（理论物理专业论文）晶格点阵的非线性动力学行为与宏观统计性质.pdf

塑竺基! 兰型查堂堕主堂垡堡奎yz 墨曼s 17 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发 表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明 引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研 成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：避塞 e t期： 里苎2 温珍英：兰州大学博+ 学位论文 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产 权归属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论 文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸 质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使 用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名 单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：潋盏导师签日期：垄。 温珍英：兰州大学博士学位论文 摘要 本文研究了一维非线性晶格点阵模型中的若干动力学问题： f p u 一口模型中的孤波散射，f p u 一卢模型和妒4 模型不同能量区域定性 行为的突变问题和l y a p u n o v 指数谱特征，多种固体材料中发现的“类 流态”现象的理论机制探讨。 经过数十年的发展，孤子研究取得了巨大的成功，系统深奥的数 学理论也已经建立起来，现有的理论主要研究孤子能否在某个系统中 产生，能否稳定存在等问题。实际上目前能较为准确描述和研究的是 非线性可积系统中孤子，这类孤子之间的碰撞不会有能量的散射，只 会出现相位的变化；然而，现实物理世界中的非线性系统一般是不可 积的，这类系统中的孤子严格讲应当叫做孤波，孤波在碰撞过程中会 发生能量等的交换，并伴随线性波包的辐射等。现有的孤子理论没有 办法给出孤波散射的定量关系，但这种定量关系对于实际问题特别是 能量输运问题至关重要。本文采用动力学激发的方法，来研究相互作 用势为y o ) - 似2 + 摩4 的f p u 一卢模型中的孤波的散射行为，并计算散 射率以定量描述孤波的散射结果。数值研究表明，与自由粒子类似， 孤波之间的碰撞同样也遵循动量和能量守恒定律。在即u 一口模型中 我们发现了四种类型孤波碰撞，这些类型的划分与孤波的拓扑类型有 关，散射行为各不相同。一般来讲，两孤波相碰，大孤波失去、小孤 波得到能量，但在这四类中有一类与其它类很不同：当大孤波与小孤 波的动量比值在一定范围时，大孤波得到而小孤波失去能量。而且， 孤波的拓扑类型对散射行为有很大影响，不同拓扑结构的孤波碰撞， 温珍英：兰州大学博士学位论文 其散射率要比相同拓扑结构的大得多。我们的研究还表明乜= 0 的非简 谐极限模型可以作为研究孤波的范例模型。并且，孤波散射性质和点 阵模型的能量输运行为之间存在着定量的联系。 晶格点阵模型随能量密度的变化会发生动力学和统计行为的突 变，这一现象很早就被发现和广泛研究。本文应用p o i n c a r e 截面技 术和l y a p u n o v 指数谱分析的方法详细研究y s p u 一声模型和妒4 模型， 重点考察弱混沌区、强混沌区和声子主宰区、孤子主宰区的可能关联。 通过对f p u 一芦的详细研究我们修正了以前的相关文献中的一些错误 和问题；从l y a p u n o v 指数谱的分析中我们得到了从弱混沌区域到强 混沌区域过渡的能量密度的阈值。当能量密度小于阈值时，f p u 一声和 妒4 系统中仅存在线性波及其叠加，当能量密度超过阈值时，这两个系 统中将分别激发出孤波和移动呼吸子。 最后，本文对一种普遍存在于各种固体材料中的“类流态”现象 进行了探索性研究，提出了我们的理论解释和理解。天津大学高后秀 教授发现，常温常压下，在很多固体材料的某些微区都存在类似流体 特征的非线性振荡花样，她将这称为固体中的“类流态”现象，这一 现象至今还没有合理的理论解释。我们认为“类流态”是一种介观尺 度的嵌入原子簇的共振现象，而且很有可能由环境微波的激励引起。 本文分为四章。第章引言简单介绍了晶格点阵的研究背景。第 二章研究了f p u 模型中的孤波散射动力学。第三章研究了非线性晶格 点阵模型从“弱混沌”到“强混沌”的转变。第四章探索了“类流态， 现象的理论机理。 