（应用数学专业论文）弱k1k2x拟正则映射的高阶可积性.pdf

摘要 摘要 本文首先引入弱( 甄，如( 茹) ) 一拟正则映射的定义，并以等周不等式及弱逆h s l d e r 不等式为工具，得到了弱( 虬，拖( z ) ) 一拟正则映射的高阶可积性，并将这一结果应用到 高维空间具有三个特征矩阵的b e l t r a m i 方程组的广义解上 关键词弱( k l ，鲍( z ) ) 一拟正则映射；等周不等式；弱逆h 6 1 d e r 不等式；高阶可积性； b e l t r a m i 方程组 河北大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed e f i n i t i o no fw e a k l y ( 4 1 ，( 2 ( z ) ) 一q u a s i r e g u l a rm a p p i n g si sg i v e n ，a n dt h e ni t s h i g h e ri n t e g r a b i l i t yr e s u l ti so b t a i n e db yu s i n gt h et e c h n i q u eo fi s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y a n dw e a k l yr e v e r s eh s l d e ri n e q u a l i t y t h er e s u l ti sa p p l i e dt ot h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n s o fb e l t r a m is y s t e mw i t ht h r e ec h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e si nh i g hd i m e n s i o n a ls p a c e s k e y w o r d sw e a l d y ( 确，恐( 。) ) 一q u a s i r e g u l a rm a p p i n g ；i s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y ；w e a l d y r e v e r s eh 6 1 d e ri n e q u a l i t y ；h i g h e ri n t e g r a b i l i t y ；b e l t r a m is y s t e m i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 塞! j 违丝日期：j 竺卫年月l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密q 。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为q 彳仇b 御) 桕渺1 袄耵酌尚所弘隧 的学位论文，是我个人在导师( 南红亚) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 蕉4 造红日期：j 竺乙年厶月上日 作者签名： 导师签名： e t 期：塑2 年l 月l 日 日期：耳年上月 日 第1 章引言 第1 章引言 解析函数( 又称正则函数) 与单叶解析函数在数学，物理以及工程技术中都有广泛 的应用 1 】，如何拓广它们的应用范围一直是人们所关注的问题单叶解析函数在平面上 的一个自然的拓广为平面上的拟共形映射，即将平面上的无穷小圆映射为无穷小椭圆的 同胚映射拟共形映射作为平面上的b e l t r a m i 方程的同胚解，已经被许多数学家所研 究，它保持了单叶解析函数的许多性质 近年来人们所做的一个重要工作就是突破平面拟共形映射的维数限制，将其推广到 空间这种工作的意义在于得到了一个有用的结果，即空间的共形映射只有m s b i u s 变 换 2 】拟正则映射是复变函数的推广，去掉了拟共形映射的同胚性要求早在2 0 世纪 五、六十年代，平面上的拟正则映射理论已经被研究，主要结果是平面上的b e l t r a m i 方 程的任何解( 拟正则映射) ，都可表示为一个解析函数与一个拟共形映射的复合【3 】 因为空间没有“解析函数”，所以空间拟正则映射理论的研究具有重要意义但拟 