ) 】 ，0 ，- u + i i l ( ) + ； + a t e 也一( 牡+ h ( t ) 一y ) d f ( y ) 】 j t + ( t ) - t - a t e - f i ( u + ( t ) + ；) 】+ d ( t ) 对上式变型可得 a t e c , + ( 缸+ 九( t ) ) 】= e 【妒。+ ( u + ( t ) ) 】一砂卧( 让) + a t e 【饥+ u + h ( t ) 一y ) d f ( y ) 】 + a t e 厂u + 。+ 5 妒。一( u + h ( t ) 一y ) d f ( y ) 】 + 妒。一( u +) 一】 j u + l ( ) + a t e 一f ( u + h ( t ) + 姜】+ d ( ) 令s ( t ) = u + ( t ) ，则d s ( t ) = d h ( t ) = c d t + a d w ( t ) 由i t 5 公式，可得 d e 。+ ( u + 九( ) ) = d 砂。+ ( s ( t ) ) = ( e 矽：+ ( s ( ) ) + 妄巧2 妒鼻( s ( ) ) ) d + 口砂：+ ( s ( ) ) d ( t ) ， 即有下列等式： 妒，+ ( t + ( ) ) = 妒，+ ( s ( 亡) ) = 妒。+ ( u ) + z ( c 妒( s ! ( z ) ) + 互1 盯2 妒。( s ( z ) ) ) d z + 盯砂：+ ( s ( z ) ) d w ( z ) ， 从而有 e 矽j + ( u + ( ) ) 】= 矽。+ ( 也) + z 。 c e 眇：+ ( s ( z ) ) 】+ 三仃2 e 【砂算5 s ( z ) ) 】) d z q 。 2 0 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 3 2 ) 式两端除以t ，并令t 一。o ，连同( 2 3 3 ) 式可得 矽。+ ( u ) = c 砂：+ ( u ) + 百j 盯- - 2 v - l 。i t + i ! u ) + a 识+ 知一y ) d f ( y ) + a z 扯+ 。妒。一( 让一y ) d f ( 可) + a f ( u + 否c ) ， 整理可得 三仃2 好( 乱) + 州+ ( u ) + 厅( u + 否c ) = 讹小) 一a z 。讥+ ( 牡一3 ，) d f ( 芗) 一az + 5 讥一( 珏一3 ，) d f ( y ) 定理2 3 2 ：假设饥一( 让) 二次连续可微，则一； 让 0 时，讥一( u ) 满足 三仃2 妒2 ( 缸) + ( 6 u + c ) 砂：一( u ) + a f ( u + 善) = a 妒。一( 让) 一az 让+ 5 妒。一( 让一可) d f ( 可) ( 2 3 4 ) 证明：令t o = t o ( 牡) 为 j ( 芒，缸) - - u e 6 t + 护一1 ) = o 的解，则t o = l n ( e ( e + 阮) ) ；，t o 即为若在它之前无索赔发生盈余达到0 的时 刻，而且t t o 时，h 6 ( t ，让) 0 令 k ( t ) = c + c f c t e t s d j 0 ( s ) 一u ， 类似于证明定理( 2 3 1 ) 中的三种分类( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，我们可得到 仇一( u ) = 尸 0 0 ) = j p ( 瓦 0 0 ，n ( t ) = 0 ) + 尸( 正 o o ，n ( t ) = 1 ) = ，+ j + o ( t ) ， 2 1 第二章借贷利率环境下带壬垫笪经典风险模型的绝对破产 其中 j = p ( 正 ，( ) = 0 ，一姜 ( t ) 0 ) + p ( 正 o o ，n ( t ) = 0 ，巩( 艺) 0 ) = b i b u ( 瓦 t ，一姜 阮( t ) t ) ( p u ( t = o o ，一姜 t ) e 【饥一( u + 6 ( ) ) 】+ p ( 丑 t ) e 矽。+ ( c ( z t o ) + a w ( t t o ) 】 = ( 1 一a t ) e 【妒。一( u + ( t ) ) 】+ ( i a t ) e l 妒。+ ( c ( 亡一t o ) + a w ( t t o ) ) 】， ，= p ( t s ，( ) = 1 ，一言 ( t ) o ) + p ( t s 0 0 ，n ( t ) = 1 ，协( t ) 0 ) + p ( 瓦 t + k ( ) + ；时 妒。一( 缸+ h 6 ( t ) 一y ) = 1 ， 2 2 曲阜师范大学硕士学位论文 从而有 矽。一( u ) = ( 1 一入) e 【妒。一( u + 6 ( t ) ) 】 + ( 1 一a t ) e 【砂。+ ( c ( t t o ) + o w ( t t o ) ) 】 + a t e z “t _ 幻卜口w 。一引妒。+ c c c t 一钿，+ 仃w c t 幻，一y ，d f c 二， + a 亡e j 厂u + u + h s ( 6 t + 5 讥一c “+ ac t ，一可，d f c 可， i ) l + a t e - f ( 牡+ ( t ) + 跏 整理可得 a t e 【矽，一i t + ( ) ) 】= e 【矽。一(