温珍英：兰州大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o ni s c o m p r i s e do ft h r e ee s s a y so nt h es t u d yo f t h ed y n a m i c so fn o n l i n e a rl a t t i c e s ：s o l i t a r yw a v es c a t t e r i n gi nf p u 一8 m o d e l ，t h eb r e a k i n g o f d y n a m i c a l b e h a v i o r sa n dt h e l y a p u n o v c h a r a c t e r i s t i c e x p o n e n ts p e c t r a a td i f f e r e n t e n e r g yd e n s i t y i nf p u 一8 m o d e la n d t p 4m o d e l ，t h es t u d yo ft h em e c h a n i s mo f “q u a s i f l u i d p h e n o m e n a d i s c o v e r e di nm a n ym a t e r i a l s t h et h e o r yo fs o l i t a r yw a v e sh a sb e e nd e v e l o p e ds i n c es o l i t a r yw a v e s w e r ef i r s tf o u n di n1 8 4 3 o nt h eo n eh a n d ，m a t h e m a t i c a lt h e o r yi nt h i s a r e ai sv e r ys u c c e s s f u lf o rn o n l i n e a r i n t e g r a b l es y s t e m s ；s o l i t a r yw a v e sd o n o te x c h a n g ee n e r g yw h e nt h e yc o l l i d ew i t he a c ho t h e ra n dt h u sg e tt h e n a m eo f “s o l i t o n o nt h eo t h e rh a n d ，s o l i t a r yw a v e si n n o n i n t e g r a b l e s y s t e m sa r ea l m o s th a r d l yt o b ea t t a c k e db ya n a l y t i cm e t h o d ；i ns u c h s y s t e m se n e r g ye x c h a n g em a yt a k ep l a c ew h e nt w o s o l i t a r yw a v e s c o l l i d e w i t he a c ho t h e r t h eq u a n t i t a t i v e s t u d y o ns o l i t a r yw a v es c a t t e r i n gi s i m p o r t a n t ，e s p e c i a l l yf o re n e r g yt r a n s p o r t ，b u ti tc a l ln o tb eo b t a i n e df r o m c u r r e n ts o l i t a r yw a v e t h e o r y i n t h ef i r s t e s s a y w es t u d yt h es c a t t e r i n g d y n a m i c s o fa p a i r o f s o l i t a r y w a v e si nt h e f p u 一卢m o d e l w i t h i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l 瞰) ；饿2 2 + x 4 4 t h es c a t t e r i n gr a t e so fs o l i t a r y w a v e sa r ec a l c u l a t e dt od e t e r m i n et h es c a t t e r i n g n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w t h es c a t t e r i n go ft w o s o l i t a r yw a v e s i sg o v e r n e d b y t h ec o n s e r v a t i o nl a w s o fm o m e n t u ma n de n e r g y , l i k ef r e ep a r t i c l e s m o r e o v e rw e c l a s s i f yt h e 7 里竺茎! 兰j ! ：! ! 