正则映射满足的条件较弱，这给其性质研究带来了困难这方面研究的一个重要进展是 9 0 年代初期t 1 w a n i e c 等人的工作 4 】和 5 】，他们将调和分析，微分几何和偏微分方程 的s o b o l e v 空间方法引入拟正则映射的研究，使得人们能够用近代分析方法来研究拟正 则映射目前主要工作是研究拟正则映射的正则性 空间拟正则映射的研究具有广泛的数学，物理意义例如拟共形映射，拟正则映射 与力学中的有限变形有内在联系等 6 】- 平面拟共形映射的研究历史可以追溯到1 9 2 8 年g r s t z s c h 的工作而空间拟共形映 射的概念是1 9 3 8 年由m a l a v r e n t i v 首先引入的，他在寻找合适的数学工具来构造某 水动力系统的数学模型时，引入了空间拟共形映射的概念 2 0 世纪6 0 年代起，f w g e r i n g 与j v 弧氖l 萏等人对拟共形映射理论进行了系统 的研究，使之成为数学研究领域的一个重要分支其中尤为重要的一个结果是1 9 7 3 年 f w g e r i n g 7 1 建立的拟h s l d e r 不等式，其研究方法与结果目前已被广泛应用于偏微 分方程的正则性，存在性，唯一性以及稳定性理论研究同时，y u g r e s h e t n y a k 开始 了拟正则映射的研究其研究方法是利用微分几何，非线性偏微分方程理论以及s o b o l e v 空间的分析方法，建立了拟正则映射的离散性和开性等稍后的几年里，o m a r t i o ，s r i c k m a n ，j v 拈萏l 戋等利用空间曲线族的模与模不等式等研究拟共形映射的传统方法， 河北大学理学硕十学位论文 对拟正则映射理论做了深入研究其主要工作是建立了拟正则映射的正族性理论，值分 布理论等 1 9 8 3 年，b b o j a r s k i 和t 1 w a n i e c 8 】将空间拟共形( 正则) 映射与偏微分方程理 论，调和分析理论和高维奇异积分的g a l d e r o n z y g m u n d 理论联系起来 近年来一个尤其引人注意的进展是1 9 8 9 年s k d o n a l s o n 和d p s u l l i v a n 9 】的 开创性工作“拟共形4 维流形” s i m o n 1 0 】在研究e u c l i d 空间r 3 中二维曲面间的( 1 ，如) 拟共形映射时，建立 了其h s l d e r 连续性的估计式，这样的估计式对于具有两个独立变量的椭圆型方程具有 重要的应用 在文献【1 1 】中，g i l b a r g 和t r u d i n g e r 采用研究平面( 虬，) 一拟正则映射时所建 立的h 5 1 d e r 连续性方法，得到了两个变量的拟线性椭圆方程的c 。z 1 , a 先验估计，并建立 了其d i r i c h l e t 边值问题解的存在性定理 在1 w a n i c 等人【4 】和【5 】的工作中，利用h o d g e 分解，微分形式以及s b o l e v 空间 的分析方法得到了偶数维及一般维数下空间弱( 髓，o ) 一拟正则映射的正则性及可去性定 理 其他相关文献见 1 2 1 4 1 由于平面( k 1 ，鲍) - 拟正则映射在非线性偏微分方程的 先验估计中的突出作用，郑神州和方爱农【1 5 】借助于外微分形式，将文献 1 1 】中平面 ( 虬，鲍) 一拟正则映射的概念推广到酣空间( 要求厂川警( q ，r n ) ) ，得到其驴 n ) 可积性结果，同时去掉了文献 1 2 】中对未知函数的有界性假设 高红亚【1 6 】以h o d g e 分解及弱逆h 6 1 d e r 不等式为工具，将文献 8 】和【1 2 】的结果 推广到弱( k 1 ，虬) 一拟正则映射，得到了正则性的结果 由上面所述我们可以得到拟正则映射的最初背景是复变函数论中的共形映射从平 面上的共形映射可以推广到拟共形映射，拟共形映射要求是同胚的去掉同胚性条件就 是拟正则映射，而拟正则映射则可以推广到高维空间 拟正则映射有着深刻的物理和力学背景，例如力学中的有限变形等其研究的思想 方法和研究结果在偏微分方程，几何函数论，微分几何，非线性分析中有用 基于拟正则映射的广泛应用本文考虑更一般的弱( 尬，k 2 ( z ) ) - 拟正则映射，这里 鲍( z ) 为函数为了能更直观的说明问题我们将在下一章节中首先引入拟共形映射及拟 正则映射的定义 本文的主要结论是当弱( 硒，鲍( z ) ) 一拟正则映射满足分部积分法则的条件时，可以 