奎堂堂主兰堡鲨奎 s c a t t e r i n gb e t w e e nt w os o l i t a r yw a v e s i n t of o u rt y p e sa c c o r d i n gt ot h e i r c o n f i g u r a t i o n s f o rt h r e eo f t h ef o u rt y p e st h el a r g es o l i t a r yw a v el o s e s e n e r g ya n dt h es m a l l o n e g a i n sa f t e rs c a t t e r i n g ；b u tf o rt h e o t h e ro n e t y p e i nas p e c i a lp a r a m e t e r r e g i o nw e e n c o u n t e ra na n o m a l o u ss c a t t e r i n ge f f e c t ， i e ，t h el a r g es o l i t a r yw a v eg a i n se n e r g ya n dt h es m a l lo n el o s e s a f t e r s c a t t e r i n g i ti s s h o w nt h a tt h es c a t t e r i n gd y n a m i c sd e p e n d sc l o s e l yo n t h e i r t o p o l o g i c a ls t r u c t u r e s s c a t t e r i n g e f f e c t sb e t w e e ns o l i t a r yw a v e s w i t hd i f f e r e n tt o p o l o g i c a l c o n f i g u r a t i o n s a r em u c hs t r o n g e rt h a nt h o s e b e t w e e nt w os o l i t a r yw a v e sw i t hi d e n t i c a l t o p o l o g i c a lc o n f i g u r a t i o n f u r t h e r m o r e ，o u rs t u d i e ss u g g e s tt h a tt h ea n h a r m o n i cl i m i tm o d e lw i t h a 一0c a l lb et a k e na sap a r a d i g mm o d e lf o rs t u d y i n gl a t t i c e s o l i t a r y w a v e s t h e r ea l s oe x i s t sa q u a n t i t a t i v ec o n n e c t i o nb e t w e e n t h es c a t t e r i n g p r o p e r t ya n d t h ee n e r g y t r a n s p o r tb e h a v i o r t h et o p i ch a sb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e dt h a td y n a m i c sa n ds t a t i s t i c a l b e h a v i o r sa r ev a r y i n gw i t ht h ee n e r g yd e n s i t y i nt h es e c o n de s s a 5w e i n v e s t i g a t e t h e f p u pa n d 妒4 m o d e l sw i t ht h em e t h o do fp o i n c a r e s e c t i o n sa n dl y a p u n o v e x p o n e n ts p e c t r aa n dl a ys t r o n ge m p h a s e so nt h e p o s s i b l e c o n n e c t i o nb e t w e e nt h ec h a o s p r o p e r t y a n dt h ed o m i n a n t e x c i t a t i o n si n s y s t e m s w em o d i f ys o m em i s t a k e si n p r e v i o u s r e l a t e d w o r k so n f p u 一8m o d e l f r o mt h e a n a l y s e s o ft h es t r u c t u r e so f l y a p u n o vs p e c t r a ，w eo b t a i nt h et h r e s h o l d so fe n e r g yd e n s i t yb e t w e e n w e a k l ya n ds t r o n g l yc h a o t i cr e g i m ei n f p u - f la n d 妒4 s y s t e m s a l s o 8 温珍英：兰州大学博士学位论文 w ef i n dt h a tb e l o wt h et h r e s h o l dt h e r eo n l ye x i s tl i n e a rw a v e si nf p u 一8 a n d 妒4s y s t e m s ，w h i l ea b o v et h et h r e s h o l ds o l i t a r yw a v e sa n dm o b i l e b r e a t h e r sa r ee x i t e di n f p u - # a n d 妒4s y s t e m sr e s p e c t i v e l y i nt h et h i r de s s a yw ei n v e s t i g a t et h eu n d e r l y i n gm e c h a n i s mo ft h e “q u a s i f l u i d ”p h e n o m e n o nw i t hm o l e c u l a rd y n a m i c ss i m u l a t i o n s h g a o d i s c o v e r e dt h e “q u a s i f l u i d p h e n o m e n o nt h a ts o m el o c a l i z e dd u s t e r sa t t h e m e s o s c o p i cs c a l e b e h a v i o rl i k ef l u i di nm a n ys o l i dm a t e r i a l s o u r n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i s p h e n o m e n o n i sd u et om e c h a n i c a l r e s o n a n c eo ft h en a n o s i z ee m b e d d e dc l u s t e ri ns o l i d s 9 温珍英：兰州大学博士学位论文 第一章引言 现代的固体物理学大致建立在本世纪的三十年代。1 9 2 8 年，b l o c h 在处理周期结构中电子的传播时，提出了能带理论，从而使 固体物理的范式基本建立，其核心概念是周期结构中波的传播 1 。 弹性波或晶格波的传播，属于晶格动力学 2 ：x 射线在晶格中的传播， 牵涉到x 射线衍射动力学：然后是d eb r o g l i e 波，即电子在晶格中的 运动，这导致能带理论 3 。晶格动力学是研究晶体中原子之间的相互 作用、晶体结构、晶格原子振动的一门科学，是构成固体物理学理论 的支柱之一 4 。 早在1 8 世纪，阿贝阿维( a b b 6h a i l y ) 对晶体外部的几何规则 性就有一定的认识。后来，布喇格在1 8 5 0 年导出1 4 种点阵。费奥多 罗夫在1 8 9 0 年、熊夫利在1 8 9 1 年、巴洛在1 8 9 5 年，各自建立了晶 体对称性的群理论。这为晶格动力学的理论发展找到了基本的数学工 具，影响深远。1 9 1 2 年劳厄等发现x 射线通过晶体的衍射现象，证 实了晶体内部原子周期性排列的结构。加上后来布喇格父子1 9 1 3 年 的工作，建立了晶体结构分析的基础。7 0 年代出现了高分辨电子显 微镜点阵成像技术，在晶体结构的观察方面有所进步。 晶体的结构以及它的物理、化学性质同晶体结合的基本形式有密 切关系。通常晶体结合的基本形式可分成：金属键合、共价键合、分 子键合( 范德瓦耳斯键合) 和氢键合。根据x 射线衍射强度分析和晶 体的物理、化学性质，或者依据晶体价电子的局域密度分布的自洽理 论计算，人们可以准确地判定该晶体具有何种键合形式。 温珍英：兰州大学博士学位论文 晶体中每立方厘米内有1 0 22 个粒子，它们靠电磁互作用联系起 来。因此，晶格动力学所面对的实际上是多体问题。在晶体中，粒子 之间种种各具特点的耦合方式，导致粒子具有特定的集体运动形式和 个体运动形式，造成不同的晶体有千差万别的物理性质。 哈密顿在1 8 3 9 年讨论了排成阵列的质点系的微振动；1 9 0 7 年， 爱因斯坦首先用量子论处理固体中原子的振动。他的模型很简单，各 个原子独立地作同一频率的振动；德拜在1 9 1 2 年采用连续介质模型 重新讨论了这问题，得到固体低温比热容的正确的温度关系；玻恩和 卡门同时开始建立晶体动力学的基础，在原子间的力是简谐力的情况 下，晶体原子振动形成各种模式的点阵波，这种波的能量量子称为声 子。它对固体的比热容、热导、电导、光学性质等都起重要作用。 晶格的非线性光学效应是强光通过非线性晶格时出现的现象 5 。激光出现以前的光学基本上研究的是弱光束在晶格中的传播规 律，在光的反射、折射、干涉、衍射、吸收和散射等现象中，由于光 的强度低，因此光波的频率不会发生变化，并满足波的线行叠加原理。 当激光通过非线性晶格时，将出现很多新效应，如二阶非线性效应、 三阶非线性效应、线性电光效应以及非线性光折变效应等，光的几何 叠加原理不再成立。 这类传统的非线性效应已经被科学家所熟知，不仅如此，晶格动 力学中存在大量的非线性问题 6 8 也被广泛研究。