第1 章引言 利用等周不等式及弱逆h 6 1 d e r 不等式，得到弱( k 1 ：虬( z ) ) 一拟正则映射的高阶可积性， 并将这一结果应用到高维空间具有三个特征矩阵的b e l t r a m i 方程组的广义解上 河北大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 在这一部分我们将引入一些引理和定义，它们将在第3 章和第4 章定理的证明中 起重要作用 设qcr 1 ( n 2 ) 为有界区域， f = ( ，1 ，厂2 ，n ) w r f o c l , q ( q ，酣) ( 1 q o o ) 为空间映射记厂的j a c o b i 矩阵为 。f ( x ，= ( 筹) 峰挺n j a c o b i 行列式为 s ( x ，f ) = s ( x ，f 1 ，f n ) = d e td f ( x ) 用d f ( x ) 表示d f ( x ) 的转置矩阵设 a b r n n 定义 ( a ，b ) = t r a c e ( a b ) = t r a c e ( b 2 a ) l a l = ( a ，a ) m 本文假设，为保向映射，即 j ( x ，f ) 0 ，n e q 定义2 1 称，1 , n ( q ，r n ) ，1 k o 。，为肛拟共形映射，如果有下式成立 m a ：x 。 d r ( z ) i k 船l d 他) i ，。e z q ， ( 2 1 ) 拟正则映射与弱拟正则映射有下面的等价性定义，称 d 2 f ( x ) d f ( x ) = s ( x ，) 2 n g ( z ) ，( 2 2 ) 为1 ：1 维b e l t r a m i 方程组，其中c ( x ) c l ( n ) 为正定，对称且行列式为1 的n 阶方阵， 且满足一致椭圆性条件 q i i ( g ( z ) f ，f ) sp 引，比肜，0 a p o 。，( 2 3 ) 第2 覃预备知识 皇曼量! 曼! ! ! ! 皇量鼍曼! ! 曼曼皇曼曼曼! 曼曼! 鼍曼。一 一i i m m 。一n 一；_ n i 一_ i 一；。鼍曼鼍皇曼曼皇寡曼! 曼曼曼! 皇曼曼! ! 曼曼曼鼍曼皇鼍 定义2 2 称b e l t r a m i 方程组( 2 2 ) 于空间i i t ! o c l , n ( q ，r ) 上的广义解为拟i ) i u 映射 定义2 3 称b e l t r a m i 方程组( 2 2 ) 于空间嵋酱( q ，r n ) ( 1 9 o 。) 上的广义解为 弱拟正则映射 其等价性的证明参见【1 8 】 定义2 ，4 称f 2 ( q ，r n ) ，为肛拟正则映射，如果有下式成立 i d 厂( z ) l n k n 2 n j ( x ，) ， n e z q ， ( 2 4 ) 定义2 5 称，彤2 ( q ，r n ) ，为( 托，) 一拟正则映射，0 k 1 ，0 鲍 。， ( 2 5 ) 若f ( x ) 同时又是同胚的，则称f 为( 托，娲) 拟共形映射 定义2 6 称，翟( q ，) ，1 q ，为弱( 托，鲍( z ) ) 一拟正则映射，0 k l 。，0s 鲍( z ) 。，若 i d 厂( z ) f 几k a j ( x ，厂) + 鲍( z ) ，( 2 6 ) 若g 1 , ，则称，为( k 1 ，( z ) ) 一拟正则映射 这里的“弱”性是指，的s o b o l e v 可积指数譬小于空间维数珏的情形在这种情 况下，j ( x ，) 不一定是局部可积的若( z ) 为一常数则此时弱( ，鲍( z ) ) 一拟正则 映射为弱( 致，虬) 一拟正则映射，因此弱( k ，鲍( z ) ) 一拟正则映射是弱( ，恐) 一拟正则 映射的一种推广 拟正则映射是拟共形映射的推广，它去掉了拟共形映射的同胚性要求平面与空间 拟共形映射的相关理论见 1 8 】和 1 9 】 定义2 7 2 1 1 若，= ( ，1 ，厂2 ，n ) 嘭寥( q ，r n ) ，并对每一个指标i = 1 ，2 ，n 都有 ， 妒( z ) j ( z ，f ) d z ( 2 7 ) = 一，i ( z ) j ( z ，1 ，f 卜1 ，妒，件1 ，n ) 如， ，q 成立，其中妒曙( q ) 为试验函数，则称| 厂满足分部积分法则 下面我们将通过一个例子来说明满足分部积分法则的映射是存在的 5 _ c ： z e d +， z ，j ，研 一 n 、， z ，f ， d 若 河：化大学理学硕十学位论文 例子设厂彤毋( q ，r 几) ，j ( z ，) o ，a e - ，为有限伸张映射， i d f l n c o 。( q ) ， 这里j p 为o r l i c z 函数，thp ( t 南) 对充分大的t 是增的，且 。等拈。 则厂满足分部积分法则，见 2 0 】 引理2 1 设厂寥( q ，r 几) ，j ( z ，厂) 0 如果映射厂满足分部积分法则 ( 1 2 ) ，那么对任意的x 0 q 和几乎所有的r ( 0 ，d i s t ( x o ，a q ) ) ，f 满足等周不等式 | z ，j ( z ，) d zjs ，( n ) ( z b ，i id # ，( z ) 1 1 d s ) 舟， ( 2 8 ) 其中 ，( n ) = ( n ”而) ，l i d o ，( z ) j | = s u p i d “f ( x ) h i ：i h i = 1 ，h 酣) 而厂为o f 的余因子矩阵 下面的引理出自文献【2 1 】第5 章的命题1 1 ，它建立了弱逆h s l d e r 不等式与局部可 积性之间的关系 引理2 2 设0 2 r r osd i s t ( x o ，a q ) ，v x o q 如果对于函数9 ( z ) 汐( b 2 ，) ，1 p p ，有以下的弱逆h s l d e r 不等式成立 - 9 ( z ) l p d x p z ：，1 9 c z ，i p d z + g 饶。，j 9 c z ，j s d zp s + z 。，i 尼c z ，i ，d z ， 2 9 这里b rcb 2 rc cq 为同心球， lss ， 2 l 。 这里的q 仅依赖于n ，c ，p ，p ，r o 考虑矩阵a r n 黼的两种范数i i a i i = s u p i a 九i ：l h l = 1 ，h r n 和i a i = ( t r a c e a a ) m 我们有如下引理 第2 章预备知识 寰拿穹曼皇曼曼鼍曼! 寰曼皇曼! 曼! 皇i i i i i _ i i_i i i 葛曼曼鼍皇鼍曼曼舅舅曼鼍曼苎曼 引理2 3 设a r n x n ，4 h 为么的余因子矩阵，则有 l | 卅i c l a i 舻1 ， ( 2 1 1 ) 这里c 为只与礼有关的常数 证明易知l a “i c ( n ) l a i ”1 又由有限维赋范线性空间中范数的等价性知结论成 河北大学理学硕二仁学位论文 第3 章弱( k 1 ，鲍( z ) ) 一拟正则映射的高阶可积性 定理3 1 设广：( ，1 ，2 ，尸) w 芝靠( q ，酣) 为弱( ，1 ， 乞( z ) ) 拟正则映射， 0 k 1 n ，使得f w l l 引, q 峨f 1 ) 特别的， 厂为 通常意义下的( k l ，尥( z ) ) 一拟正则映射 下面我们将主要介绍如何提高弱( 1 ，尥( z ) ) 一拟正则映射的高阶可积性在证明的 过程中用到了等周不等式及弱逆h s t d e r 不等式 定理3 1 的证明由引理2 1 知，满足等周不等式( 2 8 ) ，因此 i 卫= 生 m ，f ) d x l “ j b ，l ，( n ) 譬i 渺，( z ) i 恒 j o b ， 上式左右关于r 从r 2 到r 积分，有 由j ( x ，f ) 非负知 e 协吖胁卜 洲础哪) l i 删r e 伽硝卜 r ifb2 n 2j ( x , f ) d x f 警 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 第3 章弱( 1 2 ( 丁) ) 拟正则映射的高阶可积性 利用引理2 3 得 联合( 3 2 ) 一( 3 4 ) ，有 e 脚八圳脚 5 b r b r 。i i d l | 厂( z ) 1 1d z ri i 厂( z ) i 恤 c i d f ( x ) l 1 d x j b r 尺f 上r ，。，c z ，厂，d z i 气 2 叫n ) - 一t 上ri 训扩1 如 上式结合弱( 坼，恐( z ) ) - 拟正则映射的定义得 i d f ( x ) l n d x j b r l 2 k 1 z r l 2j ( 列) 厶鲍( 州z 弛( 箐) 啬砌，( 小m 胪z ) n + 厶脚 两端除以i b r 。i = u n ( 孚) n ( u n 为r n 中单位球体积) ，得到 d f ( x ) l n d x 蚓啪) 饶r 脚胪。