事实上对于晶格 点阵的线性化处理是对实际系统的近似，现实的物理系统都是非线性 的，对晶格点阵的更加严格的刻画应当应用非线性科学的相关理论和 温珍英：兰州大学博士学位论文 观点，也就是说对于晶格点阵的研究要超越声子框架，建立非线性激 发的动力学描述。这一点对于极端条件下( 高温高压等) 的系统尤为 重要。因此，非线性科学的一些常用概念，如孤子、分岔、混沌、突 变和自组织等，已经逐渐成为晶格动力学中的一部分。 具有非线性相互作用的晶格点阵模型中存在孤子的事实很早就 被发现。1 9 5 5 年，e f e r m i ，j p a s t a 和s u l a m 9 构造了一个非线 性弹簧相连的等质量原子构成的一维固体晶格模型( 即著名的f p u m o d e l ) ，他们想通过计算机模拟实验，试图来验证d e b y e 的关于非线 性作用存在将会使简正模式之间发生相互作用，并导致正常的热传导 的理论。他们考察了这一具有非线性相互作用的晶格模型的动力学行 为，期望初始激发的能量将最终分配到晶格的各个自由度上去。然而 出乎意料之外，这个系统并没有达到预期想象中能量均分状态，初始 激发能量并没有分配到各个模式上去，而是周期性的返回到初始激发 的那个模式上，这就是著名的f p u 问题。t o d a 研究了这种模式的非 线性振动，得到了孤波解，孤子的概念解释了f p u 回归发生的原因。 近年来，孤子的概念被进一步推广，不动的孤子一呼吸子等也被发现， 对晶格点阵的性质具有重要意义。 因此，晶格点阵的非线性动力学行为的研究对于凝聚态物理和统 计物理都具有基本的意义，声子、孤子、呼吸子等动力学性质的深入 研究是建立完整全面的固体理论的基础。本文的研究针对这一课题， 然而这是一个非常大的题目，不可能靠几个人的几项工作解决，因此 我们选择了与此课题相关的三个问题作了一些初步的研究。一是 温珍英：兰州大学博士学位论文 f p u 卢模型中的孤波散射动力学，二是非线性晶格点阵模型从“弱 混沌”到“强混沌”的转变，本文将应用即一卢模型、矿4 模型对这 一问题进行研究，三是应用晶格点阵模型研究“类流态”现象形成的 理论机制。 孤波是一种可以沿着一个空间方向，保持不变形状传播的局域化 的波，最早由英国科学家约翰罗素( r u s s e l l ，j o h ns c o t t1 8 0 8 1 8 8 2 ) 于1 8 3 4 年在爱丁堡到格拉斯哥的运河河道发现。经过大约一百 六十年左右的时间，孤波的概念到现在已经牢牢的建立起来了。与孤 波相关的研究文章，包括理论的和数值的，大大丰富并拓展了人类对 客观世界的认识。在一些真实系统中，比如固体、聚合物、等离子体、 光学系统等，孤波对这些系统的能量输运有重要的影响，对这些系统 的动力学、热力学的深入了解需要有关孤波的系统知识。孤波的激发、 传播和碰撞散射性质已经充分的研究，然而在诸多论文中，对孤波碰 撞定量的研究依然很少。本文第二章将对维点阵上f p u 一卢模型的 孤波散射动力学进行定量地研究。首先简单介绍现有的孤波理论及其 研究意义，然后详细论述了孤波散射的研究方法和结果，最后是本章 的结论。 混沌研究的进展，是非线性科学最重要的成就之。混沌的原意 是指无序和混乱的状态( 混沌译自英文c h a o s ) 。这些表面上看起来 无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律，混沌学的任务就 是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。6 0 年代混沌学的研究热 悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、 温珍英：兰州大学博士学位论文 经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。本文第三章对非线 性晶格点阵模型的混沌性质进行研究，侧重于考察模型从“弱混沌” 到“强混沌”的转变。首先简单介绍了非线性动力学和非线性多体系 统以及一些常用的识别混沌运动的方法，然后讨论了即u 一卢及其相 关模型、妒4 模型中的混沌特性，最后是本章的小结。 高后秀教授等发现，常温常压下，在很多固体材料中的某些微区 都存在类似流体特征的非线性振荡花样，她将这称为固体中的“类流 态”现象，这一现象至今还没有合理的理论解释。在本文第四章中我 们将研究“类流态”现象的理论机制。首先介绍了一下“类流态”现 象，然后详细解释了这个现象形成的理论机制，最后是本章结论。 温珍英：兰州大学博+ 学位论文 第二章f p u 模型中的孤波散射动力学 2 1 孤波理论简介 2 1 1 孤波研究的简单回顾 1 8 3 4 年8 月，英国科学家、造船工程师约翰罗素在勘察爱丁 堡到格拉斯哥的运河河道时，观察到一种与众不同的水波。1 0 年后， 在英国科学促进协会第1 4 届会议上，他发表了一篇题为论水波 的论文，生动地描述了这个现象：1 8 3 4 年秋，我看到两匹骏马正沿 运河拉着一只船迅速前进。突然，船停了下来，然而被船所推动的一 大团水却不停止。它们堆积在船头周围激烈地扰动着，随后形成一个 滚圆、光滑又轮廓分明的大水包，其高度约有1 1 5 英尺，长约3 0 英尺，以每小时大约8 9 英里的速度，沿着水面向前滚动。我骑在 马上一直跟随着它，发现它的大小、形状和速度变化很缓慢，直到i 2 英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。 罗素认识到，这决不是普通的水波。因为普通的水波是由水面的 振动形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在扩展一小 段距离后即行消失；而他所看到的这个水团，却具有光滑规整的形状， 完全在水面上移动，衰减得也很缓慢。他把这团奇特的运动着的水堆 称为“孤立波”或“孤波”。罗素还仿照运河的状况建造1 r 一个狭长 的大水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实验上再现了 在运河上观察到的孤波。他认为这应当是流体力学方程的- 个解。他 批评数学家们未能从流体力学基本规律预言孤波的存在。他的这些观 点在科学促进协会会议上报告后，未能说服他的同事们，争论一直持 温珍英：兰州大学博士学位论文 续了几十年。1 8 9 5 年，两位年轻的荷兰数学家科特维格( k o r t e w e g ， d j ) 和德弗里斯( d e v r i e s ，g ) 在研究浅水中小振幅长波运动时， 考虑到可把水简化为弹性体，具有弹性特征之外，还注意到水具有非 线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构。 他们由此导出了单向运动浅水波k d v 方程 1 0 ，由方程得出的波的表 面形状与孤波的表面形状十分相似，从而给出了一个类似于罗素孤波 的解析解，孤波的存在才得到了公认。 2 0 世纪6 0 年代，随着电子计算机的应用，科学家们开始去探索过 去用解析方法难以处理的复杂问题。首先进行这方面探索的是物理学 家费米和他的两个同事。1 9 5 5 年，e f e r m i ，j p a s t a 和s u l a m 构造了 一个非线性弹簧相连的等质量原子构成的一维固体晶格模型( 即著名 的f p u 模型) ，他们想通过计算机模拟实验试图来验证d e b y e 的关于非 线性作用存在将会使简正模式之间发生相互作用，并导致正常的热传 导的理论。他们考察了这一具有非线性相互作用的晶格模型的动力学 行为，期望初始激发的能量将最终分配到晶格的各个自由度上去。然 而出乎意料之外，这个系统并没有达到预期想象中能量均分状态。初 始激发能量并没有分配到各个模式上去，而是周期性的返回到初始激 发的那个模式上去。这一现象在又分别由f o r d 于1 9 6 1 年$ 口j a c k s o n 于 1 9 6 3 年进一步考察，并确认了非线性相互作用不能保证这样一个系统 达到热均分。这一结果与d e b y e 关于非线性作用导致简正模式之间的 相互作用的理论恰恰相反。于是n z a b u s k y 和m k r u s k a l 重新调查了这 一问题。他们发现在长波极限下，f p u 离散点阵模型可以近似成为一 温珍英：兰州大学博士学位论文 个连续的k d v 方程。同时在对这一近似下的k d v 方程数值模拟的结果 中，他们发现类似脉冲的波可以在这样的一个系统中传播，这些孤波 可以互相穿越对方，并且在碰撞后保持原来的形状，这些孤波被称为 孤子。孤子标志这些孤波的准粒子属性。孤子的概念解释了f p u 回归 发生的原因。这之后不久，p e r r i n g 和s k y r m e 于1 9 6 2 年在研究简单的 基本粒子模型的s i n e g o r d o n 方程时，发现了方程存在k i n k 形状的孤 波解。数值模拟结果及方程的分析解和n z a b u s k y 和m k r u s k a l 等人发 现的孤子的性质一致。随后在很多其他物理系统中也找到了孤子存在 的证据。这样孤波不再仅仅局限于数学上的探讨，而成为了人们理解 一些物理现象的一个重要的概念。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人 1 1 发现，当初始激发波的形状是有效的 局域化的时候，通过他们构造的逆散射变换，可以获得k d v 方程的解 析解，并且在足够长的时间后，初始激发波将会演化成为一个或多个 孤子以及一些小幅的尾波，而总的孤子数依赖于初始激发波的形状。 逆散射变换很快成为人们研究非线性方程强有力的工具 1 2 。 由于孤波的非线性特征，孤波是不满足线性叠加原理的。为了研 究多孤波系统，h i r o t a 1 3 于1 9 7 1 年找到一个可以获得部分非线性方 程的多孤波解的新的方法。这些多孤波解的演化展现了连续系统中孤 波之间的相互作用。 1 9 8 4 年，旅美学者吴君汝等人在狭长的水槽中观察到了不传播的 孤波他们是将水槽置于大扬声器下，在单频正弦信号激励下观察这 个现象水表面铅槽宽方向呈现驻形波模式，而在槽长方向则是双曲 温珍英：兰州大学博士学位论文 正割函数的孤波或叫波包型的孤波，这是实验室观察到的孤立水波， 与罗素在运河中观察到的大同小异。 由于得到的上述结果，以及在许多物理模型中相继发现都存在这 种碰撞后不改变波形的稳定的孤波的事实，从而使许多物理学家和数 学家对此产生了极大的兴趣和注意，掀起了对孤子问题研究的热潮， 并逐步形成了较为完整的孤子理论。 