如) 啬+ 厶脚 ( 3 4 ) 河北大学理学硕十学位论文 这里的c ( n ，k 1 ) 仅依赖于n 和i ( 1 由虬( z ) 0 知 于是 a 2 k 2 ( x ) d z u n ( 譬) n f lk 2 ( x ) d x j b r l 2 去z 凡脚 趔z r 鲍( 州z ， t i d 厂( z ) i 儿d x j b r l 2 c ( 佗，k 1 )旺r 脚胪z n ”- - 1 坩z r 脚 上式为一个关于l d f i 的弱逆h s l d e r 不等式 由引理2 2 知存在g 佗，使得l d 厂( z ) l q o 。( q ) 再由s o b o l e v 嵌入定理便得定理 3 1 之结果 1 0 - 第4 章高维空间中具有三个特征的b e l t r a m i 方程组 第4 章高维空间中具有三个特征的b e l t r a m i 方程组 作为上面定理3 1 结论的一个直接应用，考虑高维空间具有三个特征矩阵的b e l t r a m i 方程组 d 2 f ( x ) h ( x ) d 厂( z ) = j 2 n ( z ，f ) c ( x ) + k ( z ) ，( 4 1 ) 这里日( z ) ，g ( z ) ，k ( z ) 为正定，对称的矩阵，且满足以下条件；存在 和 0 o t l p 1 。，0 ( 2 2 伤 。， 使得对任意，r l ，e r n ，有 0 n ，使得厂警( q ，础) 下面我们将主要介绍如何提高具有三个特征矩阵的b e l t r a m i 方程组( 4 1 ) 的广义 解的可积性 河北大学理学硕：卜学位论文 为了证明定理4 1 ，由定理3 1 的结论可知我们只需证明映射厂是一个弱( 1 ，虬( ：f ) ) 拟正则映射 定理4 1 的证明 首先对( 4 1 ) 式左右两边取迹可得 t r a c e ( d 。f ( x ) h ( x ) d 厂( z ) ) = t r a c e ( ，2 加x ，厂) g ( ：e ) + ( 。) )( 4 5 ) 因为h ( x ) 正定，对称，故利用( 4 2 ) 式知( 4 5 ) 式左端为 t r a c e ( d f ( x ) i i ( x ) d 厂( z ) ) = t r a c e ( d 厂( z ) 厕厕d 胀) ) = - f r a c e ( ( 徊两d 荆) ( 以丽d 州) ) ( 4 6 ) = l ( z ) d ，( z ) 1 2 n q li d f ( x ) 1 2 对( 4 5 ) 式右边利用( 4 3 ) ，( 4 4 ) 式 t r a c e ( j 吾( z ，) g ( z ) + ( z ) ) = ，n a c e ( j 鲁( z ，厂) g ( z ) + t r a c e k ( x ) ：j 吾( z ，厂) n a c e g ( z ) + ，n a c e ( z ) ( 4 7 ) 凡仍，杀( z ，) + 礼风( z ) i d f ( 圳2 和，) + 掣 由此便得 m 胪2 孚( 鲁) 詈m + ( 掣) 詈 取 耽爿- - , 号俐= ( 掣) 号， 可知，是一个弱( k 1 ，硷( 。) ) - 拟正则映射，且由 岛( z ) l 羔( q ) ，t 1 第4 章高维空间中具有三个特征的b e l t z a m i 方程组 知 利用定理3 1 便得定理4 1 之结论 ( z ) l k ( q ) 1 3 河：i 匕大学理学硕十学位论文 第5 章结论 文中设 。：( ，j 1 厂。，t t ) 于( q ，r ，t ) ：一p ( 厂x ) j 厂。( ( x z , ) f j ) ( d z x ，厂。一，妒，汁。，n ) d z ( 5 ，) = 一厂( z ) j ( z ，厂1 ，厂扣1 ，妒，厂，n ) 如 _ - 7 f 1 。, 。q ( q ，r n ) ，= ( 厂1 ，2 ，f n ) 寥( q ，酣) q li 1 2 ( 日( z ) ，) p ，l 1 2 ( 5 2 ) q 2 m 2 ( g ( z ) 卵，刀) 岛l 叩1 2 ( 5 3 ) q 3 ( z ) 2 ( k ( z ) ( ，( ) 风( z ) 2( 5 4 ) d f ( x ) h ( x ) d f ( x ) = j 2 1 n ( z ，) g ( z ) + k ( x )( 5 5 ) 第5 章结论 的广义解，且满足分部积分法则( 5 1 ) 如果 侥( z ) 己乏( q ) z 1 ， 那么存在q n ，使得 厂d w 眦1 q ( q ：r n ) 河北大学理学硕士学位论文 参考文献 【1 】h b e k y a i ，一阶椭圆性方程组与边值问题及其在薄壳理论上的应用，高等教育出版 社，1 9 6 0 【2 】b b o j a r s k i ，t 1 w a n i e c ，a n o t h c ra p p r o a c ht ol i o u v i l l et h e o r e m ，m a t hn a c h r ，1 9 8 2 ，1 0 7 ， 2 5 3 2 6 2 【3 】闻国春，线性与非线性椭圆性复方程，上海科学技术出版社， 1 9 8 6 【4 】t 1 w a n i e c ，p h a r m o n i ct e n s o r sa n dq u a i s i r e g u l a rm a p p i n g s ，a n no fm a t h ，1 9 9 2 ，1 3 6 ， 5 8 6 - 6 2 4 5 】t 1 w a n i e c ，g m a r t i n ，q u a i s i r e g u l a xm a p p i n g si ne v e nd i m e n s i o n s ，a c t am a t h ，1 9 9 3 ，1 7 0 ， 2 9 8 1 【6 】方爱农，t h ef i n i t ed e f o r m a t i o na n db e l t r a m ie q u a t i o ni nr n ，数学进展，1 9 9 7 ，2 6 ( 2 ) ， 1 8 7 1 8 8 【7 】f w g e r i n g ，l p i n t e g r a b i l i t yo ft h ep a r t i a ld e r i v a t i v e so faq u a i s i r e g u l a rm a p p i n g s ，a c t a m a t h ，1 9 7 3 ，1 3 0 ，2 6 5 2 7 7 【8 】b b o j a r s k i ，t 1 w a n i e c ，a n a l y t i c a lf o u n d a t i o n so ft h eq u a i s i r e g u l a rm a p p i n g si nr n ，a n n a c a ds c if e n naim a t h ，1 9 8 3 ( 8 ) ，2 5 3 2 4 【9 】sk d o n a l d o n ，d s u l l i v a n q u a s i c o n f o r m a l4 - m a n i f o l d s a c t am a t h ，1 9 8 9 ，1 6 3 ，1 8 1 2 5 2 【1 0 】l s i m o n ，ah s l d e re s t i m a t ef o rq u a s i c o n f o r m a lm a p sb e t w e e ns u r f a c e si ne u c l i d e a ns p a c e ， a c t am a t h ，1 9 7 7 ，1 3 9 ，1 9 - 5 1 【1 1 】d g i l b a r g ，n s t r u d i n g e r ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r ，s p r i n g - v e r l a g ，1 9 8 3 【1 2 】程金发，方爱农，( g ，日) 一拟正则映照和b 调和方程，数学学报，1 9 9 9 ，4 2 ( 5 ) ，8 8 3 - 8 8 8 【1 3 】程金发，方爱农，偶维数空间上广义b e l t r a m i 方程组及高维空间b e l t r a m i 方程组， 数学年刊，1 9 9 7 ，1 8 a ( 6 ) ，7 8 9 7 9 8 1 6 参考文献 【1 4 】郑神州，方爱农，( k 1 鲍) 一拟正则映射的可积性，数学学报，1 9 9 8 ：4 1 ( 5 ) ，1 0 1 9 1 0 2 4 【1 5 】郑神州，双特征的b e l t r a m i 方程和拟正则映射，数学学报，1 9 9 7 ：4 0 ( 5 ) ，7 4 5 7 5 0 【1 6 】高红亚，弱( k 1 k 2 ) 一拟正则映射的正则性，中国科学，a 辑，2 0 0 3 ：3 3 ( 1 ) ，8 3 8 8 【1