文献 1 4 给出了关于孤波和孤子的定义：和s c o t tr u s s e l l 实际 发现一样，孤波是一种可以沿着一个空间方向，保持不变形状传播的 局域化的波；而孤子则可以认为是大幅度的相干的脉冲或者可以说是 一个非常稳定的孤波，并且在和其他的孤波碰撞之后既不会改变速度 也不会改变形状，这一点是两者之间最大的不同。对物理研究者而言， 真实的世界由于存在有摩擦，缺陷，外部驱动力等等因素，现实中孤 子实际上是处于亚稳态的。但是它所具有的准孤子的属性在物理上相 当重要的。孤子的这种特别的碰撞方式在能量输运过程中占有极为重 要的地位。 在物理上，也有把孤波定义为经典场方程的一个稳定的有限能量 的不弥散的解 1 5 ，即如果p 以p ( x ，f ) 表示孤子的能量密度，则有 0 ：h j p t r 1 0 - ，。l 作为孤波的动量和能量，在这里我们只对孤波峰值周围动量较大的原 子求和。 在下面的研究中，我们将依次提供纯四次方模型和“二次一四次 方”模型的结果，并将这两个模型中的结果作一下比较。 温珍英：兰州大学博士学位论文 2 2 2 两个模型中的孤波的性质 在研究孤波的散射动力学之前，我们看一下存在于这两种模型中 的孤波的性质有何异同。 首先看一下怎样激发出孤波。一维点阵上所有的粒子都静止在平 衡位置，我们给点阵上的某个粒子一个激发七，就可以得到孤波。在 这里，我们对。2 0 0 0 0 的静止点阵的中间( i 。1 0 0 0 0 ) 粒子在t 0 时 刻进行激发七，。4 ，图2 2 1 ( a ) 和( b ) 显示了在纯四次方模型中 r 一6 0 0 0 时点阵上的粒子在动量空间和位形空间的图像。我们可以看 到，有两个孤波产生，一个向左运动，另外一个向右运动。在动量空 间中，这两个孤波看起来相似，( a ) 中小图是孤波放大后的样子，它 i a t u o ap o s i t i o ni l a n c ep o s i t i o n l a t t i c ep o s i t i o ni l a t t i c ep o s i t i o n 图22 1 ( a ) 和( b ) 表示了纯四次方模型中激发出的孤波在动量 空删和位形空问的图像，( c ) 和( d ) 表示了它们在二次四次方 模型l f 的图像，( a ) 和( c ) 中所插小图是孤波在动量空间放大后图像。 温珍荚：兰州大学博士学位论文 们看起来像高斯形状的波包。在位形空间中，激发出来的两个孤波表 现出不同的拓扑性质。我们用f 来表示孤波峰值在位形空间的位置， 对于左面的孤波，它有这样的性质：当j 一一。时，z ；，+ j 一0 ，当卜+ + 。 时，叠；一4 ，这样的孤波我们称为正孤波；对于右面的孤波，拓扑 性质刚好相反，当卜+ + * 时，x i + ，一0 ，当，一一o o 时，x i + ，- - * a ，对于 这样的孤波，我们称之为负孤波。在这里，* 是指离位置i 。相当远。 这两种孤波也是我们在图2 1 1 中提到的扭结型和反扭接型孤波。进 而，我们在二次一四次方模型中做相同的激发，得到的结果显示在图 2 2 1 ( c ) 和( d ) 中。我们同样得到两个孤波，这两个孤波的拓扑 结构与纯四次方模型中的孤波相同。 两个模型的不同之处首先体现在孤波的激发阈值上。在纯四次方 模型中，并不存在激发阈值，任何大小的激发都可以得到孤波。这是 由纯四次方模型的s c a l i n g 性质决定的。从图2 2 1 ( a ) 和( b ) 我 们可以知道，激发k 1 ( k l 。一4 ，屯= 0 ( i ，1 0 0 0 0 ) ) 可以激发出孤波。对 动量做一个变换，一x a x ，i t z ，又知道激发k 。与动量p ，成正比，因 此我们可以得到激发k 2 ( - l 一；a 2 七，。；卯4 ，瓦一o ( i 一1 0 0 0 0 ) ) 。也就是 说，初始条件为k ：的哈密顿系统万6 6 ) ，- p 6 ) ) ，它的动力学性质与哈密 顿系统z l - l ( x ( t ) ，p ( f ) ) ( 初始条件为k ，) 相同。由于 任意，任何大小 的激发都可以产生孤波。在二次一四次方模型中，只有在激发k 超过 阈值的情况下，才能够激发出孤波。比如，当对点阵两端的粒子进行 激发，激发阈值大约为k 。；0 8 ，当对点阵中间粒子进行激发时，激发 阀值大约为k ，。1 5 。 温珍英：兰州犬学博士学位论文 两个模型的另外一个不同之处体现在伴随着孤波激发出来的尾 巴上。在纯四次方模型中，孤波的尾巴只是由一些小孤波组成，并没 有线性波包产生；在二次一四次方模型中，孤波的尾巴是一组线性波 包。 然后我们看一下孤波的各个物理量( 动量p 、能量e 、速度v 、 振幅h 等) 之间的关系。我们知道，对于标准自由粒子，e p 2 ，( 撕) ， 对高能粒子，e 。c p 2 + m 。c 2 ，其中卅和m 。分别是质量和静止质量，c 是光速。为了得到孤波动量和能量之间的关系，我们首先分析一下纯 四次方模型的哈密顿函数。这个模型有明确的s c a l i n g 性质：在口= 0 ， 口；l 的情况下，我们对哈密顿函数( 2 2 ，1 ) 作尺度变换：x ：a ；，t ：；， ( 这样p 。莺= a 2 ；) ，可以得n h ( x ( t ) ，p ( f ) ) 一 4 百6 ( - ) ，万( ；) ) ，在这里a 是 一个尺度常数。所以，由于s c a l i n g 性质，对于两个系统日和万，它 们的运动方程是一致的；在这两个系统中的孤波可以通过尺度变换联 系起来，它们的动力学性质是不可分辨的。在尺度变换下，系统中 动量为p 能量为e 的孤波，转化为系统西中动量为芦能量为云的孤波， 它们之间的联系为：p 。a 2 芦，e 介云。因此，为了保证动量p 和能 量e 的关系在尺度变换之后不发生变化，动量p 和能量e 之间必须满 足关系：e ：a l p z 。对孤波动量、速度、振幅之间的关系做同样讨论， 可以得到如下关系：p ；n ，v 2 ，v 。a 3 h 。接下来我们用数值方法来确定 n 。，口：和n ，。图2 2 2 表示了在对数一对数坐标下能量e 一动量p 、动 量p 一速度v 的关系图。通过拟和曲线，我们得到e 。0 4 8 8 7 7 p 2 ， 尸t 卸2 。以同样的方法，我们得到v ； 压。对于二次一四次方模型 温珍英：兰州大学博十学位论文 来说，相应的关系方程变得复杂，并且需要用数值的方法来得到。在 图2 2 2 中我们也给出了在这个模型下能量一动量、动量速度的函数 关系。从图中我们可以看出，二次一四次方模型中的关系函数在p m 时会与纯四次方模型中的关系函数趋于一致。动量p 能量e 之间的关 系也可以由拟和曲线得到：e = 0 4 8 7 p 2 0 1 3 4 p 一0 3 5 8 。 11 0 pv 图2 2 2 ( a ) 和( b ) 分别表示了在对数一对数坐标下舌一| p 图和p v 图。 图中实心圆点对应纯四次方模型，空心圆点对应二次四次方模型。 2 2 3 孤波散射动力学 根据孤波的拓扑构型，我们可以知道，在f p u 模型中，对任意两 个孤波存在四种类型的碰撞。他们分别是正孤波一反孤波的正面碰撞， 由图2 2 3 ( i a ) 一( i d ) 表示，我们记做“t y p ei ”；正孤波一 正孤波或反孤波一反孤波的正面碰撞，由图2 2 3 ( i i a ) 一( i i d ) 表示，记做“t y p e i i ”：正孤波正孤波或反孤波一反孤波的追赶碰撞， 由图2 2 3 ( i a ) 一( 1 i i d ) 表示，记傲 t y p e l i i ”：正孤波一反孤 波的追赶碰撞，由图2 2 3 ( i v _ _ a ) 一( i v d ) 表示，记做“t y p e i v ”。 m 柏 ， 洲 埘 温珍英：兰州太学博士学位论文 兰甄篡5 0 必”引妒b u 棚p o l f l o n i l e t u c ap a s a o r iu m l p m 叩i l 胄t t l c 6p o = u o n i 垩旦- 卫l 严l 芈止 i 睦兰姐。鞘。b l 州酬硼fl 啦* p o t i o n l 蜘印嘣ll a r b p 嘴目l 粤生，粤土1 芦量 粤巫1 世10921 1 1 31 1 3 4 。“”嘣氐 ：田。篡品fr i 瓯 图2 2 3 四种孤波碰撞类型。第一、第二、第三、第四行分别对应t y p ei 、t y p e i i 、t y p e l i i 和t y p e i v 碰撞。第一列和第二列是两个孤波碰前碰后在动量空间中 的示意图，第三列和第四列是两个孤波碰前碰后在位形空间中的示意图。在这四 种类型中，碰撞前的两孤波的动量大小均为只一2 0 2 和p b 一7 0 8 。 为了得到t y p ei 和t y p e i i 的碰撞，我们在t 一0 时刻将激发p ，= c 施加在第一个粒子上，得到孤波n ，在t 一6 时刻将激发p 。；c 。施加在 最后一个粒子上，得到孤波b 。在本文中，c 为正值。这样，孤波n 和 b 相向而行。当c 。，o 我们可以得到t y p ei 的碰撞，当c t o 我们可以 得到t y p e i i 的碰撞。图2 2 3 ( i - b ，i 卅) 显示了t y p ei 碰撞后 两孤波在动量空间和位形空间的图像，图2 2 3 ( i i b ，i i d ) 显示 了t y p e i i 碰撞后两孤波在动量空间和位形空间的图像。为了得到 t y p e i i i * 口t y p e l v 的碰撞，我们首先于f 。o 在第一个粒子上施加激发 温珍英：兰州大学博士学位论文 p ，。c ，这样我们得到了一个向右运动的孤波a ，然后我们于t ：6 时刻 在孤波n 和它的尾巴之间的粒子做激发见：c ，这样可以激发出两个 孤波，我们将向右运动的孤波记为孤波b 。当i c i 足够大时，孤波b 比孤波a 大，并且会追赶上孤波a 。当c ，o 我们可以得到t y p e i i i 的 碰撞，当c to 我们可以得到t y p e v 的碰撞。图2 2 3 ( i i i b ，d ) 显示了t y p e l l 碰撞后两孤波在动量空间和位形空间的图像，图2 2 3 ( i v b ，n - d ) 显示了t y p e n 碰撞后两孤波在动量空间和位形空间 的图像。图2 2 3 中所有示意图都是在纯四次方模型中计算得到的。 从图2 2 3 中我们可以看到，对于任意一种碰撞，在碰撞之前， 孤波a 和b 的速度和形状都保持